ភ័ស្តុតាងនៃភាពពហុគុណដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូល

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា, បញ្ជាក់ថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នសមភាពខាងក្រោមមានសុពលភាព៖
ក) ;
ខ) .

ដំណោះស្រាយ។

ក) ពេលណា ន= 1 សមភាពគឺពិត។ សន្មតថាសុពលភាពនៃសមភាពនៅ នយើងនឹងបង្ហាញសុពលភាពរបស់វា ទោះបីនៅពេលណាក៏ដោយ។ ន+ 1. ជាការពិត

Q.E.D.

ខ) ពេលណា ន= 1 សុពលភាពនៃសមភាពគឺជាក់ស្តែង។ ពីការសន្មតនៃសុពលភាពរបស់វានៅ នគួរ

ផ្តល់សមភាព 1 + 2 + ... + ន = ន(ន+ 1)/2 យើងទទួលបាន

1 3 + 2 3 + ... + ន 3 + (ន + 1) 3 = (1 + 2 + ... + ន + (ន + 1)) 2 ,

i.e. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ក៏ពិតនៅពេលដែល ន + 1.

ឧទាហរណ៍ ១.បញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោម

កន្លែងណា នអំពី ន.

ដំណោះស្រាយ។ក) ពេលណា ន= 1 សមភាពនឹងយកទម្រង់ 1=1 ដូច្នេះ ទំ(1) គឺពិត។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាពនេះគឺជាការពិត នោះគឺវាកាន់

. ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យ (បញ្ជាក់) នោះ។ទំ(ន+ ១) នោះគឺ ពិត។ ចាប់តាំងពី (ដោយប្រើសម្មតិកម្មចាប់ផ្តើម)យើងទទួលបាននោះគឺ ទំ(ន+ ១) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។

ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា សមភាពដើមមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ចំណាំ ២.ឧទាហរណ៍នេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយខុសគ្នា។ ជាការពិតណាស់ ផលបូកគឺ 1 + 2 + 3 + ... + នគឺជាផលបូកនៃទីមួយ នលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ ក 1 = 1 និងភាពខុសគ្នា ឃ= 1. ដោយគុណនៃរូបមន្តដ៏ល្បី , យើងទទួលបាន

ខ) ពេលណា ន= 1 សមភាពនឹងយកទម្រង់: 2 1 - 1 = 1 2 ឬ 1 = 1 នោះគឺ ទំ(1) គឺពិត។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាពទទួលបាន

1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) = ន 2 ហើយបញ្ជាក់ថាវាកើតឡើងទំ(ន + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) + (2(ន + 1) - 1) = (ន+ 1) 2 ឬ 1 + 3 + 5 + ... + (2 ន - 1) + (2ន + 1) = (ន + 1) 2 .

ដោយប្រើសម្មតិកម្មការបញ្ចូល យើងទទួលបាន។

1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) + (2ន + 1) = ន 2 + (2ន + 1) = (ន + 1) 2 .

ដូច្នេះ ទំ(ន+ 1) គឺពិត ហើយដូច្នេះ សមភាពដែលត្រូវការត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាំ ៣.ឧទាហរណ៍នេះអាចដោះស្រាយបាន (ស្រដៀងនឹងអត្ថបទមុន) ដោយមិនចាំបាច់ប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើតគណិតវិទ្យា។

គ) ពេលណា ន= 1 សមភាពគឺពិត៖ 1=1 ។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាពគឺជាការពិត

ហើយបង្ហាញវា។ នោះគឺការពិតទំ(ន) បង្កប់ន័យការពិតទំ(ន+ ១). ពិតជានិងចាប់តាំងពី 2 ន 2 + 7 ន + 6 = (2 ន + 3)(ន+ 2) យើងទទួលបាន ដូច្នេះហើយ សមភាពដើមមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ន.

ឃ) ពេលណា ន= 1 សមភាពគឺពិត៖ 1=1 ។ ចូរយើងសន្មតថាវាកើតឡើង

ហើយយើងនឹងបញ្ជាក់

ពិតជា

ង) ការអនុម័ត ទំ(១) ពិត៖ ២=២។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាព

គឺជាការពិត ហើយយើងនឹងបញ្ជាក់ថា វាបង្កប់ន័យសមភាពពិតជា

អាស្រ័យហេតុនេះ សមភាពដើមមានសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

f) ទំ(១) ពិត៖ 1/3 = 1/3 ។ សូមឱ្យមានភាពស្មើគ្នា ទំ(ន):

. ចូរយើងបង្ហាញថាសមភាពចុងក្រោយបង្កប់ន័យដូចខាងក្រោមៈ

ជាការពិតការពិចារណា ទំ(ន) កាន់ យើងទទួលបាន

ដូច្នេះសមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។

g) ពេលណា ន= 1 យើងមាន ក + ខ = ខ + កដូច្នេះសមភាពគឺយុត្តិធម៌។

សូមអោយរូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុនមានសុពលភាពសម្រាប់ ន = kនោះគឺ

បន្ទាប់មក ការប្រើប្រាស់សមភាពយើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ ២.បញ្ជាក់ភាពមិនស្មើគ្នា

ក) វិសមភាព Bernoulli៖ (1 + ក) ន ≥ 1 + ន a , a > -1, នអំពី ន.

ខ) x 1 + x 2 + ... + x ន ≥ ន, ប្រសិនបើ x 1 x 2 · ... · x ន= 1 និង x ខ្ញុំ > 0, .

គ) វិសមភាពរបស់ Cauchy ទាក់ទងនឹងមធ្យមនព្វន្ធ និងមធ្យមធរណីមាត្រ
កន្លែងណា x ខ្ញុំ > 0, , ន ≥ 2.

ឃ) បាប ២ ន a + cos ២ ន a ≤ 1, នអំពី ន.

ង)

f) ២ ន > ន 3 , នអំពី ន, ន ≥ 10.

ដំណោះស្រាយ។ក) ពេលណា ន= 1 យើងទទួលបានវិសមភាពពិត

1 + a ≥ 1 + a ។ ចូរយើងសន្មតថាមានវិសមភាព

(1 + ក) ន ≥ 1 + នក

(1)

ហើយយើងនឹងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាកើតឡើង(1 + ក) ន + 1 ≥ 1 + (ន+ ១) ក.

ជាការពិត ចាប់តាំងពី a > -1 បង្កប់ន័យ a + 1 > 0 បន្ទាប់មកគុណទាំងសងខាងនៃវិសមភាព (1) ដោយ (a + 1) យើងទទួលបាន

(1 + ក) ន(1 + ក) ≥ (1 + ន a)(1+a) ឬ (1+a) ន + 1 ≥ 1 + (ន+ 1) ក + ន a 2 ចាប់តាំងពី ន a 2 ≥ 0 ដូច្នេះ(1 + ក) ន + 1 ≥ 1 + (ន+ 1) ក + ន a 2 ≥ 1 + ( ន+ ១) ក.

ដូច្នេះប្រសិនបើ ទំ(ន) គឺជាការពិត ទំ(ន+ 1) គឺជាការពិត ដូច្នេះយោងទៅតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វិសមភាពរបស់ Bernoulli គឺពិត។

ខ) ពេលណា ន= 1 យើងទទួលបាន x 1 = 1 ហើយដូច្នេះ x 1 ≥ 1 នោះគឺ ទំ(១) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ។ ចូរសន្មតថា ទំ(ន) គឺជាការពិត នោះគឺប្រសិនបើ adica x 1 ,x 2 ,...,x ន - នលេខវិជ្ជមានដែលផលិតផលស្មើនឹងមួយ, x 1 x 2 ·... · x ន= 1, និង x 1 + x 2 + ... + x ន ≥ ន.

ចូរយើងបង្ហាញថាប្រយោគនេះរួមបញ្ចូលការពិតដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើ x 1 ,x 2 ,...,x ន ,x ន+1 - (ន+ 1) លេខវិជ្ជមាន x 1 x 2 ·... · x ន · x ន+1 = 1 បន្ទាប់មក x 1 + x 2 + ... + x ន + x ន + 1 ≥ន + 1.

ពិចារណាករណីពីរខាងក្រោម៖

1) x 1 = x 2 = ... = x ន = x ន+1 = 1. បន្ទាប់មកផលបូកនៃលេខទាំងនេះគឺ ( ន+ 1) ហើយវិសមភាពដែលត្រូវការគឺពេញចិត្ត។

2) យ៉ាងហោចណាស់លេខមួយខុសពីលេខមួយ អនុញ្ញាតឱ្យធំជាងមួយ។ បន្ទាប់មកចាប់តាំងពី x 1 x 2 · ... · x ន · x ន+ 1 = 1 យ៉ាងហោចណាស់មានលេខមួយទៀតខុសពីលេខមួយ (កាន់តែច្បាស់ តិចជាងមួយ)។ អនុញ្ញាតឱ្យ x ន+ 1 > 1 និង x ន < 1. Рассмотрим នលេខវិជ្ជមាន

x 1 ,x 2 ,...,x ន-1 ,(x ន · x ន+1). ផលិតផលនៃលេខទាំងនេះគឺស្មើនឹងមួយ ហើយយោងទៅតាមសម្មតិកម្ម។ x 1 + x 2 + ... + x ន-1 + x ន x ន + 1 ≥ ន. វិសមភាពចុងក្រោយត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ x 1 + x 2 + ... + x ន-1 + x ន x ន+1 + x ន + x ន+1 ≥ ន + x ន + x ន+1 ឬ x 1 + x 2 + ... + x ន-1 + x ន + x ន+1 ≥ ន + x ន + x ន+1 - x ន x ន+1 .

ដោយសារតែ

(1 - x ន)(x ន+1 - 1) > 0 បន្ទាប់មក ន + x ន + x ន+1 - x ន x ន+1 = ន + 1 + x ន+1 (1 - x ន) - 1 + x ន =
= ន + 1 + x ន+1 (1 - x ន) - (1 - x ន) = ន + 1 + (1 - x ន)(x ន+1 - 1) ≥ ន+ 1. ដូច្នេះ x 1 + x 2 + ... + x ន + x ន+1 ≥ ន+1 នោះគឺប្រសិនបើ ទំ(ន) គឺជាការពិតទំ(ន+ 1) យុត្តិធម៌។ វិសមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាំ ៤.សញ្ញាស្មើគ្នាមាន if និង only if x 1 = x 2 = ... = x ន = 1.

គ) អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 ,x 2 ,...,x ន- លេខវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត។ សូមពិចារណាដូចខាងក្រោម នលេខវិជ្ជមាន៖

ដោយសារតែផលិតផលរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងមួយ: យោងតាមវិសមភាពដែលបានបញ្ជាក់ពីមុន ខ) វាធ្វើតាមនោះ។កន្លែងណា

ចំណាំ ៥.សមភាពមានតែប្រសិនបើ x 1 = x 2 = ... = x ន .

ឃ) ទំ(1) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រឹមត្រូវ៖ sin 2 a + cos 2 a = 1. ចូរយើងសន្មត់ថា ទំ(ន) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត៖

បាប ២ ន a + cos ២ ន a ≤ 1 និងបង្ហាញពីអ្វីដែលកើតឡើងទំ(ន+ ១). ពិតជាអំពើបាប 2 ( ន+ 1) a + cos 2( ន+ ១) ក = បាប ២ ន a sin 2 a + cos 2 ន a cos 2 ក< sin 2ន a + cos ២ ន a ≤ 1 (ប្រសិនបើ sin 2 a ≤ 1 បន្ទាប់មក cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1 បន្ទាប់មក sin 2 a < 1). Таким образом, для любого នអំពី នបាប ២ ន a + cos 2 ន ≤ 1 ហើយសញ្ញាសមភាពត្រូវបានសម្រេចបានតែនៅពេលន = 1.

ង) ពេលណា ន= ១ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត៖ ១< 3 / 2 .

ចូរសន្មតថា ហើយយើងនឹងបញ្ជាក់

ដោយសារតែ

ពិចារណា ទំ(ន) យើងទទួលបាន

f) ពិចារណាលើការកត់សម្គាល់ 1 សូមពិនិត្យមើល ទំ(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000 ដូច្នេះ សម្រាប់ ន= 10 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។ ឧបមាថា ២ ន > ន 3 (ន> 10) ហើយបញ្ជាក់ ទំ(ន+ 1) នោះគឺ 2 ន+1 > (ន + 1) 3 .

តាំងពីពេលណា ន> 10 យើងមានឬ វាធ្វើតាមនោះ។

2ន 3 > ន 3 + 3ន 2 + 3ន+ 1 ឬ ន 3 > 3ន 2 + 3ន + 1. ដោយមានវិសមភាព (២ ន > ន 3) យើងទទួលបាន 2 ន+1 = 2 ន· 2 = 2 ន + 2 ន > ន 3 + ន 3 > ន 3 + 3ន 2 + 3ន + 1 = (ន + 1) 3 .

ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នអំពី ន, ន≥ 10 យើងមាន 2 ន > ន 3 .

ឧទាហរណ៍ ៣.បញ្ជាក់វាសម្រាប់នរណាម្នាក់ នអំពី ន

ដំណោះស្រាយ។ក) ទំ(1) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត (0 ចែកនឹង 6) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ ទំ(ន) គឺយុត្តិធម៌ ន(2ន 2 - 3ន + 1) = ន(ន - 1)(2ន- 1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6. ចូរយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាកើតឡើង ទំ(ន+ ១) ពោលគឺ ( ន + 1)ន(2ន+ 1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6. ជាការពិតណាស់ចាប់តាំងពី

និងរបៀប ន(ន - 1)(2 ន- ១) និង ៦ ន 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេគឺន(ន + 1)(2 ន+ ១) ចែកនឹង ៦។

ដូច្នេះ ទំ(ន+ 1) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ ហើយដូច្នេះ ន(2ន 2 - 3ន+ 1) បែងចែកដោយ 6 សម្រាប់ណាមួយ។ នអំពី ន.

ខ) តោះពិនិត្យមើល ទំ(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11 ដូច្នេះ ទំ(១) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ។ គួរបញ្ជាក់ថា បើ ៦ ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១ ចែកនឹង ១១ ( ទំ(ន)) បន្ទាប់មក ៦ ២ ន + 3 ន+2 + 3 នក៏បែងចែកដោយ 11 ( ទំ(ន+ ១))។ ជាការពិតណាស់ចាប់តាំងពី

6 2ន + 3 ន+2 + 3 ន = 6 2ន-2+2 + 3 ន+1+1 + 3 ន−1+1 = = 6 2 6 ២ ន-២+៣ ៣ ន+1+3 ៣ ន-1=3·(6 ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១) + ៣៣ ៦ ២ ន-២ និងដូច ៦ ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១ និង ៣៣ ៦ ២ ន-2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេគឺ 6 2ន + 3 ន+2 + 3 ន ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបញ្ជាក់។ ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ

ឧទាហរណ៍ 4 ។គណនាផ្នែកខាងត្រឹមត្រូវ ២ ន- ត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ រ.

ការពិពណ៌នាគន្ថនិទ្ទេស៖ Badanin A.S., Sizova M. Yu. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលើការបែងចែកលេខធម្មជាតិ // អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រវ័យក្មេង។ 2015. លេខ 2 ។ ទំ. ៨៤-៨៦..០២.២០១៩)។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា Olympiads ច្រើនតែមានបញ្ហាពិបាកដើម្បីបញ្ជាក់ការបែងចែកលេខធម្មជាតិ។ សិស្សសាលាប្រឈមមុខនឹងបញ្ហា៖ តើត្រូវស្វែងរកវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យាជាសកលដែលអនុញ្ញាតឱ្យពួកគេដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយរបៀបណា?

វាប្រែថាបញ្ហាភាគច្រើនក្នុងការបញ្ជាក់ពីការបែងចែកអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ប៉ុន្តែសៀវភៅសិក្សារបស់សាលាយកចិត្តទុកដាក់តិចតួចបំផុតចំពោះវិធីសាស្ត្រនេះ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ការពិពណ៌នាទ្រឹស្តីខ្លីៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយបញ្ហាជាច្រើនត្រូវបានវិភាគ។

យើងរកឃើញវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ។ នៅពេលព្រឹកព្រលឹមនៃទ្រឹស្ដីលេខ គណិតវិទូបានរកឃើញការពិតជាច្រើនដោយប្រយោល៖ L. Euler និង K. Gauss ពេលខ្លះបានពិចារណាឧទាហរណ៍រាប់ពាន់ មុននឹងកត់សម្គាល់គំរូលេខ ហើយជឿលើវា។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានោះ ពួកគេបានយល់ពីរបៀបដែលសម្មតិកម្មបញ្ឆោតដែលបានឆ្លងកាត់ការសាកល្បង "ចុងក្រោយ" អាចជា។ ដើម្បីផ្លាស់ទីដោយ inductive ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានផ្ទៀងផ្ទាត់សម្រាប់សំណុំរងកំណត់ទៅសេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់សំណុំគ្មានដែនកំណត់ទាំងមូល ភស្តុតាងគឺត្រូវបានទាមទារ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Blaise Pascal ដែលបានរកឃើញក្បួនដោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកសញ្ញានៃការបែងចែកចំនួនគត់ដោយចំនួនគត់ផ្សេងទៀត (សន្ធិសញ្ញា "នៅលើធម្មជាតិនៃការបែងចែកលេខ") ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់ដោយហេតុផលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ ឬការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលចាប់ផ្តើមពីចំនួនជាក់លាក់ n ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាដើម្បីបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយដោយប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាមានបួនដំណាក់កាល (រូបភាពទី 1)៖

អង្ករ។ 1. គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា

1. មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង . ពួកគេពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិតូចបំផុតដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍សមហេតុផល។

2. សម្មតិកម្មអាំងឌុចស្យុង . យើងសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ k ។

3. ការផ្លាស់ប្តូរអាំងឌុចស្យុង . យើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ k+1។

4. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន . ប្រសិនបើភ័ស្តុតាងបែបនេះត្រូវបានបញ្ចប់ នោះដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វាអាចត្រូវបានអះអាងថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។

ចូរយើងពិចារណាអំពីការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើតគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃការបង្ហាញពីការបែងចែកនៃចំនួនធម្មជាតិ។

ឧទាហរណ៍ ១. បង្ហាញថាលេខ 5 គឺជាពហុគុណនៃ 19 ដែល n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ភស្តុតាង៖

1) ចូរយើងពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: លេខ = 19 គឺជាពហុគុណនៃ 19 ។

2) សូមឱ្យរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, ឧ. លេខគឺជាពហុគុណនៃ 19 ។

វាគឺជាពហុគុណនៃ 19 ។ ជាការពិត ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ដោយសារការសន្មត់ (2); ពាក្យទីពីរក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ព្រោះវាមានកត្តានៃ 19 ។

ឧទាហរណ៍ ២.បង្ហាញថាផលបូកនៃគូបនៃលេខធម្មជាតិបីជាប់គ្នាគឺអាចបែងចែកដោយ 9 ។

ភស្តុតាង៖

ចូរយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ "សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n កន្សោម n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។

1) ចូរយើងពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1 + 8 + 27 = 36 គុណនៃ 9 ។

2) សូមឱ្យរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, i.e. k 3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។

3) ចូរយើងបង្ហាញថារូបមន្តក៏ពិតសម្រាប់ n = k + 1 ពោលគឺ (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។ (k + 1) 3 +(k+2)3 +(k+3)3 =(k+1)3 +(k+2)3+k 3+9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1)3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3)។

កន្សោមលទ្ធផលមានពាក្យពីរ ដែលនីមួយៗចែកនឹង ៩ ដូច្នេះផលបូកត្រូវចែកនឹង ៩។

4) លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត ដូច្នេះប្រយោគគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ ៣.បង្ហាញថាសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n លេខ 3 2n + 1 +2 n + 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ។

ភស្តុតាង៖

1) សូមពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 = 35, 35 គឺជាពហុគុណនៃ 7 ។

2) សូមអោយរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, i.e. 3 2 k +1 +2 k +2 ចែកនឹង 7 ។

3) ចូរយើងបង្ហាញថារូបមន្តក៏ជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e.

3 2(k +1)+1 +2(k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2)·9–7·2 k +2.T ។ k (3 2 k +1 +2 k +2) 9 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 និង 7 2 k +2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 បន្ទាប់មកភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ។

បញ្ហាភ័ស្តុតាងជាច្រើននៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកលេខធម្មជាតិអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា; ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តនេះមិនអាចត្រូវបានគេហៅថាជាសកលបានទេព្រោះវាមានគុណវិបត្តិផងដែរ: ដំបូងវាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តែលើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះហើយទីពីរវាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់អថេរតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតឡូជីខល និងវប្បធម៌គណិតវិទ្យា វិធីសាស្រ្តនេះគឺជាឧបករណ៍ចាំបាច់មួយ ពីព្រោះគណិតវិទូជនជាតិរុស្សីដ៏ឆ្នើម A.N. Kolmogorov បាននិយាយថា “ការយល់ដឹង និងសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបានត្រឹមត្រូវគឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដ៏ល្អនៃកាលកំណត់តក្កវិជ្ជា ដែលពិតជាមាន។ ចាំបាច់សម្រាប់គណិតវិទូ”។

អក្សរសិល្ប៍៖

1. Vilenkin N. Ya. បន្សំ។ - M. : ការអប់រំ, 1976. - 48 ទំ។

2. Genkin L. នៅលើ induction គណិតវិទ្យា។ - M. , 1962. - 36 ទំ។

3. Solominsky I. S. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : Nauka, 1974. - 63 ទំ។

4. Sharygin I.F. វគ្គសិក្សាស្រេចចិត្តក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី១០។ មធ្យមសិក្សា - M. : ការអប់រំ, 1989. - 252 ទំ។

5. Shen A. ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : MTsNMO, 2007. - 32 ទំ។

ប្រសិនបើប្រយោគ A(n) អាស្រ័យលើចំនួនធម្មជាតិ n គឺពិតសម្រាប់ n=1 ហើយពីការពិតដែលថាវាពិតសម្រាប់ n=k (ដែល k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ) វាធ្វើតាមថាវាក៏ពិតសម្រាប់ លេខបន្ទាប់ n=k +1 បន្ទាប់មកសន្មត់ថា A(n) គឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។

ប្រសិនបើសំណើ A(n) ពិតសម្រាប់ n=p ហើយប្រសិនបើ A(k) ≈ A(k+1) សម្រាប់ k>p ណាមួយ នោះសំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n>p ណាមួយ។

ភ័ស្តុតាងដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម។ ជាដំបូង សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវបង្ហាញគឺត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់ n=1, i.e. ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(1) ត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ផ្នែកនៃភស្តុតាងនេះត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៃការចាប់ផ្តើម។ បន្ទាប់មកមកផ្នែកនៃភស្តុតាងដែលហៅថា ជំហានចាប់ផ្តើម។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ ពួកគេបង្ហាញពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k+1 ក្រោមការសន្មត់នៃសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k (ការសន្មត់បញ្ចូល) i.e. បញ្ជាក់ A(k)1 A(k+1)

បង្ហាញថា 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ។

1) យើងមាន n=1=1 2 ។ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=1, i.e. A(1) ពិត
2) ចូរយើងបង្ហាញថា A(k) ≥ A(k+1)

អនុញ្ញាតឱ្យ k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយទុកឱ្យសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាការពិតសម្រាប់ n=k, i.e.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ក៏ពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិបន្ទាប់ n=k+1, i.e. អ្វី

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2 ពិតហើយ
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

ដូច្នេះ A(k)1 A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថា ការសន្មត A(n) គឺពិតសម្រាប់ n O N ណាមួយ

បញ្ជាក់

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 −1)/(x-1) ដែល x លេខ 1

1) សម្រាប់ n=1 យើងទទួលបាន
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 រូបមន្តគឺត្រឹមត្រូវ; A(1) ពិត

2) ទុក k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយទុករូបមន្តពិតសម្រាប់ n=k,
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ពេលនោះសមភាព

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) ពិត
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

ដូច្នេះ A(k)1 A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n

បង្ហាញថាចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃប៉ោង n-gon គឺ n(n-3)/2

ដំណោះស្រាយ៖ 1) សម្រាប់ n=3 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត ពីព្រោះនៅក្នុងត្រីកោណ

A 3 =3(3-3)/2=0 អង្កត់ទ្រូង; A 2 A(3) ពិត

2) ឧបមាថានៅគ្រប់ប៉ោង k-gon មាន A 1 x A k = k(k-3)/2 អង្កត់ទ្រូង។ A k ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកនៅក្នុងប៉ោង A k+1 (k+1)-gon ចំនួនអង្កត់ទ្រូង A k+1 =(k+1)(k-2)/2 ។

ទុក A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 ជាប៉ោង (k+1)-gon ។ តោះគូរអង្កត់ទ្រូង A 1 A k នៅក្នុងវា។ ដើម្បីគណនាចំនួនសរុបនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់នេះ (k+1)-gon អ្នកត្រូវរាប់ចំនួនអង្កត់ទ្រូងក្នុង k-gon A 1 A 2 ...A k បន្ថែម k-2 ទៅលេខលទ្ធផល i.e. ចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ (k+1)-gon ដែលចេញពីចំនុចកំពូល A k+1 ហើយលើសពីនេះទៀតអង្កត់ទ្រូង A 1 A k គួរតែត្រូវបានយកមកពិចារណា

ដូច្នេះ

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

ដូច្នេះ A(k)1 A(k+1)។ ដោយសារគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ប៉ោងណាមួយ n-gon ។

សូមបញ្ជាក់ថា សម្រាប់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមណាមួយគឺពិត៖

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) សន្មតថា n = k

X k = k 2 = k(k+1)(2k+1)/6

3) ពិចារណាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

យើងបានបញ្ជាក់ពីសមភាពថាជាការពិតសម្រាប់ n=k+1 ដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n

បង្ហាញថាសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n សមភាពខាងក្រោមទទួលបាន៖

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4

ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1

បន្ទាប់មក X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2 / 4 = 1 ។ យើងឃើញថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។

2) ឧបមាថាសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n=k

X k = k 2 (k+1) 2/4

3) ចូរយើងបង្ហាញការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1, i.e.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4 ។ X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4

តាមភស្តុតាងខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1 ដូច្នេះសមភាពគឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n

បញ្ជាក់

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ ... ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), ដែល n> 2

ដំណោះស្រាយ៖ 1) សម្រាប់ n=2 អត្តសញ្ញាណមើលទៅដូចជា៖

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), i.e. វាជាការពិត
2) សន្មតថាកន្សោមគឺពិតសម្រាប់ n = k
(2 3 +1)/(2 3 -1) ґ … ґ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
3) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃកន្សោមសម្រាប់ n = k + 1
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

យើងបានបង្ហាញពីសមភាពថាជាការពិតសម្រាប់ n=k+1 ដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n> 2 ។

បញ្ជាក់

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n

ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) ឧបមាថា n = k បន្ទាប់មក
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) ចូរយើងបង្ហាញការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1)3 -(2k+2)3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

សុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ n=k+1 ក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n ។

បញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណត្រឹមត្រូវ។

(1 2/1 ґ 3)+(2 2/3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ n

1) សម្រាប់ n=1 អត្តសញ្ញាណគឺពិត 1 2/1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) ឧបមាថាសម្រាប់ n = k
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) ចូរយើងបង្ហាញថាអត្តសញ្ញាណគឺពិតសម្រាប់ n=k+1
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1)2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)

តាមភ័ស្តុតាងខាងលើវាច្បាស់ណាស់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។

បង្ហាញថា (11 n+2 +12 2n+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយមិននៅសល់

ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

ប៉ុន្តែ (23 ґ 133) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ ដែលមានន័យថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។ A(1) គឺពិត។

2) ឧបមាថា (11 k+2 +12 2k+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់
3) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះ (11 k + 3 +12 2k + 3) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់។ ពិត
11 k+3 +12 2l+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

ផលបូកលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ ចាប់តាំងពីពាក្យទីមួយរបស់វាត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ដោយការសន្មត់ ហើយនៅក្នុងកត្តាទីពីរគឺ 133។ ដូច្នេះ A(k) 1 A(k+1)។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ

បង្ហាញថាសម្រាប់ n 7 n -1 ណាមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់

1) ទុក n=1 បន្ទាប់មក X 1 =7 1 -1=6 ត្រូវបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ នេះមានន័យថានៅពេលដែល n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
2) ឧបមាថានៅពេលដែល n = k 7 k -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
3) ចូរយើងបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1

X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ព្រោះថា 7 k -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយការសន្មត់ ហើយពាក្យទីពីរគឺ 6 ។ នេះមានន័យថា 7 n -1 គឺជាពហុគុណនៃ 6 សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។

បង្ហាញថា 3 3n-1 +2 4n-3 សម្រាប់លេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ។

1) អនុញ្ញាតឱ្យ n = 1 បន្ទាប់មក

X 1 = 3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់។

នេះមានន័យថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត

2) ឧបមាថានៅពេលដែល n = k X k = 3 3k-1 +2 4k-3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់
3) ចូរយើងបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 +

11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1

ពាក្យទីមួយបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់ ព្រោះថា 3 3k-1 +2 4k-3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយការសន្មត់ ទីពីរគឺបែងចែកដោយ 11 ព្រោះកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តារបស់វាគឺលេខ 11។ មានន័យថា ផលបូក ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។

បង្ហាញថា 11 2n -1 សម្រាប់លេខធម្មជាតិដែលបំពាន n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់

1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក 11 2 -1=120 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ នេះមានន័យថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
2) ឧបមាថានៅពេលដែល n = k 1 2k −1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់: ទីមួយមានពហុគុណនៃ 6, 120 និងទីពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់ដោយការសន្មត់។ នេះមានន័យថាផលបូកត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។

បង្ហាញថា 3 3n + 3 -26n-27 សម្រាប់លេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 (676) ដោយគ្មានសល់

ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថា 3 3n + 3 -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ដោយគ្មានសល់

1. នៅពេលដែល n=0
3 3 −1=26 ចែកនឹង 26
2. ឧបមាថាសម្រាប់ n=k
3 3k + 3 -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26
3. ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3л+3 +(3 3k+3 -1) -ចែកដោយ 26

ឥឡូវសូមបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានបង្កើតឡើងក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា

1) ជាក់ស្តែងសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
3 3+3 -26-27=676
2) ឧបមាថាសម្រាប់ n=k កន្សោម 3 3k + 3 -26k-27 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានសល់
3) ចូរយើងបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2; ទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ពីព្រោះយើងបានបង្ហាញថាកន្សោមក្នុងវង់ក្រចកគឺអាចបែងចែកដោយ 26 ហើយទីពីរគឺបែងចែកដោយសម្មតិកម្មបញ្ចូល។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ

បង្ហាញថាប្រសិនបើ n>2 និង x>0 នោះវិសមភាព (1+x) n>1+n ґ x គឺពិត

1) សម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺត្រឹមត្រូវចាប់តាំងពី
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

ដូច្នេះ A(2) គឺពិត

2) ចូរយើងបង្ហាញថា A(k) ≈ A(k+1) ប្រសិនបើ k> 2. សន្មត់ថា A(k) គឺពិត មានន័យថា វិសមភាព
(1+x) k >1+k ґ x ។ (3)

ចូរយើងបង្ហាញថា A(k+1) ក៏ជាការពិតដែរ ពោលគឺ វិសមភាព

(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

តាមពិត ការគុណទាំងសងខាងនៃវិសមភាព (3) ដោយលេខវិជ្ជមាន 1+x យើងទទួលបាន

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

ពិចារណាផ្នែកខាងស្តាំនៃវិសមភាពចុងក្រោយ; យើងមាន

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+kґ x 2 >1+(k+1) ґ x

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបាននោះ (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

ដូច្នេះ A(k)1 A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វាអាចប្រកែកបានថាវិសមភាពរបស់ Bernoulli មានសុពលភាពសម្រាប់ n> 2 ណាមួយ។

បង្ហាញថាវិសមភាព (1+a+a 2) m> 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 សម្រាប់ a> 0 គឺពិត

ដំណោះស្រាយ៖ ១) ពេល m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 ភាគីទាំងពីរស្មើគ្នា
2) ឧបមាថាសម្រាប់ m = k
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) ចូរយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ m=k+1 វិសមភាពគឺពិត
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a ២

យើងបានបង្ហាញវិសមភាពថាជាការពិតសម្រាប់ m=k+1 ដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វិសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ m

បង្ហាញថាសម្រាប់ n>6 វិសមភាព 3 n>n ґ 2 n+1 គឺពិត

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពក្នុងទម្រង់ (3/2) n >2n

1. សម្រាប់ n=7 យើងមាន 3 7/2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 វិសមភាពគឺពិត
ឧបមាថាសម្រាប់ n = k (3/2) k > 2k
3) ចូរយើងបង្ហាញវិសមភាពសម្រាប់ n=k+1
3 k+1/2 k+1 =(3k/2 k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

ចាប់តាំងពី k>7 វិសមភាពចុងក្រោយគឺជាក់ស្តែង។

ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វិសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n

បង្ហាញថាសម្រាប់ n>2 វិសមភាពគឺពិត

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

1) សម្រាប់ n=3 វិសមភាពគឺពិត
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. ឧបមាថាសម្រាប់ n=k
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
3) ចូរយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n=k+1
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1)2)

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា 1.7-(1/k)+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

ក្រោយមកទៀតគឺជាក់ស្តែងហើយដូច្នេះ

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k+1)

ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វិសមភាពត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។

សេចក្តីផ្តើម

ផ្នែកសំខាន់

1. ការបញ្ចូលពេញលេញនិងមិនពេញលេញ

2. គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា

3. វិធីសាស្រ្ត induction គណិតវិទ្យា

4. ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍

5. សមភាព

6. ការបែងចែកលេខ

7. វិសមភាព

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ

សេចក្តីផ្តើម

មូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាណាមួយគឺវិធីសាស្ត្រដកយក និងអាំងឌុចទ័ណ្ឌ។ វិធីសាស្រ្តកាត់កងនៃហេតុផលគឺការវែកញែកពីទូទៅទៅជាក់លាក់, i.e. ការវែកញែក ចំណុចចាប់ផ្តើម ដែលជាលទ្ធផលទូទៅ ហើយចំណុចចុងក្រោយ គឺជាលទ្ធផលជាក់លាក់។ Induction ត្រូវបានប្រើនៅពេលផ្លាស់ប្តូរពីលទ្ធផលជាក់លាក់ទៅលទ្ធផលទូទៅ i.e. គឺផ្ទុយពីវិធីសាស្ត្រដក។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងវឌ្ឍនភាព។ យើងចាប់ផ្តើមពីកម្រិតទាបបំផុត ហើយជាលទ្ធផលនៃការគិតឡូជីខល យើងមកខ្ពស់បំផុត។ មនុស្សតែងតែខិតខំដើម្បីភាពជឿនលឿន សម្រាប់សមត្ថភាពក្នុងការអភិវឌ្ឍគំនិតរបស់គាត់ប្រកបដោយតក្កវិជ្ជា ដែលមានន័យថា ធម្មជាតិបានកំណត់គាត់ឱ្យគិតដោយឥរិយាបទ។

ទោះបីជាវិសាលភាពនៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាមានការរីកចម្រើនក៏ដោយ ពេលវេលាតិចតួចត្រូវបានឧទ្ទិសដល់វានៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ជាការប្រសើរណាស់, ប្រាប់ខ្ញុំថាមេរៀនពីរឬបីនេះនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់មនុស្សម្នាក់ក្នុងអំឡុងពេលដែលគាត់នឹងឮប្រាំពាក្យនៃទ្រឹស្តី, ដោះស្រាយបញ្ហាបុព្វកាលប្រាំហើយជាលទ្ធផលនឹងទទួលបាន A សម្រាប់ការពិតដែលថាគាត់មិនដឹងអ្វីទាំងអស់។

ប៉ុន្តែវាសំខាន់ណាស់ដើម្បីអាចគិតដោយឥរិយាបទ។

ផ្នែកសំខាន់

នៅក្នុងអត្ថន័យដើមរបស់វា ពាក្យ "សេចក្តីផ្តើម" ត្រូវបានអនុវត្តចំពោះការវែកញែក ដែលការសន្និដ្ឋានទូទៅត្រូវបានទទួលដោយផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយចំនួន។ វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតនៃការវែកញែកនៃប្រភេទនេះគឺការបញ្ចូលពេញលេញ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការវែកញែកបែបនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ថារាល់លេខធម្មជាតិ n ក្នុង 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

សមភាពទាំងប្រាំបួននេះបង្ហាញថាលេខនីមួយៗដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺពិតជាតំណាងឱ្យផលបូកនៃពាក្យសាមញ្ញពីរ។

ដូច្នេះ ការបញ្ចូលពេញលេញរួមមានការបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅដាច់ដោយឡែកពីគ្នាក្នុងចំនួនកំណត់នៃករណីដែលអាចកើតមាន។

ពេលខ្លះលទ្ធផលទូទៅអាចត្រូវបានគេព្យាករណ៍បន្ទាប់ពីបានពិចារណាមិនមែនទាំងអស់ ប៉ុន្តែករណីជាក់លាក់មួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ (ហៅថាការបញ្ចូលមិនពេញលេញ)។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លទ្ធផលដែលទទួលបានដោយការបញ្ចូលមិនពេញលេញនៅតែមានតែសម្មតិកម្មមួយ រហូតទាល់តែវាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយហេតុផលគណិតវិទ្យាច្បាស់លាស់ ដែលគ្របដណ្តប់ករណីពិសេសទាំងអស់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ការបញ្ចូលមិនពេញលេញនៅក្នុងគណិតវិទ្យា មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិធីសាស្ត្រស្របច្បាប់នៃភស្តុតាងដ៏តឹងរឹងនោះទេ ប៉ុន្តែជាវិធីសាស្ត្រដ៏មានអានុភាពសម្រាប់ស្វែងរកការពិតថ្មី។

ជាឧទាហរណ៍ អ្នកចង់ស្វែងរកផលបូកនៃលេខសេសដំបូង n ជាប់គ្នា។ តោះពិចារណាករណីពិសេស៖

1+3+5+7+9=25=5 2

បន្ទាប់ពីពិចារណាករណីពិសេសមួយចំនួននេះ ការសន្និដ្ឋានទូទៅខាងក្រោមបង្ហាញដោយខ្លួនវាផ្ទាល់៖

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

ទាំងនោះ។ ផលបូកនៃលេខសេសដំបូង n ជាប់គ្នាគឺ n 2

ជាការពិតណាស់ ការសង្កេតដែលធ្វើឡើងមិនទាន់អាចធ្វើជាភស្តុតាងនៃសុពលភាពនៃរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

ការបញ្ចូលពេញលេញមានកម្មវិធីកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនគ្របដណ្តប់លើចំនួនករណីពិសេសគ្មានដែនកំណត់ ប៉ុន្តែយើងមិនអាចសាកល្បងពួកវាសម្រាប់ចំនួនករណីគ្មានកំណត់បានទេ។ ការបញ្ចូលមិនពេញលេញតែងតែនាំទៅរកលទ្ធផលខុស។

ក្នុងករណីជាច្រើន ផ្លូវចេញពីការលំបាកបែបនេះ គឺត្រូវងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រពិសេសនៃការវែកញែក ដែលហៅថា វិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ វាមានដូចខាងក្រោម។

ឧបមាថាអ្នកត្រូវបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n (ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវបង្ហាញថាផលបូកនៃលេខសេសដំបូងគឺស្មើនឹង n 2)។ ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃ n គឺមិនអាចទៅរួចនោះទេ ចាប់តាំងពីសំណុំនៃលេខធម្មជាតិគឺគ្មានកំណត់។ ដើម្បីបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ដំបូងពិនិត្យមើលសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=1។ បន្ទាប់មកពួកគេបង្ហាញថាសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាសម្រាប់ n=k បង្កប់ន័យសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=k+1 ។

បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានចាត់ទុកថាបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់ n ។ តាមពិត សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=1។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក វាក៏ជាការពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=1+1=2។ សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=2 បង្កប់ន័យសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=2+

1=3។ នេះបង្កប់ន័យសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=4 ។ល។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅទីបញ្ចប់យើងនឹងឈានដល់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។ នេះមានន័យថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n ។

ដោយសង្ខេបនូវអ្វីដែលបាននិយាយ យើងបង្កើតគោលការណ៍ទូទៅដូចខាងក្រោម។

គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ប្រសិនបើសំណើ A ( ន ) អាស្រ័យលើចំនួនធម្មជាតិ ន , ពិតសម្រាប់ ន =1 និងពីការពិតដែលថាវាជាការពិតសម្រាប់ n=k (កន្លែងណា k - លេខធម្មជាតិណាមួយ) វាដូចខាងក្រោមថាវាជាការពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=k+1 បន្ទាប់មកការសន្មត់ A( ន ) ពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន .

ក្នុងករណីមួយចំនួន វាអាចចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយ មិនមែនសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់នោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់តែ n>p ដែល p គឺជាលេខធម្មជាតិថេរ។ ក្នុងករណីនេះ គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើសំណើ A ( ន ) ពិតសម្រាប់ n=p ហើយប្រសិនបើ A ( k ) Þ ក( k+1) សម្រាប់នរណាម្នាក់ k>p, បន្ទាប់មកប្រយោគ A( ន) ពិតសម្រាប់នរណាម្នាក់ n> ទំ។

ឧទាហរណ៍ ១

បង្ហាញថា 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ។

ដំណោះស្រាយ៖ ១) យើងមាន n=1=1 ២. អាស្រ័យហេតុនេះ

សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=1, i.e. A(1) គឺពិត។

2) ចូរយើងបង្ហាញថា A(k)ÞA(k+1)។

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ។

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

តាមពិតទៅ

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

ដូច្នេះ A(k)ÞA(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថា ការសន្មត់ A(n) គឺពិតសម្រាប់ nÎN ណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២

បញ្ជាក់

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1) ដែល x¹1

ដំណោះស្រាយ៖ 1) សម្រាប់ n=1 យើងទទួលបាន

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 រូបមន្តគឺត្រឹមត្រូវ; A(1) គឺពិត។

2) ទុក k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយទុករូបមន្តពិតសម្រាប់ n=k, i.e.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)។

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ពេលនោះសមភាព

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)។

ពិត

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)។

ដូច្នេះ A(k)ÞA(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។

ឧទាហរណ៍ ៣

បង្ហាញថាចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃប៉ោង n-gon គឺស្មើនឹង n(n-3)/2។

ដំណោះស្រាយ៖ 1) សម្រាប់ n=3 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត

ហើយ 3 គឺមានន័យណាស់, ដោយសារតែនៅក្នុងត្រីកោណមួយ។

 A 3 =3(3-3)/2=0 អង្កត់ទ្រូង;

A 2 A(3) គឺពិត។

2) ចូរយើងសន្មត់ថានៅក្នុងគ្រប់

ប៉ោង k-gon មាន-

A 1 x A k = k(k-3)/2 អង្កត់ទ្រូង។

ហើយ k អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកនៅក្នុងប៉ោងមួយ។

(k+1)-លេខហ្គន

អង្កត់ទ្រូង A k+1 =(k+1)(k-2)/2 ។

ទុក A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 ជាប៉ោង (k+1)-gon ។ ចូរគូរអង្កត់ទ្រូង A 1 A k នៅក្នុងវា។ ដើម្បីគណនាចំនួនសរុបនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់នេះ (k+1)-gon អ្នកត្រូវរាប់ចំនួនអង្កត់ទ្រូងក្នុង k-gon A 1 A 2 ...A k បន្ថែម k-2 ទៅលេខលទ្ធផល i.e. ចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ (k+1)-gon ដែលចេញពីចំនុចកំពូល A k+1 ហើយលើសពីនេះទៀតអង្កត់ទ្រូង A 1 A k គួរតែត្រូវបានយកមកពិចារណា។

ដូច្នេះ

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2។

ដូច្នេះ A(k)ÞA(k+1)។ ដោយសារគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ប៉ោងណាមួយ n-gon ។

ឧទាហរណ៍ ៤

សូមបញ្ជាក់ថា សម្រាប់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមណាមួយគឺពិត៖

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6។

ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1។

នេះមានន័យថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។

2) សន្មតថា n = k

X k = k 2 = k(k+1)(2k+1)/6 ។

3) ពិចារណាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6។

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6។

យើងបានបង្ហាញពីសមភាពថាជាការពិតសម្រាប់ n=k+1 ដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n ។

ឧទាហរណ៍ ៥

បង្ហាញថាសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n សមភាពគឺពិត៖

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4 ។

ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 ។

បន្ទាប់មក X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2 / 4 = 1 ។

យើងឃើញថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។

2) ឧបមាថាសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n=k

ចំណេះដឹងពិតគ្រប់ពេលវេលាគឺផ្អែកលើការបង្កើតគំរូមួយ និងបង្ហាញពីភាពពិតរបស់វានៅក្នុងកាលៈទេសៈមួយចំនួន។ ក្នុងរយៈពេលដ៏យូរនៃអត្ថិភាពនៃហេតុផលឡូជីខល ការបង្កើតច្បាប់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអារីស្តូតថែមទាំងបានចងក្រងបញ្ជីនៃ "ហេតុផលត្រឹមត្រូវ" ផងដែរ។ តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ វាជាទម្លាប់ក្នុងការបែងចែកការសន្និដ្ឋានទាំងអស់ជាពីរប្រភេទ - ពីបេតុងទៅពហុ (ការបញ្ចូល) និងច្រាសមកវិញ (កាត់)។ គួរកត់សំគាល់ថា ប្រភេទនៃភ័ស្តុតាងពីពិសេសទៅទូទៅ និងពីទូទៅទៅជាក់លាក់មានតែនៅក្នុងការទាក់ទងគ្នា ហើយមិនអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបានទេ។

ការបញ្ចូលក្នុងគណិតវិទ្យា

ពាក្យថា "ការណែនាំ" មានឫសឡាតាំង ហើយត្រូវបានបកប្រែតាមព្យញ្ជនៈថាជា "ការណែនាំ" ។ នៅពេលសិក្សាកាន់តែជិត មនុស្សម្នាក់អាចរំលេចរចនាសម្ព័ន្ធនៃពាក្យ ពោលគឺ បុព្វបទឡាតាំង - in- (តំណាងឱ្យសកម្មភាពដឹកនាំខាងក្នុង ឬខាងក្នុង) និង -duction - ការណែនាំ។ វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាមានពីរប្រភេទ - ការបញ្ចូលពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។ ទម្រង់ពេញលេញត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការសន្និដ្ឋានដែលបានមកពីការសិក្សានៃវត្ថុទាំងអស់នៃថ្នាក់ជាក់លាក់មួយ។

មិនពេញលេញ - ការសន្និដ្ឋានដែលអនុវត្តចំពោះមុខវិជ្ជាទាំងអស់នៃថ្នាក់ ប៉ុន្តែត្រូវបានធ្វើឡើងដោយផ្អែកលើការសិក្សាតែផ្នែកខ្លះប៉ុណ្ណោះ។

ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាពេញលេញគឺជាការសន្និដ្ឋានដោយផ្អែកលើការសន្និដ្ឋានទូទៅអំពីថ្នាក់ទាំងមូលនៃវត្ថុណាមួយដែលត្រូវបានភ្ជាប់មុខងារដោយទំនាក់ទំនងនៃស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខដោយផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃការតភ្ជាប់មុខងារនេះ។ ក្នុងករណីនេះ ដំណើរការភ័ស្តុតាងប្រព្រឹត្តទៅជាបីដំណាក់កាល៖

ទីមួយបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទីតាំងនៃ induction គណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍៖ f = 1, induction;
ដំណាក់កាលបន្ទាប់គឺផ្អែកលើការសន្មត់ថាទីតាំងមានសុពលភាពសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់។ នោះគឺ f = h គឺជាសម្មតិកម្មអឌ្ឍគោល;
នៅដំណាក់កាលទីបីសុពលភាពនៃទីតាំងសម្រាប់លេខ f = h + 1 ត្រូវបានបង្ហាញដោយផ្អែកលើភាពត្រឹមត្រូវនៃទីតាំងនៃចំណុចមុន - នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរ induction ឬជំហាននៃ induction គណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍មួយគឺជាអ្វីដែលគេហៅថាប្រសិនបើថ្មដំបូងនៅក្នុងជួរដេកធ្លាក់ចុះ (មូលដ្ឋាន) នោះថ្មទាំងអស់នៅក្នុងជួរដេកធ្លាក់ (ការផ្លាស់ប្តូរ) ។

ទាំងកំប្លែង និងធ្ងន់ធ្ងរ

ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការយល់ដឹង ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នៃបញ្ហាកំប្លែង។ នេះគឺជាភារកិច្ច "ជួរគួរសម"៖

ច្បាប់នៃការប្រព្រឹត្តហាមឃាត់បុរសម្នាក់មិនឱ្យងាកមុខស្ត្រី (ក្នុងស្ថានភាពបែបនេះនាងត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យទៅមុខ) ។ ដោយផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ប្រសិនបើចុងក្រោយនៅក្នុងបន្ទាត់គឺជាបុរស នោះអ្នកផ្សេងទៀតគឺជាបុរស។

ឧទាហរណ៍ដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺបញ្ហា "ការហោះហើរគ្មានវិមាត្រ"៖

វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ថាមនុស្សមួយចំនួនអាចសមនៅលើឡានក្រុងបាន។ វាជាការពិតដែលមនុស្សម្នាក់អាចដាក់ក្នុងយានជំនិះដោយមិនពិបាក (មូលដ្ឋាន)។ ប៉ុន្តែមិនថាឡានក្រុងពេញប៉ុណ្ណាទេ អ្នកដំណើរ 1 នាក់នឹងតែងតែសមនឹងវា (ជំហានចាប់ផ្តើម) ។

រង្វង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា និងសមីការដោយ induction គណិតវិទ្យាគឺជារឿងធម្មតាណាស់។ ជាឧទាហរណ៍នៃវិធីសាស្រ្តនេះ សូមពិចារណាបញ្ហាខាងក្រោម។

លក្ខខណ្ឌ៖ មានរង្វង់ h នៅលើយន្តហោះ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ថា សម្រាប់ការរៀបចំណាមួយនៃតួលេខ ផែនទីដែលពួកគេបង្កើតអាចមានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងពណ៌ពីរ។

ដំណោះស្រាយ៖ នៅពេលដែល h=1 ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺជាក់ស្តែង ដូច្នេះភស្តុតាងនឹងត្រូវបានសាងសង់សម្រាប់ចំនួនរង្វង់ h+1 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលយកការសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍មានសុពលភាពសម្រាប់ផែនទីណាមួយ ហើយមានរង្វង់ h+1 នៅលើយន្តហោះ។ ដោយដករង្វង់មួយចេញពីចំនួនសរុប អ្នកអាចទទួលបានផែនទីដែលមានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយពណ៌ពីរ (ស និងខ្មៅ)។

នៅពេលស្តាររង្វង់ដែលបានលុបពណ៌នៃតំបន់នីមួយៗផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ (ក្នុងករណីនេះនៅខាងក្នុងរង្វង់) ។ លទ្ធផលគឺផែនទីដែលមានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាពីរពណ៌ ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ជាមួយលេខធម្មជាតិ

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ដូចខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ៖

បង្ហាញថាសមភាពខាងក្រោមសម្រាប់ h ណាមួយគឺត្រឹមត្រូវ៖

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. អនុញ្ញាតឱ្យ h=1 ដែលមានន័យថា៖

R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

វាធ្វើតាមពីនេះថាសម្រាប់ h=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺត្រឹមត្រូវ។

2. សន្មត់ថា h = d សមីការត្រូវបានទទួល៖

R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. សន្មត់ថា h=d+1 វាប្រែថា:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1)2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

ដូច្នេះសុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ h=d+1 ត្រូវបានបញ្ជាក់ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ ដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយ induction គណិតវិទ្យា។

កិច្ចការ

លក្ខខណ្ឌ៖ ភស្ដុតាងគឺតម្រូវឱ្យមានតម្លៃណាមួយនៃ h កន្សោម 7 h -1 ត្រូវបែងចែកដោយ 6 ដោយមិនមានសល់។

ដំណោះស្រាយ:

1. ចូរនិយាយថា h=1 ក្នុងករណីនេះ៖

R 1 = 7 1 -1 = 6 (ឧទាហរណ៍ចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់)

ដូច្នេះសម្រាប់ h=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត;

2. អនុញ្ញាតឱ្យ h = d និង 7 d -1 ចែកនឹង 6 ដោយគ្មានសល់;

3. ភស្តុតាងនៃសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ h=d+1 គឺជារូបមន្ត៖

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

ក្នុងករណីនេះ ពាក្យទីមួយត្រូវចែកដោយ ៦ តាមការសន្មតនៃចំណុចទី១ ហើយពាក្យទីពីរស្មើនឹង ៦។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលថា ៧ ម៉ោង -១ ត្រូវចែកនឹង ៦ ដោយមិនមានសល់សម្រាប់ h ធម្មជាតិណាមួយគឺពិត។

កំហុសក្នុងការវិនិច្ឆ័យ

ជារឿយៗការវែកញែកមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានប្រើនៅក្នុងភស្តុតាងដោយសារតែភាពមិនត្រឹមត្រូវនៃសំណង់ឡូជីខលដែលបានប្រើ។ វាកើតឡើងជាចម្បងនៅពេលដែលរចនាសម្ព័ន្ធ និងតក្កវិជ្ជានៃភស្តុតាងត្រូវបានរំលោភបំពាន។ ឧទាហរណ៍នៃហេតុផលមិនត្រឹមត្រូវគឺជាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

កិច្ចការ

លក្ខខណ្ឌ៖ ភស្ដុតាងតម្រូវឱ្យមានគំនរថ្មណាមួយមិនមែនជាគំនរទេ។

ដំណោះស្រាយ:

1. ចូរនិយាយថា h=1 ក្នុងករណីនេះមានថ្ម 1 នៅក្នុងគំនរ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត (មូលដ្ឋាន);

2. សូមឱ្យវាជាការពិតសម្រាប់ h=d ថាគំនរថ្មមិនមែនជាគំនរ (សន្មត់) ។

3. អនុញ្ញាតឱ្យ h=d+1 ដែលវាធ្វើតាមថា នៅពេលបន្ថែមថ្មមួយដុំទៀត សំណុំនឹងមិនមែនជាគំនរទេ។ ការសន្និដ្ឋានបង្ហាញខ្លួនឯងថាការសន្មត់មានសុពលភាពសម្រាប់ h ធម្មជាតិទាំងអស់។

កំហុសគឺថាមិនមាននិយមន័យនៃចំនួនថ្មបង្កើតជាគំនរ។ ការធ្វេសប្រហែសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ការធ្វើទូទៅលឿនរហ័សនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍មួយបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់។

សេចក្តីផ្តើម និងច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជា

តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ ពួកគេតែងតែ "ដើរក្នុងដៃ"។ វិញ្ញាសាវិទ្យាសាស្ត្រ ដូចជាតក្កវិជ្ជា និងទស្សនវិជ្ជា ពិពណ៌នាអំពីពួកគេក្នុងទម្រង់ផ្ទុយគ្នា។

តាមទស្សនៈនៃច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជា និយមន័យអាំងឌុចស្យុងពឹងផ្អែកលើអង្គហេតុ ហើយការពិតនៃបរិវេណមិនកំណត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍លទ្ធផលនោះទេ។ ជារឿយៗការសន្និដ្ឋានត្រូវបានទទួលជាមួយនឹងកម្រិតជាក់លាក់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ និងភាពអាចជឿជាក់បាន ដែលតាមធម្មជាតិ ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់ និងបញ្ជាក់ដោយការស្រាវជ្រាវបន្ថែម។ ឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូលក្នុងតក្កវិជ្ជានឹងជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដូចខាងក្រោម៖

មានគ្រោះរាំងស្ងួតនៅអេស្តូនី គ្រោះរាំងស្ងួតនៅឡាតវី គ្រោះរាំងស្ងួតនៅប្រទេសលីទុយអានី។

អេស្តូនី ឡាតវី និងលីទុយអានី គឺជារដ្ឋបាល់ទិក។ មានគ្រោះរាំងស្ងួតនៅក្នុងរដ្ឋបាល់ទិកទាំងអស់។

តាមឧទាហរណ៍ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា ព័ត៌មានថ្មី ឬការពិតមិនអាចទទួលបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការណែនាំនោះទេ។ អ្វីដែលអាចត្រូវបានពឹងផ្អែកលើគឺជាការពិតមួយចំនួនដែលអាចធ្វើទៅបាននៃការសន្និដ្ឋាន។ លើសពីនេះទៅទៀតការពិតនៃបរិវេណមិនធានានូវការសន្និដ្ឋានដូចគ្នានោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការពិតនេះមិនមានន័យថា អាំងឌុចស្យុងធ្លាក់ចុះនៅលើរឹមនៃការកាត់នោះទេ: មួយចំនួនធំនៃបទប្បញ្ញត្តិ និងច្បាប់វិទ្យាសាស្ត្រត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របញ្ចូល។ ឧទាហរណ៍មួយគឺដូចគ្នា គណិតវិទ្យា ជីវវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។ នេះភាគច្រើនកើតឡើងដោយសារវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលពេញលេញ ប៉ុន្តែក្នុងករណីខ្លះ ការបញ្ចូលដោយផ្នែកក៏អាចអនុវត្តបានដែរ។

យុគដ៏ថ្លៃថ្លានៃការបង្កើតបានអនុញ្ញាតឱ្យវាជ្រាបចូលទៅក្នុងគ្រប់វិស័យនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស - នេះគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រ សេដ្ឋកិច្ច និងការសន្និដ្ឋានប្រចាំថ្ងៃ។

ការបញ្ចូលក្នុងសហគមន៍វិទ្យាសាស្ត្រ

វិធីសាស្ត្រណែនាំតម្រូវឱ្យមានអាកប្បកិរិយាប្រកបដោយការប្រុងប្រយ័ត្ន ព្រោះច្រើនអាស្រ័យទៅលើចំនួនផ្នែកនៃការសិក្សាទាំងមូល៖ ចំនួនសិក្សាកាន់តែច្រើន លទ្ធផលកាន់តែគួរឱ្យទុកចិត្ត។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈពិសេសនេះ ច្បាប់វិទ្យាសាស្រ្តដែលទទួលបានដោយការបញ្ជូលគ្នាត្រូវបានសាកល្បងអស់រយៈពេលជាយូរក្នុងកម្រិតនៃការសន្មត់ប្រូបាប៊ីលីតេដើម្បីញែក និងសិក្សាធាតុរចនាសម្ព័ន្ធ ការតភ្ជាប់ និងឥទ្ធិពលដែលអាចកើតមានទាំងអស់។

នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ ការសន្និដ្ឋានដោយប្រយោលគឺផ្អែកលើលក្ខណៈសំខាន់ៗ លើកលែងតែបទប្បញ្ញត្តិចៃដន្យ។ ការពិតនេះគឺមានសារៈសំខាន់នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងជាក់លាក់នៃចំណេះដឹងវិទ្យាសាស្រ្ត។ នេះត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូលក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។

នៅក្នុងពិភពវិទ្យាសាស្ត្រមានពីរប្រភេទ (ទាក់ទងនឹងវិធីសាស្រ្តនៃការសិក្សា)៖

ការជ្រើសរើស (ឬការជ្រើសរើស);
induction - ការដកចេញ (ការដកចេញ) ។

ប្រភេទទី 1 ត្រូវបានសម្គាល់ដោយការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្ត (មិនច្បាស់លាស់) នៃគំរូនៃថ្នាក់ (ថ្នាក់រង) ពីតំបន់ផ្សេងៗគ្នារបស់វា។

ឧទាហរណ៏នៃប្រភេទនៃអាំងឌុចស្យុងនេះគឺដូចខាងក្រោម: ប្រាក់ (ឬអំបិលប្រាក់) បន្សុទ្ធទឹក។ ការសន្និដ្ឋានគឺផ្អែកលើការសង្កេតជាច្រើនឆ្នាំ (ប្រភេទនៃការជ្រើសរើសការបញ្ជាក់ និងការបដិសេធ - ការជ្រើសរើស)។

ប្រភេទទីពីរនៃការបញ្ចូលគឺផ្អែកលើការសន្និដ្ឋានដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងបុព្វហេតុ និងមិនរាប់បញ្ចូលកាលៈទេសៈដែលមិនសមស្របនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ពោលគឺសកលភាព ការប្រកាន់ខ្ជាប់នូវលំដាប់បណ្ដោះអាសន្ន ភាពចាំបាច់ និងភាពមិនច្បាស់លាស់។

សេចក្តីផ្តើម និងការកាត់ចេញពីមុខតំណែងនៃទស្សនវិជ្ជា

ក្រឡេកទៅមើលប្រវត្តិសាស្រ្តវិញ ពាក្យថា សេចក្តីផ្តើមត្រូវបានលើកឡើងដំបូងដោយ សូក្រាត។ អារីស្តូតបានពិពណ៌នាអំពីឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូលក្នុងទស្សនវិជ្ជានៅក្នុងវចនានុក្រមវាក្យសព្ទប្រហាក់ប្រហែល ប៉ុន្តែសំណួរនៃការបញ្ចូលមិនពេញលេញនៅតែបើកចំហ។ បន្ទាប់ពីការបៀតបៀននៃ syllogism Aristotelian វិធីសាស្រ្ត inductive បានចាប់ផ្តើមត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជាផ្លែផ្កានិងតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាននៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តធម្មជាតិ។ Bacon ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបិតានៃការបង្កើតជាវិធីសាស្រ្តពិសេសឯករាជ្យ ប៉ុន្តែគាត់បានបរាជ័យក្នុងការបំបែកអាំងឌុចស្យុងពីវិធីសាស្ត្រដកប្រាក់ ដូចដែលសហសម័យរបស់គាត់ទាមទារ។

អាំងឌុចស្យុងត្រូវបានអភិវឌ្ឍបន្ថែមទៀតដោយ J. Mill ដែលបានពិចារណាទ្រឹស្តីអាំងឌុចស្យុងពីទស្សនៈនៃវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗចំនួនបួន៖ កិច្ចព្រមព្រៀង ភាពខុសគ្នា សំណល់ និងការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។ វាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលសព្វថ្ងៃនេះវិធីសាស្រ្តដែលបានរាយបញ្ជីនៅពេលពិនិត្យយ៉ាងលម្អិតគឺកាត់ចេញ។

ការសម្រេចបាននូវភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្ដីរបស់ Bacon និង Mill បាននាំឱ្យអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រសិក្សាអំពីមូលដ្ឋានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបង្កើត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សូម្បីតែនៅទីនេះក៏មានចំណុចខ្លាំងខ្លះដែរ៖ ការប៉ុនប៉ងត្រូវបានធ្វើឡើងដើម្បីកាត់បន្ថយការបញ្ចូលទៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ជាមួយនឹងផលវិបាកដែលកើតឡើងទាំងអស់។

អាំងឌុចស្យុង ទទួលបានការបោះឆ្នោតទំនុកចិត្តតាមរយៈការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៅក្នុងមុខវិជ្ជាជាក់លាក់ និងអរគុណចំពោះភាពត្រឹមត្រូវនៃម៉ែត្រនៃមូលដ្ឋានអាំងឌុចទ័។ ឧទាហរណ៏នៃការបញ្ជូល និងកាត់ផ្នែកទស្សនវិជ្ជា អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាច្បាប់នៃទំនាញសកល។ នៅកាលបរិច្ឆេទនៃការរកឃើញច្បាប់នេះ ញូវតុនអាចផ្ទៀងផ្ទាត់វាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ 4 ភាគរយ។ ហើយនៅពេលដែលបានពិនិត្យលើសពីពីររយឆ្នាំក្រោយមក ភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានបញ្ជាក់ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.0001 ភាគរយ បើទោះបីជាការផ្ទៀងផ្ទាត់ត្រូវបានអនុវត្តដោយការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈទូទៅដូចគ្នាក៏ដោយ។

ទស្សនវិជ្ជាទំនើបយកចិត្តទុកដាក់បន្ថែមទៀតចំពោះការកាត់កង ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបំណងប្រាថ្នាឡូជីខលក្នុងការទាញយកចំណេះដឹងថ្មី (ឬការពិត) ពីអ្វីដែលបានដឹងរួចមកហើយ ដោយមិនប្រើបទពិសោធន៍ ឬវិចារណញាណ ប៉ុន្តែប្រើការវែកញែក "បរិសុទ្ធ" ។ នៅពេលសំដៅទៅលើបរិវេណពិតនៅក្នុងវិធីដកប្រាក់ ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ លទ្ធផលគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។

លក្ខណៈសំខាន់ខ្លាំងនេះមិនគួរគ្របដណ្ដប់លើតម្លៃនៃវិធីសាស្ត្របញ្ចូលទេ។ ចាប់តាំងពីការចាប់ផ្តើម ដោយផ្អែកលើសមិទ្ធិផលនៃបទពិសោធន៍ ក៏ក្លាយជាមធ្យោបាយនៃដំណើរការវា (រួមទាំងការធ្វើទូទៅ និងការរៀបចំប្រព័ន្ធ)។

ការអនុវត្តការបញ្ចូលក្នុងសេដ្ឋកិច្ច

អាំងឌុចស្យុង និងការកាត់ត្រូវបានប្រើជាយូរមកហើយជាវិធីសាស្ត្រសម្រាប់សិក្សាសេដ្ឋកិច្ច និងការព្យាករពីការអភិវឌ្ឍរបស់វា។

ជួរនៃការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្ត induction គឺធំទូលាយណាស់: សិក្សាការសម្រេចនៃសូចនាករព្យាករណ៍ (ប្រាក់ចំណេញការរំលោះ។ ល។ ) និងការវាយតម្លៃទូទៅនៃរដ្ឋសហគ្រាស; ការបង្កើតគោលនយោបាយលើកកម្ពស់សហគ្រាសប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពដោយផ្អែកលើការពិត និងទំនាក់ទំនងរបស់ពួកគេ។

វិធីសាស្រ្តដូចគ្នានៃការបញ្ចូលត្រូវបានប្រើនៅក្នុង "ផែនទី Shewhart" ដែលក្រោមការសន្មត់នៃការបែងចែកដំណើរការទៅជាការគ្រប់គ្រង និងមិនអាចគ្រប់គ្រងបាន វាត្រូវបានចែងថាក្របខ័ណ្ឌនៃដំណើរការដែលបានគ្រប់គ្រងគឺអសកម្ម។

គួរកត់សម្គាល់ថាច្បាប់វិទ្យាសាស្ត្រត្រូវបានបញ្ជាក់ និងបញ្ជាក់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របញ្ចូល ហើយដោយសារសេដ្ឋកិច្ចគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលជារឿយៗប្រើការវិភាគគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្ដីហានិភ័យ និងស្ថិតិ វាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទាល់តែសោះដែលការបញ្ចូលគឺស្ថិតនៅក្នុងបញ្ជីនៃវិធីសាស្ត្រសំខាន់ៗ។

ឧទហរណ៍នៃការបញ្ជូល និងកាត់ផ្នែកសេដ្ឋកិច្ច គឺជាស្ថានភាពដូចខាងក្រោម។ ការកើនឡើងនៃតម្លៃអាហារ (ពីកន្ត្រកអ្នកប្រើប្រាស់) និងទំនិញសំខាន់ៗ ជំរុញឱ្យអ្នកប្រើប្រាស់គិតអំពីការចំណាយខ្ពស់ដែលកំពុងលេចឡើងនៅក្នុងរដ្ឋ (ការចាប់ផ្តើម)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះពីការពិតនៃតម្លៃខ្ពស់ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីទាញយកសូចនាករនៃការកើនឡើងតម្លៃសម្រាប់ទំនិញបុគ្គលឬប្រភេទនៃទំនិញ (កាត់) ។

ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ បុគ្គលិកគ្រប់គ្រង អ្នកគ្រប់គ្រង និងអ្នកសេដ្ឋកិច្ច ងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រចាប់ផ្តើម។ ដើម្បីអាចទស្សន៍ទាយបានជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ ការអភិវឌ្ឍន៍សហគ្រាស ឥរិយាបថទីផ្សារ និងផលវិបាកនៃការប្រកួតប្រជែង វិធីសាស្រ្តដកយក-និទានសម្រាប់ការវិភាគ និងដំណើរការព័ត៌មានគឺចាំបាច់។

ឧទាហរណ៍ច្បាស់លាស់នៃការបញ្ចូលក្នុងសេដ្ឋកិច្ចទាក់ទងនឹងការវិនិច្ឆ័យខុស៖

ប្រាក់ចំណេញរបស់ក្រុមហ៊ុនបានថយចុះ 30%;
ក្រុមហ៊ុនប្រកួតប្រជែងបានពង្រីកជួរផលិតផលរបស់ខ្លួន;
គ្មានអ្វីផ្សេងទៀតបានផ្លាស់ប្តូរ;
គោលនយោបាយផលិតកម្មរបស់ក្រុមហ៊ុនប្រកួតប្រជែងបណ្តាលឱ្យមានការថយចុះ 30% នៃប្រាក់ចំណេញ;
ដូច្នេះ គោលនយោបាយផលិតកម្មដូចគ្នាត្រូវតែអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍នេះជាការបង្ហាញចម្រុះពណ៌អំពីរបៀបដែលការប្រើប្រាស់មិនត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្ត្របញ្ឆេះចូលរួមចំណែកដល់ការបំផ្លាញសហគ្រាស។

ការកាត់ចេញ និងការបញ្ចូលក្នុងចិត្តវិទ្យា

ដោយសារមានវិធីសាស្ត្រមួយ ដូច្នេះតាមតក្កវិជ្ជា ក៏មានការគិតដែលរៀបចំបានត្រឹមត្រូវ (ប្រើវិធីសាស្ត្រ)។ ចិត្តវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលសិក្សាពីដំណើរការផ្លូវចិត្ត ការបង្កើត ការអភិវឌ្ឍន៍ ទំនាក់ទំនង អន្តរកម្ម យកចិត្តទុកដាក់លើការគិតបែប "កាត់ទុក" ដែលជាទម្រង់មួយនៃការបង្ហាញនៃការកាត់ចេញ និងការបញ្ចូល។ ជាអកុសល នៅលើទំព័រចិត្តវិទ្យានៅលើអ៊ីនធឺណិត ជាក់ស្តែងមិនមានហេតុផលសម្រាប់សុចរិតភាពនៃវិធីសាស្ត្រដកយក-អាំងឌុចស្យុងនោះទេ។ ថ្វីបើអ្នកចិត្តសាស្រ្តដែលមានជំនាញវិជ្ជាជីវៈច្រើនតែជួបប្រទះនឹងការបង្ហាញនៃការចាប់ផ្តើម ឬជាការសន្និដ្ឋានខុសក៏ដោយ។

ឧទាហរណ៏នៃការបញ្ឆោតក្នុងចិត្តវិទ្យា ជាឧទាហរណ៍នៃការវិនិច្ឆ័យខុស គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ ម្តាយរបស់ខ្ញុំកំពុងបញ្ឆោត ដូច្នេះស្ត្រីទាំងអស់គឺជាអ្នកបោកប្រាស់។ អ្នកអាចប្រមូលឧទាហរណ៍ "ខុស" បន្ថែមទៀតនៃការបញ្ចូលពីជីវិត:

សិស្សមិនអាចធ្វើអ្វីបាន ប្រសិនបើគាត់ទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់មិនល្អក្នុងគណិតវិទ្យា។
គាត់គឺជាមនុស្សល្ងីល្ងើ;
គាត់គឺឆ្លាត;
ខ្ញុំអាចធ្វើអ្វីបាន;

និងការវិនិច្ឆ័យតម្លៃផ្សេងទៀតជាច្រើនដោយផ្អែកលើចៃដន្យទាំងស្រុង និងជួនកាល បរិវេណមិនសំខាន់។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់: នៅពេលដែលការមិនពិតនៃការវិនិច្ឆ័យរបស់មនុស្សឈានដល់ចំណុចនៃភាពមិនសមហេតុផល ព្រំដែននៃការងារលេចឡើងសម្រាប់អ្នកព្យាបាលរោគផ្លូវចិត្ត។ ឧទាហរណ៍មួយនៃការណែនាំនៅឯការណាត់ជួបអ្នកឯកទេស៖

"អ្នកជំងឺប្រាកដណាស់ថាពណ៌ក្រហមគឺមានគ្រោះថ្នាក់សម្រាប់គាត់ក្នុងទម្រង់ណាមួយ។ ជាលទ្ធផលបុគ្គលនោះបានដកពណ៌ចម្រុះនេះចេញពីជីវិតរបស់គាត់ - តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ មានឱកាសជាច្រើនសម្រាប់ការស្នាក់នៅប្រកបដោយផាសុកភាពនៅផ្ទះ។ អ្នកអាចបដិសេធធាតុពណ៌ក្រហមទាំងអស់ ឬជំនួសវាដោយ analogues ដែលផលិតក្នុងពណ៌ចម្រុះផ្សេង។ ប៉ុន្តែនៅកន្លែងសាធារណៈនៅកន្លែងធ្វើការនៅក្នុងហាង - វាមិនអាចទៅរួចទេ។ នៅពេលដែលអ្នកជំងឺរកឃើញថាខ្លួនគាត់ស្ថិតក្នុងស្ថានភាពស្ត្រេស រាល់ពេលដែលគាត់ជួបប្រទះនូវ "ជំនោរ" នៃស្ថានភាពអារម្មណ៍ខុសគ្នាទាំងស្រុង ដែលអាចបង្កគ្រោះថ្នាក់ដល់អ្នកដទៃ។

ឧទាហរណ៍នៃការបង្កើត និង induction ដោយមិនដឹងខ្លួនត្រូវបានគេហៅថា "គំនិតថេរ" ។ ប្រសិនបើរឿងនេះកើតឡើងចំពោះមនុស្សដែលមានសុខភាពល្អផ្លូវចិត្ត យើងអាចនិយាយអំពីការខ្វះខាតនៃការរៀបចំសកម្មភាពផ្លូវចិត្ត។ មធ្យោបាយមួយដើម្បីកម្ចាត់រដ្ឋដែលគិតមមៃអាចជាការអភិវឌ្ឍន៍បឋមនៃការគិតដក។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀតវិកលចរិតធ្វើការជាមួយអ្នកជំងឺបែបនេះ។

ឧទាហរណ៍ខាងលើនៃការណែនាំបង្ហាញថា "ភាពល្ងង់ខ្លៅនៃច្បាប់មិនលើកលែងឱ្យអ្នកពីផលវិបាក (នៃការវិនិច្ឆ័យខុស) ។

អ្នកចិត្តសាស្រ្តដែលធ្វើការលើប្រធានបទនៃការគិតដកប្រាក់បានចងក្រងបញ្ជីនៃអនុសាសន៍ដែលត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីជួយមនុស្សឱ្យធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្ត្រនេះ។

ចំណុចដំបូងគឺការដោះស្រាយបញ្ហា។ ដូចដែលអាចមើលឃើញ ទម្រង់នៃការបញ្ចូលដែលប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាអាចចាត់ទុកថាជា "បុរាណ" ហើយការប្រើវិធីសាស្ត្រនេះរួមចំណែកដល់ "វិន័យ" នៃចិត្ត។

លក្ខខណ្ឌបន្ទាប់សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតដោយដកខ្លួនគឺការពង្រីកការយល់ដឹងរបស់មនុស្សម្នាក់ (អ្នកដែលគិតយ៉ាងច្បាស់បង្ហាញពីខ្លួនឯងយ៉ាងច្បាស់) ។ ការណែនាំនេះដឹកនាំ "ការរងទុក្ខ" ទៅកាន់រតនាគារនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងព័ត៌មាន (បណ្ណាល័យ គេហទំព័រ គំនិតផ្តួចផ្តើមអប់រំ ការធ្វើដំណើរ។ល។)។

ការលើកឡើងជាពិសេសគួរតែត្រូវបានធ្វើឡើងពីអ្វីដែលគេហៅថា "ការបញ្ចូលផ្លូវចិត្ត" ។ ពាក្យនេះ ទោះបីមិនញឹកញាប់ក៏ដោយ អាចរកបាននៅលើអ៊ីនធឺណិត។ ប្រភពទាំងអស់មិនផ្តល់យ៉ាងហោចណាស់នូវទម្រង់សង្ខេបនៃនិយមន័យនៃពាក្យនេះទេ ប៉ុន្តែសំដៅទៅលើ "ឧទាហរណ៍ពីជីវិត" ខណៈពេលដែលឆ្លងកាត់ជាប្រភេទថ្មីនៃការណែនាំ ឬទម្រង់ខ្លះនៃជំងឺផ្លូវចិត្ត ឬស្ថានភាពធ្ងន់ធ្ងរនៃ ចិត្តមនុស្ស។ ពីចំណុចទាំងអស់ខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ថាការប៉ុនប៉ងដើម្បីទទួលបាន "ពាក្យថ្មី" ដោយផ្អែកលើបរិវេណមិនពិត (ជាញឹកញាប់មិនពិត) នឹងធ្វើឱ្យអ្នកពិសោធន៍ទទួលបានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានកំហុស (ឬប្រញាប់) ។

គួរកត់សំគាល់ថា ការយោងទៅលើការពិសោធន៍ឆ្នាំ 1960 (ដោយមិនបង្ហាញពីទីតាំង ឈ្មោះអ្នកពិសោធន៍ គំរូនៃមុខវិជ្ជា និងសំខាន់បំផុត គោលបំណងនៃការពិសោធន៍) មើលទៅ ដាក់វាដោយស្លូតបូត មិនគួរឱ្យជឿ និង សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលខួរក្បាលយល់ឃើញព័ត៌មានដែលឆ្លងកាត់គ្រប់សរីរាង្គនៃការយល់ឃើញ (ឃ្លាថា "រងផលប៉ះពាល់" នឹងសមនឹងសរីរាង្គច្រើនជាងក្នុងករណីនេះ) ធ្វើឱ្យមនុស្សម្នាក់គិតអំពីភាពមិនសមរម្យ និងភាពមិនសមរម្យរបស់អ្នកនិពន្ធនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ។

ជំនួសឱ្យការសន្និដ្ឋាន

វាមិនមែនសម្រាប់គ្មានអ្វីដែលមហាក្សត្រិយានីនៃវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាប្រើទុនបំរុងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលនិងការកាត់។ គំរូដែលបានពិចារណាអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថាការអនុវត្តលើផ្ទៃខាងក្រៅ និងអសមត្ថភាព (ដែលមិនគិតដូចដែលពួកគេនិយាយ) សូម្បីតែវិធីសាស្ត្រត្រឹមត្រូវ និងគួរឱ្យទុកចិត្តបំផុត តែងតែនាំទៅរកលទ្ធផលខុសឆ្គង។

នៅក្នុងស្មារតីដ៏ធំ វិធីសាស្រ្តនៃការកាត់ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹង Sherlock Holmes ដ៏ល្បីល្បាញ ដែលនៅក្នុងសំណង់ឡូជីខលរបស់គាត់ច្រើនតែប្រើឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូល ដោយប្រើការកាត់ក្នុងស្ថានភាពត្រឹមត្រូវ។

អត្ថបទបានពិនិត្យឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តទាំងនេះនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស័យផ្សេងៗនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស។

ភ័ស្តុតាងនៃភាពពហុគុណដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូល

ការបញ្ចូលក្នុងគណិតវិទ្យា

ទាំងកំប្លែង និងធ្ងន់ធ្ងរ

រង្វង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់

ឧទាហរណ៍ជាមួយលេខធម្មជាតិ

កំហុសក្នុងការវិនិច្ឆ័យ

សេចក្តីផ្តើម និងច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជា

ការបញ្ចូលក្នុងសហគមន៍វិទ្យាសាស្ត្រ

សេចក្តីផ្តើម និងការកាត់ចេញពីមុខតំណែងនៃទស្សនវិជ្ជា

ការ​អនុវត្ត​ការ​បញ្ចូល​ក្នុង​សេដ្ឋកិច្ច

ការកាត់ចេញ និងការបញ្ចូលក្នុងចិត្តវិទ្យា

ជំនួសឱ្យការសន្និដ្ឋាន

ការអនុវត្តការបញ្ចូលក្នុងសេដ្ឋកិច្ច