ಕಾರ್ಯ 2.ವೋಲ್ಜ್ಸ್ಕಿ ಆಟೋಮೊಬೈಲ್ ಪ್ಲಾಂಟ್ ಹೊಸ ಎಂಜಿನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಎಂಜಿನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರಿನ ಸರಾಸರಿ ಮೈಲೇಜ್ 160 ಸಾವಿರ ಕಿಮೀ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ = 30 ಸಾವಿರ ಕಿಮೀ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ದುರಸ್ತಿಗೆ ಮೊದಲು ಕಿಮೀ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಕಾರಿನ ಮೈಲೇಜ್ 100 ಸಾವಿರ ಕಿ.ಮೀ. 180 ಸಾವಿರ ಕಿಮೀ ವರೆಗೆ.

ಪರಿಹಾರ. P(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1.ಸ್ಥಿರ C ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0,ಡಿಸಿ = 0, ಜೊತೆಗೆ = ಸ್ಥಿರ.

ಪುರಾವೆ.ಡಿಸಿ = ಎಂ(ಜೊತೆಗೆ– ಎಂ.ಸಿ.) 2 = ಎಂ(ಜೊತೆಗೆ– ಜೊತೆಗೆ) = 0.

2.ಡಿ(CX) = ಜೊತೆಗೆ 2 DX.

ಪುರಾವೆ. ಡಿ(CX) = ಎಂ(CX) 2 – ಎಂ 2 (CX) = ಸಿ 2 MX 2 – ಸಿ 2 (MX) 2 = ಸಿ 2 (MX 2 – ಎಂ 2 X) = ಜೊತೆಗೆ 2 DX.

3. X ಮತ್ತು Y ವೇಳೆ – ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ, ಅದು

ಪುರಾವೆ.

4. X ವೇಳೆ 1 , X 2 , … ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ .

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 3 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಪುರಾವೆ. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

ಪುರಾವೆ. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು , .

ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ವೈ.

; .

ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ ಎನ್®¥ n ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಈ ಗುಣವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ

ಅವಕಾಶ Xಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಹಿಂದೆ, ಉಪನ್ಯಾಸ 11 ರಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆ 2) ವೇಳೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ

ನಂತರ Y ~ N (0,1).

ಇಲ್ಲಿಂದ, ಮತ್ತು ನಂತರ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಡಿವೈ.

ಆದ್ದರಿಂದ

DX= ಡಿ(ರು ವೈ+ಎ) = ರು 2 ಡಿವೈ= s 2, s X= ರು. (2)

ವಿಷ ವಿತರಣೆ

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ

ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ .

ಹಿಂದೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಪುರಾವೆ.

ಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿನ ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ p(MX+t) -ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಟಿ (p(MX+t)= p(MX-t)), ಎ t 2 k +1- ಬೆಸ ಕಾರ್ಯ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ X= MX, ನಂತರ ಬೆಸ ಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಒಂದು ವೇಳೆ X~ಎನ್(ಎ,s), ನಂತರ .

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಷಣಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, 3 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಆದೇಶಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಓರೆ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಕರ್ಟೋಸಿಸ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಬಿ = .

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ವೈ, ಎಲ್ಲಿ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಓರೆಯಾಗುವಿಕೆ Xಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವೈ = α X + β

α ನ ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ, . ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು a ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ X+ ಬಿ ಮತ್ತು Xಅದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ವೈಸಹಿ ಮಾಡುವವರೆಗೆ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವವಾಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ "ಉದ್ದದ ಭಾಗ" ಗುಂಪಿನ ಕೇಂದ್ರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ β( X) > 0; ಗ್ರಾಫ್‌ನ "ಉದ್ದದ ಭಾಗ" ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ β( X) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕರ್ವ್ ಅಥವಾ ವಿತರಣಾ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ "ನಯವಾದ" ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ Xಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ3, ಅಂದರೆ. . ಇದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ Xಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

ವೈ = α X + β.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X.

ಒಂದು ವೇಳೆ X~ಎನ್(ಎ,s), ನಂತರ ~ (0,1).

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು "ಗರಿಷ್ಠ" ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ g( X) > 0, ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಕಡಿಮೆ "ಗರಿಷ್ಠ" ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ g( X) < 0.

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ p ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ b, ಒಂದು ವೇಳೆ

.

ಈ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಿತಿಯನ್ನು ದಾಟಿ ಪಡೆಯೋಣ

.

ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜು

ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮಾದರಿಯಿಂದ ಪಡೆದರೆ, ಪಡೆದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿಜವಾದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಅಪಾಯಕಾರಿ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜಿನ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯದ ಮಧ್ಯಂತರ ಅಂದಾಜಿನ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿದೆ). MX= Q, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ a = ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ P, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಅಂದಾಜು ಟಿ- ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯದ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಫ್(ಟಿ) = , ಇ = .

1. ಕೋಲೆಮೇವ್ ವಿ.ಎ., ಸ್ಟಾರೊವೆರೊವ್ ಒ.ವಿ., ತುರುಂಡೇವ್ಸ್ಕಿ ವಿ.ಬಿ.ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಎಂ.: ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್, 1991.

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A.ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಎಂ.: ಯೂನಿಟಿ, 2001.

3. ಸ್ಜೆಕೆಲಿ ಜಿ.ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು. ಎಂ.: ಮಿರ್, 1990.

4. ಕ್ರೆಮರ್ ಎನ್.ಎಸ್.ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಎಂ.: ಯೂನಿಟಿ, 2001

5. ಸ್ಮಿರ್ನೋವ್ ಎನ್.ವಿ. ಡುನಿನ್-ಬಾರ್ಕೊವ್ಸ್ಕಿ I.V.ತಾಂತ್ರಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕೋರ್ಸ್. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1969.

6. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು. ಎಂ.: ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್, 1988.

ಉಪನ್ಯಾಸ 1. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು. ಇತಿಹಾಸ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.. 3

ಉಪನ್ಯಾಸ 2. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.. 8

ಉಪನ್ಯಾಸ 3. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣ. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ಸ್ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್.. 14

ಉಪನ್ಯಾಸ 4. ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ... 17

ಉಪನ್ಯಾಸ 5. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ರಾಂಡಮ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಗಳು... 21

ಉಪನ್ಯಾಸ 6. ಮೂವ್ರೆ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮಗ್ರ ಪ್ರಮೇಯ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.. 26

ಉಪನ್ಯಾಸ 7. ನಿರಂತರ ರಾಂಡಮ್ ಅಸ್ಥಿರ... 29

ಉಪನ್ಯಾಸ 8. ಬಹು ಆಯಾಮದ ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ... 35

ಉಪನ್ಯಾಸ 9. ಬಹು ಆಯಾಮದ ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ... 39

ಉಪನ್ಯಾಸ 10. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್ 43 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಉಪನ್ಯಾಸ 11. ರಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು... 48

ಉಪನ್ಯಾಸ 12. ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ.. 52

ಉಪನ್ಯಾಸ 13. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ, ಫಿಶರ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಉತ್ತರಗಳುಗಣಿತದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೊದಲ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಯು ಬಹಳಷ್ಟು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವರ ಪರಿಹಾರದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಘನವನ್ನು ಅದೇ ಗಾತ್ರದ 1000 ಘನಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಘನವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

• ಎ) ಒಂದು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಅಂಚು;
• ಬಿ) ಎರಡು ಮಬ್ಬಾದ ಮುಖಗಳು.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಒಂದು ಘನವನ್ನು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಘನಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳನ್ನು 100 ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಸುಮಾರು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ)
ಇದಲ್ಲದೆ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಘನವು ಒಂದು ಮಬ್ಬಾದ ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು - ಇದರರ್ಥ ಘನಗಳು ಹೊರ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸೇರಿರಬೇಕು ಆದರೆ ಘನದ ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲೆ (2 ಮಬ್ಬಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು) ಮಲಗಬಾರದು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ - ಅವು ಮೂರು ಮಬ್ಬಾದವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವು 6 ಮುಖಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು 8 * 8 ಗಾತ್ರದ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಘನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
6*8*8=384 - 1 ಬಣ್ಣದ ಮೇಲ್ಮೈ ಹೊಂದಿರುವ ಘನಗಳು.
ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ P=384/1000=0.384 ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಬೌ) ಎರಡು ಮಬ್ಬಾದ ಮುಖಗಳು ಘನದ ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದೆಯೇ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಘನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ 8 ಘನಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಘನದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 12 ಅಂಚುಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಮಬ್ಬಾದ ಮುಖಗಳಿವೆ
8*12=96 ಘನಗಳು.
ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ 1000 ರ ನಡುವೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
P=96/1000=0.096.
ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಮುಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ 2. ಎ, ಎ, ಎ, ಎನ್, ಎನ್, ಸಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪೈನಾಪಲ್ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಷಯದಿಂದ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ತರ್ಕಿಸಬೇಕು. A, 2-H, ಮತ್ತು 1 - C 3 ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, "ಅನಾನಸ್" ಪದಕ್ಕಾಗಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರವು A ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು 6 ರಲ್ಲಿ 3 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ತಿಳಿದಿರುವ 6 ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ 3 ಅಕ್ಷರಗಳು A ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಎ ಮೊದಲ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಪಿ 1 =3/6=1/2.
ಎರಡನೆಯ ಅಕ್ಷರವು H ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ A ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದ ನಂತರ, ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು 5 ಅಕ್ಷರಗಳು ಉಳಿದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ 2 H ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಪಿ 2 =2/5.
ಉಳಿದಿರುವ 4 ರಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಎ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಪಿ 3 =2/4.
ಮುಂದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ H ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು
ಪಿ 4 =1/3.
ಅಂತ್ಯದ ಹತ್ತಿರ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ A ನಲ್ಲಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು
ಪಿ 5 =1/2.
ಇದರ ನಂತರ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಡ್ ಸಿ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 100 ಪ್ರತಿಶತ ಅಥವಾ
ಪಿ 6 =1.
PINEAPPLE ಪದವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0.016(6).
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಆಧರಿಸಿವೆ.

ಕಾರ್ಯ 3. ಮರ್ಚಂಡೈಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬ್ಯಾಚ್‌ನಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅತ್ಯುನ್ನತ ದರ್ಜೆಯ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.8 ಆಗಿದೆ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ 3 ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುನ್ನತ ದರ್ಜೆಯ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ?
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.
ಪು=0.8; q=1-0.8=0.2.
ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ನೀವು ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮೂರು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

ಎರಡೂ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಂತೆಯೇ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 4. ಐದು ಶೂಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು 0.6 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಮೂವರು 0.4 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆದರು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಧ್ಯತೆ ಏನು: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ?
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಶೂಟರ್ ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.
P=2/5*0.6+3/5*0.4=0.24+0.24=0.48.
P ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
ಹೊಡೆಯದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಅಥವಾ
P=2/5*(1-0.6)+3/5*(1-0.4)=0.16+0.36=0.52.

ಸಮಸ್ಯೆ 5. ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಬಂದ 20 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ, 10 ಮಂದಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಯಾರಾಗಿದ್ದರು (ಅವರಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದವು), 7 ಮಂದಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದರು (ಅವರಿಗೆ ತಲಾ 35 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದವು), ಮತ್ತು 3 ಕಳಪೆಯಾಗಿ ತಯಾರಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು (10 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು). ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ 40 ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಕರೆದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿದನು. ಅವನು ಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು

• ಎ) ಅತ್ಯುತ್ತಮ;
• ಬಿ) ಕೆಟ್ಟದು.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಂದರೆ ಕೇಳಿದ ಎಲ್ಲವೂ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನೆಂದು ನಾವು ಈಗ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮೂರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲದರ ನಡುವೆ ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು "ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ" ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 0.00216 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಅದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕೆಂದು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ರಸಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 6. ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 5 ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ 3 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದೇ?
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಅಥವಾ ಟೈಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 3 ಬಾರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದರೆ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ 0, 1 ಅಥವಾ 2 ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. "ಅಥವಾ" ಯಾವಾಗಲೂ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

p=q=0.5 ರಿಂದ, ಆಗ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಆಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 7. ಲೋಹದ ಟರ್ಮಿನಲ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಟಾಂಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸರಾಸರಿ 90% ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 900 ಟರ್ಮಿನಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 790 ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ 820 ಟರ್ಮಿನಲ್‌ಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕು

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ

1. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ, ಮಾನವೀಯತೆಯು ಅದರ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದೆ ಮತ್ತು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ನಮ್ಮ ಬಯಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ನಮ್ಮ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸಿಡಿಯುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿ ನಮ್ಮನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಭಾವದ ಕಾರಣ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕಲಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರಕೃತಿ ಮತ್ತು ಸಮಾಜದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ನಿರ್ಣಾಯಕ (ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ) ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಕಾಶ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸೌರವ್ಯೂಹದ ಗ್ರಹಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತ ತಿಳಿದಿರುವ ಸ್ಥಾನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಬಹುತೇಕ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು, ಸೌರ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರ ಗ್ರಹಣಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಾನೂನುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಹವಾಮಾನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಯಶಸ್ವಿ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗೆ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಅನೇಕ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾನೂನುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭವಿಷ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ.

ಇತರ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಂತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸದ ಅಗತ್ಯಗಳಿಂದ ಪುನರುಜ್ಜೀವನಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಸಾಮೂಹಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಮೂಹಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಿದಾಗ ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ, ಅದರ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಅದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಅಳತೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಗಮನಿಸುವ ಘಟನೆಗಳನ್ನು (ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು) ಮೂರು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ, ಅಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ.

ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯನ್ನು ನಿಶ್ಚಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಪಾಸಿಬಲ್ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವ ಘಟನೆ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸದ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರಣಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಕಾರಣ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದೇ ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕರೂಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು, ಅವುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯವು ಸಾಮೂಹಿಕ ಏಕರೂಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮೂಹಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲಾಯಿತು. ಅವಕಾಶದ ವಿವಿಧ ಆಟಗಳ ಕೋರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, B. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್, P. ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮತ್ತು H. ಹ್ಯುಜೆನ್ಸ್ 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿದರು. ತಮ್ಮ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅವರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಜೆ. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮೊಯಿವ್ರೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್, ಗಾಸ್, ಪಾಯ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಇತರರಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಯಶಸ್ಸನ್ನು ನೀಡಬೇಕಿದೆ.

P.L ರಂತಹ ರಷ್ಯನ್ ಮತ್ತು ಸೋವಿಯತ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಭಾರಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಚೆಬಿಶೇವ್, ಎ.ಎ. ಮಾರ್ಕೊವ್, ಎ.ಎಂ. ಲಿಯಾಪುನೋವ್, ಎಸ್.ಎನ್. ಬರ್ನ್‌ಸ್ಟೈನ್, ಎ.ಎನ್. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್, A.Ya. ಖಿಂಚಿನ್, ಎ. ಪ್ರೊಖೋರೊವ್, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಸ್ಥಾನವು ಉಜ್ಬೆಕ್ ಶಾಲೆಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಅವರ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞರು V.I. ರೊಮಾನೋವ್ಸ್ಕಿ, S.Kh. ಸಿರಾಜ್ಡಿನೋವ್, ಟಿ.ಎ. ಸರಿಮ್ಸಕೋವ್, ಟಿ.ಎ. ಅಜ್ಲಾರೋವ್, ಶ.ಕೆ. ಫರ್ಮನೋವ್, ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ I.S. Badalbaev, M.U. ಗಫುರೊವ್, Sh.A. ಖಾಶಿಮೊವ್ ಮತ್ತು ಇತರರು.

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಅಭ್ಯಾಸದ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ ನಂತರ, ಅದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಪೋಷಿಸಿತು, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದರ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತಹ ವಿಜ್ಞಾನದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯದ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಇಲ್ಲದೆ ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಮರ್ಪಕತೆ ಮತ್ತು "ಸೂಕ್ಷ್ಮ" ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಾದರಿಗಳಿಲ್ಲದೆ.

ದಟ್ಟಣೆಯ ಹರಿವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳು, ಕಾರಿನ ಘಟಕಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮಟ್ಟ, ರಸ್ತೆಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರು ಅಪಘಾತಗಳು, ಅವುಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯಿಂದಾಗಿ ರಸ್ತೆ ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅನುಭವ ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗ ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳು. ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು A, B, C, D,... ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್

1) ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ;

2) ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸ್ಥಳದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಡೈ ಅನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸ್ಥಳವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಕಲಶವು 2 ಕೆಂಪು, 3 ನೀಲಿ ಮತ್ತು 1 ಬಿಳಿ, ಒಟ್ಟು 6 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಪ್ರಯೋಗವು ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸ್ಥಳವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: - ಬಿಳಿ ಚೆಂಡು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು; - ಕೆಂಪು ಚೆಂಡು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು; - ನೀಲಿ ಚೆಂಡು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಎ - ಬಿಳಿ ಚೆಂಡಿನ ನೋಟ;

ಬಿ -- ಕೆಂಪು ಚೆಂಡಿನ ನೋಟ;

ಸಿ - ನೀಲಿ ಚೆಂಡಿನ ನೋಟ;

ಡಿ -- ಬಣ್ಣದ (ಬಿಳಿ ಅಲ್ಲದ) ಚೆಂಡಿನ ನೋಟ.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಹಂತದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಕೆಲವು - ಹೆಚ್ಚು, ಇತರರು - ಕಡಿಮೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈವೆಂಟ್ B ಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟವು ಈವೆಂಟ್ A ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಘಟನೆಗಳು ಸಿ - ಘಟನೆಗಳು ಬಿಗಿಂತ; ಘಟನೆಗಳು ಡಿ - ಈವೆಂಟ್‌ಗಳಿಗಿಂತ ಸಿ. ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಲು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈವೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಧ್ಯ.

ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗವು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಇರಲಿ. ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯು ಇತರರಿಗಿಂತ ಸಂಭವಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆ A ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಎ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಇಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು A ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1 ಎ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆಗ

ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

1. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈವೆಂಟ್ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಅದನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ m=n ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ

2. ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಅಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯೂ ಅದನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ m=0 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದರ ನಡುವಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಭಾಗ ಮಾತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ,

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವು ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಡೆಸಿದ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಇಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, n ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ, ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನದ ನಿರ್ಣಯವು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಡೆಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ 80 ಒಂದೇ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, 3 ದೋಷಯುಕ್ತವಾದವುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೋಷಯುಕ್ತ ಭಾಗಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ

ಉದಾಹರಣೆ 4. ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೌಲಭ್ಯದಲ್ಲಿ 24 ತಪಾಸಣೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಕಾನೂನಿನ 19 ಉಲ್ಲಂಘನೆಗಳನ್ನು ನೋಂದಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾನೂನಿನ ಉಲ್ಲಂಘನೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆ, ಹೆಚ್ಚು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಏರಿಳಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ದೀರ್ಘಕಾಲೀನ ಅವಲೋಕನಗಳು ತೋರಿಸಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು A ಅನ್ನು ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅಥವಾ A ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ:

ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

1. ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸ್ವರೂಪದ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಕೃತಿ ಮತ್ತು ಸಮಾಜದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಯಾವ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ?

2. ಯಾವ ರೀತಿಯ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು?

3. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಷಯ ಯಾವುದು?

4. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಇತಿಹಾಸದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಏನು ಗೊತ್ತು?

5. ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಹತ್ವವೇನು?

6. ಪ್ರಯೋಗ, ಪರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಎಂದರೇನು, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ?

7. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗ ಎಂದು ಏನನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?

8. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

9. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ?

10. ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಏನು ಗೊತ್ತು?

11. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಾರ ಏನು?

12. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಏನು?

ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ ಮತ್ತು ಕೃತಿಗಳು

ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಎನ್ನುವುದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತಾಗಿ...

ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್. ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಈಗ ಹಲವಾರು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆ 1. ಗರಿಷ್ಠ Z = 1+ - , . ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 2)