ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು H 1, H 2, ..., H n ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)
ಈ ಘಟನೆಗಳ H i ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ H i ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಘಟನೆಗಳು H i ಅನ್ನು ಹೈಪೋಥಿಸಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬೇಯ್ಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
H i ಊಹೆಗಳ P(H i) ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು priori ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವ ಮೊದಲು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು.
ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು P(A/H i) ಅನ್ನು ಹಿಂಭಾಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅನುಭವದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿದ ಊಹೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು H i.
ಸೇವೆಯ ಉದ್ದೇಶ. ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ವರ್ಡ್ ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ).
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಅಂಗಡಿಯು ಎರಡು ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಿಂದ ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಕಾರ್ಖಾನೆಯ ಪಾಲು 25% ಆಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ತಯಾರಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ 5% ಮತ್ತು 10% ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮಾರಾಟಗಾರನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಅದು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು A ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ - "ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ." ಈ ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ನ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ: H 1- "ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ ಮೊದಲ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಿಂದ ಬಂದಿತು." H 2- "ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ ಎರಡನೇ ಸಸ್ಯದಿಂದ ಬಂದಿದೆ." ಮೊದಲ ಸಸ್ಯದ ಪಾಲು 25% ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಊಹೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 
; 
.
ಮೊದಲ ಸಸ್ಯದಿಂದ ದೋಷಯುಕ್ತ ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ 
, ಎರಡನೇ ಸಸ್ಯ - p(A/H 2)=
ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾರಾಟಗಾರನು ದೋಷಯುಕ್ತ ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
0.25·0.05+0.75·0.10=0.0125+0.075=0.0875
ಉತ್ತರ: p(A)= 0,0875.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಅಂಗಡಿಯು ಒಂದೇ ಹೆಸರಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎರಡು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿತು. ಮೊದಲ ಬ್ಯಾಚ್‌ನ 25% ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಬ್ಯಾಚ್‌ನ 40% ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯ ಸರಕುಗಳು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸರಕುಗಳ ಘಟಕವು ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯದ್ದಾಗಿರದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಪರಿಹಾರ:
ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಎ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ - "ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ." ಈ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ: H 1- "ಮೊದಲ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ." H 2- "ಎರಡನೇ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ." ಮೊದಲ ಬ್ಯಾಚ್‌ನ ಪಾಲು 25% ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಊಹೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ; 
.
ಮೊದಲ ಬ್ಯಾಚ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ 
, ಎರಡನೇ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಿಂದ - 
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸರಕುಗಳ ಘಟಕವು ಪ್ರಥಮ ದರ್ಜೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0.25·0.5+0.4·0.5=0.125+0.2=0.325
ನಂತರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸರಕುಗಳ ಘಟಕವು ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯದ್ದಾಗಿರದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: 1- 0.325 = 0.675
ಉತ್ತರ:
.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. 5% ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 1% ಮಹಿಳೆಯರು ಬಣ್ಣ ಕುರುಡರು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಣ್ಣಕುರುಡನಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಇದು ಪುರುಷನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು (ಪುರುಷರು ಮತ್ತು ಮಹಿಳೆಯರು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ).
ಪರಿಹಾರ.
ಈವೆಂಟ್ ಎ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಣ್ಣಕುರುಡನಲ್ಲ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.
ಈ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
P(A) = P(A|H=ಪುರುಷ) + P(A|H=ಹೆಣ್ಣು) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
ನಂತರ ಇದು ಮನುಷ್ಯನಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: p = P(A|H=man) / P(A) = 0.475/0.97 = 0.4897
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4. 4 ಪ್ರಥಮ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, 6 ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು 5 ತೃತೀಯ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕ್ರೀಡಾ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಾರೆ.ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಪ್ರಥಮ, ದ್ವಿತೀಯ, ತೃತೀಯ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ 0.9; 0.7 ಮತ್ತು 0.8.
a) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಭಾಗವಹಿಸುವವರಿಂದ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಬಿ) ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಅನ್ನು ಗೆದ್ದನು. ಅವನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಯಾವ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದಾನೆ?
ಪರಿಹಾರ.
ಈವೆಂಟ್ ಎ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಭಾಗವಹಿಸುವವರ ಗೆಲುವು.
ಇಲ್ಲಿ P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333,
P(A|H1) = 0.9, P(A|H2) = 0.7, P(A|H3) = 0.8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333*0.8 = 0.787
ಬಿ) ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
p1, p2, p3 ನಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5. ಕಂಪನಿಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೂರು ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪಾದನೆಯ 20% ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - 30%, ಮೂರನೆಯದು - 50%. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಯಂತ್ರವು 5% ದೋಷಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು 4%, ಮೂರನೆಯದು - 2%. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಯಂತ್ರದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಿಡಿ p(A)ತಿಳಿದಿದೆ. ನಂತರ ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
. (1.8)
ಪುರಾವೆ.ಮೂಲತತ್ವ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ
p(A+B) = p(A) + p(B).
ಅಸಾಮರಸ್ಯದಿಂದಾಗಿ ಎಮತ್ತು
ಪರಿಣಾಮ., ಅಂದರೆ, ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (1.8), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಹಿಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮಿಸ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಹಿಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವೇಳೆ ಬಂದೂಕಿಗೆ ಹೊಡೆಯುವುದು 0.9 ಆಗಿದೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಮಿಸ್ ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (1 - 0, 9 = 0.1).
- ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ.ಸಸ್ಯವು 85% ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 10% ಎರಡನೇ ದರ್ಜೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದೋಷಯುಕ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ದೋಷವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಪರಿಹಾರ. P = 1 - (0.85 + 0.1) = 0.05.
ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಪುರಾವೆ.ಒಂದು ಘಟನೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಎ + ಬಿಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ
ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು, ನಾವು ಮೂಲತತ್ವ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಹಾಗೆಯೇ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ (1.10) (ಚಿತ್ರ 2) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ. 20 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ, 5 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕೆಟ್ಟ ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಿದ್ದಾರೆ, 4 ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 3 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡೂ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಟ್ಟ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಈ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ವೈಫಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು ಎಷ್ಟು?
ಪರಿಹಾರ. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0.7 (70%).
- ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಬಿಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಎ, ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಏನಿದು ಘಟನೆ ಎಸಂಭವಿಸಿದೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಈ ಘಟನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯೋಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೇವೆ. W n ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು (ಫಲಿತಾಂಶಗಳು) ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಪರವಾಗಿದೆ ಮೀ(ಎ), ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಎಬಿ - m(AB)ಫಲಿತಾಂಶಗಳ. ಈವೆಂಟ್ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ ಬಿಎಂದು ಒದಗಿಸಿದೆ ಎಸಂಭವಿಸಿದ, - p(B|A)ಎ-ಪ್ರಿಯರಿ,
= .
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಸಂಭವಿಸಿತು, ನಂತರ ಒಂದು ಮೀ(ಎ)ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಘಟನೆ ಬಿಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಬಿ; ಅಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು m(AB). ಆದ್ದರಿಂದ, ಈವೆಂಟ್ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹಾಕುವುದು ಸಹಜ ಬಿಎಂದು ಒದಗಿಸಿದೆ ಎಸಂಭವಿಸಿದೆ, ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ: ಈವೆಂಟ್ B ಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಈವೆಂಟ್ A ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ , ಎಂದು ಕರೆದರು
. (1.11)
ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ p(B|A)ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು; ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (1.11).
ಉದಾಹರಣೆ.ಕಲಶವು N ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ n ಬಿಳಿ ಮತ್ತು N-n ಕಪ್ಪು. ಚೆಂಡನ್ನು ಅದರಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ ( ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ ಮಾದರಿ ), ಅವರು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಾರೆ. ಎರಡೂ ಚೆಂಡುಗಳು ಬಿಳಿಯಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಪರಿಹಾರ.ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮ ಎರಡನ್ನೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಮೊದಲು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಘಟನೆಯನ್ನು A ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ (ನಂತರ ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಮೊದಲು ಎಳೆಯಲಾಯಿತು), ಮತ್ತು B ನಿಂದ ಎರಡನೆಯದು ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಯಿತು; ನಂತರ
.
ಸತತವಾಗಿ ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಬದಲಿ ಇಲ್ಲದೆ) ಬಿಳಿಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ:
ಇತ್ಯಾದಿ
ಉದಾಹರಣೆ. 30 ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಕೇವಲ 25 ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಅವನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮೊದಲ ಟಿಕೆಟ್‌ಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ನಿರಾಕರಿಸಿದರೆ (ಅದು ಅವನಿಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ), ನಂತರ ಅವನಿಗೆ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಟಿಕೆಟ್ ಅದೃಷ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ.ಈವೆಂಟ್ ಇರಲಿ ಎಹೊರತೆಗೆದ ಮೊದಲ ಟಿಕೆಟ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ "ಕೆಟ್ಟದು" ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿ- ಎರಡನೆಯದು - ²ಗುಡ್². ಏಕೆಂದರೆ ಘಟನೆಯ ನಂತರ ಎ"ಕೆಟ್ಟ" ಒಂದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಕೇವಲ 29 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ 25 ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಯಾವುದೇ ಟಿಕೆಟ್ನ ನೋಟವು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಅವರು ಹಿಂತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
- ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಸಂಬಂಧ (1.11), ಎಂದು ಊಹಿಸಿ p(A)ಅಥವಾ p(B)ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು
ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ , ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಇದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಉದಾಹರಣೆ.ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮೊದಲ ಟಿಕೆಟ್‌ಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಿಸದೆ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಿಸಬೇಕು.
ಪರಿಹಾರ.ಘಟನೆಗಳು ಅವಕಾಶ ಎಮತ್ತು ಬಿಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ²ಗುಡ್². ನಂತರ - ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ "ಕೆಟ್ಟ" ಟಿಕೆಟ್ನ ನೋಟ. ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಅಥವಾ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಿ. ಅಂದರೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಈವೆಂಟ್ ಸಿ - ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿ ಉತ್ತೀರ್ಣ - ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಸಿ = ಎ+ .ಇಲ್ಲಿಂದ
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸಾಮರಸ್ಯದ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಾಮರಸ್ಯ ಎಮತ್ತು , ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ p(A)ಮತ್ತು .
ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:
- ಘಟನೆಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು A ಮತ್ತು Bಕರೆ ಮಾಡೋಣಸ್ವತಂತ್ರ, ವೇಳೆ
ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ, ಇದು (1.11) ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಸಂವಾದವೂ ನಿಜ.
ಘಟನೆಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವವು ಈವೆಂಟ್ B ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ .
ಉದಾಹರಣೆ.ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು N ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾತ್ರೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ n ಬಿಳಿ, ಆದರೆ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ: ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದ ನಂತರ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಮುಂದಿನದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ( ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿ ).
A ಎಂಬುದು ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಮೊದಲು ಎಳೆಯುವ ಘಟನೆ, ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಮೊದಲು ಎಳೆಯುವ ಘಟನೆ ಮತ್ತು B ಎಂಬುದು ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ; ನಂತರ
ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, A ಮತ್ತು B ಘಟನೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ರಿಟರ್ನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಚೆಂಡಿನ ಎರಡನೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಘಟನೆಗಳು ಮೊದಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದೊಡ್ಡ N ಮತ್ತು n ಗೆ ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುಣಮಟ್ಟ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಅದರ ವಿನಾಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ರಿಟರ್ನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಘಟನೆಗಳ ಭೌತಿಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ-ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ .
ಉದಾಹರಣೆ. 60 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮುಂದಿನ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಾಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.91 ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಮಾ ಕಂಪನಿಯು 60 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಇಬ್ಬರ ಜೀವಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವರ್ಷಕ್ಕೆ ವಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಾಯದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: 0.91 × 0.91 = 0.8281.
ಇಬ್ಬರೂ ಸಾಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ:
(1 – 0.91) × (1 – 0.91) = 0.09 × 0.09 = 0.0081.
ಸಾಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು:
1 – 0.91 × 0.91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.
ಸಾಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಂದು:
0.91 × 0.09 + 0.09 × 0.91 = 0.1638.
ಈವೆಂಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ A 1 , A 2 ,..., A nಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,
ಉದಾಹರಣೆ.ಸುರಕ್ಷಿತ ಕೋಡ್ ಏಳು ದಶಮಾಂಶ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕಳ್ಳನು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಪ್ರತಿಯೊಂದು 7 ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು 0000000 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ 9999999 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ 10 ಅಂಕೆಗಳ 0,1,2,...,9, ಒಟ್ಟು 10 7 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಡಯಲ್ ಮಾಡಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ.ಸುರಕ್ಷಿತ ಕೋಡ್ ರಷ್ಯಾದ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 33 ಇವೆ) ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಕಳ್ಳನು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
P = (1/33) × (1/10) 3 .
ಉದಾಹರಣೆ.ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವಿಮಾ ಸಮಸ್ಯೆ: ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ವಯಸ್ಸಾದ ... ವರ್ಷಗಳು ಮುಂದಿನ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಾಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು p ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಮಾ ಕಂಪನಿಯು ಈ ವಯಸ್ಸಿನ n ಜನರ ಜೀವನವನ್ನು ಒಂದು ವರ್ಷದವರೆಗೆ ವಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಯಾರೂ ಇಲ್ಲ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಯುವುದಿಲ್ಲ: pn (ಯಾರೂ ವಿಮಾ ಪ್ರೀಮಿಯಂ ಪಾವತಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ).
ಸಾಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು: 1 - p n (ಪಾವತಿಗಳು ಬರುತ್ತಿವೆ).
ಅವರು ಸಾಧ್ಯತೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಯುತ್ತಾರೆ: (1 - p) n (ದೊಡ್ಡ ಪಾವತಿಗಳು).
ಸಾಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಂದು: ನಿ ) × pn-1).
- ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರ
ಘಟನೆಗಳು ಅವಕಾಶ H 1 , H 2 , ... , H nಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿ
ಒಂದು ವೇಳೆ .
ಅಂತಹ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು.
ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ ಪ(ನಮಸ್ತೆ), ಪ(A/H i) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರ
. (1.14)
ಪುರಾವೆ.ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ನಮಸ್ತೆ(ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ) ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಮಸ್ತೆ× ಎ), ಮತ್ತು ಅವರ ಮೊತ್ತವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ
ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗವನ್ನು ಹಲವಾರು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುವಾಗ ಈ ಯೋಜನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದು ದೇಶ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶದ ಪಾಲು ತಿಳಿದಾಗ p(ಹಾಯ್)ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಪಾಲು) (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರುದ್ಯೋಗಿಗಳ ಶೇಕಡಾವಾರು - ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಹೊಂದಿದೆ) - p(A/H i). ಗೋದಾಮಿನಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು, ವಿಭಿನ್ನ ಶೇಕಡಾವಾರು ದೋಷಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ.
ಉದಾಹರಣೆ.ಖಾಲಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಗಾರಗಳಿಂದ ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲಿನಿಂದ 70% ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಿಂದ 30%. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು 10% ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - 20%. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಒಂದು ಖಾಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: p(H 1) = 0.7; p(H 2) = 0.3; p(A/H 1) = 0.1; p(A/H 2) = 0.2;
P = 0.7 × 0.1 + 0.3 × 0.2 = 0.13 (ಸರಾಸರಿ, ಮೂರನೇ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದಲ್ಲಿ 13% ಇಂಗುಗಳು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ).
ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ಹೀಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಹಲವಾರು ಕಲಶಗಳಿವೆ; ಮೊದಲ ಕಲಶವು n 1 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ m 1 ಬಿಳಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಚಿತಾಭಸ್ಮವನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದೇ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ. N ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉರ್ನ್ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ n ಬಿಳಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದರಿಂದ ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ (ಹಿಂತಿರುಗದೆ). ಎರಡನೇ ಚೆಂಡು ಬಿಳಿಯಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಪರಿಹಾರ.ಎಚ್ 1 - ಮೊದಲ ಚೆಂಡು ಬಿಳಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ; p(H 1)=n/N;
ಎಚ್ 2 - ಮೊದಲ ಚೆಂಡು ಕಪ್ಪು; p(H 2)=(N-n)/N;
ಬಿ - ಎರಡನೇ ಚೆಂಡು ಬಿಳಿ; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H 2)=n/(N-1);
ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು: N ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಕೇವಲ n ಅನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದಾನೆ. ಅವನಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾದದ್ದು - ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು? ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವನು ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎನ್/ಎನ್ಉತ್ತಮ ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ( N-n)/N -ಕೆಟ್ಟ.
ಉದಾಹರಣೆ.ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿನ ಕವಲುದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ (ಹಿಂತಿರುಗುವದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಹೋಗುವ ಪ್ರಯಾಣಿಕನು B ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ರಸ್ತೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 1.3.
ಪರಿಹಾರ. H 1, H 2, H 3 ಮತ್ತು H 4 ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಕರ ಆಗಮನವು ಅನುಗುಣವಾದ ಊಹೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅವರು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ
p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.
(A ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಪ್ರಯಾಣಿಕರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ). ರಸ್ತೆ ನಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರಯಾಣಿಕನು ಹಾಯ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋದರೆ, B ಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
- ಬೇಯಸ್ ಸೂತ್ರ
ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಎಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಸಂಭವಿಸಿದ. ಊಹೆಯನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎಚ್ಕೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ
. (1.15)
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೇಯಸ್ ಸೂತ್ರ. ಇದು ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಕಾರ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ
(ಪ್ರಯೋಗದ ಮೊದಲು) ಊಹೆಗಳ ಪೂರ್ವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು p(ಹಾಯ್)ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು p(A|H i)ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ p(H k |A)ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ಹಿಂಭಾಗ
(ಅಂದರೆ, ಅನುಭವದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈವೆಂಟ್ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಈಗಾಗಲೇ ಸಂಭವಿಸಿದೆ).
ಉದಾಹರಣೆ.ಆಸ್ಪತ್ರೆಗೆ ದಾಖಲಾದ 30% ರೋಗಿಗಳು ಮೊದಲ ಸಾಮಾಜಿಕ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ, 20% ಎರಡನೇ ಮತ್ತು 50% ರಿಂದ ಮೂರನೇ. ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾಜಿಕ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗೆ ಕ್ಷಯರೋಗವನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕ್ರಮವಾಗಿ 0.02, 0.03 ಮತ್ತು 0.01 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ರೋಗಿಯ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಿದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಕ್ಷಯರೋಗದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದವು. ಇದು ಮೂರನೇ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಿರು ದಾಖಲೆಯಾಗಿದೆ. ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 1). ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ವಿಶಾಲ ಪರದೆಯ ದೂರದರ್ಶನವನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಕುಟುಂಬವು ಅಂತಹ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಅಕ್ಕಿ. 1. ವೈಡ್‌ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿ ಬೈಯಿಂಗ್ ಬಿಹೇವಿಯರ್
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ P ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ಖರೀದಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ | ಖರೀದಿಯನ್ನು ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ). ಕುಟುಂಬವು ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವು ಎಲ್ಲಾ 1000 ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಶಾಲ-ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿ ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸಿರುವವರು ಮಾತ್ರ. ಅಂತಹ 250 ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ, 200 ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸಿತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕುಟುಂಬವು ವೈಡ್-ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:
P (ಖರೀದಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ | ಖರೀದಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ) = ವಿಶಾಲ-ಪರದೆಯ ಟಿವಿಯನ್ನು ಯೋಜಿಸಿ ಖರೀದಿಸಿದ ಕುಟುಂಬಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ / ವಿಶಾಲ ಪರದೆಯ ಟಿವಿ ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸುವ ಕುಟುಂಬಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 200 / 250 = 0.8
ಫಾರ್ಮುಲಾ (2) ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:
ಈವೆಂಟ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಕುಟುಂಬವು ವೈಡ್‌ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸುತ್ತಿದೆ IN- ಅವಳು ಅದನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಖರೀದಿಸುತ್ತಾಳೆ. ನೈಜ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಿರ್ಧಾರ ಮರ
ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 1 ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ವಿಶಾಲ ಪರದೆಯ ಟಿವಿ ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸಿದವರು ಮತ್ತು ಮಾಡದವರು, ಹಾಗೆಯೇ ಅಂತಹ ಟಿವಿ ಖರೀದಿಸಿದವರು ಮತ್ತು ಮಾಡದವರು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧಾರ ವೃಕ್ಷವನ್ನು (ಚಿತ್ರ 2) ಬಳಸಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಮರ. 2 ವೈಡ್‌ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸಿದ ಕುಟುಂಬಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡದ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಎರಡು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಾಖೆಗಳು ವೈಡ್‌ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದ ಮತ್ತು ಖರೀದಿಸದ ಮನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಎರಡು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಶಾಖೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಗಳ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಘಟನೆಗಳ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಮತ್ತು ಎ'. ನಾಲ್ಕು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಶಾಖೆಗಳ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಘಟನೆಗಳ ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎಮತ್ತು IN. ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಕ್ಕಿ. 2. ನಿರ್ಧಾರ ಮರ
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ವೈಡ್-ಸ್ಕ್ರೀನ್ ದೂರದರ್ಶನವನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಯೋಜಿಸಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಖರೀದಿ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ, ತದನಂತರ ಅದನ್ನು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಖರೀದಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ನಿರ್ಧಾರದ ಮರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವುದು. 2, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಹಿಂದಿನಂತೆಯೇ)
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ
ವೈಡ್-ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಕುಟುಂಬವು ವೈಡ್-ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 200/250 = 0.8 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಕುಟುಂಬವು ವೈಡ್-ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 300/1000 = 0.3 ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕುಟುಂಬವು ಖರೀದಿಯನ್ನು ಯೋಜಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂಬ ಹಿಂದಿನ ಮಾಹಿತಿಯು ಖರೀದಿಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ.ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು ಇವೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಗುರುತಿನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: P(A|B) = P(A), ಎಲ್ಲಿ ಪಿ(ಎ|ಬಿ)- ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ IN, ಪಿ(ಎ)- ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
ಘಟನೆಗಳನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಎಮತ್ತು IN P(A|B) = P(A). 2×2 ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು IN, ಇದು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಖರೀದಿ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆಮತ್ತು ಖರೀದಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ವೈಡ್‌ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದ 300 ಕುಟುಂಬಗಳು ತಮ್ಮ ಖರೀದಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದಾರೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳೋಣ (ಚಿತ್ರ 3). ಖರೀದಿಯೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಯ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಟಿವಿಯ ಪ್ರಕಾರವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಅಕ್ಕಿ. 3. ವೈಡ್‌ಸ್ಕ್ರೀನ್ ಟಿವಿಗಳ ಖರೀದಿದಾರರ ತೃಪ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಡೇಟಾ
ಈ ಡೇಟಾದಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು,
ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ,
ಪಿ (ಗ್ರಾಹಕರು ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದಾರೆ) = 240 / 300 = 0.80
ಆದ್ದರಿಂದ, ಗ್ರಾಹಕರು ಖರೀದಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಕುಟುಂಬವು HDTV ಅನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ
ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ಜಂಟಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ (1)
ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಿ(ಎ ಮತ್ತು ಬಿ), ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ IN IN:
(3) P(A ಮತ್ತು B) = P(A|B) * P(B)
ವಿಶಾಲ ಪರದೆಯ HDTV ದೂರದರ್ಶನವನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದ 80 ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ (ಚಿತ್ರ 3). 64 ಕುಟುಂಬಗಳು ಖರೀದಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 16 ಕುಟುಂಬಗಳು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಟೇಬಲ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎರಡೂ ಗ್ರಾಹಕರು ತೃಪ್ತರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (3), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
P(A ಮತ್ತು B) = P(A|B) * P(B)
ಈವೆಂಟ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಎರಡನೆಯ ಕುಟುಂಬವು ಅವರ ಖರೀದಿ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ IN- ಮೊದಲ ಕುಟುಂಬವು ಅವರ ಖರೀದಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕುಟುಂಬವು ತಮ್ಮ ಖರೀದಿಯಿಂದ ತೃಪ್ತರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 64/80 ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೇ ಕುಟುಂಬವು ತಮ್ಮ ಖರೀದಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತರಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಮೊದಲ ಕುಟುಂಬದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ ಮೊದಲ ಕುಟುಂಬವು ಮಾದರಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗದಿದ್ದರೆ (ರಿಟರ್ನ್ ಇಲ್ಲದೆ ಆಯ್ಕೆ), ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸಿದವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 79 ಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಕುಟುಂಬವು ಅವರ ಖರೀದಿಯಿಂದ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೇ ಕುಟುಂಬವೂ ತೃಪ್ತರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 63 ಆಗಿದೆ. /79, ಏಕೆಂದರೆ ಮಾದರಿ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 63 ಮಂದಿ ಮಾತ್ರ ತಮ್ಮ ಖರೀದಿಯಿಂದ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (3) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
P(A ಮತ್ತು B) = (63/79)(64/80) = 0.638.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳು ತಮ್ಮ ಖರೀದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 63.8% ಆಗಿದೆ.
ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ ಮೊದಲ ಕುಟುಂಬವು ಮಾದರಿಗೆ ಮರಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳು ತಮ್ಮ ಖರೀದಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳು ತಮ್ಮ ಖರೀದಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು 64/80 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, P(A ಮತ್ತು B) = (64/80)(64/80) = 0.64. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳು ತಮ್ಮ ಖರೀದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 64.0% ಆಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ಕುಟುಂಬದ ಆಯ್ಕೆಯು ಮೊದಲನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಈ ಉದಾಹರಣೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು (3) ಪಿ(ಎ|ಬಿ)ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪಿ(ಎ), ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮ.ಘಟನೆಗಳು ವೇಳೆ ಎಮತ್ತು INಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ, ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ IN.
(4) P(A ಮತ್ತು B) = P(A)P(B)
ಈ ನಿಯಮವು ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು IN, ಅಂದರೆ ಅವರು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:
- ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು ಎಮತ್ತು INಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ P(A|B) = P(A).
- ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ P(A ಮತ್ತು B) = P(A)P(B).
2x2 ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಾಗಿ ಈ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯ ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
ಅಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳು B 1, B 2, ... B k ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಚಿತ್ರ 1 ರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (5), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
ಎಲ್ಲಿ ಪಿ(ಎ)- ಖರೀದಿಯನ್ನು ಯೋಜಿಸಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ, ಪಿ(ಬಿ 1)- ಖರೀದಿ ಮಾಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಪಿ(ಬಿ 2)- ಖರೀದಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
ಬೇಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯ
ಈವೆಂಟ್ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕೆಲವು ಇತರ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೊಸದಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಗಮನಿಸಿದ ಪರಿಣಾಮವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬೇಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಥಾಮಸ್ ಬೇಯ್ಸ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.
ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಕಂಪನಿಯು ಹೊಸ ಟಿವಿ ಮಾದರಿಯ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯನ್ನು ಸಂಶೋಧಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಹಿಂದೆ, ಕಂಪನಿಯು ರಚಿಸಿದ 40% ಟಿವಿಗಳು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದ್ದವು, ಆದರೆ 60% ಮಾದರಿಗಳು ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಹೊಸ ಮಾದರಿಯ ಬಿಡುಗಡೆಯನ್ನು ಘೋಷಿಸುವ ಮೊದಲು, ಮಾರ್ಕೆಟಿಂಗ್ ತಜ್ಞರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಶೋಧಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಿಂದೆ, 80% ಯಶಸ್ವಿ ಮಾದರಿಗಳು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ 30% ಯಶಸ್ವಿ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಗಳು ತಪ್ಪಾಗಿವೆ. ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ವಿಭಾಗವು ಹೊಸ ಮಾದರಿಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಹೊಸ ಟಿವಿ ಮಾದರಿಗೆ ಬೇಡಿಕೆಯಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಏನು?
ಬೇಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ (1) ಮತ್ತು (2) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. P(B|A) ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (2):
ಮತ್ತು P(A ಮತ್ತು B) ಬದಲಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (3):
P(A ಮತ್ತು B) = P(A|B) * P(B)
P(A) ಬದಲಿಗೆ ಫಾರ್ಮುಲಾ (5) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಬೇಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳು B 1, B 2, ... B k ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಈವೆಂಟ್ ಎಸ್ - ಟಿವಿಗೆ ಬೇಡಿಕೆ ಇದೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು' - ಟಿವಿಗೆ ಬೇಡಿಕೆ ಇಲ್ಲ, ಈವೆಂಟ್ ಎಫ್ - ಅನುಕೂಲಕರ ಮುನ್ನರಿವು, ಈವೆಂಟ್ ಎಫ್’ - ಕಳಪೆ ಮುನ್ನರಿವು. P(S) = 0.4, P(S') = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S') = 0.3 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಬೇಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಹೊಸ ಟಿವಿ ಮಾದರಿಯ ಬೇಡಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಅನುಕೂಲಕರ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು 0.64 ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ ಬೇಡಿಕೆಯ ಕೊರತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1–0.64=0.36 ಆಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 4.
ಅಕ್ಕಿ. 4. (ಎ) ಟೆಲಿವಿಷನ್‌ಗಳಿಗೆ ಬೇಡಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬೇಯೆಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು; (ಬಿ) ಹೊಸ ಟಿವಿ ಮಾದರಿಯ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನಿರ್ಧಾರ ವೃಕ್ಷ
ವೈದ್ಯಕೀಯ ರೋಗನಿರ್ಣಯಕ್ಕಾಗಿ ಬೇಯೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾಯಿಲೆಯಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.03 ಆಗಿದೆ. ಇದು ನಿಜವೇ ಎಂದು ವೈದ್ಯಕೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಿಖರವಾದ ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಅವರು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿರುವಾಗ ಅವರು ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು) 0.9 ಆಗಿದೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಆರೋಗ್ಯವಂತನಾಗಿದ್ದರೆ, ತಪ್ಪು ಧನಾತ್ಮಕ ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಆರೋಗ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು) 0.02 ಆಗಿದೆ. ವೈದ್ಯಕೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅನಾರೋಗ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ನಿಖರವಾದ ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಸಾಧ್ಯತೆ ಏನು?
ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಈವೆಂಟ್ ಡಿ - ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾನೆ, ಈವೆಂಟ್ ಡಿ’ - ವ್ಯಕ್ತಿ ಆರೋಗ್ಯವಾಗಿದ್ದಾನೆ, ಈವೆಂಟ್ ಟಿ - ರೋಗನಿರ್ಣಯವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಈವೆಂಟ್ ಟಿ’ - ರೋಗನಿರ್ಣಯ ಋಣಾತ್ಮಕ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಇದು P(D) = 0.03, P(D') = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D') = 0.02 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (6), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ರೋಗನಿರ್ಣಯದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.582 ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 5 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). ಬೇಯೆಸ್ ಸೂತ್ರದ ಛೇದವು ಧನಾತ್ಮಕ ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ. 0.0464.
- ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕೆಲವು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವದ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪದವಿ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಳತೆ, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ). ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳ ಕಾರಣಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಮೀರಿದಾಗ, ಈ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಅಸಂಭವ ಅಥವಾ ಅಸಂಭವ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಕಾರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಕಾರಣಗಳ ಪ್ರಾಧಾನ್ಯತೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಮತ್ತು ಅಸಂಭವ) ಹೆಚ್ಚಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಅಥವಾ ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ "ಮಟ್ಟಗಳ" ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳು ಸಾಧ್ಯ.
ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ವಿಶೇಷ ಶಿಸ್ತನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ - ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅಳತೆ (ಅಥವಾ ಅದರ ಮೌಲ್ಯ) - ಘಟನೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಳತೆ ನಿಂದ
(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 0)
(\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 1)
ಅರ್ಥ
(\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 1)
ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಈವೆಂಟ್ 0 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಲ್ಲ). ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದ್ದರೆ
(\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ p)
ನಂತರ ಅದರ ಸಂಭವಿಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
(\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 1-ಪಿ)
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ
(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 1/2)
ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸದಿರುವಿಕೆಯ ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದರ್ಥ.
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶ್ರೇಷ್ಠ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್‌ನಲ್ಲಿ ತಲೆಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1/2 ಆಗಿದೆ, ಈ ಎರಡು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ "ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು" ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತ) ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಸ್ಪೇಸ್ (ಪ್ಲೇನ್), ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯ ಪ್ರದೇಶದ ಕೆಲವು ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಭಾಗದ ಪರಿಮಾಣದ (ಪ್ರದೇಶ) ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ (ಪ್ರದೇಶ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ "ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು" ಘಟನೆಯ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಆವರ್ತನವು ಈ ಘಟನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧುನಿಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸೆಟ್ ಅಳತೆಯ ಅಮೂರ್ತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಮೂರ್ತ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಲಿಂಕ್, ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಅದರ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ.
ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ವಿವರಣೆಯು ಆಧುನಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಹರಡಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಮ್ಯಾಕ್ರೋಸ್ಕೋಪಿಕ್ (ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಅಲ್ಲಿ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿವರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿವರಣೆ ಕಣಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸ್ವಭಾವತಃ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಕ್ರೀಡಾಕೂಟವು ಹೇಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಯಾರು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಯಾರು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ಈ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಭಯವಿಲ್ಲದೆ ಕ್ರೀಡಾಕೂಟಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಜಿ ಕಟ್ಟಬಹುದು. ಆದರೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯವೇ, ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?
ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಪಂತವನ್ನು ಇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಈ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದ್ದು, ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ತಿಳುವಳಿಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಂಕ
ಕ್ರೀಡಾ ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಹಲವಾರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:
- ಮೊದಲ ತಂಡದ ಗೆಲುವು;
- ಎರಡನೇ ತಂಡದ ಗೆಲುವು;
- ಸೆಳೆಯಿರಿ;
- ಒಟ್ಟು
ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಈ ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆರಂಭಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ - ಅದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಪಂತವು ಗೆಲ್ಲಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ 100% ನಿಖರವಾದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳು ಪಂದ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತವೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಬುಕ್‌ಮೇಕರ್‌ಗಳು ಪಂದ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ, ತಮ್ಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಬೆಟ್ಟಿಂಗ್‌ಗೆ ಕೆಲವು ಆಡ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ.
ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?
ಬುಕ್ಮೇಕರ್ನ ಆಡ್ಸ್ 2.1/2 ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ - ನಾವು 50% ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗುಣಾಂಕ 2 50% ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಬ್ರೇಕ್-ಈವ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು - 1/ಸಂಭವನೀಯತೆ.
ಹಲವಾರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೋಲುಗಳ ನಂತರ, ಗೆಲುವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನೇಕ ಆಟಗಾರರು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ - ಇದು ತಪ್ಪಾದ ಅಭಿಪ್ರಾಯವಾಗಿದೆ. ಪಂತವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಷ್ಟಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾಣ್ಯ ಆಟದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸತತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ತಲೆಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೂ ಸಹ, ಬಾಲಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ - 50%.