Законот за распределба на минимумот (максимумот) од две случајни променливи. Закон за распределба на статистиката за нарачки
Во овој дел прво ќе ја разгледаме таквата функционална трансформација в. в., што се состои во избор на максимум (минимум) од две вредности.
Задача 1. Законот за распределба на минимум две случајни променливи. Даден е континуиран систем. В. (X и X 2)со стр./(*!, x 2).Најдете ја функцијата за распределба на р.в. Y:
Решение. Ајде прво да го најдеме P ( Y> y) = П (Кси > y; X 2 > y). Регион Д(y), каде X> y и X 2 > yприкажано на сл. 9.6.1. Веројатност да се погоди точка (X[, X 2)кон регионот Д(y) е еднаков
Каде F (x b x 2) -функција за дистрибуција на системот в. В. (Хь Х 2), F x(jq), Ф 2 (x 2) - функции на дистрибуција в. В. XИ X 2 соодветно. Оттука,
За да се утврди п.р. g (y)треба да го пронајдете дериватот на десната страна (9.6.1):
Доколку со. В. X x, X 2 независни и дистрибуирани идентично со п.р. Фи(X) =/ 2 (x) =f(x),Тоа
Пример 1. Ја разгледуваме работата на уред кој се состои од два блока Bi и B 2, чија заедничка работа е апсолутно неопходна за работата на уредот. Блок Б работни времиња! и B 2 претставуваат независни s. В. XИ X 2,распоредени според експоненцијални закони со параметри XИ X 2.Се бара да се најде законот за распределба в. В. U-време на работа на техничката единица.
Решение. Очигледно е дека
Користејќи ги формулите (9.6.4) наоѓаме:
т.е. најмалку две независни случајни променливи, распределени според експоненцијални закони со параметри X x и X 2, исто така распоредени според експоненцијални закони со параметар X x + X 2. ?
Задача 2. Закон за распределба на минимум од Пнезависни случајни променливи. Со оглед на системот Псамостојни села В. (X x, X 2, ..., X p)со п.р .f (x x),f 2 (x 2), ...,f n (x n). Најдете f. Р. и густина в. В. Y=мин (Х X,.... X стр).
Решение. А-приоритет
Пример 2. Ја разгледуваме работата на автоматизиран систем (AS), кој се состои од Ппотсистеми За да функционираат звучниците, треба сите да работат Ппотсистеми; време на работа на /th потсистемот 7} распределени според експоненцијалниот закон со параметарот (/ = 1, 2, П)и не зависи од времето на работа на другите потсистеми. Определете го законот за распределба на времето D i) за работа без дефекти на AS.
Решение. Очигледно е дека
Користејќи ја формулата (9.6.6) ја наоѓаме функцијата за дистрибуција r.v. Д л)
Така, законот за распределба в. В. - минимум од Псамостојни села в., распределен според експоненцијалните закони, исто така е експоненцијален; додека неговиот параметар i)S n))е еднаков на збирот на параметрите на овие експоненцијални распределби. Го следи тоа
Може да се покаже дека законот за распределба в. В. Г) кога е доволно голем Пќе се приближи до експоненцијалниот закон, дури и ако с. В. 7) (/= 1, 2, ..., П)не се распределуваат според експоненцијалните закони. Дозволете ни да го демонстрираме ова користејќи го примерот на еднакво рамномерно распределени s. V.:
Во овој случај
и ова е ѓ. Р. демонстративно право.
Така, можеме да извлечеме заклучок што е широко користен во инженерските апликации: ако некој уред се состои од доволно голем број елементи n, чија работа е апсолутно неопходна за работата на уредот, тогаш законот за временска распределба F p) за работа без дефекти на уредот е блиску до експоненцијален со параметарот, определена со формулата
каде М[ Tj-просечно време на работа без дефекти на i-тиот елемент.
Протокот на неуспех на таков уред ќе биде блиску до Поасон со параметарот ) Сн ?
Задача 3. Закон за распределба на максимум две случајни променливи. Даден е континуиран систем. В. (Хь X 2)со густина/(lbs x 2).Се бара да се најде законот за распределба на р.в.
Решение. А-приоритет,
Каде F(x x, x 2) - функција за дистрибуција на системот (Х и Х 2).
Разликувајќи го овој израз како што направивме претходно, добиваме:
Ако случајни променливи X и X2 тогаш се подеднакво распределени
Ако случајни променливи X x 2 тогаш се независни
Ако случајни променливи X x 2 независни и подеднакво распоредени, тогаш
Пример 3. Работата на технички уред не може да започне пред да заврши склопувањето на неговите два блока Bi и B2. Времето на склопување на блоковите Bi и B 2 е систем на независни s. В. X xИ X 2,распоредени според експоненцијални закони со параметри X xИ X 2. Y-време на завршување на склопувањето на двата блока со техничка спецификација.
Решение. Очигледно е дека Y=макс (X ъ X 2).Густина на дистрибуција в. В. ^се одредува со формулата (9.6.12)
Овој закон не е индикативен. ?
Задача 4. Законот за распределба на максимумот од Пнезависни случајни променливи. Даден е континуиран систем. В. (X x, X 2 , ..., X p)со густина f(x x, x 2,
Најдете го законот за распределба на случајна променлива
Решение. А-приоритет
Каде F(x 1, X 2 ,..., x p) -функција за дистрибуција на системот (X x, X 2, ..., X стр).Со диференцирање, ја наоѓаме густината на дистрибуцијата:
Каде Fj (Xj) - ѓ. Р. Со. В. Xjfj(xj) - неговата густина.
Доколку со. В. x b ..., X стрнезависни и рамноправно распоредени (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,П)), Тоа
Ако случајни променливи X и ..., X стртогаш се независни
Пример 4. Работата на техничката опрема не може да започне пред склопување на сите Пнеговите блокови: B b Bg, ..., B„. Времињата на склопување на блоковите B b..., B l претставуваат систем Псамостојни села В. (Ха..., X p),распределени според експоненцијални закони со параметри A.1,..., A, стр.
Треба да ја најдеме густината c. В. U-време на завршување за целото склопување ПТУ блокови.
Решение. Очигледно y = макс (Х,..., X стр).Според формулата (9.6.16) имаме 
Задача 5. Закон за распределба на статистиката на нарачката. Да разгледаме континуиран систем на идентично распределени, независни с. В. (X v X 2, ..., X p)со ѓ. Р. F(x)и стр./(x). Дозволете ни да ги распоредиме вредностите преземени од случајните променливи X v X 2, ..., X стр,во растечки редослед и означува:
X (1) - случајна променлива која ја зема најмалата вредност: (X (1) = мин (X v X 2, ..., X p));
X (2) -втора најголема прифатена вредност на случајните променливи X v X 2, ..., X p;
X(Т) - y-iпо големината на прифатената вредност од случајните променливи X x, X 2, ..., X p;
X(P) -најголемата случајна променлива според прифатената вредност X, X 2, x„ (X (n) =Шах (X и X 2, ..., X стр)).
Очигледно,
Случајни променливи X(i), X@),..., X (")се нарекуваат редовна статистика.
Формулите (9.6.8) и (9.6.17) ги даваат законите за распределба на екстремни термини X(i),И X (")системи (*).
Да ја најдеме функцијата за дистрибуција F^ m)(x)s. В. X^ t yНастан (X^x) е тоа ТСо. В. од системот ПСо. В. (Х (, Х 2 ,..., X n) ќе биде помал од x и (p - t)Со. В. ќе биде поголем од x. Бидејќи с. В. X т (/" = 1, 2,..., П)се независни и идентично распоредени, потоа П (X t x) = F(x)Р (Xj > x) = 1 - F(x).Треба да ја најдеме веројатноста дека во Пнастан за независни експерименти (Xj x) ќе се појави точно Теднаш. Применувајќи ја биномната распределба, добиваме
Направете закон за дистрибуција за бројот на неисправни делови произведени за време на смена на двете машини и пресметајте ги математичкото очекување и стандардното отстапување на оваа случајна променлива.
192. Веројатноста дека на часовникот му треба дополнително прилагодување е 0,2. Подгответе закон за распределба на бројот на часовници на кои им е потребно дополнително прилагодување меѓу три случајно избрани часовници. Користејќи го добиениот закон за распределба, пронајдете ги математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива. Проверете го резултатот користејќи ги соодветните формули за математичко очекување и дисперзија на случајна променлива распределена според биномниот закон.
193. Од расположливите шест лозови, од кои четири се недобитни, по случаен избор се извлекува едно ливче додека не се наиде на добитен тикет. Подгответе закон за дистрибуција за случајната променлива X - бројот на извадени билети, доколку секој изваден билет не се врати назад. Најдете ги математичкото очекување и стандардното отстапување на оваа случајна променлива.
194. Студентот може да го полага испитот не повеќе од четири пати. Направете закон за дистрибуција за случајната променлива X - бројот на обиди да се положи испитот, ако веројатноста за полагање е 0,75 и последователно се зголемува за 0,1 со секој следен обид. Најдете ја варијансата на оваа случајна променлива.
195. Дадени се законите на дистрибуција на две независни случајни променливи X и Y:
| X | – 6 | Y | – 3 | – 1 | ||||
| П | 0,3 | 0,45 | 0,25 | 0,75 | 0,25 |
Направете закон за распределба за случајната променлива X–Y и проверете го својството на дисперзија D(X–Y) = D(X) + D(Y).
196. Меѓу петте часовници од ист тип достапни во работилницата, само еден има погрешно порамнето нишало. Мајсторот проверува случајно избран часовник. Прегледот завршува веднаш штом ќе се открие часовник со поместено нишало (проверените часовници не се гледаат повторно). Направете закон за распределба за бројот на часови што ги гледа мајсторот и пресметајте ги математичкото очекување и дисперзијата на оваа случајна променлива.
197. Независните случајни променливи X и Y се специфицирани со законите за дистрибуција:
| X | Y | – 2 | ||||||
| П | 0,1 | 0,3 | ? | 0,4 | 0,6 |
Нацртајте го законот за распределба на случајната променлива X 2 + 2Y и проверете го својството на математичкото очекување: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).
198. Познато е дека случајната променлива X, земајќи две вредности x 1 = 1 и x 2 = 2, има математичко очекување еднакво на 7/6. Најдете ги веројатностите со кои случајната променлива X ги зема своите вредности. Направете закон за распределба за случајна променлива 2 X 2 и пронајдете ја нејзината варијанса.
199. Две независни случајни променливи X и Y се специфицирани со законите за дистрибуција:
Најдете P(X= 3) и P(Y= 4). Составете го законот за распределба на случајната променлива X – 2Y и проверете ги својствата на математичкото очекување и дисперзија: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).
Во задачите 201–210, дадени се случајни променливи кои се распределени според нормалниот закон
201. Случајната променлива ξ е нормално распределена. Најдете P(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.
202. Случајната променлива ξ е нормално распределена. Најдете P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.
203. Случајната променлива ξ е нормално распределена. Најдете P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.
204. <σ).
205. За случајна променлива ξ распределена според нормалниот закон, најдете Р(|ξ–а|<2σ).
206. За случајна променлива ξ распределена според нормалниот закон, најдете Р(|ξ–а|<4σ).
207. Независните случајни променливи ξ и η се нормално распределени,
Мξ= –1; Dξ= 2; Мη= 5; Dη= 7. Запишете ја густината на веројатноста и функцијата на распределба на нивниот збир. Најдете Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).
208. Независните случајни променливи ξ, η, ζ се распределени според нормалниот закон и Мξ= 3; Dξ= 4; Μη= –2; Dη= 0,04; Мз= 1; Dζ= 0,09. Запишете ја густината на веројатноста и функцијата на дистрибуција за нивниот збир. Најдете Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).
209. Независните случајни променливи ξ, η, ζ се нормално распределени и Мξ= –1; Dξ= 9; Мη= 2; Dη= 4; Мз= –3; Dζ= 0,64. Запишете ја густината на веројатноста и функцијата на дистрибуција за нивниот збир. Најдете Р(ξ+η+ζ<0) и
Р(–3< ξ+η+ζ<0).
210. Автоматската машина произведува ролери, контролирајќи ги нивните дијаметри ξ. Под претпоставка дека ξ е нормално распределен и a = 10 mm, σ = 0,1 mm, најдете го интервалот во кој дијаметрите на произведените валјаци ќе бидат содржани со веројатност од 0,9973.
Во задачите 211–220, примерок X од волумен n = 100 е даден со табелата:
| x i | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| n i | 20+(а+б) | 30–(а+б) |
каде што резултатите од мерењето x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – фреквенции со кои се појавуваат вредности x i.
1) конструирај многуаголник со релативни фреквенции w i =n i /n;
2) пресметајте ја средната вредност на примерокот, варијансата на примерокот D B и стандардната девијација σ B;
3) пресметај теоретски фреквенции. Конструирај график на истиот цртеж како и многуаголникот;
4) користејќи го критериумот χ 2, тестирајте ја хипотезата за нормалната распределба на популацијата на ниво на значајност α = 0,05.
211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;
215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.
Во задачите 221–230, дводимензионален примерок од резултатите од заедничките мерења на карактеристиките X и Y со волумен од n = 100 е наведен со корелациона табела:
| X Y | y 1 | y 2 | y 3 | y 4 | y 5 | n xi |
| x 1 | – | – | – | |||
| x 2 | – | – | ||||
| x 3 | – | 8+а | 12+б | – | – | 20+(а+б) |
| x 4 | – | – | 16–а | 14–б | – | 30–(а+б) |
| x 5 | – | – | – | |||
| x 6 | – | – | ||||
| x 7 | – | – | – | |||
| n yi | 19+а | 42+b–a | 31-б | n = 100 |
каде x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; y i = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.
1) Најдете и σ y. Земете ги вредностите на и σ x од претходната задача.
2) Пресметај го коефициентот на корелација r B . Извлечете заклучок за природата на односот помеѓу карактеристиките X и Y.
3) Конструирај ја равенката на права линија на регресија на Y на X во форма.
4) Нацртајте го полето за корелација на графикот, т.е. исцртај ги точките (xi, yi) и конструирај права линија.
221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;
224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;
227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2
230. a = 5; b = 4
Во задачите 231–240, најдете ја максималната вредност на функцијата 
под услови 
.
Земете ги вредностите од табелата
| Опции | Опции | |||||||||
| А 1 | ||||||||||
| А 2 | ||||||||||
| А 3 | ||||||||||
| Б 1 | ||||||||||
| Б 2 | ||||||||||
| Б 3 | ||||||||||
| Т 1 | ||||||||||
| Т 2 | ||||||||||
| Т 3 | ||||||||||
| C 1 | ||||||||||
| C 2 |
потребно:
1) решава линеарно програмски проблем со помош на графички метод;
2) решавање на проблемот со методот на табеларен симплекс;
3) прикажете ја кореспонденцијата помеѓу решенијата за поддршка и темињата на регионот на изводливи решенија;
Во проблемите 241–250, одреден хомоген товар концентриран меѓу три добавувачи A i () мора да биде доставен до пет потрошувачи B j (). Товарните залихи од добавувачите a i и потребите на потрошувачите b j, како и трошоците за транспорт на единица товар од i-тиот добавувач до j-тиот потрошувач C ij се дадени во табелата.
| Добавувачи | Потрошувачите | Резерви | ||||
| Б 1 | Б 2 | Б 3 | Б 4 | Б 5 | ||
| А 1 | Од 11 | Од 12 | Од 13 | Од 14 | Од 15 | а 1 |
| А 2 | Од 21 | Од 22 | Од 23 | Од 24 | Од 25 | а 2 |
| А 3 | C 31 | C 32 | C 33 | C 34 | Од 35 | а 3 |
| Потреби | б 1 | б 2 | б 3 | б 4 | б 5 |
Треба да се утврдиоптимален транспортен план кој овозможува отстранување на целиот товар од добавувачите и ги задоволува потребите на сите потрошувачи на таков начин што овој план има минимални трошоци. Најдете го првиот план за поддршка користејќи го методот на „северозападен“ агол. Најдете го оптималниот план користејќи го потенцијалниот метод. Пресметајте ги трошоците за испорака за секој план.
| Опции | Опции | |||||||||
| а 1 | ||||||||||
| а 2 | ||||||||||
| а 3 | ||||||||||
| б 1 | ||||||||||
| б 2 | ||||||||||
| б 3 | ||||||||||
| б 4 | ||||||||||
| б 5 | ||||||||||
| Од 11 | ||||||||||
| Од 12 | ||||||||||
| Од 13 | ||||||||||
| Од 14 | ||||||||||
| Од 15 | ||||||||||
| Од 21 | ||||||||||
| Од 22 | ||||||||||
| Од 23 | ||||||||||
| Од 24 | ||||||||||
| Од 25 | ||||||||||
| C 31 | ||||||||||
| C 32 | ||||||||||
| C 33 | ||||||||||
| C 34 | ||||||||||
| Од 35 |
Во задачите 251-260, индустријата врши капитални инвестиции во четири објекти.Имајќи ги предвид карактеристиките на придонесот и локалните услови, добивката на индустријата, во зависност од висината на финансирањето, се изразува со елементите на платежната матрица. За да се поедностави проблемот, претпоставете дека загубата во индустријата е еднаква на профитот на индустријата. Најдете оптимални индустриски стратегии. Потребно:
1) сумирајте ги почетните податоци во табела и пронајдете решение за матричната игра во чисти стратегии, доколку постои (во спротивно, видете го следниот чекор 2);
2) поедноставување на матрицата за плаќање;
3) креирајте пар меѓусебни двојни проблеми еквивалентни на дадената матрична игра;
4) да се најде оптималното решение за директниот проблем (за индустријата Б) со помош на методот симплекс;
5) користејќи ја кореспонденцијата на променливите, запишете го оптималното решение за двојниот проблем (за индустријата А);
6) даде геометриска интерпретација на ова решение (за индустрија А);
7) користејќи ја врската помеѓу оптималните решенија за пар двојни проблеми, оптималните стратегии и цената на играта, најдете решение за играта во мешани стратегии;
опција 1 опција 2 опција 3
1. Аналитичка геометрија и векторска алгебра………………….. 4
2. Системи на линеарни равенки и сложени броеви…………….. 5
3. Исцртување графикони на функции, пресметување на граници
и идентификување на точките на прекин на функциите.………………………………. 6
4. Изводи на функции, најголеми и најмали вредности
на сегментот.................................................. 9
5. Истражување на функции и изградба на графикони,
функции на неколку променливи, метод на најмали квадрати... 11
6. Неопределен, определен и неправилен интеграл….. 12
7. Решавање диференцијални равенки и системи
диференцијални равенки……………………………………… 14
8. Повеќекратни и криволиниски интеграли ………………………………… 15
9. Проучување на нумерички и енергетски серии, приближно
решенија на диференцијални равенки…………………………… 17
10. Теорија на веројатност………………………………………………………… 18
Петр Алексеевич Буров
Анатолиј Николаевич Муравјов
Збирка задачи
©2015-2019 сајт
Сите права припаѓаат на нивните автори. Оваа страница не бара авторство, но обезбедува бесплатна употреба.
Датум на создавање на страница: 2017-12-07
Две случајни променливи $X$ и $Y$ се нарекуваат независни ако законот за распределба на една случајна променлива не се менува во зависност од тоа кои можни вредности ги зема другата случајна променлива. Односно, за сите $x$ и $y$ настаните $X=x$ и $Y=y$ се независни. Бидејќи настаните $X=x$ и $Y=y$ се независни, тогаш според теоремата на производот на веројатности на независни настани $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ десно)\десно)=P \лево(X=x\десно)P\лево(Y=y\десно)$.
Пример 1 . Нека случајната променлива $X$ ги изразува добивките во готовина од тикетите на една лотарија „Руско лото“, а случајната променлива $Y$ ги изразува добивките во готовина од билетите на друга лотарија „Златен клуч“. Очигледно е дека случајните променливи $X,\Y$ ќе бидат независни, бидејќи добивките од тикетите на една лотарија не зависат од законот за распределба на добивките од билетите на друга лотарија. Во случај кога случајните променливи $X,\Y$ би ги изразиле добивките од истата лотарија, тогаш, очигледно, овие случајни променливи би биле зависни.
Пример 2 . Двајца работници работат во различни работилници и произведуваат различни производи кои не се поврзани едни со други со производните технологии и употребените суровини. Законот за дистрибуција за бројот на неисправни производи произведени од првиот работник по смена ја има следната форма:
$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
Број на \ неисправни \ производи \ x & 0 и 1 \\
\hline
Веројатност и 0,8 и 0,2 \\
\hline
\крај (низа)$
Бројот на неисправни производи произведени од вториот работник по смена го почитува следниот закон за дистрибуција.
$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
Број на \ неисправни \ производи \ y & 0 и 1 \\
\hline
Веројатност и 0,7 и 0,3 \\
\hline
\крај (низа)$
Да го најдеме законот за дистрибуција за бројот на неисправни производи произведени од двајца работници по смена.
Нека случајната променлива $X$ е бројот на неисправни производи произведени од првиот работник по смена, а $Y$ бројот на неисправни производи произведени од вториот работник по смена. По услов, случајните променливи $X,\Y$ се независни.
Бројот на неисправни производи произведени од двајца работници по смена е случајна променлива $X+Y$. Неговите можни вредности се $0, \ 1 $ и $2 $. Да ги најдеме веројатностите со кои случајната променлива $X+Y$ ги зема своите вредности.
$P\лево(X+Y=0\десно)=P\лево(X=0,\ Y=0\десно)=P\лево(X=0\десно)P\лево(Y=0\десно) =0,8\cdot 0,7=0,56,$
$P\лево(X+Y=1\десно)=P\лево(X=0,\ Y=1\ или\ X=1,\ Y=0\десно)=P\лево(X=0\десно )P\лево(Y=1\десно)+P\лево(X=1\десно)P\лево(Y=0\десно)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$
$P\лево(X+Y=2\десно)=P\лево(X=1,\ Y=1\десно)=P\лево(X=1\десно)P\лево(Y=1\десно) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
Потоа законот за дистрибуција на бројот на неисправни производи произведени од двајца работници по смена:
$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
Број на \ неисправни \ производи и 0 и 1 и 2 \\
\hline
Веројатност и 0,56 и 0,38 и 0,06 \\
\hline
\крај (низа)$
Во претходниот пример, извршивме операција на случајни променливи $X,\Y$, имено, ја најдовме нивната сума $X+Y$. Сега да дадеме поригорозна дефиниција на операциите (собирање, разлика, множење) преку случајни променливи и да дадеме примери за решенија.
Дефиниција 1. Производот $kX$ од случајна променлива $X$ од константна променлива $k$ е случајна променлива која зема вредности $kx_i$ со исти веројатности $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \точки ,\ n\ десно)$.
Дефиниција 2. Збирот (разликата или производот) на случајните променливи $X$ и $Y$ е случајна променлива која ги зема сите можни вредности од формата $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ или $x_i\cdot y_i$) , каде $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, со веројатности $p_(ij)$ случајната променлива $X$ да ја земе вредноста $x_i$, а $Y$ вредноста $y_j$:
$$p_(ij)=P\лево[\лево(X=x_i\десно)\лево(Y=y_j\десно)\десно].$$
Бидејќи случајните променливи $X,\Y$ се независни, тогаш според теоремата за множење на веројатноста за независни настани: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ десно)= p_i\cdot p_j$.
Пример 3 . Независните случајни променливи $X,\ Y$ се специфицирани со нивните закони за дистрибуција на веројатност.
$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
x_i и -8 и 2 и 3 \\
\hline
p_i и 0,4 и 0,1 и 0,5 \\
\hline
\крај (низа)$
$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
y_i и 2 и 8 \\
\hline
p_i и 0,3 и 0,7 \\
\hline
\крај (низа)$
Да го формулираме законот за распределба на случајната променлива $Z=2X+Y$. Збирот на случајните променливи $X$ и $Y$, односно $X+Y$, е случајна променлива која ги зема сите можни вредности од формата $x_i+y_j$, каде што $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , со веројатности $p_(ij)$ дека случајната променлива $X$ ќе ја земе вредноста $x_i$, а $Y$ вредноста $y_j$: $p_(ij)=P\лево [\лево(X=x_i\десно )\лево(Y=y_j\десно)\десно]$. Бидејќи случајните променливи $X,\Y$ се независни, тогаш според теоремата за множење на веројатноста за независни настани: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ десно)= p_i\cdot p_j$.
Значи, има закони за дистрибуција за случајните променливи $2X$ и $Y$, соодветно.
$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
x_i и -16 и 4 и 6 \\
\hline
p_i и 0,4 и 0,1 и 0,5 \\
\hline
\крај (низа)$
$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
y_i и 2 и 8 \\
\hline
p_i и 0,3 и 0,7 \\
\hline
\крај (низа)$
За погодност да ги најдеме сите вредности на збирот $Z=2X+Y$ и нивните веројатности, ќе составиме помошна табела, во секоја ќелија од која во левиот агол ќе ги поставиме вредностите на збирот $ Z=2X+Y$, а во десниот агол - веројатностите на овие вредности се добиени како резултат на множење на веројатностите на соодветните вредности на случајни променливи $2X$ и $Y$.
Како резултат на тоа, ја добиваме дистрибуцијата $Z=2X+Y$:
$\begin(низа)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i и 0,12 и 0,28 и 0,03 и 0,07 и 0,15 и 0,35 \\
\hline
\крај (низа)$