Како да се сведат алгебарските (рационални) дропки на заеднички именител?
1) Ако именителите на дропките содржат полиноми, треба да се обидете да користите еден од познатите методи.
2) Најнискиот заеднички именител (LCD) се состои од сите множители земени најголем степени.
Вербално го бараме најмалиот заеднички именител за броевите како најмал број што е делив со останатите броеви.
3) За да најдете дополнителен фактор за секоја дропка, треба да го поделите новиот именител со стариот.
4) Помножете ги броителите и именителот на првобитната дропка со дополнителен фактор.
Ајде да погледнеме примери за намалување на алгебарските дропки на заеднички именител.
За да најдеме заеднички именител за броевите, го избираме поголемиот број и проверуваме дали е делив со помалиот број. 15 не се дели со 9. Помножуваме 15 со 2 и проверуваме дали добиениот број е делив со 9. 30 не се дели со 9. Помножуваме 15 со 3 и проверуваме дали добиениот број е делив со 9. 45 се дели со 9, што значи дека заедничкиот именител на броевите е 45.
Најмалиот заеднички именител се состои од сите фактори земени до нивната најголема моќ. Така, заедничкиот именител на овие дропки е 45 п.н.е. (буквите обично се пишуваат по азбучен ред).
За да најдете дополнителен фактор за секоја дропка, треба да го поделите новиот именител со стариот. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Ние ги множиме броителот и именителот на секоја дропка со дополнителен фактор:
Прво бараме заеднички именител за броевите: 8 не се дели со 6, 8∙2=16 не се дели со 6, 8∙3=24 се дели со 6. Секоја променлива мора да биде вклучена во заедничкиот именител еднаш. Од степените го земаме степенот со голем експонент.
Така, заедничкиот именител на овие дропки е 24a³bc.
За да најдете дополнителен фактор за секоја дропка, треба да го поделите новиот именител со стариот: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Дополнителниот фактор го множиме со броителот и именителот:
Потребни се полиномите во именителот на овие дропки. Именителот на првата дропка е целосниот квадрат на разликата: x²-18x+81=(x-9)²; во вториот именител - разликата на квадратите: x²-81=(x-9)(x+9):
Заедничкиот именител се состои од сите фактори земени во најголем степен, односно еднакви на (x-9)²(x+9). Наоѓаме дополнителни фактори и ги множиме со броителот и именителот на секоја дропка:
Дропките имаат различни или идентични именители. Истиот именител или на друг начин се нарекува заеднички именителна дропка. Пример за заеднички именител:
\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)
Пример за различни именители за дропки:
\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)
Како да се намали дропка на заеднички именител?
Именителот на првата дропка е 3, именителот на втората е 13. Треба да најдете број кој е делив и со 3 и со 13. Овој број е 39.
Првата дропка мора да се помножи со дополнителен мултипликатор 13. За да се осигураме дека дропката не се менува, мора да ги помножиме и броителот со 13 и именителот.
\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)
Втората дропка ја множиме со дополнителен фактор 3.
\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(црвено) (3))(13 \times \color(црвено) (3)) = \frac(6)(39)\)
Дропката ја намаливме на заеднички именител:
\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)
Најмал заеднички именител.
Ајде да погледнеме друг пример:
Да ги намалиме дропките \(\frac(5)(8)\) и \(\frac(7)(12)\) на заеднички именител.
Заеднички именител за броевите 8 и 12 може да бидат броевите 24, 48, 96, 120, ..., вообичаено е да се избере најмал заеднички именителво нашиот случај ова е бројот 24.
Најмал заеднички именителе најмалиот број со кој може да се подели именителот на првата и втората дропка.
Како да се најде најмал заеднички именител?
Начин на набројување на броеви со кои се дели именителот на првата и втората дропка и се избира најмалиот.
Дропката со именителот 8 треба да ја помножиме со 3, а дропката со именителот 12 да ја помножиме со 2.
\(\begin(порамни)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\крај (порамни)\)
Ако не можете веднаш да ги намалите дропките на најмал заеднички именител, нема што да се грижите; во иднина, при решавање на примерот, можеби ќе треба да го добиете одговорот што сте го добиле.
Заедничкиот именител може да се најде за било кои две дропки; тој може да биде производ на именителот на овие дропки.
На пример:
Намалете ги дропките \(\frac(1)(4)\) и \(\frac(9)(16)\) на нивниот најнизок заеднички именител.
Најлесен начин да се најде заедничкиот именител е да се помножат именителот 4⋅16=64. Бројот 64 не е најмал заеднички именител. Задачата бара од вас да го пронајдете најмалиот заеднички именител. Затоа, бараме понатаму. Потребен ни е број кој е делив и со 4 и со 16, ова е бројот 16. Ајде да ја доведеме дропката до заеднички именител, да ја помножиме дропката со именителот 4 со 4, а дропката со именителот 16 со едно. Добиваме:
\(\почеток(порамни)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9) (16) \\\\ \крај (порамни)\)
Во оваа лекција ќе разгледаме намалување на дропките на заеднички именител и решавање на проблеми на оваа тема. Ајде да го дефинираме концептот на заеднички именител и дополнителен фактор и да запомниме за релативно прости броеви. Ајде да го дефинираме концептот на најмал заеднички именител (LCD) и да решиме голем број проблеми за да го најдеме.
Тема: Собирање и одземање дропки со различни именители
Лекција: Намалување на дропките на заеднички именител
Повторување. Главното својство на дропка.
Ако броителот и именителот на дропка се помножат или поделат со ист природен број, се добива еднаква дропка.
На пример, броителот и именителот на дропка може да се подели со 2. Добиваме дропка. Оваа операција се нарекува редукција на фракции. Инверзната трансформација можете да ја извршите и со множење на броителот и именителот на дропката со 2. Во овој случај велиме дека ја намаливме дропката на нов именител. Бројот 2 се нарекува дополнителен фактор.
Заклучок.Дропка може да се сведе на кој било именител кој е множител на именителот на дадената дропка. За да се донесе дропка до нов именител, неговиот броител и именителот се множат со дополнителен фактор.
1. Намали ја дропката на именителот 35.
Бројот 35 е множител на 7, односно 35 е делив со 7 без остаток. Ова значи дека оваа трансформација е можна. Ајде да најдеме дополнителен фактор. За да го направите ова, поделете 35 со 7. Добиваме 5. Помножете ги броителот и именителот на првобитната дропка со 5.
2. Намали ја дропката на именителот 18.
Ајде да најдеме дополнителен фактор. За да го направите ова, поделете го новиот именител со оригиналниот. Добиваме 3. Помножете ги броителите и именителот на оваа дропка со 3.
3. Намали ја дропката на именителот 60.
Поделувањето на 60 со 15 дава дополнителен фактор. Тоа е еднакво на 4. Помножете ги броителот и именителот со 4.
4. Намали ја дропката на именителот 24
Во едноставни случаи, намалувањето на нов именител се врши ментално. Вообичаено е само да се означи дополнителниот фактор зад заградата малку надесно и над оригиналната фракција.
Дропката може да се намали на именител 15, а дропка може да се намали на именителот 15. Дропките имаат и заеднички именител 15.
Заеднички именител на дропките може да биде секој заеднички множител од нивните именители. За едноставност, дропките се сведуваат на нивниот најнизок заеднички именител. Тоа е еднакво на најмалиот заеднички множител на именителот на дадените дропки.
Пример. Намали до најмал заеднички именител на дропката и .
Прво, да го најдеме најмалиот заеднички множител на именителот на овие дропки. Овој број е 12. Да најдеме дополнителен фактор за првата и втората дропка. За да го направите ова, поделете 12 со 4 и 6. Три е дополнителен фактор за првата дропка, а два е за втората. Да ги донесеме дропките до именителот 12.
Дропките ги доведовме до заеднички именител, односно најдовме еднакви дропки кои имаат ист именител.
Правило.За да ги намалите дропките на нивниот најнизок заеднички именител, мора
Прво, пронајдете го најмалиот заеднички множител од именителот на овие дропки, тоа ќе биде нивниот најмал заеднички именител;
Второ, поделете го најнискиот заеднички именител со именителот на овие дропки, односно најдете дополнителен фактор за секоја дропка.
Трето, помножете ги броителите и именителот на секоја дропка со неговиот дополнителен фактор.
а) Намали ги дропките и на заеднички именител.
Најмал заеднички именител е 12. Дополнителниот фактор за првата дропка е 4, за втората - 3. Дропките ги намалуваме на именителот 24.
б) Намали ги дропките и на заеднички именител.
Најмал заеднички именител е 45. Со делење 45 со 9 со 15 се добиваат соодветно 5 и 3. Дропките ги намалуваме на именителот 45.
в) Намали ги дропките и на заеднички именител.
Заедничкиот именител е 24. Дополнителни фактори се 2 и 3, соодветно.
Понекогаш може да биде тешко вербално да се најде најмалиот заеднички множител од именителот на дадените дропки. Потоа заедничкиот именител и дополнителните фактори се наоѓаат со користење на проста размножување.
Намали ги дропките и на заеднички именител.
Да ги вброиме броевите 60 и 168 во прости множители. Да го запишеме проширувањето на бројот 60 и да ги додадеме факторите што недостасуваат 2 и 7 од второто проширување. Да помножиме 60 со 14 и да добиеме заеднички именител 840. Дополнителниот фактор за првата дропка е 14. Дополнителниот фактор за втората дропка е 5. Да ги доведеме дропките до заеднички именител 840.
Библиографија
1. Виленкин Н.Ја., Жохов В.И., Чесноков А.С. и други.. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012 г.
2. Мерзљак А.Г., Полонски В.В., Јакир М.С. Математика 6-то одделение. - Гимназија, 2006 г.
3. Депман И.Ја., Виленкин Н.Ја. Зад страниците на учебник по математика. - Просветителство, 1989 г.
4. Рурукин А.Н., Чајковски И.В. Задачи за предметот математика за 5-6 одделение. - ZSh MEPhI, 2011 година.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чајковски К.Г. Математика 5-6. Прирачник за ученици од 6-то одделение во училиштето за кореспонденција MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011 година.
6. Шеврин Л.Н., Геин А.Г., Корјаков И.О. и други.Математика: Учебник-соговорник за 5-6 одделение од средното образование. Библиотека за наставник по математика. - Просветителство, 1989 година.
Можете да ги преземете книгите наведени во клаузула 1.2. на оваа лекција.
Домашна работа
Виленкин Н.Ја., Жохов В.И., Чесноков А.С. и други Математика 6. - М.: Mnemosyne, 2012. (врска види 1.2)
Домашна задача: бр.297, бр.298, бр.300.
Други задачи: бр.270, бр.290
Во овој материјал ќе погледнеме како правилно да се претворат дропките во нов именител, што е дополнителен фактор и како да се најде. По ова, ќе го формулираме основното правило за намалување на дропките на нови именители и ќе го илустрираме со примери на задачи.
Концептот за намалување на дропка на друг именител
Да се потсетиме на основното својство на дропка. Според него, обична дропка a b (каде што a и b се кои било броеви) има бесконечен број на дропки кои се еднакви на неа. Ваквите дропки може да се добијат со множење на броителот и именителот со ист број m (природен број). Со други зборови, сите обични дропки може да се заменат со други од формата a · m b · m. Ова е намалување на првобитната вредност на дропка со саканиот именител.
Можете да намалите дропка на друг именител со множење на неговиот броител и именител со кој било природен број. Главниот услов е множителот да биде ист за двата дела од дропот. Резултатот ќе биде дропка еднаква на оригиналната.
Ајде да го илустрираме ова со пример.
Пример 1
Претворете ја дропката 11 25 во новиот именител.
Решение
Да земеме произволен природен број 4 и да ги помножиме двете страни на првобитната дропка со него. Броиме: 11 · 4 = 44 и 25 · 4 = 100. Резултатот е дел од 44 100.
Сите пресметки може да се напишат во оваа форма: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Излегува дека која било дропка може да се сведе на огромен број различни именители. Наместо четири, би можеле да земеме друг природен број и да добиеме друга дропка еквивалентна на првобитната.
Но, ниту еден број не може да стане именител на нова дропка. Значи, за a b именителот може да содржи само броеви b m кои се множители на b. Прегледајте ги основните концепти за делење - множители и делители. Ако бројот не е множител на b, но не може да биде делител на новата дропка. Дозволете ни да ја илустрираме нашата идеја со пример за решавање на проблем.
Пример 2
Пресметајте дали е можно да се намали дропката 5 9 на именители 54 и 21.
Решение
54 е множител на девет, што е во именителот на новата дропка (т.е. 54 може да се подели со 9). Тоа значи дека таквото намалување е можно. Но, не можеме да поделиме 21 со 9, така што ова дејство не може да се изврши за оваа дропка.
Концептот на дополнителен мултипликатор
Дозволете ни да формулираме што е дополнителен фактор.
Дефиниција 1
Дополнителен мултипликаторе природен број со кој се множат двете страни на дропката за да се доведе до нов именител.
Оние. кога го правиме ова со дропка, земаме дополнителен фактор за тоа. На пример, за да ја намалиме дропката 7 10 на формата 21 30, потребен ни е дополнителен фактор 3. И можете да ја добиете дропот 15 40 од 3 8 користејќи го множителот 5.
Според тоа, ако го знаеме именителот на кој треба да се намали дропка, тогаш можеме да пресметаме дополнителен фактор за него. Ајде да разбереме како да го направиме ова.
Имаме дропка a b која може да се сведе на одреден именител c; Да го пресметаме дополнителниот фактор m. Треба да го помножиме именителот на првобитната дропка со m. Добиваме b · m, а според условите на задачата b · m = c. Да се потсетиме како множењето и делењето се поврзани едно со друго. Оваа врска ќе нè поттикне на следниот заклучок: дополнителниот фактор не е ништо повеќе од количникот на делење c со b, со други зборови, m = c: b.
Така, за да го најдеме дополнителниот фактор, треба да го поделиме потребниот именител со оригиналниот.
Пример 3
Најдете го дополнителниот фактор со кој дропката 17 4 се сведе на именителот 124.
Решение
Користејќи го правилото погоре, ние едноставно делиме 124 со именителот на првобитната дропка, четири.
Ние броиме: 124: 4 = 31.
Овој тип на пресметка често се бара кога се претвораат дропки во заеднички именител.
Правило за намалување на дропките на наведениот именител
Ајде да продолжиме со дефинирање на основното правило со кое можете да ги намалите дропките на наведениот именител. Значи,
Дефиниција 2
За да намалите дропка на наведениот именител ви треба:
- одреди дополнителен фактор;
- помножете ги со него и броителот и именителот на првобитната дропка.
Како да се примени ова правило во пракса? Да дадеме пример за решавање на проблемот.
Пример 4
Намали ја дропката 7 16 на именителот 336.
Решение
Да почнеме со пресметување на дополнителниот множител. Поделете: 336: 16 = 21.
Добиениот одговор го множиме со двата дела од оригиналната дропка: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Така, ја доведовме оригиналната дропка до саканиот именител 336.
Одговор: 7 16 = 147 336.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
За да разбереме како да собираме дропки со различни именители, прво да го научиме правилото, а потоа да погледнеме конкретни примери.
За собирање или одземање дропки со различни именители:
1) Најди ги (NOZ) дадените дропки.
2) Најдете дополнителен фактор за секоја дропка. За да го направите ова, новиот именител мора да се подели со стариот.
3) Помножете ги броителите и именителот на секоја дропка со дополнителен фактор и собирајте или одземете дропки со исти именители.
4) Проверете дали добиената дропка е правилна и нередуцирана.
Во следните примери, треба да собирате или одземате дропки со различни именители:
1) За да одземе дропки со именители со различни, прво побарај го најмалиот заеднички именител на дадените дропки. Го избираме најголемиот број и проверуваме дали е делив со помалиот. 25 не се дели со 20. 25 множиме со 2. 50 не се дели со 20. Помножуваме 25 со 3. 75 не се дели со 20. Помножете 25 со 4. 100 се дели со 20. Значи, најмал заеднички именител е 100.
2) За да најдете дополнителен фактор за секоја дропка, треба да го поделите новиот именител со стариот. 100:25=4, 100:20=5. Според тоа, првата дропка има дополнителен фактор 4, а втората има дополнителен фактор 5.
3) Помножете ги броителите и именителот на секоја дропка со дополнителен фактор и одземете ги дропките според правилото за одземање дропки со исти именители.
4) Добиената дропка е правилна и нередуцирана. Значи ова е одговорот.
1) За да соберете дропки со различни именители, прво побарајте го најмалиот заеднички именител. 16 не се дели со 12. 16∙2=32 не се дели со 12. 16∙3=48 се дели со 12. Значи, 48 е НОЗ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Ова се дополнителни фактори за секоја дропка.
3) помножете ги броителите и именителот на секоја дропка со дополнителен фактор и додадете нови дропки.
4) Добиената дропка е правилна и нередуцирана.
1) 30 не се дели со 20. 30∙2=60 се дели со 20. Значи 60 е најмал заеднички именител на овие дропки.
2) за да се најде дополнителен фактор за секоја дропка, треба да се подели новиот именител со стариот: 60:20=3, 60:30=2.
3) множете ги броителите и именителот на секоја дропка со дополнителен фактор и одземете нови дропки.
4) добиената фракциона 5.
1) 8 не се дели со 6. 8∙2=16 не се дели со 6. 8∙3=24 е делив и со 4 и со 6. Тоа значи дека 24 е NOZ.
2) за да најдете дополнителен фактор за секоја дропка, треба да го поделите новиот именител со стариот. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Тоа значи дека 3, 6 и 4 се дополнителни фактори на првата, втората и третата фракција.
3) броителот и именителот на секоја дропка помножете ги со дополнителен фактор. Додавање и одземање. Добиената фракција е неправилна, па затоа е неопходно да се избере целиот дел.