Популарна теорија на веројатност за кукли. Класична дефиниција на веројатност

Мама ја изми рамката

На крајот на долгите летни одмори, време е полека да се вратиме на вишата математика и свечено да ја отвориме празната датотека Вердов за да започнеме да создаваме нов дел - . Признавам, првите редови не се лесни, но првиот чекор е на половина пат, затоа на сите им предлагам внимателно да ја проучат воведната статија, по што совладувањето на темата ќе биде 2 пати полесно! Воопшто не претерувам. …Во пресрет на следниот 1 септември се сеќавам на прво одделение и буквар…. Буквите формираат слогови, слоговите формираат зборови, зборовите формираат кратки реченици - Мама ја изми рамката. Совладувањето на статистиката за вртење и математика е исто толку лесно како и учењето да читате! Меѓутоа, за ова треба да ги знаете клучните термини, концепти и ознаки, како и некои специфични правила, кои се предмет на оваа лекција.

Но, прво, ве молам прифатете ги моите честитки за почетокот (продолжување, завршување, означете како што е соодветно) на учебната година и прифатете го подарокот. Најдобар подарок е книга, а за самостојна работа ја препорачувам следната литература:

1) Гмурман В.Е. Теорија на веројатност и математичка статистика

Легендарен учебник кој помина низ повеќе од десет препечатувања. Се одликува со разбирливоста и исклучително едноставната презентација на материјалот, а првите поглавја се целосно достапни, мислам, веќе за учениците од 6-7 одделение.

2) Гмурман В.Е. Водич за решавање проблеми во теоријата на веројатност и математичката статистика

Книга за решенија од истиот Владимир Ефимович со детални примери и проблеми.

ПОТРЕБНОпреземете ги двете книги од Интернет или земете ги нивните оригинали од хартија! Ќе работи и верзијата од 60-тите и 70-тите, што е уште подобро за кукли. Иако фразата „теорија на веројатност за кукли“ звучи прилично смешно, бидејќи скоро сè е ограничено на елементарни аритметички операции. Тие сепак прескокнуваат на места дериватиИ интеграли, но ова е само на места.

Ќе се обидам да ја постигнам истата јасност на презентацијата, но морам да предупредам дека мојот курс е насочен решавање на проблема теоретските пресметки се сведени на минимум. Така, ако ви треба детална теорија, докази за теореми (теореми-теореми!), ве молиме погледнете го учебникот. Па, кој сака научете да решавате проблемиво теоријата на веројатност и математичката статистика во најкус можен рок, следи ме!

Доволно е за почеток =)

Додека ги читате написите, препорачливо е да се запознаете (барем накратко) со дополнителни задачи од разгледуваните типови. На страницата Готови решенија за виша математикаСоодветните pdf со примери на решенија ќе бидат објавени. Ќе се пружи и значителна помош ИДЗ 18.1 Рјабушко(поедноставно) и решена ИДЗ според збирката на Чудесенко(потешко).

1) износдва настани и настанот се нарекува што е дека ќе се случи илинастан илинастан илидвата настани во исто време. Во случај кога настаните некомпатибилни, последната опција исчезнува, односно може да се појави илинастан илинастан .

Правилото важи и за поголем број термини, на пример, настанот е она што ќе се случи барем еденод настаните , А ако настаните се некомпатибилни – тогаш една работа и само една работанастан од оваа сума: илинастан, илинастан, илинастан, илинастан, илинастан .

Има многу примери:

Настаните (при фрлање коцка нема да се појават 5 поени) е она што ќе се појави или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 поени.

Настан (ќе се намали нема повеќедве точки) е дека ќе се појави 1 или 2поени.

Настан (ќе има парен број поени) е она што се појавува или 2 или 4 или 6 поени.

Настанот е дека црвен картон (срце) ќе биде извлечен од палубата илитамбура), и настанот – дека „сликата“ ќе биде извлечена (приклучок илидама иликралот иликец на десетка).

Малку поинтересен е случајот со заедничките настани:

Настанот е што ќе се извлече клуб од палубата илиседум илиседум од клубовите Според дефиницијата дадена погоре, барем нешто- или кој било клуб или било кој седум или нивна „пресек“ - седум клубови. Лесно е да се пресмета дека овој настан одговара на 12 елементарни исходи (9 клубски карти + 3 преостанати седумки).

Настанот е дека утре во 12.00 часот ќе дојде БАРЕМ ЕДЕН од збирните заеднички настани, имено:

– или ќе има само дожд / само грмежи / само сонце;
– или ќе се случат само пар настани (дожд + грмотевици / дожд + сонце / грмотевици + сонце);
– или сите три настани ќе се појават истовремено.

Односно, настанот вклучува 7 можни исходи.

Вториот столб на алгебрата на настаните:

2) Работатадва настани и нарекуваат настан кој се состои во заедничко појавување на овие настани, со други зборови, множењето значи дека под некои околности ќе има Инастан, Инастан . Слична изјава важи и за поголем број настани, на пример, делото подразбира дека под одредени услови тоа ќе се случи Инастан, Инастан, Инастан,…, Инастан .

Размислете за тест во кој се фрлаат две монети и следните настани:

– на првата монета ќе се појават глави;
– првата монета ќе слета глави;
– на втората монета ќе се појават глави;
– 2-та паричка ќе слета глави.

Потоа:
Ина 2-ри) ќе се појават глави;
– настанот е дека на двете монети (на 1 Ина 2-ри) ќе бидат глави;
– настанот е дека првата монета ќе слета на главите Ивтората монета е опашка;
– настанот е дека првата монета ќе слета на главите Ина 2. монета има орел.

Лесно е да се видат тие настани некомпатибилни (бидејќи, на пример, не може да има 2 глави и 2 опашки истовремено)и форма целосна група (бидејќи се земени предвид Ситеможни исходи од фрлање две монети). Да ги сумираме овие настани: . Како да се протолкува овој запис? Многу едноставно - множењето значи логично поврзување Ии дополнување - ИЛИ. Така, износот е лесен за читање на разбирлив човечки јазик: „ќе се појават две глави илидве глави или 1. монета ќе слета глави Ина 2-ри опашки или 1. монета ќе слета глави Ина втората монета има орел“

Ова беше пример кога во еден тестсе работи за неколку предмети, во овој случај две монети. Друга вообичаена шема во практичните проблеми е повторно тестирање , кога, на пример, истата матрица се витка 3 пати по ред. Како демонстрација, разгледајте ги следните настани:

– при првото фрлање ќе добиете 4 поени;
– во второто фрлање ќе добиете 5 поени;
– во третото фрлање ќе добиете 6 поени.

Потоа настанот е дека при првото фрлање ќе добиете 4 поени Иво второто фрлање ќе добиете 5 поени Ина 3. ролна ќе добиете 6 поени. Очигледно, во случај на коцка ќе има значително повеќе комбинации (исходи) отколку кога би фрлале паричка.

...Разбирам дека можеби примерите што се анализираат не се многу интересни, но тоа се работи кои често се среќаваат во проблемите и од нив нема бегање. Покрај паричка, коцка и шпил карти, ве чекаат урни со разнобојни топки, неколку анонимни луѓе кои пукаат во цел и неуморен работник кој постојано меле некои детали =)

Веројатност за настан

Веројатност за настан е централниот концепт на теоријата на веројатност. ...Убиствена логична работа, но моравме да почнеме од некаде =) Постојат неколку пристапи за неговото дефинирање:

;
Геометриска дефиниција на веројатност ;
Статистичка дефиниција на веројатноста .

Во оваа статија ќе се фокусирам на класичната дефиниција на веројатноста, која најмногу се користи во образовните задачи.

Ознаки. Веројатноста за одреден настан се означува со голема латинична буква, а самиот настан е земен во загради, делувајќи како еден вид аргумент. На пример:

Исто така, малата буква е широко користена за означување на веројатност. Особено, можете да ги напуштите незгодните ознаки на настани и нивните веројатности во корист на следниов стил:

– веројатноста дека фрлањето паричка ќе резултира со глави;
– веројатноста дека фрлањето на коцка ќе резултира со 5 поени;
– веројатноста дека од палубата ќе се извлече карта од клупското одело.

Оваа опција е популарна при решавање на практични проблеми, бидејќи ви овозможува значително да го намалите снимањето на решението. Како и во првиот случај, тука е погодно да се користат „зборувачки“ претплати/надредби.

Сите одамна ги погодија бројките што штотуку ги запишав погоре, а сега ќе дознаеме како испаднале:

Класична дефиниција за веројатност:

Веројатноста да се случи настан во одреден тест се нарекува сооднос, каде што:

– вкупен број на сите подеднакво можно, елементаренрезултатите од овој тест, кои се формираат целосна група на настани;

- квантитет елементаренисходи, поволни настан.

Кога фрлате паричка, може да испаднат или главите или опашките - се формираат овие настани целосна група, на тој начин, вкупниот број на исходи; во исто време, секој од нив елементаренИ подеднакво можно. Настанот е фаворизиран од исходот (главите). Според класичната дефиниција за веројатност: .

Слично на тоа, како резултат на фрлање матрица, може да се појават елементарни подеднакво можни исходи, формирајќи комплетна група, а настанот е фаворизиран од еден единствен исход (превртување петка). Затоа: ОВА НЕ Е ПРИФАТЕНО ДА СЕ ПРАВИ (иако не е забрането да се проценуваат проценти во вашата глава).

Вообичаено е да се користат фракции од единица, и, очигледно, веројатноста може да варира во рамките на . Покрај тоа, ако , тогаш настанот е невозможно, Ако - сигурен, и ако , тогаш зборуваме за случајнонастан.

! Ако додека решавате некој проблем, добиете некоја друга вредност на веројатноста, побарајте ја грешката!

Во класичниот пристап за одредување на веројатноста, екстремните вредности (нула и еден) се добиваат преку истото расудување. Нека се извлече 1 топче по случаен избор од одредена урна која содржи 10 црвени топчиња. Размислете за следните настани:

во едно испитување нема да се случи настан со мала можност.

Ова е причината зошто нема да го постигнете џекпотот на лотаријата ако веројатноста за овој настан е, да речеме, 0,00000001. Да, да, тоа си ти - со единствениот билет во одреден тираж. Сепак, поголем број билети и поголем број цртежи нема многу да ви помогнат. ...Кога им кажувам на другите за ова, скоро секогаш слушам како одговор: „но некој победува“. Добро, тогаш ајде да го направиме следниот експеримент: ве молиме купете билет за која било лотарија денес или утре (не одложувајте!). И ако победите... добро, барем повеќе од 10 килорубли, задолжително пријавете се - ќе објаснам зошто се случи ова. За процент, се разбира =) =)

Но, нема потреба да се биде тажен, бидејќи постои спротивен принцип: ако веројатноста за некој настан е многу блиску до една, тогаш во едно судење тоа ќе речиси сигурноќе се случи. Затоа, пред да скокате со падобран, нема потреба да се плашите, напротив, насмевнете се! На крајот на краиштата, мора да се појават сосема незамисливи и фантастични околности за да откажат и двата падобрани.

Иако сето тоа е лиризам, бидејќи во зависност од содржината на настанот, првиот принцип може да испадне весел, а вториот – тажен; или дури и двете се паралелни.

Можеби тоа е доволно за сега, на час Класични проблеми со веројатностаќе извлечеме максимум од формулата. Во последниот дел од оваа статија, ќе разгледаме една важна теорема:

Збирот на веројатностите на настаните што формираат целосна група е еднаков на еден. Грубо кажано, ако настаните формираат целосна група, тогаш со 100% веројатност ќе се случи еден од нив. Во наједноставниот случај, целосна група се формира од спротивни настани, на пример:

– како резултат на фрлање паричка, ќе се појават глави;
– резултатот од фрлање паричка ќе бидат глави.

Според теоремата:

Апсолутно е јасно дека овие настани се подеднакво можни и нивните веројатности се исти .

Поради еднаквоста на веројатностите, често се нарекуваат подеднакво можни настани подеднакво веројатни . А еве и јазичник за одредување на степенот на интоксикација =)

Пример со коцка: настаните се спротивни, значи .

Теоремата што се разгледува е погодна по тоа што ви овозможува брзо да ја пронајдете веројатноста за спротивниот настан. Значи, ако е позната веројатноста дека петката е валана, лесно е да се пресмета веројатноста дека не е валана:

Ова е многу поедноставно отколку да се сумираат веројатностите за пет елементарни исходи. За елементарни исходи, патем, оваа теорема е исто така вистинита:
. На пример, ако е веројатноста дека стрелецот ќе ја погоди целта, тогаш е веројатноста дека ќе промаши.

! Во теоријата на веројатност, не е пожелно да се користат букви за какви било други цели.

Во чест на Денот на знаењето, нема да задавам домашна задача =), но многу е важно да можете да одговорите на следниве прашања:

– Какви видови настани постојат?
– Што е шанса и еднаква можност за настан?
– Како ги разбирате поимите компатибилност/некомпатибилност на настани?
– Што е целосна група на настани, спротивни настани?
– Што значи собирање и множење на настаните?
– Која е суштината на класичната дефиниција на веројатноста?
– Зошто е корисна теоремата за собирање на веројатностите на настани кои формираат целосна група?

Не, не треба да натрупате ништо, ова се само основите на теоријата на веројатност - еден вид прајмер што брзо ќе се вклопи во вашата глава. И за ова да се случи што е можно поскоро, предлагам да се запознаете со лекциите

Теоријата на веројатност е гранка на математиката која ги проучува моделите на случајни појави: случајни настани, случајни променливи, нивните својства и операции на нив.

Долго време, теоријата на веројатност немаше јасна дефиниција. Таа беше формулирана дури во 1929 година. Појавата на теоријата на веројатност како наука датира од средниот век и првите обиди за математичка анализа на коцкањето (шушка, коцки, рулет). Француските математичари од 17 век, Блез Паскал и Пјер Фермат, додека го проучувале предвидувањето на добивката во коцкањето, ги откриле првите веројатностични обрасци што се појавуваат при фрлање коцки.

Теоријата на веројатност произлезе како наука од верувањето дека масовните случајни настани се засноваат на одредени обрасци. Теоријата на веројатност ги проучува овие обрасци.

Теоријата на веројатност се занимава со проучување на настани чиешто појавување не е познато со сигурност. Ви овозможува да го процените степенот на веројатност за појава на некои настани во споредба со други.

На пример: невозможно е недвосмислено да се одреди резултатот на „глави“ или „опашки“ како резултат на фрлање паричка, но со постојано фрлање се појавува приближно ист број „глави“ и „опашки“, што значи дека веројатноста дека „главите“ или „опашките“ ќе паднат “, е еднаква на 50%.

Тество овој случај, спроведувањето на одреден сет на услови се нарекува, односно, во овој случај, фрлање паричка. Предизвикот може да се игра неограничен број пати. Во овој случај, множеството услови вклучува случајни фактори.

Резултатот од тестот е настан. Настанот се случува:

Сигурен (секогаш се јавува како резултат на тестирање).
Невозможно (никогаш не се случува).
Случајно (може или не може да се појави како резултат на тестот).

На пример, при фрлање паричка, невозможен настан - паричката ќе слета на нејзиниот раб, случаен настан - појава на „глави“ или „опашки“. Специфичниот резултат од тестот се нарекува елементарен настан. Како резултат на тестот, се случуваат само елементарни настани. Множеството од сите можни, различни, специфични исходи од тестот се нарекува простор на елементарни настани.

Основни концепти на теоријата

Веројатност- степенот на можност за настанување на некој настан. Кога причините за некој можен настан навистина да се случи ги надминуваат спротивните причини, тогаш овој настан се нарекува веројатен, инаку - малку веројатен или неверојатен.

Случајна вредност- ова е количина што како резултат на тестирање може да земе една или друга вредност, а однапред не се знае која. На пример: број по противпожарна станица дневно, број на удари со 10 истрели итн.

Случајните променливи може да се поделат во две категории.

Дискретна случајна променливае количество кое како резултат на тестирањето може да заземе одредени вредности со одредена веројатност, формирајќи броиво множество (множество чии елементи можат да се нумерираат). Ова множество може да биде или конечно или бесконечно. На пример, бројот на истрели пред првиот удар на целта е дискретна случајна променлива, бидејќи оваа количина може да заземе бесконечен, иако може да се изброи, број на вредности.
Континуирана случајна променливае величина што може да земе каква било вредност од некој конечен или бесконечен интервал. Очигледно, бројот на можни вредности на континуирана случајна променлива е бесконечен.

Простор за веројатност- концепт воведен од А.Н. Колмогоров во 30-тите години на 20 век да го формализира концептот на веројатност, што доведе до брз развој на теоријата на веројатност како строга математичка дисциплина.

Просторот на веројатност е троен (понекогаш затворен во аголни загради: , каде

Ова е произволно множество, чии елементи се нарекуваат елементарни настани, исходи или точки;
- сигма алгебра на подмножества наречени (случајни) настани;
- мерка на веројатност или веројатност, т.е. сигма-адитив конечна мерка таква што .

Де Мовр-Лапласова теорема- една од граничните теореми на теоријата на веројатност, воспоставена од Лаплас во 1812 година. Се наведува дека бројот на успеси кога се повторува истиот случаен експеримент одново и одново со два можни исходи е приближно нормално распределен. Тоа ви овозможува да најдете приближна вредност на веројатноста.

Ако за секое од независните испитувања веројатноста за појава на некој случаен настан е еднаква на () и е бројот на испитувања во кои тој всушност се случува, тогаш веројатноста неравенството да биде вистинита е блиска (за големи вредности) до вредност на Лапласовиот интеграл.

Функција на распределба во теоријата на веројатност- функција која ја карактеризира распределбата на случајна променлива или случаен вектор; веројатноста дека случајната променлива X ќе земе вредност помала или еднаква на x, каде што x е произволен реален број. Доколку се исполнети познати услови, таа целосно ја одредува случајната променлива.

Очекувана вредност- просечната вредност на случајна променлива (ова е распределба на веројатност на случајна променлива, разгледана во теоријата на веројатност). Во литературата на англиски јазик се означува со , на руски - . Во статистиката, ознаката често се користи.

Нека се дадени простор за веројатност и случајна променлива дефинирана на него. Тоа е, по дефиниција, мерлива функција. Потоа, ако постои Лебег интеграл на над просторот, тогаш тој се нарекува математичко очекување или средна вредност и се означува .

Варијанса на случајна променлива- мерка за ширење на дадена случајна променлива, односно нејзино отстапување од математичкото очекување. Назначен е во руската и странската литература. Во статистиката, ознаката или често се користи. Квадратниот корен на варијансата се нарекува стандардна девијација, стандардна девијација или стандардно ширење.

Нека е случајна променлива дефинирана на одреден простор на веројатност. Потоа

каде што симболот го означува математичкото очекување.

Во теоријата на веројатност се нарекуваат два случајни настани независна, доколку појавата на едната од нив не ја менува веројатноста за појава на другата. Слично, се повикуваат две случајни променливи зависни, ако вредноста на еден од нив влијае на веројатноста за вредностите на другиот.

Наједноставниот облик на законот за големи броеви е теоремата на Бернули, која вели дека ако веројатноста за настан е иста во сите испитувања, тогаш како што бројот на испитувања се зголемува, фреквенцијата на настанот се стреми кон веројатноста на настанот и престанува да биде случаен.

Законот за големи броеви во теоријата на веројатност вели дека аритметичката средина на конечен примерок од фиксна распределба е блиску до теоретската средина на таа распределба. Во зависност од видот на конвергенција, се прави разлика помеѓу слабиот закон на големи броеви, кога конвергенцијата се јавува според веројатноста, и силниот закон на големите броеви, кога конвергенцијата е речиси сигурна.

Општото значење на законот за големи броеви е дека заедничкото дејствување на голем број идентични и независни случајни фактори доведува до резултат кој, во граница, не зависи од случајноста.

Методите за проценка на веројатноста врз основа на анализа на конечни примероци се базираат на ова својство. Чист пример е прогнозата на изборните резултати врз основа на анкета на примерок од гласачи.

Теореми за централна граница- класа на теореми во теоријата на веројатност која наведува дека збирот на доволно голем број слабо зависни случајни променливи кои имаат приближно исти скали (ниту еден од поимите не доминира или не дава одредувачки придонес во збирот) има распределба блиску до нормалата.

Бидејќи многу случајни променливи во апликациите се формираат под влијание на неколку слабо зависни случајни фактори, нивната дистрибуција се смета за нормална. Во овој случај, мора да се исполни условот дека ниту еден од факторите не е доминантен. Теоремите за централна граница во овие случаи ја оправдуваат употребата на нормалната распределба.

„Несреќите не се случајни“... Звучи како нешто што рекол некој филозоф, но всушност, проучувањето на случајноста е судбината на големата наука за математиката. Во математиката, случајноста се занимава со теоријата на веројатност. Формулите и примерите на задачите, како и главните дефиниции на оваа наука ќе бидат претставени во статијата.

Што е теорија на веројатност?

Теоријата на веројатност е една од математичките дисциплини што ги проучува случајните настани.

За да биде малку појасно, да дадеме мал пример: ако фрлите паричка нагоре, таа може да слета на главите или опашките. Додека паричката е во воздухот, двете од овие веројатности се можни. Односно, веројатноста за можни последици е 1:1. Ако некој е извлечен од шпил од 36 карти, тогаш веројатноста ќе биде означена како 1:36. Се чини дека тука нема што да се истражува и предвидува, особено со помош на математички формули. Меѓутоа, ако повторувате одредена акција многу пати, можете да идентификувате одредена шема и, врз основа на неа, да го предвидите исходот на настаните во други услови.

Да го резимираме сето горенаведено, теоријата на веројатност во класична смисла ја проучува можноста за појава на еден од можните настани во нумеричка вредност.

Од страниците на историјата

Теоријата на веројатност, формули и примери на првите задачи се појавија во далечниот среден век, кога првпат се појавија обиди да се предвиди исходот од игрите со карти.

Првично, теоријата на веројатност немаше никаква врска со математиката. Тоа беше оправдано со емпириски факти или својства на настан што може да се репродуцира во пракса. Првите дела од оваа област како математичка дисциплина се појавуваат во 17 век. Основачи биле Блез Паскал и Пјер Ферма. Долго студирале коцкање и виделе одредени обрасци, за кои решиле да ѝ кажат на јавноста.

Истата техника ја измислил Кристиан Хајгенс, иако не бил запознаен со резултатите од истражувањето на Паскал и Ферма. Концептот на „теорија на веројатност“, формули и примери, кои се сметаат за први во историјата на дисциплината, беа воведени од него.

Не мала важност се и делата на Јакоб Бернули, теоремите на Лаплас и Поасон. Тие ја направија теоријата на веројатност повеќе како математичка дисциплина. Теоријата на веројатност, формулите и примерите на основните задачи ја добија својата сегашна форма благодарение на аксиомите на Колмогоров. Како резултат на сите промени, теоријата на веројатност стана една од математичките гранки.

Основни концепти на теоријата на веројатност. Настани

Главниот концепт на оваа дисциплина е „настан“. Постојат три типа на настани:

Сигурен.Оние што и онака ќе се случат (паричката ќе падне).
Невозможно.Настани кои нема да се случат под никакви околности (паричката ќе остане да виси во воздухот).
Случајно.Оние кои ќе се случат или нема да се случат. Тие можат да бидат под влијание на различни фактори кои е многу тешко да се предвидат. Ако зборуваме за монета, тогаш постојат случајни фактори кои можат да влијаат на резултатот: физичките карактеристики на монетата, неговата форма, нејзината првобитна положба, силата на фрлањето итн.

Сите настани во примерите се означени со големи латински букви, со исклучок на P, кој има различна улога. На пример:

A = „студентите дојдоа на предавање“.
Ā = „студентите не дојдоа на предавање“.

Во практичните задачи, настаните обично се запишуваат со зборови.

Една од најважните карактеристики на настаните е нивната еднаква можност. Односно, ако фрлите паричка, можни се сите варијанти на почетниот пад додека не падне. Но, настаните исто така не се подеднакво можни. Ова се случува кога некој намерно влијае на исходот. На пример, „означени“ карти за играње или коцки, во кои центарот на гравитација е поместен.

Настаните исто така можат да бидат компатибилни и некомпатибилни. Компатибилните настани не ја исклучуваат меѓусебната појава. На пример:

A = „студентот дојде на предавањето“.
Б = „студентот дојде на предавање“.

Овие настани се независни еден од друг, а појавата на еден од нив не влијае на појавата на другиот. Некомпатибилните настани се дефинираат со тоа што појавата на еден ја исклучува појавата на друга. Ако зборуваме за иста монета, тогаш губењето на „опашките“ го оневозможува појавувањето на „главите“ во истиот експеримент.

Акции на настани

Настаните може да се множат и додаваат; соодветно, во дисциплината се воведуваат логички врски „И“ и „ИЛИ“.

Износот се определува со фактот дека или настан А или Б, или два, може да се случат истовремено. Ако тие се некомпатибилни, последната опција е невозможна; или А или Б ќе се тркалаат.

Множењето на настаните се состои во појавување на А и Б во исто време.

Сега можеме да дадеме неколку примери за подобро да ги запомниме основите, теоријата на веројатност и формулите. Примери за решавање проблеми подолу.

Вежба 1: Компанијата учествува на конкурс за добивање договори за три вида работа. Можни настани што може да се случат:

A = „фирмата ќе го добие првиот договор“.
A 1 = „фирмата нема да го добие првиот договор“.
Б = „фирмата ќе добие втор договор“.
Б 1 = „фирмата нема да добие втор договор“
C = „фирмата ќе добие трет договор“.
C 1 = „фирмата нема да добие трет договор“.

Користејќи дејства за настани, ќе се обидеме да ги изразиме следните ситуации:

К = „компанијата ќе ги добие сите договори“.

Во математичка форма, равенката ќе ја има следната форма: K = ABC.

М = „компанијата нема да добие ниту еден договор“.

M = A 1 B 1 C 1.

Ајде да ја комплицираме задачата: H = „компанијата ќе добие еден договор“. Бидејќи не е познато кој договор ќе го добие компанијата (прв, втор или трет), потребно е да се сними целиот опсег на можни настани:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

И 1 п.н.е. 1 е серија на настани каде што фирмата не ги добива првиот и третиот договор, туку го добива вториот. Други можни настани беа снимени со користење на соодветниот метод. Симболот υ во дисциплината го означува сврзното „ИЛИ“. Ако го преведеме горниот пример на човечки јазик, компанијата ќе го добие или третиот договор, или вториот или првиот. На сличен начин, можете да запишете и други услови во дисциплината „Теорија на веројатност“. Формулите и примерите за решавање проблеми претставени погоре ќе ви помогнат да го направите тоа сами.

Всушност, веројатноста

Можеби, во оваа математичка дисциплина, веројатноста за настан е централниот концепт. Постојат 3 дефиниции за веројатност:

класичен;
статистички;
геометриски.

Секој има свое место во проучувањето на веројатноста. Теоријата на веројатност, формули и примери (9-то одделение) главно ја користат класичната дефиниција, која звучи вака:

Веројатноста на ситуацијата А е еднаква на односот на бројот на исходи кои го фаворизираат нејзиното појавување со бројот на сите можни исходи.

Формулата изгледа вака: P(A)=m/n.

А е всушност настан. Ако се појави падеж спротивен на А, може да се напише како Ā или A 1 .

m е бројот на можни поволни случаи.

n - сите настани што можат да се случат.

На пример, A = „нацртајте карта од костим за срце“. Има 36 карти во стандардна палуба, 9 од нив се со срца. Според тоа, формулата за решавање на проблемот ќе изгледа вака:

P(A)=9/36=0,25.

Како резултат на тоа, веројатноста дека картата на срцевиот костум ќе биде извлечена од палубата ќе биде 0,25.

Кон виша математика

Сега стана малку познато што е теоријата на веројатност, формули и примери за решавање проблеми што се среќаваат во училишната програма. Меѓутоа, теоријата на веројатност се среќава и во вишата математика, која се изучува на универзитетите. Најчесто тие работат со геометриски и статистички дефиниции на теоријата и сложени формули.

Теоријата на веројатност е многу интересна. Подобро е да се започне со изучување на формули и примери (повисока математика) мали - со статистичка (или фреквенција) дефиниција на веројатност.

Статистичкиот пристап не му противречи на класичниот, туку малку го проширува. Ако во првиот случај беше неопходно да се утврди со каква веројатност ќе се случи некој настан, тогаш во овој метод е неопходно да се наведе колку често ќе се случи. Овде се воведува нов концепт на „релативна фреквенција“, кој може да се означи со W n (A). Формулата не се разликува од класичната:

Ако класичната формула се пресметува за предвидување, тогаш статистичката се пресметува според резултатите од експериментот. Да земеме на пример мала задача.

Одделот за технолошка контрола ги проверува производите за квалитет. Од 100 производи, за 3 е утврдено дека се неквалитетни. Како да ја пронајдете веројатноста за фреквенција на квалитетен производ?

A = „изглед на квалитетен производ“.

W n (A)=97/100=0,97

Така, фреквенцијата на квалитетен производ е 0,97. Од каде ти 97? Од 100 проверени производи, кај 3 е утврдено дека се неквалитетни. Одземаме 3 од 100 и добиваме 97, ова е количината на квалитетна стока.

Малку за комбинаториката

Друг метод на теоријата на веројатност се нарекува комбинаторика. Нејзиниот основен принцип е дека ако одреден избор А може да се направи на m различни начини, а изборот Б може да се направи на n различни начини, тогаш изборот на А и Б може да се направи со множење.

На пример, има 5 патишта кои водат од градот А до градот Б. Има 4 патеки од градот Б до градот Ц. На колку начини можете да стигнете од градот А до градот Ц?

Едноставно е: 5x4=20, односно на дваесет различни начини можете да стигнете од точката А до точката C.

Ајде да ја комплицираме задачата. Колку начини има да се постават картички во пасијанс? Има 36 карти на палубата - ова е почетната точка. За да го дознаете бројот на начини, треба да „одземете“ по една картичка од почетната точка и да се множите.

Односно, 36x35x34x33x32...x2x1= резултатот не се вклопува на екранот на калкулаторот, па едноставно може да се означи 36!. Знак "!" веднаш до бројот означува дека целата серија на броеви се множи заедно.

Во комбинаториката постојат такви концепти како пермутација, поставеност и комбинација. Секој од нив има своја формула.

Подредено множество елементи на множеството се нарекува распоред. Поставувањата може да се повторат, односно еден елемент може да се користи неколку пати. И без повторување, кога елементите не се повторуваат. n се сите елементи, m се елементи кои учествуваат во поставувањето. Формулата за поставување без повторување ќе изгледа вака:

A n m =n!/(n-m)!

Врските на n елементи кои се разликуваат само по редоследот на поставеноста се нарекуваат пермутации. Во математиката изгледа вака: P n = n!

Комбинации од n елементи од m се оние соединенија во кои е важно кои елементи биле и колкав е нивниот вкупен број. Формулата ќе изгледа вака:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формулата на Бернули

Во теоријата на веројатност, како и во секоја дисциплина, постојат дела на извонредни истражувачи во својата област кои ја подигнале на ново ниво. Едно од овие дела е формулата Бернули, која ви овозможува да ја одредите веројатноста одреден настан да се случи под независни услови. Ова сугерира дека појавата на А во експеримент не зависи од појавата или непојавувањето на истиот настан во претходни или последователни испитувања.

Бернулиова равенка:

P n (m) = C n m × p m ×q n-m.

Веројатноста (p) за појава на настанот (А) е константна за секое испитување. Веројатноста дека ситуацијата ќе се случи точно m пати во n број на експерименти ќе се пресмета со формулата претставена погоре. Според тоа, се поставува прашањето како да се дознае бројот q.

Ако настанот А се случи p неколку пати, соодветно, тој може да не се случи. Единица е број кој се користи за означување на сите исходи од ситуацијата во дисциплината. Според тоа, q е број кој ја означува можноста некој настан да не се случи.

Сега ја знаете формулата на Бернули (теорија на веројатност). Подолу ќе разгледаме примери за решавање проблеми (прво ниво).

Задача 2:Посетител на продавница ќе купи со веројатност 0,2. 6 посетители самостојно влегоа во продавницата. Која е веројатноста посетителот да купи?

Решение: Бидејќи не е познато колку посетители треба да купат, еден или сите шест, потребно е да се пресметаат сите можни веројатности со помош на формулата Бернули.

A = „посетителот ќе купи“.

Во овој случај: p = 0,2 (како што е наведено во задачата). Според тоа, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (бидејќи во продавницата има 6 клиенти). Бројот m ќе варира од 0 (ниту еден клиент нема да купи) до 6 (сите посетители на продавницата ќе купат нешто). Како резултат, го добиваме решението:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 ×q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ниту еден од купувачите нема да изврши купување со веројатност 0,2621.

Како инаку се користи формулата на Бернули (теорија на веројатност)? Примери за решавање проблеми (второ ниво) подолу.

По горниот пример, се поставуваат прашања за тоа каде отишле C и r. Во однос на p, број со јачина од 0 ќе биде еднаков на еден. Што се однесува до C, може да се најде со формулата:

C n m = n! /m!(n-m)!

Бидејќи во првиот пример m = 0, соодветно, C = 1, што во принцип не влијае на резултатот. Користејќи ја новата формула, ајде да се обидеме да дознаеме колкава е веројатноста двајца посетители да купат стока.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Теоријата на веројатност не е толку комплицирана. Формулата на Бернули, чии примери се претставени погоре, е директен доказ за тоа.

Поасонова формула

Поасоновата равенка се користи за пресметување на случајни ситуации со мала веројатност.

Основна формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Во овој случај λ = n x стр. Еве едноставна Поасонова формула (теорија на веројатност). Подолу ќе разгледаме примери за решавање проблеми.

Задача 3: Фабриката произведе 100.000 делови. Појава на неисправен дел = 0,0001. Која е веројатноста да има 5 неисправни делови во една серија?

Како што можете да видите, бракот е неверојатен настан, и затоа формулата на Поасон (теорија на веројатност) се користи за пресметка. Примерите за решавање проблеми од овој вид не се разликуваат од другите задачи во дисциплината; ние ги заменуваме потребните податоци во дадената формула:

A = „случајно избраниот дел ќе биде неисправен“.

p = 0,0001 (според условите на задачата).

n = 100000 (број на делови).

m = 5 (неисправни делови). Ги заменуваме податоците во формулата и добиваме:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Исто како Бернулиевата формула (теорија на веројатност), примери на решенија кои се напишани погоре, Поасоновата равенка има непозната e. Всушност, таа може да се најде со формулата:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Сепак, постојат посебни табели кои ги содржат скоро сите вредности на e.

Де Мовр-Лапласова теорема

Ако во Бернулиевата шема бројот на испитувања е доволно голем, а веројатноста за појава на настанот А во сите шеми е иста, тогаш веројатноста за појава на настанот А одреден број пати во низа тестови може да се најде со Лапласовата формула:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

За подобро да се потсетиме на формулата на Лаплас (теорија на веројатност), примерите на проблеми се подолу за да помогнат.

Прво, да го најдеме X m, да ги замениме податоците (сите се наведени погоре) во формулата и да добиеме 0,025. Користејќи ги табелите, го наоѓаме бројот ϕ(0,025), чија вредност е 0,3988. Сега можете да ги замените сите податоци во формулата:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Така, веројатноста дека флаерот ќе работи точно 267 пати е 0,03.

Формула на Бејс

Бејсовата формула (теорија на веројатност), примери за решавање проблеми со чија помош ќе бидат дадени подолу, е равенка која ја опишува веројатноста за настан врз основа на околностите што би можеле да бидат поврзани со него. Основната формула е како што следува:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А и Б се дефинитивни настани.

P(A|B) е условна веројатност, односно настанот А може да се случи под услов настанот Б да е вистинит.

P (B|A) - условна веројатност на настанот Б.

Значи, последниот дел од краткиот курс „Теорија на веројатност“ е Бајсовата формула, примери за решенија на проблемите со кои се дадени подолу.

Задача 5: Во магацинот биле донесени телефони од три фирми. Во исто време, уделот на телефоните што се произведуваат во првата фабрика е 25%, во втората - 60%, во третата - 15%. Исто така, познато е дека просечниот процент на неисправни производи во првата фабрика е 2%, во втората - 4%, а во третата - 1%. Треба да ја пронајдете веројатноста случајно избраниот телефон да биде дефектен.

A = „случајно избран телефон“.

Б 1 - телефонот што го произведе првата фабрика. Според тоа, ќе се појават воведните B 2 и B 3 (за втората и третата фабрика).

Како резултат добиваме:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - така ја најдовме веројатноста за секоја опција.

Сега треба да ги пронајдете условните веројатности за посакуваниот настан, односно веројатноста за неисправни производи во компаниите:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Сега да ги замениме податоците во формулата на Бејс и да добиеме:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Статијата претставува теорија на веројатност, формули и примери за решавање проблеми, но ова е само врвот на ледениот брег на огромна дисциплина. И после се што е напишано, логично ќе биде да се постави прашањето дали е потребна теоријата на веројатност во животот. Тешко е за обичен човек да одговори; подобро е да побарате некој што го искористил да освои џекпот повеќе од еднаш.

ВОВЕД

Многу работи ни се неразбирливи не затоа што нашите концепти се слаби;
туку затоа што овие работи не се вклучени во опсегот на нашите концепти.
Козма Прутков

Главната цел на изучувањето на математиката во средните специјализирани образовни институции е да им даде на студентите збир на математички знаења и вештини неопходни за изучување на други програмски дисциплини кои користат математика до еден или друг степен, за способност да вршат практични пресметки, за формирање и развој. на логично размислување.

Во оваа работа, сите основни концепти на делот за математика „Основи на теоријата на веројатност и математичка статистика“, предвидени со програмата и Државните образовни стандарди за средно стручно образование (Министерство за образование на Руската Федерација. М., 2002 г. ), постојано се воведуваат, формулирани се главните теореми, од кои повеќето не се докажани. Се разгледуваат главните проблеми и методи за нивно решавање и технологии за примена на овие методи за решавање на практични проблеми. Презентацијата е придружена со детални коментари и бројни примери.

Методолошките упатства може да се користат за почетно запознавање со материјалот што се изучува, при белешки за предавањата, за подготовка за практична настава, за консолидирање на стекнатите знаења, вештини и способности. Дополнително, прирачникот ќе биде корисен и за студентите на додипломски студии како референтна алатка, овозможувајќи им брзо да се потсетат на она што претходно било изучувано.

На крајот од работата има примери и задачи кои учениците можат да ги извршуваат во режим на самоконтрола.

Насоките се наменети за вонредни и редовни студенти.

ОСНОВНИ КОНЦЕПТИ

Теоријата на веројатност ги проучува објективните обрасци на масовните случајни настани. Тоа е теоретска основа за математичката статистика, која се занимава со развој на методи за собирање, опишување и обработка на резултатите од набљудувањето. Преку набљудувања (тестови, експерименти), т.е. искуство во широка смисла на зборот се јавува познавање на појавите од реалниот свет.

Во нашите практични активности често се среќаваме со појави чиј исход не може да се предвиди, чиј исход зависи од случајноста.

Случаен феномен може да се карактеризира со односот на бројот на неговите појави со бројот на испитувања, од кои во секоја, под исти услови на сите испитувања, може да се случи или да не се случи.

Теоријата на веројатност е гранка на математиката во која се проучуваат случајните појави (настани) и се идентификуваат шеми кога тие масовно се повторуваат.

Математичката статистика е гранка на математиката која се занимава со проучување на методи за собирање, систематизирање, обработка и користење на статистички податоци за добивање научно засновани заклучоци и донесување одлуки.

Во овој случај, статистичките податоци се сфаќаат како збир на броеви кои ги претставуваат квантитативните карактеристики на карактеристиките на предметите што се проучуваат што нè интересираат. Статистичките податоци се добиени како резултат на специјално дизајнирани експерименти и набљудувања.

Статистичките податоци по својата суштина зависат од многу случајни фактори, па затоа математичката статистика е тесно поврзана со теоријата на веројатност, која е нејзина теоретска основа.

I. ВЕРОЈАТНОСТ. ТЕОРЕМИ НА СОБИРАЊЕ И МНОЖЕЊЕ НА ВЕРОЈАТНОСТИ

1.1. Основни концепти на комбинаторика

Во гранката на математиката, која се нарекува комбинаторика, се решаваат некои проблеми поврзани со разгледувањето на множества и составот на различни комбинации на елементи од овие множества. На пример, ако земеме 10 различни броеви 0, 1, 2, 3,: , 9 и направиме комбинации од нив, ќе добиеме различни броеви, на пример 143, 431, 5671, 1207, 43 итн.

Гледаме дека некои од овие комбинации се разликуваат само по редоследот на цифрите (на пример, 143 и 431), други - во цифрите вклучени во нив (на пример, 5671 и 1207), а други се разликуваат и по бројот на цифри (на пример, 143 и 43).

Така, добиените комбинации задоволуваат различни услови.

Во зависност од правилата на составот, може да се разликуваат три типа на комбинации: пермутации, сместувања, комбинации.

Ајде прво да се запознаеме со концептот факторски.

Производот на сите природни броеви од 1 до n вклучително се нарекува n-факториелно и пишувај.

Пресметај: а) ; б) ; V) .

Решение. А) .

б) Бидејќи , тогаш можеме да го ставиме надвор од загради

Потоа добиваме

V) .

Преуредувања.

Комбинацијата од n елементи кои се разликуваат едни од други само по редоследот на елементите се нарекува пермутација.

Пермутациите се означени со симболот P n , каде што n е бројот на елементи вклучени во секоја пермутација. ( Р- прва буква од француски збор пермутација- преуредување).

Бројот на пермутации може да се пресмета со помош на формулата

или со користење на фактор:

Да се потсетиме на тоа 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. На колку начини може да се подредат шест различни книги на една полица?

Решение. Потребниот број на начини е еднаков на бројот на пермутации на 6 елементи, т.е.

Пласмани.

Објави од мелементи во nво секоја од нив се нарекуваат такви соединенија кои се разликуваат едни од други или по самите елементи (најмалку еден), или по редоследот на нивниот распоред.

Поставувањата се означени со симболот, каде м- бројот на сите достапни елементи, n- бројот на елементи во секоја комбинација. ( А-првата буква од францускиот збор аранжман, што значи „поставување, ставање во ред“).

Во исто време, се верува дека nm.

Бројот на места може да се пресмета со помош на формулата

тие. број на сите можни пласмани од мелементи од nе еднаков на производот nпоследователни цели броеви, од кои најголемиот е м.

Да ја напишеме оваа формула во факторска форма:

Пример 3. Колку опции за дистрибуција на три ваучери до санаториуми од различни профили може да се состават за пет апликанти?

Решение. Потребниот број на опции е еднаков на бројот на сместувања на 5 елементи од 3 елементи, т.е.

Комбинации.

Комбинации се сите можни комбинации на мелементи од n, кои се разликуваат едни од други по најмалку еден елемент (тука мИ n-природни броеви и n m).

Број на комбинации на мелементи од nсе означуваат со ( СО- првата буква од францускиот збор комбинација- комбинација).

Генерално, бројот на мелементи од nеднаков на бројот на пласмани од мелементи од n, поделено со бројот на пермутации од nелементи:

Користејќи факторски формули за бројот на сместувања и пермутации, добиваме:

Пример 4. Во тим од 25 луѓе, треба да одвоите четворица за работа во одредена област. На колку начини може да се направи ова?

Решение. Бидејќи редоследот на четирите избрани луѓе не е важен, постојат начини да го направите ова.

Наоѓаме со користење на првата формула

Покрај тоа, при решавање на проблеми, се користат следните формули, изразувајќи ги основните својства на комбинациите:

(по дефиниција тие претпоставуваат и);

1.2. Решавање на комбинаторни проблеми

Задача 1. На факултетот се изучуваат 16 предмети. Треба да ставите 3 предмети на распоредот за понеделник. На колку начини може да се направи ова?

Решение. Има онолку начини да закажете три ставки од 16 колку што можете да организирате сместување на 16 ставки по 3.

Задача 2. Од 15 објекти, треба да изберете 10 објекти. На колку начини може да се направи ова?

Задача 3. На натпреварот учествуваа четири екипи. Колку опции за распределба на местата меѓу нив се можни?

Задача 4. На колку начини може да се формира патрола од тројца војници и еден офицер ако има 80 војници и 3 офицери?

Решение. Можете да изберете војник во патрола

начини, и службеници на начини. Бидејќи секој офицер може да оди со секој тим војници, има само толку многу начини.

Задача 5. Најдете , ако се знае дека .

Од , добиваме

По дефиниција за комбинација следува дека , . Тоа. .

1.3. Концептот на случаен настан. Видови настани. Веројатност за настан

Секое дејство, феномен, набљудување со повеќе различни исходи, реализирани под даден сет на услови, ќе се нарекуваат тест.

Резултатот од оваа акција или набљудување се нарекува настан .

Ако некој настан под дадени услови може да се случи или да не се случи, тогаш тој се нарекува случајно . Кога некој настан сигурно ќе се случи, тој се нарекува сигурен , и во случај кога тоа очигледно не може да се случи, - невозможно.

Настаните се нарекуваат некомпатибилни , ако само еден од нив е можно да се појави секој пат.

Настаните се нарекуваат зглоб , ако, под дадени услови, појавата на еден од овие настани не ја исклучува појавата на друг за време на истиот тест.

Настаните се нарекуваат наспроти , доколку под условите за тестирање тие, како единствени резултати, се некомпатибилни.

Настаните обично се означуваат со големи букви од латинската азбука: А БЕ ЦЕ ДЕ, : .

Комплетен систем на настани A 1 , A 2 , A 3 , : , A n е збир на некомпатибилни настани, од кои појавувањето на барем еден е задолжително за време на даден тест.

Ако целосниот систем се состои од два некомпатибилни настани, тогаш таквите настани се нарекуваат спротивни и се означени со А и .

Пример. Кутијата содржи 30 нумерирани топчиња. Определете кои од следните настани се невозможни, сигурни или спротивни:

извади нумерирана топка (А);

доби топка со парен број (ВО);

доби топка со непарен број (СО);

доби топка без број (Г).

Кои од нив формираат целосна група?

Решение . А- сигурен настан; Д- невозможен настан;

Во и СО- спротивни настани.

Комплетната група на настани се состои од АИ Д, ВИ СО.

Веројатноста за настан се смета како мерка за објективната можност за појава на случаен настан.

1.4. Класична дефиниција за веројатност

Се нарекува број што ја изразува мерката на објективната можност да се случи некој настан веројатност овој настан и е означен со симболот R(A).

Дефиниција. Веројатност за настанот Ае односот на бројот на исходи m кои го фаворизираат појавувањето на даден настан А, на бројот nсите исходи (неконзистентни, само можни и подеднакво можни), т.е. .

Затоа, за да се најде веројатноста за настан, потребно е, имајќи ги предвид различните исходи од тестот, да се пресметаат сите можни неконзистентни исходи n,изберете го бројот на исходи m за кои сме заинтересирани и пресметајте го соодносот мДо n.

Следниве својства произлегуваат од оваа дефиниција:

Веројатноста за кој било тест е ненегативен број кој не надминува еден.

Навистина, бројот m од потребните настани е во рамките на . Поделувајќи ги двата дела на n, добиваме

2. Веројатноста за сигурен настан е еднаква на еден, бидејќи .

3. Веројатноста за невозможен настан е нула, бидејќи .

Задача 1. Во лотарија од 1000 тикети има 200 добитни. Еден билет се вади по случаен избор. Која е веројатноста овој тикет да биде добитник?

Решение. Вкупниот број на различни исходи е n= 1000. Бројот на исходи поволни за победа е m=200. Според формулата, добиваме

Задача 2. Во серија од 18 делови има 4 неисправни. 5 дела се избрани по случаен избор. Најдете ја веројатноста дека два од овие 5 дела ќе бидат неисправни.

Решение. Број на сите подеднакво можни независни исходи nеднаков на бројот на комбинации од 18 на 5 т.е.

Да го изброиме бројот m што го фаворизира настанот А. Меѓу 5 дела земени по случаен избор, треба да има 3 добри и 2 неисправни. Бројот на начини за избор на два неисправни делови од 4 постоечки неисправни е еднаков на бројот на комбинации од 4 на 2:

Бројот на начини за избор на три квалитетни делови од 14 достапни квалитетни делови е еднаков на

Секоја група на добри делови може да се комбинира со која било група на неисправни делови, па вкупниот број на комбинации мизнесува до

Потребната веројатност на настанот А е еднаква на односот на бројот на исходи m поволни за овој настан до бројот n од сите подеднакво можни независни исходи:

Збирот на конечен број настани е настан кој се состои од појава на барем еден од нив.

Збирот на два настани се означува со симболот A+B, а збирот nнастани со симболот A 1 +A 2 + : +A n.

Теорема за собирање на веројатност.

Веројатноста за збир на два некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани.

Заклучок 1. Ако настанот A 1, A 2, :,A n формира целосен систем, тогаш збирот на веројатностите на овие настани е еднаков на еден.

Заклучок 2. Збирот на веројатностите на спротивни настани и е еднаков на еден.

Задача 1. Има 100 лозови. Познато е дека 5 билети добиваат по 20.000 рубли, 10 билети добиваат 15.000 рубли, 15 билети добиваат 10.000 рубли, 25 билети добиваат 2.000 рубли. а за останатите ништо. Најдете ја веројатноста дека купениот билет ќе добие добивка од најмалку 10.000 рубли.

Решение. Нека A, B и C се настани што се состојат во фактот дека купениот билет добива добивка еднаква на 20.000, 15.000 и 10.000 рубли, соодветно. бидејќи настаните A, B и C се некомпатибилни, тогаш

Задача 2. Одделот за кореспонденција на техничко училиште добива тестови по математика од градовите А, БИ СО. Веројатност за добивање тест од градот Аеднакво на 0,6, од градот ВО- 0,1. Најдете ја веројатноста дека следниот тест ќе дојде од градот СО.

Некои програмери, откако работат на полето на развивање редовни комерцијални апликации, размислуваат да го совладаат машинското учење и да станат аналитичар на податоци. Тие често не разбираат зошто одредени методи функционираат, а повеќето методи за машинско учење изгледаат како магија. Всушност, машинското учење се заснова на математичка статистика, која пак се заснова на теоријата на веројатност. Затоа, во оваа статија ќе обрнеме внимание на основните концепти на теоријата на веројатност: ќе допреме до дефинициите за веројатност, дистрибуција и ќе анализираме неколку едноставни примери.

Можеби знаете дека теоријата на веројатност е конвенционално поделена на 2 дела. Дискретната теорија на веројатност ги проучува феномените кои можат да се опишат со распределба со конечен (или изброен) број можни опции за однесување (фрлање коцки, монети). Континуираната теорија на веројатност ги проучува феномените распределени во одредено густо множество, на пример, на сегмент или во круг.

Можеме да го разгледаме предметот на теоријата на веројатност користејќи едноставен пример. Замислете се себеси како развивач на стрелците. Составен дел од развојот на игрите во овој жанр е механиката за пукање. Јасно е дека стрелецот во кој сите оружја пукаат апсолутно прецизно нема да биде од мал интерес за играчите. Затоа, императив е да додадете ширење на вашето оружје. Но, едноставното рандомизирање на точките за удар на оружјето нема да дозволи фино подесување, така што прилагодувањето на рамнотежата на играта ќе биде тешко. Во исто време, со користење на случајни променливи и нивните дистрибуции може да се анализира како оружјето ќе функционира со дадено ширење и да помогне да се направат потребните прилагодувања.

Простор на елементарни исходи

Да речеме дека од некој случаен експеримент што можеме да го повториме многу пати (на пример, фрлање паричка), можеме да извлечеме некои формализирани информации (дојде до глави или опашки). Оваа информација се нарекува елементарен исход и корисно е да се разгледа множеството од сите елементарни исходи, често означени со буквата Ω (Омега).

Структурата на овој простор целосно зависи од природата на експериментот. На пример, ако го земеме предвид гаѓањето во доволно голема кружна цел, просторот на елементарните резултати ќе биде круг, за погодност, поставен со центарот на нула, а исходот ќе биде точка во овој круг.

Дополнително, се разгледуваат множества од елементарни исходи - настани (на пример, погодувањето на првите десет е концентричен круг со мал радиус со цел). Во дискретниот случај, сè е прилично едноставно: можеме да добиеме каков било настан, вклучително или исклучувајќи ги елементарните исходи во одредено време. Во континуираниот случај, сè е многу покомплицирано: потребно ни е да разгледаме прилично добро семејство на множества, наречено алгебра по аналогија со едноставни реални броеви кои можат да се собираат, одземаат, делат и множат. Множествата во алгебрата може да се пресечат и комбинираат, а резултатот од операцијата ќе биде во алгебрата. Ова е многу важно својство за математиката што се крие зад сите овие концепти. Минималното семејство се состои од само два сета - празниот сет и просторот на елементарните резултати.

Мерка и веројатност

Веројатноста е начин на донесување заклучоци за однесувањето на многу сложените предмети без да се разбере како тие функционираат. Така, веројатноста се дефинира како функција на настан (од тоа многу добро семејство на множества) што враќа број - некоја карактеристика за тоа колку често таков настан може да се случи во реалноста. За да бидеме сигурни, математичарите се согласија дека оваа бројка треба да лежи помеѓу нула и еден. Дополнително, оваа функција има барања: веројатноста за невозможен настан е нула, веројатноста за целокупниот сет на исходи е единица, а веројатноста за комбинирање на два независни настани (дисјунктни множества) е еднаква на збирот на веројатностите. Друго име за веројатност е мерка на веројатност. Најчесто се користи Lebesgue мерка, која ги генерализира концептите за должина, површина, волумен на која било димензија (n-димензионален волумен), и затоа е применлива за широка класа на множества.

Заедно, собирањето на збир на елементарни исходи, семејство на множества и мерка на веројатност се нарекува простор за веројатност. Ајде да размислиме како можеме да изградиме простор за веројатност за примерот на гаѓање во цел.

Размислете за пукање во голема тркалезна цел со радиус R, што е невозможно да се пропушти. Со збир на елементарни настани поставуваме круг со центар на почетокот на координатите со радиус R. Бидејќи ќе користиме површина (мерката Лебез за дводимензионални множества) за да ја опишеме веројатноста за настан, ќе користиме семејство на мерливи (за кои постои оваа мерка) множества.

Забелешка Всушност, ова е техничка точка и во едноставни проблеми процесот на одредување мерка и семејство на множества не игра посебна улога. Но, неопходно е да се разбере дека овие два објекти постојат, бидејќи во многу книги за теоријата на веројатност теоремите започнуваат со зборовите: „ Нека (Ω,Σ,P) е простор на веројатност...».

Како што споменавме погоре, веројатноста за целиот простор на елементарни исходи мора да биде еднаква на еден. Плоштината (дводимензионална Лебежова мерка, која ја означуваме λ 2 (A), каде што A е настан) на круг, според добро познатата формула од училиштето, е еднаква на π *R 2. Потоа можеме да ја воведеме веројатноста P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), и оваа вредност веќе ќе лежи помеѓу 0 и 1 за секој настан А.

Ако претпоставиме дека погодувањето на која било точка на целта е подеднакво веројатно, потрагата по веројатноста стрелецот да погоди некоја област од целта се сведува на наоѓање на областа на оваа гарнитура (од тука можеме да заклучиме дека веројатноста на удирање на одредена точка е нула, бидејќи површината на точката е нула).

На пример, сакаме да дознаеме колкава е веројатноста стрелецот да ги погоди првите десет (настан А - стрелецот го погодува саканиот сет). Во нашиот модел, „десетката“ е претставена со круг со центар на нула и радиус r. Тогаш веројатноста да се влезе во овој круг е P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Ова е еден од наједноставните типови на проблеми со „геометриска веројатност“ - повеќето од овие проблеми бараат наоѓање област.

Случајни променливи

Случајна променлива е функција која ги претвора елементарните исходи во реални броеви. На пример, во разгледуваниот проблем, можеме да воведеме случајна променлива ρ(ω) - растојанието од точката на удар до центарот на целта. Едноставноста на нашиот модел ни овозможува експлицитно да го дефинираме просторот на елементарните исходи: Ω = (ω = (x,y) такви броеви што x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Тогаш случајната променлива ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Средства за апстракција од веројатен простор. Функција на дистрибуција и густина

Добро е кога структурата на просторот е добро позната, но во реалноста тоа не е секогаш случај. Дури и ако е позната структурата на просторот, тој може да биде сложен. За да се опишат случајните променливи ако нивниот израз е непознат, постои концепт на функција на дистрибуција, која се означува со F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Функцијата за дистрибуција има неколку својства:

Прво, тоа е помеѓу 0 и 1.
Второ, не се намалува кога неговиот аргумент x се зголемува.
Трето, кога бројот -x е многу голем, функцијата на дистрибуција е блиску до 0, а кога x самата е голема, функцијата на дистрибуција е блиску до 1.

Веројатно, значењето на оваа конструкција не е многу јасно при првото читање. Едно корисно својство е тоа што функцијата на дистрибуција ви овозможува да ја барате веројатноста дека количината зема вредност од интервал. Значи, P (случајната променлива ξ зема вредности од интервалот) = F ξ (b)-F ξ (a). Врз основа на оваа еднаквост, можеме да проучиме како оваа вредност се менува ако границите a и b на интервалот се блиски.

Нека d = b-a, потоа b = a+d. И затоа, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . За мали вредности на d, горната разлика е исто така мала (ако дистрибуцијата е континуирана). Има смисла да се земе предвид односот p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Ако, за доволно мали вредности на d, овој однос малку се разликува од некоја константа p ξ (a), независно од d, тогаш во овој момент случајната променлива има густина еднаква на p ξ (a).

Забелешка Читателите кои претходно се сретнале со концептот на извод може да забележат дека p ξ (a) е изводот на функцијата F ξ (x) во точката a. Во секој случај, можете да го проучите концептот на дериват во статија на оваа тема на веб-страницата Mathprofi.

Сега значењето на функцијата за распределба може да се дефинира на следниов начин: неговиот извод (густина p ξ, што ја дефиниравме погоре) во точката a опишува колку често случајната променлива ќе падне во мал интервал центриран во точката a (соседството на точката a ) во споредба со маалата на другите точки . Со други зборови, колку побрзо расте функцијата на дистрибуција, толку е поголема веројатноста дека таквата вредност ќе се појави во случаен експеримент.

Да се вратиме на примерот. Можеме да ја пресметаме функцијата на дистрибуција за случајната променлива, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , што го означува растојанието од центарот до случајната точка на удар на целта. По дефиниција, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Можеме да ја најдеме густината p ρ на оваа случајна променлива. Веднаш да забележиме дека надвор од интервалот е нула, бидејќи функцијата на дистрибуција во овој интервал е непроменета. На краевите на овој интервал густината не е одредена. Внатре во интервалот, може да се најде со помош на табела со деривати (на пример, од веб-страницата Mathprofi) и елементарни правила за диференцијација. Дериватот на t 2 /R 2 е еднаков на 2t / R 2. Ова значи дека ја најдовме густината на целата оска на реалните броеви.

Друго корисно својство на густината е веројатноста дека функцијата зема вредност од интервал, пресметана со користење на интегралот на густината во овој интервал (можете да дознаете што е тоа во написите за правилни, неправилни и неопределени интеграли на Mathprofi веб-страница).

При првото читање, интегралот над интервал од функцијата f(x) може да се замисли како плоштина на заоблен трапез. Неговите страни се фрагмент од оската Ox, празнина (хоризонтална координатна оска), вертикални сегменти што ги поврзуваат точките (a,f(a)), (b,f(b)) на кривата со точки (a,0), (b,0 ) на оската Ox. Последната страна е фрагмент од графикот на функцијата f од (a,f(a)) до (b,f(b)) . Можеме да зборуваме за интегралот над интервалот (-∞; b], кога за доволно големи негативни вредности, a, вредноста на интегралот во интервалот ќе се промени занемарливо во споредба со промената на бројот a. Интегралот над интервали е дефинирано на сличен начин)