Jah, jah: aritmeetiline progressioon pole sinu jaoks mänguasi :) Noh, sõbrad, kui te seda teksti loete, siis sisemine cap-evidence ütleb mulle, et te ei tea veel, mis on aritmeetiline progressioon, aga te tõesti (ei, nii: NIIAA!) tahate teada. Seetõttu ei piina ma teid pikkade sissejuhatustega ja asun otse asja juurde.
Esiteks paar näidet. Vaatame mitut numbrite komplekti:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Mis on kõigil neil komplektidel ühist? Esmapilgul mitte midagi. Aga tegelikult on midagi. Nimelt: iga järgmine element erineb eelmisest sama numbri võrra.
Otsustage ise. Esimene komplekt koosneb lihtsalt järjestikustest numbritest, millest iga järgmine on ühe võrra suurem kui eelmine. Teisel juhul on kõrvuti asetsevate arvude vahe juba viis, kuid see erinevus on siiski konstantne. Kolmandal juhul on juured üldse olemas. Samas $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ja $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, st. ja sel juhul suureneb iga järgmine element lihtsalt $\sqrt(2)$ võrra (ja ärge kartke, et see arv on irratsionaalne).
Niisiis: kõiki selliseid jadasid nimetatakse aritmeetilisteks progressioonideks. Anname range määratluse:
Definitsioon. Arvujada, milles iga järgmine erineb eelmisest täpselt sama palju, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Seda summat, mille võrra numbrid erinevad, nimetatakse progresseerumise erinevuseks ja seda tähistatakse enamasti tähega $d$.
Tähistus: $\left(((a)_(n)) \right)$ on progressioon ise, $d$ on selle erinevus.
Ja vaid paar olulist märkust. Esiteks võetakse arvesse ainult progresseerumist tellitud numbrite jada: neid on lubatud lugeda rangelt nende kirjutamise järjekorras - ja mitte midagi muud. Numbreid ei saa ümber paigutada ega vahetada.
Teiseks võib jada ise olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks hulk (1; 2; 3) on ilmselgelt lõplik aritmeetiline progressioon. Aga kui sa kirjutad midagi vaimus (1; 2; 3; 4; ...) - see on juba lõputu edasiminek. Ellips pärast nelja näib vihjavat, et tulemas on veel päris palju numbreid. Lõpmatult palju näiteks. :)
Samuti tahaksin märkida, et progresseerumine võib suureneda või väheneda. Oleme juba näinud kasvavaid - sama komplekt (1; 2; 3; 4; ...). Siin on näited progresseerumise vähenemisest:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Olgu, okei: viimane näide võib tunduda liiga keeruline. Aga ülejäänud, ma arvan, saate aru. Seetõttu tutvustame uusi määratlusi:
Definitsioon. Aritmeetilist progressiooni nimetatakse:
- suureneb, kui iga järgmine element on eelmisest suurem;
- väheneb, kui vastupidi, iga järgnev element on väiksem kui eelmine.
Lisaks on olemas nn statsionaarsed jadad - need koosnevad samast korduvast numbrist. Näiteks (3; 3; 3; ...).
Jääb vaid üks küsimus: kuidas eristada kasvavat progresseerumist kahanevast? Õnneks sõltub siin kõik ainult numbri $d$ märgist, st. progresseerumise erinevused:
- Kui $d \gt 0$, siis progresseerumine suureneb;
- Kui $d \lt 0$, siis progresseerumine on ilmselgelt vähenemas;
- Lõpuks on juhtum $d=0$ – sel juhul taandatakse kogu progressioon identsete arvude statsionaarseks jadaks: (1; 1; 1; 1; ...) jne.
Proovime arvutada erinevuse $d$ kolme ülaltoodud kahaneva progresseerumise jaoks. Selleks piisab, kui võtta kaks kõrvuti asetsevat elementi (näiteks esimene ja teine) ning lahutada parempoolsest numbrist vasakpoolne arv. See näeb välja selline:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Nagu näeme, osutus erinevus kõigil kolmel juhul tegelikult negatiivseks. Ja nüüd, kui oleme määratlused enam-vähem selgeks saanud, on aeg välja mõelda, kuidas edenemist kirjeldatakse ja millised omadused neil on.
Progressioonitingimused ja kordumise valem
Kuna meie jadade elemente ei saa vahetada, saab neid nummerdada:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \õige\)\]
Selle komplekti üksikuid elemente nimetatakse progressiooni liikmeteks. Neid tähistab number: esimene liige, teine liige jne.
Lisaks, nagu me juba teame, on progressi naaberterminid seotud valemiga:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Paremnool ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Lühidalt, progresseerumise $n$-nda liikme leidmiseks peate teadma $n-1$-ndat liiget ja erinevust $d$. Seda valemit nimetatakse korduvaks, kuna selle abil saate leida suvalise arvu ainult eelmist (ja tegelikult ka kõiki eelmisi) teades. See on väga ebamugav, seetõttu on olemas kavalam valem, mis vähendab kõik arvutused esimesele liikmele ja erinevusele:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Tõenäoliselt olete selle valemiga juba kohanud. Neile meeldib seda anda kõikvõimalikes teatmeteostes ja lahendusraamatutes. Ja igas mõistlikus matemaatikaõpikus on see üks esimesi.
Siiski soovitan teil veidi harjutada.
Ülesanne nr 1. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni $\left(((a)_(n)) \right)$ kolm esimest liiget, kui $((a)_(1))=8,d=-5$.
Lahendus. Seega teame esimest liiget $((a)_(1))=8$ ja progressiooni erinevust $d=-5$. Kasutame just antud valemit ja asendame $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\vasak(1-1 \parem)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasak(2-1 \parem)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vasak(3-1 \parem)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(joonda)\]
Vastus: (8; 3; −2)
See on kõik! Pange tähele: meie areng väheneb.
Muidugi ei saanud $n=1$ asendada – esimene termin on meile juba teada. Ühtsust asendades olime aga veendunud, et meie valem töötab isegi esimesel ametiajal. Muudel juhtudel taandus kõik banaalsele aritmeetikale.
Ülesanne nr 2. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget, kui selle seitsmes liige on –40 ja seitsmeteistkümnes liige –50.
Lahendus. Kirjutame probleemiseisundi tuttavate sõnadega:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(joonda) \paremale.\]
\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(joonda) \õige.\]
Panin süsteemimärgi, sest need nõuded peavad olema täidetud üheaegselt. Pangem nüüd tähele, et kui lahutame teisest võrrandist esimese (meil on õigus seda teha, kuna meil on süsteem), saame järgmise:
\[\begin(joona) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(joonda)\]
Nii lihtne on leida progresseerumise erinevust! Jääb üle vaid asendada leitud arv süsteemi mis tahes võrrandiga. Näiteks esimeses:
\[\begin(maatriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(maatriks)\]
Nüüd, teades esimest terminit ja erinevust, jääb üle leida teine ja kolmas termin:
\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(joonda)\]
Valmis! Probleem on lahendatud.
Vastus: (-34; -35; -36)
Pange tähele meie avastatud huvitavat progressiooni omadust: kui võtame $n$-nda ja $m$-nda liikme ning lahutame need üksteisest, saame progressiooni erinevuse, mis on korrutatud arvuga $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Lihtne, kuid väga kasulik omadus, mida pead kindlasti teadma – selle abiga saad oluliselt kiirendada paljude progressiooniprobleemide lahendamist. Siin on selle selge näide:
Ülesanne nr 3. Aritmeetilise progressiooni viies liige on 8,4 ja kümnes liige on 14,4. Leidke selle progressiooni viieteistkümnes liige.
Lahendus. Kuna $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ ja me peame leidma $((a)_(15))$, siis paneme tähele järgmist:
\[\begin(joona) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(joonda)\]
Kuid tingimusel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, seega $5d=6$, millest saame:
\[\begin(joona) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(joonda)\]
Vastus: 20.4
See on kõik! Meil ei olnud vaja luua võrrandisüsteeme ja arvutada esimest liiget ja erinevust - kõik lahendati vaid paari reaga.
Vaatame nüüd teist tüüpi probleeme – progresseerumise negatiivsete ja positiivsete terminite otsimist. Pole saladus, et kui progresseerumine suureneb ja selle esimene liige on negatiivne, siis varem või hiljem ilmuvad sellesse positiivsed terminid. Ja vastupidi: kahaneva progresseerumise tingimused muutuvad varem või hiljem negatiivseks.
Samas pole elemente järjestikku läbides alati võimalik seda hetke “otspidi” leida. Tihti on ülesanded kirja pandud nii, et valemeid teadmata kuluks arvutustele mitu paberilehte – vastuse leidmise ajaks jääksime lihtsalt magama. Seetõttu proovime neid probleeme kiiremini lahendada.
Ülesanne nr 4. Mitu negatiivset liiget on aritmeetilises progressioonis −38,5; −35,8; ...?
Lahendus. Seega $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kust leiame kohe vahe:
Pange tähele, et erinevus on positiivne, seega progresseerumine suureneb. Esimene liige on negatiivne, nii et ühel hetkel komistame positiivsete arvude otsa. Küsimus on ainult selles, millal see juhtub.
Proovime välja selgitada, kui kauaks (st millise naturaalarvuni $n$) püsib terminite negatiivsus:
\[\begin(joona) & ((a)_(n)) \lt 0\Paremnool ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \parem. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Paremnool ((n)_(\max ))=15. \\ \end(joonda)\]
Viimane rida nõuab mõningast selgitust. Seega teame, et $n \lt 15\frac(7)(27)$. Teisest küljest rahuldume ainult arvu täisarvu väärtustega (lisaks: $n\in \mathbb(N)$), nii et suurim lubatud arv on täpselt $n=15$ ja mitte mingil juhul 16 .
Ülesanne nr 5. Aritmeetilises progressioonis $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Leidke selle progressiooni esimese positiivse liikme arv.
See oleks täpselt sama probleem, mis eelmine, aga me ei tea $((a)_(1))$. Kuid naaberterminid on teada: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, nii et leiame lihtsalt progresseerumise erinevuse:
Lisaks proovime väljendada viiendat liiget esimese kaudu ja erinevust standardvalemi abil:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(joonda)\]
Nüüd jätkame analoogselt eelmise ülesandega. Uurime välja, millises punktis meie jada positiivsed numbrid ilmuvad:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Paremnool ((n)_(\min ))=56. \\ \end(joonda)\]
Selle ebavõrdsuse minimaalne täisarvlahend on arv 56.
Pange tähele: viimases ülesandes taandus kõik rangele ebavõrdsusele, seega valik $n=55$ meile ei sobi.
Nüüd, kui oleme õppinud lihtsaid probleeme lahendama, liigume edasi keerukamate juurde. Kuid kõigepealt uurime veel ühte väga kasulikku aritmeetilise progressiooni omadust, mis säästab meid tulevikus palju aega ja ebavõrdseid lahtreid. :)
Aritmeetiline keskmine ja võrdsed taanded
Vaatleme mitut järjestikust liiget kasvavas aritmeetilises progressioonis $\left(((a)_(n)) \right)$. Proovime need numbrireale märkida:
Aritmeetilise progressiooni tingimused arvteljelMärkisin konkreetselt suvalised terminid $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, mitte mingid $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Sest reegel, millest ma teile nüüd räägin, töötab sama kõigi "segmentide" puhul.
Ja reegel on väga lihtne. Jätame meelde korduva valemi ja kirjutame selle kõigi märgitud terminite jaoks üles:
\[\begin(joona) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(joonda)\]
Neid võrdusi saab aga erinevalt ümber kirjutada:
\[\begin(joona) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(joonda)\]
No mis siis? Ja tõsiasi, et terminid $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ asuvad $((a)_(n)) $-st samal kaugusel . Ja see vahemaa on võrdne $d$. Sama võib öelda ka terminite $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ kohta – need eemaldatakse ka $((a)_(n) hulgast )$ samal kaugusel, mis võrdub $2d$. Võime jätkata lõpmatuseni, kuid tähendust illustreerib hästi pilt
Progressiooni tingimused asuvad keskpunktist samal kaugusel Mida see meie jaoks tähendab? See tähendab, et $((a)_(n))$ võib leida, kui naaberarvud on teada:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Oleme tuletanud suurepärase väite: aritmeetilise progressiooni iga liige on võrdne tema naaberliikmete aritmeetilise keskmisega! Veelgi enam: me saame oma $((a)_(n))$-st vasakule ja paremale tagasi astuda mitte ühe sammu võrra, vaid $k$ sammu võrra – ja valem jääb ikka õigeks:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Need. leiame lihtsalt mõned $((a)_(150))$, kui teame $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, sest $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Esmapilgul võib tunduda, et see fakt ei anna meile midagi kasulikku. Kuid praktikas on paljud ülesanded spetsiaalselt kohandatud aritmeetilise keskmise kasutamiseks. Vaata:
Ülesanne nr 6. Leia kõik $x$ väärtused, mille puhul numbrid $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ on järjestikused liikmed aritmeetiline progressioon (näidatud järjekorras).
Lahendus. Kuna need arvud on progressiooni liikmed, on nende jaoks täidetud aritmeetilise keskmise tingimus: keskelementi $x+1$ saab väljendada naaberelementidena:
\[\begin(joonda) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(joonda)\]
Tulemuseks on klassikaline ruutvõrrand. Selle juured: $x=2$ ja $x=-3$ on vastused.
Vastus: −3; 2.
Ülesanne nr 7. Leidke $$ väärtused, mille puhul arvud $-1;4-3;(()^(2))+1$ moodustavad aritmeetilise progressiooni (selles järjekorras).
Lahendus. Avaldame keskmist liiget taas naaberterminite aritmeetilise keskmise kaudu:
\[\begin(joona) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(joonda)\]
Jälle ruutvõrrand. Ja jällegi on kaks juurt: $x=6$ ja $x=1$.
Vastus: 1; 6.
Kui probleemi lahendamise käigus jõuate mõne jõhkra numbrini või pole leitud vastuste õigsuses täiesti kindel, siis on olemas suurepärane tehnika, mis võimaldab teil kontrollida: kas oleme probleemi õigesti lahendanud?
Oletame, et ülesandes nr 6 saime vastused −3 ja 2. Kuidas kontrollida, kas need vastused on õiged? Ühendame need lihtsalt algsesse seisukorda ja vaatame, mis juhtub. Tuletan meelde, et meil on kolm arvu ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), mis peavad moodustama aritmeetilise progressiooni. Asendame $x=-3$:
\[\begin(joonda) & x=-3\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(joonda)\]
Saime numbrid −54; −2; 50, mis erinevad 52 võrra, on kahtlemata aritmeetiline progressioon. Sama juhtub $x=2$ puhul:
\[\begin(joona) & x=2\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(joonda)\]
Jällegi progressioon, aga vahega 27. Seega sai probleem õigesti lahendatud. Teise probleemi saavad soovijad ise üle vaadata, aga ütlen kohe: ka seal on kõik õige.
Üldiselt sattusime viimaste ülesannete lahendamisel veel ühele huvitavale faktile, mida tuleb samuti meeles pidada:
Kui kolm arvu on sellised, et teine on esimese ja viimase aritmeetiline keskmine, moodustavad need arvud aritmeetilise progressiooni.
Tulevikus võimaldab selle väite mõistmine sõna otseses mõttes "konstrueerida" probleemi tingimustest lähtuvalt vajalikud progressid. Kuid enne sellise “ehitamise” tegemist peaksime tähelepanu pöörama veel ühele faktile, mis tuleneb otseselt juba räägitust.
Elementide rühmitamine ja summeerimine
Pöördume uuesti arvtelje juurde. Märgime seal mitu progressi liiget, mille vahel ehk. on väärt paljusid teisi liikmeid:
Numbrireale on märgitud 6 elementiProovime väljendada “vasakpoolset saba” läbi $((a)_(n))$ ja $d$ ning “parem saba” läbi $((a)_(k))$ ja $d$. See on väga lihtne:
\[\begin(joona) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(joonda)\]
Pange tähele, et järgmised summad on võrdsed:
\[\begin(joona) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(joonda)\]
Lihtsamalt öeldes, kui võtta alustuseks kaks progressi elementi, mis kokku on võrdsed mingi arvuga $S$, ja seejärel hakata nendest elementidest vastassuundades (üksteise poole või vastupidi, et eemalduda) astuma, siis elementide summad, mille otsa komistame, on samuti võrdsed$S$. Seda saab kõige selgemalt graafiliselt kujutada:
Võrdsed taanded annavad võrdsed summad Selle fakti mõistmine võimaldab meil lahendada põhimõtteliselt kõrgema keerukusega probleeme kui need, mida eespool käsitlesime. Näiteks need:
Ülesanne nr 8. Määrake aritmeetilise progressiooni erinevus, mille esimene liige on 66 ning teise ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on väikseim võimalik.
Lahendus. Paneme kirja kõik, mida teame:
\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(joonda)\]
Seega me ei tea progresseerumise erinevust $d$. Tegelikult ehitatakse kogu lahendus selle erinevuse ümber, kuna toote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ saab ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(joonda)\]
Nende jaoks, kes on paagis: võtsin teisest klambrist välja kogukordaja 11. Seega on soovitud korrutis ruutfunktsioon muutuja $d$ suhtes. Seetõttu kaaluge funktsiooni $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – selle graafik on ülespoole harudega parabool, sest kui laiendame sulgusid, saame:
\[\begin(joona) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(joonda)\]
Nagu näete, on kõrgeima liikme koefitsient 11 - see on positiivne arv, seega on meil tegelikult tegemist ülespoole suunatud harudega parabooliga:
ruutfunktsiooni graafik - parabool
Pange tähele: see parabool võtab minimaalse väärtuse oma tipus abstsissiga $((d)_(0))$. Muidugi saame selle abstsissi arvutada standardskeemi abil (seal on valem $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), kuid palju mõistlikum oleks märkida et soovitud tipp asub parabooli telje sümmeetrial, seetõttu on punkt $((d)_(0)) $ võrrandi $f\left(d \right)=0$ juurtest võrdsel kaugusel:
\[\begin(joonda) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(joonda)\]
Seetõttu ma sulgude avamisega eriti ei kiirustanud: algsel kujul oli juuri väga-väga lihtne leida. Seetõttu on abstsiss võrdne arvude −66 ja −6 aritmeetilise keskmisega:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2) = -36\]
Mida avastatud number meile annab? Sellega omandab vajalik toode väikseima väärtuse (muide, me ei arvutanud kunagi $((y)_(\min ))$ - seda meilt ei nõuta). Samas on see arv erinevus algsest progressioonist, s.o. leidsime vastuse. :)
Vastus: −36
Ülesanne nr 9. Sisestage numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ vahele kolm arvu, nii et need koos nende arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni.
Lahendus. Põhimõtteliselt peame tegema viiest numbrist koosneva jada, mille esimene ja viimane number on juba teada. Tähistame puuduvad numbrid muutujatega $x$, $y$ ja $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Pange tähele, et arv $y$ on meie jada "keskmine" – see on võrdsel kaugusel numbritest $x$ ja $z$ ning numbritest $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac (1) (6) $. Ja kui me praegu ei saa $y$ numbritest $x$ ja $z$, siis on olukord progressi otstega teistsugune. Meenutagem aritmeetilist keskmist:
Nüüd, teades $y$, leiame ülejäänud arvud. Pange tähele, et $x$ asub äsja leitud numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ vahel. Sellepärast
Sarnast põhjendust kasutades leiame ülejäänud arvu:
Valmis! Leidsime kõik kolm numbrit. Kirjutame need vastusesse selles järjekorras, millises järjekorras need tuleb sisestada algsete numbrite vahele.
Vastus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Ülesanne nr 10. Sisestage arvude 2 ja 42 vahele mitu numbrit, mis koos nende arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni, kui teate, et sisestatud arvu esimese, teise ja viimase summa on 56.
Lahendus. Veelgi keerulisem ülesanne, mis aga lahendatakse sama skeemi järgi nagu eelnevad - läbi aritmeetilise keskmise. Probleem on selles, et me ei tea täpselt, kui palju numbreid tuleb sisestada. Seetõttu oletame kindluse mõttes, et pärast kõige sisestamist on täpselt $n$ arvud, millest esimene on 2 ja viimane 42. Sel juhul saab vajaliku aritmeetilise progressiooni esitada kujul:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \parem\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Pange tähele, et numbrid $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ saadakse numbritest 2 ja 42 servades ühe sammu võrra üksteise suunas, st . jada keskele. Ja see tähendab seda
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Kuid siis saab ülal kirjutatud väljendi ümber kirjutada järgmiselt:
\[\begin(joona) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(joonda)\]
Teades $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, leiame lihtsalt progressi erinevuse:
\[\begin(joona) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Paremnool d=5. \\ \end(joonda)\]
Jääb üle vaid leida ülejäänud terminid:
\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(joonda)\]
Seega juba 9. sammul jõuame jada vasakpoolsesse otsa - arv 42. Kokku tuli sisestada vaid 7 numbrit: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Vastus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Sõnaprobleemid edenemisega
Kokkuvõtteks tahaksin käsitleda paari suhteliselt lihtsat probleemi. Noh, nii lihtne: enamikule õpilastele, kes õpivad koolis matemaatikat ja pole ülalkirjutatut lugenud, võivad need probleemid tunduda rasked. Sellegipoolest ilmnevad sellised probleemid OGE-s ja matemaatika ühtsel riigieksamil, seega soovitan teil nendega tutvuda.
Ülesanne nr 11. Meeskond tootis jaanuaris 62 osa ja igal järgneval kuul 14 osa rohkem kui eelmisel kuul. Mitu osa tootis meeskond novembris?
Lahendus. Ilmselt tähistab kuude kaupa loetletud osade arv kasvavat aritmeetilist progressiooni. Enamgi veel:
\[\begin(joona) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(joonda)\]
November on aasta 11. kuu, seega peame leidma $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Seetõttu toodetakse novembris 202 osa.
Ülesanne nr 12. Köitmistöökoda köitis jaanuaris 216 raamatut ja igal järgneval kuul 4 raamatut rohkem kui eelmisel kuul. Mitu raamatut töötuba detsembris köitis?
Lahendus. Kõik on sama:
$\begin(joona) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(joonda)$
Detsember on aasta viimane, 12. kuu, seega otsime $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
See on vastus – detsembris köidetakse 260 raamatut.
Noh, kui olete siiani lugenud, kiirustan teid õnnitlema: olete edukalt läbinud aritmeetilise progressiooni "noore võitleja kursuse". Võite julgelt liikuda järgmise õppetüki juurde, kus uurime edenemise summa valemit ning selle olulisi ja väga kasulikke tagajärgi.
Arvujada mõiste eeldab, et iga naturaalarv vastab mõnele reaalväärtusele. Selline arvude jada võib olla kas suvaline või omada teatud omadusi – progressiooni. Viimasel juhul saab jada iga järgneva elemendi (liikme) arvutada eelmise abil.
Aritmeetiline progressioon on arvväärtuste jada, milles selle naaberliikmed erinevad üksteisest sama numbri võrra (kõikidel seeria elementidel, alates teisest, on sarnane omadus). See arv – eelmise ja järgneva termini erinevus – on konstantne ja seda nimetatakse progresseerumise erinevuseks.
Progressi erinevus: määratlus
Vaatleme jada, mis koosneb j väärtustest A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j kuulub naturaalarvude hulka N. Aritmeetika progressioon on oma definitsiooni järgi jada , milles a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Väärtus d on selle progresseerumise soovitud erinevus.
d = a(j) – a(j-1).
Esiletõstmine:
- Kasvav progressioon, sel juhul d > 0. Näide: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progresseerumine väheneb, seejärel d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Erinevuste progresseerumine ja selle suvalised elemendid
Kui on teada progressiooni 2 suvalist liiget (i-s, k-s), saab antud jada erinevuse määrata seose alusel:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, mis tähendab d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Progressiooni erinevus ja selle esimene tähtaeg
See avaldis aitab määrata tundmatut väärtust ainult juhul, kui jadaelemendi number on teada.
Progressi vahe ja selle summa
Progressiooni summa on selle liikmete summa. Selle esimese j elemendi koguväärtuse arvutamiseks kasutage sobivat valemit:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, kuid kuna a(j) = a(1) + d(j – 1), siis S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.
Interneti-kalkulaator.
Aritmeetilise progressiooni lahendamine.
Antud: a n , d, n
Leia: a 1
See matemaatiline programm leiab kasutaja määratud arvude \(a_n, d\) ja \(n\) põhjal aritmeetilise progressiooni \(a_1\).
Arve \(a_n\) ja \(d\) saab määrata mitte ainult täisarvudena, vaid ka murdudena. Veelgi enam, murdarvu saab sisestada kümnendmurruna (\(2,5\)) ja hariliku murdena (\(-5\frac(2) (7)\)).
Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid kuvab ka lahenduse leidmise protsessi.
See veebikalkulaator võib olla kasulik keskkooliõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit ning vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimisel. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.
Nii saate ise läbi viia koolitusi ja/või nooremate vendade või õdede koolitust, samal ajal tõuseb haridustase probleemide lahendamise alal.
Kui te pole numbrite sisestamise reeglitega kursis, soovitame teil nendega tutvuda.
Numbrite sisestamise reeglid
Arve \(a_n\) ja \(d\) saab määrata mitte ainult täisarvudena, vaid ka murdudena.
Arv \(n\) võib olla ainult positiivne täisarv.
Kümnendmurdude sisestamise reeglid.
Täis- ja murdosa kümnendmurdudes saab eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks võite sisestada kümnendmurrud, nagu 2,5 või 2,5
Harilike murdude sisestamise reeglid.
Murru lugeja, nimetaja ja täisarvuna saab toimida ainult täisarv.
Nimetaja ei saa olla negatiivne.
Numbrimurru sisestamisel eraldatakse lugeja nimetajast jagamismärgiga: /
Sisend:
Tulemus: \(-\frac(2) (3)\)
Kogu osa eraldatakse murdosast ampersandi märgiga: &
Sisend:
Tulemus: \(-1\frac(2) (3)\)
Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.
Lahenduse kuvamiseks peate lubama JavaScripti.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.
Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...
Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saate kirjutada sellest tagasiside vormi.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.
Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:
Natuke teooriat.
Numbrite jada
Igapäevapraktikas kasutatakse nende paigutamise järjekorra märkimiseks sageli erinevate objektide nummerdamist. Näiteks on igal tänaval majad nummerdatud. Raamatukogus on lugejatellimused nummerdatud ja seejärel paigutatud määratud numbrite järjekorda spetsiaalsetesse kaardifailidesse.
Hoiupangas, kasutades hoiustaja isiklikku kontonumbrit, leiate selle konto hõlpsalt üles ja näete, milline hoius sellel on. Kontol nr 1 olgu deposiit a1 rubla, kontol nr 2 deposiit a2 rubla jne. Selgub numbrijada
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
kus N on kõigi kontode arv. Siin on iga naturaalarv n vahemikus 1 kuni N seotud arvuga a n.
Õppis ka matemaatikat lõpmatud arvujadad:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Kutsutakse numbrit a 1 jada esimene liige, number a 2 - jada teine liige, number a 3 - jada kolmas liige jne.
Numbrit a n nimetatakse jada n-s (n-s) liige, ja naturaalarv n on selle number.
Näiteks naturaalarvude ruutude jadas 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ja 1 = 1 on jada esimene liige; ja n = n2 on jada n-s liige; a n+1 = (n + 1) 2 on jada (n + 1)-s (n pluss esimene) liige. Sageli saab jada täpsustada selle n-nda liikme valemiga. Näiteks valem \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) määrab jada \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4), \dots,\frac(1)(n), \dots \)
Aritmeetiline progressioon
Aasta pikkus on ligikaudu 365 päeva. Täpsem väärtus on \(365\frac(1)(4)\) päeva, seega koguneb iga nelja aasta järel ühepäevane viga.
Selle vea arvessevõtmiseks lisatakse igale neljandale aastale päev ja pikendatud aastat nimetatakse liigaaastaks.
Näiteks kolmandal aastatuhandel on liigaastad aastad 2004, 2008, 2012, 2016, ....
Selles jadas on iga liige, alates teisest, võrdne eelmisega, mis on lisatud samale arvule 4. Selliseid jadasid nimetatakse aritmeetilised progressioonid.
Definitsioon.
Kutsutakse numbrijada a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmeetiline progressioon, kui kõigi loomulike n võrdsus
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kus d on mingi arv.
Sellest valemist järeldub, et a n+1 - a n = d. Arvu d nimetatakse erinevuseks aritmeetiline progressioon.
Aritmeetilise progressiooni määratluse järgi on meil:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kus
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kus \(n>1 \)
Seega on aritmeetilise progressiooni iga liige, alustades teisest, võrdne tema kahe külgneva liikme aritmeetilise keskmisega. See seletab nimetust "aritmeetiline" progressioon.
Pange tähele, et kui on antud a 1 ja d, saab aritmeetilise progressiooni ülejäänud liikmed arvutada korduva valemiga a n+1 = a n + d. Sel viisil ei ole progresseerumise paari esimest liiget keeruline arvutada, kuid näiteks 100 nõuab juba palju arvutusi. Tavaliselt kasutatakse selleks n-ndat termini valemit. Aritmeetilise progressiooni definitsiooni järgi
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
jne.
Üleüldse,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kuna aritmeetilise progressiooni n-s liige saadakse esimesest liikmest, liites (n-1) korda arvu d.
Seda valemit nimetatakse aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem.
Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa
Leidke kõigi naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100.
Kirjutame selle summa kahel viisil:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Lisame need võrdsused terminite kaupa:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Selles summas on 100 terminit
Seetõttu 2S = 101 * 100, seega S = 101 * 50 = 5050.
Vaatleme nüüd suvalist aritmeetilist progressiooni
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
Olgu S n selle progressiooni esimese n liikme summa:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Siis aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa on võrdne
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Kuna \(a_n=a_1+(n-1)d\), siis asendades n selles valemis saame teise valemi leidmiseks aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Olulised märkused!
1. Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Kuidas seda brauseris teha, on kirjutatud siin:
2. Enne artikli lugemise alustamist pöörake tähelepanu meie navigaatorile, et leida kõige kasulikumad vahendid
Numbrite jada
Niisiis, istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul on neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, kumb teine ja nii kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:
Numbrite jada
Näiteks meie jada jaoks:
Määratud number on spetsiifiline ainult ühele jada numbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu ka th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada th liikmeks.
Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .
Meie puhul: 
Oletame, et meil on arvujada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks: 
jne.
Seda arvujada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Mõiste "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele juba 6. sajandil ja seda mõisteti laiemas tähenduses lõpmatu arvujadana. Nimetus "aritmeetika" kanti üle pidevate proportsioonide teooriast, mida uurisid iidsed kreeklased.
See on numbrijada, mille iga liige on võrdne samale arvule lisatud eelmisega. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja see tähistatakse.
Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:
a)
b)
c)
d)
Sain aru? Võrdleme oma vastuseid:
On aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.
Pöördume tagasi antud progressiooni () juurde ja proovime leida selle th liikme väärtust. Olemas kaks viis selle leidmiseks.
1. Meetod
Saame lisada edenemisnumbri eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et meil pole palju kokkuvõtet – ainult kolm väärtust:
Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni th liige võrdne.
2. Meetod
Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine võtaks meil rohkem kui ühe tunni ja pole tõsiasi, et me arvude liitmisel vigu ei teeks.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust ei ole vaja eelnevale väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti lähemalt... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:
Näiteks vaatame, millest selle aritmeetilise progressiooni liikme väärtus koosneb: 
Teisisõnu:
Püüdke sel viisil ise leida antud aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.
Kas sa arvutasid? Võrrelge oma märkmeid vastusega:
Pange tähele, et saite täpselt sama arvu, mis eelmises meetodis, kui lisasime järjestikku eelmisele väärtusele aritmeetilise progressiooni tingimused.
Proovime seda valemit "depersonaliseerida" - paneme selle üldisesse vormi ja saame:
|
Aritmeetilise progressiooni võrrand. |
Aritmeetiline progressioon võib suureneda või väheneda.
Kasvav- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on eelmisest suurem.
Näiteks:
Langevad- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on väiksem kui eelmine.
Näiteks:
Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete liikmete arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmistest arvudest: Kontrollime, milline on selle aritmeetilise progressiooni th number, kui kasutame selle arvutamiseks meie valemit:
Sellest ajast:
Seega oleme veendunud, et valem toimib nii kahanevas kui ka suurenevas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni th ja th liiget.
Võrdleme tulemusi:
Aritmeetilise progressiooni omadus
Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
Lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:
Las, ah, siis:
Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progresseerumist kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga mis siis, kui tingimuses on meile antud numbrid? Nõus, arvutustes on võimalik viga teha.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe sammuga lahendada mis tahes valemi abil? Muidugi jah, ja see on see, mida me nüüd püüame välja tuua.
Tähistame aritmeetilise progressiooni nõutavat liiget nii, et selle leidmise valem on meile teada - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, Siis:
- edenemise eelmine tähtaeg on:
- edenemise järgmine tähtaeg on:
Võtame kokku edenemise eelmised ja järgnevad tingimused:
Selgub, et progressiooni eelneva ja järgneva liikme summa on nende vahel paikneva progressiooniliikme topeltväärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooniliikme väärtuse leidmiseks peate need liitma ja jagama.
Täpselt nii, meil on sama number. Kinnitame materjali. Arvutage edenemise väärtus ise, see pole sugugi keeruline.
Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Jääb välja selgitada ainult üks valem, mille legendi järgi tuletas hõlpsasti üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss...
Kui Carl Gauss oli 9-aastane, andis õpetaja, kes oli hõivatud teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega, tunnis järgmise ülesande: "Arvutage kõigi naturaalarvude summa alates kuni (teistel allikatel kuni) kaasa arvatud." Kujutage ette õpetaja üllatust, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis minut hiljem ülesandele õige vastuse, samal ajal kui enamik juraka klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse...
Noor Carl Gauss märkas teatud mustrit, mida on lihtne märgata ka teie.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ndast liikmest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni nende liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi summeerida, aga mis siis, kui ülesanne nõuab selle liikmete summa leidmist, nagu Gauss otsis?
Kujutagem meile antud edenemist. Vaadake hoolikalt esiletõstetud numbreid ja proovige nendega teha erinevaid matemaatilisi tehteid. 
Kas olete seda proovinud? Mida sa märkasid? Õige! Nende summad on võrdsed
Öelge nüüd, kui palju selliseid paare meile antud progressioonis kokku on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnased paarid on võrdsed, saame, et kogusumma on võrdne:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:
Mõnes ülesandes me ei tea ndat liiget, kuid teame progresseerumise erinevust. Proovige asendada th liikme valem summa valemiga.
Mis sa said?
Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Carl Gaussile esitatud ülesande juurde: arvutage ise, millega võrdub th-st algavate arvude summa ja th-st algavate arvude summa.
Kui palju sa said?
Gauss leidis, et terminite summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?
Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit juba 3. sajandil Vana-Kreeka teadlane Diophantus ja kogu selle aja jooksul kasutasid vaimukad inimesed täielikult aritmeetilise progressiooni omadusi.
Kujutage näiteks ette Vana-Egiptust ja selle aja suurimat ehitusprojekti - püramiidi ehitamist... Pildil on selle üks pool. 
Kus siin areng on, ütlete? Vaadake hoolikalt ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvust muster. 
Miks mitte aritmeetiline progressioon? Arvutage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusele asetatakse klotsid. Loodan, et te ei loe sõrmega üle monitori liigutades, mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?
Sel juhul näeb edenemine välja järgmine: .
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (arvutame plokkide arvu kahel viisil).
1. meetod.
2. meetod.
Ja nüüd saate monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Sain aru? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni n-nda liikme summa.
Muidugi ei saa te aluse plokkidest püramiidi ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:
Koolitus
Ülesanded:
- Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda teeb Maša kükki nädalas, kui ta tegi kükki esimesel treeningul?
- Mis on kõigis sisalduvate paaritute arvude summa.
- Palkide hoiustamisel laovad logijad need nii, et iga pealmine kiht sisaldab ühe palgi vähem kui eelmine. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise vundamendiks on palk?
Vastused:
- Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
(nädalad = päevad).Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha tegema kükke üks kord päevas.
- Esimene paaritu number, viimane number.
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Paaritute arvude arv on pooleks, kuid kontrollime seda fakti aritmeetilise progressiooni kolmanda liikme leidmise valemi abil:Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
Asendame olemasolevad andmed valemiga:Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.
- Meenutagem püramiidide probleemi. Meie puhul a , kuna iga pealmine kiht väheneb ühe palgi võrra, siis kokku on kihte hunnik, st.
Asendame andmed valemiga:Vastus: Müüritises on palgid.
Võtame selle kokku
- - numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See võib suureneda või väheneda.
- Valemi leidmine Aritmeetilise progressiooni th liige kirjutatakse valemiga - , kus on arvude arv progressioonis.
- Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus on edenevate arvude arv.
- Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:
, kus on väärtuste arv.
ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE
Numbrite jada
Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Aga me saame alati öelda, kumb on esimene, kumb teine ja nii edasi, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.
Numbrite jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.
Teisisõnu, iga arvu saab seostada kindla naturaalarvuga ja kordumatu numbriga. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.
Numbriga arvu nimetatakse jada th liikmeks.
Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .
On väga mugav, kui jada th liikme saab määrata mõne valemiga. Näiteks valem
määrab järjestuse:
Ja valem on järgmine jada:
Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus on). Või (, erinevus).
n-nda termini valem
Nimetame korduvaks valemit, milles th liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelmist:
Et leida selle valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:
Noh, kas nüüd on selge, mis valem on?
Igal real, mille me lisame, korrutatuna mõne arvuga. Milline? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:
Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:
Otsustage ise:
Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.
Lahendus:
Esimene tähtaeg on võrdne. Mis vahe on? Siin on, mida:
(Seetõttu nimetatakse seda erinevuseks, kuna see on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).
Niisiis, valem:
Siis on sajas liige võrdne:
Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?
Legendi järgi arvutas suur matemaatik Carl Gauss 9-aastase poisina selle summa mõne minutiga välja. Ta märkas, et esimese ja viimase arvu summa on võrdne, teise ja eelviimase summa on sama, kolmanda ja 3. summa lõpust on sama jne. Kui palju selliseid paare kokku on? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,
Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem on järgmine:
Näide:
Leidke kõigi kahekohaliste kordajate summa.
Lahendus:
Esimene selline number on see. Iga järgmine number saadakse eelmisele numbrile liitmise teel. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.
Selle edenemise th liikme valem:
Mitu liiget on progressioonis, kui need kõik peavad olema kahekohalised?
Väga lihtne: .
Edenemise viimane tähtaeg on võrdne. Siis summa:
Vastus:.
Otsustage nüüd ise:
- Iga päev jookseb sportlane rohkem meetreid kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit kokku jookseb ta nädalas, kui ta jooksis esimesel päeval km m?
- Jalgrattur läbib iga päev rohkem kilomeetreid kui eelmisel päeval. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta kilomeetri läbimiseks sõitma? Mitu kilomeetrit ta oma reisi viimasel päeval läbib?
- Külmiku hind kaupluses langeb igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.
Vastused:
- Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progresseerumise esimeste tingimuste summa:
.
Vastus: - Siin on antud: , tuleb leida.
Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
.
Asendage väärtused:Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus on.
Arvutame viimase päeva jooksul läbitud tee, kasutades th liikme valemit:
(km).
Vastus: - Arvestades: . Leia:.
See ei saaks olla lihtsam:
(hõõruda).
Vastus:
ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST
See on numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Aritmeetiline progressioon võib olla suurenev () ja vähenev ().
Näiteks:
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem
kirjutatakse valemiga, kus on järjestikuste arvude arv.
Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus
See võimaldab teil hõlpsasti leida progressiooni liiget, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressioonis olevate arvude arv.
Aritmeetilise progressiooni liikmete summa
Summa leidmiseks on kaks võimalust:
Kus on väärtuste arv.
Kus on väärtuste arv.
Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.
Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!
Nüüd kõige tähtsam.
Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.
Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...
Milleks?
Ühtse riigieksami eduka sooritamise, eelarvega kõrgkooli astumise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.
Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...
Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.
Kuid see pole peamine.
Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...
Aga mõelge ise...
Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?
SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.
Eksami ajal teooriat ei küsita.
Sa vajad lahendada probleeme ajaga.
Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.
See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.
Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!
Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.
Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.
Kuidas? On kaks võimalust.
- Avage kõik selles artiklis peidetud ülesanded -
- Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR
Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.
Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.
Kokkuvõtteks...
Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.
“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.
Otsige üles probleemid ja lahendage need!
Enne kui otsustama hakkame aritmeetilise progressiooni ülesanded, mõelgem, mis on arvujada, kuna aritmeetiline progressioon on arvujada erijuht.
Numbrijada on numbrite hulk, mille igal elemendil on oma seerianumber. Selle hulga elemente nimetatakse jada liikmeteks. Jada elemendi seerianumbrit tähistab indeks:
Jada esimene element;
Jada viies element;
- jada “n-s” element, st. element "seisab järjekorras" numbril n.
Jadaelemendi väärtuse ja selle järjenumbri vahel on seos. Seetõttu võime jada pidada funktsiooniks, mille argumendiks on jada elemendi järgarv. Teisisõnu võime seda öelda jada on loomuliku argumendi funktsioon:
Järjestust saab määrata kolmel viisil:
1 . Järjekorda saab määrata tabeli abil. Sel juhul määrame lihtsalt jada iga liikme väärtuse.
Näiteks otsustas Keegi võtta isikliku ajajuhtimise ja alustuseks kokku lugeda, kui palju aega ta nädala jooksul VKontakte'is veedab. Aja tabelisse salvestades saab ta seitsmest elemendist koosneva jada:
Tabeli esimene rida näitab nädalapäeva numbrit, teine - kellaaega minutites. Näeme, et see tähendab esmaspäeval, et keegi veetis VKontakte'is 125 minutit, see tähendab neljapäeval - 248 minutit ja see tähendab, et reedel ainult 15.
2 . Jada saab täpsustada n-nda termini valemi abil.
Sel juhul väljendatakse jadaelemendi väärtuse sõltuvust selle arvust otse valemi kujul.
Näiteks kui , siis
Antud arvuga jadaelemendi väärtuse leidmiseks asendame elemendi numbri n-nda liikme valemis.
Teeme sama, kui peame leidma funktsiooni väärtuse, kui argumendi väärtus on teada. Asendame argumendi väärtuse funktsiooni võrrandisse:
Kui näiteks 
, See
Lubage mul veel kord märkida, et jadas saab erinevalt suvalisest arvfunktsioonist argumendiks olla ainult naturaalarv.
3 . Jada saab määrata valemiga, mis väljendab jadaliikme numbri n väärtuse sõltuvust eelmiste liikmete väärtustest. Sel juhul ei piisa, kui teame ainult jadaliikme numbrit, et leida selle väärtus. Peame määrama jada esimese liikme või paar esimest liiget.
Näiteks kaaluge järjestust 
, 
Leiame jadaliikmete väärtused järjest, alustades kolmandast:
See tähendab, et iga kord, et leida jada n-nda liikme väärtus, pöördume tagasi kahe eelmise juurde. Seda jada määramise meetodit nimetatakse korduv, ladinakeelsest sõnast recurro- tule tagasi.
Nüüd saame määratleda aritmeetilise progressiooni. Aritmeetiline progressioon on arvujada lihtne erijuhtum.
Aritmeetiline progressioon on arvjada, mille iga liige alates teisest on võrdne samale arvule liidetud eelmisega.
Numbrile helistatakse aritmeetilise progressiooni erinevus. Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.
If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} suureneb.
Näiteks 2; 5; 8; üksteist;...
Kui , siis on aritmeetilise progressiooni iga liige väiksem kui eelmine ja progressioon on väheneb.
Näiteks 2; -1; -4; -7;...
Kui , siis kõik progressiooni tingimused on võrdsed sama arvuga ja progressioon on paigal.
Näiteks 2;2;2;2;...
Aritmeetilise progressiooni peamine omadus:
Vaatame pilti.
Me näeme seda
, ja samal ajal
Lisades need kaks võrdsust, saame:
.
Jagame võrdsuse mõlemad pooled 2-ga:
Seega on iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdne kahe naaberliikme aritmeetilise keskmisega:
Pealegi, kuna
, ja samal ajal
, See
, ning seetõttu
Aritmeetilise progressiooni iga liige, mis algab tähega title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Termini valem.
Näeme, et aritmeetilise progressiooni tingimused vastavad järgmistele seostele:
ja lõpuks
Saime n-nda liikme valem.
TÄHTIS! Iga aritmeetilise progressiooni liiget saab väljendada läbi ja. Teades esimest liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võite leida selle mis tahes liikme.
Aritmeetilise progressiooni n liikme summa.
Suvalises aritmeetilises progressioonis on äärmuslikest võrdsel kaugusel olevate liikmete summad üksteisega võrdsed:
Vaatleme n liikmega aritmeetilist progressiooni. Olgu selle progresseerumise n-i liikmete summa võrdne .
Järjestame progresseerumise tingimused esmalt arvude kasvavas ja seejärel kahanevas järjekorras:
Lisame paarikaupa:
Igas sulus olev summa on , paaride arv on n.
Saame:
Niisiis, aritmeetilise progressiooni n liikme summa saab leida valemite abil:
Mõelgem aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine.
1 . Jada antakse n-nda liikme valemiga: . Tõesta, et see jada on aritmeetiline progressioon.
Tõestame, et jada kahe kõrvuti asetseva liikme vahe on võrdne sama arvuga.
Leidsime, et jada kahe külgneva liikme erinevus ei sõltu nende arvust ja on konstant. Seetõttu on see jada definitsiooni järgi aritmeetiline progressioon.
2 . Antud aritmeetiline progressioon -31; -27;...
a) Leia progressiooni 31 liiget.
b) Tehke kindlaks, kas arv 41 sisaldub selles progressioonis.
A) Me näeme seda;
Kirjutame üles oma progressiooni n-nda liikme valemi.
Üldiselt 
Meie puhul 
, Sellepärast 