Kõiki kolmnurga parameetreid pole peaaegu kunagi võimalik määrata ilma täiendavate konstruktsioonideta. Need konstruktsioonid on kolmnurga ainulaadsed graafilised omadused, mis aitavad määrata külgede ja nurkade suurust.
Definitsioon
Üks neist omadustest on kolmnurga kõrgus. Kõrgus on risti, mis on tõmmatud kolmnurga tipust selle vastasküljele. Tipp on üks kolmest punktist, mis koos kolme küljega moodustavad kolmnurga.
Kolmnurga kõrguse määratlus võib kõlada järgmiselt: kõrgus on risti, mis on tõmmatud kolmnurga tipust vastaskülge sisaldava sirgjoonega.
See määratlus kõlab keerulisemalt, kuid peegeldab olukorda täpsemalt. Fakt on see, et nüri kolmnurga puhul ei ole võimalik kolmnurga sees olevat kõrgust joonistada. Nagu on näha jooniselt 1, on kõrgus antud juhul väline. Lisaks ei ole standardne olukord konstrueerida kõrgust täisnurksesse kolmnurka. Sel juhul läbib jalgu kaks kolmnurga kolmest kõrgusest ja kolmas tipust hüpotenuusini.
Riis. 1. Nürikujulise kolmnurga kõrgus.
Tavaliselt tähistatakse kolmnurga kõrgust tähega h. Kõrgus on näidatud ka teistel joonistel.
Kuidas leida kolmnurga kõrgust?
Kolmnurga kõrguse leidmiseks on kolm standardmeetodit:
Pythagorase teoreemi kaudu
Seda meetodit kasutatakse võrdkülgsete ja võrdhaarsete kolmnurkade jaoks. Analüüsime võrdhaarse kolmnurga lahendit ja seejärel ütleme, miks sama lahend kehtib ka võrdkülgse kolmnurga puhul.
Antud: võrdhaarne kolmnurk ABC alusega AC. AB=5, AC=8. Leidke kolmnurga kõrgus.
Riis. 2. Probleemi joonistamine.
Võrdhaarse kolmnurga puhul on oluline teada, milline külg on alus. See määrab küljed, mis peavad olema võrdsed, ja ka kõrguse, millel teatud omadused toimivad.
Aluse külge tõmmatud võrdhaarse kolmnurga kõrguse omadused:
- Kõrgus langeb kokku mediaani ja poolitajaga
- Jagab aluse kaheks võrdseks osaks.
Kõrgust tähistame kui ВD. Leiame DC poolena alusest, kuna punkti D kõrgus jagab aluse pooleks. DC = 4
Kõrgus on risti, mis tähendab, et BDC on täisnurkne kolmnurk ja kõrgus BH on selle kolmnurga jalg.
Leiame kõrguse Pythagorase teoreemi abil: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$
Iga võrdkülgne kolmnurk on võrdhaarne, ainult selle põhi on võrdne külgedega. See tähendab, et saate kasutada sama protseduuri.
Läbi kolmnurga ala
Seda meetodit saab kasutada mis tahes kolmnurga jaoks. Selle kasutamiseks peate teadma kolmnurga pindala ja külge, millele kõrgus tõmmatakse.
Kolmnurga kõrgused ei ole võrdsed, nii et vastava külje jaoks on võimalik arvutada vastav kõrgus.
Kolmnurga pindala valem on: $$S=(1\over2)*bh$$, kus b on kolmnurga külg ja h selle külje kõrgus. Avaldame kõrgust valemist:
$$h=2*(S\üle b)$$
Kui pindala on 15, külg on 5, siis kõrgus on $$h=2*(15\over5)=6$$
Trigonomeetrilise funktsiooni kaudu
Kolmas meetod sobib, kui on teada külg ja nurk alusel. Selleks peate kasutama trigonomeetrilist funktsiooni.
Riis. 3. Probleemi joonistamine.
Nurk ВСН = 300 ja külg BC = 8. Meil on ikka sama täisnurkne kolmnurk BCH. Kasutame siinust. Siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe, mis tähendab: BH/BC=cos BCH.
Nurk on teada, nagu ka külg. Avaldame kolmnurga kõrgust:
$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$
Koosinus on tavaliselt võetud Bradise tabelitest, kuid trigonomeetriliste funktsioonide väärtused 30,45 ja 60 kraadi jaoks on tabelinumbrid.
Mida me õppisime?
Saime teada, mis on kolmnurga kõrgus, millised kõrgused seal on ja kuidas neid tähistatakse. Selgitasime välja tüüpilised ülesanded ja panime kirja kolm kolmnurga kõrguse valemit.
Test teemal
Artikli hinnang
Keskmine hinne: 4.6. Kokku saadud hinnanguid: 137.
kuidas leida kolmnurga kõrgust, kui kõik kolm külge on antud ja saadud parim vastus
Vastus Vusat Jafarovilt[aktiivne]
Lühidalt tehke nii: leidke ala valemiga S = juure p*(p-a)*(p-b)*(p-c) all, p on poolpürimeeter, leiame selle nii: 15+13+14= 42, see on pürimeeter ja poolpürimeeter on pool pürimeeter=21 , Ja a, b, c on küljed, a=15, b=13, c=14 ja saame S= juure all 21* (21-15)*(21-13)*(21-14), saame S= juure all 21*6*8*7, S= 7056 juur, S=84!!! nüüd leiame kõrguse valemist S=1/2 alus korda kõrgus, alus-CE; 84 = 1/2 * 14 * h, 84 = 7 * h, h = 84/7, h = 12. Vastus: kõrgus=12!!!
Vastus alates Kasutaja kustutatud[algaja]
Seetõttu tunnen end vahel madalana! Olen 19-aastane ja ma ei suuda 3. klassi jaoks sellist probleemi lahendada, perses! Häbi!
Vastus alates Al0253[guru]
Lõika, kaalu. Jagage paberi erikaaluga. Jagage paberi paksusega. Jagage kolmnurga aluse pikkusega. Saadud kõrgus...
Vastus alates Insener[guru]
Esiteks määrame Heroni sõnul kolmnurga pindala selle külgede kaudu.
No siis võite ise arvata.
Vastus 84
Vastus alates LILU[aktiivne]
Kõrgus jagab aluse kaheks võrdseks osaks ja seejärel kasutage Pythagorase teoreemi. Aga põhimõtteliselt oled sa laisk.
Vastus alates IomoN[guru]
Aitäh - "Mulle tuli meelde oma KULDNE lapsepõlv")
Vastus: kõrgus on 12 cm Ja lahendus... Väga lihtne)... Pole üldse valemeid)... Kuid Pythagorase teoreemi järgi.
Joonista kolmnurk... koos kõrgusega... Nüüd näete 2 kolmnurka "algse kolmnurga sees".
Alus CE on koht, kus asub punkt M.
Kui tähistame kaugust CM=X, siis kaugust MU=(14-X).
Nüüd leiame X, kui võrdsustame nende kahe kolmnurga kõrguse arvutamise (ruutjuur võrrandi vasakul ja paremal küljel - ma eemaldan kohe). Saame:
15*15-X*X=13*13-(14-X) *(14-X).. . Kui õigesti lahendada, siis SM=X=9 cm.
Siis on vajalik kõrgus DM*DM=15*15-9*9=225-81=144.
Võtame ruutjuure...ja DM=12 cm.
Vastus alates 2 vastust[guru]
Tere! Siin on valik teemasid vastusega teie küsimusele: kuidas leida kolmnurga kõrgust, kui kõik kolm külge on antud
Videokursus “Saada A” sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ühtse riigieksami ülesanded 1-13 matemaatikas. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.
Kogu vajalik teooria. Ühtse riigieksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Selged selgitused keerukatele mõistetele. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Ühtse riigieksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.
Kolmnurga kõrguse arvutamine sõltub kujundist endast (võrdhaarne, võrdkülgne, skaala, ristkülikukujuline). Praktilises geomeetrias keerulisi valemeid reeglina ei leita. Piisab arvutuste üldpõhimõtte tundmisest, et see oleks universaalselt rakendatav kõikidele kolmnurkadele. Täna tutvustame teile joonise kõrguse arvutamise põhiprintsiipe, arvutusvalemeid, mis põhinevad kolmnurkade kõrguste omadustel.
Mis on kõrgus?
Kõrgusel on mitmeid iseloomulikke omadusi
- Punkti, kus kõik kõrgused ühenduvad, nimetatakse ortotsentriks. Kui kolmnurk on terav, asub ortotsenter joonise sees; kui üks nurkadest on nüri, siis ortotsenter asub reeglina väljaspool.
- Kolmnurgas, kus üks nurk on 90°, langevad ortotsenter ja tipp kokku.
- Sõltuvalt kolmnurga tüübist on kolmnurga kõrguse leidmiseks mitu valemit.
Traditsiooniline andmetöötlus
- Kui p on pool perimeetrit, siis a, b, c on nõutava kujundi külgede tähistus, h on kõrgus, siis näeb esimene ja kõige lihtsam valem välja selline: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
- Kooliõpikutest võib sageli leida ülesandeid, mille puhul on teada kolmnurga ühe külje väärtus ning selle külje ja aluse vahelise nurga suurus. Siis näeb kõrguse arvutamise valem välja selline: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
- Kui on antud kolmnurga pindala - S, samuti aluse pikkus - a, on arvutused võimalikult lihtsad. Kõrgus leitakse valemiga: h = 2S/a.
- Kui joonise ümber kirjeldatud ringi raadius on antud, arvutame esmalt selle kahe külje pikkused ja seejärel jätkame kolmnurga antud kõrguse arvutamisega. Selleks kasutame valemit: h = b ∙ c/2R, kus b ja c on kolmnurga kaks külge, mis ei ole alus, ja R on raadius.
Selle joonise kõik küljed on võrdsed, nende pikkused on võrdsed, seetõttu on ka nurgad aluses võrdsed. Sellest järeldub, et ka kõrgused, mis me alustele joonistame, on võrdsed, need on samaaegselt ka mediaanid ja poolitajad. Lihtsamalt öeldes jagab võrdhaarse kolmnurga kõrgus merepinnast aluse kaheks. Täisnurgaga kolmnurka, mis saadakse pärast kõrguse joonistamist, käsitletakse Pythagorase teoreemi abil. Tähistame külge kui a ja alust kui b, siis kõrgus h = ½ √4 a2 − b2.
Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga kõrgust?
Võrdkülgse kolmnurga (joonis, kus kõik küljed on võrdse suurusega) valemi leiab eelnevate arvutuste põhjal. On vaja mõõta ainult kolmnurga ühe külje pikkus ja tähistada see kui a. Seejärel tuletatakse kõrgus valemiga: h = √3/2 a.
Kuidas leida täisnurkse kolmnurga kõrgust?
Nagu teate, on täisnurkse kolmnurga nurk 90°. Ühe külje võrra langetatud kõrgus on ka teine külg. Neile jäävad täisnurgaga kolmnurga kõrgused. Kõrguse andmete saamiseks peate olemasolevat Pythagorase valemit veidi muutma, tähistades jalad - a ja b ning mõõtma ka hüpotenuusi pikkust - c.
Leiame jala pikkuse (külje, millega kõrgus on risti): a = √ (c2 − b2). Teise jala pikkus leitakse täpselt sama valemi abil: b =√ (c2 − b2). Pärast seda võite hakata arvutama täisnurgaga kolmnurga kõrgust, arvutades kõigepealt joonise pindala - s. Kõrguse väärtus on h = 2s/a.
Arvutused skaleeni kolmnurgaga
Kui skaalakolmnurgal on teravnurgad, on näha põhjani langetatud kõrgus. Kui kolmnurgal on nürinurk, võib kõrgus olla joonisest väljas ja kolmnurga kõrguse ja aluse ühenduspunkti saamiseks peate seda vaimselt jätkama. Lihtsaim viis kõrguse mõõtmiseks on arvutada see läbi ühe külje ja nurkade suuruse. Valem on järgmine: h = b sin y + c sin ß.