ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. ತೈಲ ಮತ್ತು ಅನಿಲದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಕೋರ್ಸ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತು ನಿರೂಪಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಯಾವುದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ನಿರಂತರ (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್) ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಸ್ಥಗಿತದ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂತರವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ.

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1) ಮೂರು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0, 1, 2, 3);

2) ಅದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ನ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನ (ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು);

3) ಐದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಧನದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) ವಿಮಾನವನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) ವಾಯು ಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಹೊಡೆದುರುಳಿಸಿದ ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0, 1, 2, ..., ಎನ್, ಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವ ಒಟ್ಟು ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ).

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1) ವಜಾ ಮಾಡಿದಾಗ ಪ್ರಭಾವದ ಬಿಂದುವಿನ abscissa (ಆರ್ಡಿನೇಟ್);

2) ಪ್ರಭಾವದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗುರಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ;

3) ಎತ್ತರ ಮೀಟರ್ ದೋಷ;

4) ರೇಡಿಯೋ ಟ್ಯೂಬ್ನ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, - ಮೂರು ಹೊಡೆತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: .

ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಖಚಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು X ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, X ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ p ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ:

ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳು (5.1.1) ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ನಂತರ

ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗಳು (5.1.1) ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಅದು ನೀಡಿದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದಾದ ರೂಪವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ. ಈ ಕಾನೂನನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸರಳ ರೂಪವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ:

ಅಂತಹ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ನೀಡಲು, ಅವರು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅದರ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತಾರೆ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೇರ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5.1.1). ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಂತೆ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ "ಯಾಂತ್ರಿಕ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಕೆಲವು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವುಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಕಾಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದು. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ನೀಡಿದ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಂದರೆ ಈವೆಂಟ್‌ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್, ಅದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ 1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಾಣಿಸದಿದ್ದರೆ 0). ವಿತರಣಾ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣದ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಪ್ರಮಾಣವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 0 ಮತ್ತು 1. ಪ್ರಮಾಣದ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 5.1.2.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಗುರಿಕಾರನು ಗುರಿಯತ್ತ ಮೂರು ಗುಂಡುಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತದಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.4 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಹಿಟ್‌ಗೆ ಶೂಟರ್ 5 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: .

ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಮೌಲ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 5.1.3.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಘಟನೆಯ ಮೊದಲ ಸಂಭವಿಸುವವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮೌಲ್ಯದ ವಿತರಣೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: 1, 2, 3, ... (ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಅವು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ). ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಮೌಲ್ಯ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ; ಇದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಮೌಲ್ಯ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ಈವೆಂಟ್ ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ; ಇದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮೌಲ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮೊದಲ ಐದು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 5.1.4.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಶೂಟರ್ 4 ಸುತ್ತಿನ ಮದ್ದುಗುಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಹೊಡೆತದವರೆಗೆ ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.6 ಆಗಿದೆ. ಖರ್ಚು ಮಾಡದೆ ಉಳಿದಿರುವ ಮದ್ದುಗುಂಡುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ: ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ.

ಸ್ಥಾಪಿತ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸ್ಥಳವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - ಈ ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ X, ಒಂದು ಕಾನೂನನ್ನು (ನಿಯಮ) ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

■ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್- ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಮಾಣ (ಯಾವುದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡೈ ಅನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ, x ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ x ಎಂಬುದು ಸುತ್ತಿಕೊಂಡ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು 1, 2, 3, 4, 5, 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬಂದೂಕಿನಿಂದ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸಿದಾಗ ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕವು ಚಲಿಸುವ ದೂರವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ (ದೃಷ್ಟಿಯ ಸ್ಥಾಪನೆ, ಗಾಳಿಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು, ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ), ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (ಎ; ಬಿ).

■ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್- ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು.

■ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್- ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಸುತ್ತಿಕೊಂಡ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸ್ಕೋರ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು; ಬಂದೂಕಿನಿಂದ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವಾಗ ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕವು ಹಾರುವ ದೂರ, ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದ ಸೂಚಕದ ಮಾಪನ ದೋಷ, ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ತೂಕವು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು- ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ, ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅದರೊಂದಿಗೆ p i ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯ x i ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿ (ಕೋಷ್ಟಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ), ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ (ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ p 1, p 2, ..., p n ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ x 1, x 2, ..., x n ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿ, ಅಂದರೆ. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವಾಗ, ಕೋಷ್ಟಕದ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ x 1 , x 2 , ..., x n , ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ

X	x 1	x 2	…	x n
ಪ	ಪು 1	p2	…	ಪಿ ಎನ್

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಘಟನೆಗಳು X=x 1, X=x 2, ..., X=x n ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಘಟನೆಗಳು, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. p 1 + p 2 +… + p n =1.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು. ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ).

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ (X, Y, Z) ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ (x, y, z) ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್) ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ (ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

1. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೇಬಲ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು:

ಅಲ್ಲಿ λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು F(x), ಇದು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ x ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. F(x) = P(X< x).

F(x) ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

3. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು - ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಿಂದ (ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ) (ಕಾರ್ಯ 3 ನೋಡಿ).

ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ "ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ" ದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿಚಲನದ ಸರಾಸರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

• ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ M(X)=Σ x i p i ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ).
  ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ M(X)=np, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ M(X)=λ
• ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಡಿ(X)= M 2 ಅಥವಾ D(X) = M(X 2)− 2 ನ ಪ್ರಸರಣ. X-M(X) ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
  ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ D(X)=npq, Poisson ವಿತರಣೆಗಾಗಿ D(X)=λ
• ಸರಾಸರಿ ಚದರ ವಿಚಲನ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ) σ(X)=√D(X).

· ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಅದರ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಒಂದು ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯುಮ್ಯುಲೇಟ್ ಆಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು.

ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು (ಅಕ್ಷರಶಃ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ) ಮುರಿದ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ, ಅನುಗುಣವಾದ ಆವರ್ತನಗಳು (ಅಥವಾ ಸಂಬಂಧಿತ ಆವರ್ತನಗಳು) - ಆರ್ಡಿನೇಟ್ನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ) ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವಲೋಕನಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇವುಗಳ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ ವಿವಿಧ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಈ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸರಣಿಗಾಗಿ ನಾವು ಸರಾಸರಿ, ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ನಿರಂತರ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬಿದರೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದರೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ).

ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳಿವೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:

ಕೋಷ್ಟಕದ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ;

ಅವರ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಡೆಸಿದ ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿತರಣೆಯು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, , ..., .ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ , ..., ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (8) ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (9) ಸೇರಿವೆ.

ಅಲ್ಲಿ: ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ X.

. (9)

ಮಾಹಿತಿಯ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಂಎಸ್ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್‌ಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿವಿಧ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳು, ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೇಬಲ್ ಜೊತೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು , , ... ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೇರ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ.

MS Excel ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿತರಣಾ ಆಯತವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕು:

1. ಟೂಲ್‌ಬಾರ್‌ನಲ್ಲಿ "ಇನ್ಸರ್ಟ್" ® "ಏರಿಯಾ ಚಾರ್ಟ್" ಟ್ಯಾಬ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.

2. ಬಲ ಮೌಸ್ ಬಟನ್‌ನೊಂದಿಗೆ MS ಎಕ್ಸೆಲ್ ಶೀಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುವ ಚಾರ್ಟ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂದರ್ಭ ಮೆನುವಿನಲ್ಲಿ "ಡೇಟಾ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ" ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಅಕ್ಕಿ. 6. ಡೇಟಾ ಮೂಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು

ಮೊದಲಿಗೆ, ಚಾರ್ಟ್‌ಗಾಗಿ ಡೇಟಾ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, "ಡೇಟಾ ಮೂಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ" ಸಂವಾದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ C6: I6 ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ (ಇದು ಸರಣಿ 1, ಚಿತ್ರ 7 ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಆವರ್ತನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ).

ಅಕ್ಕಿ. 7. ಸಾಲು 1 ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಸರಣಿಯ ಹೆಸರನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು, ನೀವು "ಲೆಜೆಂಡ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ (ಸರಣಿ)" ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು (ಚಿತ್ರ 7 ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಎಕ್ಸ್-ಆಕ್ಸಿಸ್ ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು "ಅಡ್ಡ ಅಕ್ಷದ ಲೇಬಲ್‌ಗಳು (ವರ್ಗಗಳು)" ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ "ಸಂಪಾದಿಸು" ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು.
(ಚಿತ್ರ 8) ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ (ಶ್ರೇಣಿ $C$6:$I$6).

ಅಕ್ಕಿ. 8. "ಡೇಟಾ ಮೂಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ" ಸಂವಾದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಅಂತಿಮ ನೋಟ

ಡೇಟಾ ಮೂಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಸಂವಾದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ
(Fig. 8) ನಮಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ (Fig. 9) ವಿತರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 9. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮಾಹಿತಿಯ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

X ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ;

Y ಅಕ್ಷದ ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪಾದಿಸೋಣ;

- "ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ" ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಟೂಲ್‌ಬಾರ್ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ "ಲೇಔಟ್" ಟ್ಯಾಬ್ ಮತ್ತು ಗೋಚರಿಸುವ ಟೂಲ್‌ಬಾರ್‌ನಲ್ಲಿ "ವರ್ಕಿಂಗ್ ವಿತ್ ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳು" ಟ್ಯಾಬ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಬಟನ್‌ಗಳು: "ಚಾರ್ಟ್ ಶೀರ್ಷಿಕೆ", "ಅಕ್ಷಗಳ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳು" (ಚಿತ್ರ 10).

ಅಕ್ಕಿ. 10. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಂತಿಮ ನೋಟ

ಉತ್ತರ: ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ Xಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಖಚಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯ Xಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯ Xಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಆರ್ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ:

ಅಂದರೆ, ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳು (3.1) ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗಳು ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಅದು ನೀಡಿದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದಾದ ರೂಪವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ X.ಈ ಕಾನೂನನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸರಳ ರೂಪವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ:

x i	X 1	X 2	× × ×	x n
p i	ಪ 1	ಪ 2	× × ×	ಪಿ ಎನ್

ನಾವು ಅಂತಹ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಗಳ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ X.

ಅಕ್ಕಿ. 3.1

ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ನೀಡಲು, ಅವರು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅದರ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುತ್ತಾರೆ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೇರ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3.1). ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನಿನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ "ಯಾಂತ್ರಿಕ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಎನ್ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ . ನಂತರ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಕೆಲವು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಭವವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಮಾಣವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವುದೆಂದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (X,Y,Z), ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು (x,y,z)

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ತುಂಬುವ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಸರಳ ರೂಪವು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಹುಡುಕಾಟ ಎಂಜಿನ್ Otvety.Online ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು. ಹುಡುಕಾಟ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ:

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು 13. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

1. 13. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು. ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆ.
2. "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿವರಣೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾನೂನು (ಸರಣಿ) ವಿತರಣೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
3. 14. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ (DRV) ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (SV) ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.
4. 16. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ.
5. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲಿನ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ ಎಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈ ನೀಡಿದ ವಿತರಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ KX, X"1, X + K, XV ಗಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
6. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನು. ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ.