Rööptahukas on nelinurkne prisma, mille põhjas on rööpkülik. Külgmiste ja külgmiste arvutamiseks on olemas valmis valemid täisala kujundi pinnad, mille jaoks on vaja ainult rööptahuka kolme mõõtme pikkusi.
Kuidas leida ristkülikukujulise rööptahuka külgpindala
On vaja eristada ristkülikukujulist ja sirget rööptahukat. Sirge kujundi aluseks võib olla mis tahes rööpkülik. Sellise joonise pindala tuleb arvutada teiste valemite abil.
Ristkülikukujulise rööptahuka külgpindade summa S arvutatakse lihtsa valemi P*h abil, kus P on ümbermõõt ja h on kõrgus. Jooniselt on näha, et ristkülikukujulise rööptahuka vastasküljed on võrdsed ja kõrgus h ühtib põhjaga risti olevate servade pikkusega.
Ruudukujulise kuju pindala
Joonise kogupindala koosneb küljelt ja 2 aluse pindalast. Kuidas leida ristkülikukujulise rööptahuka pindala:
Kus a, b ja c on mõõtmed geomeetriline keha.
Kirjeldatud valemid on kergesti mõistetavad ja kasulikud paljude geomeetriaülesannete lahendamisel. Näide tüüpiline ülesanne esitatud järgmisel pildil.
Sedalaadi probleemide lahendamisel tuleb meeles pidada, et alus nelinurkne prisma valitakse juhuslikult. Kui võtame aluseks näo mõõtmetega x ja 3, siis on Sside väärtused erinevad ja Stotal jääb 94 cm2.
Kuubi pindala
Kuubik on risttahukas, milles kõik 3 mõõdet on üksteisega võrdsed. Sellega seoses erinevad kuubi kogu- ja külgpinna valemid standardsetest.
Kuubi ümbermõõt on 4a, seega Sside = 4*a*a = 4*a2. Need väljendid pole päheõppimiseks vajalikud, kuid kiirendavad oluliselt ülesannete lahendamist.
- See mitmetahuline kujund, mille põhjas asub hulknurk ja ülejäänud tahud on kujutatud ühise tipuga kolmnurkadega.
Kui alus on ruut, siis nimetatakse püramiidi nelinurkne, kui kolmnurk – siis kolmnurkne. Püramiidi kõrgus tõmmatakse selle tipust risti alusega. Kasutatakse ka pindala arvutamiseks apoteem– külgpinna kõrgus, ülaosast allapoole langetatud.
Püramiidi külgpinna pindala valem on selle külgpindade pindalade summa, mis on üksteisega võrdsed. Seda arvutusmeetodit kasutatakse aga väga harva. Põhimõtteliselt arvutatakse püramiidi pindala läbi aluse ja apoteemi perimeetri:
Vaatleme näidet püramiidi külgpinna pindala arvutamisest.
Olgu antud püramiid, mille alus on ABCDE ja ülaosa F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apoteem a = 5 cm. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Leiame perimeetri. Kuna aluse kõik servad on võrdsed, on viisnurga ümbermõõt võrdne:
Nüüd leiate külgmine piirkond püramiidid: 
Korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala
Tavaline kolmnurkne püramiid koosneb alusest, milles asub korrapärane kolmnurk ja kolm külgpinda, mis on pindalalt võrdsed.
Külgpinna pindala valem õige kolmnurkne püramiid saab arvutada erinevatel viisidel. Võite rakendada tavalist arvutusvalemit perimeetri ja apoteemi abil või leida ühe näo pindala ja korrutada see kolmega. Kuna püramiidi tahk on kolmnurk, rakendame kolmnurga pindala valemit. See nõuab apoteemi ja aluse pikkust. Vaatleme näidet tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna arvutamiseks.
Antud püramiid, mille apoteem a = 4 cm ja aluspind b = 2 cm. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Esiteks leidke ühe külgpinna ala. IN sel juhul Temast saab:
Asendage väärtused valemisse: 
Alates aastast õige püramiid Kõik küljed on samad, siis võrdub püramiidi külgpinna pindala kolme tahu pindalade summaga. Vastavalt: 
Tüvipüramiidi pindala
Kärbitud Püramiid on hulktahukas, mille moodustab püramiid ja mille ristlõige on paralleelne alusega.
Kärbitud püramiidi külgpinna valem on väga lihtne. Pindala on võrdne poole aluste perimeetrite ja apoteemi summa korrutisega: 
Matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistudes tuleb õpilastel süstematiseerida oma algebra ja geomeetria teadmised. Tahaksin ühendada kogu teadaoleva teabe, näiteks püramiidi pindala arvutamise kohta. Veelgi enam, alustades alus- ja külgservadest kuni kogu pinnani. Kui külgpindade olukord on selge, kuna need on kolmnurgad, on alus alati erinev.
Kuidas leida püramiidi aluse pindala?
See võib olla täiesti ükskõik milline näitaja: alates suvaline kolmnurk n-gonile. Ja see alus võib lisaks nurkade arvu erinevusele olla tavaline kujund või ebakorrapärane. Kooliõpilasi huvitavates ühtse riigieksami ülesannetes on aluses vaid õigete arvudega ülesanded. Seetõttu räägime ainult neist.
Regulaarne kolmnurk
See tähendab, võrdkülgne. See, mille kõik küljed on võrdsed ja mida tähistatakse tähega "a". Sel juhul arvutatakse püramiidi aluse pindala järgmise valemiga:
S = (a 2 * √3) / 4.
Ruut
Selle pindala arvutamise valem on kõige lihtsam, siin on "a" jälle külg:
Suvaline korrapärane n-nurk
Hulknurga küljel on sama tähistus. Kasutatud nurkade arvu jaoks ladina täht n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Mida teha külg- ja kogupindala arvutamisel?
Sest aluses peitub õige figuur, siis osutuvad püramiidi kõik tahud võrdseks. Pealegi on igaüks neist võrdhaarne kolmnurk, kuna külgmised ribid on võrdsed. Seejärel vajate püramiidi külgmise pindala arvutamiseks valemit, mis koosneb identsete monomialide summast. Terminite arv määratakse aluse külgede arvu järgi.
Ruut võrdhaarne kolmnurk arvutatakse valemiga, milles pool aluse korrutist korrutatakse kõrgusega. Seda kõrgust püramiidis nimetatakse apoteemiks. Selle tähis on "A". Üldvalem külgpinna puhul näeb see välja järgmine:
S = ½ P*A, kus P on püramiidi aluse ümbermõõt.
On olukordi, kus aluse küljed pole teada, kuid külgservad (c) ja selle tipu tasane nurk (α) on antud. Seejärel peate püramiidi külgpinna arvutamiseks kasutama järgmist valemit:
S = n/2 * 2 sin α .
Ülesanne nr 1
Seisund. Otsi kogupindala püramiid, kui selle aluse külg on 4 cm ja apoteemi väärtus on √3 cm.
Lahendus. Alustuseks peate arvutama aluse ümbermõõdu. Kuna tegemist on korrapärase kolmnurgaga, siis P = 3*4 = 12 cm. Kuna apoteem on teada, saame kohe välja arvutada kogu külgpinna pindala: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Põhjas oleva kolmnurga jaoks saate järgmise pindala väärtuse: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Kogu ala määramiseks peate liitma kaks saadud väärtust: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Vastus. 10√3 cm 2.
Probleem nr 2
Seisund. Seal on tavaline nelinurkne püramiid. Aluskülje pikkus on 7 mm, külgserv 16 mm. On vaja välja selgitada selle pindala.
Lahendus. Kuna hulktahukas on nelinurkne ja korrapärane, on selle alus ruut. Kui teate aluse ja külgpindade pindala, saate arvutada püramiidi pindala. Ruudu valem on toodud ülal. Ja külgpindade jaoks on kolmnurga kõik küljed teada. Seetõttu saate nende pindalade arvutamiseks kasutada Heroni valemit.
Esimesed arvutused on lihtsad ja annavad järgmise arvu: 49 mm 2. Teise väärtuse jaoks peate arvutama poolperimeetri: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Nüüd saate arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Selliseid kolmnurki on ainult neli, nii et lõpliku arvu arvutamisel peate selle korrutama 4-ga.
Selgub: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Vastus. Soovitud väärtus on 267,576 mm 2.
Probleem nr 3
Seisund. Õige nelinurkne püramiid peate pindala arvutama. Väljaku külg on teatavasti 6 cm ja kõrgus 4 cm.
Lahendus. Lihtsaim viis on kasutada valemit perimeetri ja apoteemi korrutisega. Esimest väärtust on lihtne leida. Teine on veidi keerulisem.
Peame meeles pidama Pythagorase teoreemi ja arvestama, et selle moodustavad püramiidi kõrgus ja apoteem, mis on hüpotenuus. Teine jalg võrdne poolega ruudu külgedele, kuna hulktahuka kõrgus langeb selle keskele.
Nõutav apoteem (täisnurkse kolmnurga hüpotenuus) on võrdne √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Nüüd saate arvutada vajaliku väärtuse: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Vastus. 96 cm 2.
Probleem nr 4
Seisund. Dana õige külg selle põhjad on 22 mm, külgmised ribid on 61 mm. Kui suur on selle hulktahuka külgpindala?
Lahendus. Põhjendus selles on sama, mis ülesandes nr 2 kirjeldatud. Ainult seal anti püramiid, mille põhjas on ruut, ja nüüd on see kuusnurk.
Esiteks arvutatakse baaspindala ülaltoodud valemi abil: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Nüüd peate välja selgitama võrdhaarse kolmnurga poolperimeetri, mis on külgpind. (22+61*2):2 = 72 cm. Jääb üle ainult Heroni valemi abil arvutada iga sellise kolmnurga pindala, korrutada see kuuega ja liita see aluse jaoks saadud pindalaga.
Arvutused Heroni valemi abil: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Arvutused, mis annavad külgpinna pindala: 660 * 6 = 3960 cm 2. Kogu pinna väljaselgitamiseks tuleb need kokku liita: 5217,47≈5217 cm 2.
Vastus. Alus on 726√3 cm2, külgpind 3960 cm2, kogu pind 5217 cm2.
Püramiidi pindala. Selles artiklis vaatleme tavaliste püramiididega seotud probleeme. Tuletan meelde, et tavaline püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk, projitseeritakse püramiidi tipp selle hulknurga keskmesse.
Sellise püramiidi külgkülg on võrdhaarne kolmnurk.Selle korrapärase püramiidi tipust tõmmatud kolmnurga kõrgust nimetatakse apoteemiks, SF - apoteemiks:
Allpool esitatud probleemitüübi puhul peate leidma kogu püramiidi pindala või selle külgpinna pindala. Blogis on juba käsitletud mitmeid tavapüramiididega seotud probleeme, kus küsimus oli elementide leidmises (kõrgus, aluse serv, külgserv).
IN Ühtse riigieksami ülesanded Reeglina peetakse silmas tavalisi kolmnurkseid, nelinurkseid ja kuusnurkseid püramiide. Ma pole tavaliste viisnurksete ja seitsenurksete püramiididega probleeme näinud.
Kogu pinna pindala valem on lihtne - peate leidma püramiidi aluse pindala ja selle külgpinna pindala summa:
Vaatleme ülesandeid:
Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 72, külgmised servad 164. Leidke selle püramiidi pindala.
Püramiidi pindala on võrdne külgpinna ja aluse pindalade summaga:
*Külgpind koosneb neljast võrdse pindalaga kolmnurgast. Püramiidi alus on ruut.
Püramiidi külje pindala saame arvutada, kasutades:
Seega on püramiidi pindala:
Vastus: 28224
Aluse küljed on õiged kuusnurkne püramiid on 22, külgservad on 61. Leidke selle püramiidi külgpindala.
Korrapärase kuusnurkse püramiidi alus on korrapärane kuusnurk.
Selle püramiidi külgpind koosneb kuuest võrdsest kolmnurgast, mille küljed on 61, 61 ja 22:
Leiame kolmnurga pindala Heroni valemi abil:
Seega on külgpindala:
Vastus: 3240
*Ülaltoodud ülesannete puhul võib külgpinna pindala leida teise kolmnurga valemi abil, kuid selleks peate arvutama apoteemi.
27155. Leia korrapärase nelinurkse püramiidi pindala, mille aluse küljed on 6 ja kõrgus 4.
Püramiidi pindala leidmiseks peame teadma aluse pindala ja külgpinna pindala:
Aluse pindala on 36, kuna see on ruut küljega 6.
Külgpind koosneb neljast näost, mis on võrdsed kolmnurgad. Sellise kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle alust ja kõrgust (apoteem):
*Kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja selle aluse kõrguse korrutisest.
Alus on teada, see võrdub kuuega. Leiame kõrguse. Mõelgem täisnurkne kolmnurk(see on kollaselt esile tõstetud):
Üks jalg on 4, kuna see on püramiidi kõrgus, teine on 3, kuna see võrdub poole aluse servaga. Hüpotenuusi leiame Pythagorase teoreemi abil:
See tähendab, et püramiidi külgpinna pindala on:
Seega on kogu püramiidi pindala:
Vastus: 96
27069. Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad on 13. Leia selle püramiidi pindala.
27070. Korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad on 13. Leidke selle püramiidi külgpindala.
Samuti on olemas valemid tavalise püramiidi külgpinna jaoks. Tavalises püramiidis on alus ortogonaalne projektsioon külgpind, seega:
P- baasi perimeeter, l- püramiidi apoteem
*See valem põhineb kolmnurga pindala valemil.
Kui soovite nende valemite tuletamise kohta lisateavet, ärge jätke seda mööda, jälgige artiklite avaldamist.See on kõik. Edu sulle!
Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.
P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.
Silinder on kujund, mis koosneb silindriline pind ja kaks paralleelset ringi. Silindri pindala arvutamine on matemaatika geomeetrilise haru probleem, mida saab üsna lihtsalt lahendada. Selle lahendamiseks on mitu meetodit, mis lõpuks taanduvad alati ühele valemile.
Kuidas leida silindri pindala - arvutusreeglid
- Silindri pindala väljaselgitamiseks peate liitma kaks aluse pindala külgpinna pindalaga: S = Sside + 2Sbase. Laiendatud versioonis see valem näeb välja selline: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Antud geomeetrilise keha külgpindala saab arvutada, kui on teada selle kõrgus ja selle põhjas paikneva ringi raadius. Sel juhul saate väljendada raadiust ümbermõõdust, kui see on antud. Kõrguse saab leida, kui tingimuses on määratud generaatori väärtus. Sel juhul on generatrix võrdne kõrgusega. Külgpinna valem antud keha näeb välja selline: S= 2 π rh.
- Aluse pindala arvutatakse ringi pindala leidmise valemiga: S osn= π r 2 . Mõnes ülesandes ei pruugita raadiust antud, küll aga ümbermõõtu. Selle valemiga väljendatakse raadiust üsna lihtsalt. С=2π r, r= С/2π. Samuti peate meeles pidama, et raadius on pool läbimõõdust.
- Kõigi nende arvutuste tegemisel ei taandu arv π tavaliselt 3,14159-ks... See tuleb lihtsalt lisada numbriline väärtus, mis saadi arvutuste tulemusena.
- Järgmisena peate lihtsalt korrutama aluse leitud pindala 2-ga ja lisama saadud arvule joonise külgpinna arvutatud pindala.
- Kui probleem näitab, et silinder sisaldab aksiaalne sektsioon ja see on ristkülik, siis on lahendus veidi erinev. Sel juhul on ristküliku laius keha põhjas asuva ringi läbimõõt. Joonise pikkus on võrdne silindri generaatori või kõrgusega. Vaja arvutada nõutavad väärtused ja juba asendada tuntud valem. Sel juhul tuleb aluse pindala leidmiseks jagada ristküliku laius kahega. Külgpinna leidmiseks korrutatakse pikkus kahe raadiusega ja arvuga π.
- Antud geomeetrilise keha pindala saate arvutada selle ruumala kaudu. Selleks tuleb puuduv väärtus tuletada valemist V=π r 2 h.
- Silindri pindala arvutamisel pole midagi keerulist. Peate lihtsalt teadma valemeid ja oskama neist tuletada arvutuste tegemiseks vajalikud kogused.