Avstand

fra punkt til linje

Avstand mellom parallelle linjer

Geometri, 7. klasse

Til læreboken til L.S. Atanasyan

matematikklærer av høyeste kategori

Kommunal utdanningsinstitusjon "Upshinskaya grunnskole"

Orsha-distriktet i republikken Mari El

Vinkelrett lengde trukket fra et punkt til en linje, kalt avstand fra dette punktet til rett.

AN ⏊ EN

M є a, M er forskjellig fra N

Vinkelrett , tegnet fra et punkt til en linje, mindre noen tilbøyelig , trukket fra samme punkt til denne linjen.

ER – tilbøyelig, trukket fra punkt A til linje a

AN ER

AN - tilbøyelig

AN AN

AN AK

AK - tilbøyelig

Avstand fra punkt til linje

M

Avstanden fra punkt M til rett linje c er...

N

Avstanden fra punkt N til linje c er...

Med

Avstanden fra punkt K til linje c er...

K

Avstanden fra punkt F til rett linje c er...

F

Avstand fra punkt til linje

AN ⏊ EN

AN= 5,2 cm

VC ⏊ EN

VC= 2,8 cm

Teorem.

Alle punktene til hver av to parallelle linjer er like langt fra den andre linjen

Gitt: a ǁ b

A є a, B є a,

Bevis: avstandene fra punktene A og B til linje a er like.

AN ⏊ b,BK ⏊ b,

Bevis: AH = BK

Δ ANK = ΔVKA(Hvorfor?)

Fra trekanters likhet følger det AN = BK

Avstanden fra et vilkårlig punkt på en av de parallelle linjene til en annen linje kalles avstanden mellom disse linjene.

Omvendt teorem.

Alle punkter i planet som ligger på den ene siden av en gitt linje og like langt fra den, ligger på en linje parallelt med den gitte.

AN ⏊ b,BK ⏊ b,

AH = BK

Bevis: AB ǁ b

Δ ANK = ΔKVA(Hvorfor?)

Fra trekantenes likhet følger det … , men disse er indre tverrvinkler dannet … , betyr AB ǁ NK

Hva er avstanden mellom linjene b og c, hvis avstanden mellom linjene EN og b er lik 4, og mellom linjene EN og c er lik 5?

EN ǁ b ǁ c

Hva er avstanden mellom linjene b og a, hvis avstanden mellom linjene b og c er 7, og mellom linjene EN og c er lik 2?

Hva er avstanden mellom linjene EN og c, hvis avstanden mellom linjene b og c er 10, og mellom linjene b Og en tilsvarer 6?

Hva er mengden av alle punkter i et plan som er like langt fra to gitte parallelle linjer?

EN ǁ b

Svar: En linje parallelt med disse linjene og plassert i lik avstand fra dem.

Hva er mengden av alle punkter på et plan som ligger i en gitt avstand fra en gitt linje?

Svar: To linjer parallelle med en gitt linje og plassert i en gitt avstand på motsatte sider av den.

Oh-oh-oh-oh-oh... vel, det er tøft, som om han leste opp en setning for seg selv =) Avslapping vil imidlertid hjelpe senere, spesielt siden jeg i dag kjøpte passende tilbehør. Derfor, la oss fortsette til den første delen, jeg håper at jeg ved slutten av artikkelen vil opprettholde et muntert humør.

Den relative plasseringen av to rette linjer

Slik er det når publikum synger med i kor. To rette linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Hjelp til dummies : Husk det matematiske krysstegnet, det vil dukke opp veldig ofte. Notasjonen betyr at linjen skjærer linjen ved punkt .

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres tilsvarende koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et tall «lambda» slik at likestillingene tilfredsstilles

La oss vurdere de rette linjene og lage tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med –1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen kutt med 2, får du samme ligning:.

Det andre tilfellet, når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene til variablene er proporsjonale: , Men.

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid ganske åpenbart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det INGEN slik verdi av «lambda» er at likestillingene er tilfredsstilt

Så for rette linjer vil vi lage et system:

Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , som betyr systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene til variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan du bruke løsningsskjemaet som nettopp er omtalt. Det minner forresten veldig om algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi så på i klassen Konseptet med lineær (u)avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer. Men det er en mer sivilisert innpakning:

Eksempel 1

Finn ut den relative plasseringen av linjene:

Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, som betyr at vektorene ikke er kollineære og linjene krysser hverandre.

I tilfelle setter jeg en stein med skilt ved veikrysset:

Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei den udødelige =)

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller sammenfallende. Det er ikke nødvendig å telle determinanten her.

Det er åpenbart at koeffisientene til de ukjente er proporsjonale, og .

La oss finne ut om likheten er sann:

Dermed,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten som består av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (ethvert tall tilfredsstiller den generelt).

Dermed faller linjene sammen.

Svar:

Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse problemet diskutert verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ikke noe poeng i å tilby noe for en uavhengig løsning; det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:

Hvordan konstruere en linje parallelt med en gitt?

For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer Nattergalen røveren hardt.

Eksempel 2

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Løsning: La oss betegne den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om henne? Den rette linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, er det åpenbart at retningsvektoren til den rette linjen "tse" også er egnet for å konstruere den rette linjen "de".

Vi tar retningsvektoren ut av ligningen:

Svar:

Eksempelgeometrien ser enkel ut:

Analytisk testing består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

I de fleste tilfeller kan analytisk testing enkelt utføres muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt bestemme parallelliteten til linjene uten å tegne.

Eksempler på selvstendige løsninger i dag vil være kreative. For du vil fortsatt måtte konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Det er en rasjonell og ikke så rasjonell måte å løse det på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.

Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er veldig kjent for deg fra skolens læreplan:

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Værsågod geometrisk betydning av et system av to lineære ligninger med to ukjente- dette er to kryssende (oftest) linjer på et plan.

Eksempel 4

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske metoden er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt en løsning på systemet. I hovedsak så vi på en grafisk løsning systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en korrekt og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen rette linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan ligge et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av en analytisk metode. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med term-for-term addisjon av ligninger brukt. For å utvikle relevante ferdigheter, ta en leksjon Hvordan løse et ligningssystem?

Svar:

Kontrollen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Eksempel 5

Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
2) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Full løsning og svar på slutten av leksjonen:

Ikke engang et par sko var utslitt før vi kom til den andre delen av leksjonen:

Vinkelrette linjer. Avstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom rette linjer

La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med denne, og nå skal hytta på kyllingbein snu 90 grader:

Hvordan konstruere en linje vinkelrett på en gitt?

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning vinkelrett på linjen som går gjennom punktet.

Løsning: Ved tilstand er det kjent at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

La oss komponere ligningen for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:

Svar:

La oss utvide den geometriske skissen:

Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Vi tar ut retningsvektorene fra ligningene og med hjelp skalært produkt av vektorer vi kommer til den konklusjon at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Testen er igjen enkel å utføre muntlig.

Eksempel 7

Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer hvis ligningen er kjent og periode.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er flere handlinger i problemet, så det er praktisk å formulere løsningen punkt for punkt.

Vår spennende reise fortsetter:

Avstand fra punkt til linje

Foran oss er en rett stripe av elven og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg langs vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "rho", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til linje uttrykt med formelen

Eksempel 8

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:

Svar:

La oss lage tegningen:

Den funnet avstanden fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du tegner en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. = 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

La oss vurdere en annen oppgave basert på samme tegning:

Oppgaven er å finne koordinatene til et punkt som er symmetrisk til punktet i forhold til den rette linjen . Jeg foreslår at du utfører trinnene selv, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på linjen.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.

3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midtpunktet til et segment Vi finner .

Det vil være en god idé å sjekke at avstanden også er 2,2 enheter.

Her kan det oppstå vanskeligheter med beregninger, men en mikrokalkulator er til stor hjelp i tårnet, slik at du kan regne ut vanlige brøker. Jeg har gitt deg råd mange ganger og vil anbefale deg igjen.

Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?

Eksempel 9

Finn avstanden mellom to parallelle linjer

Dette er et annet eksempel for deg å bestemme selv. Jeg skal gi deg et lite hint: det er uendelig mange måter å løse dette på. Debriefing på slutten av leksjonen, men det er bedre å prøve å gjette selv, jeg tror oppfinnsomheten din var godt utviklet.

Vinkel mellom to rette linjer

Hvert hjørne er en jamb:


I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt for å være den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og hans "grønne" nabo eller motsatt orientert"bringebær" hjørne.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen som vinkelen "rulles" i grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor fortalte jeg deg dette? Det ser ut til at vi kan klare oss med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at formlene som vi finner vinkler med lett kan resultere i et negativt resultat, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, sørg for å angi orienteringen med en pil (med klokken).

Hvordan finne vinkelen mellom to rette linjer? Det er to arbeidsformler:

Eksempel 10

Finn vinkelen mellom linjene

Løsning Og Metode én

La oss vurdere to rette linjer definert av ligninger i generell form:

Hvis rett ikke vinkelrett, Det orientert Vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen:

La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer av rette linjer:

Hvis , så blir nevneren til formelen null, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at rette linjer ikke er vinkelrett i formuleringen.

Basert på ovenstående er det praktisk å formalisere løsningen i to trinn:

1) La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.

2) Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:

Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi rartheten til arctangensen (se. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):

Svar:

I svaret ditt angir vi den nøyaktige verdien, samt en omtrentlig verdi (gjerne i både grader og radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, minus, ingen stor sak. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tallet en rett linje og "avskruingen" av vinkelen begynte nøyaktig med den.

Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen , og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte .

Denne artikkelen fokuserer på å finne avstanden mellom kryssende linjer ved hjelp av koordinatmetoden. Først er definisjonen av avstanden mellom kryssende linjer gitt. Deretter oppnås en algoritme som lar en finne avstanden mellom kryssende linjer. Avslutningsvis analyseres løsningen på eksemplet i detalj.

Sidenavigering.

Avstand mellom kryssende linjer - definisjon.

Før vi gir definisjonen av avstanden mellom skjeve linjer, la oss huske definisjonen av skjeve linjer og bevise et teorem relatert til skjeve linjer.

Definisjon.

- dette er avstanden mellom en av de kryssende linjene og et plan parallelt med den som går gjennom den andre linjen.

I sin tur er avstanden mellom en rett linje og et plan parallelt med den avstanden fra et punkt på den rette linjen til planet. Da er følgende formulering av definisjonen av avstanden mellom kryssende linjer gyldig.

Definisjon.

Avstand mellom kryssende linjer er avstanden fra et bestemt punkt på en av de kryssende linjene til et plan som går gjennom en annen linje parallelt med den første linjen.

Tenk på krysslinjene a og b. La oss markere et bestemt punkt M 1 på linje a, tegne et plan parallelt med linje a gjennom linje b, og fra punkt M 1 senke en vinkelrett M 1 H 1 til planet. Lengden på perpendikulæren M 1 H 1 er avstanden mellom krysslinjene a og b.

Finne avstanden mellom kryssende linjer - teori, eksempler, løsninger.

Når man skal finne avstanden mellom kryssende linjer, er hovedvanskeligheten ofte å se eller konstruere et segment hvis lengde er lik ønsket avstand. Hvis et slikt segment er konstruert, kan lengden, avhengig av problemets betingelser, bli funnet ved å bruke Pythagoras teorem, tegn på likhet eller likhet i trekanter, etc. Det er dette vi gjør når vi skal finne avstanden mellom kryssende linjer i geometritimene på 10-11 klassetrinn.

Hvis Oxyz introduseres i tredimensjonalt rom og kryssende linjer a og b er gitt i det, så lar koordinatmetoden oss takle oppgaven med å beregne avstanden mellom gitte kryssende linjer. La oss se på det i detalj.

La være et plan som går gjennom linje b, parallelt med linje a. Da er den nødvendige avstanden mellom krysslinjene a og b per definisjon lik avstanden fra et punkt M 1 som ligger på linjen a til planet. Således, hvis vi bestemmer koordinatene til et bestemt punkt M 1 som ligger på en linje a, og får normalligningen til planet i formen, kan vi beregne avstanden fra punktet til flyet ved hjelp av formelen (denne formelen ble hentet i artikkelen som finner avstanden fra et punkt til et plan). Og denne avstanden er lik den nødvendige avstanden mellom kryssende linjene.

Nå i detalj.

Problemet kommer ned til å få koordinatene til punktet M 1 som ligger på linjen a og finne normalligningen til planet.

Det er ingen vanskeligheter med å bestemme koordinatene til punkt M 1 hvis du kjenner godt til de grunnleggende ligningstypene for en rett linje i rommet. Men det er verdt å dvele mer detaljert på å skaffe flyets ligning.

Hvis vi bestemmer koordinatene til et bestemt punkt M 2 som planet passerer gjennom, og også får normalvektoren til planet i formen , så kan vi skrive den generelle ligningen til planet som .

Som et punkt M 2 kan du ta et hvilket som helst punkt som ligger på linjen b, siden flyet går gjennom linjen b. Dermed kan koordinatene til punkt M 2 anses som funnet.

Det gjenstår å få koordinatene til normalvektoren til planet. La oss gjøre det.

Flyet går gjennom linje b og er parallelt med linje a. Følgelig er normalvektoren til planet vinkelrett på både retningsvektoren til linjen a (la oss betegne den) og retningsvektoren til linjen b (la oss betegne den). Da kan vi ta og som en vektor, det vil si . Etter å ha bestemt koordinatene og retningsvektorene til rette linjer a og b og beregnet , vil vi finne koordinatene til normalvektoren til planet.

Så vi har den generelle ligningen for planet: .

Alt som gjenstår er å bringe den generelle ligningen til planet til normal form og beregne den nødvendige avstanden mellom kryssende linjene a og b ved hjelp av formelen.

Dermed, for å finne avstanden mellom kryssende linjene a og b trenger du:

La oss se på løsningen på eksempelet.

Eksempel.

I tredimensjonalt rom i det rektangulære koordinatsystemet Oxyz er det gitt to kryssende rette linjer a og b. Den rette linjen a bestemmes

Ikke engang et minutt hadde gått før jeg opprettet en ny Verdov-fil og fortsatte et så fascinerende emne. Du må fange øyeblikk av en fungerende stemning, så det blir ingen lyrisk introduksjon. Det blir en prosaisk spanking =)

To rette mellomrom kan:

1) interbreed;

2) krysse ved punktet ;

3) være parallell;

4) match.

Sak nr. 1 er prinsipielt forskjellig fra andre saker. To rette linjer krysser hverandre hvis de ikke ligger i samme plan. Løft den ene armen opp og strekk den andre armen fremover – her er et eksempel på å krysse linjer. I punkt nr. 2-4 skal de rette linjene ligge i ett fly.

Hvordan finne ut de relative posisjonene til linjer i rommet?

Tenk på to direkte mellomrom:

– en rett linje definert av et punkt og en retningsvektor;
– en rett linje definert av et punkt og en retningsvektor.

For en bedre forståelse, la oss lage en skjematisk tegning:

Tegningen viser kryssende rette linjer som eksempel.

Hvordan håndtere disse rette linjene?

Siden punktene er kjent, er det lett å finne vektoren.

Hvis rett interbreed, deretter vektorene ikke koplanar(se leksjon Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer), og derfor er determinanten sammensatt av deres koordinater ikke-null. Eller, som faktisk er det samme, vil det være ikke-null: .

I tilfelle nr. 2-4 "faller" vår struktur inn i ett plan, mens vektorene koplanar, og det blandede produktet av lineært avhengige vektorer er lik null: .

La oss utvide algoritmen ytterligere. La oss late som det Derfor enten krysser linjene, er parallelle eller sammenfallende.

Hvis retningsvektorene collineær, da er linjene enten parallelle eller sammenfallende. For den siste spikeren foreslår jeg følgende teknikk: ta et hvilket som helst punkt på en linje og bytt inn koordinatene i ligningen til den andre linjen; hvis koordinatene "passer", så faller linjene sammen; hvis de "ikke passer", så er linjene parallelle.

Algoritmen er enkel, men praktiske eksempler vil fortsatt hjelpe:

Eksempel 11

Finn ut den relative plasseringen av to linjer

Løsning: som i mange geometriproblemer, er det praktisk å formulere løsningen punkt for punkt:

1) Vi tar ut punkter og retningsvektorer fra ligningene:

2) Finn vektoren:

Dermed er vektorene koplanare, noe som betyr at linjene ligger i samme plan og kan krysse, være parallelle eller sammenfallende.

4) La oss sjekke retningsvektorene for kollinearitet.

La oss lage et system fra de tilsvarende koordinatene til disse vektorene:

Fra alle ligninger følger det at systemet derfor er konsistent, de tilsvarende koordinatene til vektorene er proporsjonale og vektorene er kollineære.

Konklusjon: linjene er parallelle eller sammenfallende.

5) Finn ut om linjene har felles punkter. La oss ta et punkt som tilhører den første linjen og erstatte dets koordinater med likningene til linjen:

Dermed har linjene ingen felles punkter, og de har ikke noe annet valg enn å være parallelle.

Svar:

Et interessant eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 12

Finn ut den relative plasseringen av linjene

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Vær oppmerksom på at den andre linjen har bokstaven som parameter. Logisk. I det generelle tilfellet er dette to forskjellige linjer, så hver linje har sin egen parameter.

Og igjen oppfordrer jeg deg til å ikke hoppe over eksemplene, oppgavene jeg foreslår er langt fra tilfeldige ;-)

Problemer med en linje i rommet

I den siste delen av leksjonen vil jeg prøve å vurdere det maksimale antallet forskjellige problemer med romlige linjer. I dette tilfellet vil den opprinnelige rekkefølgen av historien bli observert: først vil vi vurdere problemer med kryssende linjer, deretter med kryssende linjer, og på slutten vil vi snakke om parallelle linjer i rommet. Imidlertid må jeg si at noen oppgaver i denne leksjonen kan formuleres for flere tilfeller av plassering av linjer samtidig, og i denne forbindelse er inndelingen av seksjonen i avsnitt noe vilkårlig. Det er enklere eksempler, det er mer komplekse eksempler, og forhåpentligvis finner alle det de trenger.

Kryssende linjer

La meg minne deg på at rette linjer krysser hverandre hvis det ikke er noe plan der de begge ligger. Da jeg tenkte gjennom øvelsen, dukket det opp et monsterproblem, og nå er jeg glad for å kunne presentere en drage med fire hoder:

Eksempel 13

Gitt rette linjer. Påkrevd:

a) bevise at linjer krysser hverandre;

b) finn ligningene til en linje som går gjennom et punkt vinkelrett på de gitte linjene;

c) komponer likninger av en rett linje som inneholder vanlig vinkelrett Kryssende linjer;

d) finn avstanden mellom linjene.

Løsning: Den som går vil mestre veien:

a) La oss bevise at linjer krysser hverandre. La oss finne punktene og retningsvektorene til disse linjene:

La oss finne vektoren:

La oss beregne blandet produkt av vektorer:

Dermed vektorene ikke koplanar, som betyr at linjene krysser hverandre, som er det som måtte bevises.

Sannsynligvis har alle lenge lagt merke til at for å krysse linjer er verifikasjonsalgoritmen den korteste.

b) Finn ligningene til linjen som går gjennom punktet og er vinkelrett på linjene. La oss lage en skjematisk tegning:

For en forandring la jeg ut en direkte BAK rett, se hvordan det er litt visket ut ved kryssingspunktene. Kryssning? Ja, generelt vil den rette linjen "de" krysses med de originale rette linjene. Selv om vi ikke er interessert i dette øyeblikket, trenger vi bare å konstruere en vinkelrett linje og det er det.

Hva er kjent om den direkte "de"? Poenget som hører til den er kjent. Det er ikke nok guidevektor.

I henhold til betingelsen må den rette linjen være vinkelrett på de rette linjene, noe som betyr at dens retningsvektor vil være ortogonal på retningsvektorene. Allerede kjent fra eksempel nr. 9, la oss finne vektorproduktet:

La oss komponere likningene til den rette linjen "de" ved å bruke et punkt og en retningsvektor:

Klar. I prinsippet kan du endre fortegnene i nevnerne og skrive svaret i skjemaet , men det er ikke behov for dette.

For å sjekke, må du erstatte koordinatene til punktet i de resulterende rettlinjelikningene, og deretter bruke skalært produkt av vektorer sørg for at vektoren virkelig er ortogonal til retningsvektorene "pe one" og "pe two".

Hvordan finne ligningene til en linje som inneholder en felles perpendikulær?

c) Dette problemet vil være vanskeligere. Jeg anbefaler at dummies hopper over dette punktet, jeg vil ikke kjøle ned din oppriktige sympati for analytisk geometri =) Forresten, det kan forresten være bedre for mer forberedte lesere å holde seg unna også, faktum er at når det gjelder kompleksitet er eksempelet skal plasseres sist i artikkelen, men i henhold til presentasjonslogikken skal den ligge her.

Så du må finne ligningene til en linje som inneholder den vanlige perpendikulæren av skjeve linjer.

- dette er et segment som forbinder disse linjene og vinkelrett på disse linjene:

Her er vår kjekke fyr: - vanlig vinkelrett på kryssende linjer. Han er den eneste. Det er ingen andre som det. Vi må lage ligninger for linjen som inneholder dette segmentet.

Hva er kjent om det direkte "um"? Retningsvektoren er kjent, funnet i forrige avsnitt. Men dessverre kjenner vi ikke et enkelt punkt som tilhører den rette linjen "em", og vi kjenner heller ikke endene på perpendikulæren - punktene . Hvor skjærer denne vinkelrette linjen de to opprinnelige linjene? I Afrika, i Antarktis? Fra den første gjennomgangen og analysen av tilstanden er det ikke klart hvordan problemet skal løses... Men det er et vanskelig triks knyttet til bruken av parametriske ligninger for en rett linje.

Vi vil formulere beslutningen punkt for punkt:

1) La oss omskrive ligningene til den første linjen i parametrisk form:

La oss vurdere poenget. Vi kjenner ikke koordinatene. MEN. Hvis et punkt tilhører en gitt linje, tilsvarer dets koordinater , la oss betegne det med . Deretter vil koordinatene til punktet skrives i formen:

Livet blir bedre, en ukjent er fortsatt ikke tre ukjente.

2) Den samme utåden må utføres på det andre punktet. La oss omskrive ligningene til den andre linjen i parametrisk form:

Hvis et punkt hører til en gitt linje, da med en veldig spesifikk betydning dens koordinater må tilfredsstille de parametriske ligningene:

Eller:

3) Vektor, i likhet med den tidligere funnet vektoren, vil være den rette vektoren til den rette linjen. Hvordan konstruere en vektor fra to punkter ble diskutert i uminnelige tider i klassen Vektorer for dummies. Nå er forskjellen at koordinatene til vektorene er skrevet med ukjente parameterverdier. Hva så? Ingen forbyr å trekke de tilsvarende koordinatene til begynnelsen av vektoren fra koordinatene til slutten av vektoren.

Det er to punkter: .

Finne vektoren:

4) Siden retningsvektorene er kollineære, er den ene vektoren lineært uttrykt gjennom den andre med en viss proporsjonalitetskoeffisient "lambda":

Eller koordinere for koordinat:

Det viste seg å være det mest ordinære system av lineære ligninger med tre ukjente, som er standard løsbare, for eksempel, Cramers metode. Men her er det mulig å slippe unna med lite tap; fra den tredje ligningen vil vi uttrykke "lambda" og erstatte den med den første og andre ligningen:

Dermed: , og vi trenger ikke «lambda». Det faktum at parameterverdiene viste seg å være de samme er en ren ulykke.

5) Himmelen er helt klar, la oss erstatte de funnet verdiene til våre poeng:

Retningsvektoren er ikke spesielt nødvendig, siden dens motstykke allerede er funnet.

Det er alltid interessant å sjekke etter en lang reise.

:

De riktige likhetene oppnås.

La oss erstatte koordinatene til punktet i ligningene :

De riktige likhetene oppnås.

6) Sluttakkord: la oss lage likningene til en rett linje ved å bruke et punkt (du kan ta det) og en retningsvektor:

I prinsippet kan du velge et "godt" punkt med intakte koordinater, men dette er kosmetisk.

Hvordan finne avstanden mellom kryssende linjer?

d) Vi kuttet av det fjerde hodet til dragen.

Metode én. Ikke engang en metode, men et lite spesialtilfelle. Avstanden mellom kryssende linjer er lik lengden på deres felles vinkelrett: .

Ekstreme punkter av den vanlige perpendikulæren funnet i forrige avsnitt, og oppgaven er elementær:

Metode to. I praksis er oftest endene av den vanlige perpendikulæren ukjente, så en annen tilnærming brukes. Parallelle plan kan tegnes gjennom to kryssende rette linjer, og avstanden mellom disse planene er lik avstanden mellom disse rette linjene. Spesielt stikker en vanlig perpendikulær ut mellom disse planene.

I løpet av analytisk geometri, fra betraktningene ovenfor, utledes en formel for å finne avstanden mellom kryssende rette linjer:
(i stedet for punktene våre "um one, two" kan du ta vilkårlige punkter med linjer).

Blandet produkt av vektorer allerede funnet i punkt "a": .

Vektorprodukt av vektorer funnet i avsnittet "be": , la oss beregne lengden:

Dermed:

La oss stolt vise trofeene på én rad:

Svar:
EN) , som betyr at rette linjer krysser hverandre, som er det som krevdes for å bevises;
b) ;
V) ;
G)

Hva annet kan du fortelle om å krysse linjer? Det er en definert vinkel mellom dem. Men vi vil vurdere den universelle vinkelformelen i neste avsnitt:

Kryssende rette rom ligger nødvendigvis i samme plan:

Den første tanken er å lene seg på skjæringspunktet med all kraft. Og jeg tenkte umiddelbart, hvorfor nekte deg selv de rette ønskene?! La oss komme på toppen av henne akkurat nå!

Hvordan finne skjæringspunktet mellom romlige linjer?

Eksempel 14

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: La oss skrive om linjelikningene i parametrisk form:

Denne oppgaven ble diskutert i detalj i eksempel nr. 7 i denne leksjonen (se. Ligninger av en linje i rommet). Og forresten, jeg tok selve de rette linjene fra eksempel nr. 12. Jeg vil ikke lyve, jeg er for lat til å komme med nye.

Løsningen er standard og har allerede blitt funnet da vi prøvde å finne ut likningene for den vanlige perpendikulæren av kryssende linjer.

Skjæringspunktet for linjene tilhører linjen, derfor tilfredsstiller dens koordinater de parametriske ligningene til denne linjen, og tilsvarer dem en veldig spesifikk parameterverdi:

Men dette samme punktet hører også til den andre linjen, derfor:

Vi setter likhetstegn mellom de tilsvarende ligningene og utfører forenklinger:

Et system med tre lineære ligninger med to ukjente er oppnådd. Hvis linjene krysser hverandre (som er bevist i eksempel nr. 12), så er systemet nødvendigvis konsistent og har en unik løsning. Det kan løses Gaussisk metode, men vi vil ikke synde med slik barnehagefetisjisme, vi vil gjøre det enklere: fra den første ligningen uttrykker vi "te null" og erstatter den med den andre og tredje ligningen:

De to siste ligningene viste seg i hovedsak å være like, og det følger av dem at . Deretter:

La oss erstatte den funnet verdien av parameteren i ligningene:

Svar:

For å sjekke, erstatter vi den funnet verdien av parameteren i ligningene:
Det ble oppnådd de samme koordinatene som måtte kontrolleres. Omhyggelige lesere kan erstatte koordinatene til punktet i de originale kanoniske linjelikningene.

Forresten, det var mulig å gjøre det motsatte: finn punktet gjennom "es zero", og sjekk det gjennom "te zero".

En velkjent matematisk overtro sier: der skjæringspunktet mellom linjer diskuteres, lukter det alltid perpendikulære.

Hvordan konstruere en romlinje vinkelrett på en gitt?

(linjer krysser hverandre)

Eksempel 15

a) Skriv ned likningene til en linje som går gjennom et punkt vinkelrett på linjen (linjer krysser hverandre).

b) Finn avstanden fra punktet til linjen.

Merk : klausul "linjer krysser hverandre" - betydelige. Gjennom poenget
du kan tegne et uendelig antall vinkelrette linjer som vil krysse den rette linjen "el". Den eneste løsningen oppstår i tilfellet når en rett linje vinkelrett på et gitt punkt tegnes to gitt av en rett linje (se eksempel nr. 13, punkt "b").

EN) Løsning: Vi betegner den ukjente linjen med . La oss lage en skjematisk tegning:

Hva er kjent om den rette linjen? I henhold til betingelsen gis det et poeng. For å komponere likningene til en rett linje, er det nødvendig å finne retningsvektoren. Vektoren er ganske egnet som en slik vektor, så vi skal håndtere den. Mer presist, la oss ta den ukjente enden av vektoren i nakken.

1) La oss ta ut retningsvektoren fra ligningene til den rette linjen "el", og omskrive selve ligningene i parametrisk form:

Mange gjettet at nå for tredje gang i løpet av leksjonen vil magikeren trekke en hvit svane opp av hatten. Tenk på et punkt med ukjente koordinater. Siden punktet er , tilfredsstiller koordinatene de parametriske ligningene til den rette linjen "el", og de tilsvarer en spesifikk parameterverdi:

Eller på én linje:

2) I henhold til betingelsen må linjene være vinkelrette, derfor er retningsvektorene ortogonale. Og hvis vektorene er ortogonale, så deres skalært produkt er lik null:

Hva skjedde? Den enkleste lineære ligningen med en ukjent:

3) Verdien av parameteren er kjent, la oss finne poenget:

Og retningsvektoren:
.

4) Vi skal komponere likningene til en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor :

Andelens nevnere viste seg å være brøk, og dette er akkurat tilfelle når det er hensiktsmessig å kvitte seg med brøker. Jeg multipliserer dem med -2:

Svar:

Merk : en strengere avslutning på løsningen er formalisert som følger: la oss komponere likningene til en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor . Faktisk, hvis en vektor er veiledende vektor for en rett linje, vil den kollineære vektoren naturligvis også være veiledende vektor for denne rette linjen.

Verifikasjonen består av to stadier:

1) sjekk retningsvektorene til linjene for ortogonalitet;

2) vi erstatter koordinatene til punktet i ligningene til hver linje, de skal "passe" både der og der.

Det var mye snakk om typiske handlinger, så jeg sjekket et utkast.

Forresten, jeg glemte et annet punkt - å konstruere et punkt "zyu" symmetrisk til punktet "en" i forhold til den rette linjen "el". Imidlertid er det en god "flat analog", som finnes i artikkelen De enkleste problemene med en rett linje på et fly. Her vil den eneste forskjellen være i den ekstra "Z"-koordinaten.

Hvordan finne avstanden fra et punkt til en linje i rommet?

b) Løsning: La oss finne avstanden fra et punkt til en linje.

Metode én. Denne avstanden er nøyaktig lik lengden på perpendikulæren: . Løsningen er åpenbar: hvis punktene er kjent , Det:

Metode to. I praktiske problemer er basen av perpendikulæren ofte en forseglet hemmelighet, så det er mer rasjonelt å bruke en ferdig formel.

Avstanden fra et punkt til en linje uttrykkes med formelen:
, hvor er retningsvektoren til den rette linjen "el", og - gratis et punkt som tilhører en gitt linje.

1) Fra likningene til linjen vi tar ut retningsvektoren og det mest tilgjengelige punktet.

2) Punktet er kjent fra betingelsen, skjerp vektoren:

3) La oss finne vektor produkt og beregne lengden:

4) Beregn lengden på guidevektoren:

5) Dermed er avstanden fra et punkt til en linje:

Leksjonsoversikt

Trekant Vinkel Sum Teorem

1. Fullt navn: Sayfetdinova Gulnara Vasilevna

2. Arbeidssted: Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon "Knyazevskaya ungdomsskole" i Tukaevsky-distriktet i republikken Tatarstan

3. Jobbtittel: matematikklærer

4. Punkt: geometri

5. Klasse: 7. klasse

6. Leksjonens tema: Avstand fra et punkt til en linje. Avstand mellom parallelle linjer.

7. Grunnleggende opplæring: Geometri.7-9 karakterer: lærebok for utdanningsinstitusjoner / forfatter. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov,

S.B. Kadomtsev et al., 2010

8. Mål:

Aktivitetsmål: skape forhold for uavhengig formulering og bevis på egenskapene til skrå og perpedikulær fall fra et punkt til en linje, teoremet om ekvidistansen til punkter på parallelle linjer; organisere elevenes aktiviteter for å oppfatte, forstå og i utgangspunktet konsolidere ny kunnskap og aktivitetsmetoder.

Utdanningsmål:

Emne:

anvende begrepene avstand fra et punkt til en linje, avstand mellom linjer når du løser problemer

Metaemne:

Regulatorisk UUD:

Kognitiv UUD:

Kommunikasjon UUD:

Personlig UUD:

10. Læringsmetoder: problematisk, forskning.
11.Former for organisering av pedagogiske aktiviteter: frontal, gruppe, par, individuell, treningsstrukturer.

12. Utstyr, tekniske forhold:

Datamaskin, projektor, lerret, Internett, programvare: Microsoft Power Point, klasseplasser - 4 personer per bord.

13.Leksjonens varighet: 45 minutter

14.Leksjonsplan

Jeg . Organisering av tid.

II . Oppdatering av kunnskap.

III . Sette et leksjonsmål . Introduksjon av nytt materiale.

VI. Oppsummering. Speilbilde.

Jeg . Organisering av tid.

Mål: forberede elevene til arbeid, aktivere oppmerksomhet for rask inkludering i aktiviteter.

Lærer : Hei folkens? Hvordan føler du deg? La oss heve ham og starte leksjonen med et smil! La oss smile til partnerens ansikt! La oss smile til partnerens skulder!

II . Oppdatering av kunnskap.

Lærer : Du har studert et nytt emne i geometri i seks måneder nå, og du vet sannsynligvis hva et teorem er. Hvilke bevismetoder kjenner du til?

Mulige elevsvar: Metode ved selvmotsigelse, konstruktiv metode, bevismetode basert på aksiomer og tidligere påviste teoremer (lysbilde nr. 2).

Lærer: Gutter, hvilke assosiasjoner har dere til ordet avstand?

Mulige elevsvar: Avstanden mellom byer, avstanden mellom pilarer, avstanden fra noe til noe (lysbilde nummer 3).

Lærer: Hva er avstanden mellom to punkter?

Mulige elevsvar: Seksjonslengde (lysbilde nummer 4).

Lærer: Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 1

Lærer: Vær oppmerksom på at i geometri refererer avstand til den korteste avstanden. Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 2

Lærer: Hva kan sies om den relative posisjonen til rett linje AN og rett linje a?

Lærer: Hva heter disse linjene?

Lærer: EN Hva er navnet på segmentet AN?

Lærer: Husk: En perpendikulær er et segment. Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 3.

III. Sette mål for leksjonen.Introduksjon av nytt materiale.

Lærer: Praktisk oppgave:

Vi er på et jorde, en vei går gjennom åkeren. Tegn en matematisk modell av situasjonen. Vi må på veien. Tegn banen (lysbilde nr. 6).

Lærer: Hvordan kan man definere denne banen i matematisk språk? Mulige elevsvar: Vinkelrett

Lærer: Hvorfor ikke? –

Prøv å gi den et navn (lysbilde nummer 7).

Mulige elevsvar: Tilbøyelig.

Lærer: Hvor mange skrå linjer kan trekkes fra dette punktet?

Mulige elevsvar: En haug med.

(lysbilde nummer 7).

Lærer: Så du tror den korteste veien er en vinkelrett? Bevis det.

Lærer: Bevis nå at enhver skrå linje er større enn en vinkelrett linje.

Hva ser vi på bildet?

Mulige elevsvar: rettvinklet (lysbilde nr. 8).

Lærer: Hva heter vinkelrett og skrå i denne trekanten? Mulige elevsvar: ben og hypotenuse.

Lærer: Hvorfor er hypotenusen større enn benet?

Mulige elevsvar: Motsatt den større vinkelen er den større siden. Den største vinkelen i en rettvinklet trekant er en rett vinkel. Motsatt den ligger hypotenusen.

Lærer. Hva annet kan du kalle segment AC? Hva om vi går tilbake til innholdet i oppgaven?

Mulige elevsvar: Avstand fra punkt til linje .

Lærer: Formuler definisjonen: «Avstanden fra et punkt til en linje er... (lengden på perpendikulæren trukket fra dette punktet til linjen)» (lysbilde nr. 9). Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 4.

Lærer: Praktisk oppgave.

Finn avstanden fra punkt B til rette linjer A D OgDC ved hjelp av en tegnetrekant og en linjal (lysbilde nr. 10) teknologisk kart punkt 6

Lærer: Praktisk oppgave. Konstruer to parallelle linjer a og b. Marker punkt A på linje a. Slipp en perpendikulær fra punkt A til linje b. Plasser punkt B ved bunnen av perpendikulæren.

Hva kan du si om segment AB? (lysbilde nummer 11).

Den er vinkelrett på både linje a og linje b.

Lærer: Derfor kalles den felles perpendikulær (slide nr. 13). Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 5

Lærer: Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 6

Lærer: Oppgave. Det er påkrevd å legge linoleum på gulvet i en lang korridor. Det er kjent at to motsatte vegger er parallelle. En felles perpendikulær ble tegnet i den ene enden av korridoren, og lengden viste seg å være 4 m. Er det verdt å kontrollere lengdene på felles perpendikulære på nytt andre steder i korridoren? (lysbilde nummer 14).

Mulige elevsvar: Ikke nødvendig, lengdene deres vil også være lik 4.

Lærer: Bevis det. Men først, tegn en matematisk modell av denne situasjonen. For å bevise, fremhev hva som er kjent og hva som må bevises.

Hvordan er likheten mellom segmenter og vinkler vanligvis bevist i geometri?

Mulige elevsvar: Gjennom likheten av trekanter som inneholder disse segmentene og vinklene. Kom opp med en konstruksjon som vil tillate oss å bevise likheten til disse trekantene.

Struktur EnkeltRundRobin:

2. Fire elever i et team svarer én gang.

Lærer: Bevis likhet segmentene AB og CD gjennom likestilling av trekanter . På skilttavlen skriver du ned de tre betingelsene for triangellikhetsprøven.

1.Læreren stiller et spørsmål og gir tid til å tenke

Elevene utfører tilleggskonstruksjoner, beviser likheten til trekanter, trekker en konklusjon om likheten til segmentene AB og CD (lysbilde nr. 15-17).

Lærer: Segmenter AB og CD er like. Hva kan sies om punktene A og C i forhold til rett linje BD?

Mulige elevsvar: De er på lik avstand. De er like langt (lysbilde nummer 18).

Lærer: Holder denne egenskapen for noen poeng?

Mulige elevsvar: Ja

Lærer: La oss prøve å formulere denne egenskapen. Hva består en eiendomsoppgave av?

Mulige elevsvar: Fra tilstanden og konklusjonen (lysbilde nr. 19,20).

Mulige elevsvar: Hvis punktene ligger på en av de parallelle linjene, er de like langt fra den andre linjen.

Lærer: Rediger denne egenskapen uten konjunksjoner: if, then (lysbilde nummer 21).

Mulige elevsvar: Punkter som ligger på en av de parallelle linjene er like langt fra den andre linjen.

Tenk-Skriv-Round Robin-struktur:

1.Læreren stiller et spørsmål og gir tid til å tenke

2. Elevene tenker og skriver ned svaret på papiret sitt

3. Elevene bytter på å lese svaret sitt fra et stykke papir.

Lærer: Hvilket utsagn kalles det motsatte?

Mulige elevsvar: Hvis betingelsen og konklusjonen byttes.

Lærer: Formuler det motsatte utsagnet (lysbilde nummer 22).

Mulige elevsvar: Hvis punkter som ligger på en av to linjer er like langt fra den andre linjen, så er linjene parallelle.

Lærer: Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 7,8.

Lærer: Er det mulig å definere et slikt konsept som avstanden mellom parallelle linjer?

Mulige elevsvar: Ja

Lærer: Det som kan kalles avstanden mellom parallelle linjer

Mulige elevsvar: Lengden på den vanlige perpendikulæren. Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 5.

IV. Anvendelse av teoremet, utførelsepraktisk jobb.

Lærer: Praktisk jobb. Finn bredden på stripen.

Hvilket matematisk konsept er bredden på en stripe?

Lærer: Hvor ellers brukes disse teoremene i det praktiske livet?

VI. Oppsummering. Speilbilde.

Lærer: Hvilke nye konsepter ble du kjent med?

Hva lærte du i timen?

Hvor i livet skal vi bruke dette?

(lysbilde nr. 26-28)

Lærer: Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 9

Lekse nr. 276.279 – bevis på omvendt teoremet.

Selvanalyse av leksjonen

Mål:

Aktivitetsmål: skape forhold for selvstendig å formulere og bevise egenskapene til skrånende og perpedikulære fall fra et punkt til en rett linje, skape forhold for å bevise teoremet om ekvidistansen til punkter på parallelle linjer; organisere elevenes aktiviteter for å oppfatte, forstå og i utgangspunktet konsolidere ny kunnskap og aktivitetsmetoder.

Utdanningsmål: utvikle kunnskapen om at en perpendikulær er mindre enn noen skrånende, trukket fra ett punkt til en rett linje, alle punktene på hver av to parallelle linjer er like langt fra den andre rette linjen.

Emne: studenten vil få muligheten til å lære:

bruke teoremet til å løse praktiske problemer

analysere, sammenligne, generalisere, trekke konklusjoner for å løse praktiske problemer.

Metaemne:

Regulatorisk UUD:

evnen til selvstendig å sette mål, velge og lage algoritmer for å løse pedagogiske matematiske problemer;

evne til å planlegge og gjennomføre aktiviteter rettet mot å løse forskningsproblemer.

Kognitiv UUD:

• • evnen til å etablere årsak-virkningsforhold, bygge logiske resonnementer, slutninger, konklusjoner;

  • evnen til å fremsette hypoteser når du løser pedagogiske problemer og forstå behovet for å teste dem; evnen til å bruke induktive og deduktive metoder for resonnement, til å se ulike strategier for å løse problemer;

  • utvikle innledende ideer om ideer og metoder for matematikk som et universelt vitenskapsspråk, et middel til å modellere fenomener og prosesser;

  • evne til å forstå og bruke tegninger og tegninger til illustrasjon, tolkning, argumentasjon.

Kommunikasjon UUD:

• evnen til å organisere pedagogisk samarbeid og felles aktiviteter med lærer og studenter, bestemme mål, fordele funksjoner og roller til deltakere, generelle måter å jobbe på;

• evne til å jobbe i gruppe: finne en felles løsning og løse konflikter basert på å koordinere posisjoner og ta hensyn til interesser, lytte til en partner, formulere, argumentere og forsvare sin mening.

Personlig UUD:

• dannelse av kommunikativ kompetanse i kommunikasjon og samarbeid i felles utdannings- og forskningsaktiviteter;

  utvikling av evnen til å tydelig, nøyaktig, kompetent uttrykke sine tanker i muntlig og skriftlig tale, forstå betydningen av oppgaven, bygge et argument, gi eksempler og moteksempler;

  utvikling av kritisk tenkning, evnen til å gjenkjenne logisk ukorrekte utsagn, skille en hypotese fra et faktum;

  utvikle kreativ tenkning, initiativ, oppfinnsomhet og aktivitet for å løse geometriske problemer.

Strukturen til leksjonsfragmentet samsvarte med typen - en leksjon om å oppdage ny kunnskap. I samsvar med målene og innholdet i materialet ble leksjonen strukturert i henhold til følgende trinn:

Jeg . Organisering av tid.

II . Oppdatering av kunnskap.

III . Sette et leksjonsmål . Introduksjon av nytt materiale.

IV. Anvendelse av teoremet, gjennomføring av praktisk arbeid.

VI. Oppsummering.

Alle strukturelle elementer i leksjonen ble fulgt. Organiseringen av utdanningsløpet er basert på aktivitetsmetoden.

Hensikten med den første fasenDet var enkelt å raskt integrere studenter i forretningsrytmen.

På andre trinn kunnskapen som er nødvendig for å arbeide med nytt materiale ble oppdatert.

På det tredje stadietFor å definere begrepene avstand fra et punkt til en linje, tiltrakk begrepet en skrå linje barn til praktiske aktiviteter med søkeelementer. Først, på et intuitivt nivå, la elevene frem en hypotese, og beviste deretter uavhengig egenskapen til en vinkelrett og en skrå trukket fra ett punkt til en rett linje.

Generelt brukte jeg praktiske oppgaver gjennom hele leksjonen, inkludert under den innledende konsolideringen. De bidrar til å tiltrekke studenter til selvstendig kognitiv aktivitet, og løser problemene med en kompetansebasert tilnærming til læring.

For å formulere og bevise teoremet om ekvidistansen til punkter på parallelle linjer, brukte jeg en problematisk oppgave, som bidro til formuleringen av en hypotese om egenskapene til objektene som vurderes, og det påfølgende søket etter bevis for gyldigheten av antagelsen framover.

Ved å organisere arbeidet med å formulere teoremet, og deretter det inverse teoremet, nådde jeg målet mittutvikling av innledende ideer om ideer og metoder for matematikk som et universelt vitenskapsspråk, et middel til å modellere fenomener og prosesser.

Pedagogiske og kognitive aktiviteter ble organisert gjennom frontalarbeid, individuelt og gruppearbeid. Denne organisasjonen gjorde det mulig å inkludere hver elev i aktive aktiviteter for å nå målet. Studentene samarbeidet med hverandre og ga gjensidig hjelp.

Tiden tror jeg ble fordelt rasjonelt. I løpet av kort tid klarte vi å introdusere begrepene avstand fra et punkt til en rett linje, en skrå linje, avstanden mellom parallelle rette linjer, formulere og bevise to teoremer, og vurdere anvendelsen av teoremet i praksis.

For klarhetens skyld brukte jeg en presentasjon under leksjonen. Jeg brukte et spesielt program for en demonstrasjon for å sammenligne lengden på en skrå og en perpendikulær, der geometriske former kommer til live. I løpet av timen brukte jeg elevarbeid på signaltavlen, som løser problemene med lik elevdeltakelse i timen, kontroll over innlæringen av stoffet, og selvfølgelig aktiviserer eleven i timen.

Elevene var aktive i timen, jeg klarte å involvere dem i forskningsaktiviteter, kreative aktiviteter, med en konstruktiv metode for å bevise teoremet, formulere teoremet

På slutten av timen formulerte elevene selv temaet.

Speilbilde