Што е арксин, аркозин? Што е арктангенс, аркотангенс?
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
До концепти лаксин, аркозин, арктангенс, аркотангенс Студентската популација е претпазлива. Тој не ги разбира овие термини и затоа не му верува на ова убаво семејство.) Но залудно. Ова се многу едноставни концепти. Што, патем, енормно го олеснува животот на упатениот човек кога решава тригонометриски равенки!
Сомнежи за едноставноста? Залудно.) Токму овде и сега ќе го видите ова.
Се разбира, за разбирање, би било убаво да се знае што се синус, косинус, тангента и котангента. Да, нивните табеларни вредности за некои агли... Барем во најопшти термини. Тогаш и тука нема да има проблеми.
Значи, ние сме изненадени, но запомнете: лаксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс се само некои агли.Ни повеќе, ни помалку. Има агол, да речеме 30°. И има агол arcsin0.4. Или arctg (-1,3). Има секакви агли.) Можете едноставно да ги запишете аглите на различни начини. Можете да го напишете аголот во степени или радијани. Или можете - преку неговиот синус, косинус, тангента и котангента...
Што значи изразот
arcsin 0,4 ?
Ова е агол чиј синус е 0,4! Да Да. Ова е значењето на арксин. Конкретно ќе повторам: arcsin 0,4 е агол чиј синус е еднаков на 0,4.
Тоа е се.
За да ја задржите оваа едноставна мисла во вашата глава долго време, дури и ќе дадам преглед на овој ужасен термин - арксин:
лак грев 0,4
агол, чиј синус еднакво на 0,4
Како се пишува така се слуша.) Речиси. Конзола лакзначи лак(збор архзнаеш?), затоа што Античките луѓе користеле лакови наместо агли, но тоа не ја менува суштината на материјата. Запомнете го ова елементарно декодирање на математички термин! Покрај тоа, за аркозин, арктангенс и аркотангенс, декодирањето се разликува само во името на функцијата.
Што е arccos 0.8?
Ова е агол чиј косинус е 0,8.
Што е arctg(-1,3)?
Ова е агол чија тангента е -1,3.
Што е arcctg 12?
Ова е агол чиј котангенс е 12.
Таквото елементарно декодирање овозможува, патем, да се избегнат епски грешки.) На пример, изразот arccos1,8 изгледа сосема солидно. Ајде да започнеме со декодирање: arccos1.8 е агол чиј косинус е еднаков на 1,8... Скок-скок!? 1,8!? Косинусот не може да биде поголем од еден!!!
Во право. Изразот arccos1,8 нема смисла. И пишувањето таков израз во некој одговор во голема мера ќе го забавува инспекторот.)
Елементарно, како што можете да видите.) Секој агол има свој личен синус и косинус. И скоро секој има своја тангента и котангента. Затоа, знаејќи ја тригонометриската функција, можеме да го запишеме самиот агол. За тоа се наменети арксините, аркозините, арктангентите и аркотангентите. Отсега целото семејство ќе го нарекувам со мало име - лакови.За да пишувате помалку.)
Внимание! Елементарни вербални и свесендешифрирањето на арки ви овозможува мирно и самоуверено да решавате различни задачи. И во необичноСамо таа ги зачувува задачите.
Дали е можно да се префрлите од лакови на обични степени или радијани?- Слушам претпазливо прашање.)
Зошто да не!? Лесно. Можете да одите таму и назад. Покрај тоа, понекогаш тоа мора да се направи. Арките се едноставна работа, но некако е помирно без нив, нели?)
На пример: што е arcsin 0.5?
Да се потсетиме на декодирањето: arcsin 0,5 е аголот чиј синус е 0,5.Сега вклучете ја главата (или Google)) и запомнете кој агол има синус 0,5? Синус е еднаков на 0,5 y Агол од 30 степени. Тоа е тоа: arcsin 0,5 е агол од 30°.Можете безбедно да напишете:
лаксин 0,5 = 30°
Или, поформално, во однос на радијаните:
Тоа е сè, можете да заборавите на лакот и да продолжите да работите со вообичаените степени или радијани.
Ако сфативте што е арксин, аркозин... Што е арктангенс, аркотангенс...Можете лесно да се справите со, на пример, такво чудовиште.)
Неук човек ќе се одврати од ужас, да...) Ама информиран запомнете го декодирањето:лаксин е аголот чиј синус... И така натаму. Ако упатен човек ја знае и табелата со синуси... Табелата на косинусите. Табела на тангенти и котангенти, тогаш воопшто нема проблеми!
Доволно е да се сфати дека:
Ќе го дешифрирам, т.е. Дозволете ми да ја преведам формулата со зборови: агол чија тангента е 1 (arctg1)- ова е агол од 45 °. Или, што е исто, Pi/4. Исто така:
и тоа е тоа... Сите лакови ги заменуваме со вредности во радијани, се е намалено, останува да пресметаме колку е 1+1. Ќе биде 2.) Кој е точниот одговор.
Вака можете (и треба) да се движите од лаксини, аркосини, арктангенси и аркотангенти до обични степени и радијани. Ова во голема мера ги поедноставува застрашувачките примери!
Често, во такви примери, во внатрешноста на сводовите има негативензначења. Како, arctg(-1.3), или, на пример, arccos(-0.8)... Ова не е проблем. Еве едноставни формули за движење од негативни во позитивни вредности:
Треба, да речеме, да ја одредите вредноста на изразот:
Ова може да се реши со помош на тригонометрискиот круг, но не сакате да го нацртате. Па, во ред. Се движиме од негативенвредности во внатрешноста на лачниот косинус на k позитивенспоред втората формула:
Внатре во лакот косинус на десната страна е веќе позитивензначење. Што
едноставно мора да знаете. Останува само да се заменат радијаните наместо лачниот косинус и да се пресмета одговорот:
Тоа е се.
Ограничувања на арксин, аркозин, арктангенс, аркотангенс.
Дали има проблем со примерите 7 - 9? Па, да, има некој трик таму.)
Сите овие примери, од 1 до 9, се внимателно анализирани во Дел 555. Што, како и зошто. Со сите тајни стапици и трикови. Плус начини за драматично поедноставување на решението. Патем, овој дел содржи многу корисни информации и практични совети за тригонометријата воопшто. И не само во тригонометријата. Многу помага.
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Функциите sin, cos, tg и ctg секогаш се придружени со арксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс. Едното е последица на другото, а паровите функции се подеднакво важни за работа со тригонометриски изрази.
Размислете за цртеж на единечен круг, кој графички ги прикажува вредностите на тригонометриските функции.
Ако ги пресметаме лаците OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, тогаш сите тие ќе бидат еднакви на вредноста на аголот α. Формулите подолу ја одразуваат врската помеѓу основните тригонометриски функции и нивните соодветни лаци.
За да се разбере повеќе за својствата на лак, неопходно е да се разгледа неговата функција. Распоред има форма на асиметрична крива што минува низ координатниот центар.
Својства на арксин:
Ако ги споредиме графиконите гревИ лаксин, две тригонометриски функции можат да имаат заеднички принципи.
лак косинус
Arccos на број е вредноста на аголот α, чиј косинус е еднаков на a.
Кривина y = arcos xго отсликува графикот arcsin x, со единствената разлика што минува низ точката π/2 на оската OY.
Ајде да ја разгледаме функцијата на косинус на лакот подетално:
- Функцијата е дефинирана на интервалот [-1; 1].
- ОДЗ за лакови - .
- Графикот е целосно лоциран во првата и втората четвртина, а самата функција не е ниту парна ниту непарна.
- Y = 0 на x = 1.
- Кривата се намалува по целата должина. Некои својства на лачниот косинус се совпаѓаат со косинусната функција.
Некои својства на лачниот косинус се совпаѓаат со косинусната функција.
Можеби на учениците ќе им биде непотребно такво „детално“ проучување на „лакови“. Меѓутоа, во спротивно, некои елементарни стандардни задачи на испитот може да ги доведат студентите во ќорсокак.
Вежба 1.Наведете ги функциите прикажани на сликата.
Одговор:оризот. 1 – 4, слика 2 – 1.
Во овој пример, акцентот е ставен на малите нешта. Вообичаено, учениците се многу невнимателни кон градењето графикони и изгледот на функциите. Навистина, зошто да се сеќавате на типот на кривата ако секогаш може да се нацрта со помош на пресметани точки. Не заборавајте дека во услови на тест, времето поминато на цртање за едноставна задача ќе биде потребно за решавање на посложени задачи.
Арктангенс
Arctgброевите a се вредноста на аголот α така што неговата тангента е еднаква на a.
Ако го земеме предвид графикот на арктангента, можеме да ги истакнеме следниве својства:
- Графикот е бесконечен и дефиниран на интервалот (- ∞; + ∞).
- Арктангенсот е непарна функција, затоа, арктан (- x) = - арктан x.
- Y = 0 на x = 0.
- Кривата се зголемува низ целиот дефинитивен регион.
Да претставиме кратка компаративна анализа на tg x и arctg x во форма на табела.
Аркотангента
Arcctg на број - зема вредност α од интервалот (0; π) така што неговиот котангенс е еднаков на a.
Својства на функцијата на лак котангента:
- Интервалот за дефиниција на функцијата е бесконечност.
- Опсегот на прифатливи вредности е интервалот (0; π).
- F(x) не е ниту парен ниту непарен.
- Во текот на целата нејзина должина, графикот на функцијата се намалува.
Многу е едноставно да се споредат ctg x и arctg x, само треба да направите два цртежи и да го опишете однесувањето на кривите.
Задача 2.Поврзете го графикот и формата на нотација на функцијата.
Ако размислуваме логично, од графиконите е јасно дека и двете функции се зголемуваат. Според тоа, двете фигури прикажуваат одредена арктан функција. Од својствата на арктангенсот се знае дека y=0 при x = 0,
Одговор:оризот. 1 – 1, сл. 2 – 4.
Тригонометриски идентитети arcsin, arcos, arctg и arcctg
Претходно, веќе ја идентификувавме врската помеѓу лакови и основните функции на тригонометријата. Оваа зависност може да се изрази со голем број формули кои овозможуваат да се изрази, на пример, синусот на аргументот преку неговиот лаксин, аркозин или обратно. Познавањето на таквите идентитети може да биде корисно при решавање на конкретни примери.
Исто така, постојат врски за arctg и arcctg:
Друг корисен пар формули ја поставува вредноста за збирот на arcsin и arcos, како и arcctg и arcctg од истиот агол.
Примери за решавање проблеми
Задачите за тригонометрија можат да се поделат во четири групи: да се пресмета нумеричката вредност на одреден израз, да се конструира график на дадена функција, да се најде нејзиниот домен на дефиниција или ODZ и да се извршат аналитички трансформации за да се реши примерот.
Кога го решавате првиот тип на проблем, мора да се придржувате до следниот акционен план:
Кога работите со графикони на функции, главната работа е познавање на нивните својства и изгледот на кривата. Решавањето на тригонометриски равенки и неравенки бара идентитетски табели. Колку повеќе формули ученикот запомни, толку полесно ќе го најде одговорот на задачата.
Да речеме, во Обединетиот државен испит треба да го најдете одговорот за равенката како што е:
Ако правилно го трансформирате изразот и го доведете до посакуваната форма, тогаш неговото решавање е многу едноставно и брзо. Прво, да го преместиме arcsin x на десната страна на еднаквоста.
Ако се сеќавате на формулата arcsin (sin α) = α, тогаш можеме да го намалиме пребарувањето за одговори на решавање на систем од две равенки:
Ограничувањето на моделот x произлезе, повторно од својствата на лаксинот: ODZ за x [-1; 1]. Кога a ≠0, дел од системот е квадратна равенка со корени x1 = 1 и x2 = - 1/a. Кога a = 0, x ќе биде еднаква на 1.
Час и презентација на тема: „Арцин. Табела на арксини. Формула y=arcsin(x)“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Прирачници и симулатори во онлајн продавницата Integral за одделение 10 од 1C
Софтверско опкружување „1C: Mathematical Constructor 6.1“
Решаваме проблеми во геометријата. Интерактивни задачи за градење во просторот
Што ќе проучуваме:
1. Што е арксин?
2. Нотација на арксин.
3. Малку историја.
4. Дефиниција.
6. Примери.
Што е арксин?
Момци, веќе научивме како да решаваме равенки за косинус, ајде сега да научиме како да решаваме слични равенки за синус. Размислете за sin(x)= √3/2. За да ја решите оваа равенка, треба да конструирате права y= √3/2 и да видите во кои точки таа го пресекува кругот на броеви. Може да се види дека правата линија ја пресекува кружницата во две точки F и G. Овие точки ќе бидат решение за нашата равенка. Да го редизајнираме F како x1, а G како x2. Веќе го најдовме решението за оваа равенка и добивме: x1= π/3 + 2πk,
и x2= 2π/3 + 2πk.
Решавањето на оваа равенка е прилично едноставно, но како да се реши, на пример, равенката
sin(x)= 5/6. Очигледно, оваа равенка исто така ќе има два корени, но кои вредности ќе одговараат на решението на кругот со броеви? Ајде внимателно да ја разгледаме нашата равенка sin(x)= 5/6.
Решението на нашата равенка ќе биде две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
каде што x1 е должината на лакот AF, x2 е должината на лакот AG.
Забелешка: x2= π - x1, бидејќи AF= AC - FC, но FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Но, кои се овие точки?
Соочени со слична ситуација, математичарите дојдоа до нов симбол - arcsin(x). Читајте како лаксин.
Тогаш решението на нашата равенка ќе се запише на следниов начин: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
А решението во општа форма: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Арксин е аголот (должина на лакот AF, AG) синус, кој е еднаков на 5/6.
Мала историја на арксин
_3.jpg)
Историјата на потеклото на нашиот симбол е потполно иста како онаа на арките. Симболот arcsin првпат се појавува во делата на математичарот Шерфер и познатиот француски научник Ј.Л. Лагранж. Нешто порано, концептот на арксин бил разгледан од Д. Бернули, иако го напишал со различни симболи.
Овие симболи станаа општо прифатени дури на крајот на 18 век. Префиксот „лак“ доаѓа од латинскиот „arcus“ (лак, лак). Ова е сосема во согласност со значењето на концептот: arcsin x е агол (или може да се каже лак) чиј синус е еднаков на x.
Дефиниција на арксин
Ако |a|≤ 1, тогаш arcsin(a) е број од отсечката [- π/2; π/2], чиј синус е еднаков на a.
_2.jpg)
Ако |a|≤ 1, тогаш равенката sin(x)= a има решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π - arcsin(a) + 2πk
_3.jpg)
Ајде да препишеме:
x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).
Момци, погледнете ги внимателно нашите две решенија. Што мислите: дали може да се запишат со општа формула? Забележете дека ако има знак плус пред лакот, тогаш π се множи со парниот број 2πk, а ако има знак минус, тогаш множителот е непарен 2k+1.
Земајќи го ова предвид, ја запишуваме општата формула за решавање на равенката sin(x)=a: _4.jpg)
Постојат три случаи во кои е подобро да се запишуваат решенијата на поедноставен начин:
sin(x)=0, потоа x= πk,
sin(x)=1, потоа x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, потоа x= -π/2 + 2πk.
За било кој -1 ≤ a ≤ 1 важи еднаквоста: arcsin(-a)=-arcsin(a).
_5.jpg)
Ајде да ја напишеме табелата со вредности на косинус обратно и да добиеме табела за лак.
Примери
1. Пресметај: arcsin(√3/2).
Решение: Нека arcsin(√3/2)= x, а потоа sin(x)= √3/2. По дефиниција: - π/2 ≤x≤ π/2. Да ги погледнеме синусните вредности во табелата: x= π/3, затоа што sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Одговор: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Пресметај: arcsin(-1/2).
Решение: Нека arcsin(-1/2)= x, а потоа sin(x)= -1/2. По дефиниција: - π/2 ≤x≤ π/2. Да ги погледнеме синусните вредности во табелата: x= -π/6, затоа што sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Одговор: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Пресметај: arcsin(0).
Решение: Нека arcsin(0)= x, а потоа sin(x)= 0. По дефиниција: - π/2 ≤x≤ π/2. Ајде да ги погледнеме вредностите на синусот во табелата: тоа значи x= 0, затоа што sin(0)= 0 и - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Одговор: arcsin(0)=0.
4. Реши ја равенката: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Да ја погледнеме вредноста во табелата: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Одговор: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.
5. Реши ја равенката: sin(x) = 0.
Решение: Ајде да ја искористиме дефиницијата, а потоа решението ќе биде напишано во форма:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π - arcsin(0) + 2πk. Да ја погледнеме вредноста во табелата: arcsin(0)= 0.
Одговор: x= 2πk и x= π + 2πk
6. Реши ја равенката: sin(x) = 3/5.
Решение: Ајде да ја искористиме дефиницијата, а потоа решението ќе биде напишано во форма:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Одговор: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.
7. Решете ја неравенката sin(x) Решение: Синус е ордината на точка на бројната кружница. Ова значи: треба да најдеме точки чија ордината е помала од 0,7. Да повлечеме права y=0,7. Ја сече бројната кружница на две точки. Неравенство y Тогаш решението на неравенката ќе биде: -π – arcsin(0,7) + 2πk _7.jpg)
Проблеми со арксин за независно решение
1) Пресметај: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).2) Решете ја равенката: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0,25,
д) sin(x) = -1,2.
3) Решете ја неравенката: а) грев (x)> 0,6, б) грев (x)≤ 1/2.
Арксин (y = arcsin x)
е инверзна функција на синус (x = грешни -1 ≤ x ≤ 1и множеството вредности -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x
Арксинот понекогаш се означува на следниов начин:
.
График на функцијата на лак
График на функцијата y = arcsin x
Графикот на лак се добива од синусниот график ако се заменети оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот.
Аркозин, аркос
Лачен косинус (y = arccos x)
е инверзна функција на косинус (x = cos y). Има опсег -1 ≤ x ≤ 1и многу значења 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x
Аркозинот понекогаш се означува на следниов начин:
.
График на косинус функција на лакот
График на функцијата y = arccos x
Косинусниот график на лакот се добива од косинусниот график ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот косинус.
Паритет
Функцијата на лак е непарна:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Косинусот на лакот не е парен или непарен:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Својства - екстремни, зголемување, намалување
Функциите arcsine и arccosine се континуирани во нивниот домен на дефиниција (види доказ за континуитет). Главните својства на арксин и аркозин се претставени во табелата.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Опсег и континуитет | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Опсег на вредности | ||
| Растечки, опаѓачки | монотоно се зголемува | монотоно се намалува |
| Високи | ||
| Минимумите | ||
| Нули, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Пресечни точки со ординатна оска, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Табела на арксини и аркосини
Оваа табела ги прикажува вредностите на арксини и аркосини, во степени и радијани, за одредени вредности на аргументот.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| град | мило. | град | мило. | |
| - 1 | - 90 ° | - | 180° | π |
| - | - 60 ° | - | 150° | |
| - | - 45 ° | - | 135° | |
| - | - 30 ° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Формули
Формули за збир и разлика
на или
на и
на и
на или
на и
на и
на
на
на
на
Изрази преку логаритми, сложени броеви
Изрази преку хиперболични функции
Деривати
;
.
Видете Изведување на арксин и деривати на аркозин > > >
Деривати од повисок ред:
,
каде е полином на степен . Се одредува со формулите:
;
;
.
Видете Изведување на деривати од повисок ред на арксин и аркозин > > >
Интеграли
Ја правиме замената x = грев т. Интегрираме по делови, имајќи предвид дека -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
цена t ≥ 0:
.
Ајде да изразиме лак косинус преку лачен синус:
.
Проширување на серијата
Кога |x|< 1
се случува следното распаѓање:
;
.
Инверзни функции
Инверзните на арксин и аркозин се синус и косинус, соодветно.
Следниве формули важат во целиот домен на дефиниција:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Следниве формули важат само за множеството вредности на арксин и аркозин:
arcsin(sin x) = xна
arccos(cos x) = xво .
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.
Арктангенс (y = арктан x)
е инверзна функција на тангента (x = tg y
tg(arctg x) = x
арктан(tg x) = x
Арктангенсот е означен на следниов начин:
.
График на функцијата арктангенс
График на функцијата y = арктан x
Графикот на арктангента се добива од графикот на тангентите ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, множеството вредности е ограничено на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на арктангенсот.
Аркотангента, arcctg
Тангента на лак (y = arcctg x)
е инверзна функција на котангенсот (x = ctg y). Има домен на дефиниција и збир на значења.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x
Аркотангенсот е означен на следниов начин:
.
График на инверзна тангента функција
График на функцијата y = arcctg x
Графикот на лачниот котангент се добива од графикот на котангента ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лачниот котангенс.
Паритет
Функцијата арктангента е непарна:
арктан(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - арктан x
Функцијата инверзна тангента не е парна или непарна:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.
Својства - екстремни, зголемување, намалување
Функциите арктангента и лаккотангента се континуирани во нивниот домен на дефиниција, односно за сите x. (види доказ за континуитет). Главните својства на арктангенсот и аркотангенсот се претставени во табелата.
| y = арктан x | y = arcctg x | |
| Опсег и континуитет | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Повеќекратни значења | ||
| Растечки, опаѓачки | монотоно се зголемува | монотоно се намалува |
| Високи, падови | Бр | Бр |
| Нули, y = 0 | x = 0 | Бр |
| Пресечни точки со ординатна оска, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
| - | π | |
| 0 |
Табела на арктангенси и аркотангенси
Оваа табела ги прикажува вредностите на арктангентите и аркотангентите, во степени и радијани, за одредени вредности на аргументот.
| x | арктан x | arcctg x | ||
| град | мило. | град | мило. | |
| - ∞ | - 90 ° | - | 180° | π |
| - | - 60 ° | - | 150° | |
| - 1 | - 45 ° | - | 135° | |
| - | - 30 ° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 1 | 45° | 45° | ||
| 60° | 30° | |||
| + ∞ | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772
Формули
Формули за збир и разлика
на
на
на
на
на
на
Изрази преку логаритми, сложени броеви
,
.
Изрази преку хиперболични функции
Деривати
Видете Изведување на деривати на арктангенти и аркотангенти > > >
Деривати од повисок ред:
Нека . Тогаш дериватот од n-ти ред на арктангенсот може да се претстави на еден од следниве начини:
;
.
Симболот значи имагинарен дел од следниот израз.
Видете Изведување на деривати од повисок ред на арктангенс и аркотангенс > > >
Таму се дадени и формули за деривати од првите пет реда.
Слично на лак тангента. Нека . Потоа
;
.
Интеграли
Ја правиме замената x = тг ти интегрирајте по делови:
;
;
;
Ајде да изразиме лак тангента преку лак тангента:
.
Проширување на серијата на моќност
Кога |x| ≤ 1
се случува следното распаѓање:
;
.
Инверзни функции
Инверзните на арктангенсот и лаккотангенсот се тангента и котангента, соодветно.
Следниве формули важат во целиот домен на дефиниција:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .
Следниве формули важат само за множеството вредности на арктангенс и лактангенс:
арктан(tg x) = xна
arcctg(ctg x) = xво .
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.