ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದ ತತ್ವ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು.
ಪ್ರಮೇಯ. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ಯು(X,ಟಿ), ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು , ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಶಾಖ ವಹನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ
ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯು(X,ಟಿ)ಸಮಯದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x = ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ 0 ಅಥವಾ x = l.
ಕಾರ್ಯವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (40) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಇದು ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಹ ಸಾಧಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ t= 0, ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ x = 0 orpri x=l.
ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ತಾಪಮಾನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರದಿದ್ದರೆ ಎಂ, ನಂತರ ಶಾಖದ ಮೂಲಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನ ಎಂ.
ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯ ಮೇಲೆ ನಾವು ವಾಸಿಸೋಣ. ಇದು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಡೆಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಕಾಶ ಎಂ- ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಯು(X,ಟಿ) ನಲ್ಲಿ t = 0 (0 ≤ X≤ ಎಲ್) ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ x = 0 orpri x = l(0 ≤ ಟಿ≤ ಟಿ) ನಾವು ಈಗ ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸೋಣ ( X 0 ,ಟಿ 0), ಅಂದರೆ 0< X 0 < ಎಲ್ u0< ಟಿ 0 ≤ ಟಿ, ಕಾರ್ಯ ಯು(X,ಟಿ) ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಮೀರಿದೆ ಎಂಮೌಲ್ಯದಿಂದ ε, ಅಂದರೆ.
ನಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ ( X 0 ,ಟಿ 0) ಸಂಬಂಧಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿರಬೇಕು
ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎಲ್ಲಿ ಕೆ -ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ
ಹಾಗೆ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಕೆಟಿε/2 ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿತ್ತು, ಅಂದರೆ. , ನಂತರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ v(X,ಟಿ) ನಲ್ಲಿ t = 0 (0 ≤ X≤ ಎಲ್) ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ x = 0 orpri x = lಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ.
(ನಲ್ಲಿ t = 0 ಅಥವಾ x = 0 ಅಥವಾ x = l), (44)
ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (43) ಮೊದಲ ಪದವು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು.
ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ v(X,ಟಿ), ಇದು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬೇಕು ( X 1 ,ಟಿ 1) ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿ, ಮತ್ತು
ಸಮಯದ ಕ್ಷಣ ಟಿ 1 ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು , ಫಾರ್ ಅಥವಾ , ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆ (44) ಹೊಂದಿದೆ. ಹಂತದಲ್ಲಿ ( X 1 ,ಟಿ 1), (41) ಮತ್ತು (42) ನೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಇರಬೇಕು
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು v(X,ಟಿ) (43), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಆ. ಸಮೀಕರಣ (40) ಆಂತರಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ( X 1 ,ಟಿ 1) ತೃಪ್ತಿ ಇಲ್ಲ. ಪರಿಹಾರ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಯು(X,ಟಿ) ಪ್ರದೇಶದೊಳಗಿನ ಶಾಖ ವಹನ ಸಮೀಕರಣ (40) ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಯು(X,ಟಿ) ಗಡಿಯಲ್ಲಿ.
ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.
ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ ತತ್ವದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ:
ಫಲಿತಾಂಶ 1.ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳು (40) ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:
,
ಪುರಾವೆ.(40) ನ ರೇಖೀಯತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದ ತತ್ವವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ:
ಆದ್ದರಿಂದ:
ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೊರೊಲರಿ 1 ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶ 2.ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳು (40) ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:
ಫಾರ್ , ಮತ್ತು , ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದೇ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ 
.
ಪುರಾವೆ.ಜೋಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕೊರೊಲರಿ 1 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು .
ರೂಪದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ (1) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (40) ಪರಿಹಾರವಿರಲಿ , ಮತ್ತು , ಅಂತಹ:
ಕೊರೊಲರಿ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೀಗೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು: , ಇದು ಮೂಲ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಟೇಟ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗೂ ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ.
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ:
(1)
ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ:
-
ವಸ್ತು ಸ್ಥಿತಿಯ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್
-
ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್
- ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ಕಾರ್ಯ (1)
ಕಂಟ್ರೋಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಯುರ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಕೆಲವು ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ 
ಎಲ್ಲಾ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ರಾಜ್ಯದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ 
. ಆ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯೋಣ 
, ಇದು ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ U ನಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನದಿಂದ X ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ತರುತ್ತದೆ 
ಕೊನೆಯವರೆಗೂ 
, ಈ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:
(2)
ಕನಿಷ್ಠ ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ 
, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(3)
ಇಲ್ಲಿ 
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ (2) ನ ಸಮಗ್ರತೆಯಾಗಿದೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (1) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3) ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(4)
ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ (4) ಬರೆಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ರಾಜ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (n+1) ನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ: 
, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
(5)
ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಬಲ ಭಾಗಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ (5).
ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ 
ವೆಕ್ಟರ್ 
. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ 
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ 
(n+1)ನೇ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 
. ಅವಕಾಶ 
- ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದ ಪಥ (1) ನಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕೆಲವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಯಂತ್ರಣ 
ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ 
. ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ ಈಡೇರಿದಾಗ 
ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ 
.
ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (2) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಒಂದು ವೇಳೆ 
, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ 
ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಹಂತದ ಪಥ (5), ಅದೇ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
, ನಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ 
ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ 
, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ 
ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ 
. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು P ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ 
, ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ 
ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
. ನಂತರ ಮುಖ್ಯ ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು:
(n+1)-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 
ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ 
ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆ ಪಿ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ 
. ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳ ಪೈಕಿ, ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ (5) ಪರಿಹಾರ 
P ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ 
ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ರೂಪಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೇಯರ್ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅನುಮತಿಸುವ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದಾಗಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ:
ನಾವು ಸಹಾಯಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ 
, ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:
(6)
ಸಿಸ್ಟಮ್ (6) ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (5). ನಾವು ಕೆಲವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ 
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 
ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ 
ನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ 
, ನಂತರ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಯಾಗಿ (6) 
ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು 
, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(7)
ಸಿಸ್ಟಮ್ (7) ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (5) ಮತ್ತು (6) ಒಂದು ರೂಪದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, H ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:
(8)
ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (5) ಮತ್ತು (6) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
(9)
(10)
ಕಾರ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 
ಮತ್ತು 
ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರ 
. ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ 
ಮತ್ತು 
ಕಾರ್ಯ H ಮಾತ್ರ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ 
.
ಗುಣಮಟ್ಟದ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡುವಾಗ ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಗುಣಮಟ್ಟದ ಮಾನದಂಡವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ (5.1)
ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮವು ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ:
ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಸಂಕಲನ;
ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲಿನ ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ನಿರ್ಣಯ;
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು;
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಯು ಕಂಡುಬರುವ ಪರಿಹಾರಗಳ ಪೈಕಿ.
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಣ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಂತ್ರಣ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಯೋಜಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದುರ್ಬಲ ಪ್ರಭಾವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತ್ಯಜಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಕ್ಷಣಗಳು) ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತು:
ಗುಣಮಟ್ಟದ ಮಾನದಂಡ:
ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್:
ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ, ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು:
ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:
ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (5.1) ಸಂಯೋಜಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಿಯಂತ್ರಣದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡದೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ವಸ್ತು.
ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:
ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಯು ಆಯತಾಕಾರದ ತರಂಗದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು, ಅದು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ರಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಗದಿತ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಣ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು (ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಕ್ಷಣ) ಬದಲಾಯಿಸುವ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗ- ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಆಯತಾಕಾರದ ತರಂಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಆಯತಾಕಾರದ ತರಂಗದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಎಲ್-ಚಿತ್ರಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:
ಅಥವಾ, ವಿಲೋಮ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು:
ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ ಸಮಯದ ಕ್ಷಣ ಎರಡನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗ- ಕನಿಷ್ಠಕ್ಕಾಗಿ ಹುಡುಕಿ.
ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಹುಡುಕಾಟ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ, ನಾವು ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ:
ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮಯದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ಇದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಅಂತಹ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕನಿಷ್ಠ ಹುಡುಕಾಟ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ MATLAB ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಬಳಸಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು:
ಫೈಲ್ Main5.m
ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳ %ವೆಕ್ಟರ್
ನಿಯಂತ್ರಣ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಂತ್ಯದ %
T=fminsearch("fms5",ti0)
ಫಂಕ್ಷನ್ f=fms5(T)
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ %ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ಮಟ್ಟ
ಅದರ ಮೇಲೆ ಚದರ ತರಂಗ ನಿಯಂತ್ರಣದಲ್ಲಿ%
Ode45("odefun5",,);
ಶೇಷದ % ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
f=x(ಉದ್ದ(ಟಿ),1)^2+x(ಉದ್ದ(ಟಿ),2)^2;
%ಪ್ಲೋಟಿಂಗ್ಗಾಗಿ ನಿಯಂತ್ರಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು
i=1:ಉದ್ದ(ಟಿ)ಗೆ
ಕಥಾವಸ್ತು(t,x(:,1),t,u)
ಫೈಲ್ odefun5.m
ಫಂಕ್ಷನ್ f=odefun5(t,x)
ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮೂರನೇ ಮಾರ್ಗ- ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ನ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಮಾಣ.
ಈ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳ, ಇದರಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಣ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು. ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ವಸ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುವು ಅದರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿರುವವರೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.
ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ಹೊಡೆದಾಗ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗುರಿ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇಮೇಜಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗುರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಖಾತರಿಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಂತದ ಸಮತಲವನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುರಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ವಸ್ತುವಿನ ಹಂತದ ಪಥವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಗುರಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಿಮ್ಮುಖ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ವಸ್ತುವಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಿವರ್ಸ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಎರಡು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಹಂತದ ಪಥವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅದರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಮ್ಮುಖ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗುರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಿಂದ (ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು);
ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಹಂತದ ಪಥವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅದರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಿಂದ (ನಿಯಂತ್ರಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಬಳಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ).
ಎರಡನೇ ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಹಂತದ ಪಥದ ಅವಧಿಯು ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಲೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಇರಬೇಕು. ಛೇದನದ ಕ್ಷಣವು ಬಯಸಿದ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
- Xಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಹನ್ನೆರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ.
- ವೈಮೂರು ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ θ ಆಗಿದೆ.
ನಂತರ ಪರಿಗಣನೆ X= 3 ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು ಪರಿಗಣನೆ ವೈ= 12 ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ
ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ θ ನ ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.
ವೀಕ್ಷಣೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ X= 3 ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆ ವೈ= 12 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರಯೋಗದ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ: ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಹನ್ನೆರಡು ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಯಶಸ್ವಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳಾಗುವವರೆಗೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಯಿತು. ಫಲಿತಾಂಶಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ತೀರ್ಮಾನವು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಬೇಕು ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಮಾತ್ರಪ್ರಯೋಗ, ಮತ್ತು ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಅಲ್ಲಪ್ರಯೋಗ.ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾನೂನು
ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾನೂನು, ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಅನುಪಾತವು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವರ್ತನೆ
ಎಷ್ಟು ಮೌಲ್ಯದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ Xಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಪಾತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಆದ್ಯತೆ ಬಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.
ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಿಯಮದಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿಧಾನದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.
ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ
ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಿಂಟ್ ಇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತತ್ವದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಆರ್.ಎ. ಫಿಶರ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾದ ವಾದಗಳು
ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಎಲ್ಲರೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ತತ್ವದ ಕೆಲವು ಸಾಧಕ-ಬಾಧಕಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.
ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಘಟನೆಯ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅವಲಂಬನೆ
ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅವಾಸ್ತವಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕದ ವಿತರಣೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಘಟನೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕೆಲವು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಸ್ಯೆ. ನಾನು ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 12 ಬಾರಿ ಎಸೆದಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು 3 ತಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದರಿಂದ ನೀವು ಈ ನಾಣ್ಯ ಲ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ ಹೆಡ್ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈಗ ನಾನು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 3 ಬಾರಿ ತಲೆ ಎತ್ತುವವರೆಗೆ ಎಸೆದಿದ್ದೇನೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 12 ಟಾಸ್‌ಗಳು ಬಂದವು ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನೀವು ಈಗ ವಿಭಿನ್ನ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ?
ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು.
ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು (ನಾವು "ಯಶಸ್ಸು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವೈಫಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಯಶಸ್ಸು ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಂಬಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು 0.5 ಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನವು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಿಜ್ಞಾನಿ ಆಡಮ್ 12 ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು 3 ಯಶಸ್ಸು ಮತ್ತು 9 ವೈಫಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು, ನಂತರ ಅವರು ನಿಧನರಾದರು.
ಅವರ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದ ಸಹೋದ್ಯೋಗಿ ಬಿಲ್ ಆಡಮ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದರು ಮತ್ತು ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಅವರು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರು ಪ=0.5 ವಿರುದ್ಧ ಪ < 0.5. Вероятность того, что в 12 испытаниях наступит не более 3 успехов, равна
ಇದು 299/4096 = 7.3%. ಹೀಗಾಗಿ, 5% ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಬಿಲ್‌ನ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ಶಾರ್ಲೆಟ್ ಒಂದು ಪತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾಳೆ. ಆಡಮ್ ಸಾಯುವವರೆಗೂ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿರಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ, ಆ ಹೊತ್ತಿಗೆ 3 ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮೂರು ಯಶಸ್ಸಿಗೆ 12 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಬೇಕಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಇದು 134/4096 = 3.27%. ಮತ್ತು ಈಗಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 5% ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಈ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅವಲಂಬನೆಯು ಪ್ರಯೋಗದ ವಿನ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ತೋರಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಕೆಲವರು ಸಂಭವನೀಯ ತತ್ವದ ವಿರುದ್ಧ ವಾದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಇತರರಿಗೆ ಅವರು ತತ್ವದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಸಾಹಿತ್ಯ
ಸಹ ನೋಡಿ
ಲಿಂಕ್‌ಗಳು
- ಆಂಟನಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ.ಎಫ್. ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್. "ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು". http://www.cimat.mx/reportes/enlinea/D-99-10.html
- ಜೆಫ್ ಮಿಲ್ಲರ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಪದಗಳ ಆರಂಭಿಕ ತಿಳಿದಿರುವ ಉಪಯೋಗಗಳು (L)
- ಜಾನ್ ಆಲ್ಡ್ರಿಚ್. ರಿಸರ್ಚ್ ವರ್ಕರ್ಸ್‌ಗಾಗಿ R. A. ಫಿಶರ್‌ನ ಅಂಕಿಅಂಶ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ
ವಿಕಿಮೀಡಿಯಾ ಫೌಂಡೇಶನ್. 2010.
ಈಗ ನಾವು ನಿಯಂತ್ರಣದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು (2.2.2) ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೆಟ್ (2.2.2) ಗಡಿಗಳನ್ನು ತಲುಪದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ) ನಂತರ ಸಂಬಂಧಗಳು (2.2.13), (2.2.14) ಅವರಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣವು ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ - ಮೇಲಾಗಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣವು ಒಂದು ಗಡಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಜಿಗಿಯಬಹುದು. ಅಂತಹ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.
ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣವು ಸೆಟ್ U ನ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಡೆದಾಗ, ಸಂಬಂಧಗಳು (2.2.13), (2.2.14) ಉಲ್ಲಂಘನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳು L. S. ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಅವರ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (2.2.1): .
ಈ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು (2.2.8) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಇದೀಗ, ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು (2.2.8) ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ) ವೆಕ್ಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, H ಕಾರ್ಯವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಟವನ್ನು ಇವರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದು:
ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗರಿಷ್ಠ (ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಮೌಲ್ಯ) ಈ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸಾಧಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು ಸೆಟ್ನ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ.
ಪ್ರಮೇಯ 2.2.1 (L. S. ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವ). ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2.2.11) ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು (2.2.3), (2.2.7) ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ, ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಂತೆ ಅನುಮತಿಸುವ ನಿಯಂತ್ರಣವಾಗಲಿ.
ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ) ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ), ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (2.2.12) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಿಮ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗುತ್ತವೆ
(2.2.11), (2.2.12) ಮತ್ತು (2.2.17) ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದರೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ t ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು (2.2.18) ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನಡೆಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸಮಯದ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ.
ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಬಂಧ 2 ಉಚಿತ ಬಲ ತುದಿ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಮುಖ್ಯ ಸಂಬಂಧದ (2.2.17) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು (2.2.17) ಮತ್ತು (2.2.18) ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯ 2.2.1 ರಲ್ಲಿನ ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಿತಿಯು ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ (2.2.19). ಇದರರ್ಥ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತ ಪಥಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (2.2.12) ಅಂತಹ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರಗಳು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅವುಗಳ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ U ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 2.2.1, ಇದು ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ U ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, (2.2.19) ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳು (2.2.13), (2.2.14) ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.
ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (2.2.19) ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು?ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾರೆ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ) ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅವರು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತಾರೆ
ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು (2.2.20) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (2.2.1) ನ ಬಲಭಾಗವು ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ
ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯ ಸಮಗ್ರತೆ (2.2.5)
ಸೆಟ್ ಅನ್ನು U ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ (2.2.2), ನಂತರ
ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ U ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ
ಫಾರ್ಮುಲಾ (2.2.22) ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣದ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ: ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತ (ತುಣುಕು ಸ್ಥಿರ) ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯ (2.2.20) ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (2.2.24), (2.2.25) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (2.2.3), (2.2.4). ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು (2.2.24), (2.2.25) ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (2.2.3), (2.2.4) ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ (ಎರಡು-ಪಾಯಿಂಟ್ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವವು ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿನ ತೊಂದರೆ ಏನೆಂದರೆ, "ನೇರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ" ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (2.2.24), (2.2.25) ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. . ತಿಳಿದಿರುವ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವ (2.2.24), (2.2.25) ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ (2.2.4). ಅದನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (2.2.24), (2.2.25) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .
ಇದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು (2.2.4) ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ "ದೂರ" ದ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿದಾಗ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅಂದಾಜು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಶೂಟಿಂಗ್ ವಿಧಾನ, ಸ್ವೀಪ್ ವಿಧಾನ, ಹಲವಾರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು, . ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ (2.2.19) ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು (2.2.22) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳು (2.2.1), (2.2.6), ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (2.2.12) ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು (2.2.19) ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹಲವಾರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಗರಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (2.2.14) ಪೂರೈಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಗಿತಗಳು, ಅವುಗಳ ಅನನ್ಯತೆ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಅವಲಂಬನೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ವಭಾವ (2.2.20) ಸೇರಿವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ, ನಿಯಂತ್ರಣಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (2.2.20), ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆ (2.2.24) ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಅವುಗಳ ಕಳಪೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ. ), (2.2.25). ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್.
ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ತ್ವದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಈ ತತ್ತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೃಜನಶೀಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಾಖೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸೋಣ. ಯಾವ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವು ಸೇರಿದೆ, ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.2.1. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಇಂಧನ ಬಳಕೆ ನಿಯಂತ್ರಣದ ನಿರ್ಮಾಣ.
ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಿದ ನಿಯಂತ್ರಣ ವಸ್ತುವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ಬಂಧ ಹೇರಲಿ
ಇಂಧನ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿತಿ
ವಸ್ತುವು (2.2.26) ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ (2.2.29) ಸ್ಥಿತಿಗೆ (2.2.30) ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು (2.2.27) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ (2.2.28) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸೂಕ್ತ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಚಲಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ
ಸಹಾಯಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (2.2.31) ತಲುಪಿಸುವ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ
ಸಮೀಕರಣಗಳು (2.2.26), (2.2.32), (2.2.33) ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅದರ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ (2.2.32):
ನಿಯಂತ್ರಣ (2.2.33) ವಸ್ತುವನ್ನು (2.2.26) ಸ್ಥಿತಿಗೆ (2.2.30) ತರಲು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.
ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (2.2.26) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ಇದು R ಮತ್ತು p ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ . ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಂತದ ಪಥಗಳು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಲಯಗಳಾಗಿವೆ (Fig. 2.2.1, a). ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಂತದ ಪಥಗಳು (2.2.26) ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ (Fig. 2.2.1, b, c).