Во современиот свет, сè повеќе користиме различни машини и гаџети. И не само кога е неопходно да се употреби буквално нечовечка сила: да се премести товарот, да се подигне на височина, да се ископа долг и длабок ров итн. Денес, автомобилите ги собираат роботи, храната ја подготвуваат повеќешпорети и основните аритметички пресметки се вршат со калкулатори. Сè почесто го слушаме изразот „Булова алгебра“. Можеби е дојдено време да се разбере улогата на човекот во создавањето роботи и способноста на машините да решаваат не само математички, туку и
Логики
Преведено од грчки, логиката е уреден систем на размислување кој создава односи помеѓу дадените услови и овозможува да се донесуваат заклучоци врз основа на премиси и претпоставки. Доста често се прашуваме: „Дали е ова логично? Добиениот одговор ги потврдува нашите претпоставки или го критикува возот на мислата. Но, процесот не запира: продолжуваме да размислуваме.
Понекогаш бројот на состојби (воведни) е толку голем, а односите меѓу нив се толку сложени и сложени што човечкиот мозок не е во состојба да „свари“ сè одеднаш. Можеби ќе треба повеќе од еден месец (недела, година) за да се разбере што се случува. Но, современиот живот не ни дава такви временски интервали за да донесуваме одлуки. И ние прибегнуваме кон помош на компјутери. И тука се појавува алгебрата на логиката, со нејзините закони и својства. Со вчитување на сите првични податоци, му дозволуваме на компјутерот да ги препознае сите врски, да ги елиминира противречностите и да најде задоволително решение.
Математика и логика
Познатиот Готфрид Вилхелм Лајбниц го формулираше концептот на „математичка логика“, чии задачи беа разбирливи само за тесен круг на научници. Овој правец не предизвика голем интерес, а до средината на 19 век малкумина знаеја за математичката логика.
Спорот во кој Англичанецот Џорџ Бул ја објави својата намера да создаде гранка на математиката која нема апсолутно никаква практична примена, предизвика голем интерес во научните заедници. Како што се сеќаваме од историјата, во тоа време активно се развиваше индустриското производство, се развиваа секакви помошни машини и машински алати, односно сите научни откритија имаа практична ориентација.
Гледајќи напред, да речеме дека Буловата алгебра е најкористениот дел од математиката во современиот свет. Така, Буле ја загуби расправата.
Џорџ Бул
Личноста на самиот автор заслужува посебно внимание. Дури и земајќи го предвид фактот дека во минатото луѓето растеле пред нас, сè уште е невозможно да не се забележи дека на 16-годишна возраст Ј. Бул предавал во селско училиште, а до 20-тата година отворил сопствено училиште во Линколн. Математичарот одлично владеел пет странски јазици, а во слободно време ги читал делата на Њутн и Лагранж. И сето ова е за син на едноставен работник!
Во 1839 година, Бул првпат ги испратил своите научни трудови во математичкото списание Кембриџ. Научникот наполни 24 години. Работата на Бул толку ги заинтересирала членовите на Кралското научно друштво што во 1844 година добил медал за неговиот придонес во развојот. Да потсетиме дека самиот Бул немал никакво образование.
Идеја
Во принцип, Буловата алгебра е многу едноставна. Постојат изрази кои, од математичка гледна точка, може да се дефинираат само со два збора: „точно“ или „неточно“. На пример, во пролетта дрвјата цветаат - точно, во лето паѓа снег - лажно. Убавината на оваа математика е што нема строга потреба да се користат само бројки. Сите изјави со недвосмислено значење се сосема погодни за алгебрата на судовите.
Така, алгебрата на логиката може да се користи буквално насекаде: при закажување и пишување инструкции, анализа на конфликтни информации за настаните и одредување на низата на дејства. Најважно е да разбереме дека воопшто не е важно како ја одредуваме вистинитоста или неточноста на една изјава. Овие „како“ и „зошто“ треба да се апстрахираат. Она што е важно е само изјавата на фактот: вистина или лага.
Се разбира, логичките алгебарски функции, кои се напишани со соодветните знаци и симболи, се важни за програмирање. А нивното учење значи совладување на нов странски јазик. Ништо не е невозможно.
Основни поими и дефиниции
Без да навлегуваме во длабочина, да ја погледнеме терминологијата. Значи, Буловата алгебра претпоставува присуство на:
- искази;
- логички операции;
- функции и закони.
Изјавите се какви било потврдни изрази кои не можат да се толкуваат во две значења. Тие се напишани во форма на броеви (5 > 3) или формулирани со познати зборови (слонот е најголемиот цицач). Згора на тоа, фразата „жирафата нема врат“ исто така има право да постои, само Буловата алгебра ќе ја дефинира како „лажна“.
Сите изјави мора да бидат недвосмислени, но тие можат да бидат елементарни и сложени. Вторите користат логички врски. Односно, во алгебрата на судови сложените искази се формираат со собирање елементарни преку логички операции.
Булова алгебра операции
Веќе се сеќаваме дека операциите во алгебрата на судови се логични. Исто како што алгебрата со броеви користи аритметички операции за собирање, одземање или споредување броеви, елементите на математичката логика ви дозволуваат да конструирате сложени искази, да дадете негација или да го пресметате конечниот резултат.
За формализирање и едноставност, логичките операции се напишани со помош на формули познати за нас во аритметиката. Својствата на Буловата алгебра овозможуваат пишување равенки и пресметување непознати. обично се пишува со помош на табела на вистинитост. Нејзините колони ги дефинираат елементите на пресметките и операцијата што се изведува на нив, а редовите го прикажуваат резултатот од пресметките.
Основни логички дејства
Најчестите операции во Буловата алгебра се негација (НЕ) и логички И и ИЛИ. На овој начин може да се опишат речиси сите дејства во алгебрата на судовите. Да ја проучиме секоја од трите операции подетално.
Негацијата (не) важи само за еден елемент (операнд). Затоа, операцијата на негација се нарекува унарна. За да се напише концептот „не А“ се користат следните симболи: ¬A, A¯¯¯ или!A. Во табеларна форма изгледа вака:
Негациската функција се карактеризира со следнава изјава: ако A е точно, тогаш B е неточно. На пример, Месечината се врти околу Земјата - точно; Земјата се врти околу Месечината - лага.
Логичко множење и собирање
Логичкото И се нарекува операција за сврзување. Што значи тоа? Прво, може да се примени на два операнди, т.е. И е бинарна операција. Второ, само ако двата операнди (А и Б) се вистинити, самиот израз е вистинит. Поговорката „Трпението и работата ќе смачкаат сè“ сугерира дека само двата фактори ќе му помогнат на човекот да се справи со тешкотиите.
Следниве симболи се користат за снимање: A∧B, A⋅B или A&&B.
Сврзникот е сличен на множењето во аритметиката. Понекогаш така велат - логично множење. Ако ги помножиме елементите на табелата по ред, добиваме резултат сличен на логично размислување.
Дисјункцијата е логичка ИЛИ операција. Ја прифаќа вистинитоста вредност кога барем една од (или А или Б). Се пишува вака: A∨B, A+B или A||B. Табелите на вистинитост за овие операции се:
Дисјункцијата е слична на аритметичкото собирање. Операцијата логичко собирање има само едно ограничување: 1+1=1. Но, се сеќаваме дека во дигитален формат математичката логика е ограничена на 0 и 1 (каде што 1 е точно, 0 е неточно). На пример, изјавата „во музеј можете да видите ремек-дело или да сретнете интересен соговорник“ значи дека можете да видите уметнички дела или можете да запознаете интересна личност. Во исто време, не може да се исклучи можноста двата настани да се случат истовремено.
Функции и закони
Значи, веќе знаеме кои логички операции ги користи Буловата алгебра. Функциите ги опишуваат сите својства на математичките логички елементи и ви овозможуваат да ги поедноставите сложените сложени услови на проблеми. Најразбирливото и наједноставното својство се чини дека е својството на одбивање на изведени операции. Дериватите се подразбираат како ексклузивни ИЛИ, импликации и еквивалентност. Бидејќи само се запознавме со основните операции, ќе ги разгледаме и само тие својства.
Асоцијативностзначи дека во искази како „и A, и B, и C“, секвенцата на наведување на операндите не е важна. Формулата ќе биде напишана вака:
(A∧B)∧B=A∧(B∧B)=A∧B∧B,
(A∨B)∨B=A∨(B∨B)=A∨B∨B.
Како што гледаме, ова е карактеристично не само за конјункција, туку и за дисјункција.
Комутативностнаведува дека резултатот од сврзник или дисјункција не зависи од тоа кој елемент бил разгледан прв:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Дистрибутивностави овозможува да ги проширите заградите во сложени логички изрази. Правилата се слични на отворањето загради при множење и собирање во алгебра:
A∧(B∨B)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Својства на еден и нула, кој може да биде еден од операндите, се исто така аналогни на алгебарското множење со нула или еден и собирање со еден:
A∧0=0,A∧1=A; A∨0=A,A∨1=1.
Идемпотенцијани кажува дека ако, во однос на два еднакви операнди, резултатот од операцијата се покаже дека е сличен, тогаш можеме да ги „фрлиме“ непотребните операнди кои го комплицираат текот на расудувањето. И конјункцијата и дисјункцијата се идемпотентни операции.
B∧B=B; B∨B=B.
Апсорпцијаисто така ни овозможува да ги поедноставиме равенките. Апсорпција наведува дека кога друга операција на истиот елемент се применува на израз со еден операнд, резултатот е операндот од операцијата за апсорпција.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Редоследот на операциите
Редоследот на операциите е важен. Всушност, што се однесува до алгебрата, постои приоритет на функции што ги користи Буловата алгебра. Формулите може да се поедностават само ако се почитува значењето на операциите. Рангирање од најзначајно до најмалку значајно, ја добиваме следната низа:
1. Негирање.
2. Сврзник.
3. Дисјункција, ексклузивно ИЛИ.
4. Импликација, еквивалентност.
Како што гледаме, само негацијата и сврзникот немаат еднакви приоритети. И приоритетот на дисјункција и исклучиво ИЛИ се еднакви, како и приоритетите на импликација и еквивалентност.
Функции на импликација и еквивалентност
Како што веќе рековме, покрај основните логички операции, математичката логика и теоријата на алгоритми користат и деривати. Најчесто користени се импликација и еквивалентност.
Импликација, или логичка последица, е изјава во која едно дејство е услов, а друго е последица на нејзиното спроведување. Со други зборови, ова е реченица со предлози „ако... тогаш“. „Ако сакате да јавате, сакате да носите и санки“. Тоа е, за да се вози, треба да ја повлечете санката по ридот. Ако не сакате да се лизнете по планината, тогаш не мора да ја носите санката. Се пишува вака: A→B или A⇒B.
Еквивалентноста претпоставува дека добиеното дејство се случува само ако двата операнди се вистинити. На пример, ноќта го препушта денот кога (и само тогаш) кога сонцето изгрева над хоризонтот. На јазикот на математичката логика оваа изјава е напишана на следниов начин: A≡B, A⇔B, A==B.
Други закони на Буловата алгебра
Алгебрата на судови се развива, а многу заинтересирани научници формулираа нови закони. Најпознати се постулатите на шкотскиот математичар О. де Морган. Тој забележал и дефинирал такви својства како блиска негација, комплемент и двојна негација.
Затворете го демантирањетопретпоставува дека нема негација пред заградата: не (А или Б) = не А или НЕ Б.
Кога операндот е негиран, без оглед на неговата вредност, се вели дека е додавање:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
И, конечно двапати брсама се компензира. Оние. или негацијата исчезнува пред операндот, или останува само еден.
Како да решавате тестови
Математичката логика вклучува поедноставување на дадените равенки. Исто како и во алгебрата, прво мора да ја поедноставите состојбата колку што е можно (да се ослободите од сложените влезови и операции со нив), а потоа да започнете да го барате точниот одговор.
Што може да се направи за да се поедностави? Претворете ги сите операции со изводи во едноставни. Потоа отворете ги сите загради (или обратно, поместете ги надвор од заградите за да го скратите овој елемент). Следниот чекор треба да биде примена на својствата на Буловата алгебра во пракса (апсорпција, својства на нула и еден итн.).
На крајот на краиштата, равенката мора да се состои од минимален број на непознати, комбинирани со едноставни операции. Најлесен начин да се најде решение е да се постигнат голем број блиски негации. Тогаш одговорот ќе се појави како сам по себе.
Вовед
Темата на тестот е „Математичка логика“.
BOOL или BUL, исто така BUUL, Џорџ (1815-1864) - англиски математичар кој се смета за основач на математичката логика.
Математичката логика е гранка на математиката посветена на анализа на методите на расудување, додека формите на расудување првенствено се изучуваат, а не нивната содржина, т.е. се изучува формализирање на расудувањето.
Формализацијата на расудувањето се навраќа на Аристотел. Аристотелската (формална) логика ја стекна својата модерна форма во втората половина на 19 век во делото на Џорџ Бул „Законите на мислата“.
Математичката логика започна интензивно да се развива во 50-тите години на 20 век во врска со брзиот развој на дигиталната технологија.
1. Елементи на математичката логика
Главните гранки на математичката логика се исказите и предикатните пресметки.
Исказ е реченица која може да биде или вистинита или неточна.
Пропозициското сметање е воведен дел од математичката логика што се занимава со логички операции на пропозиции.
Предикатот е логичка функција од n променливи што ги зема вредностите точно или неточно.
Предикатното сметање е гранка на математичката логика, чиј предмет е натамошното проучување и генерализирање на искажното сметање.
Теоријата на Буловите алгебри (Булови функции) ја формира основата на прецизни методи на анализа и синтеза во теоријата на прекинувачки кола при дизајнирање на компјутерски системи.
1.1 Основни поими на логичка алгебра
Алгебра на логиката е гранка на математичката логика која ги проучува логичките операции на искази.
Во алгебрата, логичарите се заинтересирани само за вистинитоста на изјавите. Вистинските вредности обично се означуваат со:
1 (точно) 0 (неточно).
Секоја логичка операција одговара на функција која ги зема вредностите 1 или 0, чии аргументи ги земаат и вредностите 1 или 0.
Таквите функции се нарекуваат логички или Булови, или функции на логичката алгебра (FAL). Во овој случај, логичката (Булова) променлива xможе да земе само две вредности:
.Така,
- логичка функција во која логичките променливи се искази. Тогаш самата логичка функција е сложена изјава.Во овој случај, алгебрата на логиката може да се дефинира како збирка од множество логички функции со сите видови логички операции наведени во неа. Ваквите логички операции како сврзник (читај И), дисјункција ( ИЛИ), импликација, еквиваленција, негација ( НЕ), одговараат на логички функции за кои е прифатена ознаката
(&, ·), ~, – (), а табелата на вистинитост содржи:| x~y | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Ова е табеларен метод за одредување FAL. Заедно со нив, се користи и одредување на функции со помош на формули на јазик што содржи променливи x , y , …, z(евентуално индексирани) и симболи на некои специфични функции - аналитички начин за одредување на FAL.
Најчестиот јазик е оној што содржи логички симболи
~, –. Формулите на овој јазик се дефинирани на следниов начин:1) сите променливи се формули;
2) ако ПИ П– тогаш формули
П ~ П, - формули.На пример, изразот
~ - формула. Ако е променлива x , y , zдоделете вредности од бинарното множество 0, 1 и извршете пресметки во согласност со операциите наведени во формулата, а потоа ја добиваме вредноста 0 или 1.Тие го велат тоа формулата ја имплементира функцијата.Значи формулата
~ ја спроведува функцијата ч (x , y , z):| x | y | z | ч (x, y, z) |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Нека ПИ П– формули кои имплементираат функции ѓ (x 1 , x 2 , …, x n) И е (x 1 , x 2 , …, x n). Формулите се: П = П, ако функционира ѓИ есе совпаѓаат, т.е. нивните табели за вистина се совпаѓаат. Алгебра чие главно множество е целото множество на логички функции и чии операции се дисјункција, сврзник и негација, се нарекува Булова алгебра на логички функции.
Да ги претставиме законите и идентитетите кои ги дефинираат операциите
– и нивната поврзаност со операциите, ~:1. Идемпотенција на сврзник и дисјункција:
.2. Комутативност на сврзник и дисјункција:
.3. Асоцијативност на сврзник и дисјункција:
.4. Дистрибутивноста на сврзникот во однос на дисјункција и дисјункција во однос на сврзникот:
.
5. Двојно негативно:
.6. Законите на Де Морган:
=, =.7. Лепење:
.8. Апсорпција
.9. Дејства со константи 0 и 1.
„Ако сите гаврани се црни, тогаш сите нецрни предмети не се гаврани“. Оваа изјава е несомнено вистинита, и не мора да сте експерт за птици за да ја кажете. Исто така, не треба да се биде експерт во теоријата на броеви за да се каже дека ако сите совршени броеви се парни, тогаш сите непарни броеви се несовршени. Дадовме примери на искази кои се вистинити без оглед на значењето на поимите вклучени во нив (врани, црни, совршени, дури) - вистинити врз основа на нивната форма. Проучувањето на изјавите од овој вид е дел од задачата на логиката. Поопшто, логиката е проучување на правилни начини на расудување - оние начини на расудување кои водат до точни резултати во случаи кога првичните премиси се вистинити.
Предмет на математичката логика е главно расудување. Таа користи математички методи за да ги проучува. Ајде да објасниме што беше кажано.
Математичарите градат и развиваат математички теории, даваат дефиниции, докажуваат теореми итн. Специјалисти по математичка логика, набљудувајќи го ова, анализираат како математичарите го прават тоа и што излегува од тоа. Фигуративно кажано, односот меѓу математиката и математичката логика е сличен на односот помеѓу концертот и музичката теорија. Можеме да кажеме дека математичката логика ги проучува основите на математиката, принципите на конструирање математички теории.
„Книгата за филозофија е нешто што секогаш се открива пред нашите очи, но бидејќи е напишана со други букви освен со буквите од нашата азбука, сите букви од оваа книга се триаголници, кругови, топки, конуси. пирамиди и други математички фигури многу погодни за читање“. Г. Галилео
Откако утврдивме што студира математичката логика, да продолжиме со тоа како го прави тоа. Веќе знаеме дека таа користи математички методи. Ајде да објасниме што значи ова. Како се користат математичките методи, на пример, во физиката? Конструиран е математички модел на физичкиот процес што се разгледува, рефлектирајќи некои од неговите суштински својства. Математичките методи можат да се користат не само во физиката, туку и во другите науки. На пример, примената на математичките методи во биологијата се состои од конструирање математички модели на биолошки процеси. Исто така, можно е да се изградат математички модели за процесот на развој на математички теории. Ова е она што го прави математичката логика.
Како функционира математичката теорија? Содржи некои изјави. Некои од нив се прифаќаат без доказ, други може да се докажат (во овој случај, изјавите се нарекуваат теореми). Значењето на зборовите „изјава“ и „доказ“ во секојдневната практика е многу нејасно. Затоа, ако сакаме да изградиме математички модел, тогаш пред сè треба да ги разјасниме овие концепти, т.е. конструирајте ги нивните формални аналози во нашиот модел. За таа цел, математичките логичари излегоа со специјални формални јазици дизајнирани да пишуваат математички изјави. Изјавите напишани на формални јазици се нарекуваат формули за да се разликуваат од речениците на природните јазици. Откако изградивме формален јазик, добиваме можност да запишеме некои математички изјави во форма на формули. Ова, се разбира, не е доволно. Треба да можеме формално да запишуваме не само изјави, туку и докази. За таа цел, математичките логичари излегоа со формален аналог на концептот „доказ“ - концептот на заклучување (доказ напишан на формален јазик). Официјален аналог на концептот на „теорема“ е концептот на „изводлива формула“ (т.е. формула која има заклучок). Формалниот јазик заедно со правилата за донесување заклучоци се нарекува формален систем.
Кои барања е природно да се постават на формален систем? Сакаме да биде што е можно слично на „живата“, неформалната математика. За да го направите ова, неопходно е сите значајни изјави што нè интересираат (или барем повеќето од нив) да можат да се „преведат на формален јазик“, т.е. напишани во форма на формули на овој систем. Дополнително, неопходно е неформалните докази да можат да се преточат во заклучоци од соодветните формули.
Во моментов, конструирани се доста задоволителни модели (формализација) на повеќето математички теории. Најважни се формалната аритметичка и аксиоматската теорија на множества. Формалната аритметика е наменета да го формализира расудувањето за природните броеви, а аксиоматската теорија на множества е за множества.
Според тоа, главниот предмет на математичката логика е изградбата и проучувањето на формалните системи. Централниот резултат овде е теоремата за нецелосност, докажана во 1931 година од австрискиот математичар К. Гедел, која вели дека за секој „доволно разумен“ формален систем има реченици кои се нерешливи во него, т.е. формули такви што ниту самата формула ниту нејзината негација немаат заклучок. Ако идентификуваме формален систем со соодветното поле на математиката, тогаш можеме да кажеме дека во секое „доволно разумно“ математичко поле постојат тврдења кои не можат ниту да се докажат ниту да се побијат. Не можеме овде точно да кажеме што се бара од „доволно разумен“ формален систем; Само да забележиме дека повеќето формални системи (вклучувајќи ја формалната аритметичка и аксиоматската теорија на множества) ги задоволуваат овие барања. Користејќи ја теоремата за некомплетност како пример, ги гледаме придобивките од градењето формален систем: добиваме можност да докажеме дека некои изјави се недокажливи!
Проучувањето на формалните системи доведе до појава на многу важни насоки во модерната математичка логика. Ајде да именуваме некои од нив. Теоријата на модели го испитува прашањето како на изразите во формалните јазици може да им се даде „значење“ и што се постигнува со тоа. Теоријата на доказ ги проучува својствата на заклучоците во формалните системи. Најважниот дел од логиката, кој сега може да се смета како независна дисциплина, е теоријата на алгоритми.
Многу знаци измислени од логичарите за да конструираат формални системи постепено влегоа во општа употреба. Тие вклучуваат логички сврзници (сврзник, „и“), (дисјункција, „или“), (импликација, „ако... тогаш...“), (негација, „не е точно дека“) и т.н. наречени квантификатори (универзалност, „за сите“) и (постоење, „постои“). Значењето на логичките сврзници, покрај имињата наведени во загради, се објаснува со таканаречените табели на вистинитост. Овие табели покажуваат дали сложената изјава, составена со помош на логички сврзници од едноставни, ќе биде точно (I) или неточно (F), во зависност од вистинитоста на неговите составни делови. Ајде да ги донесеме.
На пример, петтата колона покажува дека изјавата може да биде лажна само ако е точно и неточно. Користејќи ги овие табели, можете да креирате табела за вистинитост за посложени изјави, на пример за исказот 
.
|
|
|
||||
Откако ќе го составиме, ќе видиме дека оваа изјава (шеста колона) е секогаш точна, без оглед на вистинитоста на изјавите и (на пример, изјавата „
кои се добиваат ако го замениме исказот „ – врана“, а наместо тоа – „ – црно“, или наместо – „ – совршено“, а наместо – „ – парен“.
МИНИСТЕРСТВО ЗА ОБРАЗОВАНИЕ И НАУКА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЈА
ДРЖАВЕН УНИВЕРЗИТЕТ МОСКВА
ИНСТРУМЕНТНО ИНЖЕНЕРСТВО И ИНФОРМАТИЧКА НАУКА
Катедра: „ФИЛОЗОФИЈА“
Дисциплина: „ЛОГИКА“
Тема бр. 31: „Математичка логика: предмет, структура и основни принципи на операции“
Завршено:
студент од 1 година
редовен факултет ИТ-7
код за евиденција 120177IT
Притков Јуриј Сергеевич
Проверено:
Вонреден професор, д-р.
Блажко Николај Илич
Москва - 2012 година
Вовед
Математичка логика
Предмет на математичка логика
Основни принципи на работење
Негација
Сврзник
Дисјункција
Импликација
Еквивалентност
Изјава за квантификатор
Квантификатор со универзален квантификатор
Квантификатор со егзистенцијален квантификатор
Аксиоматски метод
Заклучок
Вовед
Логиката потекнува од културата на Античка Грција. Првото дело за логиката што дошло до нас е „Аналитика“ на Аристотел (384-322 п.н.е.). Формалната логика постоела без поголеми промени повеќе од дваесет века. BOOL или BUL, исто така BUUL, Џорџ (1815-1864) - англиски математичар кој се смета за основач на математичката логика.
Развојот на математиката ја откри недоволноста на аристотеловата логика и бара нејзин понатамошен развој. Будистичката логика се развила независно, но неодамна станала сопственост на европската наука, така што математичката логика потекнува од логиката на Аристотел. Математичката логика е наука за законите на математичкото размислување. Предмет на математичката логика се математичките теории воопшто, кои се изучуваат со користење на математички јазици. Во исто време, првенствено ги интересираат прашањата за доследноста на математичките теории, нивната независност и комплетност.
Математичката логика се одликува со тоа што го користи јазикот на математичките и логичките симболи, врз основа на фактот дека, во принцип, тие можат целосно да ги заменат зборовите на обичниот јазик и методите за комбинирање зборови во реченици прифатени во обичните живи јазици. Карактеристиките на математичкото размислување се објаснуваат со карактеристиките на математичките апстракции и разновидноста на нивните односи. Тие се огледуваат во логичката систематизација на математиката, во докажувањето на математичките теореми. Во овој поглед, модерната математичка логика е дефинирана како гранка на математиката посветена на проучување на математички докази и прашања за основите на математиката.
Математичка логика
Во аксиоматската конструкција на една математичка теорија, прелиминарно се избира одреден систем на недефинирани поими и односите меѓу нив. Овие концепти и односи се нарекуваат основни. Понатаму, главните одредби на теоријата што се разгледува - аксиоми - се прифаќаат без доказ. Целата понатамошна содржина на теоријата е логично изведена од аксиомите. За прв пат, аксиоматската конструкција на математичка теорија ја презеде Евклид во конструкцијата на геометријата. Презентирање на оваа теорија во Почетоци не беспрекорно. Евклид овде се обидува да ги дефинира почетните концепти (точка, права линија, рамнина). Во докажувањето на теоремите се користат одредби кои не се експлицитно формулирани и се сметаат за очигледни. Така, оваа конструкција ја нема потребната логичка строгост, иако вистинитоста на сите одредби од теоријата е несомнена.
Да забележиме дека овој пристап кон аксиоматската конструкција на теоријата остана единствен до 19 век. Делата на Н.И. Лобачевски (1792-1856) одиграа голема улога во менувањето на овој пристап. Лобачевски беше првиот кој експлицитно го изрази своето верување во неможноста да се докаже петтиот постулат на Евклид и го засили ова верување со создавање на нова геометрија. Подоцна, германскиот математичар Ф. Клајн (1849-1925) ја докажал конзистентноста на геометријата на Лобачевски, што всушност ја докажало неможноста да се докаже петтиот постулат на Евклид. Така се појавија и беа решени проблемите на неможноста за докажување и доследност во аксиоматската теорија во делата на Н.И. Лобачевски и Ф. Клајн за прв пат во историјата на математиката. Конзистентноста на аксиоматската теорија е еден од главните барања за системот на аксиоми на оваа теорија. Тоа значи дека од овој систем на аксиоми е невозможно логички да се извлечат две контрадикторни тврдења.
Доказ за конзистентноста на аксиоматските теории може да се изврши со користење на различни методи. Еден од нив е МЕТОДОТ НА МОДЕЛИРАЊЕ или ИНТЕРПРЕТАЦИЈА. Овде како главни поими и релации се избираат елементите на одредено множество и односите меѓу нив, а потоа се проверува дали за избраните поими и релации ќе бидат задоволени аксиомите на дадена теорија, односно модел за оваа теорија е изградена. Така, аналитичката геометрија е аритметичка интерпретација на геометријата на Евклид. Јасно е дека методот на моделирање го сведува прашањето за конзистентноста на една теорија на проблемот на конзистентноста на друга теорија. Повеќето толкувања за математичките теории (и, особено, за аритметиката) се засноваат на теоријата на множества. Сепак, на крајот на 19 век, беа откриени противречности во теоријата на множества (парадокси на теоријата на множества). Впечатлив пример за таков парадокс е парадоксот на Б. Расел. Дозволете ни да ги поделиме сите замисливи множества во две класи. Ајде да го повикаме комплетот нормално , ако не се содржи себеси како свој елемент и ненормални во спротивно. На пример, сетот од сите книги - нормално мноштвото, и мноштвото на сите можни нешта - ненормални еден куп. Нека L е збир на сите нормално множества. Во која класа припаѓа множеството L? Ако L - нормално сет, потоа Л Î Лага. содржани во училницата нормално множества, но потоа се содржи себеси како свој елемент и затоа ненормални . Ако L - ненормални сет, потоа Л Ï Лага. не се вклучени меѓу нормално се поставува, но тогаш L не се содржи себеси како свој елемент, па затоа и тој Добро . Така, концептот нормално сет доведува до контрадикција.
Обидите да се елиминираат противречностите во теоријата на множества го наведоа ZERMELO до потребата да се конструира аксиоматска теорија на множества. Последователните модификации и подобрувања на оваа теорија доведоа до создавање на модерна теорија на множества. Сепак, средствата на оваа аксиоматска теорија не ни дозволуваат да ја докажеме нејзината доследност. Други методи за поткрепување на математиката беа развиени од Д. ГИЛБЕРТ (1862-1943) и неговото училиште. Тие се засноваат на изградбата на математичките теории како синтаксички теории, во кои сите аксиоми се напишани со формули во одредена азбука и прецизно се посочени правилата за изведување на едни формули од други, т.е. Теоријата ја вклучува математичката логика како составен дел.
Така, математичката теорија чија конзистентност требаше да се докаже стана предмет на друга математичка теорија, која Гилберт ја нарече МЕТАМАТЕМАТИКА, или ТЕОРИЈА НА ДОКАЗ. Во овој поглед, се наметнува задачата да се конструира синтаксичка, т.е. формализирана аксиоматска теорија на самата математичка логика. Со избирање на различни системи на аксиоми и правила за изведување на некои формули од други, добиваме различни синтаксички логички теории. Секој од нив се нарекува ЛОГИЧКИ КАЛКУЛУС.
Предмет на математичка логика
Главната идеја на математичката логика е формализирање на знаењето и расудувањето. Познато е дека најлесно формализираното знаење е математичкото. Така, математичката логика, во суштина, е наука за математиката, или метаматематика. Централниот концепт на математичката логика е „математичкиот доказ“. Навистина, „евиденцијалното“ (со други зборови, дедуктивното) расудување е единствениот вид расудување препознаен во математиката. Расудувањето во математичката логика се изучува од гледна точка на формата, а не на значењето. Во суштина, расудувањето се моделира со чисто „механички“ процес на препишување текст (формули). Овој процес се нарекува заклучување. Велат и дека математичката логика функционира само со синтаксички концепти. Сепак, обично сè уште е важно како расудувањето се поврзува со реалноста (или нашите идеи). Затоа, сепак мора да се има на ум некое значење на формулите и заклучоците. Во овој случај, се користи терминот семантика (синоним за зборот „значење“) и јасно ги раздвојува синтаксата и семантиката. Кога луѓето навистина ги интересира само синтаксата, често се користи терминот „формален систем“. Ќе користиме синоним за овој поим - ``калкулус'' (се користат и термините ``формална теорија'' и ``аксиоматика''). Предмет на формалните системи се линиите од текстот (секвенци од знаци) со кои се пишуваат формули.
Официјален систем се дефинира ако:
Наведена е азбука (збир на симболи што се користат за конструирање формули).
Постојат многу формули наречени аксиоми. Ова се појдовните точки во заклучоците.
Назначени се множество правила за заклучување кои овозможуваат да се добие нова формула од одредена формула (или множество формули).
Основни принципи на работење
Негација
Негирање на логичка изјава е логичка изјава која ја зема вредноста „точно“ ако оригиналната изјава е неточна, и обратно. Ова е посебна логичка операција. Во зависност од локацијата, се прави разлика помеѓу надворешна и внатрешна негација, чии својства и улоги значително се разликуваат.
Надворешната негација (пропозиција) служи за формирање сложена изјава од друга (не нужно едноставна) изјава. Тоа го потврдува отсуството на состојбата на работите опишана во негирана изјава. Традиционално, негативната изјава се смета за вистинита ако, и само ако, негираната изјава е неточна. Во природниот јазик, негацијата обично се изразува со фразата „не е точно тоа“ проследена со негирана изјава.
Во јазиците на формалните теории, негацијата е специјално униарно пропозиционо поврзување кое се користи за формирање на една формула во друга, посложена формула. За означување на негација, обично се користат симболите „\негација“, „-“ или „-1“. Во класичната пропозициска логика, формулата -А е точно ако и само ако формулата А е неточна.
Меѓутоа, во некласичната логика, негацијата може да ги нема сите својства на класичната негација. Во овој поглед, се поставува сосема логично прашање за минималниот сет на својства што некоја униарна операција мора да ја задоволи за да се смета за негација, како и за принципите за класификација на различни негации во некласични формални теории (види: Dunn J.M. и Hardegree G.M. Алгебарски методи во филозофската логика, 2001).
Всушност, горенаведеното традиционално разбирање на надворешната (пропозицијана) негација може да се изрази преку систем од следниве барања: (I) Ако A е точно (неточно), тогаш не-А е неточно (точно); (II) Ако не-А е точно (неточно), тогаш А е неточно (точно). Формално, барањата (I) и (II) може да се изразат преку условот (1) A p-iB => B (= -, A, наречена „конструктивна контрапозиција“. Негацијата што го задоволува условот (1) обично се нарекува минимална негација, како и да е, излегува дека условот (1) може да се разложи на два послаби услови: (2) A (= B => -, B p-Au (3) A (= - 1 - A, соодветно. Како „контрапозиција“ и „воведување на двојна негација“ како резултат на тоа, станува возможно да се идентификува субминимална негација што го задоволува условот (2), но не го задоволува условот (3). 3) и го формализира принципот на „отстранување на двојната негација“: (4) - A = A. Минималната негација (т.е. задоволување на условот (1) или условите (2) и (3) заедно), за кој услов (. 4) е задоволен, се нарекува де Морганова негација, задоволувајќи го дополнителното својство (5. ): Ако А - B, тогаш за секој C е точно дека A p C („својството на апсурдноста“) - наречено интуиционистичка негација. Можеме да го формулираме принципот (6), кој е двоен со принципот на апсурдност: Ако B |=Au-S p A, тогаш за секој C е точно дека C p A. Задоволување на овој принцип на негација. е тип на негација во параконзистентна логика. Конечно, де Моргановата негација (својства (2), (3), (4)), за која важи (5) или (6), се нарекува ортонегација Ако во соодветната пресметка аксиомата за дистрибуција за сврзник и се прифаќа дисјункција, тогаш орто-негациската негација се нарекува Булова негација, или класична негација.
Внатрешната негација е дел од едноставна изјава. Се прави разлика помеѓу негација како дел од копула (негативна копула) и терминска негација.
Негацијата како дел од копулата се изразува со помош на честичката „не“ стои пред глаголот за поврзување (ако има таков) или пред семантичкиот глагол. Таа служи за изразување судови за отсуството на некои врски („Иван не го познава Петар“) или за формирање негативна предикативна сврзница како дел од категоричните атрибутивни судови.
Терминот негација се користи за формирање на негативни термини. Се изразува преку префиксот „не“ или нешто слично по значење („Сите незрели јаболка се зелени“).
Сврзник
Спојот на две логички искази е логичен исказ што е точен само кога тие се истовремено вистинити (од латинскиот конјункцио - унија, врска), во широка смисла - сложена изјава формирана со помош на сврзникот „и“. Во принцип, може да се зборува за сврзување на бесконечен број искази (на пример, за сврзување на сите вистински реченици од математиката). Во логиката, сврзникот е логичка сврзница (операција, функција; означена со: &,); сложена изјава формирана со негова помош е вистинита само ако нејзините компоненти се подеднакво вистинити. Во класичната исказна логика, сврзникот заедно со негацијата сочинуваат функционално целосен систем на искази сврзници. Тоа значи дека преку нив може да се дефинира било која друга пропозициска сврзница. Едно од својствата на сврзникот е комутативноста (т.е. еквивалентноста на A & B и B & A). Меѓутоа, понекогаш зборуваат за некомутативен, т.е. нареден сврзник (пример за исказ со таков сврзник би бил: „Кочијачот свирна, а коњите галопираа“).
Дисјункција
Дисјункција на две логички искази - логички исказ што е вистинит само ако барем еден од нив е точно
(од латински disjunctio - разединување, изолација), во широка смисла - сложена изјава формирана од две или повеќе реченици со помош на сврзникот „или“, изразувајќи алтернативност или избор.
Во симболичката логика, дисјункција е логичко поврзување (операција, функција) што формира од речениците A и B сложена изјава, обично означена како A V B, што е точно ако барем еден од двата дисјунктивни членови е точно: <#"justify">Импликација
Импликацијата на две логички искази А и Б е логичка изјава што е неточна само кога Б е неточно, а А е точно (од латинскиот implicatio - преплетување, од имплико - тесно поврзување) - логичка сврзница што одговара на граматичката конструкција „ако .., тогаш ..“, со чија помош се формира сложена изјава од два едноставни искази. Во импликативна изјава, постои претходник (основа) - изјава што доаѓа по зборот „ако“, и последователна (последица) - изјава што следи по зборот „тогаш“. Импликативна изјава претставува условна изјава на обичниот јазик на јазикот на логиката. Последново игра посебна улога и во секојдневното и во научното расудување, неговата главна функција е да оправда една работа повикувајќи се на нешто друго.
Врската помеѓу заземјувачот и втемеленото изразено со условен исказ е тешко да се окарактеризира генерално, а само понекогаш нејзината природа е релативно јасна. Оваа врска може да биде, особено, врска на логичка последица што се одвива помеѓу просториите и заклучокот на точниот заклучок („Ако сите живи повеќеклеточни суштества се смртни, а медузата е такво суштество, тогаш таа е смртна“). Врската може да биде закон на природата („Ако телото е подложено на триење, ќе почне да се загрева“) или причинско-последична врска („Ако Месечината е на јазолот на својата орбита на млада месечина, затемнување на Сонцето се случува“). Врската што се разгледува може да има и природа на општествен модел, правило, традиција итн. („Ако се менува економијата, се менува и политиката“, „Ако се даде ветување, тоа мора да се одржи“).
Врската изразена со условен исказ претпоставува дека последователното „следи“ со одредена неопходност од претходникот и дека постои некаков општ закон, кој може да го формулира, логично можеме да ја заклучиме последователноста од претходникот. На пример, условната изјава „Ако бизмутот е метал, тој е еластичен“ го претпоставува општиот закон „Сите метали се еластични“, што ја прави последицата од оваа изјава логична последица на неговиот претходник.
И на обичниот јазик и на јазикот на науката, условната изјава, покрај функцијата на оправдување, може да изврши и низа други задачи. Може да формулира состојба која не е поврзана со с.л. имплициран општ закон или правило („Ако сакам, ќе си ја пресечам наметката“), поправете некоја низа („Ако минатото лето беше суво, тогаш оваа година ќе биде дождливо“), изразете неверување во чудна форма (“ Ако го решите проблемот, ќе ја докажам одличната теорема на Ферма“), контраст („Ако во градината расте зелка, тогаш во градината расте јаболкница“) итн. Мноштвото и хетерогеноста на функциите на условната изјава значително ја комплицираат неговата анализа.
Во логичките системи, тие се апстрахираат од карактеристиките на вообичаената употреба на условна изјава, што доведува до различни импликации. Најпознати од нив се материјална импликација, строга импликација и релевантна импликација.
Материјалната импликација е една од главните врски на класичната логика. Тоа е дефинирано на следниов начин: импликацијата е неточна само ако претходникот е вистинит, а последователката е неточна, а вистинита во сите други случаи. Условната изјава „Ако А, тогаш Б“ претпоставува некаква реална врска помеѓу она што е кажано во А и Б; изразот „А материјално имплицира Б“ не имплицира таква врска.
Строгата импликација е дефинирана преку модалниот концепт на (логичка) неможност: „А строго имплицира Б“ значи „Невозможно е А да биде точно, а Б да биде неточно“.
Во соодветната логика, импликацијата се подразбира како условен сврзник во неговата обична смисла. Во случај на релевантна импликација, не може да се каже дека вистинската изјава може да се оправда со повикување на која било изјава и дека секоја изјава може да се оправда со повикување на лажна изјава.
Еквивалентност
Еквивалентноста на две логички искази е логичка изјава која е вистинита само кога тие се истовремено вистинити или неточни (од доцнолатински еквиваленти - еквивалентно) - генеричко име за сите видови односи како што се еднаквост, т.е. рефлексивни, симетрични и преодни бинарни односи. Примери: еквиполенција (совпаѓање во значењето, значењето, содржината, изразните и (или) дедуктивните способности помеѓу концептите, концептите, научните теории или формалните системи што ги формализираат) конгруентност или сличност на геометријата, фигури; изоморфизам; еквиваленција на множества и друга еквивалентност на какви било предмети значи нивната еднаквост (идентитет) во одреден поглед
(на пример, изоморфните множества не се разликуваат во нивната „структура“, ако под „структура“ ја мислиме севкупноста на оние својства во однос на кои овие множества се изоморфни). Секоја релација на еквивалентност генерира партиција на множеството на кое е дефинирано во парно разединети „класи на еквивалентност“ елементите од даденото множество кои се еквивалентни едни на други се класифицираат во една класа.
Разгледувањето на класите на еквивалентност како нови објекти е еден од главните начини на генерирање (воведување) апстрактни концепти во логичко-математичките (и воопшто природонаучните) теории. Така, ако се земат предвид дропките a/b и c/d со еквивалентни цели броеви и именители, ако ad=bc, рационалните броеви се воведуваат во предвид како класи на еквивалентни дропки; земајќи ги предвид множествата како еквивалентни, меѓу кои може да се воспостави кореспонденција еден на еден, се воведува концептот на кардиналност (кардинален број) на множеството (како класа на множества еквивалентни едни на други); со оглед на две парчиња еквивалент на супстанција, кои влегуваат во идентични хемиски реакции под еднакви услови, се доаѓа до апстрактниот концепт на хемискиот состав итн.
Терминот „еквивалентност“ често се користи не (само) како генерички, туку како синоним за некои од неговите посебни значења („еквивалентност на теориите“ наместо „еквивалентност“, „еквивалентност на множества“ наместо „еквивалентност“, „еквивалентност на зборовите“ во апстрактната алгебра наместо „идентитет“ и така натаму.).
Изјава за квантификатор
Квантификатор со универзален квантификатор.
Количински логички исказ со универзален квантификатор („xA(x)“) е логичко тврдење што е точно само ако за секој објект x од дадена популација изјавата A(x) е точно.
Квантификатор со квантификатор на постоење.
Количински логички исказ со егзистенцијален квантификатор ($xA(x)) е логичко тврдење што е точно само ако во дадена збирка постои објект x таков што исказот A(x) е точно.
Структура на математичката логика
Делот „математичка логика“ се состои од три дела: за неформалниот аксиоматски метод, за исказната логика и за предикатната логика (прв ред). Аксиоматскиот метод на конструкција е првиот чекор кон формализирање на теоријата. Повеќето од проблемите што се разгледуваат во математичката логика се состојат од докажување на одредени искази. Математичката логика има многу последици. Користи табеларна конструкција на пропозициска логика, користи посебен јазик на симболи и искази логички формули.
Неформален аксиоматски метод
Аксиоматски метод кој не го поправа строго применетиот јазик и со тоа не ги фиксира границите на значајното разбирање на предметот, туку бара аксиоматско дефинирање на сите концепти посебни за дадениот предмет на проучување. Овој термин нема општоприфатено толкување.
Историјата на развојот на аксиоматскиот метод се карактеризира со постојано зголемување на степенот на формализирање. Неформалниот аксиоматски метод е одреден чекор во овој процес.
Оригиналната аксиоматска конструкција на геометријата, дадена од Евклид, се одликуваше со дедуктивната природа на нејзината презентација, која се засноваше на дефиниции (објаснувања) и аксиоми (очигледни искази). Од нив, врз основа на здрав разум и докази, се извлечени последици. Во исто време, заклучокот понекогаш имплицитно користел претпоставки за геометријата и карактерот кои не биле фиксирани во аксиомите, особено оние поврзани со движењето во просторот и релативната положба на линиите и точките. Последователно, геометријата, концептите и аксиомите кои ја регулираат нивната употреба беа идентификувани, имплицитно користени од Евклид и неговите следбеници. Во исто време, се појави прашањето: дали сите аксиоми навистина се идентификувани? Водечкиот принцип за решавање на ова прашање го формулираше Д. Хилберт: „Треба да се осигура дека подеднакво добро можеме да зборуваме за маси, столици и чаши за пиво наместо за точки, линии и рамнини“. Ако доказот не ја изгуби својата доказна сила по таквата замена, тогаш навистина сите посебни претпоставки користени во овој доказ се фиксирани во аксиомите. Степенот на формализирање постигнат со овој пристап го претставува нивото на формализирање карактеристично за неформалниот аксиоматски метод. Стандард овде може да биде класичното дело на Д. Хилберт „Основи на геометријата“.
Неформалниот аксиоматски метод се користи не само за да се даде одредена комплетност на аксиоматски наведената конкретна теорија. Тоа е ефективна алатка за математичко истражување. Бидејќи при проучување на систем на објекти со помош на овој метод, нивната специфичност или „природа“ не се користи, докажаните изјави се пренесуваат на кој било систем на објекти што ги задоволува аксиомите што се разгледуваат. Според неформалниот аксиоматски метод, аксиомите се имплицитни дефиниции на оригинални концепти (наместо очигледни вистини). Не е важно кои се предметите што се проучуваат. Сè што треба да знаете за нив е формулирано во аксиоми. Предмет на проучување на аксиоматската теорија е секое нејзино толкување.
Неформалниот аксиоматски метод, покрај незаменливата аксиоматска дефиниција на сите посебни концепти, има уште една карактеристика. Тоа е слободна, неконтролирана, содржинска употреба на идеи и концепти што може да се примени на секое замисливо толкување, без оглед на неговата содржина. Конкретно, широко се користат теоретски и логички концепти и принципи на множества, како и концепти поврзани со идејата за броење итн. , не се објаснува со фиксната природа на јазикот, на кој се формулираат и докажуваат својствата на аксиоматски даден систем на предмети. Поправањето на јазикот води кон концептот на формален аксиоматски систем и создава материјална основа за идентификување и јасно опишување на прифатливите логички принципи, за контролирана употреба на теоретски множества и други општи или неспецифични концепти за областа што се проучува. Ако јазикот нема средства (зборови) да ги пренесе теоретските концепти на множества, тогаш сите докази засновани на употребата на таквите средства се елиминираат. Ако јазикот има средства за изразување на одредени теоретски концепти на множества, тогаш нивната употреба во доказите може да биде ограничена со одредени правила или аксиоми.
Со фиксирање на јазикот на различни начини, се добиваат различни теории за главниот предмет на разгледување. На пример, земајќи го предвид јазикот на пресметувањето на тесните предикати за теоријата на групата, се добива теорија на елементарна група во која е невозможно да се формулираат какви било изјави за подгрупите. Ако преминеме на јазикот на пресметување на предикатите од втората фаза, тогаш станува возможно да се разгледаат својствата во кои се појавува концептот на подгрупа. Формализацијата на неформалниот аксиоматски метод во групната теорија е преминот кон јазикот на системот Зермело-Френкел со неговата аксиоматика.
Аксиоматски метод
Аксиоматскиот метод е начин на конструирање на научна теорија, во која се заснова на одредени почетни позиции (пресуди) - аксиоми, или постулати, од кои мора на чисто логичен начин, преку докази да се извлечат сите други тврдења на оваа теорија. Изградбата на науката заснована на аксиоматскиот метод обично се нарекува дедуктивна. Сите концепти на дедуктивната теорија (освен фиксен број на почетни) се воведуваат преку дефиниции кои ги изразуваат преку претходно воведени концепти. До еден или друг степен, дедуктивните докази, карактеристични за аксиоматскиот метод, се користат во многу науки, но главната област на нејзината примена е математиката, логиката и некои гранки на физиката.
Идејата за аксиоматскиот метод за прв пат беше изразена во врска со изградбата на геометријата во Античка Грција (Питагора, Платон, Аристотел, Евклид). Современата фаза на развој на аксиоматскиот метод се карактеризира со концептот на формалниот аксиоматски метод предложен од Хилберт, кој поставува задача точно да ги опише логичките средства за изведување теореми од аксиоми. Главната идеја на Хилберт е целосна формализирање на јазикот на науката, во која неговите судови се сметаат како низи од знаци (формули) кои добиваат значење само со одредена специфична интерпретација. За да се изведат теореми од аксиоми (и воопшто некои формули од други), се формулираат посебни формули. правила за заклучување. Доказ во таква теорија (калкулус или формален систем) е одредена низа формули, од кои секоја е или аксиома или е добиена од претходните формули во низата според некое правило за заклучување. За разлика од таквите формални докази, се проучуваат својствата на самиот формален систем како целина. со помош на метатеорија. Главните барања за аксиоматските формални системи се конзистентност, комплетност и независност на аксиомите. Програмата на Хилберт, која претпоставуваше можност за докажување на доследноста и комплетноста на целата класична математика, се покажа како генерално неостварлива. Во 1931 година, Гедел ја докажал неможноста за целосна аксиоматизација на доволно развиените научни теории (на пример, аритметиката на природните броеви), кои укажуваат на ограничувањата на аксиоматскиот метод. Основните принципи на аксиоматските методи беа критикувани од поддржувачите на интуиционизмот и конструктивната насока.
Заклучок
Математичката логика е наука за законите на математичкото размислување. Примената на математиката во логиката овозможи да се претстават логичките теории во нова погодна форма и да се примени компјутерскиот апарат за решавање на проблеми кои се недостапни за човечкото размислување, а тоа, се разбира, го прошири полето на логичко истражување. Опсегот на примена на математичката логика е многу широк. Секоја година расте длабоката пенетрација на идеите и методите на математичката логика во компјутерската наука, пресметковната математика, лингвистиката и филозофијата. Моќен поттик за развој и проширување на полето на примена на математичката логика беше појавата на електронските компјутери. Се покажа дека во рамките на математичката логика веќе постои готов апарат за дизајнирање компјутерска технологија. Методите и концептите на математичката логика се основата, јадрото на интелигентните информациски системи. Алатките за математичка логика станаа ефективна работна алатка за специјалисти во многу области на науката и технологијата. Сите специјалисти треба да ја знаат математичката логика, без разлика во која средина работат (било да е инженер, наставник, правник или само лекар).
Библиографија
математичко логички искази сврзник
Интернет ресурс: #"justify">1.
Подучување
Ви треба помош за проучување на тема?
Нашите специјалисти ќе советуваат или ќе обезбедат услуги за туторство за теми што ве интересираат.
Поднесете ја вашата апликацијаукажувајќи на темата токму сега за да дознаете за можноста за добивање консултација.
Едно од имињата на модерната логика што дојде во второто. подот. 19 почеток 20-ти век да ја замени традиционалната логика. Терминот симболичка логика се користи и како друго име за модерната фаза во развојот на науката за логика. Дефиниција…… Филозофска енциклопедија
математичка логика- СИМБОЛИЧКА ЛОГИКА, математичка логика, теоретска логика е област на логика во која логичките заклучоци се изучуваат преку логичко сметање засновано на строг симболички јазик. Терминот „Л. Со." Очигледно беше првпат... Енциклопедија на епистемологијата и филозофијата на науката
МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА- Тоа се нарекува и симболична логика. М. л. тоа е истата аристотеловска силогистичка логика, но во неа само незгодните вербални заклучоци се заменуваат со математичка симболика. Со тоа се постигнува, прво, краткост, второ, јасност, во... ... Енциклопедија на културолошки студии
МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА- МАТЕМАТИЧКА логика, дедуктивна логика, користење математички методи за проучување методи на расудување (заклучоци); математичка теорија на дедуктивното расудување... Модерна енциклопедија
МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА- дедуктивна логика, вклучително и математички методи за проучување на методите на расудување (заклучоци); математичка теорија на дедуктивното расудување. Математичката логика се нарекува и логика што се користи во математиката... Голем енциклопедиски речник
МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА- (симболичка логика), аналитички дел од логиката, резултат на примена на математички методи на проблеми од класичната логика. Разгледува концепти кои можат да бидат вистинити или лажни, односот помеѓу концептите и нивната манипулација, вклучувајќи... ... Научно-технички енциклопедиски речник
МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА- еден од водечките делови на модерната логика и математика. Формирана во 19-20 чл. како имплементација на идејата за можноста за запишување на сите првични претпоставки на јазик на знаци сличен на математичките и со тоа да се замени расудувањето со пресметки. ... Најновиот филозофски речник
математичка логика- именка, број на синоними: 1 логистика (9) ASIS Речник на синоними. В.Н. Тришин. 2013… Речник на синоними
математичка логика- - Теми за телекомуникации, основни поими EN математичка логика... Водич за технички преведувач
МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА- теоретска логика, симболичка логика, гранка на математиката посветена на изучувањето на математиката. докази и прашања на основите на математиката. Историска скица. Идејата за изградба на универзален јазик за сета математика и формализација врз основа на... ... Математичка енциклопедија
Книги
- Математичка логика, Ершов Јуриј Леонидович, Палутин Евгениј Андреевич. Во книгата е наведено основното класично сметање на математичката логика: исказно пресметување и пресметување предикати; има кратко резиме на основните концепти на теоријата и теоријата на множества... Купи за 1447 UAH (само во Украина)
- Математичка логика, Ершов Ју.Л.. Книгата ги прикажува основните класични пресметки на математичката логика: исказно пресметување и пресметување предикати; има кратко резиме на основните концепти на теоријата и теоријата на множествата...