ом За да го направите ова, прво го воведуваме концептот на сегмент.
Дефиниција 1
Отсечка ќе ја наречеме дел од права која е ограничена со точки од двете страни.
Дефиниција 2
Краевите на сегментот се точките што го ограничуваат.
За да ја воведеме дефиницијата за вектор, еден од краевите на сегментот го нарекуваме негов почеток.
Дефиниција 3
Вектор (насочен сегмент) ќе го наречеме отсечка во која се означува која гранична точка е нејзиниот почеток, а која е нејзиниот крај.
Ознака: \overline(AB) е вектор AB кој започнува во точката A и завршува во точката B.
Инаку, со една мала буква: \overline(a) (сл. 1).
Дефиниција 4
Нулта вектор ќе ја наречеме секоја точка што припаѓа на рамнината.
Симбол: \overline(0) .
Сега директно да ја воведеме дефиницијата за колинеарни вектори.
Ќе воведеме и дефиниција за скаларен производ, кој ќе ни треба подоцна.
Дефиниција 6
Скаларниот производ на два дадени вектори е скалар (или број) што е еднаков на производот од должините на овие два вектори со косинус на аголот помеѓу овие вектори.
Математички може да изгледа вака:
\преку линија(а)\преку линија(β)=|\преку линија(а)||\преку линија(β)|cos∠(\преку линија(а),\преку линија(β))
Производот со точки може да се најде и користејќи векторски координати како што следува
\преку линија(а)\преку линија(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Знак на перпендикуларност преку пропорционалност
Теорема 1
За векторите кои не се нула да бидат нормални еден на друг, потребно е и доволно нивниот скаларен производ од овие вектори да биде еднаков на нула.
Доказ.
Неопходност: Да ни бидат дадени вектори \overline(α) и \overline(β) кои имаат координати (α_1,α_2,α_3) и (β_1,β_2,β_3), соодветно, и тие се нормални еден на друг. Тогаш треба да ја докажеме следната еднаквост
Бидејќи векторите \overline(α) и \overline(β) се нормални, аголот помеѓу нив е 90^0. Ајде да го најдеме скаларниот производ на овие вектори користејќи ја формулата од Дефиниција 6.
\преку линија(а)\cdot \преку линија(β)=|\преку линија(а)||\преку линија(β)|cos90^\circ =|\преку линија(а)||\преку линија(β)|\cdot 0=0
Доволност: Нека е вистинита еднаквоста \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Да докажеме дека векторите \overline(α) и \overline(β) ќе бидат нормални еден на друг.
По дефиниција 6, еднаквоста ќе биде вистинита
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\ overline (α), \ overline (β))=0
∠(\ overline (α),\ overline (β))=90^\circ
Затоа, векторите \overline(α) и \overline(β) ќе бидат нормални еден на друг.
Теоремата е докажана.
Пример 1
Докажи дека векторите со координати (1,-5,2) и (2,1,3/2) се нормални.
Доказ.
Ајде да го најдеме скаларниот производ за овие вектори користејќи ја формулата дадена погоре
\преку линија(а)\cdot \преку линија(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Ова значи дека, според теорема 1, овие вектори се нормални.
Наоѓање нормален вектор на два дадени вектори со помош на вкрстениот производ
Прво да го воведеме концептот на векторски производ.
Дефиниција 7
Векторскиот производ на два вектори ќе биде вектор кој ќе биде нормален на двата дадени вектори, а неговата должина ќе биде еднаква на производот од должините на овие вектори со синусот на аголот помеѓу овие вектори, а исто така и овој вектор со два почетните имаат иста ориентација како Декартовиот координатен систем.
Ознака: \преку линија(α)х\прекулин (β) x.
За да го пронајдеме векторскиот производ, ќе ја користиме формулата
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Бидејќи векторот на вкрстениот производ на два вектори е нормален на двата од овие вектори, тој ќе биде векторот. Односно, за да најдете вектор нормален на два вектори, само треба да го пронајдете нивниот векторски производ.
Пример 2
Најдете вектор нормален на вектори со координати \overline(α)=(1,2,3) и \overline(β)=(-1,0,3)
Ајде да го најдеме векторскиот производ на овие вектори.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\прелин(i)-(3+3)\прекулин(j)+(0+2)\прекулин(к)=6\прекулин(i)-6\прекулин(j)+2\прекулин(к) =(6,6,2) x
Оваа статија го открива значењето на перпендикуларноста на два вектори на рамнина во тродимензионален простор и наоѓање на координатите на вектор нормално на еден или на цел пар вектори. Темата е применлива за проблеми кои вклучуваат равенки на прави и рамнини.
Ќе го разгледаме неопходниот и доволен услов за нормалност на два вектори, ќе го решиме методот на наоѓање вектор нормален на даден и ќе допреме ситуации на наоѓање вектор кој е нормален на два вектори.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Неопходен и доволен услов за перпендикуларност на два вектори
Да го примениме правилото за нормални вектори на рамнина и во тродимензионален простор.
Дефиниција 1
Под услов аголот помеѓу два вектори без нула е еднаков на 90 ° (π 2 радијани) се вика нормално.
Што значи ова и во кои ситуации е неопходно да се знае за нивната перпендикуларност?
Воспоставувањето на перпендикуларност е можно преку цртежот. Кога исцртувате вектор на рамнина од дадени точки, можете геометриски да го измерите аголот меѓу нив. Дури и ако се утврди нормалниот однос на векторите, тоа нема да биде целосно точна. Најчесто, овие задачи не ви дозволуваат да го направите ова со помош на транспортер, така што овој метод е применлив само кога ништо друго не се знае за векторите.
Повеќето случаи на докажување на перпендикуларноста на два вектори кои не се нула на рамнина или во вселената се направени со помош на неопходен и доволен услов за перпендикуларност на два вектори.
Теорема 1
Скаларниот производ на два не-нула вектори a → и b → еднаков на нула за да се задоволи еднаквоста a → , b → = 0 е доволен за нивната перпендикуларност.
Доказ 1
Нека дадените вектори a → и b → се нормални, тогаш ќе ја докажеме еднаквоста a ⇀ , b → = 0 .
Од дефиницијата за точка производ на векторизнаеме дека е еднакво производот на должините на дадените вектори и косинусот на аголот меѓу нив. По услов, a → и b → се нормални, што значи, врз основа на дефиницијата, аголот меѓу нив е 90 °. Тогаш имаме a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Втор дел од доказот
Под услов a ⇀, b → = 0, да ја докаже перпендикуларноста на a → и b →.
Всушност, доказот е спротивен од претходниот. Познато е дека a → и b → не се нула, што значи дека од равенството a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ го наоѓаме косинусот. Тогаш добиваме cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Бидејќи косинусот е нула, можеме да заклучиме дека аголот a →, b → ^ на векторите a → и b → е еднаков на 90 °. По дефиниција, ова е неопходен и доволен имот.
Услов на перпендикуларност на координатната рамнина
Поглавје скаларен производ во координатија демонстрира неравенката (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , важи за вектори со координати a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y), на рамнината и (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y за векторите a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) во просторот. Неопходен и доволен услов за нормалноста на два вектори во координатната рамнина е x · b x + a y · b y = 0, за тродимензионален простор a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Ајде да го спроведеме во пракса и да погледнеме примери.
Пример 1
Проверете го својството на перпендикуларност на два вектори a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Решение
За да го решите овој проблем, треба да го пронајдете скаларниот производ. Ако според условот е еднаков на нула, тогаш тие се нормални.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Условот е исполнет, што значи дека дадените вектори се нормални на рамнината.
Одговор:да, дадените вектори a → и b → се нормални.
Пример 2
Дадени се вектори на координати i → , j → , k →. Проверете дали векторите i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → можат да бидат нормални.
Решение
За да запомните како се одредуваат векторските координати, треба да ја прочитате статијата за векторски координати во правоаголен координатен систем.Така, откриваме дека дадените вектори i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имаат соодветни координати (1, - 1, 0) и (1, 2, 2). Ги заменуваме нумеричките вредности и добиваме: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Изразот не е еднаков на нула, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, што значи дека векторите i → - j → и i → + 2 j → + 2 k → не се нормални, бидејќи условот не е исполнет.
Одговор:не, векторите i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не се нормални.
Пример 3
Дадени се вектори a → = (1, 0, - 2) и b → = (λ, 5, 1). Најдете ја вредноста на λ на која овие вектори се нормални.
Решение
Го користиме условот за перпендикуларност на два вектори во просторот во квадратна форма, па добиваме
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Одговор:векторите се нормални на вредноста λ = 2.
Има случаи кога прашањето за перпендикуларност е невозможно дури и под неопходен и доволен услов. Со оглед на познатите податоци за трите страни на триаголник на два вектори, можно е да се најде агол помеѓу вектории проверете го.
Пример 4
Даден е триаголник A B C со страни A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Проверете ги векторите A B → и A C → за перпендикуларност.
Решение
Ако векторите A B → и A C → се нормални, триаголникот A B C се смета за правоаголен. Потоа ја применуваме Питагоровата теорема, каде што B C е хипотенузата на триаголникот. Равенството B C 2 = A B 2 + A C 2 мора да биде точно. Следи дека 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Ова значи дека A B и A C се катети на триаголникот A B C, затоа, A B → и A C → се нормални.
Важно е да научите како да ги пронајдете координатите на вектор нормален на даден. Ова е можно и на рамнината и во просторот, под услов векторите да бидат нормални.
Наоѓање вектор нормално на даден во рамнина.
Ненулта вектор a → може да има бесконечен број на нормални вектори на рамнината. Ајде да го прикажеме ова на координатната линија.
Даден е ненула вектор a → што лежи на права линија a. Тогаш дадена b →, која се наоѓа на која било права нормална на правата a, станува нормална на a →. Ако векторот i → е нормален на векторот j → или кој било од векторите λ · j → со λ еднаков на кој било реален број различен од нула, тогаш наоѓање на координатите на векторот b → нормално на a → = (a x , a y ) се сведува на бесконечно множество решенија. Но, потребно е да се најдат координатите на векторот нормални на a → = (a x , a y) . За да го направите ова, неопходно е да се запише условот за перпендикуларност на вектори во следната форма: a x · b x + a y · b y = 0. Имаме b x и b y, кои се саканите координати на нормалниот вектор. Кога a x ≠ 0, вредноста на b y е не-нула, а b x може да се пресмета од неравенството a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. За x = 0 и a y ≠ 0, му доделуваме на b x која било вредност различна од нула, и наоѓаме b y од изразот b y = - a x · b x a y .
Пример 5
Даден е вектор со координати a → = (- 2 , 2) . Најдете вектор нормален на ова.
Решение
Да го означиме саканиот вектор како b → (b x , b y) . Неговите координати може да се најдат од условот векторите a → и b → да се нормални. Тогаш добиваме: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Да го доделиме b y = 1 и да го замениме: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Оттука, од формулата добиваме b x = - 2 - 2 = 1 2. Тоа значи дека векторот b → = (1 2 , 1) е вектор нормален на a → .
Одговор: b → = (1 2 , 1) .
Ако се постави прашањето за тродимензионален простор, проблемот се решава по истиот принцип. За даден вектор a → = (a x , a y , a z) има бесконечен број на нормални вектори. Ќе се поправи ова на тродимензионална координатна рамнина. Дадено е → лежи на правата a. Рамнината нормална на правата a се означува со α. Во овој случај, секој ненулти вектор b → од рамнината α е нормален на a →.
Потребно е да се најдат координатите на b → нормално на векторот не-нула a → = (a x , a y , a z) .
Нека b → е дадена со координати b x, b y и b z. За да се најдат, потребно е да се примени дефиницијата за условот на перпендикуларност на два вектори. Мора да се задоволи еднаквоста a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Од условот a → е не-нула, што значи дека една од координатите има вредност не еднаква на нула. Да претпоставиме дека a x ≠ 0, (a y ≠ 0 или a z ≠ 0). Затоа, имаме право да ја поделиме целата неравенка a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 со оваа координата, го добиваме изразот b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x. На координатите b y и b x им доделуваме која било вредност, ја пресметуваме вредноста на b x врз основа на формулата, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Посакуваниот нормален вектор ќе има вредност a → = (a x, a y, a z).
Ајде да го погледнеме доказот користејќи пример.
Пример 6
Даден е вектор со координати a → = (1, 2, 3) . Најдете вектор нормален на дадениот.
Решение
Да го означиме саканиот вектор со b → = (b x , b y , b z) . Врз основа на условот векторите да се нормални, скаларниот производ мора да биде еднаков на нула.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Ако вредноста на b y = 1, b z = 1, тогаш b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Следи дека координатите на векторот b → (- 5 , 1 , 1) . Векторот b → е еден од векторите нормален на дадениот.
Одговор: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Наоѓање на координатите на вектор нормален на два дадени вектори
Треба да ги најдеме координатите на векторот во тродимензионален простор. Тоа е нормално на неколинеарните вектори a → (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . Под услов векторите a → и b → да се колинеарни, доволно е да се најде вектор нормален на a → или b → во задачата.
При решавање се користи концептот на векторски производ на вектори.
Векторски производ на вектори a → и b → е вектор кој е истовремено нормален и на a → и на b →. За да се реши овој проблем, се користи векторскиот производ a → × b →. За тродимензионален простор има форма a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Ајде да го разгледаме векторскиот производ подетално користејќи примерен проблем.
Пример 7
Дадени се векторите b → = (0, 2, 3) и a → = (2, 1, 0). Најдете ги координатите на кој било вектор нормален на податоците истовремено.
Решение
За да го решите, треба да го пронајдете векторскиот производ на вектори. (Ве молиме погледнете го ставот пресметување на детерминанта на матрицада се најде векторот). Добиваме:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Одговор: (3 , - 6 , 4) - координати на вектор кој е истовремено нормален на дадените a → и b → .
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Во делот за прашањето, најдете вектор нормален на два дадени вектори дадени од авторот Ана Афанасеванајдобриот одговор е: Вектор нормално на два непаралелни вектори е пронајден како нивен векторски производ xb, за да го најдете треба да составите детерминанта, чија прва линија ќе се состои од единечните вектори I, j, k, вториот од координатите на векторот a, третиот од координатите на векторот b. Детерминантата се смета за проширување по првата линија, во вашиот случај добивате akhv=20i-10k, или ahv=(20,0,-10).
Одговор од 22 одговори[гуру]
Здраво! Еве избор на теми со одговори на вашето прашање: најдете вектор нормален на два дадени вектори
Одговор од се истегнува[новороденче]
Вектор нормално на два непаралелни вектори е пронајден како нивен векторски производ xb, за да го најдете треба да составите детерминанта, чија прва линија ќе се состои од единечните вектори I, j, k, втората - од координатите на векторот a, третиот - од координатите на векторот b. Детерминантата се смета за проширување по првата линија, во вашиот случај добивате akhv=20i-10k, или ahv=(20,0,-10).
Одговор од ХАЈКА[гуру]
Отприлика решете го вака; Но, прво прочитајте сè сами!! !
Пресметај го скаларниот производ на векторите d и r ако d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Модулот на векторот a е 4, модулот на векторот b е 6. Аголот помеѓу векторите a и b е 60 степени, векторот c е нормален на векторите a и b.
Точките E и F лежат соодветно на страните AD и BC на паралелограмот ABCD, со AE = ED, BF: FC = 4: 3. а) Изразете го векторот EF во однос на векторите m = вектор AB и векторот n = вектор AD. б) Дали векторот на еднаквост EF = x помножен со векторскиот CD може да важи за која било вредност од x? .
Инструкции
Ако оригиналниот вектор е прикажан на цртежот во правоаголен дводимензионален координатен систем и таму треба да се конструира нормален, постапете од дефиницијата за перпендикуларност на вектори на рамнина. Тој наведува дека аголот помеѓу таков пар насочени сегменти мора да биде еднаков на 90 °. Може да се конструираат бесконечен број такви вектори. Затоа, нацртајте нормална на оригиналниот вектор на кое било погодно место на рамнината, поставете отсечка на неа еднаква на должината на даден подреден пар точки и назначете еден од неговите краеви како почеток на нормалниот вектор. Направете го ова користејќи транспортер и линијар.
Ако оригиналниот вектор е даден со дводимензионални координати ā = (X1;Y1), да претпоставиме дека скаларниот производ на пар нормални вектори мора да биде еднаков на нула. Ова значи дека треба да изберете за саканиот вектор ō = (X2,Y2) такви координати што ќе важи еднаквоста (ā,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 = 0. Ова може да се направи вака: изберете која било ненулта вредност за координатата X2 и пресметајте ја координатата Y2 користејќи ја формулата Y2 = -(X1*X2)/Y1. На пример, за векторот ā = (15;5) ќе има вектор ō, со апсциса еднаква на еден и ординатата еднаква на -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).
За тродимензионален и кој било друг ортогонален координатен систем, важи истиот неопходен и доволен услов за перпендикуларноста на векторите - нивниот скаларен производ мора да биде еднаков на нула. Затоа, ако почетната насочена отсечка е дадена со координати ā = (X1,Y1,Z1), изберете за подредениот пар точки ō = (X2,Y2,Z2) нормално на него такви координати кои го задоволуваат условот (а,ō ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Најлесен начин е да се доделат единечни вредности на X2 и Y2 и да се пресмета Z2 од поедноставената еднаквост Z2 = -1*(X1*1 + Y1* 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. На пример, за векторот ā = (3,5,4) ова ќе ја има следната форма: (ā,ō) = 3*X2 + 5*Y2 + 4*Z2 = 0. Потоа земете ја апсцисата и ординатата на нормален вектор како еден, и во овој случај ќе биде еднаков на -(3+5)/4 = -2.
Извори:
- најдете го векторот ако е нормален
Тие се нарекуваат нормални вектор, чиј агол е 90º. Нормални вектори се конструираат со помош на алатки за цртање. Ако нивните координати се познати, тогаш перпендикуларноста на векторите може да се провери или најде со помош на аналитички методи.
Ќе ви треба
- - транспортер;
- - компас;
- - владетел.
Инструкции
Конструирај вектор нормален на дадениот. За да го направите ова, во точката што е почеток на векторот, вратете нормална на него. Ова може да се направи со помош на транспортер, поставувајќи агол од 90º. Ако немате транспортер, користете компас за да го направите тоа.
Поставете го на почетната точка на векторот. Нацртајте круг со произволен радиус. Потоа конструирај два со центри во точките каде што првиот круг ја пресекува правата на која лежи векторот. Радиусите на овие кругови мора да бидат еднакви едни на други и поголеми од првиот конструиран круг. На местата на вкрстување на круговите, конструирај права линија која ќе биде нормална на првобитниот вектор на неговото потекло и исцртај на неа вектор нормален на овој.
Единечниот вектор е: , каде 
– векторски модул.
Одговор: 
.
Забелешка.Координатите на единечниот вектор не смеат да бидат повеќе од една.
6.3. Најдете ја должината и насоката на косинусите на векторот 
. Споредете со одговорот во претходниот пасус. Извлечете заклучоци.
Должината на векторот е неговиот модул:
И можеме да ги најдеме косинусите на насоката користејќи ја формулата за еден од начините за одредување вектори:
Од ова гледаме дека косинусите на насоката се координати на единечниот вектор.
Одговор: 
,
,
,
.
6.4. Најдете 
.
Неопходно е да се извршат дејствата на множење на вектор со број, собирање и модул.
Координатите на векторите ги множиме со број член по член.
Координатите на векторите ги собираме член по член.
Наоѓање на модулот на векторот.
Одговор: 
6.5. Одредување на векторски координати 
, колинеарно на векторот 
, знаејќи го тоа 
а тој е насочен во насока спротивна на векторот 
.
Вектор 
колинеарна со векторот 
, што значи дека неговиот единичен вектор е еднаков на единечниот вектор 
само со знак минус, бидејќи насочени во спротивна насока.
Единечниот вектор има должина еднаква на 1, што значи дека ако го помножите со 5, тогаш неговата должина ќе биде еднаква на пет.
Ние најдовме 
Одговор: 
6.6. Пресметајте ги производите со точки 
И 
. Дали векторите се нормални? 
И 
,
И 
меѓу себе?
Да го направиме скаларниот производ на вектори.
Ако векторите се нормални, нивниот скаларен производ е нула.
Гледаме дека во нашиот случај векторите 
И 
нормално.
Одговор: 
,
, векторите не се нормални.
Забелешка.Геометриското значење на скаларниот производ е од мала корист во пракса, но сепак постои. Резултатот од таквото дејство може да се прикаже и пресмета геометриски.
6.7. Најдете ја работата направена од материјална точка на која се применува сила 
, при поместување од точка Б во точка В.
Физичкото значење на скаларниот производ е работа. Векторот на сила е тука 
, векторот на поместување е 
. И производот на овие вектори ќе биде потребната работа.
Наоѓање работа
6.8. Најдете го внатрешниот агол на теме А и надворешен агол на теме В тријаголник ABC .
Од дефиницијата на скаларниот производ на вектори ја добиваме формулата за наоѓање на аголот: .
ВО 
Внатрешниот агол ќе го бараме како агол помеѓу векторите што произлегуваат од една точка.
За да го пронајдете надворешниот агол, треба да ги комбинирате векторите за да излезат од една точка. Сликата го објаснува ова.
Вреди да се напомене дека 
, само имајте различни почетни координати.
Наоѓање на потребните вектори и агли
Одговор: внатрешен агол на темето A = 
, надворешен агол на темето B = 
.
6.9. Најдете ги проекциите на векторите: и
Да се потсетиме на векторските вектори: 
,
,
.
Проекцијата се наоѓа и од скаларниот производ
-проекција бна а.
Претходно добиени вектори
,
,
Наоѓање на проекцијата
Наоѓање на втората проекција
Одговор: 
,
Забелешка.Знакот минус при наоѓање на проекција значи дека проекцијата не се спушта на самиот вектор, туку во спротивна насока, на линијата на која лежи овој вектор.
6.10. Пресметај 
.
Да го направиме векторскиот производ на вектори
Ајде да го најдеме модулот
Синусот на аголот помеѓу векторите го наоѓаме од дефиницијата на векторскиот производ на вектори
Одговор: 
,
,
.
6.11. Најдете плоштина на триаголник ABC а должината на висината се спушти од точката В.
Геометриското значење на модулот на векторскиот производ е дека тоа е областа на паралелограмот формиран од овие вектори. А плоштината на триаголникот е еднаква на половина од плоштината на паралелограмот.
Плоштината на триаголник може да се најде и како производ на висината и основата поделена со два, од која може да се изведе формулата за наоѓање на висината.
Така, ја наоѓаме висината
Одговор: 
,
.
6.12. Најдете го единечниот вектор нормално на векторите 
И 
.
Резултатот од производот со точки е вектор кој е нормален на двата оригинални. И единечен вектор е вектор поделен со неговата должина.
Претходно откривме:
,
Одговор: 
.
6.13. Одреди ја големината и косинусите на насоката на моментот на сила 
, применето на А во однос на точката В.
Физичкото значење на векторскиот производ е моментот на сила. Ајде да дадеме илустрација за оваа задача.
Наоѓање на моментот на сила
Одговор: 
.
6.14. Дали векторите лажат 
,
И 
во истиот авион? Дали овие вектори можат да ја формираат основата на просторот? Зошто? Ако можат, проширете го векторот во оваа основа 
.
За да се провери дали векторите лежат во иста рамнина, потребно е да се изведе мешан производ од овие вектори.
Мешаниот производ не е еднаков на нула, затоа, векторите не лежат во иста рамнина (не компланарни) и можат да формираат основа. Ајде да се разложиме 
врз оваа основа.
Да се прошириме по основа со решавање на равенката
Одговор: Вектори 
,
И 
не лежи во иста рамнина. 
.
6.15. Најдете 
. Колку изнесува волуменот на пирамидата со темиња A, B, C, D и нејзината висина спуштена од точката A до основата BCD.
Г 
Геометриското значење на измешаниот производ е дека тој е волуменот на паралелепипедот формиран од овие вектори.
Волуменот на пирамидата е шест пати помал од волуменот на паралелепипедот.
Волуменот на пирамидата може да се најде и вака:
Ја добиваме формулата за наоѓање на висината
Наоѓање на висината
Одговор: волумен = 2,5, висина = 
.
6.16. Пресметај 
И 
.
– Ве повикуваме сами да размислите за оваа задача.
- Ајде да ја извршиме работата.
Претходно примено
Одговор: 
.
6.17. Пресметај
Ајде да ги направиме чекорите во делови
3)
Да ги сумираме добиените вредности
Одговор: 
.
6.18. Најдете вектор 
, знаејќи дека е нормално на векторите 
И 
, и неговата проекција на векторот 
е еднакво на 5.
Ајде да ја поделиме оваа задача на две подзадачи
1) Најдете вектор нормален на векторите 
И 
произволна должина.
Го добиваме нормалниот вектор како резултат на векторскиот производ
Претходно откривме:
Потребниот вектор се разликува само по должина од примениот
2) Ајде да најдеме 
преку равенката
6.19. Најдете вектор 
, задоволувајќи ги условите 
,
,
.
Да ги разгледаме овие услови подетално.
Ова е систем на линеарни равенки. Ајде да го составиме и решиме овој систем.
Одговор: 
6.20. Определи ги координатите на векторот 
, рамномерно со векторите 
И 
, и нормално на векторот 
.
Во оваа задача постојат два услова: компланарност на вектори и перпендикуларност, прво да го исполниме првиот услов, а потоа вториот.
1) Ако векторите се компланарни, тогаш нивниот измешан производ е еднаков на нула.
Од тука добиваме одредена зависност на координатите на векторот
Ајде да го најдеме векторот 
.
2) Ако векторите се нормални, тогаш нивниот скаларен производ е нула
Ја добивме втората зависност на координатите на саканиот вектор
За секоја вредност 
векторот ќе ги задоволи условите. Ајде да замениме 
.
Одговор: 
.
Аналитичка геометрија