ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ ಮತ್ತು ಅಹಿತಕರ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, "ಎಲೆಕೋಸಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದಿಂದ ಹೊರಬರಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಜನ್ಮ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮತ್ತು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಗಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ, ನಾನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದೇ ಪಾಠವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮೇಲಾಗಿ,

ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಸಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಮಯ / ಬಯಕೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ). "ಸಾಮಾನ್ಯ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ (ಆದರೆ ಮತ್ತೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) - ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಪಾಠಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ:ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಒಂದು ವಿಷಯವಿದೆ, ಅದು ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳು. ಮಿತಿ ಏನೆಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪದನಾಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಅವರು ಕರೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ;

- ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ;

- ಇವು ಏಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ("ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "X" ಅಥವಾ "Y" ನಿಂದ "ಹರಿದುಹಾಕಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ).

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, "ಡೈನಾಮಿಕ್" ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಯಾವುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ - ಸಂಖ್ಯೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ - "ಪ್ಲಸ್" ಅಥವಾ "ಮೈನಸ್" ಅನಂತ).

ಒಂದು ಹಂತವಾಗಿ, ನೀವು ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕಾರ್ಯ.

ಗಮನಿಸಿ: "ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ" ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ! ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಅಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರ

ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ

ಮತ್ತು ಮೀಸಲಾತಿ ಇಲ್ಲದೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ "ಬ್ರೇಕ್ಸ್" ನೊಂದಿಗೆ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್‌ಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸತ್ಯಗಳು ನಿಜ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಟೀಪಾಟ್ ಅನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಕಪಟ ಸನ್ನಿವೇಶಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ: ಈ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, "x", ಸ್ವತಃ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್" ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಏರಿಕೆಯಿಂದ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಎರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ:

- ಹುಡುಕಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

- ಹುಡುಕಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಈ ಆವೃತ್ತಿ, ನನ್ನ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುವುದು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು (ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿ, ಅನಂತ), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ -

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ಹೇಗೆ ?

ಅನುಪಾತವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು?ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು ? ಏಕೈಕ ಮಿತಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು

ಇದು ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ

ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ - ಕೈ ಚಳಕ ಮತ್ತು ವಂಚನೆ ಇಲ್ಲ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾನು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ಅರಿವಿನ ಅಭ್ಯಾಸದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು:

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನೀವು ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: .

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ, ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: ಏಣಿಯು ಹಲಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೇರಿದ ಕೆಲವು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಇರುವ ಕಾರ್ಯ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ (ಸಹಜವಾಗಿ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ o/o -ya) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ 0:0 ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಿಸೋಣ

ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ :

ಅಂತಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ.

ನೀವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು

ನಂತರ, ಬದಲಿ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆನಂದಿಸೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ, ಆದರೆ ವಿನ್ಯಾಸದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಹೋಗಲಾಡಿಸುವ ಯೋಚನೆ ಇದೆ

ಚಂದಾದಾರಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರದ ಬದಲಿಗೆ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸೇರಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಕಾರ್ಯ (ಮಧ್ಯಂತರ), ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಮೀಸಲಾತಿ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ವಿನ್ಯಾಸದ ಸರಳತೆಯು ಗೊಂದಲದಿಂದ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ

ಆರಂಭಿಕರಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ). ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, "X" ಅಕ್ಷರವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ! ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ: - ಪುರಾತನ ಪ್ರತಿಮೆ, ಮತ್ತು - ಜೀವಂತ ಸಂದರ್ಶಕ, ವಸ್ತುಸಂಗ್ರಹಾಲಯದ ಕಾರಿಡಾರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚುರುಕಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದರೆ, "x" ಎಂಬುದು "ಸ್ಥಿರದಂತಿದೆ."

ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ನಿವಾರಣೆಯ ಕುರಿತು ನಾನು ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ:

(1) ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

(2) ಆವರಣದಲ್ಲಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

(3) ಛೇದದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೃತಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು "x" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ

ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ , ಹಾಗೆಯೇ ಅಪರಿಮಿತಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:

ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ:

ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಟೇಬಲ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯೋಜನೆಯ ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ (ಮೊದಲ ವಿಧಾನ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇತರ ಹಲವಾರು ಕೋಷ್ಟಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಅಥವಾ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Fichtenholtz ನ 1 ನೇ ಸಂಪುಟ. ಪುಸ್ತಕಗಳಿಂದ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನಕಲಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ - ಅವುಗಳು ಸಹ ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ

ಸೂತ್ರ

ನಿಜವಾಗಿ ಎದುರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ: ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ವಿನ್ಯಾಸ ಶೈಲಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ:

ಪ್ರಾಯಶಃ ಕೆಲವು ಓದುಗರು ಇನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾದ ತತ್ವವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು (ಸಂಖ್ಯೆ) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: , ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ

"X" ಬದಲಿಗೆ ನೀವು ಬದಲಿಸಬೇಕು. ಈಗ ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಕಂಪೈಲ್ಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮಿತಿಗೆ ಸುಗಮಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಟರ್ಕಿ ಜೀರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ, ಹುರಿದ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಉತ್ತರ: a-priory.

ಪರಿಶೀಲನೆ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:

ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಉದ್ದೇಶಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ "ತ್ವರಿತ" ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:

ಶೈಲಿ #2 ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ: ಉದಾಹರಣೆ 7

ಏನಾಗಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮ:

ಪರಿಹಾರ: ಸೇರಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಮಾಡಿ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

(1) ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

(2) ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

(3) ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

(4) ಸೈನ್ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ

ನಾವು ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

(5) ಬಳಕೆಗಾಗಿ ನಾವು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕೃತಕ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ನಿವಾರಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾಗಿ ಮಾಡೋಣ.

ಉತ್ತರ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆಯು ನಿಂತಿದೆ

ಅತ್ಯಂತ ಮಿತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ + ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ನ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ವಂತಿಕೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿನ್ಯಾಸದ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ, ನನ್ನ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಅನಿಸಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, "X-ಶೂನ್ಯ" ದೊಂದಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ 1 ಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಉತ್ಸಾಹದಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಪರೂಪದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ ಏನಾಗಿರಬೇಕು? ಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬದಲಿಗೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು ಅಪರೂಪದ ಸ್ಪರ್ಶ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತೇವೆ

ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ:

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ.

"ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ" ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆ ಅಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ - ಉಗುರು ಬದಲಿಸಲು ಸಾಕು, ಅಥವಾ ವಿನ್ಯಾಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮ ಬೋನಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಬೇರೆಯವರಿಗೆ ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ:

ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ? ಹಂತದಲ್ಲಿ?

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ತುಣುಕಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಮತ್ತು ತುಣುಕು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡಗೈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲಗೈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

3) ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ:

, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿದೆ (ಪಾಠದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ).

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದರೆ: (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು), ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡೂ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ

(ಅವರು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ), ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅಲ್ಲ

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆ ಪಾಠ 5 ನೋಡಿಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ) .

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು I, ಸೂತ್ರಗಳು 4, 2 ಮತ್ತು 1. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. ಒಂದೇ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು I, ಸೂತ್ರಗಳು 3, 5 ಮತ್ತು 6 ಮತ್ತು 1.

ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು IV, ಸೂತ್ರಗಳು 5 ಮತ್ತು 1 .

ಐದನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ Iಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು 1 ನೇ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆ 4 ), ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 2 ನೇಮತ್ತು 3 ನೇನಿಯಮಗಳು, ಮತ್ತು 1ಕ್ಕೆಸಾರಾಂಶ ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ 2 ನೇಮತ್ತು 3 ನೇಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಿಯಮಗಳು 4 . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಪ್ರಕಾರ 4 ಸೂತ್ರ, ನಾವು ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ. ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿದ್ದೀರಾ? ಫೈನ್. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಹೊಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು.

ಆರನೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.

ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ IVಮತ್ತು ಸೂತ್ರ 4 . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ.

ಈ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿರುವಿರಿ:

ಹೊಸ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು!

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು y= ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ x 2, ವಾದದ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ 4 , ಮತ್ತು ಹೊಸ - 4,01 .

ಪರಿಹಾರ.

ಹೊಸ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯ x=x 0 +Δx. ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ: 4.01=4+Δх, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳ Δх=4.01-4=0.01. ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ y=x2, ಅದು Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

ಉತ್ತರ: ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ Δх=0.01; ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ Δу=0,0801.

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ y=f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0, ವೇಳೆ f "(x 0) = 1.

ಪರಿಹಾರ.

ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ x 0ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ). ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,ಏಕೆಂದರೆ tg45°=1.

ಉತ್ತರ: ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ 45°.

3. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ y=xn.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪದವಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ: (x n)" = nx n-1.

ಇವು ಸೂತ್ರಗಳು.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉಚ್ಚರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. X ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

4. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಘಾತವು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.

5. ಒಂದು ಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

6. x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು x ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

7. ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

8. ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

9. ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಚೌಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

10. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಸೈನ್‌ನ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕಲಿಸುತ್ತೇವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು.

1. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

3. "ve" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ "y" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂಶವು "y ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು "ve" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ "y ಅನ್ನು ve ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ" ಮತ್ತು ಛೇದವು "ve ವರ್ಗ" ಆಗಿದೆ.

4. ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ 3.

ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕಲಿಯೋಣ!

ಪುಟ 1 ರಲ್ಲಿ 1 1

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.$y = f(x)$ ಕಾರ್ಯವು ಅದರೊಳಗೆ $x_0$ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಿಡದಂತೆ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ $\ಡೆಲ್ಟಾ x $ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ $\Delta y $ (ಬಿಂದು $x_0 $ ನಿಂದ $x_0 + \Delta x $ ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ) ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ $\frac(\Delta y)(\ಡೆಲ್ಟಾ x) $. $\Delta x \rightarrow 0$ ನಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ$x_0 $ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ $y=f(x) $ ಮತ್ತು $f"(x_0) $ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು y ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. y" = f(x) ಒಂದು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ x ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ y = f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ. y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದ abscissa x=a ನೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, f(a) ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ :
$k = f"(a)$

$k = tg(a) $, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ $f"(a) = tan(a) $ ನಿಜ.

ಈಗ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಕಾರ್ಯವು $y = f(x)$ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ $x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ಇದರರ್ಥ x ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, ಅಂದರೆ $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ಡೆಲ್ಟಾ x$. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ "ಬಹುತೇಕ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ $y = x^2$ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ $\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x $ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

1. $x$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, $f(x)$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
2. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ $x$ ಇಂಕ್ರಿಮೆಂಟ್ $\ಡೆಲ್ಟಾ x$ ನೀಡಿ, ಹೊಸ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗಿ $x+ \Delta x $, $f(x+ \Delta x) $ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
3. ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸಿ $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ಈ ಮಿತಿಯು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ y = f(x) x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕಾರ್ಯಗಳು y = f(x).

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೇಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?

x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ M(x; f(x)) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು f "(x) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗ್ರಾಫ್ "ಮುರಿಯಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಇವು "ಹ್ಯಾಂಡ್-ಆನ್" ವಾದಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ $\Delta x $ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ನಂತರ $\Delta y$ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರಿವರ್ಸ್ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಕಾರ್ಯ y = |x| ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ x = 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಆದರೆ "ಜಂಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್" (0; 0) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ. $y=\sqrt(x)$ ಕಾರ್ಯವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು y-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವು x = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಕೋನ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ $f "(0)$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಯಿತು - ವಿಭಿನ್ನತೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಅದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಗೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು?

ಉತ್ತರವನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಭಾಗಗಳು, ಮೊತ್ತಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ "ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು", ಅಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು. C ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು f=f(x), g=g(x) ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ; ಅದನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡೋಣ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೇರವಾಗಿ ಹೋಗೋಣ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅವುಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ f, g, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳಿವೆ. ನಾವು ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, g" ಅನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಎಂದರೆ ನಾವು g ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ಸಾಕು.

(ಸಿನ್ x)"=cos x
(cos x)"= –ಸಿನ್ x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(ln x)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(ಲಾಗ್ ಎ x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x)"= 1/√(1-x 2)
(ಆರ್ಕೋಸ್ x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

ಉದಾಹರಣೆ 1. y=500 ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರ 1).

ಉದಾಹರಣೆ 2. y=x 100 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಇದು ಘಾತ 100 ಆಗಿರುವ ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಘಾತಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು 1 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರ 3).

(x 100)"=100 x 99

ಉದಾಹರಣೆ 3. y=5 x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರ 4 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. y= log 4 x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಸೂತ್ರ 7 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

(ಲಾಗ್ 4 x)"=1/x ln 4

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಈಗ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ (ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ). ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕೆಳಗೆ, f ಮತ್ತು g ಅಕ್ಷರಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು C ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 5. y= 6*x 8 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು 6 ರ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x 4 ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸೂತ್ರ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

(f + g)"=f" + g"

ಉದಾಹರಣೆ 6. y= x 100 +sin x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ರಿಂದ (x 100)"=100 x 99 ಮತ್ತು (sin x)"=cos x. ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

(f – g)"=f" – g"

ಉದಾಹರಣೆ 7. y= x 100 – cos x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು. ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ, ಏಕೆಂದರೆ (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

ಉದಾಹರಣೆ 8. y=e x +tg x– x 2 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಈ ಕಾರ್ಯವು ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ; ಪ್ರತಿ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. ನಂತರ ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ

(f * g)"=f" * g + f * g"

ಉದಾಹರಣೆ 9. y= cos x *e x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ (cos x)"=–ಸಿನ್ x ಮತ್ತು (e x)"=e x. ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x * sin x

5. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

ಉದಾಹರಣೆ 10. y= x 50 /sin x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: (x 50)"=50 x 49 ಮತ್ತು (sin x)"= cos x. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮವೂ ಇದೆ:

(u (v))"=u"(v)*v"

ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. y= u (v(x)) ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು u ಬಾಹ್ಯ ಮತ್ತು v - ಆಂತರಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

y=sin (x 3) ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಆಗ y=sin(t) ಒಂದು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆ

t=x 3 - ಆಂತರಿಕ.

ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

(sin t)"=cos (t) - ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಇಲ್ಲಿ t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಂತರ (ಸಿನ್ (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಘಾತೀಯ (e ಟು ದಿ x ಪವರ್) ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಎ ಟು ದ x ಪವರ್) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳ ಪುರಾವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. e^2x, e^3x ಮತ್ತು e^nx ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಘಾತಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಘಾತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (e ಯಿಂದ x ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು e ಗೆ x ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ):
(1) (e x )′ = e x.

ಬೇಸ್ a ಹೊಂದಿರುವ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(2) .

ಘಾತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, e ಗೆ x ಶಕ್ತಿ

ಘಾತೀಯವು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಧಾರವು ಸಂಖ್ಯೆ e ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
.
ಇಲ್ಲಿ ಅದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಮುಂದೆ, ಘಾತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಘಾತೀಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, e ಗೆ x ಪವರ್:
y = e x.
ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
(3) .

ತಿಳಿದಿರುವ ಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ:
ಎ)ಘಾತ ಆಸ್ತಿ:
(4) ;
ಬಿ)ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಸ್ತಿ:
(5) ;
IN)ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮಿತಿಗಳ ಆಸ್ತಿ:
(6) .
ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಇಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಿತಿಯು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಜಿ)ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ಅರ್ಥ:
(7) .

ಈ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಮಿತಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (3). ನಾವು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (4):
;
.

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ಆಗ ; .
ಘಾತೀಯ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ,
.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ, . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ . ನಲ್ಲಿ, . ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (5):
. ನಂತರ
.

ನಾವು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (6). ಧನಾತ್ಮಕ ಮಿತಿ ಇರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ:
.
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು (7) ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ
.

ಹೀಗಾಗಿ, ಘಾತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಈಗ ನಾವು ಪದವಿಯ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರ (2) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ನಂಬುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು. ನಂತರ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ
(8)
ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ (8). ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್.
;
.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (8) ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ:
.

e ನಿಂದ x ಪವರ್‌ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಈಗ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೊದಲು ಘಾತವನ್ನು ನೋಡೋಣ:
(14) .
(1) .

ಕ್ರಿಯೆಯ (14) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ (14) ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ (1), ನಾವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
;
.

n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:
.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಈಗ ಒಂದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಯ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ:
.
ನಾವು ಅದರ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
(15) .

ವ್ಯತ್ಯಾಸ (15), ನಾವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
;
.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಿನ್ನತೆಯು ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, n ನೇ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.