ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ

ಪ್ರಮೇಯ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಅದರ ತಳದ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲು ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಾಗಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

1) ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ SABC (Fig. 102) ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ SABCDE ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಎತ್ತರವು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯ ಅಂಚು SB ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಈ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಈ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ. ಆಗ ಉಳಿಯುವುದು ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ SADEC (ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ನಾವು ಶೃಂಗದ S ಮತ್ತು ಬೇಸ್ DC ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಮೂಲಕ ಅದರಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ವಿಮಾನವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ S ಮತ್ತು ಸಮಾನ ನೆಲೆಗಳಾದ DEC ಮತ್ತು DAC ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ; ಇದರರ್ಥ ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತಾದ ಪಿರಮಿಡ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಪ್ರಕಾರ, ಇವು ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು, ಅಂದರೆ SDEC ಅನ್ನು ಈ ಪಿರಮಿಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ. SDEC ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಧಾರವನ್ನು $\Delta$SDE ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ನಂತರ ಅದರ ಮೇಲ್ಭಾಗವು C ಹಂತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರವು ನೀಡಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. $\Delta$SDE = $\Delta$ABC ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದೇ ಲೆಮ್ಮಾ ಪ್ರಕಾರ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು SDEC ಮತ್ತು SABC ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ABCDES ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದ್ದೇವೆ: SABC, SDEC ಮತ್ತು SDAC. (ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಅನ್ನು ಅಂತಹ ವಿಭಜನೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.) ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂರು ಪಿರಮಿಡ್ಗಳ ಸಂಪುಟಗಳ ಮೊತ್ತವು ಈ ಒಂದು ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ,

$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$

ಇಲ್ಲಿ H ಎಂಬುದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

2) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪಿರಮಿಡ್ SABCDE ನ ಬೇಸ್‌ನ ಕೆಲವು ಶೃಂಗದ E (Fig. 103) ಮೂಲಕ ನಾವು EB ಮತ್ತು EC ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಂತರ ನಾವು ಅಂಚಿನ SE ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕರ್ಣಗಳ ಮೂಲಕ ಕತ್ತರಿಸುವ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಹಲವಾರು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಿರಮಿಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ನೆಲೆಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ 1 , ಬಿ 2 , ಬಿ 3 ಮತ್ತು H ಮೂಲಕ ಎತ್ತರ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

SABCDE ಪರಿಮಾಣ = 1/3 ಬಿ 1 ಎಚ್ + 1/3 ಬಿ 2H + 1/3 ಬಿ 3 H = ( ಬಿ 1 + ಬಿ 2 + ಬಿ 3) H/3 =

= (ಪ್ರದೇಶ ABCDE) H / 3 .

ಪರಿಣಾಮ. V, B ಮತ್ತು H ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣ, ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆಗ

ಪ್ರಮೇಯ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂರು ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ಸಂಪುಟಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್‌ಗಳು: ಒಂದು ಈ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಕೆಳಗಿನ ಬೇಸ್, ಇನ್ನೊಂದು ಮೇಲಿನ ಬೇಸ್, ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ನೆಲೆಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ (ಚಿತ್ರ 104) ನ ನೆಲೆಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಬಿ ಮತ್ತು ಬಿ, ಎತ್ತರ H ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ V (ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿರಬಹುದು - ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ).

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

V = 1/3 BH + 1/3 ಬಿ H+1/3H√B ಬಿ= 1/3H(B+ ಬಿ+√B ಬಿ ),

ಅಲ್ಲಿ √B ಬಿ B ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ಬಿ.

ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಈ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪೂರೈಸುವ ಚಿಕ್ಕದಾದ ತಳದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಇರಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ V ಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಎರಡು ಸಂಪುಟಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು - ಪೂರ್ಣ ಪಿರಮಿಡ್ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ನಂತರ X, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ವಿ = 1/3 ವಿ (ಎಚ್ + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1 / 3 [ВH + (В - ಬಿ)X].

ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು Xನಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸೋಣ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$

ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (ಅದನ್ನು ಅನುಪಾತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$

$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$

ಆದ್ದರಿಂದ

$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$

ಪರಿಮಾಣ V ಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$$ V = \frac(1)(3)\ಎಡ $$

ಬಿ ರಿಂದ - ಬಿ= (√B + √ ಬಿ) (√B - √ ಬಿ), ನಂತರ √B - √ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಬಿನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$

ಅಂದರೆ, ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇತರ ವಸ್ತುಗಳು

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದರ ಪರಿಮಾಣ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ತಳದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಿರಮಿಡ್ ಏನೆಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಿಯಮಿತ ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇದು ಏನು - ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್?

ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕೇಳಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ, ತ್ರಿಕೋನವಲ್ಲ. ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ಎಂದು ವಿವರಿಸೋಣ.

ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಕೆಲವು ಏಕ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆಕೃತಿಯು ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಪಿರಮಿಡ್ ಅಥವಾ ಅದರ ಮುಖದ ಬದಿಗಳು. ಈ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವ್ಯಕ್ತಿ.

ಬದಿಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಪಿರಮಿಡ್ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 6 ಇವೆ) ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು (4 ರಲ್ಲಿ).

ತ್ರಿಕೋನ ತಳಹದಿಯೊಂದಿಗೆ

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಆಕೃತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಓರೆಯಾದ ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನವು ಒಂದೇ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೇಂದ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಿಂದ h ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಪಿರಮಿಡ್ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಂಚುಗಳು, ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸರಿಯಾದ ಚಿತ್ರವು ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಅದರ ಎತ್ತರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಮಧ್ಯದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು);
ಅಂತಹ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೂರು ಒಂದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಅಥವಾ ಸಮಬಾಹು.

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಕೇವಲ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವಲ್ಲ. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ರಚನೆಗಳು ಅದರ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಡೈಮಂಡ್ ಸ್ಫಟಿಕ ಜಾಲರಿ, ಅಲ್ಲಿ ಇಂಗಾಲದ ಪರಮಾಣು ಒಂದೇ ಪರಮಾಣುಗಳ ನಾಲ್ಕು ಕೋವೆಲನ್ಸಿಯ ಬಂಧಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ಮೀಥೇನ್ ಅಣುವಿನಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಶೃಂಗಗಳು ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n-gon ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಇಲ್ಲಿ S o ಚಿಹ್ನೆಯು ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, h ಎಂಬುದು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬೇಸ್ಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಆಕೃತಿಯ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಪೋಥೆಮ್ h a ಈ ಬದಿಗೆ ಇಳಿಯುವುದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

V = 1/6 × a × h a × h

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕಾಗಿ, ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭದ ಕೆಲಸವಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದು (ಶೃಂಗ) ಮತ್ತು ಸಮತಲ (ತ್ರಿಕೋನ ಬೇಸ್) ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಸರಿಯಾದದ್ದಕ್ಕಾಗಿ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೋಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತಳದ ಪ್ರದೇಶವು (ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ) ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದನ್ನು V ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

V = √3/12 × a 2 × h

ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಅದರ ಅಂಚಿನ ನಿಯತಾಂಕದ ಜ್ಞಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು a. ಅನುಗುಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್

ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ನಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಎರಡು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ನೆಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಫೋಟೋ ಕಾಗದದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ಮೂರು ರೇಖೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಬೇಸ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಆಕೃತಿಯ ಎತ್ತರ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ನೆಲೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

ಇಲ್ಲಿ h ಎಂಬುದು ಆಕೃತಿಯ ಎತ್ತರ, A ಮತ್ತು a ಎಂಬುದು ಕ್ರಮವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ (ಕೆಳ) ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ (ಮೇಲಿನ) ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ

ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಓದುಗರಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಕೆಲವು ಲಿಖಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು 15 ಸೆಂ 3 ಆಗಿರಲಿ. ಅಂಕಿ ಅಂಶ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವು 4 ಸೆಂ.ಮೀ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಚಿನ ಅಪೊಥೆಮ್ a b ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಬೇಸ್ನ ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೀವು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 cm

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 cm

ಆಕೃತಿಯ ಅಪೋಥೆಮ್‌ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದ್ದವು ಅದರ ಎತ್ತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ:

ಮೊದಲು ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಒಂದಕ್ಕೆ.

1. ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿOABCಪರಿಮಾಣ V ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶಎಸ್ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಗಂ. ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಓಹ್ (OM2- ಎತ್ತರ), ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿA1 B1 C1ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ಓಹ್ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇಸ್ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣXಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ1 x ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮತಲದ ಛೇದಕ, ಮತ್ತು ಮೂಲಕಎಸ್(X)- ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶ. ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ ಎಸ್(X)ಮೂಲಕ ಎಸ್, ಗಂಮತ್ತು X. ತ್ರಿಕೋನಗಳು A ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ1 IN1 ಇದರೊಂದಿಗೆ1 ಮತ್ತು ಎಬಿಸಿಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ನಿಜವಾಗಿ ಎ1 IN1 II AB, ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ OA 1 IN 1 OAB ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆಆದ್ದರಿಂದ, ಎ1 IN1 : ಎಬಿ= OA 1: OA .

ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು OA 1 IN 1 ಮತ್ತು OAV ಅವು ಸಹ ಹೋಲುತ್ತವೆ (ಅವು ಶೃಂಗ O ಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, OA 1: OA = O 1 ಎಂ1 : OM = x: ಗಂ. ಹೀಗೆಎ 1 IN 1 : ಎ ಬಿ = x: ಗಂ.ಅಂತೆಯೇ, ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆB1 C1:ಸೂರ್ಯ = X: ಗಂಮತ್ತು A1 C1:AC = X: ಗಂ.ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನA1 B1 C1ಮತ್ತು ಎಬಿಸಿಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ X: ಗಂ.ಆದ್ದರಿಂದ, S(x):ಎಸ್ = (x: h)², ಅಥವಾ S(x) = S x²/ ಗಂ².

ನಲ್ಲಿ ದೇಹಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಈಗ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣಎ= 0, b =ಗಂನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2. ಈಗ ನಾವು ಎತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಗಂಮತ್ತು ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶ ಎಸ್. ಅಂತಹ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಒಟ್ಟು ಎತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಗಂ.ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ 1/3h ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ಬೇಸ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಮೂಲ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಬೇಸ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶ S.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು 1/3Sh ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮ:

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣ V ಅದರ ಎತ್ತರ h ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶಗಳು S ಮತ್ತು S1 , ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

h - ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರ

ಎಸ್ ಟಾಪ್ - ಮೇಲಿನ ತಳದ ಪ್ರದೇಶ

ಎಸ್ ಕಡಿಮೆ - ಕೆಳಗಿನ ತಳದ ಪ್ರದೇಶ

ಪಿರಮಿಡ್ ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ತಳದಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು ತ್ರಿಕೋನ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಯಾವ ಪಿರಮಿಡ್ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಅದರ ತಳದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಕು. "ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರ" ದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿವಿಧ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಭಾಗಗಳು

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಿರಮಿಡ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳು, ಇದು ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ;
ಅಪೋಥೆಮ್ ಅದರ ತುದಿಯಿಂದ ಇಳಿಯುವ ಎತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ;
ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಪಕ್ಕದ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬೇಸ್‌ನ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ;
ಆಧಾರವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಶೃಂಗವು ಸುಳ್ಳಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತಳದೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಅದರ ಪರಿಮಾಣ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ

V = (S*h)/3 ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ (ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ V ಎಂಬುದು ಪರಿಮಾಣ, S ಎಂಬುದು ಬೇಸ್‌ನ ಪ್ರದೇಶ, h ಎಂಬುದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರ) ನಾವು h = (3*V)/ ಎಸ್. ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ತ್ರಿಕೋನ ತಳವು 50 cm 2 ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಪರಿಮಾಣವು 125 cm 3 ಆಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದದ್ದು. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು h = (3 * 125) / 50 = 7.5 cm ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ

ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ, ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರವು ಅದರ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಕರ್ಣೀಯದ ಎತ್ತರ, ಅಂಚು ಮತ್ತು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಅನೇಕರು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಮೂರನೇ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ a² = b² + c², ಅಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಂಚು; ಬಿ - ಮೊದಲ ಕಾಲು ಅಥವಾ ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಸಿ - ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಕಾಲು, ಅಥವಾ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರ. ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ c² = a² - b².

ಈಗ ಸಮಸ್ಯೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯವು 20 ಸೆಂ.ಮೀ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವು 30 ಸೆಂ.ಮೀ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. ಆದ್ದರಿಂದ c = √ 500 = ಸುಮಾರು 22.4.

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ

ಇದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ತಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವು ಅದರ ಎರಡು ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ನೆಲೆಗಳ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಂಚು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ತಳದ ಕರ್ಣವು d1 ಆಗಿರಲಿ, ಚಿಕ್ಕ ತಳದ ಕರ್ಣವು d2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವು l ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಎರಡು ಮೇಲಿನ ವಿರುದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಅದರ ತಳಕ್ಕೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಮಗೆ ಎರಡು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ; ಅವುಗಳ ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ದೊಡ್ಡ ಕರ್ಣದಿಂದ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ಲೆಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: a = (d1-d2)/2. ಅದರ ನಂತರ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರದ ಎರಡನೇ ಲೆಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಈಗ ಈ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಷಯವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡೋಣ. ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ತಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ದೊಡ್ಡ ತಳದ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದವು 10 ಸೆಂ.ಮೀ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಚಿಕ್ಕದು 6 ಸೆಂ, ಮತ್ತು ಅಂಚು 4 ಸೆಂ. ನೀವು ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಒಂದು ಲೆಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: a = (10-6)/2 = 2 cm. ಒಂದು ಕಾಲು 2 cm ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ 4 cm ಆಗಿದೆ. ಇದು ಎರಡನೇ ಕಾಲು ಅಥವಾ ಎತ್ತರವು 16-ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. 4 = 12, ಅಂದರೆ, h = √12 = ಸುಮಾರು 3.5 ಸೆಂ.

ಪಿರಮಿಡ್ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವ್ಯಕ್ತಿ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ಸೂತ್ರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು h ಎಂಬುದು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಎತ್ತರಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೇಲಿನಿಂದ ತಳಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಯಾವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ತಳದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು, ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಸಮಸ್ಯೆ: ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಬೇಸ್ನ ಬದಿಗಳು a = 3 cm, ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು b = 4 cm. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದ ಬೇಕು, ಅಥವಾ ಅದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟು. ನಂತರ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮೊದಲು, ಕರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

d ಮತ್ತು ಅಂಚಿನ b ಬಳಸಿ ನಾವು ಎತ್ತರ h ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ