Презентирана е видео лекција „Функција y = cos x, нејзините својства и график“. визуелен материјалда ја проучи оваа тема. Во прирачникот се претставени карактеристиките на функцијата, нејзините својства, како и описи на решавање проблеми во кои се применува знаењето за својствата на косинус. Со помош на видео лекција, на наставникот му е полесно да го обезбеди потребното знаење и да ги развие вештините на учениците. Визуелен материјалможе да помогне да се подобри ефективноста на лекцијата преку обезбедување подлабоко разбирање на материјалот и подобро меморирање, како и ослободување време за часови за индивидуална работа.
Користењето на видео лекција му дава предност на наставникот поефективно да го претстави материјалот. Прирачникот може да се користи само за јасност, придружно објаснување на наставникот или како независен дел од лекцијата, давајќи му можност на наставникот да се подобри индивидуална работасо студенти. Демонстрираното зацртување на графикони и трансформации со помош на анимациски ефекти стануваат поразбирливи за учениците и им помагаат да ги совладаат вештините за решавање проблеми користејќи од овој материјал. Истакнувањето и изразувањето на својствата на функцијата со помош на алатки за видео упатства ви помага подобро да ги запомните.
Демото започнува со воведување на името на темата. За да се конструира график на функцијата y = cos x, учениците се потсетуваат на формулата за намалување на cos x = sin (x + π/2), што покажува дека графиците на функциите y = cos x и y = sin (x + π/2) се идентично еднакви . За да се нацрта график на функцијата y= sin (x+π/2) се користи координатна рамнина, на чија оска на апсцисата е означена точката -π/2. Ако ја земеме оваа точка како почеток на координатите за конструирање грев графика x, тогаш овој график е и график на функцијата y = sin (x + π/2) за потеклото. Односно, графикот на функцијата y = cos x е поместен за π/2 по оската на апсцисата на графикот на функцијата y = sin x. Очигледно е дека и графикот на функцијата y = cos x е синусоид. Неговата локација ни овозможува да извлечеме заклучоци за својствата на функцијата.
Првото својство на функцијата е за доменот на дефиниција. Очигледно, доменот на дефиниција на функцијата ќе биде целата бројна права, односно D(f)=(- ∞;+∞).
Второто својство на функцијата ја означува парноста на функцијата. Учениците се потсетуваат на материјалот што се изучува во 9 одделение, во кој е наведен условот за парност на функцијата. За дури и функцијаважи еднаквоста f(-x)=f(x). Зборувајќи за парноста на косинусната функција, треба да се забележи дека графикот на оваа функција е симетричен во однос на оската на ординатите. Својствата на функцијата можете да ги прикажете на сликата, која покажува координатна рамнина единица круг. Во првиот и четвртиот квартал се означени точки кои се симетрични во однос на оската на апсцисата. Косинусот се одредува со апсцисата на точката, така што за две точки L(t) и N(-t) апсцисите се исти. Затоа cos (-t)= cos t.
Третото својство ги означува интервалите на намалување и зголемување на функцијата. Својството наведува дека функцијата се намалува на отсечката , а на отсечката [π;2π] косинусот се зголемува. Сликата покажува график на функцијата, кој јасно ја прикажува областа на функциите за намалување и зголемување.
Очигледно е дека функцијата y = cos x се зголемува на секој сегмент [π+2πk;2π+2πk]. Опаѓачки сегменти во општ погледизгледа вака, каде k е цел број.
Четвртото својство забележува дека функцијата косинус е ограничена горе и долу. Слично на синус, можеме да забележиме ограничени вредности на косинус -1<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.
Петтото својство ги одредува најмалите и најголемите вредности на функцијата. Во овој случај, најмалата вредност -1 се постигнува во која било точка x=π+2πk, а најголемата вредност 1 се постигнува во која било точка x=2πk.
Шестото својство го означува континуитетот на функцијата y = cos x. Сликата што го прикажува графикот покажува дека оваа функција нема прекини низ целиот домен на дефиниција.
Седмото својство на функцијата вели дека множеството вредности y = cos x се наоѓа на сегментот [-1;1].
Следно, се разгледуваат примери во кои е неопходно да се користи знаење за својствата на функцијата y = cos x. Во првиот пример потребно е да се реши равенката cos x=1-2. Решението на оваа равенка ќе бидат пресечните точки на функционалните графикони, кои се претставени со изразите на десната и левата страна на равенката, односно y = cos x и y = 1-x 2. Очигледно, графикот на првата равенка е синусоидот прикажан претходно во темата. Графикот на втората функција е парабола, чие теме се наоѓа во точката (0;1). Откако ги нацртавме графиците на секоја функција, сликата за овој проблем покажува дека единствената точка на пресек на двата графика ќе биде точката B(0;1).
Во вториот пример, треба да изградите и прочитате график на функција што е дефинирана на отсечката x<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 со израз cosx. На сликата што го придружува решението на примерот, графикот на функцијата у=sinx е нацртан на отсечката [-3π/2; π/2]. Во овој случај, во точката π/2 функцијата не добива вредност. На сегментот [π/2; 3π/2] се конструира фрагмент од функцијата y = cos x. Очигледно, конструираните фрагменти ќе се повторуваат низ целиот домен на дефиниција. Следното опишува како се чита функцијата. Забележано е дека тоа значи да се опишат неговите својства. Својствата на оваа функција се наведени - доменот на дефиниција (-∞;+∞), отсуство на знаци парни или непарни за целиот домен на дефиниција, а функцијата е ограничена и горе и долу. Најголемата вредност на функцијата ќе биде 1, а најмалата -1. Забележано е и дека има дисконтинуитет во точката x=π/2, збир на вредности на функции (-1;1).
Видео лекцијата „Функција y = cos x, нејзините својства и график“ се користи на час по математика на оваа тема како визуелен материјал. Исто така, ова видео може да биде корисно за наставниците кои предаваат од далечина за да ги развијат потребните вештини кај учениците. Материјалот може да се препорача за независен преглед од студенти кои не ја совладале доволно темата и бараат дополнителна обука.
ДЕКОДИРАЊЕ НА ТЕКСТ:
Пред да изградите график на функцијата y = cos x, запомнете ја формулата за намалување, според која cos x = sin(x + 14ПЂ2) "> (косинусот на аргументот x е еднаков на синусот на аргументот x плус pi со два).Тоа значи дека функциите y = cos x And
y = грев (x +14ПЂ2)"> се идентично еднакви, затоа нивните графикони се совпаѓаат.
Да се направи графика на функцијата y = sin(x +14ПЂ2)"> ќе ни треба помошен координатен систем со почеток во точката B(-14ПЂ2"> ; 0) (во точката BE со координати минус pi на два, нула). Ако ја нацртаме функцијата y = sin x во новиот координатен систем, добиваме график на функцијата
y = грев (x +14ПЂ2)"> или графикот на функцијата y = cos x, бидејќи нивните графикони се совпаѓаат (види Сл. 1).
Бидејќи графикот на функцијата y = cos x се добива од синусниот график користејќи паралелно преведување на растојание14ПЂ2"> во негативна насока, тогаш графикот на оваа функција е исто така синусоид.
Графикот на функцијата y = cos x дава јасна претстава за својствата на оваа функција.
СВОЈСТВО 1. Доменот е множество од сите реални броеви или D (f) = (-14в€ћ"> ; +14в€ћ">) (de од ef е еднаков на интервалот од минус бесконечност до плус бесконечност).
СВОЈСТВО 2. Функцијата y = cos x е парна.
На часовите за 9-то одделение научивме дека функцијата y = f (x), x ϵX (y е еднаква на eff од x, каде што x припаѓа на множеството x е големо) се повикува дури и ако за која било вредност x од поставете X еднаквоста
f (- x) = f (x) (eff од минус x е еднаков на ef од x).
ИМОТ 3.На интервалот [0; π ] (од нула до пи) функцијата се намалува и се зголемува на сегментот [ π ; 2π ] (од пи до два пи) и така натаму.
Можеме да извлечеме општ заклучок: функцијата y = cos x се зголемува на сегментот
[π 14+2ПЂk ">;142ПЂ+2ПЂk "> ] (од пи плус два пи ка до два пи плус два пи ка), и се намалува на сегментот [14 2ПЂk">;14ПЂ+2ПЂk]"> (од два врва до пи плус два врва), каде што (ka припаѓа на множеството цели броеви).
СОПСТВЕНОСТ 4. Функцијата е ограничена горе и долу.
СВОЈСТВО 5. Најмалата вредност на функцијата е еднаква на минус еден и се постигнува во која било точка од формата x =14ПЂ+2ПЂk"> (или можете да напишете y име = - 1); најголемата вредност е 1 и се постигнува во која било точка од формата x =142ПЂk">
(или можете да напишете y max. = 1).
СВОЈСТВО 6. Функцијата y = cos x е непрекината.
СВОЈСТВО 7. Множеството вредности на функцијата е отсечка од минус еден до еден (или можете да напишете E(f) = [ - 1; 1]).
Ајде да погледнеме примери.
ПРИМЕР 1. Решете ја равенката cos x= 1 - x 2 (косинус x е еднаков на еден минус x на квадрат).
Решение. Ајде да ја решиме оваа равенка графички. Во еден координатен систем ќе конструираме два графика на функции: y = cos x и y = 1 - x 2. График на функции
y = 1 - x 2 е парабола чии гранки се насочени надолу, бидејќи коефициентот x квадрат е негативен. (види Сл. 2) Конструираните графикони имаат само една заедничка точка - тоа е точката B(0; 1) (биди со координати нула, еден).
Решение. Распоредот ќе го изградиме „парче по дел“. Прво, да нацртаме дел од графикот на функцијата y = sin x на отворениот зрак (-14в€ћ"> ;14ПЂ2">), потоа во истиот координатен систем на зракот [14 ПЂ2">; +14в€ћ">) ќе конструираме дел од графикот на функцијата y = cos x. Ќе го добиеме графикот на функцијата y = f(x).
Ајде да го прочитаме графикот на оваа функција (ова значи да ги наведеме својствата на функцијата):
- Доменот на дефиниција е множество од сите реални броеви, т.е.
D(f) = (-14 в€; + в€ћ)"> (т.е. де од ef е еднаков на интервалот од минус бесконечност до плус бесконечност).
- Функцијата не е ниту парна ниту непарна.
- Функцијата е ограничена и долу и горе.
- Најмалата вредност на функцијата е еднаква на минус еден (има бесконечно многу такви точки), најголемата вредност на функцијата е еднаква на една (има и бесконечно многу такви точки).
- Функцијата има дисконтинуитет во точката x =14ПЂ 2"> .
- Множеството на вредности на функции е сегментот од минус еден до еден.
Назад напред
Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.
Тема на часот: „Функција y=cosx“
Лекција бр. 1
Цели на часот: Да се запознаат учениците со својствата на функцијата
Цели на часот.
Образовни – формирање на функционални концепти со користење на визуелен материјал, формирање на вештини за конструирање графикони на функцијата y=cosx, формирање на вештини за течно читање на графикони, способност за прикажување на својствата на функцијата на графикон.
За време на часовите
| № | Фаза на лекција | Слајд шоу | Време |
| 1 | Време на организирање.поздрав | ||
| 2 | Објавување на темата и целта на часот | ||
| 3 | Ажурирање на референтното знаење Изведување на орални вежби. |
Фронтална анкета |
|
| 4 | Презентација на нов материјал Задача да се конструира график од y = cosx на отсечка Дискусија за својствата на функцијата y =cosx на интервал Задача за конструирање скица на граф на функцијата y = cosх Дискусија за својствата на функцијата y = cosx |
Внесување својства во табела |
|
| 5 | Решавање задачи по учебник бр.708 бр.709 |
Решението е придружено со слајд бр.4 | |
| 6 | Задачата е да се конструира график на функција со поместување по оската на ординатите и по оската на апсцисата. Дискусија за својствата на функцијата |
||
| 7 | Самостојна работа со користење на учебникот | №710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3) |
|
| Сумирајќи. Резиме на лекција. Оценување. |
|||
| 9 | Домашна работа | §40 бр.710(2;4), бр.711(2;4), бр.711(2;4). Конструирајте графикони на функциите y =cosx и опишете ги својствата на оваа функција. Дополнителен бр.717 (1) |
Цел на часот: Да ги запознае учениците со својствата на функцијата y=cosx, да научи да изгради график на функцијата y=cosx, да го прочита овој график, да ги користи својствата и графикот на функцијата при решавање равенки и неравенки.
2. Најавата за темата и целта на часот е придружена со слајд бр.2
3. Ажурирање на основните знаења
Изведување на орални вежби.
- Прегледајте ја дефиницијата за тригонометриски функции и знаците на вредностите на овие функции.
- Свртете го вниманието на учениците на фактот дека за кој било реален број можете да ја означите соодветната точка на единичната кружница, а со тоа и нејзината апсциса и ордината, т.е. косинус и синус на број x: y = cosx и y = sinx, чиј домен се сите реални броеви.
Потоа учениците одговараат на прашањата:
- За кои вредности на x функцијата y=cosx ја зема вредноста 0? 1? -1?
- Може ли функцијата y=cosx да земе вредност поголема од 1 или помала од -1?
- При кои вредности на x функцијата y=cosx ја зема најголемата (најмалата) вредност?
- Кое е множеството вредности на функцијата y=cosx?
Одговорите на овие и на следните прашања се придружени со илустрација на кругот на единицата.
Повторувајќи ги знаците на вредностите на тригонометриските функции во секоја четвртина од координатната рамнина, од учениците се бара да покажат неколку точки на единечниот круг што одговараат на броеви чиј косинус е позитивен (негативен) број. Потоа одговорете на прашањата:
1) Каков знак има функцијата y=cosx ако x=, x=,
0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?
2) Наведете неколку вредности на x при кои вредностите на функцијата y = cosx се позитивни и негативни.
3) Дали е можно да се именуваат сите вредности на број чиј косинус е позитивен или негативен?
4) Дали е можно да се именуваат сите вредности на аргументот x за кои вредностите на функцијата y = cosx се позитивни и негативни?
5) Парна или непарна функција y = cosx.
6) Кој е периодот на оваа функција?
4. Презентација на нов материјал.
Генерализирање и конкретизирање на знаењето стекнато порано: проучувањето на доменот на дефиниција, збир на вредности, паритет, периодичност ви овозможува да конструирате график прво на сегмент, потоа на отсечка, а потоа на целата бројна линија. Објаснувањето е придружено со слајд број 3.
Потоа учениците учат да цртаат скица на графикот на функцијата y = cosx користејќи точки (0;1), (;0),
(:-1), (;0), (;1) и ги сумира својствата на функцијата, запишувајќи ги во табела.
Ајде да провериме користејќи го слајдот број 4.
(Во оваа фаза се издаваат придружни белешки (Додаток 1))
5. Консолидација на примарното знаење.
Учениците со помош на скица на графикот на функцијата y=cosx одговараат на прашања бр.708, користејќи табела со својства на функцијата y=cosx, одговараат на прашања бр.709
6. Задача за конструирање график на функција со поместување по оската на ординатите и по оската на апсцисата.
1. Слајд бр. 5, 6
За време на разговорот, се дискутира за својствата на овие функции.
7. Самостојна работа со користење на учебникот
№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710
Поделете ја оваа отсечка на два сегменти така што на едната функцијата y = cosx се зголемува, а на другата се намалува:
Опаѓачки; - се зголемува
Опаѓачки; - се зголемува
Користејќи го својството за зголемување или намалување на функцијата y = cosx, споредете ги броевите:
На отсечката функцијата y = cosx се намалува; , оттука, .
На отсечката функцијата y = cosx се зголемува;
<, следовательно, cos < cos
Најдете ги сите корени на равенката што припаѓа на сегментот:
1) cosx = x = ±+2 n, nЗ
Одговор: ; ; .
2) cosx = - x = ± 
8. Сумирајќи.
Оценување.
За време на часот научивме како да изградиме график на функцијата y = cosx, да ги читаме својствата на овој график, да изградиме скица на графикот и да решаваме проблеми поврзани со употребата на графикот и својствата на функцијата y = cosx.
9. Домашна задача.
§40 бр.710(2;4), бр.711(2;4), бр.711(2;4). Конструирајте графикони на функциите y =cosx и опишете ги својствата на оваа функција.
Дополнителен број 717(1).
Тема: „Функција y=cosx“
Лекција бр. 2
Цели на часот: Прегледајте ги правилата за конструирање график на функцијата у=cosx, научете како да трансформирате график, прочитајте го овој график, користете ги својствата и графикот на функцијата при решавање равенки и неравенки.
Цели на часот.
Образовни – формирање на функционални претстави со помош на визуелен материјал, формирање на вештини за исцртување графикони на функцијата y=cosx при различни трансформации, формирање вештини за течно читање графикони, способност да се одразат својствата на функцијата на графикон. .
Развојно – развивање на способност за анализа и генерализирање на стекнатото знаење. Формирање на логично размислување.
Образовни - да се засили интересот за стекнување нови знаења, негување графичка култура, развивање на прецизност и точност при изработката на цртежите.
Опремен со: мултимедијален проектор, екран, оперативен систем Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, програма MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.
За време на часовите
| № | Фаза на лекција | Слајд шоу | Време |
| 1 | Време на организирање.поздрав | 1 | |
| 2 | Објавување на темата и целта на часот | 2 | |
| 3 | Проверка на домашната задача | Бр. 717 (1), слајд бр. 7 |
5 |
| 4 | Презентација на нов материјал Задача за конструирање график со стискање и истегнување до оската OX Дискусија за својствата на функцијата y =k cosx за k>1 и 0 Задача за конструирање график со стискање и истегнување на ори оп-засилувач Дискусија за својствата на функцијата y = cos(k x) за k>1 и 0 |
Слајд бр. 8, 9 |
12 |
| 5 | Консолидација на примарното знаење.Решавање задачи според учебникот №713(1;3), №715(1) №716(1) |
Учебник бр. 717(2) страница 208. При решавањето бр.715(1), бр.716(1), употребете го конструираниот график на функцијата y = cos2x. Слајд бр. 10 | 5 |
| 6 | Задачата е да се конструира график на функција која е симетрична во однос на оската на апсцисата. 1. Организациски момент. поздрав. 2. Најавата за темата и целта на часот е придружена со слајд бр.2. 3. Проверка на домашната задача 4. Презентација на нов материјал 1. Задача за конструирање график со стискање и истегнување до оската OX. Дискусија за својствата на функцијата y =k cosx за k>1 и 0 Слајд број 8 2. Задача за конструирање график со стискање и истегнување до оската на оп-засилувачот. Дискусија за својствата на функцијата y = cos(kx) за k>1 и 0 Слајд број 9 5. Консолидација на примарното знаење Решавање задачи по учебник бр.713(1;3), бр.715(1) бр.716(1) Ја проверуваме задачата бр. 715 (1) бр. 716 (1) користејќи слајд бр. 10 6. Задача за конструирање график на функција симетрична за оската на апсцисата Дискусија за својствата на функцијата .
Слајд бр. 11 (користете придружно резиме (Додаток 1)) 7. Самостојна работа Решавање проблеми со тестот .
(Половина од учениците решаваат тестови во XL (Прилог 2), на компјутер, другата половина на материјали (Прилог 3). Потоа учениците ги менуваат местата.) 8. Резиме на лекцијата. Како резултат на проучувањето на темата, учениците научија да градат график на функцијата y = cosх, да ги читаат својствата на функцијата, да градат графикони на функцијата користејќи различни трансформации, да ги читаат својствата на графиците со трансформации, да решаваат едноставни проблеми со помош на графикони и својства на функцијата y = cosx. Оценување. 9. Домашна задача. §40 бр.717(3), бр.713(4), бр.715(4), бр.716(2). Дополнителен број 719(2) (Проверете го слајдот бр. 13) На почетокот на следниот час, можете да ги поканите учениците да ја завршат работата за изградба на графикони на готови материјали ( |
Во оваа лекција детално ќе ја разгледаме функцијата y = cos x, нејзините главни својства и графикот.На почетокот на часот ќе ја дадеме дефиницијата за тригонометриската функција y = цена на координатниот круг и ќе го разгледаме графикот на функција на кругот и правата. Да ја прикажеме периодичноста на оваа функција на графиконот и да ги разгледаме главните својства на функцијата. На крајот од лекцијата, ќе решиме неколку едноставни проблеми користејќи го графикот на функцијата и нејзините својства.
Тема: Тригонометриски функции
Лекција: Функција y=cost, нејзините основни својства и графикон
Функција е закон според кој секоја вредност на независен аргумент е поврзана со една вредност на функцијата.
Да се потсетиме дефиниција на функцијатаНека т- кој било реален број. Има само една точка што одговара на тоа Мна кругот со броеви. Во точката Мима една апсциса. Се нарекува косинус на бројот т.Секоја вредност на аргументот тодговара само една вредност на функцијата (сл. 1).
Централниот агол е нумерички еднаков на вредноста на лакот во радијани, т.е. број Затоа, аргументот може да биде или реален број или агол во радијани.
Ако можеме да одредиме за секоја вредност, тогаш можеме да изградиме график на функцијата
Графикот на функцијата можете да го добиете на друг начин. Според формулите за намалување 
па косинусниот график е синусен бран поместен по оската xлево (сл. 2).
Својства на функции
1) Опсег на дефиниција:
2) Опсег на вредности: 
3) Изедначена функција:
4) Најмал позитивен период:
5) Координати на точките на вкрстување со оската на апсцисата:
6) Координати на точката на пресек со оската на ординатите:
7) Интервали во кои функцијата зема позитивни вредности:
8) Интервали во кои функцијата зема негативни вредности:
9) Зголемување на интервали:
10) Намалување на интервали:
11) Минимум поени: 
12) Минимална функција: .
13) Максимални поени: 
14) Максимални функции:
Ги разгледавме основните својства и графикот на функцијата, а потоа ќе се користат за решавање проблеми.
Библиографија
1. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Учебник за општообразовни институции (ниво на профил), ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009 година.
2. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.
3. Виленкин Н.Ја., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математичка анализа за 10 одделение (учебник за ученици од училишта и одделенија со продлабочено изучување на математиката) - М.: Просвешчение, 1996 година.
4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Продлабочено проучување на алгебрата и математичката анализа.-М.: Образование, 1997 г.
5. Збирка задачи по математика за апликанти на високообразовни институции (уреди М.И. Сканави) - М.: Виша школа, 1992 г.
6. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебарски симулатор.-К.: А.С.К., 1997 г.
7. Сахакјан С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми за алгебра и принципи на анализа (прирачник за ученици од 10-11 одделение на општообразовните институции) - М.: Просвешчение, 2003 година.
8. Карп А.П. Збирка задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. додаток за 10-11 одделение. со длабочина студирал Математика.-М.: Образование, 2006 г.
Домашна работа
Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.
№№ 16.6, 16.7, 16.9.
Дополнителни веб-ресурси
3. Едукативен портал за подготовка на испит ().