ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಪುರಾವೆ.
ಪುರಾವೆ.
ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ:
.
φ (ಟಿ) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಗಂ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು
.
ಪುರಾವೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಕೆಪರಿಮಾಣದ ನೇ ಕ್ಷಣ X, ನಂತರ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಇದು ಸಾಧ್ಯ, ರಿಂದ ಪ(X) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ, ಅದನ್ನು "ಒಯ್ಯಲಾಗುತ್ತದೆ" i ಇ[ X], ಆದ್ದರಿಂದ ನಂತರ ಕೆನಾವು ಪಡೆಯುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು i ಕೆಇ[ X ಕೆ]. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು
.
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.
ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಪುರಾವೆ
ಅವಕಾಶ X - ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ( ಕೆ Z), ನಂತರ (ವಿಲೋಮ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ)
(ಫೊರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ ಕೆ), ನಂತರ
ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಕೆ≠ಮೀ, 0 ನೀಡಿ (ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯಿಂದ), ಮತ್ತು ಉಳಿದಿದೆ
.
ಅವಕಾಶ φ (ಟಿ) ನೈಜ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಪ(X) 11 .
ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಪ(X) ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ φ :
.
ಇದನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು
ಏಕೆಂದರೆ ದಿ
ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಆದ್ದರಿಂದ
.
(*) ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಮಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ; ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ - ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಿತಿ ಇದೆ ಎ<ವೈ<ಬಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, −∞ ನಿಂದ ∞ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ π . ಇಲ್ಲಿಂದ
ಸಿಕ್ಕಿತು:
,
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
.
ಪುರಾವೆ..
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಮಾನದಂಡ
ಕಾರ್ಯ φ X (ಟಿ) - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣ Xವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ:
φ X (0) = 1,
φ X (ಟಿ) ಧನಾತ್ಮಕ ಖಚಿತ.
ಕಾರ್ಯ φ (ಟಿ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಖಚಿತ(ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ), ವೇಳೆ
ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ z i = 0i. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಕಾರ್ಯ.
ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ:
ತರ್ಕಬದ್ಧತೆ. ಆಸ್ತಿ 5)
ನಲ್ಲಿ ಕೆ= 1, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ,
ನಲ್ಲಿ ಕೆ= 2 -.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಇ X= 0.ಡಿ X=ಇ[ X
2 ] = 1,
.
20.2 ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಪರಿಹಾರ. ರೂಪಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ
ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ 
. ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ ನೀವು ಬರೆಯಬಹುದು 
.
ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಪ i :
ತೀರ್ಮಾನ:ಕಾಸ್ 2 ಟಿ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು 0 ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/2 ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು 2 ಮತ್ತು −2 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/4 ನೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಅವನತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್: ಪ(X= 0) = 1.
ಪರಿಹಾರ..
ಒಂದು ವೇಳೆ ಪ(X=ಸಿ) = 1, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಪರಿಹಾರ. ರೂಪಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ
.
ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಪ i :
ಸಿಕ್ಕಿತು: ಇದು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಪರಿಹಾರ. ಅವಕಾಶ ವೈ=X–X′ , ನಂತರ
ತೀರ್ಮಾನ: ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ವರ್ಗವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಅವಕಾಶ X,ವೈ - ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ φ X (ಟಿ) ಮತ್ತು φ ವೈ (ಟಿ);ಎ,ಬಿ> 0 - ಅಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎ+ಬಿ= 1. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಯಾವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ?
ಉತ್ತರ: ಹೌದು ಅದು. ಅನುಗುಣವಾದ ವಿತರಣೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ Xಮತ್ತು ವೈ - ಎಫ್ X (X) ಮತ್ತು ಎಫ್ ವೈ (ವೈ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ
ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ
ಒಂದು ವೇಳೆ φ (ಟಿ) - ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ X, ಅದು φ (−ಟಿ) - ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ (- X) (ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಿಂದ)).
ಅವಕಾಶ φ (ಟಿX, ನಂತರ ಆಗಿದೆ
f (ಟಿ) =ಮರು[ φ (ಟಿ)]
ಪರಿಹಾರ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ,
ಅವಕಾಶ φ (ಟಿ) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಫ್ X (X), ನಂತರ ಮರು[ φ (ಟಿ)]:
ಅವಕಾಶ φ (ಟಿ) - ಪ್ರಮಾಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ X, ನಂತರ ಆಗಿದೆ
f (ಟಿ) =ನಾನು[ φ (ಟಿ)]
ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ?
ಪರಿಹಾರ. ಇಲ್ಲ, ಅದು ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ f (0) = 0.
X ~ ಎನ್(0, 1):
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಎಣಿಸೋಣ φ (ಟಿ), ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು:
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ 
ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ φ
(0) = 1:
X~ಎನ್(ಎ,σ 2): ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ X 0 ~ಎನ್(0, 1). ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ X=ಎ+σ X 0 ನಂತರ, ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲಕ 2)
ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ.
ಉಪನ್ಯಾಸ ಸಂಖ್ಯೆ 5
ವಿಭಾಗ 2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ.
ವಿಷಯ 1. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಉಪನ್ಯಾಸದ ಉದ್ದೇಶ:ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನೀಡಿ.
ಉಪನ್ಯಾಸ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:
ಸಾಹಿತ್ಯ:
L1 - ಬೋಚರೋವ್ P. P., ಪೆಚಿಂಕಿನ್ A. V. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಗಣಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. - 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: FIZMATLIT, 2005. - 296 ಪು.
L2 - Gmurman, V. E. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ/ವಿ. E. ಗ್ಮುರ್ಮನ್. - 9 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಶಾಲೆ, 2005. - 479 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ.
L3 - ನಖ್ಮನ್ A.D., ಕೊಸೆನ್ಕೋವಾ I.V. ಸಾಲುಗಳು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು. – ಟಾಂಬೋವ್: TSTU ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್, 2009.
ಎಲ್ 4 - ಪ್ಲಾಟ್ನಿಕೋವಾ ಎಸ್.ವಿ. ಗಣಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು. – ಟಾಂಬೋವ್: TSTU ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್, 2005. (pdf ಫೈಲ್)
ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ F(x)ಮತ್ತು ಪಿ.ವಿ. p(x)ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಇದು ಸಲಹೆಯಂತೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪದದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು. ಮತ್ತು z.r. ಕಾರ್ಯಗಳು s.v.
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ sl.v ಅದರ a.e ಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. p(x):
, (2.6.1)
ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದವಾದ ನಿಯತಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ, - m.o. sl.v (§ 2.8 ನೋಡಿ.).
ವಿಲೋಮ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು a.e ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. sl.v ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಿಂದ
. (2.6.2)
ಆಯಾಮದಿಂದ p(x)ಆಯಾಮದ ವಿಲೋಮ X, ನಂತರ ಪ್ರಮಾಣ , ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾದವು ವಿಲೋಮ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X.
ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು (2.5.7) a.e. p(x)ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ r.v ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.
. (2.6.3)
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ, ಅದರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
ವೈ
. (2.6.4)
ಕಾರ್ಯ ವೈಎರಡನೆಯದು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು ( ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್)ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ sl.v .
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ.
| |
. (2.6.5)
2. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ, ಯಾವಾಗ p(x)= p(-x), (1) ರಲ್ಲಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ನಿಜವಾದ ಸಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ 
. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ವೇಳೆ s.v. r.v ಯ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. , ನಂತರ ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
, (2.6.6)
ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ- ಶಾಶ್ವತ.
4. ಮೊತ್ತದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ 
ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಸ್.ವಿ. ನಿಯಮಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವೇಳೆ
. (2.6.7)
ಈ ಆಸ್ತಿಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ a.e. sl.v ಮೊತ್ತ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್‌ನ ಬಹು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡುವಿನ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಆರ್ವಿ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.
| |
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಎಸ್.ವಿ. ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಯಾವುದೇ ದ್ವಿದಳ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), (ಒಂದು ನಾಡಿಯನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ), (ಎರಡೂ ದ್ವಿದಳ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಅಂದಹಾಗೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿರಬಾರದು ಎಂದು ನೀವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಈಗ ನೀವು ಅವನಿಗೆ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೀರಾ? ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ, ನಾನು ಏನನ್ನೂ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ.
ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ನನಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಚರ್ಚಿಸುವ ಇಚ್ಛೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮತ್ತೆ ನೋಡಲು ನನಗೆ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ. ನಾನು ನಿನ್ನಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತನ್ನನ್ನು ಕೇಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅವನು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವನು ಶಿಸ್ತಿನ ವಿಭಾಗದ ಕಿರಿದಾದ ವಲಯಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಾರದು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ವಾಕಿಂಗ್ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿರಬಾರದು, ಇದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ನೀಡಿರುವ HF ಫಂಕ್ಷನ್ ಯಾವುದಾದರೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಎಚ್ಎಫ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಗುರಿಯು CP ಮತ್ತು PR ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ CP ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವುದು.
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯವು HF ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: ಒಂದೋ ನೀವು ಫೋರಿಯರ್ ಪ್ರಕಾರ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು, ಅಥವಾ ನೀವು ನೀಡಿದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಖಚಿತತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಬೋಚ್ನರ್-ಖಿಂಚಿನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇತರ ರೇಡ್‌ಮಾಕರ್ ಎಸ್‌ವಿಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಸ್‌ವಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಬಳಕೆಯು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಚ್‌ಎಫ್‌ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮೇಲಾಗಿ ನಾನು ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ನಿಮ್ಮ ಪರಿಹಾರವು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮುಸುಕಿನ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ, ಅಂದರೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮೊದಲ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ SV ಯ HF ಆಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಾಗ, HF ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು: ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕ ಮೌಲ್ಯ, ಒಂದರಿಂದ ಸೀಮಿತ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್, ಸರಿಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು PDF ನ ಕ್ಷಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಕ್ಷಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಅನರ್ಹತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅದೇ ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿದೆ: ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು, ಇದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಸೃಜನಶೀಲ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮೇಲೆ, "ಊಹೆ ಮಾಡುವ" ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ.
SV ಯ "ನಿರ್ಮಾಣ" ದ ಚರ್ಚೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ, ನಾನು ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ರೂಪದ HF ನೊಂದಿಗೆ SV ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ: 
ಎಲ್ಲಿ
α ಕೆ | (y)= | ಎಂ[ವೈ | +∞∫ ϕ ಕೆ | (X) | (x)dx; | ||||||
µk(y) | ∫ (ϕ (x) | f(x)dx. | |||||||||
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ | |||||||||||
Y = e itX, ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಬಿಡಿ | X - | ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾನೂನಿನೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ |
|||||||||
ವಿತರಣೆ, t - ನಿಯತಾಂಕ, i = | − 1. | ||||||||||
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಕರೆ ಮಾಡಿದೆ |
|||||||||||
Y = e itX ಕಾರ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ: | |||||||||||
∑ e itx k p k , DSV ಗಾಗಿ, | |||||||||||
ಕೆ = 1 | |||||||||||
υ X (t)= M = | |||||||||||
∫ e itX f (x )dx , NSV ಗಾಗಿ. | |||||||||||
ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣ | υ X(t) | ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು |
|||||||||
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ f (x) ಅನ್ನು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಲೋಮ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ:
f(x)= | +∞ υ (t) e− itX dt. | |||
2 π-∞ ∫ | ||||
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: | ||||
Z = aX + b ಪರಿಮಾಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ, ಇಲ್ಲಿ X ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ |
||||
ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು υ X (t) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ | ||||
υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) . | ||||
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ kth ಕ್ರಮದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ | ||||
α k (x )= υ X (k ) (0)i - k , | ||||
ಇಲ್ಲಿ υ X (k) (0) t = 0 ನಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ kth ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.
3. ಮೊತ್ತದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ | Y = ∑ X k ಸ್ವತಂತ್ರ |
ಕೆ = 1 |
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಪದಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
υ Y(t) = ∏ υ Xi | (ಟಿ) | ||
ನಾನು = 1 | |||
4. ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯ | ಜೊತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ |
||
m ಮತ್ತು σ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: | |||
υ X (t) = eitm - | t 2 σ 2 | ||
ಉಪನ್ಯಾಸ 8 ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (X,Y) ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳ Ω X , Ω Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಜಂಟಿ (ಎರಡು ಆಯಾಮದ) ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಘಟಕಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ X,Y, ಪ್ರತ್ಯೇಕ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (X, Y) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ x0y ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿ (X, Y) ಅಥವಾ ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ (X, Y) ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್
(X ,Y ) ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಜಂಟಿ ಮರಣದಂಡನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (X<х } и {Y < у }:
F(x, y) = p((X< x} { Y< y} ) .
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F(x, y)
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಹಿಟ್ (X,Y) in | ||||
ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ | ಜೊತೆ ಚತುರ್ಭುಜ | ಅಗ್ರಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ |
||
ಪಾಯಿಂಟ್ (x,y) ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. | ||||
ಘಟಕ X ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು | ||||
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ x ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಇದು | ||||
ವಿತರಣೆ | F X (x ), ಮತ್ತು | |||
ಘಟಕ Y - ನೈಜಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ | ||||
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು y, | ವಿತರಣೆ | |||
FY(y) | ||||
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.
ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ
. (x,y)
ಪುರಾವೆ. ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1 ಅನ್ನು ಮೀರದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ.
2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.
3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), y 2 >y 1 ಆಗಿದ್ದರೆ.
ಪುರಾವೆ. F (x ,y ) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ
ವೇರಿಯಬಲ್ x. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .
ರಿಂದ p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то
F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).
ಅಂತೆಯೇ ವೈ.
4. ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ:
F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x ); | |||||||||||
F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ). | |||||||||||
5. ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ | |||||||||||
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) = | |||||||||||
F (β,γ) -F (β,δ) -F (α,γ) +F (α,δ). | (β,γ) | ||||||||||
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ - ಹೆಚ್ಚು | |||||||||||
ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ | |||||||||||
ವಿತರಣೆ | |||||||||||
ಬಳಸಲಾಗಿದೆ | ಹೇಗೆ ಎಂಬುದರ ವಿವರಣೆಗಳು | (β,δ) | |||||||||
ನಿರಂತರ, | ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ | (α,δ) | |||||||||
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ. | |||||||||||
ವಿತರಣಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ (X,Y) ಅದರ ಘಟಕಗಳ Ω X ಮತ್ತು Ω Y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿತರಣಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X - Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) ಘಟಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ, Y - Ω Y =( y 1 ,y 2 ಘಟಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳು , …,y m ) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, ...,n,j = 1, …,m.
xi\yj | ||||
X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n . | ||||
j= 1 | ||||
3. ವೈ ಘಟಕದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ: | ||||
p j = p (Y = y j ) = ∑ p ij ,j = 1, ...,m . | ||||
i= 1
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ (X ,Y ) ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ F (x,y) ಪ್ರತಿ ವಾದಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ, ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಇರುತ್ತದೆ
ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ ∂ 2 F (x, y).
∂ x ∂y
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ f(x, y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ( x, y ) ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
∫∫ f(x, y) dxdy.
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1. f (x ,y )≥ 0.
2. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿತಿ:
∞ ∞
∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .