Peamised integraalid, mida iga õpilane peaks teadma
Loetletud integraalid on alus, põhialuste alus. Need valemid tuleks kindlasti meeles pidada. Keerulisemate integraalide arvutamisel peate neid pidevalt kasutama.
Pöörake erilist tähelepanu valemitele (5), (7), (9), (12), (13), (17) ja (19). Ärge unustage integreerimisel lisada oma vastusele suvalist konstanti C!
Konstandi integraal
∫ A d x = A x + C (1)Toitefunktsiooni integreerimine
Tegelikult võis piirduda ainult valemitega (5) ja (7), kuid ülejäänud integraalid sellest rühmast esinevad nii sageli, et tasub neile veidi tähelepanu pöörata.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)
Eksponentfunktsioonide ja hüperboolfunktsioonide integraalid
Muidugi võib valemit (8) (võib-olla meeldejätmiseks kõige mugavam) pidada valemi (9) erijuhtudeks. Valemid (10) ja (11) hüperboolse siinuse ja hüperboolse koosinuse integraalide jaoks on kergesti tuletatavad valemist (8), kuid parem on need seosed lihtsalt meeles pidada.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Trigonomeetriliste funktsioonide põhiintegraalid
Viga, mida õpilased sageli teevad, on see, et nad ajavad valemites (12) ja (13) olevad märgid segamini. Pidades meeles, et siinuse tuletis on võrdne koosinusega, arvavad paljud inimesed millegipärast, et funktsiooni sinx integraal on võrdne cosx-ga. See ei ole tõsi! Siinuse integraal on võrdne "miinuskoosinusega", kuid cosxi integraal on võrdne "lihtsussiinusega":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integraalid, mis taandavad trigonomeetrilisteks pöördfunktsioonideks
Arktangensile viiv valem (16) on loomulikult valemi (17) erijuhtum, kui a=1. Samamoodi on (18) (19) erijuhtum.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − kaared x a + C (a > 0) (19)
Keerulisemad integraalid
Samuti on soovitatav neid valemeid meeles pidada. Neid kasutatakse ka üsna sageli ja nende toodang on üsna tüütu.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Integratsiooni üldreeglid
1) Kahe funktsiooni summa integraal on võrdne vastavate integraalide summaga: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Kahe funktsiooni erinevuse integraal on võrdne vastavate integraalide erinevusega: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstandi saab integraalimärgist välja võtta: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
On lihtne näha, et omadus (26) on lihtsalt omaduste (25) ja (27) kombinatsioon.
4) Kompleksfunktsiooni integraal, kui sisefunktsioon on lineaarne: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Siin on F(x) funktsiooni f(x) antiderivaat. Pange tähele: see valem töötab ainult siis, kui sisemine funktsioon on Ax + B.
Tähtis: kahe funktsiooni korrutise integraali ja murdosa integraali jaoks pole universaalset valemit:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (kolmkümmend)
See ei tähenda muidugi, et murdosa või korrutist ei saaks integreerida. Lihtsalt iga kord, kui näete integraali nagu (30), peate leiutama viisi selle vastu võitlemiseks. Mõnel juhul aitab teid osade kaupa integreerimine, mõnel juhul peate muutma muutujat ja mõnikord võivad aidata isegi "kooli" algebra või trigonomeetria valemid.
Lihtne näide määramata integraali arvutamisest
Näide 1. Leidke integraal: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xKasutame valemeid (25) ja (26) (funktsioonide summa või erinevuse integraal on võrdne vastavate integraalide summa või erinevusega. Saame: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Pidagem meeles, et konstandi saab integraalimärgist (valem (27)) välja võtta. Avaldis teisendatakse vormiks
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x
Nüüd kasutame lihtsalt põhiintegraalide tabelit. Peame rakendama valemeid (3), (12), (8) ja (1). Integreerime astmefunktsiooni, siinuse, eksponentsiaali ja konstanti 1. Ärge unustage lisada suvalist konstanti C lõppu:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Pärast elementaarseid teisendusi saame lõpliku vastuse:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Testige end diferentseerimise teel: võtke saadud funktsiooni tuletis ja veenduge, et see on võrdne algse integrandiga.
Integraalide koondtabel
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − kaared x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Laadige integraalide tabel (II osa) alla sellelt lingilt
Kui õpid ülikoolis, kui sul on raskusi kõrgema matemaatikaga (matemaatiline analüüs, lineaaralgebra, tõenäosusteooria, statistika), kui vajad kvalifitseeritud õpetaja teenuseid, mine kõrgema matemaatika juhendaja lehele. Lahendame teie probleemid koos!
Samuti võite olla huvitatud
Loetleme elementaarfunktsioonide integraalid, mida mõnikord nimetatakse tabeliteks:
Mistahes ülaltoodud valemit saab tõestada, võttes parempoolse külje tuletise (tulemuseks on integrand).
Integratsioonimeetodid
Vaatame mõningaid põhilisi integreerimismeetodeid. Need sisaldavad:
1. Lagundamise meetod(otsene integratsioon).
See meetod põhineb tabelintegraalide otsesel kasutamisel, aga ka määramatu integraali omaduste 4 ja 5 kasutamisel (st konstantse teguri väljavõtmine sulgudest ja/või integrandi esitamine funktsioonide summana – dekomponeerimine integrandi terminiteks).
Näide 1. Näiteks saab (dx/x 4) leidmiseks kasutada otse tabeliintegraali x n dx jaoks. Tegelikult(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Vaatame veel paar näidet.
Näide 2. Selle leidmiseks kasutame sama integraali:
Näide 3. Selle leidmiseks peate võtma
Näide 4. Leidmiseks esindame integrandi funktsiooni vormis 
ja kasutage eksponentsiaalfunktsiooni jaoks tabeliintegraali:
Vaatleme sulgude kasutamist konstantseks teguriks.
Näide 5.
Leiame näiteks 
. Seda arvestades saame
Näide 6. Me leiame selle. Kuna 
, kasutame tabeliintegraali 
Saame
Kahes järgmises näites saate kasutada ka sulgusid ja tabeliintegraale:
Näide 7.
(kasutame ja 
);
Näide 8.
(me kasutame 
Ja 
).
Vaatame keerukamaid näiteid, mis kasutavad summaintegraali.
Näide 9. Näiteks leiame 
. Laiendusmeetodi rakendamiseks lugejas kasutame summa kuubi valemit ja jagame saadud polünoomi nimetajaga termini kaupa.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Tuleb märkida, et lahenduse lõppu kirjutatakse üks ühine konstant C (ja mitte iga termini integreerimisel eraldi). Edaspidi tehakse ka ettepanek jätta lahendusprotsessis üksikute terminite integreerimisest konstandid välja seni, kuni avaldis sisaldab vähemalt ühte määramatut integraali (ühe konstandi kirjutame lahenduse lõppu).
Näide 10. Me leiame 
. Selle ülesande lahendamiseks faktoreerime lugeja (pärast seda saame nimetajat vähendada).
Näide 11. Me leiame selle. Siin saab kasutada trigonomeetrilisi identiteete.
Mõnikord tuleb avaldise terminiteks lagundamiseks kasutada keerukamaid tehnikaid.
Näide 12. Me leiame 
. Integrandis valime kogu murdosa 
. Siis
Näide 13. Me leiame
2. Muutuv asendusmeetod (asendusmeetod)
Meetod põhineb järgmisel valemil: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kus x =(t) on vaadeldaval intervallil diferentseeruv funktsioon.
Tõestus. Leiame tuletised muutuja t suhtes valemi vasakult ja paremalt küljelt.
Pange tähele, et vasakul pool on kompleksfunktsioon, mille vaheargument on x = (t). Seetõttu eristamaks seda t suhtes, eristame esmalt integraali x suhtes ja seejärel võtame vaheargumendi tuletise t suhtes.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Tuletis paremalt küljelt:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Kuna need tuletised on Lagrange'i teoreemi kohaselt võrdsed, erinevad tõestatava valemi vasak ja parem pool teatud konstandi võrra. Kuna määramata integraalid ise on defineeritud kuni määramata konstandiliikmeni, võib selle konstandi lõplikust tähistusest välja jätta. Tõestatud.
Muutuja edukas muutmine võimaldab algset integraali lihtsustada ja kõige lihtsamal juhul taandada tabeliks. Selle meetodi rakendamisel eristatakse lineaarseid ja mittelineaarseid asendusmeetodeid.
a) Lineaarne asendusmeetod Vaatame näidet.
Näide 1.
. Olgu siis t= 1 – 2x
dx=d(½ - ½t) = - ½ dt
Tuleb märkida, et uut muutujat ei ole vaja selgesõnaliselt välja kirjutada. Sellistel juhtudel räägitakse diferentsiaalmärgi all oleva funktsiooni teisendamisest või diferentsiaalmärgi alla konstantide ja muutujate sisseviimisest, s.t. O kaudne muutuja asendamine.
Näide 2. Näiteks leiamecos(3x + 2)dx. Diferentsiaali omaduste järgi dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), siiscos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Mõlemas vaadeldavas näites kasutati integraalide leidmiseks lineaarset asendust t=kx+b(k0).
Üldjuhul kehtib järgmine teoreem.
Lineaarne asendusteoreem. Olgu F(x) funktsiooni f(x) antituletis. Siisf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kus k ja b on mingid konstandid,k0.
Tõestus.
Integraali f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C definitsiooni järgi. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Võtame integraalimärgist välja konstantteguri k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nüüd saame jagada võrdsuse vasaku ja parema külje kaheks ja saada tõestatava väite kuni konstantse liikme tähistuseni.
See teoreem ütleb, et kui integraali f(x)dx= F(x) + C definitsioonis asendame argumendi x asemel avaldise (kx+b), siis see toob kaasa täiendava avaldise ilmumise. tegur 1/k antiderivaadi ees.
Kasutades tõestatud teoreemi, lahendame järgmised näited.
Näide 3.
Me leiame 
. Siin kx+b= 3 –x, st k= -1,b= 3. Siis
Näide 4.
Me leiame selle. Herekx+b= 4x+ 3, st k= 4,b= 3. Siis
Näide 5.
Me leiame 
. Siin kx+b= -2x+ 7, st k= -2,b= 7. Siis
.
Näide 6. Me leiame 
. Siin kx+b= 2x+ 0, st k= 2,b= 0.
.
Võrrelgem saadud tulemust näitega 8, mis lahendati dekomponeerimismeetodil. Lahendades sama probleemi erineva meetodiga, saime vastuse 
. Võrdleme tulemusi: Seega erinevad need avaldised üksteisest konstantse liikme võrra 
, st. Saadud vastused ei ole vastuolus.
Näide 7. Me leiame 
. Valime nimetajas täiusliku ruudu.
Mõnel juhul ei vähenda muutuja muutmine integraali otse tabeliks, vaid võib lahendust lihtsustada, võimaldades järgmises etapis kasutada laiendusmeetodit.
Näide 8. Näiteks leiame 
. Asenda t=x+ 2, siis dt=d(x+ 2) =dx. Siis
,
kus C = C 1 – 6 (avaldise (x+ 2) asendamisel kahe esimese liikme asemel saame ½x 2 -2x– 6).
Näide 9. Me leiame 
. Olgu t= 2x+ 1, siis dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Asendame t avaldisega (2x+ 1), avame sulud ja anname sarnased.
Pange tähele, et teisenduste käigus liikusime teisele konstantsele terminile, sest konstantsete terminite rühma võib teisendusprotsessi käigus välja jätta.
b) Mittelineaarne asendusmeetod Vaatame näidet.
Näide 1.
. Lett = -x 2. Järgmisena võiks x-i väljendada t-ga, seejärel leida avaldis dx-le ja rakendada muutuja muutmist soovitud integraalis. Kuid sel juhul on lihtsam asju teisiti teha. Let's finddt=d(-x 2) = -2xdx. Pange tähele, et avaldis xdx on soovitud integraali integrandi tegur. Avaldame selle tulemuseks olevast võrdsusestxdx= - ½dt. Siis
Varasemas materjalis käsitleti tuletise leidmise küsimust ja näidati selle erinevaid rakendusi: graafiku puutuja kalde arvutamine, optimeerimisülesannete lahendamine, funktsioonide uurimine monotoonsuse ja ekstreemsuse jaoks. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nlimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nlimits)$
1. pilt.
Arvesse võeti ka hetkkiiruse $v(t)$ leidmise probleemi, kasutades tuletist mööda varem tuntud läbitud teed, mida väljendatakse funktsiooniga $s(t)$.
Joonis 2.
Väga levinud on ka pöördülesanne, kui on vaja leida tee $s(t)$, mille läbib ajahetk $t$, teades punkti $v(t)$ kiirust. Kui meenutada, leitakse hetkekiirus $v(t)$ teefunktsiooni $s(t)$ tuletis: $v(t)=s’(t)$. See tähendab, et pöördülesande lahendamiseks ehk teekonna arvutamiseks tuleb leida funktsioon, mille tuletis on võrdne kiirusfunktsiooniga. Kuid me teame, et tee tuletis on kiirus, see tähendab: $s’(t) = v(t)$. Kiirus võrdub kiirenduse kordade ajaga: $v=at$. On lihtne kindlaks teha, et soovitud teefunktsioon on kujul: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Kuid see pole päris täielik lahendus. Täislahendus on kujul: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, kus $C$ on mingi konstant. Miks see nii on, sellest räägitakse edasi. Praegu kontrollime leitud lahenduse õigsust: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.
Väärib märkimist, et kiirusel põhineva tee leidmine on antiderivaadi füüsiline tähendus.
Saadud funktsiooni $s(t)$ nimetatakse funktsiooni $v(t)$ antituletiseks. Päris huvitav ja ebatavaline nimi, kas pole. See sisaldab suurepärast tähendust, mis selgitab selle kontseptsiooni olemust ja viib selle mõistmiseni. Märkate, et see sisaldab kahte sõna "esimene" ja "pilt". Nad räägivad enda eest. See tähendab, et see on funktsioon, mis on meie tuletise esialgne funktsioon. Ja seda tuletist kasutades otsime funktsiooni, mis oli alguses, oli "esimene", "esimene pilt", see tähendab antiderivaat. Mõnikord nimetatakse seda ka primitiivseks funktsiooniks või antiderivaadiks.
Nagu me juba teame, nimetatakse tuletise leidmise protsessi diferentseerimiseks. Ja antiderivaadi leidmise protsessi nimetatakse integreerimiseks. Integreerimise toiming on diferentseerimise operatsiooni pöördtegur. Ka vastupidine on tõsi.
Definitsioon. Funktsiooni $f(x)$ antituletis teatud intervallil on funktsioon $F(x)$, mille tuletis on võrdne selle funktsiooniga $f(x)$ kõigi määratud intervalli $x$ jaoks: $F' (x)=f (x)$.
Kellelgi võib tekkida küsimus: kust tulid definitsioonis $F(x)$ ja $f(x)$, kui algselt oli juttu $s(t)$ ja $v(t)$. Fakt on see, et $s(t)$ ja $v(t)$ on funktsioonide määramise erijuhud, millel on antud juhul konkreetne tähendus, st need on vastavalt aja ja kiiruse funktsioon. Sama on muutujaga $t$ – see tähistab aega. Ja $f$ ja $x$ on vastavalt funktsiooni ja muutuja üldnimetuse traditsiooniline variant. Erilist tähelepanu tasub pöörata antiderivaadi $F(x)$ tähistusele. Esiteks on $F$ kapital. Antiderivaadid on märgitud suurtähtedega. Teiseks on tähed samad: $F$ ja $f$. See tähendab, et funktsiooni $g(x)$ puhul tähistatakse antiderivatiivi väärtusega $G(x)$, $z(x)$ puhul – $Z(x)$. Sõltumata tähistusest on antiderivatiivse funktsiooni leidmise reeglid alati samad.
Vaatame mõnda näidet.
Näide 1. Tõesta, et funktsioon $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ on funktsiooni $f(x)=\cos5x$ antituletis.
Selle tõestamiseks kasutame definitsiooni või pigem fakti, et $F'(x)=f(x)$ ja leiame funktsiooni $F(x)$ tuletise: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. See tähendab, et $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ on $f(x)=\cos5x$ antiderivaat. Q.E.D.
Näide 2. Leia, millised funktsioonid vastavad järgmistele antiderivaatidele: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Vajalike funktsioonide leidmiseks arvutame nende tuletised:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
Näide 3. Mis on $f(x)=0$ antiderivaat?
Kasutame määratlust. Mõelgem, millise funktsiooni tuletis võib olla $0$. Tuletiste tabelit meenutades leiame, et igal konstandil on selline tuletis. Leiame, et otsitav antiderivaat on: $F(x)= C$.
Saadud lahendust saab seletada geomeetriliselt ja füüsikaliselt. Geomeetriliselt tähendab see, et graafiku $y=F(x)$ puutuja on selle graafiku igas punktis horisontaalne ja langeb seetõttu kokku $Ox$ teljega. Füüsiliselt on see seletatav sellega, et punkt, mille kiirus on võrdne nulliga, jääb paigale, st selle läbitud teekond jääb muutumatuks. Selle põhjal saame sõnastada järgmise teoreemi.
Teoreem. (Funktsioonide püsivuse märk). Kui mingil intervallil $F’(x) = 0$, siis funktsioon $F(x)$ sellel intervallil on konstantne.
Näide 4. Määrake, millised funktsioonid on a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ antiderivaadid; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, kus $a$ on mingi arv.
Kasutades antiderivatiivi definitsiooni, järeldame, et selle probleemi lahendamiseks peame arvutama meile antud antiderivatiivi funktsioonide tuletised. Arvutamisel pidage meeles, et konstandi, st mis tahes arvu tuletis on võrdne nulliga.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.
Mida me näeme? Mitu erinevat funktsiooni on sama funktsiooni primitiivid. See viitab sellele, et igal funktsioonil on lõpmatult palju antiderivaate ja need on kujul $F(x) + C$, kus $C$ on suvaline konstant. See tähendab, et integratsiooni toimimine on erinevalt diferentseerimise toimimisest mitme väärtusega. Selle põhjal sõnastame teoreemi, mis kirjeldab antiderivaatide peamist omadust.
Teoreem. (Antiderivaatide peamine omadus). Olgu funktsioonid $F_1$ ja $F_2$ funktsiooni $f(x)$ antituletised mingil intervallil. Siis kehtib kõigi selle intervalli väärtuste puhul järgmine võrdsus: $F_2=F_1+C$, kus $C$ on mingi konstant.
Lõpmatu arvu antiderivaatide olemasolu fakti saab tõlgendada geomeetriliselt. Kasutades paralleeltõlget piki $Oy$ telge, saab üksteisest saada mistahes kahe antiderivaadi graafikud väärtuse $f(x)$ jaoks. See on antiderivaadi geomeetriline tähendus.
Väga oluline on pöörata tähelepanu asjaolule, et valides konstantse $C$ saate tagada, et antiderivaadi graafik läbib teatud punkti.
Joonis 3.
Näide 5. Leia antituletis funktsioonile $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, mille graafik läbib punkti $(3; 1)$.
Leiame esmalt kõik antiderivaadid $f(x)$ jaoks: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Järgmiseks leiame arvu C, mille puhul graafik $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ läbib punkti $(3; 1)$. Selleks asendame punkti koordinaadid graafiku võrrandis ja lahendame selle $C$ jaoks:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Saime graafiku $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, mis vastab antiderivaadile $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Antiderivaatide tabel
Antiderivaatide leidmise valemite tabeli saab koostada derivaatide leidmise valemite abil.
| Funktsioonid | Antiderivaadid |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ | $kirves+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
Tabeli õigsust saate kontrollida järgmiselt: iga parempoolses veerus asuva antiderivaatide komplekti jaoks leidke tuletis, mille tulemusel kuvatakse vasakpoolses veerus vastavad funktsioonid.
Mõned reeglid antiderivaatide leidmiseks
Nagu teada, on paljudel funktsioonidel keerulisem vorm, kui need, mis on näidatud antiderivaatide tabelis, ja need võivad olla mis tahes suvaline kombinatsioon funktsioonide summadest ja korrutistest sellest tabelist. Ja siin tekib küsimus: kuidas arvutada selliste funktsioonide antiderivaate. Näiteks tabelist teame, kuidas arvutada $x^3$, $\sin x$ ja $10$ antiderivatiivid. Kuidas saab näiteks arvutada antiderivatiivi $x^3-10\sin x$? Tulevikku vaadates tasub märkida, et see võrdub $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Kui $F(x)$ on $f(x)$ jaoks antiderivaat, $G(x)$ jaoks $g(x)$, siis $f(x)+g(x)$ puhul on antiderivaat võrdne $ F(x)+G(x)$.
2. Kui $F(x)$ on $f(x)$ antiderivaat ja $a$ on konstant, siis $af(x)$ puhul on antiderivaat $aF(x)$.
3. Kui $f(x)$ puhul on antiderivaat $F(x)$, $a$ ja $b$ on konstandid, siis $\frac(1)(a) F(ax+b)$ on antiderivaat $f (ax+b)$ jaoks.
Saadud reeglite abil saame antiderivaatide tabelit laiendada.
| Funktsioonid | Antiderivaadid |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Näide 5. Leia antiderivaadid:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Integreerimise põhivalemid ja meetodid. Summa või vahe integreerimise reegel. Konstandi liigutamine väljaspool integraalimärki. Muutuv asendusmeetod. Osade kaupa integreerimise valem. Näide probleemi lahendamisest.
Allpool on loetletud neli peamist integreerimismeetodit.
1)
Summa või vahe integreerimise reegel.
.
Siin ja all u, v, w on integratsioonimuutuja x funktsioonid.
2)
Konstandi liigutamine väljaspool integraalimärki.
Olgu c x-st sõltumatu konstant. Siis saab selle integraalmärgist välja võtta.
3)
Muutuv asendusmeetod.
Vaatleme määramatut integraali.
Kui leiame sellise funktsiooni φ (x) alates x, nii
,
siis, asendades muutuja t = φ(x) , saame
.
4)
Osade kaupa integreerimise valem.
,
kus u ja v on integratsioonimuutuja funktsioonid.
Määramatute integraalide arvutamise lõppeesmärk on teisenduste abil taandada antud integraal kõige lihtsamateks integraalideks, mida nimetatakse tabeliintegraalideks. Tabeliintegraale väljendatakse elementaarfunktsioonide kaudu tuntud valemite abil.
Vaata integraalide tabelit >>>
Näide
Arvuta määramata integraal
Lahendus
Märgime, et integrand on kolme liikme summa ja erinevus:
, Ja .
Meetodi rakendamine 1
.
Järgmisena märgime, et uute integraalide integrandid korrutatakse konstantidega 5, 4,
Ja 2
, vastavalt. Meetodi rakendamine 2
.
Integraalide tabelist leiame valemi
.
Eeldusel, et n = 2
, leiame esimese integraali.
Kirjutame teise integraali vormi ümber
.
Märkame seda. Siis
Kasutame kolmandat meetodit. Muudame muutujat t = φ (x) = log x.
.
Integraalide tabelist leiame valemi
Kuna integratsiooni muutujat saab tähistada mis tahes tähega, siis
Kirjutame vormis ümber kolmanda integraali
.
Rakendame osade kaupa integreerimise valemit.
Paneme selle.
Siis
;
;
;
;
.
Sellelt lehelt leiate:
1. Tegelikult antiderivaatide tabel - seda saab PDF-vormingus alla laadida ja printida;
2. Video selle tabeli kasutamise kohta;
3. Hunnik näiteid antiderivaadi arvutamisest erinevatest õpikutest ja testidest.
Videos endas analüüsime paljusid probleeme, kus peate arvutama funktsioonide antiderivaadid, sageli üsna keerulised, kuid mis kõige tähtsam, need ei ole võimsusfunktsioonid. Kõik ülaltoodud tabelis kokku võetud funktsioonid peavad olema peast teada, nagu tuletised. Ilma nendeta on integraalide edasine uurimine ja nende rakendamine praktiliste probleemide lahendamisel võimatu.
Täna jätkame primitiivide uurimist ja liigume veidi keerulisema teema juurde. Kui eelmine kord vaatlesime ainult võimsusfunktsioonide ja veidi keerukamate konstruktsioonide antiderivaate, siis täna vaatame trigonomeetriat ja palju muud.
Nagu ma eelmises õppetükis ütlesin, ei lahendata antiderivaate, erinevalt tuletistest, kunagi standardreeglite abil "kohe". Pealegi on halb uudis see, et erinevalt tuletisest ei pruugita antiderivaati üldse arvesse võtta. Kui kirjutada täiesti juhuslik funktsioon ja proovida leida selle tuletist, siis väga suure tõenäosusega see õnnestub, kuid antiderivatiivi ei arvutata sel juhul peaaegu kunagi. Kuid on ka häid uudiseid: on olemas üsna suur funktsioonide klass, mida nimetatakse elementaarfunktsioonideks, mille antiderivaate on väga lihtne arvutada. Ja kõik muud keerukamad struktuurid, mis antakse igasugustele testidele, sõltumatutele testidele ja eksamitele, koosnevad tegelikult nendest elementaarsetest funktsioonidest liitmise, lahutamise ja muude lihtsate toimingute kaudu. Selliste funktsioonide prototüübid on pikka aega arvutatud ja spetsiaalseteks tabeliteks koostatud. Just nende funktsioonide ja tabelitega me täna töötame.
Kuid alustame, nagu alati, kordusega: meenutagem, mis on antiderivaat, miks neid on lõpmatult palju ja kuidas määrata nende üldist välimust. Selleks leidsin kaks lihtsat probleemi.
Lihtsate näidete lahendamine
Näide nr 1
Pangem kohe tähele, et $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ja üldiselt $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ vihjab meile kohe, et funktsiooni nõutav antiderivatiiv on seotud trigonomeetriaga. Ja tõepoolest, kui vaatame tabelit, leiame, et $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ pole midagi muud kui $\text(arctg)x$. Nii et paneme selle kirja:
Leidmiseks peate üles kirjutama järgmised andmed:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Näide nr 2
Räägime siin ka trigonomeetrilistest funktsioonidest. Kui vaatame tabelit, siis tõepoolest juhtub see nii:
Peame kogu antiderivaatide komplekti hulgast leidma selle, mis läbib näidatud punkti:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Paneme selle lõpuks kirja:
Nii lihtne see ongi. Ainus probleem on selles, et lihtsate funktsioonide antiderivaatide arvutamiseks peate õppima antiderivaatide tabelit. Kuid pärast tuletistabeli uurimist arvan, et see ei tekita probleeme.
Eksponentfunktsiooni sisaldavate ülesannete lahendamine
Alustuseks kirjutame järgmised valemid:
\[((e)^(x))\kuni ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Vaatame, kuidas see kõik praktikas toimib.
Näide nr 1
Kui vaatame sulgude sisu, siis märkame, et antiderivaatide tabelis pole sellist avaldist $((e)^(x))$ jaoks ruudus, seega tuleb seda ruutu laiendada. Selleks kasutame lühendatud korrutusvalemeid:
Leiame iga termini jaoks antiderivaadi:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \parem))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \parem))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]
Nüüd kogume kõik terminid ühte avaldisse ja saame üldise antiderivaadi:
Näide nr 2
Seekord on aste suurem, nii et lühendatud korrutusvalem on üsna keeruline. Avame siis sulud:
Proovime nüüd sellest konstruktsioonist võtta meie valemi antiderivaadi:
Nagu näete, pole eksponentsiaalfunktsiooni antiderivaatides midagi keerulist ega üleloomulikku. Kõik need on arvutatud tabelite kaudu, kuid tähelepanelikud õpilased märkavad ilmselt, et antiderivatiiv $((e)^(2x))$ on palju lähemal lihtsalt $((e)^(x))$ kui $((a) )^(x ))$. Ehk on mõni erilisem reegel, mis lubab antideriviivi $((e)^(x))$ teades leida $((e)^(2x))$? Jah, selline reegel on olemas. Ja pealegi on see antiderivaatide tabeliga töötamise lahutamatu osa. Nüüd analüüsime seda samade väljendite abil, millega me just näitena töötasime.
Antiderivaatide tabeliga töötamise reeglid
Kirjutame oma funktsiooni uuesti:
Eelmisel juhul kasutasime lahendamiseks järgmist valemit:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operaatorinimi(lna))\]
Aga nüüd teeme seda veidi teisiti: meenutagem, mille alusel $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Nagu ma juba ütlesin, kuna tuletis $((e)^(x))$ ei ole midagi muud kui $((e)^(x))$, siis on selle antiderivaat võrdne sama $((e) ^ (x))$. Kuid probleem on selles, et meil on $((e)^(2x))$ ja $((e)^(-2x))$. Nüüd proovime leida $((e)^(2x))$ tuletist:
\[((\left(((e)^(2x)) \parem))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Kirjutame oma konstruktsiooni uuesti ümber:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
See tähendab, et kui leiame antiderivaadi $((e)^(2x))$, saame järgmise:
\[((e)^(2x))\frac(((e)^(2x)))(2)\]
Nagu näete, saime sama tulemuse, mis varem, kuid me ei kasutanud $((a)^(x))$ leidmiseks valemit. Nüüd võib see tunduda rumal: miks teha arvutusi keeruliseks, kui on olemas standardvalem? Kuid veidi keerulisemates väljendites leiate, et see tehnika on väga tõhus, st. derivaatide kasutamine antiderivaatide leidmiseks.
Soojenduseks leiame sarnasel viisil $(e)^(2x))$ antiderivaadi:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Arvutamisel kirjutatakse meie konstruktsioon järgmiselt:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Saime täpselt sama tulemuse, kuid läksime teist teed. Just see tee, mis praegu tundub meile veidi keerulisem, osutub tulevikus efektiivsemaks keerukamate antiderivaatide arvutamisel ja tabelite kasutamisel.
Märge! See on väga oluline punkt: antiderivaate, nagu ka derivaate, saab loendada mitmel erineval viisil. Kui aga kõik arvutused ja arvutused on võrdsed, on vastus sama. Me nägime seda äsja $((e)^(-2x))$ näitel - ühelt poolt arvutasime selle antiderivaadi "otse läbi", kasutades definitsiooni ja arvutades selle teisenduste abil, teisest küljest, tuli meelde, et $ ((e)^(-2x))$ saab esitada kui $((\left(((e)^(-2)) \right)))^(x))$ ja alles siis kasutasime funktsiooni $( (a)^(x))$ antituletis. Pärast kõiki ümberkujundamisi oli tulemus aga ootuspärane.
Ja nüüd, kui me seda kõike mõistame, on aeg liikuda millegi olulisema juurde. Nüüd analüüsime kahte lihtsat konstruktsiooni, kuid nende lahendamisel kasutatav tehnika on võimsam ja kasulikum tööriist kui lihtsalt tabelist naaberantiderivaatide vahel “jooksmine”.
Probleemi lahendamine: funktsiooni antiderivaadi leidmine
Näide nr 1
Jagame lugejates oleva summa kolmeks eraldi murduks:
See on üsna loomulik ja arusaadav üleminek – enamikul õpilastest sellega probleeme ei teki. Kirjutame oma väljendi ümber järgmiselt:
Nüüd meenutagem seda valemit:
Meie puhul saame järgmise:
Kõigist nendest kolmekorruselistest murdudest vabanemiseks soovitan teha järgmist:
Näide nr 2
Erinevalt eelmisest murrust ei ole nimetaja korrutis, vaid summa. Sel juhul ei saa me enam jagada oma murdosa mitme lihtmurru summaks, vaid peame kuidagi püüdma veenduda, et lugeja sisaldab ligikaudu sama avaldist kui nimetaja. Sel juhul on seda üsna lihtne teha:
See märge, mida matemaatilises keeles nimetatakse "nulli lisamiseks", võimaldab meil murdosa uuesti jagada kaheks osaks:
Nüüd leiame selle, mida otsisime:
See on kõik arvutused. Vaatamata näilisele suuremale keerukusele kui eelmises ülesandes, osutus arvutuste maht veelgi väiksemaks.
Lahenduse nüansid
Ja siin peitub tabelivastaste derivaatidega töötamise peamine raskus, see on eriti märgatav teises ülesandes. Fakt on see, et mõne tabeli kaudu hõlpsasti arvutatava elemendi valimiseks peame teadma, mida täpselt otsime, ja kogu antiderivatiivide arvutus koosneb nende elementide otsimisest.
Teisisõnu ei piisa ainult antiderivaatide tabeli päheõppimisest – tuleb osata näha midagi, mida veel ei ole, vaid mida selle probleemi autor ja koostaja mõtles. Seetõttu vaidlevad paljud matemaatikud, õpetajad ja professorid pidevalt: "Mis on antiderivaatide võtmine või integreerimine - kas see on lihtsalt tööriist või on see tõeline kunst?" Tegelikult ei ole lõimumine minu isikliku arvamuse kohaselt üldse kunst - selles pole midagi ülevat, see on lihtsalt harjutamine ja rohkem harjutamine. Ja harjutamiseks lahendame kolm tõsisemat näidet.
Koolitame integratsiooni praktikas
Ülesanne nr 1
Kirjutame järgmised valemid:
\[((x)^(n))\ kuni \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Kirjutame järgmise:
Probleem nr 2
Kirjutame selle ümber järgmiselt:
Antiderivatiivi kogusumma on võrdne:
Probleem nr 3
Selle ülesande raskus seisneb selles, et erinevalt eelmistest ülaltoodud funktsioonidest pole muutujat $x$ üldse, st. meile pole selge, mida lisada või lahutada, et saada vähemalt midagi sarnast allpool kirjeldatule. Kuid tegelikult peetakse seda avaldist veelgi lihtsamaks kui ükski eelmine avaldis, kuna selle funktsiooni saab ümber kirjutada järgmiselt:
Nüüd võite küsida: miks need funktsioonid on võrdsed? Kontrollime:
Kirjutame selle uuesti ümber:
Muudame oma väljendit veidi:
Ja kui ma seda kõike oma õpilastele selgitan, tekib peaaegu alati sama probleem: esimese funktsiooniga on kõik enam-vähem selge, teisega saab ka õnne või praktikaga selgeks, aga millise alternatiivse teadvusega sa teed. mida peab kolmanda näite lahendamiseks omama? Tegelikult ärge kartke. Meetodit, mida kasutasime viimase antiderivaadi arvutamisel, nimetatakse "funktsiooni lihtsaimaks jaotamiseks" ja see on väga tõsine tehnika ja sellele pühendatakse eraldi videotund.
Vahepeal teen ettepaneku pöörduda tagasi selle juurde, mida me just uurisime, nimelt eksponentsiaalsete funktsioonide juurde ja muuta nende sisuga probleeme mõnevõrra keerulisemaks.
Keerulisemad ülesanded antiderivatiivsete eksponentsiaalfunktsioonide lahendamiseks
Ülesanne nr 1
Pangem tähele järgmist:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Selle avaldise antiderivaadi leidmiseks kasutage lihtsalt standardvalemit - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Meie puhul on antiderivaat järgmine:
Muidugi, võrreldes meie äsja lahendatud disainiga, tundub see lihtsam.
Probleem nr 2
Jällegi on lihtne näha, et selle funktsiooni saab hõlpsasti jagada kaheks eraldi terminiks – kaheks eraldi murduks. Kirjutame ümber:
Üle jääb ülalkirjeldatud valemi abil leida kõigi nende terminite antiderivaat:
Vaatamata eksponentsiaalfunktsioonide näilisele suuremale keerukusele võrreldes võimsusfunktsioonidega, osutus arvutuste ja arvutuste üldine maht palju lihtsamaks.
Teadlikele õpilastele võib äsja arutletu (eriti varem käsitletu taustal) tunduda muidugi elementaarsete väljenditena. Neid kahte ülesannet tänaseks videotunniks valides ei seadnud ma aga eesmärgiks rääkida teile veel ühest keerulisest ja keerukast tehnikast – tahtsin teile näidata vaid seda, et te ei tohiks karta kasutada algebraliste funktsioonide muutmiseks standardseid algebra tehnikaid. .
"Salajase" tehnika kasutamine
Kokkuvõtteks tahaksin vaadelda veel ühte huvitavat tehnikat, mis ühest küljest läheb kaugemale sellest, millest täna põhiliselt arutlesime, kuid teisest küljest pole see esiteks sugugi keeruline, s.t. Ka algajad õpilased saavad sellega hakkama ja teiseks kohtab seda üsna sageli kõikvõimalikes kontrolltöödes ja iseseisvates töödes, s.t. selle tundmine on väga kasulik lisaks antiderivaatide tabeli tundmisele.
Ülesanne nr 1
Ilmselgelt on meil midagi väga sarnast võimsusfunktsiooniga. Mida peaksime sel juhul tegema? Mõelgem sellele: $x-5 $ ei erine palju $x$-st – nad lihtsalt lisasid $-5 $. Kirjutame selle nii:
\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Proovime leida $((\left(x-5 \right))^(5))$ tuletist:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
See tähendab:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ paremal))^(\peamine ))\]
Tabelis sellist väärtust pole, seega oleme nüüd selle valemi ise tuletanud, kasutades võimsusfunktsiooni standardset antiderivatiivvalemit. Kirjutame vastuse nii:
Probleem nr 2
Paljud õpilased, kes vaatavad esimest lahendust, võivad arvata, et kõik on väga lihtne: lihtsalt asenda $x$ võimsusfunktsioonis lineaarse avaldisega ja kõik loksub paika. Kahjuks pole kõik nii lihtne ja nüüd näeme seda.
Analoogiliselt esimese avaldisega kirjutame järgmise:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Tulles tagasi tuletise juurde, võime kirjutada:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \parem))^(\prime ))\]
See järgneb kohe:
Lahenduse nüansid
Pange tähele: kui eelmisel korral midagi sisuliselt ei muutunud, siis teisel juhul ilmus -10 $ asemel -30 $. Mis vahe on -10 $ ja -30 $ vahel? Ilmselgelt -3 dollari võrra. Küsimus: kust see tuli? Kui vaatate tähelepanelikult, näete, et see võeti kompleksfunktsiooni tuletise arvutamise tulemusena - koefitsient, mis oli $x$, kuvatakse allolevas antiderivatiivis. See on väga oluline reegel, mida ma esialgu ei plaaninud tänases videotunnis üldse käsitleda, kuid ilma selleta jääks tabeliliste antiderivaatide esitamine poolikuks.
Nii et teeme seda uuesti. Olgu siin meie peamine jõufunktsioon:
\[((x)^(n))\ kuni \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Nüüd asendame $x$ asemel avaldise $kx+b$. Mis siis saab? Peame leidma järgmise:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \right)\cdot k)\]
Mille alusel me seda väidame? Väga lihtne. Leiame ülal kirjutatud konstruktsiooni tuletise:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
See on sama väljend, mis algselt eksisteeris. Seega on ka see valem õige ja seda saab kasutada antiderivaatide tabeli täiendamiseks või on parem kogu tabel lihtsalt pähe õppida.
Järeldused teemast "Saladus: tehnika:
- Mõlemad funktsioonid, mida just vaatlesime, saab astmeid laiendades tegelikult taandada tabelis näidatud antiderivaatideks, aga kui neljanda astmega enam-vähem kuidagi hakkama saame, siis üheksandat kraadi ma ei teeks kõik julgesid paljastada.
- Kui kraade laiendada, jõuaksime sellise arvutustemahuni, et lihtne ülesanne võtaks meil sobimatult palju aega.
- Seetõttu ei pea selliseid lineaarseid avaldisi sisaldavaid ülesandeid "peapeale" lahendama. Niipea kui leiate antiderivaadi, mis erineb tabelis olevast ainult selle poolest, et sees on avaldis $kx+b$, pidage kohe meeles ülal kirjutatud valem, asendage see oma tabeli antiderivatiiviga ja kõik selgub palju kiiremini ja lihtsamalt.
Loomulikult pöördume selle tehnika keerukuse ja tõsiduse tõttu tulevastes videotundides selle juurde korduvalt, kuid tänaseks on see kõik. Loodan, et see õppetund aitab tõesti neid õpilasi, kes soovivad mõista antiderivaate ja integratsiooni.