Dalam kehidupan, kita selalunya perlu berhadapan dengan masalah matematik: di sekolah, di universiti, dan kemudian membantu anak kita membuat kerja rumah. Orang dalam profesion tertentu akan menghadapi matematik setiap hari. Oleh itu, adalah berguna untuk menghafal atau mengingat kembali peraturan matematik. Dalam artikel ini kita akan melihat salah satu daripadanya: mencari sisi segi tiga tepat.
Apakah segi tiga tepat
Pertama, mari kita ingat apa itu segi tiga tepat. Segitiga tepat ialah rajah geometri tiga segmen yang menghubungkan titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dan salah satu sudut rajah ini ialah 90 darjah. Sisi yang membentuk sudut tegak dipanggil kaki, dan sisi yang terletak bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus.
Mencari kaki segi tiga tepat
Terdapat beberapa cara untuk mengetahui panjang kaki. Saya ingin mempertimbangkan mereka dengan lebih terperinci.
Teorem Pythagoras untuk mencari sisi segi tiga tepat
Jika kita mengetahui hipotenus dan kaki, maka kita boleh mencari panjang kaki yang tidak diketahui menggunakan teorem Pythagoras. Bunyinya seperti ini: "Kuasa dua sisi miring adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki." Formula: c²=a²+b², dengan c ialah hipotenus, a dan b ialah kaki. Kami mengubah formula dan mendapat: a²=c²-b².
Contoh. Hipotenus ialah 5 cm, dan kaki ialah 3 cm. Kami mengubah formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Seterusnya kita selesaikan: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Nisbah trigonometri untuk mencari kaki segi tiga tegak
Anda juga boleh mencari kaki yang tidak diketahui jika mana-mana sisi lain dan sebarang sudut akut bagi segi tiga tegak diketahui. Terdapat empat pilihan untuk mencari kaki menggunakan fungsi trigonometri: sinus, kosinus, tangen, kotangen. Jadual di bawah akan membantu kami menyelesaikan masalah. Mari kita pertimbangkan pilihan ini.
Cari kaki segi tiga tepat menggunakan sinus
Sinus suatu sudut (sin) ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus. Formula: sin=a/c, dengan a ialah kaki bertentangan dengan sudut yang diberikan, dan c ialah hipotenus. Seterusnya, kita menukar formula dan mendapat: a=sin*c.
Contoh. Hipotenus ialah 10 cm, sudut A ialah 30 darjah. Menggunakan jadual, kami mengira sinus sudut A, ia sama dengan 1/2. Kemudian, menggunakan formula yang diubah, kita selesaikan: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Cari kaki segi tiga tepat menggunakan kosinus
Kosinus sudut (cos) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus. Formula: cos=b/c, dengan b ialah kaki yang bersebelahan dengan sudut tertentu, dan c ialah hipotenus. Mari kita ubah formula dan dapatkan: b=cos*c.
Contoh. Sudut A adalah sama dengan 60 darjah, hipotenus adalah sama dengan 10 cm. Menggunakan jadual, kita mengira kosinus sudut A, ia adalah sama dengan 1/2. Seterusnya kita selesaikan: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Cari kaki segi tiga tepat menggunakan tangen
Tangen bagi sudut (tg) ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Formula: tg=a/b, dengan a ialah sisi bertentangan dengan sudut, dan b ialah sisi bersebelahan. Mari kita ubah formula dan dapatkan: a=tg*b.
Contoh. Sudut A adalah bersamaan dengan 45 darjah, hipotenus adalah sama dengan 10 cm Menggunakan jadual, kita mengira tangen sudut A, ia adalah sama dengan Selesaikan: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Cari kaki segi tiga tepat menggunakan kotangen
Kotangen sudut (ctg) ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan. Formula: ctg=b/a, dengan b ialah kaki bersebelahan dengan sudut, dan ialah kaki bertentangan. Dalam erti kata lain, kotangen ialah "tangen terbalik." Kami dapat: b=ctg*a.
Contoh. Sudut A ialah 30 darjah, kaki bertentangan ialah 5 cm.Menurut jadual, tangen bagi sudut A ialah √3. Kami mengira: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Jadi sekarang anda tahu bagaimana untuk mencari kaki dalam segi tiga tepat. Seperti yang anda lihat, ia tidak begitu sukar, perkara utama adalah untuk mengingati formula.
Arahan
Sudut yang bertentangan dengan kaki a dan b masing-masing akan dilambangkan dengan A dan B. Hipotenus, mengikut definisi, ialah sisi segi tiga tegak yang bertentangan dengan sudut tegak (manakala hipotenus membentuk sudut lancip dengan sisi lain segi tiga). Kami menandakan panjang hipotenus dengan c.
Anda perlu:
Kalkulator.
Gunakan ungkapan berikut untuk kaki: a=sqrt(c^2-b^2), jika anda mengetahui nilai hipotenus dan kaki yang satu lagi. Ungkapan ini diperoleh daripada teorem Pythagoras, yang menyatakan bahawa kuasa dua hipotenus segitiga adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki. Operator sqrt bermaksud mengambil punca kuasa dua. Tanda "^2" bermaksud menaikkan kepada kuasa kedua.
Gunakan formula a=c*sinA jika anda mengetahui hipotenus (c) dan sudut bertentangan dengan kaki yang dikehendaki (kami melambangkan sudut ini sebagai A).
Gunakan ungkapan a=c*cosB untuk mencari kaki jika anda mengetahui hipotenus (c) dan sudut yang bersebelahan dengan kaki yang dikehendaki (kami melambangkan sudut ini sebagai B).
Kira kaki menggunakan formula a=b*tgA dalam kes di mana kaki b dan sudut bertentangan dengan kaki yang dikehendaki diberikan (kami bersetuju untuk menyatakan sudut ini sebagai A).
Catatan:
Jika dalam masalah anda kaki tidak dijumpai dalam mana-mana cara yang diterangkan, kemungkinan besar ia boleh dikurangkan kepada salah satu daripadanya.
Petua Berguna:
Semua ungkapan ini diperoleh daripada takrifan fungsi trigonometri yang terkenal, oleh itu, walaupun anda terlupa salah satu daripadanya, anda sentiasa boleh mendapatkannya dengan cepat menggunakan operasi mudah. Ia juga berguna untuk mengetahui nilai fungsi trigonometri untuk sudut paling biasa 30, 45, 60, 90, 180 darjah.
Di antara banyak pengiraan yang dilakukan untuk mengira pelbagai kuantiti yang berbeza ialah mencari hipotenus segitiga. Ingat bahawa segitiga ialah polihedron yang mempunyai tiga sudut. Di bawah adalah beberapa cara untuk mengira hipotenus pelbagai segi tiga.
Mula-mula, mari kita lihat cara mencari hipotenus bagi segi tiga tegak. Bagi mereka yang terlupa, segitiga bersudut 90 darjah dipanggil segi tiga tepat. Sisi segi tiga yang terletak pada sisi bertentangan sudut tegak dipanggil hipotenus. Di samping itu, ia adalah sisi terpanjang bagi segi tiga. Bergantung pada nilai yang diketahui, panjang hipotenus dikira seperti berikut:
- Panjang kaki diketahui. Hipotenus dalam kes ini dikira menggunakan teorem Pythagoras, yang berbunyi seperti berikut: kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki. Jika kita menganggap segi tiga tegak BKF, di mana BK dan KF ialah kaki, dan FB ialah hipotenus, maka FB2= BK2+ KF2. Daripada perkara di atas, apabila mengira panjang hipotenus, setiap nilai kaki mesti dikuasakan secara bergilir. Kemudian tambah nombor yang dipelajari dan ekstrak punca kuasa dua daripada hasilnya.
Pertimbangkan contoh: Diberi segitiga dengan sudut tegak. Satu kaki adalah 3 cm, yang lain ialah 4 cm. Cari hipotenus. Penyelesaiannya kelihatan seperti ini.
FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extract dan dapatkan FB=5cm.
- Kaki (BK) dan sudut yang bersebelahan dengannya, yang dibentuk oleh hipotenus dan kaki ini, diketahui. Bagaimana untuk mencari hipotenus segitiga? Mari kita nyatakan sudut α yang diketahui. Mengikut sifat yang menyatakan bahawa nisbah panjang kaki kepada panjang hipotenus adalah sama dengan kosinus sudut antara kaki ini dan hipotenus. Memandangkan segi tiga, ini boleh ditulis seperti ini: FB= BK*cos(α).
- Kaki (KF) dan sudut α yang sama diketahui, hanya sekarang ia akan bertentangan. Bagaimana untuk mencari hipotenus dalam kes ini? Mari kita beralih kepada sifat yang sama bagi segi tiga tepat dan ketahui bahawa nisbah panjang kaki kepada panjang hipotenus adalah sama dengan sinus sudut yang bertentangan dengan kaki. Iaitu, FB= KF * sin (α).
Mari kita lihat satu contoh. Diberi segi tiga tepat BKF yang sama dengan hipotenus FB. Biarkan sudut F sama dengan 30 darjah, sudut kedua B sepadan dengan 60 darjah. Kaki BK juga diketahui, panjangnya sepadan dengan 8 cm. Nilai yang diperlukan boleh dikira seperti berikut:
FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.
- Diketahui (R), diterangkan di sekeliling segi tiga dengan sudut tegak. Bagaimana untuk mencari hipotenus apabila mempertimbangkan masalah sedemikian? Daripada sifat bulatan yang dihadkan di sekeliling segitiga dengan sudut tegak, diketahui bahawa pusat bulatan tersebut bertepatan dengan titik hipotenus, membahagikannya kepada separuh. Dalam kata mudah, jejari sepadan dengan separuh hipotenus. Oleh itu hipotenus adalah sama dengan dua jejari. FB=2*R. Jika anda diberi masalah yang sama di mana bukan jejari, tetapi median diketahui, maka anda harus memberi perhatian kepada sifat bulatan yang dihadkan di sekeliling segitiga dengan sudut tegak, yang mengatakan bahawa jejari adalah sama dengan median yang dilukis kepada hipotenus. Menggunakan semua sifat ini, masalah diselesaikan dengan cara yang sama.
Jika persoalannya ialah bagaimana untuk mencari hipotenus segi tiga tegak sama kaki, maka anda perlu beralih kepada teorem Pythagoras yang sama. Tetapi, pertama sekali, ingat bahawa segitiga sama kaki ialah segi tiga yang mempunyai dua sisi yang sama. Dalam kes segi tiga tegak, sisi adalah sama. Kami mempunyai FB2= BK2+ KF2, tetapi kerana BK= KF kita mempunyai yang berikut: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Seperti yang anda lihat, mengetahui teorem Pythagoras dan sifat segi tiga tepat, menyelesaikan masalah di mana perlu untuk mengira panjang hipotenus adalah sangat mudah. Sekiranya sukar untuk mengingati semua sifat, pelajari formula siap pakai, menggantikan nilai yang diketahui di mana anda boleh mengira panjang hipotenus yang dikehendaki.
Sebelum mencari hipotenus segitiga, anda perlu memahami ciri-ciri yang ada pada rajah ini. Mari kita pertimbangkan yang utama:
- Dalam segi tiga tepat, kedua-dua sudut lancip menambah sehingga 90º.
- Kaki yang terletak bertentangan dengan sudut 30º akan sama dengan ½ saiz hipotenus.
- Jika kaki sama dengan ½ hipotenus, maka sudut kedua akan mempunyai nilai yang sama - 30º.
Terdapat beberapa cara untuk mencari hipotenus dalam segi tiga tegak. Penyelesaian paling mudah ialah mengira menggunakan kaki. Katakan anda tahu nilai-nilai sisi A dan B. Kemudian teorem Pythagoras datang untuk menyelamatkan, memberitahu kita bahawa jika kita kuasa duakan setiap nilai sisi dan meringkaskan data yang diperoleh, kita akan mengetahui apakah hipotenus itu. sama dengan. Jadi kita hanya perlu mengekstrak nilai punca kuasa dua:
Sebagai contoh, jika kaki A = 3 cm dan kaki B = 4 cm, maka pengiraan akan kelihatan seperti ini:
Bagaimana untuk mencari hipotenus melalui sudut?
Satu lagi cara untuk mengetahui hipotenus dalam segi tiga tepat adalah dengan mengira melalui sudut tertentu. Untuk melakukan ini, kita perlu memperoleh nilai melalui formula sinus. Katakan kita tahu saiz kaki (A) dan nilai sudut bertentangan (α). Kemudian keseluruhan penyelesaian terkandung dalam satu formula: C=A/sin(α).
Sebagai contoh, jika panjang kaki ialah 40 cm dan sudut ialah 45°, maka panjang hipotenus boleh diperoleh seperti berikut:
Nilai yang diperlukan juga boleh ditentukan melalui kosinus sudut tertentu. Katakan kita tahu nilai satu kaki (B) dan sudut bersebelahan akut (α). Kemudian untuk menyelesaikan masalah anda memerlukan satu formula: C=B/ cos(α).
Sebagai contoh, jika panjang kaki ialah 50 cm dan sudut ialah 45°, maka hipotenus boleh dikira seperti berikut:
Oleh itu, kami melihat cara utama untuk mengetahui hipotenus dalam segitiga. Apabila menyelesaikan masalah, adalah penting untuk menumpukan perhatian pada data yang tersedia, kemudian mencari kuantiti yang tidak diketahui akan menjadi agak mudah. Anda hanya perlu mengetahui beberapa formula dan proses menyelesaikan masalah akan menjadi mudah dan menyeronokkan.
Menggunakan kalkulator, ekstrak punca kuasa dua perbezaan antara kuasa dua hipotenus dan kaki yang diketahui juga kuasa dua. Kaki ialah sisi segi tiga tepat bersebelahan dengan sudut tepat. Ungkapan ini diperoleh daripada teorem Pythagoras, yang menyatakan bahawa kuasa dua hipotenus segitiga adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki.
Sebelum kita melihat cara yang berbeza untuk mencari kaki dalam segi tiga tepat, mari kita gunakan beberapa notasi. Semak yang mana antara kes yang disenaraikan sepadan dengan keadaan tugas anda dan, bergantung pada ini, ikut perenggan yang sesuai. Ketahui kuantiti yang anda ketahui dalam segitiga berkenaan. Gunakan ungkapan berikut untuk mengira kaki: a=sqrt(c^2-b^2), jika anda mengetahui nilai hipotenus dan kaki yang satu lagi.
Hubungan antara sisi dan sudut rajah geometri ini dibincangkan secara terperinci dalam disiplin matematik trigonometri. Untuk menggunakan persamaan ini, anda perlu mengetahui panjang mana-mana dua sisi segitiga tegak.
Kira panjang salah satu kaki jika dimensi hipotenus dan kaki sebelah lagi diketahui. Jika masalah menentukan hipotenus dan salah satu sudut akut bersebelahan dengannya, gunakan jadual Bradis.
Segitiga dalam akan serupa dengan yang luar, kerana garis tengah selari dengan kaki dan hipotenus, dan sama dengan separuhnya, masing-masing. Oleh kerana hipotenus tidak diketahui, untuk mencari garis tengah M_c anda perlu menggantikan radikal daripada teorem Pythagoras.
Hipotenus ialah sisi terpanjang bagi segi tiga tegak. Ia terletak bertentangan dengan sudut tepat. Panjang hipotenus boleh didapati dalam pelbagai cara. Jika panjang kedua-dua kaki diketahui, maka saiznya dikira menggunakan teorem Pythagoras: jumlah kuasa dua dua kaki adalah sama dengan kuasa dua hipotenus. Mengetahui bahawa jumlah semua sudut ialah 180°, tolak sudut tepat dan sudut yang sudah diketahui.
Apabila mengira parameter segi tiga tepat, adalah penting untuk memberi perhatian kepada nilai yang diketahui dan menyelesaikan masalah menggunakan formula paling mudah. Pertama, mari kita ingat apa itu segi tiga tepat. Segitiga tepat ialah rajah geometri tiga segmen yang menghubungkan titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dan salah satu sudut rajah ini ialah 90 darjah. Terdapat beberapa cara untuk mengetahui panjang kaki.
Formula: c²=a²+b², dengan c ialah hipotenus, a dan b ialah kaki
Jika kita mengetahui hipotenus dan kaki, maka kita boleh mencari panjang kaki yang tidak diketahui menggunakan teorem Pythagoras. Bunyinya seperti ini: "Kuasa dua sisi miring adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki." Terdapat empat pilihan untuk mencari kaki menggunakan fungsi trigonometri: sinus, kosinus, tangen, kotangen. Sinus suatu sudut (sin) ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus. Formula: sin=a/c, dengan a ialah kaki bertentangan dengan sudut yang diberikan, dan c ialah hipotenus.
Sifat luar biasa segi tiga tegak ditemui oleh saintis Yunani purba Pythagoras, yang mendapati bahawa kuasa dua hipotenus dalam segi tiga tersebut adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki.
Ketinggian ialah serenjang yang memanjang dari mana-mana bucu segi tiga ke sisi bertentangan (atau kesinambungannya, untuk segi tiga dengan sudut tumpul). Ketinggian segitiga bersilang pada satu titik, yang dipanggil orthocenter. Jika ia adalah segi tiga tepat sewenang-wenangnya, maka data tidak mencukupi.
Ia juga berguna untuk mengetahui nilai fungsi trigonometri untuk sudut paling biasa 30, 45, 60, 90, 180 darjah. Jika keadaan menentukan dimensi kaki, cari panjang hipotenus. Dalam kehidupan, kita selalunya perlu berhadapan dengan masalah matematik: di sekolah, di universiti, dan kemudian membantu anak kita membuat kerja rumah.
Seterusnya, kita menukar formula dan mendapat: a=sin*c
Jadual di bawah akan membantu kami menyelesaikan masalah. Mari kita pertimbangkan pilihan ini. Kes khas yang menarik ialah apabila salah satu sudut akut adalah sama dengan 30 darjah.
Orang dalam profesion tertentu akan menghadapi matematik setiap hari.
Anda juga boleh mencari kaki yang tidak diketahui jika mana-mana sisi lain dan sebarang sudut akut bagi segi tiga tegak diketahui. Cari sisi segi tiga tepat menggunakan teorem Pythagoras. Selain itu, sisi segi tiga tepat boleh didapati menggunakan pelbagai formula bergantung pada bilangan pembolehubah yang diketahui.