- апотема- висината на бочната страна на правилната пирамида, која е извлечена од нејзиното теме (покрај тоа, апотема е должината на нормалната, која се спушта од средината на правилниот многуаголник на една од неговите страни);
- странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триаголници кои се среќаваат на темето;
- странични ребра ( AS , Б.С. , Ц.С. , Д.С. ) — заеднички страни на страничните лица;
- врвот на пирамидата (т. С) - точка што ги поврзува страничните ребра и која не лежи во рамнината на основата;
- висина ( ПА ) - нормална отсечка извлечена низ врвот на пирамидата до рамнината на нејзината основа (краевите на таков сегмент ќе бидат врвот на пирамидата и основата на нормалната);
- дијагонален пресек на пирамидата- дел од пирамидата што минува низ врвот и дијагоналата на основата;
- база (А БЕ ЦЕ ДЕ) - многуаголник што не припаѓа на темето на пирамидата.
Својства на пирамидата.
1. Кога сите странични рабови имаат иста големина, тогаш:
- лесно е да се опише круг во близина на основата на пирамидата, а врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
- страничните ребра формираат еднакви агли со рамнината на основата;
- Згора на тоа, важи и спротивното, т.е. кога страничните ребра формираат еднакви агли со рамнината на основата, или кога може да се опише круг околу основата на пирамидата и врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг, тоа значи дека сите странични рабови на пирамидата се со иста големина.
2. Кога страничните лица имаат агол на наклон кон рамнината на основата со иста вредност, тогаш:
- лесно е да се опише круг во близина на основата на пирамидата, а врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
- висините на страничните лица се со еднаква должина;
- површината на страничната површина е еднаква на ½ производ од периметарот на основата и висината на страничното лице.
3. Сфера може да се опише околу пирамида ако во основата на пирамидата има многуаголник околу кој може да се опише круг (неопходен и доволен услов). Центарот на сферата ќе биде точката на пресек на рамнините што минуваат низ средината на рабовите на пирамидата нормално на нив. Од оваа теорема заклучуваме дека сферата може да се опише и околу која било триаголна и околу која било правилна пирамида.
4. Сфера може да се впише во пирамида ако рамнините на симетралите на внатрешните диедрални агли на пирамидата се сечат во првата точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе стане центар на сферата.
Наједноставната пирамида.
Врз основа на бројот на агли, основата на пирамидата е поделена на триаголни, четириаголни и така натаму.
Ќе има пирамида триаголен, четириаголна, и така натаму, кога основата на пирамидата е триаголник, четириаголник итн. Триаголна пирамида е тетраедар - тетраедар. Четириаголна - пентагонална и така натаму.
Пирамидата е просторен полиедар, или полиедар, кој се наоѓа во геометриските проблеми. Главните својства на оваа бројка се неговиот волумен и површината, кои се пресметуваат од познавањето на било кои две нејзини линеарни карактеристики. Една од овие карактеристики е апотемата на пирамидата. Тоа ќе се дискутира во статијата.
Пирамидална фигура
Пред да ја дадеме дефиницијата за апотема на пирамида, да се запознаеме со самата фигура. Пирамидата е полиедар, кој е формиран од една n-гонална основа и n триаголници кои ја сочинуваат страничната површина на фигурата.
Секоја пирамида има теме - точка на поврзување на сите триаголници. Нормалната извлечена од ова теме до основата се нарекува висина. Ако висината ја пресекува основата во геометрискиот центар, тогаш фигурата се нарекува права линија. Права пирамида со рамностран основа се нарекува правилна. На сликата е прикажана пирамида со шестоаголна основа, гледана од страните и рабовите.
Апотема на редовна пирамида
Се нарекува и апотема. Се подразбира како нормално извлечено од врвот на пирамидата до страната на основата на фигурата. По својата дефиниција, оваа нормална одговара на висината на триаголникот што ја формира страничната страна на пирамидата.
Бидејќи разгледуваме правилна пирамида со n-гонална основа, тогаш сите n апотеми за неа ќе бидат исти, бидејќи тоа се рамнокракните триаголници на страничната површина на фигурата. Забележете дека идентичните апотеми се својство на правилна пирамида. За фигура од општ тип (косо со неправилен n-аголник), сите n апотеми ќе бидат различни.
Друго својство на апотемата на правилна пирамида е тоа што е истовремено висината, средината и симетралата на соодветниот триаголник. Тоа значи дека го дели на два идентични правоаголни триаголници.
и формули за определување на нејзината апотема
Во секоја правилна пирамида, важни линеарни карактеристики се должината на страната на нејзината основа, страничниот раб b, висината h и апотемата h b. Овие количини се поврзани една со друга со соодветните формули, кои може да се добијат со цртање пирамида и со разгледување на потребните правоаголни триаголници.
Правилната триаголна пирамида се состои од 4 триаголни лица, а едната од нив (основата) мора да биде рамностран. Останатите се рамнокраки во општ случај. Апотемата на триаголна пирамида може да се одреди во однос на други количини со помош на следните формули:
h b = √(b 2 - a 2 /4);
h b = √(a 2 /12 + h 2)
Првиот од овие изрази е точен за пирамида со која било правилна основа. Вториот израз е типичен исклучиво за триаголна пирамида. Тоа покажува дека апотемата е секогаш поголема од висината на фигурата.
Апотемата на пирамидата не треба да се меша со онаа на полиедарот. Во вториот случај, апотема е нормална отсечка повлечена на страната на полиедарот од неговиот центар. На пример, апотемата на рамностран триаголник е √3/6*a.
Проблем со пресметка на апотема
Да ни биде дадена правилна пирамида со триаголник во основата. Неопходно е да се пресмета нејзината апотема ако се знае дека површината на овој триаголник е 34 cm 2, а самата пирамида се состои од 4 идентични лица.
Во согласност со условите на проблемот, имаме работа со тетраедар кој се состои од рамностран триаголници. Формулата за површината на едно лице е:
Каде ја добиваме должината на страната a:
За да ја одредиме апотемата h b, користиме формула која го содржи страничниот раб b. Во случајот што се разгледува, неговата должина е еднаква на должината на основата, имаме:
h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a
Заменувајќи ја вредноста од a преку S, ја добиваме конечната формула:
h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)
Добивме едноставна формула во која апотемата на пирамидата зависи само од областа на нејзината основа. Ако ја замениме вредноста на S од проблемските услови, се добива одговорот: h b ≈ 7,674 cm.
Дефиниција. Страничен раб- ова е триаголник во кој еден агол лежи на врвот на пирамидата, а спротивната страна се совпаѓа со страната на основата (многуаголник).
Дефиниција. Странични ребра- ова се заедничките страни на страничните лица. Пирамидата има толку рабови колку и аглите на многуаголникот.
Дефиниција. Висина на пирамидата- ова е нормално спуштено од врвот до основата на пирамидата.
Дефиниција. Апотема- ова е нормално на страничното лице на пирамидата, спуштено од врвот на пирамидата до страната на основата.
Дефиниција. Дијагонален пресек- ова е дел од пирамидата со рамнина што минува низ врвот на пирамидата и дијагоналата на основата.
Дефиниција. Правилна пирамидае пирамида во која основата е правилен многуаголник, а висината се спушта до центарот на основата.
Волумен и површина на пирамидата
Формула. Волуменот на пирамидатапреку основната површина и висина:
Својства на пирамидата
Ако сите странични рабови се еднакви, тогаш може да се нацрта круг околу основата на пирамидата, а центарот на основата се совпаѓа со центарот на кругот. Исто така, нормален паднат од врвот поминува низ центарот на основата (круг).
Ако сите странични рабови се еднакви, тогаш тие се наклонети кон рамнината на основата под исти агли.
Страничните рабови се еднакви кога формираат еднакви агли со рамнината на основата или ако може да се опише круг околу основата на пирамидата.
Ако страничните лица се наклонети кон рамнината на основата под ист агол, тогаш во основата на пирамидата може да се впише круг, а врвот на пирамидата се проектира во нејзиниот центар.
Ако страничните лица се наклонети кон рамнината на основата под ист агол, тогаш апотемите на страничните лица се еднакви.
Својства на правилна пирамида
1. Врвот на пирамидата е подеднакво оддалечен од сите агли на основата.
2. Сите странични рабови се еднакви.
3. Сите странични ребра се наклонети под еднакви агли на основата.
4. Апотемите на сите странични лица се еднакви.
5. Површините на сите странични лица се еднакви.
6. Сите лица имаат исти диедрални (рамни) агли.
7. Околу пирамидата може да се опише сфера. Центарот на ограничената сфера ќе биде пресечната точка на перпендикуларите што минуваат низ средината на рабовите.
8. Можете да вклопите сфера во пирамида. Центарот на впишаната сфера ќе биде точката на пресек на симетралите што произлегуваат од аголот помеѓу работ и основата.
9. Ако центарот на впишаната сфера се совпаѓа со центарот на опишаната сфера, тогаш збирот на аглите на рамнината на темето е еднаков на π или обратно, еден агол е еднаков на π/n, каде што n е бројот на аглите во основата на пирамидата.
Врската помеѓу пирамидата и сферата
Сфера може да се опише околу пирамида кога во основата на пирамидата има полиедар околу кој може да се опише круг (неопходен и доволен услов). Центарот на сферата ќе биде пресечната точка на рамнините што минуваат нормално низ средните точки на страничните рабови на пирамидата.
Секогаш е можно да се опише сфера околу која било триаголна или правилна пирамида.
Сфера може да се впише во пирамида ако симетралните рамнини на внатрешните диедрални агли на пирамидата се сечат во една точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе биде центар на сферата.
Поврзување на пирамида со конус
За конус се вели дека е впишан во пирамида ако нивните темиња се совпаѓаат и основата на конусот е впишана во основата на пирамидата.
Конус може да се впише во пирамида ако апотемите на пирамидата се еднакви една со друга.
За конус се вели дека е опкружен околу пирамидата ако нивните темиња се совпаѓаат, а основата на конусот е опкружена околу основата на пирамидата.
Конус може да се опише околу пирамидата ако сите странични рабови на пирамидата се еднакви еден со друг.
Врска помеѓу пирамида и цилиндар
Пирамидата се нарекува впишана во цилиндар ако врвот на пирамидата лежи на една основа од цилиндерот, а основата на пирамидата е впишана во друга основа на цилиндерот.
Цилиндарот може да се опише околу пирамидата ако може да се опише круг околу основата на пирамидата.
Тетраедарот има четири лица и четири темиња и шест рабови, каде што било кои два рабови немаат заеднички темиња, но не се допираат.
Секое теме се состои од три лица и рабови кои се формираат триаголен агол.
Се вика отсечката што го поврзува темето на тетраедар со центарот на спротивната страна медијана на тетраедарот(ГМ).
Бимедијаннаречена отсечка што ги поврзува средните точки на спротивните рабови кои не се допираат (KL).
Сите бимедијани и медијани на тетраедар се сечат во една точка (S). Во овој случај, бимедијаните се поделени на половина, а медијаните се поделени во сооднос 3:1 почнувајќи од врвот.
Дефиниција. Акутна аголна пирамида- пирамида во која апотемата е повеќе од половина од должината на страната на основата.
Дефиниција. Тапа пирамида- пирамида во која апотемата е помала од половина од должината на страната на основата.
Дефиниција. Регуларен тетраедар- тетраедар во кој сите четири лица се рамнострани триаголници. Тој е еден од петте правилни полигони. Во правилен тетраедар, сите диедрални агли (помеѓу лица) и триедарски агли (на темето) се еднакви.
Дефиниција. Правоаголен тетраедарсе нарекува тетраедар во кој има прав агол помеѓу три рабови на врвот (рабовите се нормални). Се формираат три лица правоаголен триаголен агола лицата се правоаголни триаголници, а основата е произволен триаголник. Апотемата на кое било лице е еднаква на половина од страната на основата на која паѓа апотемата.
Дефиниција. Изохедрален тетраедарсе нарекува тетраедар чии странични страни се еднакви една со друга, а основата е правилен триаголник. Таквиот тетраедар има лица кои се рамнокрак триаголници.
Дефиниција. Ортоцентричен тетраедарсе нарекува тетраедар во кој сите висини (нормални) кои се спуштени од врвот до спротивната страна се сечат во една точка.
Дефиниција. Ѕвездена пирамиданаречен полиедар чија основа е ѕвезда.
Апотема апотема
(од грчкиот apotíthēmi - стави настрана), 1) отсечка (како и неговата должина) на нормална А, падна од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни. 2) Во правилна пирамида, апотема е висината Астраничен раб.
АПОТЕМААПОТЕМА (грчки апотема - нешто одложено),
1) отсечка (како и нејзината должина) на нормална a, падната од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни.
2) Во правилна пирамида, апотема е висината на страничното лице.
енциклопедиски речник. 2009 .
Синоними:Погледнете што е „апотема“ во другите речници:
Видете АПОТЕМА. Речник на странски зборови вклучен во рускиот јазик. Чудинов А.Н., 1910. АПОТЕМА, види АПОТЕМА. Речник на странски зборови вклучен во рускиот јазик. Павленков Ф., 1907 ... Речник на странски зборови на рускиот јазик
- (од грчкиот апотитеми издвоив) ..1) отсечка (како и неговата должина) на нормална a, спуштена од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни2)] Во правилна пирамида, апотемата е висината на страничното лице ... Голем енциклопедиски речник
Именка, број на синоними: 3 апотема (2) должина (10) нормална (4) Речник ... Речник на синоними
АПОТЕМА- (1) должината на нормалната извлечена од центарот на кругот опкружен околу правилен многуаголник до која било од неговите страни; (2) висината на страничната страна на правилната пирамида; (3) висината на трапезот, што е странично лице на правилен скратен... ... Голема политехничка енциклопедија
- (од грчкиот apotithçmi ставив настрана) 1) должината на нормалната спуштена од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни (сл. 1); 2) во правилна пирамида A. висина a од неговата странична страна (сл. 2). Ориз. 1 до…… Голема советска енциклопедија
- (од грчкиот apotfthemi издвоив) 1) отсечка (како и неговата должина) на нормална a, спуштена од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни. 2) Во правилна пирамида, A. е висината a на страничното лице (види слика). Кон чл. Апотема... Голем енциклопедиски политехнички речник
Должината на нормалната извлечена од центарот на правилен многуаголник на една од неговите страни; Апотемата е еднаква на радиусот на кругот впишан во дадениот многуаголник. Наклонетата страна на конусот ја нарекувале и А. Енциклопедиски речник Ф.А. Брокхаус и И.А. Ефрон
- (од грчкиот апотитеми што го издвоив), 1) отсечка (како и неговата должина) на нормална a, спуштена од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни. 2) Во правилна пирамида A. висина a од страничното лице... Природна наука. енциклопедиски речник
Апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема (
За успешно решавање на проблемите во геометријата, мора јасно да ги разберете термините што ги користи оваа наука. На пример, ова се „прави“, „рамнини“, „полиедрони“, „пирамида“ и многу други. Во оваа статија ќе одговориме на прашањето што е апотема.
Двојна употреба на терминот „апотема“
Во геометријата, значењето на зборот „апотема“ или „аптема“, како што исто така се нарекува, зависи од предметот на кој се применува. Постојат две фундаментално различни класи на фигури во кои тоа е една од нивните карактеристики.
Како прво, ова се рамни полигони. Што е апотема за многуаголник? Ова е висината извлечена од геометрискиот центар на фигурата до која било од нејзините страни.
За да стане појасно за што зборуваме, да погледнеме конкретен пример. Да претпоставиме дека имаме правилен шестоаголник како што е прикажано на сликата подолу.
Симболот l ја означува должината на неговата страна, а буквата a ја означува апотемата. За обележан триаголник, тоа не е само висината, туку и симетралата и средината. Лесно е да се покаже дека преку страната l може да се пресмета на следниов начин:
Апотемата е дефинирана слично за секој n-аголник.
Второ, ова се пирамиди. Што е апотема за таква фигура? Ова прашање бара подетално разгледување.
На оваа тема: Како да ги направите вашите трепки долги и дебели за само еден месец?
Пирамидите и нивните апотеми
Прво, да ја дефинираме пирамидата од геометриска гледна точка. Оваа фигура е тродимензионално тело формирано од еден n-аголник (основа) и n триаголници (страни). Вторите се поврзани во една точка, која се нарекува теме. Растојанието од него до основата е висината на фигурата. Ако падне на геометрискиот центар на n-аголникот, тогаш пирамидата се нарекува права линија. Ако, дополнително, n-аголникот има еднакви агли и страни, тогаш фигурата се нарекува правилна. Подолу е пример за пирамида.
Што е апотема за таква фигура? Ова е нормалната што ги поврзува страните на n-аголникот со темето на сликата. Очигледно, таа ја претставува висината на триаголникот, што е страната на пирамидата.
Апотем е погодно да се користи при решавање на геометриски проблеми со редовни пирамиди. Факт е дека за нив сите странични лица се рамнокрак триаголници еднакви еден на друг. Последниот факт значи дека сите n апотеми се еднакви, така што за правилна пирамида можеме да зборуваме за една и единствена права линија.
Апотема на правилна четириаголна пирамида
Можеби најочигледниот пример за оваа фигура ќе биде познатото прво светско чудо - Кеопсовата пирамида. Таа се наоѓа во Египет.
За секоја таква фигура со правилна n-гонална основа, можеме да дадеме формули кои ни овозможуваат да ја одредиме нејзината апотема преку должината a на страната на многуаголникот, преку страничниот раб b и висината h. Овде ги запишуваме соодветните формули за права пирамида со квадратна основа. Апотемата h b за неа ќе биде еднаква на:
На оваа тема: Знамето на Башкирија - опис, симболика и историја
h b = √(b 2 - a 2 /4);
h b = √(h 2 + a 2 /4)
Првиот од овие изрази важи за секоја правилна пирамида, вториот - само за четириаголна.
Ајде да покажеме како овие формули може да се користат за да се реши проблемот.
Геометриски проблем
Нека биде дадена права пирамида со квадратна основа. Неопходно е да се пресмета нејзината основна површина. Апотемата на пирамидата е 16 cm, а нејзината висина е 2 пати поголема од страната на основата.
Секој ученик знае: за да ја пронајдете областа на плоштадот, која е основата на предметната пирамида, треба да ја знаете нејзината страна a. За да го најдеме, ја користиме следнава формула за апотема:
h b = √(h 2 + a 2 /4)
Значењето на апотемата се знае од условите на проблемот. Бидејќи висината h е двојно поголема од должината на страната a, овој израз може да се трансформира на следниов начин:
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
a = 2*h b /√17
Плоштината на квадрат е еднаква на производот на неговите страни. Заменувајќи го добиениот израз со a, имаме:
S = a 2 = 4/17 * h b 2
Останува да се замени вредноста на апотемата од проблемските услови во формулата и да се запише одговорот: S ≈ 60,2 cm 2.