Näide 1. Esimeses urnis: kolm punast, üks valge palli. Teises urnis: üks punane, kolm valget palli. Münt visatakse juhuslikult: kui see on vapp, valitakse need esimesest urnist, muidu- teisest.
Lahendus:
a) tõenäosus, et tõmmati punane pall
A – sai punase palli
P 1 – vapp langes, P 2 - muidu
b) Punane pall on valitud. Leidke tõenäosus, et see on võetud esimesest urnist teisest urnist.
B 1 – esimesest urnist, B 2 – teisest urnist
,
Näide 2. Karbis on 4 palli. Võib olla: ainult valge, ainult must või valge ja must. (Koostis teadmata).
Lahendus:
A – esinemise tõenäosus valge pall
a) üleni valge:
(tõenäosus, et teil on üks kolmest valikust, kus on valge)
(valge palli ilmumise tõenäosus sinna, kus kõik on valged)
b) Välja tõmmatud, kus kõik on mustad
c) tõmbas välja variandi, kus kõik on valged ja/või mustad
- vähemalt üks neist on valge
P a +P b +P c =
Näide 3. Urnis on 5 valget ja 4 musta palli. Sellest võetakse järjest välja 2 palli. Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on valged.
Lahendus:
5 valget, 4 musta palli
P(A 1) – valge pall võeti välja
P(A 2) – tõenäosus, et ka teine pall on valge
P(A) – järjest valitud valged pallid
Näide 3a. Pakis on 2 võltsitud ja 8 päris pangatähte. Pakist tõmmati järjest välja 2 rahatähte. Leidke tõenäosus, et mõlemad on võltsitud.
Lahendus:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Näide 4. Seal on 10 prügikasti. Seal on 9 urni 2 musta ja 2 valge palliga. 1 urnis on 5 valget ja 1 must. Juhuslikult võetud urnist tõmmati pall.
Lahendus:
P(A) - ? urnist, milles on 5 valget, võetakse valge pall
B – tõenäosus, et saadakse 5 valget sisaldavast urnist
, - teistelt välja võetud
C 1 – valge palli ilmumise tõenäosus tasemel 9.
C 2 – valge palli ilmumise tõenäosus, kui neid on 5
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Näide 5. 20 silindrilist rullikut ja 15 koonusekujulist rullikut. Korjaja võtab ühe rulli ja seejärel teise.
Lahendus:
a) mõlemad rullid on silindrilised
P(C1)=; P(Ts 2)=
C 1 – esimene silinder, C 2 – teine silinder
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Vähemalt üks silinder
K 1 – esimene koonusekujuline.
K 2 - teine koonusekujuline.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) esimene silinder, kuid mitte teine
P(C)=P(C 1)P(K 2)
e) Mitte ühtegi silindrit.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
e) Täpselt 1 silinder
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)
Näide 6. Karbis on 10 standardosa ja 5 defektset osa.
Kolm osa loositakse juhuslikult
a) Üks neist on defektne
P n (K) = C n k · p k · q n-k ,
P – defektsete toodete tõenäosus
q – standardosade tõenäosus
n=3, kolm osa
b) kaks osa kolmest on defektsed P(2)
c) vähemalt üks standard
P(0) - defekte pole
P=P(0)+ P(1)+ P(2) – tõenäosus, et vähemalt üks osa on standardne
Näide 7. 1. urnis on 3 valget ja musta palli ning 2. urnis 3 valget ja 4 musta palli. 2 palli kantakse 1. urnist 2. ilma vaatamata ja seejärel tõmmatakse 2 palli teisest. Kui suur on tõenäosus, et nad erinevad värvid?
Lahendus:
Esimesest urnist pallide teisaldamisel on see võimalik järgmisi valikuid:
a) võttis järjest välja 2 valget palli
P BB 1 =
Teises etapis on alati üks pall vähem, kuna esimeses etapis võeti juba üks pall välja.
b) võttis välja ühe valge ja ühe musta palli
Olukord, kus kõigepealt tõmmatakse valge pall ja seejärel must
P lõhkepea =
Olukord, kus kõigepealt tõmbas must pall ja seejärel valge
P BW =
Kokku: P lõhkepea 1 =
c) võttis järjest välja 2 musta palli
P HH 1 =
Kuna esimesest urnist viidi teise urni 2 palli, siis teises urnis on pallide koguarv 9 (7 + 2). Sellest lähtuvalt otsime kõiki võimalikke valikuid:
a) teisest urnist võeti esmalt valge ja seejärel must pall
P BB 2 P BB 1 - tähendab tõenäosust, et kõigepealt tõmmati valge pall, seejärel must pall eeldusel, et esimesest urnist tõmmati järjest 2 valget palli. Seetõttu on valgete pallide arv antud juhul 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - tähendab tõenäosust, et kõigepealt tõmmati valge, seejärel must pall, eeldusel, et esimesest urnist tõmmati valged ja mustad pallid. Seetõttu on valgete pallide arv antud juhul 4 (3+1), mustade pallide arv aga viis (4+1).
P BC 2 P BC 1 - tähendab tõenäosust, et kõigepealt tõmmati valge, seejärel must pall, eeldusel, et mõlemad mustad pallid tõmmati järjest esimesest urnist. Seetõttu on mustade pallide arv antud juhul 6 (4+2).
Tõenäosus, et kaks tõmmatud palli on erinevat värvi, on võrdne:
Vastus: P = 0,54
Näide 7a. 1. urnist, milles oli 5 valget ja 3 musta palli, viidi 2 palli juhuslikult 2. urni, milles oli 2 valget ja 6 musta palli. Seejärel loositi 2. urnist juhuslikult 1 pall.
1) Kui suur on tõenäosus, et 2. urnist välja tõmmatud pall osutub valgeks?
2) 2. urnist võetud pall osutus valgeks. Arvutage tõenäosus, et erinevat värvi pallid liigutati 1. urnist teise.
Lahendus.
1) Sündmus A - 2. urnist välja tõmmatud pall osutub valgeks. Vaatleme selle sündmuse esinemiseks järgmisi võimalusi.
a) Esimesest urnist teise asetati kaks valget palli: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Teises urnis on kokku 4 valget palli. Siis on teisest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Esimesest urnist teise asetati valged ja mustad pallid: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Teises urnis on kokku 3 valget palli. Siis on teisest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Esimesest urnist teise asetati kaks musta palli: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Teises urnis on kokku 2 valget palli. Siis on teisest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Siis on tõenäosus, et 2. urnist tõmmatud pall valgeks osutub:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) 2. urnist võetud pall osutus valgeks, st. kogu tõenäosus on võrdne P(A)=13/32.
Tõenäosus, et teise urni asetati erinevat värvi (must ja valge) pallid ja valiti valge: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Näide 7b. Esimeses urnis on 8 valget ja 3 musta palli, teises urnis on 5 valget ja 3 musta palli. Esimesest valitakse juhuslikult üks pall ja teisest kaks palli. Pärast seda võetakse valitud kolmest pallist juhuslikult üks pall. See viimane pall osutus mustaks. Leidke tõenäosus, et esimesest urnist tõmmatakse valge pall.
Lahendus.
Vaatleme kõiki sündmuse A variante – kolmest pallist osutub tõmmatud pall mustaks. Kuidas võis juhtuda, et kolme palli seas oli üks must?
a) Esimesest urnist võeti must pall ja teisest urnist võeti kaks valget palli.
P1 = (3/11) (5/8*4/7) = 15/154
b) Esimesest urnist võeti must pall, teisest võeti kaks musta palli.
P2 = (3/11) (3/8*2/7) = 9/308
c) Esimesest urnist võeti must pall, teisest urnist võeti üks valge ja üks must pall.
P3 = (3/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Esimesest urnist võeti valge ja teisest kaks musta palli.
P4 = (8/11) (3/8*2/7) = 6/77
e) Esimesest urnist võeti valge pall, teisest urnist võeti üks valge ja üks must pall.
P5 = (8/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Kogutõenäosus on: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Tõenäosus, et valgest urnist tõmmatakse valge pall, on:
Pb (1) = P4 + P5 = 6/77 + 30/77 = 36/77
Siis on tõenäosus, et esimesest urnist valiti valge pall, arvestades, et must pall valiti kolme palli hulgast, võrdne:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Näide 7c. Esimeses urnis on 12 valget ja 16 musta palli, teises urnis on 8 valget ja 10 musta palli. Samal ajal tõmmatakse 1. ja 2. urnist pall, segatakse ja pannakse igasse urni üks tagasi. Seejärel tõmmatakse igast urnist pall. Need osutusid ühte värvi. Määrake tõenäosus, et 1. urni on jäänud sama palju valgeid palle, kui oli alguses.
Lahendus.
Sündmus A – 1. ja 2. urnist loositakse üheaegselt pall.
Esimesest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Esimesest urnist musta palli tõmbamise tõenäosus: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Teisest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus: P2(B) = 8/18 = 4/9
Teisest urnist musta palli tõmbamise tõenäosus: P2(H) = 10/18 = 5/9
Sündmus A juhtus. Sündmus B – igast urnist loositakse pall. Pärast segamist on tõenäosus, et valge või must pall urni tagasi pöördub, ½.
Vaatleme sündmuse B võimalusi - need osutusid sama värvi.
Esimeseks urniks
1) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati valge pall eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) esimesse urni pandi valge pall ja valge pall tõmmati välja eeldusel, et must pall on varem välja tõmmatud, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati välja must, eeldusel, et valge pall on varem välja tõmmatud, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati välja must, eeldusel, et must pall on varem välja tõmmatud, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) esimesse urni pandi must pall ja tõmmati valge pall eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) esimesse urni pandi must pall ja tõmmati välja valge pall eeldusel, et must pall on varem välja tõmmatud, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) esimesse urni pandi must pall ja tõmmati välja must, eeldusel, et valge pall on varem välja tõmmatud, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) esimesse urni pandi must pall ja must pall tõmmati välja eeldusel, et must pall tõmmati varem, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Teise urni jaoks
1) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati valge pall eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati välja valge pall eeldusel, et must pall on varem välja tõmmatud, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati välja must, eeldusel, et valge pall on varem välja tõmmatud, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati välja must, eeldusel, et must pall on varem välja tõmmatud, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) esimesse urni pandi must pall ja valge pall tõmmati välja eeldusel, et valge pall on varem välja tõmmatud, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) esimesse urni pandi must pall ja tõmmati välja valge pall eeldusel, et must pall on varem välja tõmmatud, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) esimesse urni pandi must pall ja tõmmati välja must, eeldusel, et valge pall on varem välja tõmmatud, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) esimesse urni pandi must pall ja loositi must, eeldusel, et must pall oli tõmmatud varem, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Pallid osutusid sama värvi:
a) valge
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1 (BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1 (BW/A=B) = 21/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) must
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1 (HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1 (HH/A=B) + P1 (HH/A=H) + P1 (HH/A=B) + P1 (HH/A=H) = 5/42 + 1/7 + 11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Näide 7d. Esimeses karbis on 5 valget ja 4 sinist palli, teises 3 ja 1 ning kolmandas vastavalt 4 ja 5. Juhuslikult valiti välja kast, millest välja tõmmatud pall osutus siniseks. Kui suur on tõenäosus, et see pall on teisest kastist?
Lahendus.
A – otsingusündmus sinine pall. Vaatleme kõiki sellise sündmuse võimalikke tagajärgi.
H1 - esimesest kastist tõmmatud pall,
H2 - teisest kastist välja tõmmatud pall,
H3 - kolmandast kastist tõmmatud pall.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Vastavalt probleemsetele tingimustele tingimuslikud tõenäosused sündmused A on võrdsed:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Tõenäosus, et see pall on teisest kastist, on:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Näide 8. Viis 30 palliga karpi sisaldavad 5 punast palli (see on kast kompositsiooniga H1), kuus teist 20 palliga karpi sisaldavad 4 punast palli (see on kast kompositsiooniga H2). Leidke tõenäosus, et juhuslikult võetud punane pall sisaldub ühes esimesest viiest kastist.
Lahendus. Probleem seisneb kogutõenäosuse valemi rakendamises.
P(H1) = 5/11
Tõenäosus, et ükskõik milline võetud pall on ühes kuuest kastist:
P(H2) = 6/11
Sündmus juhtus – punane pall tõmmati välja. Seetõttu võib see juhtuda kahel juhul:
a) esimesest viiest kastist välja tõmmatud.
P 5 = 5 punast palli * 5 kasti / (30 palli * 5 kasti) = 1/6
P(P5/H1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) kuuest teisest kastist välja tõmmatud.
P 6 = 4 punast palli * 6 kasti / (20 palli * 6 kasti) = 1/5
P(P6/H2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Kokku: P(P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Seetõttu on tõenäosus, et juhuslikult tõmmatud punane pall sisaldub ühes esimesest viiest kastist:
P k.sh. (H1) = P (P 5 / H 1) / (P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Näide 9. Urnis on 2 valget, 3 musta ja 4 punast palli. Juhuslikult loositakse kolm palli. Kui suur on tõenäosus, et vähemalt kaks palli on sama värvi?
Lahendus. Võimalikud on kolm tulemust:
a) kolme loositud palli seas oli vähemalt kaks valget.
P b (2) = P 2b
Nende testide võimalike elementaarsete tulemuste koguarv on võrdne viisidega, kuidas saab 9-st 3 palli eraldada:
Leiame tõenäosuse, et 3 valitud palli hulgast on 2 valget.
Valikute arv 2 valge palli hulgast:
Valikute arv 7 teise palli kolmanda palli hulgast valimiseks:
b) kolme loositud palli seas oli vähemalt kaks musta (st kas 2 musta või 3 musta).
Leiame tõenäosuse, et valitud 3 palli hulgast on 2 mustad.
Valikute arv 3 musta palli hulgast:
Valikute arv ühe palli 6 teise palli hulgast:
P 2h = 0,214
Leiame tõenäosuse, et kõik valitud pallid on mustad.
P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
c) kolme loositud palli seas oli vähemalt kaks punast (st kas 2 punast või 3 punast).
Leiame tõenäosuse, et 3 valitud palli hulgast on 2 punased.
Valikute arv 4 musta palli hulgast:
Valikute arv: 5 valget palli, ülejäänud 1 valge:
Leiame tõenäosuse, et kõik valitud pallid on punased.
P kuni (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Siis on tõenäosus, et vähemalt kaks kuuli on sama värvi, võrdne: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Näide 10. Esimeses urnis on 10 palli, neist 7 valget; Teises urnis on 20 palli, millest 5 on valged. Igast urnist tõmmatakse juhuslikult üks pall ja seejärel nende kahe palli seast üks pall. Leidke tõenäosus, et valge pall tõmmatakse.
Lahendus. Tõenäosus, et esimesest urnist tõmmatakse valge pall, on P(b)1 = 7/10. Vastavalt sellele on musta palli tõmbamise tõenäosus P(h)1 = 3/10.
Tõenäosus, et teisest urnist tõmmatakse valge pall, on P(b)2 = 5/20 = 1/4. Vastavalt sellele on musta palli tõmbamise tõenäosus P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Sündmus A – kahest pallist võetakse valge pall
Mõelgem sündmuse A võimalikule tulemusele.
- Esimesest urnist tõmmati valge pall ja teisest urnist valge pall. Seejärel tõmmati nendest kahest pallist valge pall. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Esimesest urnist tõmmati valge ja teisest urnist must pall. Seejärel tõmmati nendest kahest pallist valge pall. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Esimesest urnist tõmmati must pall, teisest valge pall. Seejärel tõmmati nendest kahest pallist valge pall. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Näide 11. Kastis on n tennisepalli. Neist m mängiti. Esimeseks geimiks võeti suvaliselt kaks palli ja pandi pärast mängu tagasi. Teiseks geimiks võtsime samuti kaks palli suvaliselt. Kui suur on tõenäosus, et teine mäng mängitakse uute pallidega?
Lahendus. Mõelge sündmusele A – mängu mängiti teist korda uute pallidega. Vaatame, millised sündmused võivad selleni viia.
Tähistame g = n-m uute kuulide arvu enne väljatõmbamist.
a) esimeseks mänguks tõmmati välja kaks uut palli.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) esimeseks mänguks tõmbasid nad välja ühe uue palli ja ühe juba mängitud.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) esimeseks mänguks tõmmati välja kaks mängitud palli.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Vaatame teise mängu sündmusi.
a) Loositi kaks uut palli, tingimusel P1: kuna esimeseks geimiks olid juba uued pallid loositud, siis teiseks mänguks vähenes nende arv 2 võrra, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Loositi kaks uut palli, tingimusel P2: kuna esimeseks mänguks oli juba üks uus pall tõmmatud, siis teiseks geimiks vähenes nende arv 1 võrra, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 mg /(n(n-1))
c) Loositi kaks uut palli, tingimusel P3: kuna varem ei kasutatud esimeses geimis uusi palle, siis nende arv teises geimis g ei muutunud.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Kogutõenäosus P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Vastus: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Näide 12. Esimeses, teises ja kolmandas kastis on 2 valget ja 3 musta palli, neljandas ja viiendas kastis on 1 valge ja 1 must pall. Juhuslikult valitakse kast ja sellest tõmmatakse pall. Kui suur on tinglik tõenäosus, et valitakse neljas või viies kast, kui tõmmatud pall on valge?
Lahendus.
Iga kasti valimise tõenäosus on P(H) = 1/5.
Vaatleme sündmuse A tingimuslikke tõenäosusi - valge palli joonistamine.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Valge palli tõmbamise kogutõenäosus:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Tingimuslik tõenäosus, et neljas kast on valitud
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Tingimuslik tõenäosus, et viies kast on valitud
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Kokkuvõttes on tingimuslik tõenäosus, et neljas või viies kast on valitud
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Näide 13. Urnis oli 7 valget ja 4 punast palli. Seejärel pandi urni veel üks valget või punast või musta värvi pall ja pärast segamist võeti üks pall välja. See osutus punaseks. Kui suur on tõenäosus, et a) asetati punane pall? b) must pall?
Lahendus.
a) punane pall
Sündmus A – punane pall loositakse. Sündmus H – asetatakse punane pall. Tõenäosus, et urni asetati punane pall P(H=K) = 1/3
Siis P(A|H=K)= 1/3*5/12 = 5/36 = 0,139
b) must pall
Sündmus A – punane pall loositakse. Sündmus H – asetatakse must pall.
Tõenäosus, et urni asetati must pall P(H=H) = 1/3
Siis P(A|H=H)= 1/3*4/12 = 1/9 = 0,111
Näide 14. Seal on kaks urni pallidega. Ühel on 10 punast ja 5 sinist palli, teisel 5 punast ja 7 sinist palli. Kui suur on tõenäosus, et esimesest urnist tõmmatakse juhuslikult punane ja teisest sinine pall?
Lahendus. Olgu sündmus A1 esimesest urnist tõmmatud punane pall; A2 - teisest urnist tõmmatakse sinine pall:
,
Sündmused A1 ja A2 on sõltumatud. Sündmuste A1 ja A2 ühise toimumise tõenäosus on võrdne
Näide 15. Seal on kaardipakk (36 tk). Kaks kaarti tõmmatakse juhuslikult järjest. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad väljatõmmatavad kaardid on punased?
Lahendus. Olgu sündmus A 1 esimene tõmmatud punane kaart. Sündmus A 2 – tõmmati teine punane kaart. B - mõlemad välja võetud kaardid on punased. Kuna toimuma peavad nii sündmus A 1 kui ka sündmus A 2, siis B = A 1 · A 2 . Sündmused A 1 ja A 2 on sõltuvad, seega P(B):
,
Siit
Näide 16. Kahes urnis on palle, mis erinevad ainult värvi poolest ja esimeses urnis on 5 valget, 11 musta ja 8 punast palli ning teises vastavalt 10, 8, 6 palli. Mõlemast urnist tõmmatakse juhuslikult üks pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on sama värvi?
Lahendus. Olgu indeks 1 tähendab valge värv, indeks 2 - must; 3 - punane värv. Olgu sündmus A i, et esimesest urnist tõmmatakse i-ndat värvi pall; sündmus B j - teisest urnist tõmmatakse pall värviga j; sündmus A – mõlemad pallid on sama värvi.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Sündmused A i ja B j on sõltumatud ning A i · B i ja A j · B j ei ühildu i ≠ j korral. Seega
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Näide 17. 3 valge ja 2 musta palliga urnist tõmmatakse ükshaaval palle, kuni ilmub must. Leia tõenäosus, et urnist tõmmatakse 3 palli? 5 palli?
Lahendus.
1) tõenäosus, et urnist tõmmatakse 3 palli (st kolmas pall on must ja kaks esimest valged).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) tõenäosus, et urnist tõmmatakse 5 palli
Selline olukord pole võimalik, sest ainult 3 valget palli.
P=0
Probleem 174tv
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
Probleem 176tv
Urnis on 6 musta ja 5 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
Probleem 178tv
Urnis on 4 musta ja 5 valget palli. Juhuslikult loositakse 4 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 2 valget palli;
b) vähem kui 2 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
Probleem 180tv
Urnis on 6 musta ja 7 valget palli. Juhuslikult loositakse 4 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 4 valget palli;
b) vähem kui 4 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
Probleem 184tv
Urnis on 8 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 4 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
Probleem 186tv
Urnis on 4 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 4 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
Probleem 188tv
Urnis on 5 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 4 valget palli;
b) vähem kui 4 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
Töö nr 1
Juhuslikud sündmused
6. valik.
Ülesanne 1.1. Kolm münti visatakse. Leidke tõenäosus, et ainult kahel mündil on “vapp”.
Uuritav sündmus A – kolmest mündist vaid kahel on vapp. Mündil on kaks külge, mis tähendab, et kolme mündi viskamisel on sündmuste koguarv 8. Kolmel juhul on ainult kahel mündil vapp. Arvutame sündmuse A tõenäosuse järgmise valemi abil:
P(A) = m/n = 3/8.
Vastus: tõenäosus 3/8.
Probleem 1.2. Sõna EVENT koosneb kaartidest, millest igaühele on kirjutatud üks täht. Seejärel kaardid segatakse ja võetakse ükshaaval välja ilma tagastamata. Leia tõenäosus, et tähed võetakse välja antud sõna järjekorras.
Test seisneb juhuslikus järjekorras tähtedega kaartide väljavõtmises ilma tagastamata. Elementaarne sündmus on sellest tulenev tähtede jada. Sündmus A seisneb vastuvõtmises õige sõna SÜNDMUS . Elementaarsündmused on 7 tähe permutatsioonid, mis tähendab, et valemi järgi on meil n= 7!
Sõna EVENT tähed ei kordu, seega ei ole võimalikud permutatsioonid, milles sõna ei muutu. Nende arv on 1.
Seega
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Vastus: P(A) = 1/5040.
Probleem 1.3. Nagu eelmine ülesanne, leidke vastav tõenäosus juhul, kui antud sõna on ANTONOV ILJA sõnad.
See probleem lahendatakse sarnaselt eelmisega.
n = 11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Vastus: P(A) = 1/9979200.
Probleem 1.4. Urnis on 8 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
8 tundi Test loosib juhuslikult 5 palli. Elementaarne
6 b sündmust on kõik võimalikud kombinatsioonid 5 pallist 14-st. Nende arv on võrdne
a) A 1 - väljatõmmatud pallide hulgas on 3 valget. See tähendab, et väljatõmmatud pallide hulgas on 3 valget ja 2 musta. Korrutamisreeglit kasutades saame
P(A 1) = 560/2002 = 280/1001.
b) A 2 - väljatõmmatud pallide hulgas on vähem kui 3 valget. See sündmus koosneb kolmest kokkusobimatust sündmusest:
1-s - väljatõmmatud pallide hulgas on ainult 2 valget ja 3 musta palli,
2-s - väljatõmmatud pallide hulgas on ainult üks valge ja 4 musta palli
3-s - väljatõmmatud pallide hulgas pole ühtegi valget palli, kõik 5 palli on mustad:
A 2 = B 1 B 2 B 3.
Kuna sündmused B 1, B 2 ja B 3 ei ühildu, võite kasutada valemit:
P(A2) = P(B1) + P(B2) + P(B3);
P(A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
c) - väljatõmmatud pallide hulgas pole ühtegi valget. Sel juhul:
P(A 3) = 1 - P() = 1 - 28/1001 = 973/1001.
Vastus: P(A 1) = 280/1001, P(A 2) = 483/1001, P(A 3) = 973/1001.
Probleem 1.6. Esimeses urnis on 5 valget ja 7 musta palli ning teises urnis on 6 valget ja 4 musta palli. Nad võtavad selle esimesest urnist välja juhuslikult 2 palli ja teisest - 2 palli. Leidke tõenäosus, et tõmmatud kuulide hulgast:
a) kõik pallid on sama värvi;
b) ainult kolm valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
1 urn 2 urn Mõlemast urnist loositi iseseisvalt pallid. Testid
5 b 6 b tõmbavad esimesest urnist kaks palli ja kaks palli
7h 4h teisest urnist. Algüritused on kombinatsioonid
2 või 2 vastavalt 12 või 10 kuulist.
2 2 a) A 1 - kõik tõmmatud pallid on sama värvi, st. kas nad on kõik valged?
või üleni mustad.
Määratleme iga urni jaoks kõik võimalikud sündmused:
1 - 2 valget palli tõmmatakse esimesest urnist;
2-s - esimesest urnist tõmmatakse 1 valge ja 1 must pall;
3 - 2 musta palli tõmmatakse esimesest urnist;
C 1 - teisest urnist tõmmatakse 2 valget palli;
C 2 - teisest urnist tõmmatakse 1 valge ja 1 must pall;
Teisest urnist tõmmatakse 3–2 musta palli.
See tähendab, et A 1 = 
, kust sündmuste sõltumatust ja kokkusobimatust arvestades saame
P(A 1) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 3) * P(C 3).
Leiame elementaarsündmuste arvu n 1 ja n 2 vastavalt esimese ja teise urni jaoks. Meil on:
Leiame iga sündmuste elemendi arvu, mis määravad järgmised sündmused:
B 1: m 11 = C 1: m 21 =
B 2: m 12 = C 2: m 22 =
B 3: m 13 = C 3: m 23 =
Seega
P(A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - väljatõmmatud pallide hulgas on ainult 3 valget. Sel juhul
A2 = (B1C2 (B2C1);
P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P(A 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 - väljatõmmatud pallide hulgas on vähemalt üks valge.
Taastatud pallide hulgas pole ühtegi valget palli. Siis
P() = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;
P(A 3) = 1 - P() = 1 - 7/165 = 158/165.
Vastus: P(A 1) = 46/495, P(A 2) = 1/3, P(A 3) = 158/165.
Probleem 1.7. Urnis on 5 mustvalget palli, neile on lisatud 4 valget palli. Pärast seda tõmmatakse urnist juhuslikult 3 palli. Leidke tõenäosus, et kõik joonistatud pallid on valged, eeldades, et kõik võimalikud ettepanekud urni algse sisu kohta on võrdselt võimalik.
Siin on kahte tüüpi teste: kõigepealt määratakse urni esialgne sisu ja seejärel loositakse juhuslikult 3. pall, kusjuures teise testi tulemus sõltub esimese tulemusest. Seetõttu kasutatakse kogu tõenäosuse valemit.
sündmus A – juhuslikult loositakse 3 valget palli. Selle sündmuse tõenäosus sõltub urnis olevate pallide esialgsest koostisest.
Vaatleme sündmusi:
Aastal 1 - urnis oli 5 valget palli;
2-s - urnis oli 4 valget ja 1 must kuul;
Aastal 3 - urnis oli 3 valget ja 2 musta palli;
Aastal 4 - urnis oli 2 valget ja 3 musta palli;
Kell 5 - urnis oli 1 valge ja 4 musta palli.
Kell 6 - urnis oli 5 musta palli;
Elementaarsete tulemuste koguarv
Leiame sündmuse A tingimuslikud tõenäosused erinevatel tingimustel.
P(A/B 1) = 1.
P(A/B2) = 56/84 = 2/3.
P(A/B 3) = 35/84 = 5/12.
P(A/B 4) = 5/21.
P(A/B 5) = 5/42.
P(A/B 6) = 1/21.
P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Vastus: P(A) = 209/504.
Probleem 1.9. Püramiidis on 11 vintpüssi, neist 3 optiliste sihikutega. Optilise sihikuga püssist tulistav laskur saab sihtmärki tabada tõenäosusega 87/100 ja püssist tulistades ilma optiline sihik, - tõenäosusega 52/100. Leidke tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki juhuslikust püssist tulistades.
Arvestades, et vintpüssid valitakse ükshaaval, saame vastavalt ja (B 1 jaoks) ja (B 2 jaoks); seega P(B 1) = 3/11, P(B 2) = 8/11.
Tingimuslikud tõenäosused on määratletud probleemi avalduses:
P(A/B1) = 0,87 ja P(A.B2) = 0,52.
Seega
P(A) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.
Vastus: P(A) = 0,615.
Ülesanne 1.10. Paigaldustsehhis on seadmega ühendatud elektrimootor. Elektrimootoreid tarnivad kolm tootjat. Laos on nende tehaste elektrimootoreid vastavalt koguses M 1 = 13, M 2 = 12 ja M 3 = 17 tükki, mis võivad tõrgeteta töötada kuni garantiiaja lõpuni tõenäosusega 0,91, 0,82, ja vastavalt 0,77. Töötaja võtab juhuslikult ühe elektrimootori ja kinnitab selle seadme külge. Leidke tõenäosus, et paigaldatud ja kuni garantiiaja lõpuni tõrgeteta töötava elektrimootori tarnis vastavalt esimene, teine või kolmas tootja.
Tingimuslikud tõenäosused on ülesande püstituses täpsustatud: P(A/B 1) = 0,91, P(A/B 2) = 0,82, P(A/B 3) = 0,77.
Sarnaselt eelmisele probleemile leiame tõenäosused:
P(B1) = 13/42 = 0,3095; P(B2) = 12/42 = 0,2857; P(B3) = 17/42 = 0,4048;
P(A) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.
Bayesi valemiga (1.8.) arvutame sündmuste (hüpoteeside) tingimuslikud tõenäosused B 1:
P(B1/A) = 
P(B2/A) = 
P(B3/A) = 
Vastus: P(B1/A) = 0,3403, P(B2/A) = 0,2831, P(B 3 /A) = 0,3766
Töö nr 2
Juhuslikud muutujad.
6 - valik.
Ülesanne 2.1. Igas n sõltumatud testid sündmus A toimub konstantse tõenäosusega 0,36. Arvutage kõik tõenäosused p k, k = 0, 1, 2, ..., 11, kus k on sündmuse A sagedus. Koostage tõenäosuste p k graafik. Leidke kõige tõenäolisem sagedus.
Küsis: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.
Leia: p 0, p 1, p 2, ..., p 11 ja k.
Kasutades Bernoulli valemit. Väärtus p 0 arvutatakse esimese valemi abil ja ülejäänud tõenäosused p k - teise valemi abil.
Valemi jaoks arvutame konstantse teguri
p/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, p 0 = *0,36 0 * 0,64 11 = 0,0073787.
Arvutuste tulemused kirjutame tabelisse 1. Kui arvutused on õiged, siis peab võrdus olema täidetud
Kasutades leitud tõenäosusväärtusi, koostame nende graafiku (joonis 1).
Leiame kõige tõenäolisema sageduse vastavalt antud tingimustele:
np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32, np + k = 4,32
See tähendab, et kõige tõenäolisem sagedus on k = 4 ja nagu varem saadi, on p 3 väärtus maksimaalne.
Tabel 1
| k | (n-k-1)/ k | r k | k | (n-k-1)/ k | p k |
| - | 0,9926213 |
Joonis 1 Tõenäosusgraafik p k
Probleem 2.2. Igas n sõltumatus katses toimub sündmus A konstantse tõenäosusega 0,47. Leidke sündmuse A toimumise tõenäosus:
a) täpselt 330 korda;
b) vähem kui 330 ja rohkem kui 284 korda;
c) rohkem kui 330 korda.
A) Küsis: n = 760, p = 0,47, M = 330.
Leia: R 760 (330).
Me kasutame lokaalne teoreem Moivre – Laplace. Leiame:
Funktsiooni j(x) väärtuse leiame tabelist:
j(1,98) = 0,0562, P 760 (330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.
b) Leia: 760 R (284 Kasutame Moivre-Laplace'i integraaliteoreemi. Leiame: Funktsiooni Ф(х) väärtuse leiame tabelist: 760 R (284 V) Leia: 760 R (330 Meil on: x 1 = -1,98, 760 R (330 Probleem 2.4. Telefonijaamas tekib vale ühendus tõenäosusega 1/800. Leidke tõenäosus, et 5600 ühenduse hulgas toimub järgmine: a) täpselt 2 vale ühendust; b) vähem kui 3 vale ühendust; c) rohkem kui 8 vale ühendust. a) Arvestades: n = 5600, p = 1/800, k = 2. Leia: 800 R (2). Saame: l = 5600 * 1/800 = 7. R 800 (2) = b) Määra k<3. Leia: 200 R (k<3). 800 R (k<3) = Р 800
(0) + Р 800
(1) + Р 800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. V) Määra k > 8. Leia: P 800 (k > 8). Seda probleemi saab lahendada lihtsamalt, leides vastupidise sündmuse tõenäosuse, kuna sel juhul on vaja arvutada vähem liikmeid. Võttes arvesse eelmist juhtumit, on meil Р 800 (k>8) = 1 – Р 800 (k8) = 1 - Р 800 (k)<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. Probleem 2.6. Juhuslik suurus X on antud jaotusrea abil. Leidke juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon F(x) ja joonistage see. Arvutage X jaoks selle keskmine väärtus EX, dispersioon DX ja moodus Mo. Joonistame jaotusfunktsiooni F(x) . Keskmine EX väärtus arvutatakse järgmise valemi abil: EX = 8 * 0,11 + 12 * 0,14 + 16 * 0,5 + 24 * 0,25 = 16,56. Häire: E(X 2) = 8 2 * 0,11 + 12 2 * 0,14 + 16 2 * 0,5 + 24 2 * 0,25 = 299,2 DX = 299,2 – 16,52 2 = 26,2896. Jaotusfunktsiooni graafik Probleem 2.7. Juhuslikku suurust X määrab tõenäosustiheduse funktsioon f(x) = Leidke juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon F(x). Joonistage funktsiooni f(x) ja F(x) graafik. Arvutage X jaoks selle keskmine väärtus EX, dispersioon DX, moodus Mo ja mediaan Me. K = 8, R = 12. Leiame pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni F(x) järgmise valemi abil: Joonistage funktsioonide f(x) ja F(x) graafikud. X keskmine väärtus arvutatakse järgmise valemi abil: EX = X dispersiooni leidmiseks kasutame valemeid: E(X 2) = DX = 40,5 – (4,5) 2. Graafik näitab, et f(x) saavutab maksimumi punktis x = 1/2 ja seega Mo = 12. Mediaani Me leidmiseks peate lahendama võrrandi x 2 / 256 = 1/2 või x 2 = 128. Meil on x = ± 11,31, Me = 11,31. Jaotusfunktsiooni F(x) graafik. Töö nr 3. Probleem 3.1 Näidiste A ja B põhjal Loo variatsiooniseeria; Arvutage suhtelised sagedused (sagedused) ja akumuleeritud sagedused; Konstrueerida variatsiooniridade graafikud (hulknurk ja histogramm); Loo empiiriline jaotusfunktsioon ja joonista see graafikule; Arvutage variatsiooniseeria arvkarakteristikud: keskmine , dispersioon, standardhälve, mediaan Mina. Probleem 3.2. Arvutage populatsiooni parameetrite erapooletud hinnangud ,S 2 , Spo proovid A ja B (kasutades ülesandes 3.1. saadud tulemusi), samuti proovi B esimest veergu. Näidis A6 N = 73 Esimese intervalli algus: 0 Intervalli pikkus: 1 Näidis B6 N = 237 Esimese intervalli algus: 285 Intervalli pikkus: 7 Probleemi lahendamine. Ülesanne 3.1. Esmalt lahendame proovi A ülesande. Leiame: x min = 0 ja x max = 11. Vahemik (11 - 0 + 1 = 12) on üsna väike, seega koostame väärtuste järgi variatsioonirea (Tabel 1). Tabel 1 Arvutame kõik suhtelised sagedused sama täpsusega. Graafikute koostamisel kujutame x-teljel väärtusi 0 kuni 11 ja n i / n teljel - väärtusi 0 kuni 0,25 (joonis 1 ja 2). Riis. 1. Proovi A variatsioonirea polügoon Riis. 2. Proovi A variatsioonirea histogramm. Empiirilise jaotusfunktsiooni F * (x) leiame valemi ja tabelist kogutud sageduste abil. 1. Meil on: Graafiku F * (x) joonistamisel joonistame funktsiooni väärtused vahemikus 0 kuni 1,2 (joonis 3). Joonis 3. Valimi A empiirilise jaotusfunktsiooni graafik. Aritmeetilise keskmise ja dispersiooni summade arvutamine valemite ja variatsiooniridade abil (vt tabel 1) on esitatud tabelis. 2. Maksimaalse sageduse alusel määrame c = 7 ja tabeli sammu k = 1.
.X
8 12 16 24
R
0,11 0,14 0,50 0,25
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
7
4
6
7
10
4
4
0
5
4
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
6
3
5
7
8
5
7
10
9
10
8
2
3
6
9
324
296
313
323
312
321
322
301
337
322
329
307
301
328
312
318
327
315
319
317
309
334
323
340
326
322
314
335
313
322
319
325
312
300
323
335
339
326
298
298
337
322
303
314
315
310
316
321
312
315
331
322
321
336
328
315
338
318
327
323
325
314
297
303
322
314
317
330
318
320
312
333
332
319
325
319
307
305
316
330
318
335
327
321
332
288
322
334
295
318
329
305
310
304
326
319
317
316
316
307
309
309
328
317
317
322
316
304
303
350
309
327
345
329
338
311
316
324
310
306
308
302
315
314
343
320
304
310
345
312
330
324
308
326
313
320
328
309
306
306
308
324
312
309
324
321
313
330
330
315
320
313
302
295
337
346
327
320
307
305
323
331
345
315
318
331
322
315
304
324
317
322
312
314
308
303
333
321
312
323
317
288
317
327
292
316
322
319
313
328
313
309
329
313
334
314
320
301
329
319
332
316
300
300
304
306
314
323
318
337
325
321
322
288
313
314
307
329
302
300
316
321
315
323
331
318
334
316
328
294
288
312
312
315
321
332
319
Standardhälve 
Mo režiim on maksimaalse sagedusega väärtus, st. Mo = 7. Mediaan Me on variatsioonirea 37. väärtus: Me = 7.
Nüüd, kasutades valimit B, leiame x min = 288 ja x max = 350. Vahemik (350 - 288 + 1 = 63) on üsna suur, seega koostame variatsioonirea vastavalt väärtuste intervallidele, kasutades esimese intervalli algus ja proovivõtmisel antud intervalli pikkus (tabel 3).
Tabel 3
Riis. 4. Valimi B variatsioonirea hulknurk.
Riis. 5. Proovi B variatsioonirea histogramm.
Graafikute koostamisel joonistame piki x-telje väärtused vahemikus 285 kuni 355 ja piki n i / n telge - väärtused 0 kuni 0,3 (joonised 4 ja 5).
Järgmisena võtame arvesse, et iga intervalli lõppu võetakse esindajana. Võttes punktide koordinaatideks intervallide otsad ja vastavad akumuleeritud sagedused (vt tabel 3) ning ühendades need punktid sirgjoontega, koostame empiirilise jaotusfunktsiooni graafiku (joonis 6).
Riis. 6. Valimi B empiirilise jaotusfunktsiooni graafik.
Aritmeetilise keskmise ja dispersiooni arvutamine valemite ja tabelite abil. 3 defineerime c = 316 ja k = 7. Arvutame summad tabeli abil. 4 (tabel 4).
Valemite abil arvutame aritmeetilise keskmise 
ja dispersioon 227,8
Leiame mediaani valemiga: Me =.
Probleem 3.2.
Kasutades valemit, leiame dispersiooni ja standardhälbe erapooletud hinnangud:
n = 73, S-2 = 5,8143, S2 = 73/72 × 5,8143 = 5,8951, S = 2,43.
Näidis B on meil olemas
393,92 = 177,47, n = 237, S2 = 237/236 × 177,47 = 178,222, S = 13,35.
Valimi B esimese veeru erapooletud hinnangud saadakse sarnasel viisil (kui see valim sisaldab vähe korduvaid elemente, ei pea variatsioonirida koostama).
Klassikaline tõenäosuse definitsioon taandab tõenäosuse mõiste sündmuste võrdtõenäosuse (võrdse võimalikkuse) mõistele, mida peetakse põhiliseks ja mis ei allu formaalsele määratlusele. See määratlus on rakendatav juhtudel, kui on võimalik tuvastada täielik rühm kokkusobimatuid ja võrdselt tõenäolisi sündmusi - elementaarseid tulemusi. Mõelge näiteks pallidega urnile.
Olgu urnis 7 ühesugust, põhjalikult segatud palli, neist 2 punast, 1 sinine ja 4 valget. Test koosneb urnist juhuslikult ühe palli võtmisest. Iga sündmus, mis testis võib esineda, on elementaarne tulemus. Selles näites on seitse elementaarset tulemust, mida me tähistame E 1 , E 2 ,..., E 7. Tulemused E 1 , E 2 - punase palli välimus, E 3 - sinise palli välimus, E 4 , E 5 , E 6 , E 7 - valge palli välimus. Meie näites sündmustest E 1 , E 2 ,... E 7 - paaride kaupa ei ühildu. Lisaks on need selles testis võrdselt võimalikud. Las sündmus A seisneb selles, et urnist juhuslikult võetud pall osutub värviliseks (punaseks või siniseks).
Need elementaarsed tulemused, mille puhul sündmus meid huvitab A tuleb, helistatakse tulemused soodsad sündmus A. Meie näites sündmusele soodsad tulemused A, on tulemused E 1 , E 2 ja E 3. Mõistlik sündmuse toimumise võimalikkuse mõõdupuuna A, see tähendab tõenäosusi R(A), võtke arv, mis võrdub sündmuse toimumisele soodsate tulemuste suhtega A, kõigi võimalike tulemuste arvule. Meie näites
R Uuritud näide viis meid tõenäosuse definitsioonini, mida tavaliselt nimetatakse klassikaline .
Sündmuse tõenäosus A helistage numbrisuhtele m selle sündmuse jaoks soodsad tulemused koguarvule n kõik elementaarsed tulemused:
R(A) = . (1.4.4)
Klassikaline tõenäosuse määratlus on hea matemaatiline mudel nende juhuslike katsete jaoks, mille tulemuste arv on piiratud ja tulemused ise on võrdselt võimalikud.
NÄIDE 2. Täringut visatakse. Leidke tõenäosus, et veeretatakse mitte rohkem kui neli punkti.
Lahendus. Elementaarsete tulemuste koguarv n= 6 (saab veeretada 1, 2, 3, 4, 5, 6). Nende tulemuste hulgas on sündmus soodne A(veeretatakse mitte rohkem kui neli punkti) ainult neli tulemust m= 4. Seega nõutav tõenäosus
NÄIDE 3. Kui suur on tõenäosus arvata 4 numbrit spordiloto kaardi “6” täitmisel numbrist “49”?
Lahendus. Katse elementaarsete tulemuste koguarv on võrdne viiside arvuga, kuidas saab 6 numbrit 49-st läbi kriipsutada, see tähendab n = C. Leiame meid huvitava sündmuse jaoks soodsate tulemuste arvu
A= (arvatud 4 numbrit), 6 võidunumbrist saab maha kriipsutada 4 numbrit Cülejäänud kaks numbrit ei tohi võita. 43 mittevõitvast numbrist võite maha kriipsutada 2 valet numbrit C viise. Seetõttu on soodsate tulemuste arv m = C× C. Võttes arvesse, et kõik katse tulemused on ebajärjekindlad ja võrdselt võimalikud, leiame klassikalise tõenäosuse valemi abil vajaliku tõenäosuse:
P(A) = 
NÄIDE 4. Juhuslikult valitud telefoninumber koosneb 5 numbrist. Kui tõenäoline on, et see sisaldab: 1) kõik numbrid on erinevad; 2) kas kõik numbrid on paaritud?
Lahendus. 1. Kuna kõik viis kohta viiekohalises numbris võivad sisaldada mõnda järgmistest numbritest: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, siis on kõik erinevad viiekohalised numbrid 10 5 (00000 - 1., 00001 - 2., 00002 -3, ..., 99998 - 99999 ja lõpuks 99999 - 100 000). Arvud, milles kõik arvud on erinevad, on 10 elemendi paigutused 5-st.
Valem numbri jaoks paigutused alates n elemendid poolt k:
K! = = n (n - 1) ... (n - k + 1).
Seetõttu on soodsate juhtumite arv m= = 10× 9× 8× 7× 6 ja soovitud tõenäosus
P(A) = 
= 0,3024.
2. Viiest paaritust numbrist (1, 3, 5, 7, 9) saate moodustada 5 5 erinevat viiekohalist arvu. 5 5 on soodsate tulemuste arv m . Kuna kõik võrdselt võimalikud juhtumid n= 10 5 , siis nõutav tõenäosus
P (A) = = = = 0,03125.
NÄIDE 5. Täielik kaardipakk (52 lehte) jagatakse juhuslikult kaheks võrdseks 26-leheliseks pakiks. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus:
A- iga pakk sisaldab kahte ässa;
IN- üks pakk ei sisalda ühtki ässa ja teises ei ole kõiki nelja;
KOOS- ühes pakis on üks äss ja teises kolm.
Lahendus. Testi võimalike elementaarsete tulemuste koguarv on võrdne viisidega, kuidas 52-st saab 26 kaarti eraldada, see tähendab kombinatsioonide arvuga 52 kuni 26, n= . Soodsate sündmuste arv A juhtudel
m= (kombinatoorika põhireegli järgi), kus esimene tegur näitab, et kaks ässa neljast võib võtta viisidel, teine tegur näitab, et ülejäänud 24 kaarti võetakse 48 kaardist, mis ei sisalda viisidel ässasid. Nõutav tõenäosus on võrdne sündmusele soodsate tulemuste arvu suhtega A, kõigi tulemuste koguarvule:
Sündmus IN saab teostada kahel võrdselt võimalikul viisil: kas esimeses paketis on kõik neli ässa ja teises - mitte ühtegi või vastupidi:
Samamoodi:
Pange tähele, et klassikaline tõenäosuse definitsioon võeti kasutusele juhuks, kui elementaarsündmuste ruum on piiratud ning kõik tulemused ja katsed on võrdselt võimalikud ja ebajärjekindlad.
Töö nr 1
Juhuslikud sündmused
6. valik.
Ülesanne 1.1. Kolm münti visatakse. Leidke tõenäosus, et ainult kahel mündil on “vapp”.
Uuritav sündmus A – kolmest mündist vaid kahel on vapp. Mündil on kaks külge, mis tähendab, et kolme mündi viskamisel on sündmuste koguarv 8. Kolmel juhul on ainult kahel mündil vapp. Arvutame sündmuse A tõenäosuse järgmise valemi abil:
P(A) = m/n = 3/8.
Vastus: tõenäosus 3/8.
Probleem 1.2. Sõna EVENT koosneb kaartidest, millest igaühele on kirjutatud üks täht. Seejärel kaardid segatakse ja võetakse ükshaaval välja ilma tagastamata. Leia tõenäosus, et tähed võetakse välja antud sõna järjekorras.
Test seisneb juhuslikus järjekorras tähtedega kaartide väljavõtmises ilma tagastamata. Elementaarne sündmus on sellest tulenev tähtede jada. Sündmus A seisneb soovitud sõna EVENT vastuvõtmises . Elementaarsündmused on 7 tähe permutatsioonid, mis tähendab, et valemi järgi on meil n= 7!
Sõna EVENT tähed ei kordu, seega ei ole võimalikud permutatsioonid, milles sõna ei muutu. Nende arv on 1.
Seega
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Vastus: P(A) = 1/5040.
Probleem 1.3. Nagu eelmises ülesandes, leidke vastav tõenäosus juhuks, kui antud sõna on sõna ANTONOV ILYA.
See probleem lahendatakse sarnaselt eelmisega.
n = 11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Vastus: P(A) = 1/9979200.
Probleem 1.4. Urnis on 8 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
8 tundi Test loosib juhuslikult 5 palli. Elementaarne
6 b sündmust on kõik võimalikud kombinatsioonid 5 pallist 14-st. Nende arv on võrdne
a) A 1 - väljatõmmatud pallide hulgas on 3 valget. See tähendab, et väljatõmmatud pallide hulgas on 3 valget ja 2 musta. Korrutamisreeglit kasutades saame
P(A 1) = 560/2002 = 280/1001.b) A 2 - väljatõmmatud pallide hulgas on vähem kui 3 valget. See sündmus koosneb kolmest kokkusobimatust sündmusest:
1-s - väljatõmmatud pallide hulgas on ainult 2 valget ja 3 musta palli,
2-s - väljatõmmatud pallide hulgas on ainult üks valge ja 4 musta palli
3-s - väljatõmmatud pallide hulgas pole ühtegi valget palli, kõik 5 palli on mustad:
B 2 B 3.Kuna sündmused B 1, B 2 ja B 3 ei ühildu, võite kasutada valemit:
P(A2) = P(B1) + P(B2) + P(B3);
P(A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
- väljatõmmatud pallide hulgas pole ühtegi valget. Sel juhul:P(A 3) = 1 - P(
) = 1 - 28/1001 = 973/1001.Vastus: P(A 1) = 280/1001, P(A 2) = 483/1001, P(A 3) = 973/1001.
Probleem 1.6. Esimeses urnis on 5 valget ja 7 musta palli ning teises urnis on 6 valget ja 4 musta palli. Esimesest urnist tõmmatakse juhuslikult 2 palli ja teisest 2 palli. Leidke tõenäosus, et tõmmatud kuulide hulgast:
a) kõik pallid on sama värvi;
b) ainult kolm valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.
1 urn 2 urn Mõlemast urnist loositi iseseisvalt pallid. Testid
5 b 6 b tõmbavad esimesest urnist kaks palli ja kaks palli
7h 4h teisest urnist. Algüritused on kombinatsioonid
2 või 2 vastavalt 12 või 10 kuulist.
2 2 a) A 1 - kõik tõmmatud pallid on sama värvi, st. kas nad on kõik valged?
või üleni mustad.
Määratleme iga urni jaoks kõik võimalikud sündmused:
1 - 2 valget palli tõmmatakse esimesest urnist;
2-s - esimesest urnist tõmmatakse 1 valge ja 1 must pall;
3 - 2 musta palli tõmmatakse esimesest urnist;
C 1 - teisest urnist tõmmatakse 2 valget palli;
C 2 - teisest urnist tõmmatakse 1 valge ja 1 must pall;
Teisest urnist tõmmatakse 3–2 musta palli.
See tähendab, et A 1 =
, kust sündmuste sõltumatust ja kokkusobimatust arvestades saame P(A 1) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 3) * P(C 3).
Leiame elementaarsündmuste arvu n 1 ja n 2 vastavalt esimese ja teise urni jaoks. Meil on:
Leiame iga sündmuste elemendi arvu, mis määravad järgmised sündmused:
C1: m21 = C2: m22 = C3: m23 =Seega
P(A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - väljatõmmatud pallide hulgas on ainult 3 valget. Sel juhul
C2 (B2C1);P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P(A 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 - väljatõmmatud pallide hulgas on vähemalt üks valge.
- väljatõmmatud pallide hulgas pole ühtegi valget palli. Siis ) = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;P(A 3) = 1 - P(
) = 1 - 7/165 = 158/165.Vastus: P(A 1) = 46/495, P(A 2) = 1/3, P(A 3) = 158/165.
Probleem 1.7. Urnis on 5 mustvalget palli, neile on lisatud 4 valget palli. Pärast seda tõmmatakse urnist juhuslikult 3 palli. Leidke tõenäosus, et kõik joonistatud pallid on valged, eeldades, et kõik võimalikud ettepanekud urni algse sisu kohta on võrdselt võimalikud.
Siin on kahte tüüpi teste: kõigepealt määratakse urni esialgne sisu ja seejärel loositakse juhuslikult 3. pall, kusjuures teise testi tulemus sõltub esimese tulemusest. Seetõttu kasutatakse kogu tõenäosuse valemit.
sündmus A – juhuslikult loositakse 3 valget palli. Selle sündmuse tõenäosus sõltub urnis olevate pallide esialgsest koostisest.
Vaatleme sündmusi:
Aastal 1 - urnis oli 5 valget palli;
2-s - urnis oli 4 valget ja 1 must kuul;
Aastal 3 - urnis oli 3 valget ja 2 musta palli;
Aastal 4 - urnis oli 2 valget ja 3 musta palli;
Kell 5 - urnis oli 1 valge ja 4 musta palli.
Kell 6 - urnis oli 5 musta palli;
Elementaarsete tulemuste koguarv
Leiame sündmuse A tingimuslikud tõenäosused erinevatel tingimustel.
P(A/B 1) = 1. P(A/B 2) = 56/84 = 2/3. P(A/B 3) = 35/84 = 5/12. P(A/B 4) = 5/21. P(A/B 5) = 5/42. P(A/B 6) = 1/21.P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Ülesanne 1.10. Paigaldustsehhis on seadmega ühendatud elektrimootor. Elektrimootoreid tarnivad kolm tootjat. Laos on nende tehaste elektrimootoreid vastavalt koguses M 1 = 13, M 2 = 12 ja M 3 = 17 tükki, mis võivad tõrgeteta töötada kuni garantiiaja lõpuni tõenäosusega 0,91, 0,82, ja vastavalt 0,77. Töötaja võtab juhuslikult ühe elektrimootori ja kinnitab selle seadme külge. Leidke tõenäosus, et paigaldatud ja kuni garantiiaja lõpuni tõrgeteta töötava elektrimootori tarnis vastavalt esimene, teine või kolmas tootja.