ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮದ ಅರ್ಥವೇನು? ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನ, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಸಮಸ್ಯೆ 1.2
X ಮತ್ತು T ಎಂಬ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ X ಅನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು T ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ X ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು T ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ. ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಹೊಸ X ಮತ್ತು T ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯವೂ ಕಷ್ಟವಲ್ಲ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮರೆತಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ "ತಪ್ಪು ಗ್ರಹಿಕೆಗಳು" ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು (ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಏನೆಂದು ನೀವು ಇನ್ನೂ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ)).

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಆದರೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ) - ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಕಳೆಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತದನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದರೇನು ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಯಾರಾದರೂ ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನೋಡಿ.

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ತೊಂದರೆ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅಥವಾ ವಿಭಿನ್ನವಾದವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ. ಆದರೆ ಮೂಲ ಕೋಡ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿ
ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ
ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ

ನಾನು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಸಿ ++ ನಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸ್ವತಃ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು.

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್‌ನಲ್ಲಿ 1.2 ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಚೆಕ್ನಮ್ಗಳು; var A, X, T: ಪೂರ್ಣಾಂಕ; //************************************************ **************** // N1 ಮತ್ತು N2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, // TRUE ಎಂದು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ತಪ್ಪು //**************************************** **************************** ಕಾರ್ಯ ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; ಆರಂಭ := (N1 * N2) >= 0; ಅಂತ್ಯ; //************************************************ **************** // ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ //****************************** ******************************************************* ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ("X ="); ReadLn (X); ಬರೆಯಿರಿ ("ಟಿ ="); ReadLn (T); ZnakNumbers(X, T) ಆಗಿದ್ದರೆ //ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ A:= (X - T); //ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ T:= X * T; end else //ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ A:= X * T; T:= Abs(X - T); ಅಂತ್ಯ; X:= A; //A ನಿಂದ X WriteLn ("X = ", X) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ; //ಔಟ್ಪುಟ್ X WriteLn ("T = ", T); //ಔಟ್‌ಪುಟ್ T WriteLn("ಅಂತ್ಯ. ENTER ಒತ್ತಿ..."); ReadLn; ಅಂತ್ಯ.

C++ ನಲ್ಲಿ 1.2 ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು#ಸೇರಿಸು #ಸೇರಿಸು ನೇಮ್‌ಸ್ಪೇಸ್ ಎಸ್‌ಟಿಡಿ ಬಳಸಿ; ಇಂಟ್ ಎ, ಎಕ್ಸ್, ಟಿ; //************************************************ **************** // N1 ಮತ್ತು N2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, // TRUE ಎಂದು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ತಪ್ಪು //**************************************** **************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) (ರಿಟರ್ನ್ ((N1 * N2) >= 0); ) //************************************************ ********************** // ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ //********************* ****** ******************************************* ಇಂಟ್ ಮುಖ್ಯ( int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; ವೇಳೆ (ZnakNumbers(X, T)) //ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ( A = abs (X - T); // ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಪಡೆಯಿರಿ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು T = X * T; ) ಬೇರೆ // ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (A = X * T; T = abs (X - T); ) X = A; //A ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು X ಕೌಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ

ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್

ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಮೂಲ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಪುನಃ ಕೆಲಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ ಈ ಸರಳ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮೂಲ ಕೋಡ್‌ನ ಒಟ್ಟು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು - ನೀವೇ ಯೋಚಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಪ್ರವಾಸಿಗರು ಮೂರು ದಿನ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲೇ ಇದ್ದರು. ಪ್ರತಿದಿನ ಅವರು 4200 ಮೀ ಒಂದೇ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆದರು, ಅವರು ಮೂರು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಿದರು? ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:
ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ದಿನ ಪ್ರವಾಸಿಗರು 4200ಮೀ. ಎರಡನೇ ದಿನ, ಪ್ರವಾಸಿಗರು ಅದೇ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ 4200 ಮೀ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ದಿನ - 4200 ಮೀ. ಅದನ್ನು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
4200+4200+4200=12600ಮೀ.
4200 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು:
4200⋅3=12600ಮೀ.
ಉತ್ತರ: ಪ್ರವಾಸಿಗರು ಮೂರು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ 12,600 ಮೀಟರ್ ನಡೆದರು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ದೀರ್ಘ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಬರೆಯುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು 11 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
2⋅11=22

ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸಿ. ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದರೇನು?

ಗುಣಾಕಾರ- ಇದು m n ಬಾರಿ ಪದದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

m⋅n ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು m ಮತ್ತು n ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಕಗಳು.

ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನೋಡೋಣ:
7⋅12=84
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 7⋅12 ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶ 84 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ.
7 ಮತ್ತು 12 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಕಗಳು.

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನು.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ನಾವು ನಮ್ಮ 5 ಸ್ನೇಹಿತರಿಗೆ ಎರಡು ಸೇಬುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದೇವೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ನಮೂದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: 2⋅5.
ಅಥವಾ ನಾವು ನಮ್ಮ ಇಬ್ಬರು ಸ್ನೇಹಿತರಿಗೆ 5 ಸೇಬುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದೇವೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ನಮೂದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: 5⋅2.
ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು 10 ತುಂಡುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೇಬುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು 2⋅5=10 ಮತ್ತು 5⋅2=10 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾನೂನಿನ ಆಸ್ತಿ:
ಅಂಶಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಮೀ⋅ ಎನ್=n⋅ಮೀ

ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಯೋಜಿತ ನಿಯಮ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 ಅಥವಾ 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(ಎ⋅ ಬಿ) ⋅ ಸಿ= ಎ⋅(ಬಿ⋅ ಸಿ)

ಸಹಾಯಕ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾನೂನಿನ ಆಸ್ತಿ:
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು.

ಬಹು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಫಲಿತಾಂಶ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ನಿಯಮಗಳು ನಿಜ.

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:
7⋅1=7 ಅಥವಾ 1⋅7=7
ಎ⋅1=a ಅಥವಾ 1⋅ಎ= ಎ
ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

6⋅0=0 ಅಥವಾ 0⋅6=0
ಎ⋅0=0 ಅಥವಾ 0⋅ಎ=0
ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

"ಗುಣಾಕಾರ" ವಿಷಯದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?
ಉತ್ತರ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ m⋅n ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ m ಒಂದು ಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು n ಎಂಬುದು ಈ ಪದದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೀರ್ಘ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಬರೆಯದಿರಲು, ಆದರೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವೇನು?
ಉತ್ತರ: ಕೆಲಸದ ಅರ್ಥ.

ಗುಣಾಕಾರ 3⋅5 ಅರ್ಥವೇನು?
ಉತ್ತರ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

ನೀವು ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: 0

ಉದಾಹರಣೆ #1:
ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
ಉತ್ತರ: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

ಉದಾಹರಣೆ #2:
ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
ಪರಿಹಾರ:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

ಕಾರ್ಯ #1:
ಅಮ್ಮ 3 ಬಾಕ್ಸ್ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಖರೀದಿಸಿದರು. ಪ್ರತಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 8 ಮಿಠಾಯಿಗಳಿವೆ. ತಾಯಿ ಎಷ್ಟು ಮಿಠಾಯಿಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದರು?
ಪರಿಹಾರ:
ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 8 ಮಿಠಾಯಿಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ 3 ಅಂತಹ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಿವೆ.
8+8+8=8⋅3=24 ಮಿಠಾಯಿಗಳು
ಉತ್ತರ: 24 ಮಿಠಾಯಿಗಳು.

ಕಾರ್ಯ #2:
ಪ್ರತಿ ಪಾಠಕ್ಕೆ ಏಳು ಪೆನ್ಸಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಚಿತ್ರಕಲಾ ಶಿಕ್ಷಕ ತನ್ನ ಎಂಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹೇಳಿದರು. ಮಕ್ಕಳ ಬಳಿ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಪೆನ್ಸಿಲ್‌ಗಳಿವೆ?
ಪರಿಹಾರ:
ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಮೊದಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ 7 ಪೆನ್ಸಿಲ್, ಎರಡನೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ 7 ಪೆನ್ಸಿಲ್, ಇತ್ಯಾದಿ.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನಾನುಕೂಲ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವಾಗಿದೆ, ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ.
7⋅8=56
ಉತ್ತರ 56 ಪೆನ್ಸಿಲ್ಗಳು.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು. ಮೊದಲಿಗೆ, ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಅಂಶವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುಣಾಕಾರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಮುಂದೆ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳು

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ಅದೇ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಅವರನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ.

ಗುಣಿಸಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಕಗಳು. ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಲಸ. ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು "·" ರೂಪದ ಗುಣಿ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು "*" ಅಥವಾ "×" ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

a·b=c ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಿಸಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು a, b ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ c ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಮೊದಲ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ b ಎರಡನೇ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ c ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ರೂಪ a·b ಅನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ c .

ಮುಂದೆ ನೋಡುವಾಗ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅರ್ಥ

ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದುನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ) ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು 127 ಮತ್ತು 5 ರ ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?

ಪರಿಹಾರ.

ಮೊದಲ ಅಂಶ 107 ಅನ್ನು ಬಿಟ್ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ 100+20+7 ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಇದರ ನಂತರ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೀಡಿದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ 127 ಮತ್ತು 5 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವು 635 ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

127·5=635.

ಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ಕಾಲಮ್ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ 712 ಅನ್ನು ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ 92 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:

712·92=65,504.

ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮ

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಕಾರದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ −5 ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ 3 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ (−5)·3=(-5)+(-5)+(-5)=-15. ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿಯಲು, ಸಮಾನತೆ (−5)·3=3·(−5) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು. ಅಂದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನ 3·(−5) ಸಹ −15 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. −15 ಮೂಲ ಅಂಶಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ, ಅಂದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮೂಲ ಅಂಶಗಳ ಮಾಡುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. .

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕಿತು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮ: ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು.

ಹೇಳಲಾದ ನಿಯಮದಿಂದ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂಶಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ನಾವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ 7 ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -14 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಗುಣಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 7 ಮತ್ತು 14. ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: 7·14=98. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ: −98. ಆದ್ದರಿಂದ, 7·(−14)=-98.

ಉತ್ತರ:

7·(-14)=−98 .

ಉದಾಹರಣೆ.

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (-36)·29.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅಂಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 36 · 29 = 1,044 (ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ). ಈಗ ನಾವು 1044 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ನಾವು −1044 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

(−36)·29=−1,044 .

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸಲು, a·(−b)=-(a·b) , ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು −b ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಹೇಳಲಾದ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, a·(−b) ಮತ್ತು a·b ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, a·(−b)+a·b ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಗುಣದಿಂದಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ a·(-b)+a·b=a·((-b)+b) ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಮೊತ್ತ (−b)+b ಎಂಬುದು ವಿರುದ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ a·((-b)+b)=a·0. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಗುಣದಿಂದ ಕೊನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, a·(-b)+a·b=0, ಆದ್ದರಿಂದ, a·(−b) ಮತ್ತು a·b ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇದು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ a·(−b)=-(a·b) . ಹಾಗೆಯೇ, ನಾವು (-a) b=-(a b) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಸಮಾನತೆ (−a)·(−b)=a·b, ನಾವು ಈಗ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು a·(-b)=-(a·b) ಮತ್ತು (-a)·b=-(a·b) ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು (−a)·(-b)=-(a·(-b))=-(-(a·b)). ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ -(-(a·b)) ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದಾಗಿ a·b ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, (-a)·(-b)=a·b.

ಸಾಬೀತಾದ ಸಮಾನತೆ (−a)·(-b)=a·b ನಮಗೆ ರೂಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮ: ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾದ ನಿಯಮದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಈ ನಿಯಮದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (−34)·(−2) .

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು −34 ಮತ್ತು -2 ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಗುಣಕಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು . 34 ಮತ್ತು 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ, ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (−34)·(−2)=34·2=68 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉತ್ತರ:

(-34)·(-2)=68 .

ಉದಾಹರಣೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -1041 ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -538 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಂಶಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1,041 ಮತ್ತು 538. ಕಾಲಮ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಉತ್ತರ:

(−1,041)·(−538)=560,058 .

ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ a ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ a·1=a . ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಣದಿಂದಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ a·1=1·a ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, 1·a=a.

ಮೇಲಿನ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವು ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 56·1=56, 1·0=0 ಮತ್ತು 1·(−601)=−601. ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು -53 ಮತ್ತು 1 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವು −53, ಮತ್ತು ಒಂದು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -989,981 -989,981.

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ a·0=0 ಎಂದು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಣವು 0·a=0 ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಅದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 0·0=0.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ 803 ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -51 ರಿಂದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಹ (-90 733)·0=0 .

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ; ಇದು ಇತರ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಇತರ ಪದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲೋ ತಪ್ಪು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು −5 ಮತ್ತು 21 ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆ −115 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ.

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಉತ್ಪನ್ನ -115 ಅನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, −5., ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. (−17)·(-67)=1 139 .

ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಉಳಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಇರಿಸುವ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಂಶಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಐದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ 5, -12, 1, -2 ಮತ್ತು 15 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)· (−2 )·15= 120·15=1,800. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ: (((5·(−12))·1)·(-2))·15.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಐದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ 1·5·(−12)·(−2)·15 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ರೀತಿಯ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ ((1·5)·(−12))·((-2)·15). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತವೆ: ((1·5)·(−12))·((-2)·15)=(5·(-12))·((-2)·15)= (-60)·(−30)=1 800 .

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಆದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿದ್ದರೆ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಲ್ಕು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ 5, -90321, 0 ಮತ್ತು 111 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಮೂರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು 0, 0 ಮತ್ತು −1983 ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

"ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ" ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂದರೆ. ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಅದನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

x ವೈ

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾವ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಎ. ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಭಾಗಗಳುಎ, ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು

a/2 + x ಮತ್ತು a/2 - x;

ಸಂಖ್ಯೆ Xಈ ಭಾಗಗಳು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

(a/2 + x) · ( a/2 - x) = a 2/4 - x 2.

ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ X, ಅಂದರೆ ಈ ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇರುತ್ತದೆ x = 0, ಅಂದರೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ a/2.

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವಾಗ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

x y z

ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾವ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿ ಎಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಭಾವಿಸೋಣ a/3.ಆಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗ, ದೊಡ್ಡದು ಇರುತ್ತದೆ a/3(ಮೂರೂ ಕಡಿಮೆ ಇರುವಂತಿಲ್ಲ a/3); ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ

a/3+x.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಒಂದು ಭಾಗ ಇರುತ್ತದೆ a/3; ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ

a/3 - y.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೂರನೇ ಭಾಗವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

a/3 + y - x.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a/3ಮತ್ತು a/3 + x - yಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಂತೆ ಒಂದೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ ಎ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಅಂದರೆ. x - y, ಮೊದಲ ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿತ್ತು x + y. ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

a/3 · ( a/3 + x - y)

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದು ಎ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ

a/3ಮತ್ತು a/3 + x - y,

ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಒಂದು ಭಾಗವು ಈಗಾಗಲೇ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a/3. ನಂತರ ಇತರ ಎರಡು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ

a/3+zಮತ್ತು a/3 - z.

ನಾವು ಈ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ a/3 (ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರ ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

a/3 a/3 a/3 = a 3/27 .

ಆದ್ದರಿಂದ,

a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರದ 3 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಈ ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 3/27 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. a ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂರು ಸಮಾನ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕಿಂತ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ಐದು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

x p · y q

ಈಗ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ x + y = a ಆಗಿದ್ದರೆ x p y q ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿದೆ?

x ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು

x p ·(a - x) q

ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ 1/р ಪು ಕ್ಯೂ ಕ್ಯೂ. ನಾವು ಹೊಸ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x p / p p · (a-x ) q / q q,

ಇದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ

(a-x) /q (a-x) /q · ... · (a-x) /q ,

ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ವಿಧದ ಅಂಶಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಪಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಾರಿ - qಒಮ್ಮೆ.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

x / p + x / p + ... + x / p + (a-x) /q+ (a-x) /q + ... + (a-x) /q =

= px / p + q (a-x) / q = x + a - x = a ,

ಆ. ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ.

ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ

x/p · x/p · ... · x/p · (a-x) /q (a-x) /q · ... · (a-x) /q

ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾದಾಗ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವಾಗ

x/p= (a-x) /q.

ಅದು ಗೊತ್ತಿದ್ದರೂ a - x = y, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x / y = p / q.

ಆದ್ದರಿಂದ,

x p y q ಉತ್ಪನ್ನವು, ಮೊತ್ತ x + y ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ, ಯಾವಾಗ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ

x: y = p: q.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು

ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ

x p y q z r , x p y q z r t u ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ x + y + z, x + y + z + t ಇತ್ಯಾದಿ ಯಾವಾಗ ಅವರ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ

x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5*3 ಎಂಬ ಸಂಕೇತವು "5 ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ 3 ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ" ಎಂದರ್ಥ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಕೇವಲ 5+5+5 ಗಾಗಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಲಸ, ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣಕಗಳುಅಥವಾ ಅಂಶಗಳು. ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳೂ ಇವೆ.

ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿ

ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಕ್ಷತ್ರ ಚಿಹ್ನೆ *, ಅಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೋಸ್ಟ್‌ಗಳು

ಅದೇ ಅರ್ಥ. ಗೊಂದಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡದ ಹೊರತು ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯುವ ಬದಲು .

ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಹ ನೋಡಿ

ವಿಕಿಮೀಡಿಯಾ ಫೌಂಡೇಶನ್. 2010.

ಇತರ ನಿಘಂಟುಗಳಲ್ಲಿ "ಉತ್ಪನ್ನ (ಗಣಿತ)" ಏನೆಂದು ನೋಡಿ:

- (ಗಣಿತ) ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶ. ಕಲೆಯ ತುಣುಕು. ಸಂಗೀತ ಸಂಯೋಜನೆ. ಆಡಿಯೋವಿಶುವಲ್ ಕೆಲಸ. ಸೇವಾ ಕಾರ್ಯ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಉತ್ಪನ್ನವು ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿದೆ

ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಬ್ಲಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಜರ್ಮನ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತಿಹಾಸ ವಿಷಯದ ಮೂಲಕ ಗಣಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

I. ಗಣಿತದ ವಿಷಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ (ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತ, ಗಣಿತ ಜ್ಞಾನ, ವಿಜ್ಞಾನದಿಂದ), ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೂಪಗಳು. "ಶುದ್ಧ... ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ವಸ್ತುಗಳ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು [ಯಾರು?] ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ತುಂಬಾ ಅಮೂರ್ತ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಪದವು ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನೋಡಿ ವೆಕ್ಟರ್ ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಈ ಪದವು ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ. "ಪ್ರದರ್ಶನ" ವಿನಂತಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಮರುನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇತರೆ ಅರ್ಥಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಈ ಪದವು ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಒಂದು ಸೆಟ್ (ವಾದಗಳು) ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಮೌಲ್ಯ) ನಿಯೋಜಿಸುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ. "ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಈ ಪದವು ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ರೋಟರ್ ನೋಡಿ. ರೋಟರ್, ಅಥವಾ ಸುಳಿಯ, ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ (ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ (ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಪುಸ್ತಕಗಳು

ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಸೆಟ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. 4 ನೇ ತರಗತಿ. 8 ಕೋಷ್ಟಕಗಳು + ವಿಧಾನ, . 8 ಹಾಳೆಗಳ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಆಲ್ಬಮ್ (ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ 68 x 98 ಸೆಂ): - ಷೇರುಗಳು. - ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ. - ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ. - ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ. - ಬರೆದ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ...
ಕಿರಿಕ್ ನವ್ಗೊರೊಡೆಟ್ಸ್ - ರಷ್ಯಾದ ಪುಸ್ತಕ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ 12 ನೇ ಶತಮಾನದ ರಷ್ಯಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಸಿಮೊನೊವ್ ಆರ್.ಎ. ಈ ಪುಸ್ತಕವು ರಷ್ಯಾದ ಮೊದಲ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ತಜ್ಞರಾದ ನವ್ಗೊರೊಡ್ ಸನ್ಯಾಸಿ ಕಿರಿಕ್ (1110 - 1156 ರ ನಂತರ) ಅವರ ಜೀವನ ಮತ್ತು ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಮರ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. 1136 ರಲ್ಲಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗ್ರಂಥವನ್ನು ಬರೆದರು, ...