Korduvaid sõltumatuid katseid nimetatakse Bernoulli katseteks, kui igal katsel on ainult kaks võimalikku tulemust ja tulemuste tõenäosus jääb kõigis katsetes samaks.
Tavaliselt nimetatakse neid kahte tulemust eduks (S) või ebaõnnestumiseks (F) ja tähistatakse vastavaid tõenäosusi. lk Ja q. Selge see lk 0, q³ 0 ja lk+q=1.
Iga katse elementaarsündmuste ruum koosneb kahest sündmusest U ja H.
Elementaarsete sündmuste ruum n Bernoulli testid Ω sisaldab 2 n elementaarsündmused, mis on jadad (ahelad). n sümbolid U ja N. Iga elementaarsündmus on jada üks võimalikest tulemustest n Bernoulli testid. Kuna testid on sõltumatud, siis vastavalt korrutusteoreemile tõenäosused korrutatakse, see tähendab, et mis tahes konkreetse jada tõenäosus on korrutis, mis saadakse sümbolite U ja H asendamisel lk Ja q vastavalt, see on näiteks: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .
Pange tähele, et Bernoulli testi tulemust tähistatakse sageli 1 ja 0-ga ning seejärel jada elementaarsündmusega n Bernoulli testid – seal on ahel, mis koosneb nullidest ja ühtedest. Näiteks: =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).
Bernoulli testid kujutavad endast kõige olulisemat tõenäosusteoorias käsitletavat skeemi. See skeem on oma nime saanud Šveitsi matemaatiku J. Bernoulli (1654-1705) järgi, kes seda mudelit oma töödes põhjalikult uuris.
Peamine probleem, mis meid siin huvitab, on: kui suur on selle sündmuse tõenäosus n Bernoulli testid toimusid m edu?
Kui määratud tingimused on täidetud, siis tõenäosus, et sõltumatute testide käigus sündmus 
jälgitakse täpselt m
korda (olenemata sellest, millistes katsetes) määrab Bernoulli valem:
(21.1)
Kus 
- esinemise tõenäosus 
igas testis ja 
- tõenäosus, et antud katses sündmus 
Ei juhtunud.
Kui arvestada P n (m) funktsioonina m, siis määrab see tõenäosusjaotuse, mida nimetatakse binoomseks. Uurime seda sõltuvust P n (m) alates m, 0£ m£ n.
Sündmused B m ( m
= 0, 1, ..., n), mis koosneb sündmuse erinevast esinemissagedusest A V n testid ei ühildu ja moodustavad tervikliku rühma. Seega 
.
Vaatleme suhet:
=
=
=
.
Sellest järeldub P n (m+1)>P n (m), Kui (n- m)p> (m+1)q, st. funktsiooni P n (m) suureneb, kui m< n.p.- q. Samamoodi P n (m+1)< P n (m), Kui (n- m)p< (m+1)q, st. P n (m) väheneb, kui m> n.p.- q.
Seega on number olemas m 0 , mille juures P n (m) saavutab oma suurima väärtuse. Me leiame m 0 .
Vastavalt numbri tähendusele m 0 meil on P n (m 0)³ P n (m 0 -1) ja P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), siit
,
(21.2)
.
(21.3)
Võrratuste (21.2) ja (21.3) lahendamine suhtes m 0, saame:
lk/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ n.p.+ lk,
q/(n- m 0 ) ³ lk/(m 0 +1) Þ m 0 ³ n.p.- q.
Niisiis, vajalik arv m 0 rahuldab ebavõrdsust
n.p.- q£ m 0 £ np+p. (21.4)
Sest lk+q=1, siis on ebavõrdsusega (21.4) defineeritud intervalli pikkus võrdne ühega ja seal on vähemalt üks täisarv m 0 rahuldavat ebavõrdsust (21,4):
1) kui n.p. - q on täisarv, siis on kaks väärtust m 0, nimelt: m 0 = n.p. - q Ja m 0 = n.p. - q + 1 = n.p. + lk;
2) kui n.p. - q- murdosa, siis on üks arv m 0, nimelt ainuke täisarv, mis sisaldub võrratusest (21.4) saadud murdarvude vahel;
3) kui n.p. on täisarv, siis on üks arv m 0 nimelt m 0 = n.p..
Number m 0 nimetatakse sündmuse toimumise kõige tõenäolisemaks või kõige tõenäolisemaks väärtuseks (arvuks). A sarjas n sõltumatud testid.
Selles õppetükis leiame katsete kordamisel sõltumatute katsete korral sündmuse toimumise tõenäosuse . Katseid nimetatakse sõltumatuteks, kui iga katse ühe või teise tulemuse tõenäosus ei sõltu sellest, millised tulemused olid teistel katsetel. . Sõltumatuid katseid saab läbi viia nii samadel kui ka erinevates tingimustes. Esimesel juhul on mõne sündmuse toimumise tõenäosus kõigil katsetel sama, teisel juhul on see katseti erinev.
Näited sõltumatutest kordustestidest :
- üks seadme sõlmedest või kaks või kolm sõlme ebaõnnestub ja iga sõlme rike ei sõltu teisest sõlmest ning ühe sõlme rikke tõenäosus on kõigis testides konstantne;
- teatud konstantsetes tehnoloogilistes tingimustes toodetud detail või kolm, neli, viis detaili osutub ebastandardseks ja üks osa võib osutuda mittestandardseks sõltumata mis tahes muust osast ja tõenäosusest, et detail pöördub. out to be non-standard on konstantne kõigis katsetes;
- mitmest märklaua lasust tabab sihtmärki üks, kolm või neli lasku olenemata teiste laskude tulemusest ja märklaua tabamise tõenäosus on kõigil katsetel konstantne;
- mündi viskamisel töötab masin õigesti üks, kaks või mitu korda, olenemata teiste mündi kukkumiste tulemustest, ja tõenäosus, et masin töötab õigesti, on kõigi katsete jooksul konstantne.
Neid sündmusi saab kirjeldada ühe diagrammiga. Iga sündmus toimub igas katses sama tõenäosusega, mis ei muutu ka varasemate katsete tulemuste selgumisel. Selliseid teste nimetatakse sõltumatuteks ja vooluringiks Bernoulli skeem . Eeldatakse, et selliseid teste saab korrata nii mitu korda kui soovitakse.
Kui tõenäosus lk sündmuse toimumine A on igas katses konstantne, siis tõenäosus, et in n sõltumatu testimisüritus A tuleb m korda, asub aadressil Bernoulli valem :
(Kus q= 1 – lk- tõenäosus, et sündmust ei toimu)
Seadke ülesandeks - leida tõenäosus, et seda tüüpi sündmus siseneb n tulevad sõltumatud testid müks kord.
Bernoulli valem: näiteid probleemide lahendamisest
Näide 1. Leidke tõenäosus, et viie juhuslikult võetud osa hulgast on kaks standardset, kui tõenäosus, et iga osa osutub standardseks, on 0,9.
Lahendus. Sündmuse tõenäosus A, mis seisneb selles, et juhuslikult võetud osa on standardne, on olemas lk=0,9 ja on tõenäosus, et see on mittestandardne q=1–lk=0,1. Probleemiavalduses märgitud sündmus (tähistame seda tähisega IN) tekib siis, kui näiteks kaks esimest osa osutuvad standardseks ja järgmised kolm on mittestandardsed. Aga üritus IN tekib ka siis, kui esimene ja kolmas osa osutuvad standardseks ja ülejäänud on mittestandardsed või kui teine ja viies osa on standardsed ja ülejäänud on mittestandardsed. Sündmuse toimumiseks on ka teisi võimalusi IN. Igaüht neist iseloomustab asjaolu, et viiest võetud osast kaks, mis hõivavad mis tahes koha viiest, osutuvad standardseks. Seega sündmuse toimumise erinevate võimaluste koguarv IN võrdub kahe standardosa viies kohas paigutamise võimaluste arvuga, s.o. võrdub viie elemendi kombinatsioonide arvuga kahega ja .
Iga võimaluse tõenäosus vastavalt tõenäosuse korrutusteoreemile on võrdne viie teguri korrutisega, millest kaks, mis vastavad standardsete osade välimusele, on 0,9 ja ülejäänud kolm, mis vastavad mittestandardse ilmnemisele osad, on võrdsed 0,1, s.o. see tõenäosus on. Kuna need kümme võimalust on kokkusobimatud sündmused, siis liitmise teoreemi järgi sündmuse tõenäosus IN, mida me tähistame
Näide 2. Tõenäosus, et masin nõuab tunni jooksul töötaja tähelepanu, on 0,6. Eeldades, et masinate probleemid on sõltumatud, leidke tõenäosus, et tunni jooksul vajab töötaja tähelepanu ükskõik milline neljast masinast, mida ta kasutab.
Lahendus. Kasutades Bernoulli valem juures n=4 , m=1 , lk=0,6 ja q=1–lk=0,4, saame
Näide 3.Ühissõiduki tavapäraseks tööks peab liinil olema vähemalt kaheksa sõidukit ja neid on kümme. Iga sõiduki joonele mitte sisenemise tõenäosus on 0,1. Leidke autobaasi normaalse töö tõenäosus järgmisel päeval.
Lahendus. Carpool töötab normaalselt (sündmus F), kui joonele tuleb kaheksa või kaheksa (sündmus A) või üheksa (sündmus IN) või kõigi kümne auto sündmus (sündmus C). Tõenäosuste liitmise teoreemi kohaselt
Leiame iga termini Bernoulli valemi järgi. Siin n=10 , m=8; 10 ja lk=1-0,1=0,9, alates lk peaks näitama sõiduki joonele sisenemise tõenäosust; Siis q=0,1. Selle tulemusena saame
Näide 4. Olgu tõenäosus, et klient vajab suuruses 41 meeste kingi, 0,25. Leidke tõenäosus, et kuuest ostjast vajab vähemalt kaks 41 suurust kingi.
Bernoulli testi skeem. Bernoulli valem
Laske teha mitu testi. Pealegi ei sõltu sündmuse $A$ esinemise tõenäosus igas katses teiste katsete tulemustest. Selliseid katseid nimetatakse sündmuse A suhtes sõltumatuteks. Erinevates sõltumatutes katsetes võib sündmusel A olla kas erinev tõenäosus või sama. Vaatleme ainult neid sõltumatuid katseid, mille korral $A$ on sama tõenäosusega.
Keerulise sündmuse all peame silmas lihtsate sündmuste kombinatsiooni. Tehkem n-testid. Igal prooviversioonil võib sündmus $A$ ilmuda või mitte. Eeldame, et igas katses on sündmuse $A$ esinemise tõenäosus sama ja võrdne $p$-ga. Siis on $\overline A $ (või A mitteesinemise) tõenäosus võrdne $P(( \overline A ))=q=1-p$.
Oletame, et peame arvutama selle tõenäosuse n-testib sündmust $A$ k- üks kord ja $n-k$ korda - ei juhtu. Tähistame selle tõenäosuse väärtusega $P_n (k)$. Pealegi pole sündmuse $A$ toimumise järjestus oluline. Näiteks: $(( AAA\ülejoon A , AA\ülejoon A A, A\ülejoon A AA, \ülejoon A AAA ))$
$P_5 (3)-$ viies katses ilmus sündmus $A$ 3 korda ja ei ilmunud 2 korda. Selle tõenäosuse saab leida Bernoulli valemi abil.
Bernoulli valemi tuletamine
Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi kohaselt on tõenäosus, et sündmus $A$ toimub $k$ korda ja ei toimu $n-k$ korda, võrdub $p^k\cdot q^ ( n-k ) $ . Ja selliseid keerulisi sündmusi võib olla nii palju kui $C_n^k $ saab koostada. Kuna keerulised sündmused on kokkusobimatud, siis vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste summa teoreemile peame liitma kõigi keeruliste sündmuste tõenäosused ja neid on täpselt $C_n^k $. Siis on sündmuse $A$ toimumise tõenäosus täpselt k iga kord n testides on $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Bernoulli valem.
Näide. Täringut visatakse 4 korda. Leidke tõenäosus, et üks ilmub poolel korral.
Lahendus. $A=$ (ühe välimus)
$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ))^2=0,115 $
Seda on suurte väärtuste puhul lihtne näha n Tõenäosust on tohutute arvude tõttu üsna raske välja arvutada. Selgub, et seda tõenäosust saab arvutada mitte ainult Bernoulli valemi abil.
Lühike teooria
Tõenäosusteooria käsitleb katseid, mida saab korrata (vähemalt teoreetiliselt) piiramatu arv kordi. Korratagu mõnda katset üks kord ja iga korduse tulemused ei sõltu eelnevate korduste tulemustest. Selliseid korduste seeriaid nimetatakse sõltumatuteks katseteks. Selliste testide erijuhtum on sõltumatud Bernoulli testid, mida iseloomustavad kaks tingimust:
1) iga testi tulemus on üks kahest võimalikust tulemusest, mida nimetatakse vastavalt eduks või ebaõnnestumiseks.
2) iga järgneva testi “edusaamise” tõenäosus ei sõltu eelnevate testide tulemustest ja jääb konstantseks.
Bernoulli teoreem
Kui sooritatakse rida sõltumatuid Bernoulli katseid, millest igaühes ilmneb "edu" tõenäosusega , siis tõenäosus, et "edu" ilmub katsetes täpselt üks kord, väljendatakse valemiga:
kus on "ebaõnnestumise" tõenäosus.
– elementide kombinatsioonide arv (vt põhilisi kombinatoorika valemeid)
Seda valemit nimetatakse Bernoulli valem.
Bernoulli valem võimaldab vabaneda suurest arvust arvutustest – tõenäosuste liitmisest ja korrutamisest – piisavalt suure hulga testidega.
Bernoulli testi skeemi nimetatakse ka binoomskeemiks ja vastavaid tõenäosusi binoomseks, mida seostatakse binoomkoefitsientide kasutamisega.
Bernoulli skeemi kohane jaotus võimaldab eelkõige leida sündmuse kõige tõenäolisema esinemise arvu.
Kui testide arv n on suur, siis kasutage:
Näide probleemi lahendamisest
Ülesanne
Mõnede taimede seemnete idanevus on 70%. Kui suur on tõenäosus, et 10 külvatud seemnest: 8, vähemalt 8; vähemalt 8?
Probleemi lahendus
Kasutame Bernoulli valemit:
Meie puhul
Olgu juhtum, et 10 seemnest tärkab 8:
Olgu sündmuseks vähemalt 8 (see tähendab 8, 9 või 10)
Laske sündmusel tõusta vähemalt 8 (see tähendab 8, 9 või 10)
Vastus
Keskmine testi lahendamise maksumus on 700 - 1200 rubla (kuid mitte vähem kui 300 rubla kogu tellimuse eest). Hinda mõjutab suuresti otsuse kiireloomulisus (päevast mitme tunnini). Eksami/testi veebiabi hind on alates 1000 rubla. pileti lahendamise eest.
Taotluse saate jätta otse vestlusse, olles eelnevalt saatnud ülesannete tingimused ja teavitanud teid vajaliku lahenduse tähtaegadest. Reageerimisaeg on mõni minut.
Tehke sündmuse A kohta n testi. Tutvustame sündmusi: Ak - sündmus A toimus k-nda katse ajal, $ k=1,2,\dots , n$. Siis $\bar(A)_(k) $ on vastupidine sündmus (sündmus A ei toimunud k-nda katse ajal, $k=1,2,\dots , n$).
Mis on homogeensed ja sõltumatud testid?
Definitsioon
Testid on sündmuse A suhtes sama tüüpi, kui sündmuste $A1, A2, \dots , Аn$ tõenäosused langevad kokku: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (st. sündmuste A esinemise tõenäosus ühes katses on kõigis katsetes konstantne).
Ilmselgelt langevad sel juhul kokku ka vastupidiste sündmuste tõenäosused: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A) ) _(n))$.
Definitsioon
Teste nimetatakse sündmuse A suhtes sõltumatuteks, kui sündmused $A1, A2, \dots , Аn$ on sõltumatud.
Sel juhul
Sel juhul säilib võrdsus, kui mis tahes sündmus Аk asendatakse $\bar(A)_(k) $-ga.
Olgu sündmusega A seotud n sama tüüpi sõltumatu testi seeria. Kasutame järgmist tähistust: p - sündmuse A toimumise tõenäosus ühes katses; q on vastupidise sündmuse tõenäosus. Seega P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ mis tahes k korral ja p+q=1.
Tõenäosus, et n-st katsest koosnevas reas toimub sündmus A täpselt k korda (0 ≤ k ≤ n), arvutatakse järgmise valemiga:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Võrdsust (1) nimetatakse Bernoulli valemiks.
Tõenäosus, et n identse sõltumatu katse seerias toimub sündmus A vähemalt k1 korda ja mitte rohkem kui k2 korda, arvutatakse järgmise valemiga:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Bernoulli valemi kasutamine suurte n väärtuste jaoks põhjustab tülikaid arvutusi, seega on nendel juhtudel parem kasutada muid valemeid - asümptootilisi.
Bernoulli skeemi üldistus
Vaatleme Bernoulli skeemi üldistust. Kui reas n sõltumatut katset, millest igaühel on m paarikaupa kokkusobimatu ja võimalikud tulemused Ak vastavate tõenäosustega Pk = pk(Ak). Siis kehtib polünoomjaotuse valem:
Näide 1
Epideemia ajal grippi haigestumise tõenäosus on 0,4. Leia tõenäosus, et ettevõtte 6 töötajast haigestub
- täpselt 4 töötajat;
- mitte rohkem kui 4 töötajat.
Lahendus. 1) Ilmselt on selle ülesande lahendamiseks rakendatav Bernoulli valem, kus n=6; k = 4; p = 0,4; q = 1-р = 0,6. Rakendades valemit (1), saame: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \umbes 0.138$.
Selle ülesande lahendamiseks kasutatakse valemit (2), kus k1=0 ja k2=4. Meil on:
\[\begin(massiiv)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cpunkt 0,4^(0) \cpunkt 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cpunkt 0,4 ^(1) \cpunkt 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cpunkt 0,4^(2) \cpunkt 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cpunkt 0,4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ ligikaudu 0.959.) \end(massiivi)\]
Tuleb märkida, et seda probleemi on lihtsam lahendada vastupidise sündmuse abil - üle 4 töötaja haigestus. Seejärel, võttes arvesse valemit (7) vastupidiste sündmuste tõenäosuste kohta, saame:
Vastus: 0,959 dollarit.
Näide 2
Urnis on 20 valget ja 10 musta palli. Välja võetakse 4 palli ja iga eemaldatud pall pannakse tagasi urni, enne kui järgmine eemaldatakse ja urnis olevad pallid segatakse. Leia tõenäosus, et neljast väljatõmmatud kuulist on 2 valget (joonis 1).
Pilt 1.
Lahendus. Olgu sündmus A see, et valge pall võetakse välja. Siis tõenäosused $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Bernoulli valemi järgi on nõutav tõenäosus võrdne $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.
Vastus: $\frac(8)(27) $.
Näide 3
Määrake tõenäosus, et 5 lapsega peres sünnib kuni kolm tüdrukut. Eeldatakse, et poisi ja tüdruku sünni tõenäosus on sama.
Lahendus. Tüdruku saamise tõenäosus $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ on poisi saamise tõenäosus. Tüdrukuid ei ole peres rohkem kui kolm, mis tähendab, et sündis kas üks, kaks või kolm tüdrukut või on peres kõik poisid.
Leiame tõenäosused, et peres pole tüdrukuid, sündis üks, kaks või kolm tüdrukut: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Seetõttu on soovitud tõenäosus $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $.
Vastus: $\frac(13)(16) $.
Näide 4
Esimene laskur ühe lasuga saab esikümnesse tabada tõenäosusega 0,6, üheksa tõenäosusega 0,3 ja kaheksasse tõenäosusega 0,1. Kui suur on tõenäosus, et 10 löögiga tabab ta kuuel korral esikümnesse, kolm korda üheksa ja korra kaheksasse?