ស្វែងយល់ថាតើវ៉ិចទ័រអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរឬអត់។ វ៉ិចទ័រឯករាជ្យនិងលីនេអ៊ែរអាស្រ័យ

វ៉ិចទ័រ លក្ខណៈសម្បត្តិ និងសកម្មភាពជាមួយពួកគេ។

វ៉ិចទ័រ, សកម្មភាពជាមួយវ៉ិចទ័រ, ចន្លោះវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ។

វ៉ិចទ័រគឺជាការប្រមូលតាមលំដាប់នៃចំនួនកំណត់នៃចំនួនពិត។

សកម្មភាព៖ 1.ការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ៖ lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ (ជារបស់វ៉ិចទ័រដូចគ្នា) វ៉ិចទ័រ x + វ៉ិចទ័រ y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. វ៉ិចទ័រ 0=(0,0…0)---n E n – n-dimensional (linear space) វ៉ិចទ័រ x + វ៉ិចទ័រ 0 = វ៉ិចទ័រ x

ទ្រឹស្តីបទ។ ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ n ដែលជាលំហលីនេអ៊ែរ n-dimensional ពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

ទ្រឹស្តីបទ។ សំណុំណាមួយនៃ n+ វ៉ិចទ័រទី 1 នៃលំហលំហលំហ n-dimensional នៃបាតុភូត។ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ។ ការដកវ៉ិចទ័រ។

ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺជាវ៉ិចទ័រដែលដឹកនាំពីដើមវ៉ិចទ័រទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ផ្តល់ថាការចាប់ផ្តើមស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ដោយការពង្រីករបស់វានៅក្នុងវ៉ិចទ័រឯកតាមូលដ្ឋាន បន្ទាប់មកនៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រ កូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់វាត្រូវបានបន្ថែម។

ចូរយើងពិចារណាវាដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។ អនុញ្ញាតឱ្យ

ចូរបង្ហាញវា។

ពីរូបភាពទី 3 វាច្បាស់ណាស់។

ផលបូកនៃចំនួនវ៉ិចទ័រកំណត់ណាមួយអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើច្បាប់ពហុកោណ (រូបភាពទី 4)៖ ដើម្បីបង្កើតផលបូកនៃចំនួនវ៉ិចទ័រកំណត់ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីផ្សំការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័របន្តបន្ទាប់នីមួយៗជាមួយចុងបញ្ចប់នៃមុន និងបង្កើតវ៉ិចទ័រដែលភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទីមួយជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់នៃចុងក្រោយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ៖

នៅក្នុងកន្សោមទាំងនេះ m, n គឺជាលេខ។

ភាពខុសគ្នារវាងវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រ ពាក្យទីពីរគឺជាវ៉ិចទ័រទល់មុខវ៉ិចទ័រក្នុងទិសដៅ ប៉ុន្តែស្មើនឹងវានៅក្នុងប្រវែង។

ដូច្នេះប្រតិបត្តិការដកវ៉ិចទ័រត្រូវបានជំនួសដោយប្រតិបត្តិការបន្ថែម

វ៉ិចទ័រដែលការចាប់ផ្តើមគឺនៅដើម និងបញ្ចប់នៅចំណុច A (x1, y1, z1) ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច A ហើយត្រូវបានតំណាងយ៉ាងសាមញ្ញ។ ដោយសារកូអរដោនេរបស់វាស្របគ្នានឹងកូអរដោនេនៃចំណុច A ការពង្រីករបស់វានៅក្នុងវ៉ិចទ័រឯកតាមានទម្រង់

វ៉ិចទ័រដែលចាប់ផ្តើមនៅចំណុច A(x1, y1, z1) និងបញ្ចប់នៅចំនុច B(x2, y2, z2) អាចត្រូវបានសរសេរជា

ដែល r 2 ជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច B; r 1 - វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច A ។

ដូច្នេះការពង្រីកវ៉ិចទ័រក្នុងវ៉ិចទ័រឯកតាមានទម្រង់

ប្រវែងរបស់វាគឺស្មើនឹងចម្ងាយរវាងចំណុច A និង B

ច្រើន

ដូច្នេះនៅក្នុងករណីនៃបញ្ហាយន្តហោះ ផលគុណនៃវ៉ិចទ័រដោយ a = (ax; ay) ដោយលេខ b ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

a b = (ax b; ay b)

ឧទាហរណ៍ 1. រកផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ a = (1; 2) ដោយ 3 ។

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

ដូច្នេះនៅក្នុងករណីនៃបញ្ហាលំហ ផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ a = (ax; ay; az) ដោយលេខ b ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

a b = (ax b; ay b; az b)

ឧទាហរណ៍ 1. រកផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ a = (1; 2; −5) ដោយ 2 ។

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ និង តើមុំរវាងវ៉ិចទ័រនិង ; បើអញ្ចឹង

ពីនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានវាធ្វើតាមនោះ។

ជាឧទាហរណ៍ ដែលជាទំហំនៃការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ។

Scalar វ៉ិចទ័រការ៉េ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលចំណុច៖

ចំណុចផលិតផលនៅក្នុងកូអរដោនេ

ប្រសិនបើ នោះ។

មុំរវាងវ៉ិចទ័រ

មុំរវាងវ៉ិចទ័រ - មុំរវាងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ (មុំតូចបំផុត) ។

ផលិតផលឆ្លងកាត់ (ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរ។ ) -នេះគឺជា pseudovector កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានសាងសង់ពីកត្តាពីរ ដែលជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការប្រព័ន្ធគោលពីរ "ការគុណវ៉ិចទ័រ" លើវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលំហអឺគ្លីឌាបីវិមាត្រ។ ផលិតផល​មិន​មាន​ទំនាក់ទំនង ឬ​ទំនាក់ទំនង​ទេ (វា​ជា​ការ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ចម្លង) ហើយ​ខុស​ពី​ផលិតផល​ចំនុច​នៃ​វ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុងបញ្ហាវិស្វកម្ម និងរូបវិទ្យាជាច្រើន អ្នកត្រូវមានលទ្ធភាពបង្កើតវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងពីរដែលមានស្រាប់ - ផលិតផលវ៉ិចទ័រផ្តល់ឱកាសនេះ។ ផលិតផលឈើឆ្កាងមានប្រយោជន៍សម្រាប់ "វាស់" កាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ - ប្រវែងនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងរបស់វា ប្រសិនបើពួកវាកាត់កែង ហើយថយចុះដល់សូន្យ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រស្របគ្នា ឬប្រឆាំងប៉ារ៉ាឡែល។

ផលិតផលឈើឆ្កាងត្រូវបានកំណត់តែក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ និងប្រាំពីរវិមាត្រប៉ុណ្ណោះ។ លទ្ធផល​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ ដូចជា​ផលិតផល​មាត្រដ្ឋាន អាស្រ័យ​លើ​ម៉ែត្រ​នៃ​លំហ Euclidean។

មិនដូចរូបមន្តសម្រាប់គណនាវ៉ិចទ័រផលិតផលពីកូអរដោណេក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកែងទេ រូបមន្តសម្រាប់ផលិតផលឈើឆ្កាងអាស្រ័យលើការតំរង់ទិសនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត "ភាពរីករាយ" របស់វា។

ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ។

វ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ (មិនស្មើ 0) ត្រូវបានគេហៅថា collinear ប្រសិនបើពួកវាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល ឬនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា។ សទិសន័យដែលអាចទទួលយកបាន ប៉ុន្តែមិនត្រូវបានណែនាំទេ គឺជាវ៉ិចទ័រ "ប៉ារ៉ាឡែល" ។ វ៉ិចទ័រ Collinear អាចត្រូវបានដឹកនាំដូចគ្នា ("codirectional") ឬដឹកនាំផ្ទុយ (ក្នុងករណីចុងក្រោយពួកគេត្រូវបានគេហៅថា "anticollinear" ឬ "antiparallel") ។

ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ ( ក, ខ, គ)- ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ a និងផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ b និង c៖

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

ជួនកាលវាត្រូវបានគេហៅថាផលិតផលចំនុចបីនៃវ៉ិចទ័រ ជាក់ស្តែងដោយសារតែលទ្ធផលគឺជាមាត្រដ្ឋាន (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតគឺ pseudoscalar) ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រ៖ ម៉ូឌុលនៃផលិតផលចម្រុះគឺស្មើនឹងបរិមាណនៃប៉ារ៉ាឡែលភីបដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ (a,b,c) .

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ផលិតផលចម្រុះគឺ skew-symmetric ទាក់ទងទៅនឹងអាគុយម៉ង់ទាំងអស់របស់វា: i.e. e. ការរៀបចំឡើងវិញនូវកត្តាពីរដែលផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃផលិតផល។ វាធ្វើតាមថាផលិតផលចម្រុះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ត្រឹមត្រូវ (ក្នុងមូលដ្ឋានអ័រថូណន) គឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលផ្សំឡើងដោយវ៉ិចទ័រ និង៖

ផលិតផលចម្រុះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ខាងឆ្វេង (ក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal) គឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលផ្សំឡើងដោយវ៉ិចទ័រ ហើយយកដោយសញ្ញាដក៖

ជាពិសេស

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រពីរណាមួយស្របគ្នា នោះជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រទីបីណាមួយ ពួកវាបង្កើតបានជាផលិតផលចម្រុះស្មើនឹងសូន្យ។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របីគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ (នោះគឺ coplanar ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ) នោះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងសូន្យ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រ - ផលិតផលចម្រុះគឺស្មើគ្នានៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតទៅនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped (សូមមើលរូប) ដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រនិង; សញ្ញាគឺអាស្រ័យលើថាតើវ៉ិចទ័របីដងនេះគឺជាដៃស្តាំ ឬដៃឆ្វេង។

Coplanarity នៃវ៉ិចទ័រ។

វ៉ិចទ័របី (ឬលេខធំជាង) ត្រូវបានគេហៅថា coplanar ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភពដើមធម្មតា ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរួមផ្សំគ្នា។

ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងបីគឺសូន្យ នោះវ៉ិចទ័រទាំងបីក៏ត្រូវបានចាត់ទុកថាជា coplanar ផងដែរ។

វ៉ិចទ័របីដងដែលមានវ៉ិចទ័រជាគូគឺ coplanar ។

ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ coplanar ។ នេះគឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការរួមផ្សំនៃវ៉ិចទ័របី។

វ៉ិចទ័រ Coplanar គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ នេះ​ក៏​ជា​លក្ខណៈ​វិនិច្ឆ័យ​សម្រាប់​ការ​សហការ។

នៅក្នុងលំហ 3 វិមាត្រ វ៉ិចទ័រ 3 មិនមែន coplanar បង្កើតជាមូលដ្ឋាន

វ៉ិចទ័រឯករាជ្យនិងលីនេអ៊ែរអាស្រ័យ។

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រឯករាជ្យ និងពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។និយមន័យ. ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មានការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរដែលមិនសំខាន់មួយនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ។ បើមិនដូច្នោះទេ i.e. ប្រសិនបើមានតែការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរមិនសំខាន់នៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទទេនោះ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ.

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ). ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលំហលីនេអ៊ែរមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

1) ប្រសិនបើក្នុងចំនោមវ៉ិចទ័រមានវ៉ិចទ័រសូន្យយ៉ាងហោចណាស់មួយ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

តាមពិត ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ នោះ សន្មត់ថា យើងមានបន្សំលីនេអ៊ែរមិនសំខាន់។▲

2) ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយចំនួនបង្កើតបានជាប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។

ពិតហើយ សូមឲ្យវ៉ិចទ័រ , , អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​មាន​ការ​ផ្សំ​លីនេអ៊ែរ​ដែល​មិន​សំខាន់​ស្មើ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​សូន្យ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកសន្មត់ យើងក៏ទទួលបានបន្សំលីនេអ៊ែរដែលមិនសំខាន់ស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។

2. មូលដ្ឋាននិងវិមាត្រ។ និយមន័យ. ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចន្លោះវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៃលំហនេះ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រណាមួយពីអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះ i.e. សម្រាប់វ៉ិចទ័រនីមួយៗមានលេខពិត សមភាពនេះហៅថាសមភាព ការបំបែកវ៉ិចទ័រយោងទៅតាមមូលដ្ឋាននិងលេខ ត្រូវបានហៅ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន(ឬ នៅក្នុងមូលដ្ឋាន) .

ទ្រឹស្តីបទ (ផ្អែកលើភាពពិសេសនៃការពង្រីកដោយគោរពតាមមូលដ្ឋាន). វ៉ិចទ័រនីមួយៗនៅក្នុងលំហអាចពង្រីកទៅជាមូលដ្ឋានមួយ។ នៅក្នុងវិធីតែមួយគត់, i.e. កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនីមួយៗក្នុងមូលដ្ឋាន ត្រូវបានកំណត់ដោយមិនច្បាស់លាស់។

ណែនាំដោយពួកយើង ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតកន្សោមផ្សេងៗសម្រាប់ បរិមាណវ៉ិចទ័រហើយបំប្លែងពួកវាដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិដែលបានកំណត់សម្រាប់ប្រតិបត្តិការទាំងនេះ។

ដោយផ្អែកលើសំណុំវ៉ិចទ័រ a 1, ..., a n អ្នកអាចបង្កើតកន្សោមនៃទម្រង់

ដែល 1, ..., និង n គឺជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។ កន្សោមនេះត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ a 1, ... , a n ។ លេខ α i, i = 1, n, តំណាង មេគុណបន្សំលីនេអ៊ែរ. សំណុំនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ.

នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតដែលបានណែនាំនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័របញ្ហាកើតឡើងនៃការពិពណ៌នាអំពីសំណុំនៃវ៉ិចទ័រដែលអាចត្រូវបានសរសេរជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃវ៉ិចទ័រ a 1, ... , a n ។ លើសពីនេះទៀតមានសំណួរធម្មជាតិអំពីលក្ខខណ្ឌដែលមានតំណាងនៃវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់នៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនិងអំពីភាពប្លែកនៃតំណាងបែបនេះ។

និយមន័យ 2.1 ។វ៉ិចទ័រ a 1, ..., និង n ត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ, ប្រសិនបើមានសំណុំនៃមេគុណ α 1 , ... , α n បែបនោះ។

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

ហើយយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយក្នុងចំណោមមេគុណទាំងនេះគឺមិនមែនសូន្យ។ ប្រសិនបើសំណុំមេគុណដែលបានបញ្ជាក់មិនមានទេនោះវ៉ិចទ័រត្រូវបានហៅ ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ.

ប្រសិនបើ α 1 = ... = α n = 0 នោះ ជាក់ស្តែង α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. ដោយក្នុងចិត្ត យើងអាចនិយាយបានថាៈ វ៉ិចទ័រ a 1, ... , និង n គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវាធ្វើតាមសមភាព (2.2) ដែលមេគុណទាំងអស់ α 1 , ... , α n គឺស្មើសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមពន្យល់ពីមូលហេតុដែលគំនិតថ្មីត្រូវបានគេហៅថាពាក្យ "ការពឹងផ្អែក" (ឬ "ឯករាជ្យ") និងផ្តល់នូវលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសាមញ្ញសម្រាប់ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.១.ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រ a 1, ..., និង n, n > 1 អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលមួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

◄ ភាពចាំបាច់។ ចូរយើងសន្មត់ថាវ៉ិចទ័រ a 1, ..., និង n គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ យោងតាមនិយមន័យ 2.1 នៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ក្នុងសមភាព (2.2) នៅខាងឆ្វេងមានមេគុណមិនសូន្យយ៉ាងហោចណាស់មួយ ឧទាហរណ៍ α 1 ។ ការចាកចេញពីពាក្យទីមួយនៅខាងឆ្វេងនៃសមភាពយើងផ្លាស់ទីនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់ពួកគេដូចធម្មតា។ បែងចែកសមភាពលទ្ធផលដោយ α 1 យើងទទួលបាន

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

ទាំងនោះ។ តំណាងវ៉ិចទ័រ a 1 ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់ a 2, ..., a n ។

ភាពគ្រប់គ្រាន់។ ជាឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រទីមួយ a 1 អាចត្រូវបានតំណាងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់៖ a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n ។ ការផ្ទេរលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ពីផ្នែកខាងស្តាំទៅខាងឆ្វេងយើងទទួលបាន 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ a 1, ... , a n ដែលមានមេគុណ α 1 = 1, α 2 = - β 2, ... , α n = - β n ស្មើនឹង សូន្យវ៉ិចទ័រ។នៅក្នុងបន្សំលីនេអ៊ែរនេះ មិនមែនមេគុណទាំងអស់គឺសូន្យទេ។ យោងតាមនិយមន័យ 2.1 វ៉ិចទ័រ a 1, ..., និង n គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

និយមន័យ និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីបញ្ជាក់វត្តមាននៃវ៉ិចទ័រពីរឬច្រើន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងក៏អាចនិយាយអំពីការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមួយ។ ដើម្បីដឹងពីលទ្ធភាពនេះ ជំនួសឱ្យ "វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ" អ្នកត្រូវនិយាយថា "ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ"។ វាងាយមើលឃើញថាកន្សោម "ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រមួយគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ" មានន័យថាវ៉ិចទ័រតែមួយនេះគឺសូន្យ (នៅក្នុងបន្សំលីនេអ៊ែរមានមេគុណតែមួយ ហើយវាមិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ)។

គំនិតនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរមានការបកស្រាយធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ទាំង​បី​ខាង​ក្រោម​បញ្ជាក់​ពី​ការ​បក​ស្រាយ​នេះ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.២.វ៉ិចទ័រពីរគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពួកវា collinear ។

◄ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a និង b អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះមួយក្នុងចំណោមពួកវា ឧទាហរណ៍ a ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈមួយទៀត ពោលគឺឧ។ a = λb សម្រាប់ចំនួនពិត λ ។ យោងតាមនិយមន័យ 1.7 ធ្វើការវ៉ិចទ័រក្នុងមួយលេខ វ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាប់គ្នា។

ឥឡូវសូមឱ្យវ៉ិចទ័រ a និង b ជាប់គ្នា។ ប្រសិនបើពួកវាទាំងពីរគឺសូន្យ នោះវាច្បាស់ណាស់ថាពួកវាពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរណាមួយនៃពួកវាគឺស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ។ សូមឲ្យវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងនេះមិនស្មើនឹង 0 ឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រ ខ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ដោយ λ សមាមាត្រនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ: λ = |a|/|b| ។ វ៉ិចទ័រ Collinear អាចជា ទិសដៅតែមួយឬ ដឹកនាំផ្ទុយ. ក្នុងករណីចុងក្រោយយើងប្តូរសញ្ញា λ ។ បន្ទាប់មកពិនិត្យមើលនិយមន័យ 1.7 យើងជឿជាក់ថា a = λb ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ 2.1 វ៉ិចទ័រ a និង b គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ចំណាំ 2.1 ។ក្នុងករណីនៃវ៉ិចទ័រពីរដោយគិតគូរពីលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ទ្រឹស្តីបទដែលបង្ហាញឱ្យឃើញអាចត្រូវបានកែទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ វ៉ិចទ័រពីរគឺជាប់គ្នាប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែមួយក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវបានតំណាងជាផលគុណនៃមួយទៀតដោយលេខ។ នេះគឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យងាយស្រួលសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.៣.វ៉ិចទ័របីគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើនិងបានតែប្រសិនបើពួកវា coplanar.

◄ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របី a, b, c គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ 2.1 មួយក្នុងចំណោមពួកគេ ឧទាហរណ៍ a គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃលីនេអ៊ែរផ្សេងទៀត៖ a = βb + γс ។ ចូរយើងបញ្ចូលគ្នានូវប្រភពដើមនៃវ៉ិចទ័រ b និង c នៅចំណុច A. បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ βb, γс នឹងមានប្រភពដើមទូទៅនៅចំណុច A និងតាមបណ្តោយ យោងតាមក្បួនប្រលេឡូក្រាម ផលបូករបស់ពួកគេគឺទាំងនោះ។ វ៉ិចទ័រ a នឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រភពដើម A និង ចុងបញ្ចប់ដែលជា vertex នៃ parallelogram ដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រសមាសភាគ។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ​ទាំងអស់​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​ប្លង់​តែមួយ ពោល​គឺ coplanar ។

សូមឱ្យវ៉ិចទ័រ a, b, c ជា coplanar ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺសូន្យ នោះវាច្បាស់ណាស់ថាវានឹងក្លាយជាការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយកមេគុណទាំងអស់នៃបន្សំលីនេអ៊ែរស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះយើងអាចសន្មត់ថាវ៉ិចទ័រទាំងបីមិនមែនជាសូន្យទេ។ ឆបគ្នា។ បានចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះនៅចំណុចធម្មតា O. សូមឱ្យចុងរបស់ពួកគេជាចំណុច A, B, C រៀងគ្នា (រូបភាព 2.1) ។ តាមរយៈចំណុច C យើងគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់គូនៃចំណុច O, A និង O, B ។ ការកំណត់ចំនុចប្រសព្វជា A" និង B" យើងទទួលបានប្រលេឡូក្រាម OA"CB" ដូច្នេះ OC" = OA" + OB"។ វ៉ិចទ័រ OA" និងវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ a = OA គឺជាប់គ្នា ដូច្នេះហើយ ទីមួយនៃពួកវាអាចទទួលបានដោយការគុណទីពីរដោយចំនួនពិត α:OA" = αOA។ ដូចគ្នានេះដែរ OB" = βOB, β ∈ R. ជាលទ្ធផល យើងទទួលបាន OC នោះ" = α OA. + βOB ពោលគឺ វ៉ិចទ័រ c គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ a និង b ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ 2.1 វ៉ិចទ័រ a, b, c គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.៤.វ៉ិចទ័រទាំងបួនគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

◄ យើងអនុវត្តភ័ស្តុតាងតាមគ្រោងការណ៍ដូចគ្នានឹងទ្រឹស្តីបទ ២.៣។ ពិចារណាវ៉ិចទ័រចំនួនបួនតាមអំពើចិត្ត a, b, c និង d ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងបួនគឺសូន្យ ឬក្នុងចំនោមពួកគេមានវ៉ិចទ័ររួមពីរ ឬវ៉ិចទ័របីក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងបួនគឺ coplanar នោះវ៉ិចទ័រទាំងបួននេះគឺអាស្រ័យដោយលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a និង b ជាគូលីនេអ៊ែរ នោះយើងអាចបង្កើតបន្សំលីនេអ៊ែរ αa + βb = 0 ជាមួយនឹងមេគុណមិនសូន្យ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរដែលនៅសល់ទៅបន្សំនេះ ដោយយកលេខសូន្យជាមេគុណ។ យើងទទួលបានការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រចំនួនបួនស្មើនឹង 0 ដែលក្នុងនោះមានមេគុណមិនសូន្យ។

ដូច្នេះ យើងអាចសន្មត់ថាក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងបួនដែលបានជ្រើសរើស គ្មានវ៉ិចទ័រណាមួយជាសូន្យ គ្មានពីរគឺជាប់គ្នា ហើយគ្មានបីគឺ coplanar ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសចំណុច O ជាការចាប់ផ្តើមធម្មតារបស់ពួកគេ បន្ទាប់មកចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ a, b, c, d នឹងក្លាយជាចំណុចមួយចំនួន A, B, C, D (រូបភាព 2.2) ។ តាមរយៈចំណុច D យើងគូរប្លង់បីស្របគ្នានឹងយន្តហោះ OBC, OCA, OAB និងអនុញ្ញាតឱ្យ A", B", C" ជាចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងនេះជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ OA, OB, OS រៀងគ្នា។ យើងទទួលបានប៉ារ៉ាឡែលភីប OA" C "B" C" B"DA" ហើយវ៉ិចទ័រ a, b, c ស្ថិតនៅលើគែមរបស់វាដែលផុសចេញពីចំនុចកំពូល O. ចាប់តាំងពី OC "DC" បួនជ្រុងជាប្រលេឡូក្រាម បន្ទាប់មក OD = OC" + OC" នៅក្នុងវេន ផ្នែក OC" គឺជាអង្កត់ទ្រូង។ ប្រលេឡូក្រាម OA"C"B", ដូច្នេះ OC" = OA" + OB" និង OD = OA" + OB" + OC" ។

វានៅតែត្រូវកត់សម្គាល់ថាគូនៃវ៉ិចទ័រ OA ≠ 0 និង OA ", OB ≠ 0 និង OB", OC ≠ 0 និង OC" គឺជាប់គ្នាហើយដូច្នេះវាអាចជ្រើសរើសមេគុណ α, β, γ ដូច្នេះ OA" = αOA , OB" = βOB និង OC" = γOC ។ ទីបំផុតយើងទទួលបាន OD = αOA + βOB + γOC ។ អាស្រ័យហេតុនេះ វ៉ិចទ័រ OD ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័របីផ្សេងទៀត ហើយវ៉ិចទ័រទាំងបួននេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ 2.1 គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យ អិលគឺ​ជា​លំហ​លីនេអ៊ែរ​បំពាន, ក ខ្ញុំ Î អិល- ធាតុរបស់វា (វ៉ិចទ័រ) ។

និយមន័យ ៣.៣.១.កន្សោម , កន្លែងណា , - ចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត ហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ វ៉ិចទ័រ a 1 , a 2 , … , ក ន.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ r = បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថា r បំបែកទៅជាវ៉ិចទ័រ a 1 , a 2 , … , ក ន.

និយមន័យ 3.3.2 ។បន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា មិនតូចតាចប្រសិនបើក្នុងចំណោមលេខមានយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនមែនសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា តូចតាច.

និយមន័យ ៣.3.3 . វ៉ិចទ័រ a 1 , a 2 ,… , ក នត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​អាស្រ័យ​លីនេអ៊ែរ ប្រសិន​បើ​មាន​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​ជា​លីនេអ៊ែរ​ដែល​មិន​សំខាន់​នៃ​ពួក​វា​បែប​នោះ។

= 0 .

និយមន័យ ៣.3.4. វ៉ិចទ័រ a 1 ,a 2 ,…, a នត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើសមភាព = 0 អាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីដែលលេខទាំងអស់។ លីត្រ 1, លីត្រ 2,…, លីត្រ នក្នុងពេលដំណាលគ្នាស្មើនឹងសូន្យ។

ចំណាំថាធាតុមិនសូន្យណាមួយ a 1 អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីសមភាព លីត្រ a 1 = 0 អាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ លីត្រ= 0.

ទ្រឹស្តីបទ ៣.៣.១.លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ a 1 , a 2 ,… , ក នគឺជាលទ្ធភាពនៃការ decomposing យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃធាតុទាំងនេះចូលទៅក្នុងនៅសល់។

ភស្តុតាង។ ភាពចាំបាច់។ អនុញ្ញាតឱ្យធាតុ a 1, a 2,…, a នអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ នេះមានន័យថា = 0 និងយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមលេខ លីត្រ 1, លីត្រ 2,…, លីត្រ នខុសពីសូន្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រាកដ លីត្រ 1 ¹ 0. បន្ទាប់មក

ឧ. ធាតុ a 1 ត្រូវបានបំបែកទៅជាធាតុ a 2, a 3, …, a ន.

ភាពគ្រប់គ្រាន់។ អនុញ្ញាតឱ្យធាតុ a 1 ត្រូវបានបំបែកទៅជាធាតុ a 2 , a 3 , …, a នឧ. a 1 = . បន្ទាប់មក = 0 ដូច្នេះ មានការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរមិនសំខាន់នៃវ៉ិចទ័រ a 1 , a 2 ,… , a ន, ស្មើ 0 ដូច្នេះពួកគេពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ .

ទ្រឹស្តីបទ ៣.៣.២. ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយ a 1 , a 2 ,… , a នសូន្យ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ភស្តុតាង . អនុញ្ញាតឱ្យ ក ន= 0 បន្ទាប់មក = 0 ដែលមានន័យថាការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃធាតុទាំងនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.៣.៣. ប្រសិនបើក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រ n ណាមួយ p (ទំ< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

ភស្តុតាង។ ចូរឱ្យនិយមន័យ ធាតុ a 1 , a 2 ,… , a ទំអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ នេះមានន័យថា មានការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរដែលមិនសំខាន់ = 0 . សមភាពដែលបានបញ្ជាក់នឹងត្រូវបានរក្សាទុក ប្រសិនបើយើងបន្ថែមធាតុទៅផ្នែកទាំងពីររបស់វា។ បន្ទាប់មក + = 0 និងយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមលេខ លីត្រ 1, លីត្រ 2,…, lpខុសពីសូន្យ។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ a 1 , a 2 ,… , a នគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

កូរ៉ូឡារី ៣.៣.១.ប្រសិនបើធាតុ n គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះ k ណាមួយនៃពួកវាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (k< n).

ទ្រឹស្តីបទ ៣.៣.៤. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a 1 , a 2 , … , ក n- 1 គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងធាតុ a 1 , a 2 , … , ក n- 1, ក n គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រក n អាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាវ៉ិចទ័រ a 1 , a 2 , … , ក n- 1 .

ភស្តុតាង។ចាប់តាំងពីតាមលក្ខខណ្ឌ 1, ក 2 ,…, ក n- 1, ក ន គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកមានការរួមបញ្ចូលគ្នារវាងពួកវា = 0 និង (បើមិនដូច្នេះទេ វ៉ិចទ័រ a 1 , a 2 ,… , a នឹងប្រែទៅជាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ n-១). ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ

,

Q.E.D.

ក 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ក 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ក 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

ដំណោះស្រាយ។យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ

ក 1 x 1 + ក 2 x 2 + ក 3 x 3 = Θ

វិធីសាស្រ្ត Gauss ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរប្រព័ន្ធដូចគ្នានេះនៅក្នុងកូអរដោនេ៖

ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ

ប្រព័ន្ធអនុញ្ញាតមានទម្រង់៖ (r ក = 2, ន= ៣). ប្រព័ន្ធ​នេះ​មាន​ការ​សហការ និង​មិន​ប្រាកដប្រជា។ ដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វា ( x 2 - អថេរឥតគិតថ្លៃ)៖ x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = ។ វត្តមាននៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលមិនសូន្យ ជាឧទាហរណ៍បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ ក 1 , ក 2 , ក 3 អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ ២.

រកមើលថាតើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរឬឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ:

1. ក 1 = { -20, -15, - 4 }, ក 2 = { –7, -2, -4 }, ក 3 = { 3, –1, –2 }.

ដំណោះស្រាយ។ពិចារណាប្រព័ន្ធសមីការដូចគ្នា។ ក 1 x 1 + ក 2 x 2 + ក 3 x 3 = Θ

ឬក្នុងទម្រង់ពង្រីក (ដោយកូអរដោនេ)

ប្រព័ន្ធគឺដូចគ្នា។ ប្រសិនបើវាមិនខូច នោះវាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ក្នុងករណីប្រព័ន្ធដូចគ្នាមានដំណោះស្រាយសូន្យ (មិនសំខាន់) ។ នេះមានន័យថាក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធខូច នោះវាមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ ហើយដូច្នេះវាអាស្រ័យ។

យើងពិនិត្យមើលប្រព័ន្ធសម្រាប់ degeneracy:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

ប្រព័ន្ធគឺមិន degenerate ហើយដូច្នេះវ៉ិចទ័រ ក 1 , ក 2 , ក 3 ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

កិច្ចការ។រកមើលថាតើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរឬឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ:

1. ក 1 = { -4, 2, 8 }, ក 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ក 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ក 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ក 1 = { -7, 5, 19 }, ក 2 = { -5, 7 , -7 }, ក 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ក 1 = { 1, 2, -2 }, ក 2 = { 0, -1, 4 }, ក 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ក 1 = { 1, 8 , -1 }, ក 2 = { -2, 3, 3 }, ក 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ក 1 = { 1, 2 , 3 }, ក 2 = { 2, -1 , 1 }, ក 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ក 1 = {0, 1, 1 , 0}, ក 2 = {1, 1 , 3, 1}, ក 3 = {1, 3, 5, 1}, ក 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ក 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ក 2 = {2, 3 , 2, 1}, ក 3 = {4, 4, 4, -3}, ក 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. បង្ហាញថាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនឹងអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរប្រសិនបើវាមាន៖

ក) វ៉ិចទ័រស្មើគ្នាពីរ;

ខ) វ៉ិចទ័រសមាមាត្រពីរ។

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានលេខដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយខុសពីសូន្យ នោះសមភាព https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">

ប្រសិនបើសមភាពនេះពេញចិត្តតែក្នុងករណីទាំងអស់ នោះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ.

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនឹង អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ និងប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយរបស់វាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ១.ពហុនាម គឺជាការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃពហុនាម https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">។ ពហុនាមបង្កើតបានជាប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពី ពហុធា https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">។

ឧទាហរណ៍ ២.ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីស, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរស្មើនឹង ម៉ាទ្រីសសូន្យតែនៅក្នុងករណីនៅពេលដែល https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21">លីនេអ៊ែរអាស្រ័យ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរ​ធ្វើ​ការ​ផ្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ទាំងនេះ https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">។

ដោយស្មើកូអរដោនេដូចគ្នានៃវ៉ិចទ័រស្មើគ្នា យើងទទួលបាន https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

ទីបំផុតយើងទទួលបាន

និង

ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់តែមួយគត់ ដូច្នេះការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺស្មើនឹងសូន្យតែក្នុងករណីដែលមេគុណទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ តើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនឹងទៅជាយ៉ាងណា?

ក);

ខ)?

ដំណោះស្រាយ។

ក)ចូរ​ធ្វើ​ការ​ផ្សំ​លីនេអ៊ែរ ហើយ​យក​វា​ទៅ​សូន្យ

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងលំហលីនេអ៊ែរ យើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពចុងក្រោយក្នុងទម្រង់

ដោយសារវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យ មេគុណសម្រាប់ត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ i.e..gif" width="12" height="23 src=">

ប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់តែមួយគត់ .

ចាប់តាំងពីសមភាព (*) ប្រតិបត្តិតែនៅពេលដែល https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ;

ខ)ចូរបង្កើតសមភាព https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

ការអនុវត្តហេតុផលស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបាន

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងទទួលបាន

ឬ

ប្រព័ន្ធចុងក្រោយមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">។ ដូច្នេះហើយ វាមិនមាន សូន្យសំណុំនៃមេគុណដែលរក្សាសមភាព (**) . ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ - អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ 5ប្រព័ន្ធ​វ៉ិចទ័រ​គឺ​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ ហើយ​ប្រព័ន្ធ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​គឺ​អាស្រ័យ​លីនេអ៊ែរ..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

ក្នុងសមភាព (***) . ជាការពិត ប្រព័ន្ធនឹងពឹងផ្អែកតាមលីនេអ៊ែរ។

ពីទំនាក់ទំនង (***) យើងទទួលបាន ឬ ចូរយើងសម្គាល់ .

យើងទទួលបាន

បញ្ហាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (ក្នុងថ្នាក់រៀន)

1. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យគឺពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

2. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រមួយ។ កអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ a=0.

3. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រពីរគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានសមាមាត្រ (ពោលគឺមួយក្នុងចំនោមពួកវាត្រូវបានទទួលពីមួយទៀតដោយគុណនឹងលេខ)។

4. ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមវ៉ិចទ័រទៅប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ អ្នកនឹងទទួលបានប្រព័ន្ធអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

5. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

6. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធ សគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែក្លាយជាលីនេអ៊ែរអាស្រ័យនៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រ ខបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ ខបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈវ៉ិចទ័រប្រព័ន្ធ ស.

គ)ប្រព័ន្ធនៃម៉ាទ្រីស , , នៅក្នុងលំហនៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីពីរ។

10. អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ ក,ខ,គចន្លោះវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ បញ្ជាក់ភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រខាងក្រោម៖

ក)ក+b, ខ, គ។

ខ)ក+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–លេខបំពាន

គ)ក+b, a+c, b+c។

11. អនុញ្ញាតឱ្យ ក,ខ,គ- វ៉ិចទ័របីនៅលើយន្តហោះដែលត្រីកោណអាចត្រូវបានបង្កើតឡើង។ តើវ៉ិចទ័រទាំងនេះពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរទេ?

12. វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). ស្វែងរកវ៉ិចទ័របួនវិមាត្រពីរទៀត។ a3 និងក៤ដូច្នេះប្រព័ន្ធ a1,a2,a3,ក៤គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ .