Как разделить отрезок на 2 равные части. Учебно-методическое пособие «Техника выполнения геометрических построений» для выполнения графических работ

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 28. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.

До сих пор при решении задач на построение мы пользовались циркулем, линейкой, чертёжным треугольником и транспортиром.

Решим теперь ряд задач на построение с помощью только двух инструментов - циркуля и линейки.

Задача 1. Разделить данный отрезок пополам.

Дан отрезок АВ, требуется разделить его пополам.

Решение. Радиусом, большим половины отрезка АВ, опишем из точек А и В, как из центров, пересекающиеся дуги (черт. 161). Через точки пересечения этих дуг проведём прямую СD, которая пересечёт отрезок АВ в некоторой точке К и разделит его этой точкой пополам: АК = КВ.

Докажем это. Соединим точки А и В c точками С и D. /\ САD = /\ СВD, так как по построению AС = СВ, АD = ВD, СD - общая сторона.

Из равенства этих треугольников следует, что / АСК = / ВСК, т. е. СК является биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника АСВ. А биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является и его медианой, т. е. прямая СD pазделила отрезок АВ пополам.

Задача 2. Провести перпендикуляр к данной прямой АВ через точку О, находящуюся на этой прямой.

Дана прямая АВ и точка О, лежащая на этой прямой. Требуется провести перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку О.

Решение. Отложим на прямой АВ от точки О два равных отрезка ОМ и ОN
(черт. 162). Из точек М и N, как из центров, одними тем же радиусом, большим ОМ, опишем две дуги. Точку их пересечения К соединим с точкой О. КО - медиана в равнобедренном треугольнике МКN, следовательно, КO_|_А В (§ 18).

Задача 3. Провести перпендикуляр к данной прямой АВ через точку С, находящуюся вне этой прямой.

Даны прямая АВ и точка С вне этой прямой, требуется прости перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку С.

Решение. Из точки С, как из центра, опишем дугу таким диусом, чтобы она пересекла прямую АВ, например, в точках М и N (черт. 163). Из точек М и N. как из центров, одним и тем же радиусом, большим половины МN, опишем дуги. Toчку их пересечения Е соединим с точкой С и с точками М и N. Треугольники СМЕ и СNЕ равны по трём сторонам. Значит, / 1 = / 2 и СЕ является биссектрисой угла С в равнобедренном треугольнике МСN, а следовательно, и перпендикуляром к прямой АВ (§ 18).

Знание основных геометрических построений дает возможность правильно и быстро чертить, выбирая для каждого случая наиболее рациональные приемы.

2.1. Деление отрезка на равные части

Разделить отрезок пополам можно при помощи циркуля, построив срединный перпендикуляр (рис. 18, а ). Для этого берём радиус размером более половины длины отрезка и из его концов по обе стороны проводим дуги окружностей до их взаимного пересечения. Через точки пересечения дуг проводим срединный перпендикуляр.

Для деления на любое число равных частей используем теорему Фа-

леса: если на одной стороне угла отложить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся также равные между собой отрезки(рис. 18, б). Под про-

извольным углом к отрезку АВ проводим вспомогательный лучАС , на котором откладываем отрезок произвольной длины столько раз, на сколько частей нужно разделить данный отрезок. Конец последнего отрезка соединяем с точкойВ ичерезконцыостальныхотрезковпроводимпрямые, параллельныеВС .

2.2. Деление окружности на произвольное число равных частей

Умение делить окружность на равные части необходимо для построения правильных многоугольников. Рассмотрим сначала частные приёмы деления окружности.

Деление на три части (рис. 19)

Ставим ножку циркуля в один из концов взаимно перпендикулярных диаметров окружности. Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки на ней по обе стороны от этого конца диаметра. Получаем две вершины правильного треугольника. Третьей вершиной является противоположный конец диаметра.

Деление на четыре части (рис. 20)

Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Если через центр окружности провести прямые под углом 45ᵒ к осям, то они также разделят окружность на четыре равные части. Стороны вписанного квадрата будут параллельны осям окружности. Вместе эти два квадрата разделили окружность на восемь равных частей.

Деление на пять частей (рис. 21)

● 1 ). Раствором циркуля, равным радиусу, делаем засечку на окружности. Получаем точку2 .

● Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3 .

● Ставим ножку циркуля в точку 3 . Берём радиус, равный расстоянию от точки3 до конца вертикального диаметра (точка4 ), и проводим дугу до пересечения с горизонтальным диаметром. Получаем точку5 .

● Соединяем точки 4 и5 . Хорда 4 –5 будет составлять 1/5 часть окружности.

● Замеряем циркулем длину хорды 4 –5 и начинаем откладывать её от одного из концов диаметра (в зависимости от того, как должен быть ориентирован пятиугольник относительно осей). Тот диаметр, от конца которого начинаем откладывать отрезок, будет являться осью симметрии фигуры.

Отрезки рекомендуется откладывать сразу с двух сторон. Оставшийся отрезок должен оказаться перпендикулярным оси симметрии. Если его длина не будет равна длине остальных отрезков, то, значит, неточно выполнено построение или неточно замерена хорда 4 –5 . Следует внести корректировку длины отрезка и повторить деление окружности ещё раз.

Деление на шесть частей (рис. 22)

Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из обоих концов одного и того же диаметра в обе стороны от них. Получаем четыре вершины правильного шестиугольника. Двумя другими вершинами являются концы диаметра, из которых сделаны засечки.

Деление на семь частей (рис. 23)

● Ставим ножку циркуля в один из концов диаметра (точка 1 ). Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем на ней засечку. Получаем точку2 .

● Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3 . Отрезок 2 –3 составляет 1/7 часть окружности.

● Замеряемциркулемдлинуотрезка 2 –3 ипоследовательнооткладываем его от любого конца диаметра сразу с двух сторон. Последний отрезок должен быть перпендикулярен диаметру, от конца которого начали откладывать отрезки. Этотдиаметрбудетосьюсимметриивписанногосемиугольника.

Деление на десять частей (рис. 24)

● Делим окружность на 5 частей, как показано на рис. 21. Получаем правильный пятиугольник.

● Из каждой вершины пятиугольника опускаем перпендикуляры на противолежащие стороны. Все они пройдут через центр окружности и разделят сторону и стягивающую её дугу пополам. Получим ещё 5 вершин.

Деление на двенадцать частей (рис. 25)

Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из концов обоих диаметров по обе стороны от них.

Существует и общий приём деления окружности на любое число частей. Рассмотрим его на примере построения правильного девятиугольника (рис. 27).

● Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра (горизонтальный и вертикальный).

● Тот диаметр, который хотим сделать осью симметрии фигуры, делим на столько частей, на сколько требуется разделить окружность. На рис. 27 диаметр АВ разделён на 9 частей. Полученные точки деления нумеруем.

● Ставим ножку циркуля в точку А и радиусом, равным диаметру окружности, проводим дугу до пересечения с продолжением вертикального диаметра. Получаем точкуС .

● Точку С соединяем через одну с точками деления диаметра и продолжаем до пересечения с противолежащей дугой окружности в точках I, II, III, IV. Если одной из вершин девятиугольника должна быть точкаА , то лучи проводим через все чётные деления диаметра (рис. 27,а ). Если же одной из вершин должна стать точкаВ , то лучи следует проводить через все нечётные деления диаметра (рис. 27,б ).

● Симметрично отображаем построенные точки относительно горизонтального диаметра. Получаем остальные вершины фигуры.

2.2.1. Задание № 4. Деление окружности

Цель: изучить приёмы деления окружности на равные части.

На формате А3 в первом ряду вычертить правильные многоугольники (трех-, четырех-, пяти-, шести-, семи- и девятиугольник), вписанные в окружности диаметром 60 мм. Окружности как вспомогательные линии должны быть тонкими. Многоугольники обвести толстыми линиями.

Зная; что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, мы можем помощью циркуля и линейки делить данный отрезок на две равные части.

Если, например, требуется разделить пополам отрезок А В (черт. 69), то помещают острие циркуля в точки А я В и описывают вокруг них, как около центров, одинаковым радиусом две пересекающиеся дуги (черт. 70). Точки их пересечения С и D соединяют прямою, которая и АВ пополам: АО = ОВ .

Чтобы убедиться, что отрезки АО и ОВ должны быть равны, соединим точки C и D с концами А и В отрезка (черт. 71). Получатся два треугольника ACD и BCD , у которых три стороны соответственно равны: АС = ВС; AD = BD; CD – общая, т. е. принадлежит обоим треугольникам. Отсюда вытекает полное равенство указанных треугольников, а следовательно и равенство всех углов. Значит, между прочим, равны углы ACD и BCD . Сравнивая теперь треугольники АСО и ВСО , видим, что у них сторона ОС – общая, AC = СB , а угол между ними АСО = уг. ВСО . По двум сторонам и углу между ними треугольники равны; следовательно, равны стороны АО и ОВ , т. е. точка О есть середина отрезка АВ .

§ 22. Как построить треугольник по стороне и двум углам

Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:

На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A . Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.

Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС , и построить у его концов углы а и b (черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину F треугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEF равен треугольнику АВС ; действительно, если представим себе, что треугольник DEF наложен на ABC так, что сторона DE совпала с равной ей стороною ВС , то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DF пойдет по стороне ВA , а сторона EF по стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина F должна совпасть с вершиной A . Значит, расстояние DF равно искомому расстоянию ВА.

Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.

Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:

п о т р е м с т о р о н а м;

п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;

п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.

Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:

по трем сторонам: ССС ;

по двум сторонам и углу между ними: СУС ;

по стороне и двум углам: УСУ .

Применения

14. Чтобы узнать расстояние до точки A на другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный AВС , по другую сторону ВС , а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки D пересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ . Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ABC и ВDС равны по одной стороне (ВС ) и двум углам (уг. DCB = уг. АСВ ; уг. DBC = уг. ABC .) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.

§ 23. Параллелограммы

От треугольников перейдем к четырехугольникам, т. е. к фигурам, ограниченным 4-мя сторонами. Примером четырехугольника может служить к в а д р а т – такой четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы-прямые (черт. 76). Другой вид четырехугольника, тоже часто встречающийся, – п р я м о у г о л ь н и к:

так называется всякий четырехугольник с 4-мя прямыми углами (черт. 77 и 78). Квадрат – тоже прямоугольник, но с равными сторонами.

Особенность прямоугольника (и квадрата) та, что обе пары его противоположных сторон п а р а л л е л ь н ы. В прямоугольнике ABCD, например (черт. 78), АВ параллельно DC , a AD параллельно ВС. Это следует из того, что обе противолежащие стороны перпендикулярны к одной и той же прямой, а мы знаем, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны между собою (§ 16).

Другое свойство каждого прямоугольника то, что противоположные его стороны равны между собою. В этом можно убедиться, если соединить противоположные вершины прямоугольника прямой линией, т. е. провести в нем диагональ. Соединив А с С (черт. 79) мы получим два треугольника АВС и ADC. Легко показать, что эти треугольники равны друг другу: сторона АС – общая, уг. 1 = уг. 2, потому что это перекрестные углы при параллельных АВ и CD по такой же причине равны углы 3 и 4. По стороне же и двум углам треугольники ABC и ACD равны; следовательно, сторона АВ = стороне DС, и сторона AD = стороне ВС.

Такие четыреугольники, у которых, как у прямоугольников, противоположные стороны п а р а л л е л ь н ы, называются параллело граммами. На черт. 80 изображен пример параллелограмма: АВ параллельно DС, а AD параллельно BС. Черт.80

Прямоугольник – один из параллелограммов, а именно такой, у которого все углы прямые. Легко убедиться, что каждый параллелограмм обладает следующими свойствами:

П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы п а р а л л ел о г р а м м а р а в н ы; п р о т и в о п о л о ж н ы е с т о р о н ы

п а р а л л е л о г р а м м а р а в н ы.

Чтобы убедиться в этом, проведем в параллелограмме ABCD (черт. 81) прямую ВD (диагональ) и сравним треугольники ABD и ВDC. Эти треугольники равны (случай УСУ ): BD – общая сторона; уг. 1 = уг. 2, уг. 3 = уг. 4 (почему?). Отсюда вытекают перечисленные раньше свойства.

Параллелограмм с четырьмя равными сторонами называется р о м б о м.

Повторительные вопросы

Какая фигура называется квадратом? Прямоугольником? – Что называется диагональю? – Какая фигура называется параллелограммом? Ромбом? – Укажите свойства углов и сторон всякого параллелограмма. – Какой прямоугольник называется квадратом? – Какой параллелограмм называется прямоугольником? – В чем сходство и различие между квадратом и ромбом.

Контуры всех изображений образованы различными линиями. Основными линиями служат прямая, окружность и ряд кривых. При вычерчивании контуров изображений применяют геометрические построения и сопряжения.

При изучении дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» студенты должны усвоить правила и последовательность выполнения геометрических построений и сопряжений.

В этом отношении лучшим способом приобретения навыков построения являются задания по вычерчиванию контуров сложных деталей.

Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания, нужно изучить технику выполнения геометрических построений и сопряжений по методическому пособию.

1. Деление отрезков и углов

1.1. Деление отрезка пополам

Разделить заданный отрезок АВ пополам.

Из концов отрезка АВ, как из центров, проведем дуги окружностей радиусом R, размер которого должен быть несколько больше, чем половина отрезка АВ (Рис. 1). Эти дуги пересекутся в точках M и N, найдем точку С, в которой пересекаются прямые АВ и MN. Точка С разделит отрезок АВ на две равные части.

Примечание . Все необходимые построения должны и могут выполняться только с помощью циркуля и линейки (без делений).

1.2. Деление отрезка на n равных частей

Разделить заданный отрезок на n равных частей.

Из конца отрезка – точки А проведем вспомогательный луч под произвольным углом α.(рис.2 а) На этом луче отложим 4 равных отрезка произвольной длины (рис.2б). Конец последнего, четвертого, отрезка (точку 4) соединим с точкой В. Далее из всех предыдущих точек 1…3 проведем отрезки, параллельные отрезку В4 до пересечения с отрезком АВ в точках1", 2", 3". Полученные таким образом точки разделили отрезок на равные четыре отрезка

1.3. Деление угла пополам

Разделить заданный угол ВАС пополам.

Из вершины угла А произвольным радиусом проводим дугу до пересечения со сторонами угла в точках В и С (рис.3 а). Затем из точек В и С проводим две дуги радиусом, большим половины расстояния ВС, до их пересечения в точке D (рис.3 б). Соединив точки А и D прямой, получаем биссектрису угла, которая делит заданный угол пополам (рис.3 в)

а) б) с)

2. Деление окружности на равные части и построение правильных многоугольников

2.1. Деление окружности на три равные части

Из конца диаметра, например, точки А (рис.4) проводят дугу радиусом R, равным радиусу заданной окружности. Получают первое и второе деление – точки 1 и 2. Третье деление точка 3, находится на противоположном конце того же диаметра. Соединив точки 1,2,3 хордами, получают правильный вписанный треугольник.

2.2. Деление окружности на шесть равных частей

Из концов какого-либо диаметра, например АВ (рис.5), описывают дуги радиусом R окружности. Точки А, 1,3,В,4,2 делят окружность на шесть равных частей. Соединив их хордами, получают правильный вписанный шестиугольник.

Примечание. Вспомогательные дуги проводить полностью не следует, достаточно сделать засечки на окружности.

2.3. Деление окружности на пять равных частей

Проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.6). Радиус ОС в точке О 1 делят пополам.
Из точки О1, как из центра, проводят дугу радиусом О1А до пересечения ее с диаметром CD в точке Е.
Отрезок АЕ равен стороне правильного вписанного пятиугольника, а отрезок ОЕ – стороне правильного вписанного десятиугольника.
Приняв точку А за центр, дугой радиуса R1 = АЕ на окружности отмечают точки 1 и 4. Из точек 1 и 4, как из центров, дугами того же радиуса R1 отмечают точки 3 и 2. Точки А, 1, 2, 3, 4 делятокружность на пять равных частей.

2.4. Деление окружности на семь равных частей

Из конца диаметра, например, точки А проводят дугу радиуса R, равного радиусу окружности (рис.7). Хорда CD равна стороне правильного вписанного треугольника. Половина хорды CD с достаточным приближением равняется стороне правильного вписанного семиугольника, т.е. делит окружность на семь равных частей.

Рис. 7

Литература

Боголюбов С.К. Инженерная графика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – 3-е изд., испр. И доп. - М.: Машиностроение, 2006. – с.392: ил.
Куприков М.Ю. Инженерная графика: учебник для ССУЗов – М.: Дрофа, 2010 – 495 с.: ил.
Федоренко В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению Л.: Машиностроение. 1976. 336 с.

Как построить треугольник по стороне и двум углам

Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:

Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:

п о т р е м с т о р о н а м;

п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;

п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.

Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:

по трем сторонам: ССС ;

по двум сторонам и углу между ними: СУС ;

по стороне и двум углам: УСУ .

Применения

Параллелограммы

П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы п а р а л л ел о г р а м м а р а в н ы; п р о т и в о п о л о ж н ы е с т о р о н ы

п а р а л л е л о г р а м м а р а в н ы.

Параллелограмм с четырьмя равными сторонами называется р о м б о м.

Повторительные вопросы

Применения

15. Квадрат чертят так: отложив одну сторону проводят к ней на концах перпендикуляры, откладывают на них такие же длины и соединяют концы прямой линией (черт. 82). Как убедиться, что четвертая сторона, начерченного четырехугольника равна трем остальным и что все углы его прямые?

Р е ш е н и е. Если построение велось так, что к стороне АВ в точках А и В были проведены перпендикуляры, на которых отложены: АС = АВ и DВ = AB , то остается доказать, что углы С и D прямые и что CD равно АВ. Для этого проведем (черт. 83) диагональ AD. Уг. CAD = ADB, как соответственные (при каких параллельных?); АС = DB , а потому треугольники CAD и BAD равны (по признаку СУС). Отсюда выводим, что CD = AB и уг. С = прямому углу В . Как доказать, что четвертый угол CDB тоже прямой?

16. Как начертить прямоугольник? Почему начерченная фигура может быть названа прямоугольником? (Показать, что все углы начерченной фигуры прямые).

Р е ш е н и е сходно с решением предыдущей задачи.

17. Докажите, что обе диагонали прямоугольника равны.

Р е ш е н и е (черт. 84) вытекает из равенства треугольников АВС и АВD (по признаку СУС).

18. Докажите, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Р е ш е н и е. Сравнивая (черт. 85) треугольники АВО и DСО, убеждаемся, что они равны (по признаку УСУ). Отсюда АО = ОС, 0В = ОD.

19. Длина общего перпендикуляра между двумя параллельными прямыми называется р а с с т о я н и е м между ними. Докажите, что расстояние между параллельными всюду одинаково.

У к а з а н и е: Какую фигуру образуют параллельные линии с двумя перпендикулярами между ними?

IV. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

Квадратные меры. Палетка

В фигурах часто приходится измерять не только д л и н у линий и у г л ы между ними, но и величину того участка, который они охватывают, – т. е. их п л о щ а д ь. В каких мерах измеряется площадь? За меру д л и н ы принята определенная д л и н а (метр, сантиметр), за меру у г л о в – определенный у г о л (1°); за меру же п л о щ а д е й принята определенная п л о щ а д ь, а именно, площадь квадрата со стороною в 1 метр, в 1 см и т. д. Такой квадрат называется «квадратным метром», «квадратным сантиметром» и т. д. Измерить площадь, значит узнать, сколько в ней квадратных единиц меры.

Если измеряемая площадь не велика (умещается на листе бумаги), ее можно измерить следующим образом. Прозрачную бумагу разграфляют на сантиметровые квадраты и накладывают на измеряемую фигуру. Тогда нетрудно прямо сосчитать, сколько квадратных сантиметров содержится в границах фигуры. При этом неполные квадраты близ границы принимают (на глаз) за полквадрата, за четверть квадрата и т. п., или мысленно соединяют их по несколько в целые квадраты. Разграфленная так прозрачная бумага называется п ал е т к о й. Этим способом часто пользуются для измерения площадей неправильных участков на плане.

Но не всегда бывает возможно и удобно накладывать сеть квадратов на измеряемую фигуру. Нельзя, например, измерять таким образом площадь пола или земельного участка. В таких случаях, вместо прямого измерения площади, прибегают к неприятному, состоящему в том, что измеряют только длину некоторых л и н и й фигуры и производят над полученными числами определенные действия. В дальнейшем мы покажем, как это делается.

Повторительные вопросы

В каких мерах определяют площадь фигур? – Что такое палетка и как ею пользуются?

Площадь прямоугольника

Пусть требуется определить площадь какого-нибудь прямоугольника, например, ABDC (черт. 86). Измеряют линейной единицей, напр. метром, длину этого участка. Предположим, что метр укладывается в длине 5 раз. Разделим участок на поперечные полоски шириною в метр, как показано на черт. 87. Таких полос получится, очевидно, 5. Далее измерим метром ширину участка; пусть она равна 3 метрам. Разделим участок на продольные полосы в 1 метр ширины, как показано на черт. 88; их получится, конечно, 3. Каждая из пяти поперечных полос рассечется при этом на 3 квадратных метра, а весь участок будет разделен на 5 Ч 3=15 квадратов со стороною в 1 метр: мы узнали, что участок заключает в себе 15 кв. метров. Но мы могли получить то же число 15, не разграфляя участка, а только перемножив его длину на его ширину. Итак, чтобы узнать, сколько квадратных метров в прямоугольнике, нужно измерить его длину, его ширину и перемножить оба числа.

В рассмотренном случае единица длины – метр – укладывалась в обеих сторонах прямоугольника ц е л о е число раз. В подробных учебниках математики доказывается, что установленное сейчас правило верно и тогда, когда стороны прямоугольника не содержат целого числа единиц длины. Во всех случаях:

П л о щ а д ь п р я м о у г о л ь н и к а р а в н а

п р о и з в е д е н и ю е г о д л и н ы н а ш и р и н у,

и л и, к а к г о в о р я т в г е о м е т р и и, – е г о

«о с н о в а н и я» н а е г о «в ы с о т у».

Если длина основания прямоугольника обозначена буквою а , а длина высоты – буквою b, то площадь его S равна

S = a? b,

или просто S = ab , потому что знак умножения между буквами не ставится.

Легко сообразить, что для определения площади к в а д р а т а надо умножить длину его стороны на себя, т. е. «возвысить в квадрат». Другими словами:

П л о щ а д ь к в а д р а т а р а в н а к в а д р а т у е г о с т о р о н ы. Если длина стороны квадрата а, то площадь его S равна

S = a? a = a 2.

Зная это, можно установить соотношение между различными квадратными единицами. Например, в квадратном метре содержится квадратных дециметров 10 Ч 10, т. е. 100, а квадратных сантиметров 100 Ч 100, т. е. 10 000, – потому что линейный сантиметр укладывается в стороне квадратного дециметра 10 раз, а квадратного метра-100 раз.

Для измерения земельных участков употребляется особая мера – г е к т а р, содержащая 10 000 квадратных метров. Квадратный участок со стороною 100 метров имеет площадь в 1 гектар; прямоугольный участок с основанием 200 метров и высотою 150 метров имеет площадь 200 Ч 150, т. е. в 30 000 кв. м или 3 гектара. Обширные площади – например, округа и районы, – измеряются

к в а д р а т н ы м и к и л о м е т р а м и.

Сокращенное обозначение квадратных мер таково:

квадр. метр………………………………. кв. м или м2

квадр. дециметр…………………………. кв. дм или дм2

квадр. сантиметр………………………… кв. см или см2

квадр. миллиметр……………………….. кв. мм или мм2

гектар…………………………………….. га

Повторительные вопросы

Как вычисляется площадь прямоугольника? Квадрата? – Сколько кв. см в кв. м? Сколько кв. мм в кв. м? – Что такое гектар? – Сколько гектаров в кв. км? Как сокращенно обозначают квадратные меры?

Применения

20. Требуется окрасить иол комнаты, изображенный на черт. 6. Размеры, обозначены в метрах. Сколько понадобится для этого материалов и рабочей силы, если известно, что для окраски одного кв. метра деревянных полов с замазкой щелей и сучьев по прежде окрашенному, за два, требуется (по Урочному Положению):

Маляров…………………………………….. 0,044

Олифы, килограммов…………………….… 0,18

Охры светлой, кг…………………………… 0;099

Замазки, кг…………………………………0,00225

Пемзы, кг………………………………….. 0,0009.

Р е ш е н и е. Площадь пола равна 8? 12 = 96 кв. м.

Расход материалов и рабочей силы таков

Маляров........ 0,044? 96 = 4,2

Олифы........ 0,18? 96= 17 кг

Охры......... 0,099? 96 – 9,9 кг

Замазки........ 0.00225? 96 = 0,22 кг

Пемзы......... 0,0009? 96 = 0,09 кг.

21. Составьте ведомость расхода рабочей силы и материалов для оклейки обоями комнаты предыдущ. задачи. На оклейку стен простыми обоями с бордюрами требуется (по Уроч. Положению) на кв. метр:

Маляров или обойщиков………………………… 0,044

Обоев (шир. 44 см) кусков……………………… 0,264

Бордюр (по расчету)

Крахмала граммов………………………………. 90.

Р е ш е н и е – по образцу, указанному в предыдущей задаче. Заметим лишь, что при подсчете необходимого количества обоев на практике отверстия стен из их площади не вычитают (так как при пригонке фигур в смежных полотнищах часть обоев теряется).

Площадь треугольника

Рассмотрим сначала, как вычисляется площадь п р ям о у г о л ь н о г о треугольника. Пусть требуется определить площадь треугольника ABC (черт. 89), в котором угол В – прямой. Проведем через вершины А и С прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим (черт. 90) прямоугольник ABCD (почему эта фигура – прямоугольник?), который делится диагональю АС на два равные треугольника (почему?). Площадь этого прямоугольника равна ah; площадь же нашего треугольника составляет половину площади прямоугольника, т. е. равна 1/2 ah. Итак, площадь всякого прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, заключающих прямой угол.

Пусть теперь требуется определить площадь треугольника косоугольного (т. е. не прямоугольного), – напр. ABC (черт. 91). Проводим через одну из его вершин перпендикуляр к противоположной стороне; такой перпендикуляр называется в ы с о т о ю этого треугольника, а сторона, к которой он проведен – о с н о в а н и е м треугольника. Обозначим высоту через h , а отрезки, на которые она делит основание, через p и q . Площадь прямоугольного треугольника ABD, как мы уже знаем, равна 1/2 ph ; площадь ВDC = 1/2 qh . Площадь S треугольника ABC равна сумме этих площадей: S = 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 h (р + q ). Но р + q = а ; следовательно S = 1/2 ah .

Рассуждение это нельзя прямо применить к треугольнику с тупым углом (черт. 92), потому что перпендикуляр CD встречает не основание АВ , а его продолжение. В этом случае приходится рассуждать иначе. Обозначим отрезок AD через p, BD – через, q , так что основание а треугольника равна p – q . Площадь нашего треугольника АВС равна р а з н о с т и площадей двух треугольников ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 h (p – q ) = 1/2 ah .

Итак, во всех случаях площадь треугольника равна половине произведения любого его основания на соответствующую высоту.

Отсюда следует, что треугольники с равными основаниями и высотами имеют одинаковые площади, или, как говорят,

р а в н о в е л и к и.

Равновеликими вообще называются фигуры, имеющие равные площади, хотя бы сами фигуры не были равны (т. е. не совпадали при наложении).

Повторительные вопросы

Что называется высотою треугольника? Основанием треугольника? – Сколько высот можно провести в одном треугольнике? – Начертите треугольник с тупым углом и проведите в нем все высоты. – Как вычисляется площадь треугольника? Как выразить это правило формулой? – Какие фигуры называются равновеликими?

Применения

22. Огород имеет форму треугольника с основанием 13,4 м и высокою 37,2 м… Сколько (по весу) требуется семян, чтобы засадить его капустой, если на кв. м идет 0,5 грамма семян?

Р е ш е н и е. Площадь огорода равна 13,4? 37,2 = 498 кв. м.

Семян потребуется 250 г.

23. Параллелограмм разбивается диагоналями на 4 треугольные части. Какая из них имеет наи большую площадь?

Р е ш е н и е. Все 4 треугольника равновелики, так как имеют равные основания и высоты.

Площадь параллелограмма

Правило вычисления площади параллелограмма устанавливается весьма просто, если разбить его диагональю на два треугольника. Например, площадь параллелограмма ABCD (черт. 93) равна удвоенной пощади каждого из двух равных треугольников, на которые он разбивается диагональю АС. Обозначив основание треугольника ADC через а , а высоту через h , получаем площадь S параллелограмма

Перпендикуляр h называется «высотою параллелограмма», а сторона а, к которой он проведен, – «основанием параллелограмма». Поэтому установленное сейчас правило можно высказать так:

П л о щ а д ь п а р а л л е л о г р а м м а р а в н а п р о и з в е д е н и ю л ю б о г о е г о о с н о в а н и я н а с о о т в е т с т в у ю щ у ю в ы с о т у.

Повторительные вопросы

Что называется основанием и высотою параллелограмма? Как вычисляется площадь параллелограмма? – Выразите это правило формулой. – Во сколько раз площадь параллелограмма больше площади треугольника, имеющего одинаковые с ним основание и высоту? – При равных высотах и основаниях какая фигура имеет большую площадь: прямоугольник или параллелограмм?

Применение

24. Квадрат со стороною 12,4 см равновелик параллелограмму с высотою 8,8 см. Найти основание параллелограмма.

Р е ш е н и е. Площадь этого квадрата, а следовательно и параллелограмма равна 12,42= 154 кв. см. Искомое основание равно 154: 8,8 = 18 см.

Площадь трапеции

Кроме параллелограммов, рассмотрим еще один вид четырехугольников – именно те, которые имеют только о д н у пару параллельных сторон (черт. 94). Такие фигуры называются т р а п е ц и я м и. Параллельные стороны трапеции называются ее о с н о в а н и я м и, а непараллельные – б о к а м и.

Черт. 94 Черт. 95

Установим правило вычисления плошали трапеции. Пусть требуется вычислить плошать трапеции ABCD (черт. 95), длина оснований которой a и b . Проведем диагональ АС, которая разрезает трапецию на два треугольника ACD и ABC . Мы знаем, что

площ. ACD = 1/2 ah

площ. ABC = 1/2 bh .

площ. ABCD = 1/2 ah + 1/2 bh = 1/2 (a + b ) h .

Так как расстояние h между основаниями трапеции называется ее высотою, то правило вычисления площади трапеции можно высказать так:

П л о щ а д ь т р а п е ц и и р а в н а п о л у с у м м е о с н о в а н и й, у м н о ж е н н о й н а в ы с о т у.

Повторительные вопросы

Какая фигура называется трапецией? Что называется основаниями трапеции, ее боками и высотой? – Как вычисляется площадь трапеции?

Применения

25. Участок улицы имеет форму трапеции с основаниями 180 м и 170 м и высотою 8,5 м. Сколько деревянных шашек потребуется для его настилки, если на кв. м идет 48 шашек?

Р е ш е н и е. Площадь участка равна 8,5 Ч = (180 + 170)/ 2= 1490 кв. м. Число шашек = 72 000.

26. Скат крыши имеет форму трапеции, основания которой 23,6 м и 19,8 м, а высота 8,2 м. Сколько материала и рабочей силы потребуется на его покрытие, если на кв. м требуется:

Железных листов...... 1,23

Гвоздей кровельных кг.... 0,032

Олифы кг..........0,036

Кровельщиков....... 0,45.

Р е ш е н и е. Площадь ската равна 8,2? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 кв. м. Остается умножить на 178 все числа таблички.