Den relative position af en ret linje og et punkt. Lige linje på et fly - nødvendige oplysninger

POSITIONELLE OPGAVER.

1. GENSIDIG STILLING AF TO PUNKTER.

2. GENSIDIG PLACERING AF ET PUNKT OG EN LINJE.

3. GENSIDIG POSITION AF PUNKT OG FLY.

4. GENSIDIG POSITION AF TO LIGE LINIER.

Positionelle opgaver - det er opgaver, hvor forskellige geometriske formers relative position i forhold til hinanden bestemmes.

Der er direkte og omvendte positionsproblemer:

· lige – opgaver for gensidigt tilhørsforhold ( konstruktion punkter på en linje eller overflade, udføre linjer på en overflade eller en overflade gennem givne linjer, skæringsproblemer);

· baglæns - hvori fast besluttet indbyrdes arrangement af punkter, linjer, planer.

19. GENSIDIG STILLING AF TO PUNKTER

Lad os overveje mulige muligheder for den relative position af to punkter (Figur 7-1).

DIV_ADBLOCK124">

d) Fra figur 7-1d bestemmer vi, at punkt A er højere end punkt B med mængden ΔН; set fra oven bemærker vi, at fra observatøren er punkt A længere end punkt B med mængden Δ f; i begge visninger er det bestemt, at punkt A er til venstre for punkt B med mængden Δ R.

20. RELATIV POSITION AF ET PUNKT OG EN LINJE

https://pandia.ru/text/80/056/images/image003_97.gif" alt=" Billedtekst: Figur 7-3" align="left" width="166" height="45">DIV_ADBLOCK125"> !}

Punkt N er placeret under (under) lige l Og bag (videre) hende.

21. GENSIDIG POSITION AF PUNKT OG FLY

Der kan være to muligheder:

· punktet er placeret V fly;

· punktet er placeret uden for fly.

Et punkt er i et plan, hvis det hører til en ret linje i dette plan.

Derfor, for at konstruere et punkt på et plan, skal du først konstruere en vilkårlig lige linje på dette plan (eller tage et eksisterende) og tage et punkt på det.

21.1 Delplan

https://pandia.ru/text/80/056/images/image006_56.gif" align="left" width="356" height="327 src=">Lad plan B(ΔАВС) være givet (Figur 7- 5). Til bygge på tegningen tegnes ethvert punkt, der ligger i plan B, en vilkårlig ret linje l klart hørende til planet (da det passerer gennem to punkter i plan A og 1). Så på denne rette linie tages t. M (tilhørende ejendom).

Lad os overveje baglæns opgave. Lad der gives to typer af punkt N. Vi har brug for Definere positionen af punktet N i forhold til planet.

For at løse dette problem skal du tegne en hjælpelinje på flyet, konkurrerer med et givet punkt i nogen af visningerne (for eksempel set forfra, som i figur 7-5) og bestem den relative position af dette punkt N og den rette linje.

Så lad os tegne en lige linje, der frontalt konkurrerer med punkt N m , hvis position er bestemt af planpunkterne A og 2. Baseret på dybden af punkt N bestemmer vi, at det er placeret Før lige l og derfor foran flyet.

Da plan B er faldende (vi bestemmer det ved forskellige gennemløbsretninger i visningerne), og under hensyntagen til, at punktet N er foran planet, vil det samtidig være placeret under fly .

22. GENSIDIG POSITION AF TO LIGE LINIER

Linjer i rummet kan:

· sammenfald ;

· skære hinanden;

· være parallel;

· krydsning.

De to lige linjer er matchende , hvis set forfra

og ovenfra smelter de sammen (Figur 7-6a).

Skærende de lige linjer har et fælles punkt - K, hvis billede i front- og topvisningerne er placeret på samme forbindelseslinje (Figur 7-6b).

Projektioner af skærende linjer i en af visningerne kan falde sammen (Figur 7-6c), sådanne linjer kaldes konkurrerer . Da de her falder sammen i topvisningen (vandret projektion), er det i dette tilfælde vandrette - konkurrerende linjer.

Hvis lige EN Og b parallel , så, baseret på egenskaben ved parallel projektion, vil deres projektioner af samme navn være parallelle (figur 7-7a).

Projektionerne af parallelle linjer på en af visningerne kan falde sammen, i dette tilfælde kaldes linjerne konkurrerende parallelle linjer . Figur 7-7b viser frontalt konkurrerende linje a og b, fordi deres billeder matcher set forfra.

a B C)

Den relative position af konkurrerende linjer bestemmes af den visning, hvori deres billeder stemmer ikke overens.

Krydsning rette linjer er linjer, der ikke skærer eller er parallelle med hinanden (Figur 7-7c). Hvis parallelle og skærende linjer altid ligger i samme plan (de definerer et plan), så ligger skærende linjer ikke i samme plan. De tilsyneladende skæringspunkter mellem linje 1 og 2, 3 og 4 vil konkurrere parvis; de har kun én matcher fra projektionerne af samme navn: t. t. 1 og 2 - konkurrere i set forfra, t. t. 3 og 4 - konkurrere i ovenfra.

Så den relative position af linjer i generel position bestemmes af to typer af givne linjer.

22.1 Lige profilpositioner

Situationen er anderledes med lige profilstillinger. For at bestemme den relative position af disse linjer bør der konstrueres et billede til venstre.

DIV_ADBLOCK128">

Efter at have målt dybderne af punkterne A, B, C, D fra bunden i topvisningen, plotter vi de opnåede værdier på de tilsvarende vandrette kommunikationslinjer fra bunden i venstre visning.

Efter at have konstrueret punkterne og forbundet dem korrekt, kommer vi til den konklusion, at de lige linjer s 1 Og R 2 skæres i punkt K. Efter at have fundet det i visningen til venstre bygger vi punktet K i de to andre visninger.

23. GENSIDIG STILLING AF LIGE OG FLYT

En lige linje i forhold til flyet kan indtage følgende positioner:

· tilhøre flyet;

· være parallel med et givet plan;

· skære dette plan.

Lige hører til plan, hvis to af dens punkter ligger i et givet plan (Figur 7-9).

Lige linje parallel plan, hvis denne linje er parallel med en linje, der ligger i et givent plan (Figur 7-10a).

https://pandia.ru/text/80/056/images/image011_24.gif" align="left" width="337" height="369 src="> Eksempel 1. Gennem dette punkt A tegnes en lige linje parallelt med det skrå plan B (Figur 7-10b). Den nødvendige lige linje m vil tilhøre et skråplan, der går gennem punkt A og parallelt med plan B. Derfor, set forfra, er den lige linje m parallel. degenereret billede af plan B, og i topvisningen indtager det en vilkårlig position.

Eksempel 2. Tegn en ret linje gennem punkt M P , parallelt med plan B (a//b), (figur 7-10c).

Lad os konstruere en vilkårlig lige linje på plan B Med, og træk derefter en lige linje gennem punkt M P parallelt med linjen Med.

2. Skæring af en linje med et plan

Problem på skæring af en linje med et plan er en af hovedopgaverne for beskrivende geometri.

For at løse dette problem generelt skal du kende teknikken, løsningsmetoden (algoritmen). Men hvis problemet indeholder degenererede typer af originaler, kræver en sådan opgave simpelthen udviklet rumlig fantasi.

Alle problemer, der involverer skæringen af en linje og et plan, kan opdeles i flere typer:

· Første type opgaver- fly har degenereret form , dvs. de rager frem, og den lige linje er lige generel Bestemmelser.

Den vigtigste metode til at løse problemer af denne type er metode tilbehør. Lad os se på en række eksempler.

Eksempel 3. Konstruer punktet K for linjens skæringspunkt l med lodret plan B (figur

https://pandia.ru/text/80/056/images/image013_17.gif" align="left" width="258" height="286"> Eksempel 4. Konstruer skæringspunktet for den lodrette linje jeg med plan B (DABC), (Figur 7-12). Da den lige linjes degenererede form er i topvisningen, begynder vi løsningen med den.

Linjens skæringspunkt jeg med plan B falder her sammen med selve den lige linjes degenererede form ; jeg = K.

For at konstruere t. K set forfra skal du tegne en vilkårlig lige linje på planet gennem t. K (set ovenfra), for eksempel C-1. Lad os konstruere denne lige linje set forfra og ved skæringspunktet mellem den lige linje C-1 og l vi finder punkt K. Vi bestemmer synlighed ved at præsentere (ved hjælp af rekonstruktionen af tegningen) originalernes relative position.

· Tredje type opgaver- problemer indeholder ikke elementer af en bestemt position, dvs. lige linje og plan generel Bestemmelser (der er ingen degenereret form ).

I dette tilfælde (figur 7-13) kommer løsningen af problemet ned til at overveje den relative position af to linjer - denne linje l og en lige linje t , liggende i plan B.

https://pandia.ru/text/80/056/images/image015_15.gif" align="left" width="290" height="350">Tegn en lige linje i plan B t (1.2) frontalt konkurrerende med en given lige linje l .

Fra ovenfra bestemmer vi, at de konkurrerende linjer skærer hinanden i punktet K, som er linjens skæringspunkt l med fly B . Sigtbarheden bestemmes ved hjælp af to par konkurrerende punkter: 1=3 set forfra; punkt 3 (tilhører l ) tættere; i topvisningen af to punkter 4=5 er punkt 4 højere end punkt 5.

I en af visningerne kan sigtbarheden også bestemmes af positionen af plan B.

Et punkts position på tegningen bestemmes af koordinater. Et punkt er placeret højere end et andet, hvis det har en større Z-koordinat. Et punkt er tættere på observatøren, hvis det har en større Y-koordinat. Punktet med den større X-koordinat fjernes yderligere fra profilprojektionsplanet.

Af praktisk interesse er punkter placeret på samme vinkelret på projektionsplanet (fig. 4.1). Sådanne punkter på tegningen kaldes konkurrerer. De bestemmer synligheden af elementer i tegningen. Af to konkurrerende punkter anses det ene med den største koordinat på det andet projektionsplan for at være synligt.

I dette tilfælde vil punkt b være synligt på frontalprojektionsplanet, da det har en større Y-koordinat.

Ris. 4.1 Fig. 4.2

4.2. Den relative position af en linje og et punkt

Et punkt hører til en linje, hvis dets projektioner hører til de samme projektioner af linjen (fig. 4.2).

4.3. Den relative position af to lige linjer

Lige linjer i forhold til hinanden kan være parallelle (fig. 4.3, a), skærende (b), krydsende (c).

4.4. Den relative position af et punkt og et plan

T et punkt hører til et plan, hvis det hører til en linje, der ligger i dette plan.

EKSEMPEL Planet er defineret af spor ( h 0
f 0 ). Det er nødvendigt at konstruere punkt A, der hører til dette plan (fig. 4.4).

Løsning: Da det i et plan er muligt at konstruere et uendeligt antal punkter, der hører til dette plan, så placerer vi på et af projektionsplanerne vilkårligt en projektion af punktet (for eksempel A 2), men vi finder den anden projektion A 1 fra den betingelse, at punktet tilhører plan. For at gøre dette tegner vi en lige linje gennem A, dvs. gennem A 2 tegner vi h 2 til krydset med f 0 , bestemmer vi den vandrette projektion af punkt 1 og fra 1 1 parallelt med det vandrette spor, vi tegner h 1 , hvor vi markerer A 1.

4.5. Den relative position af den rette linje og planet

Den lige linje hører til flyet, hvis den har to fælles punkter eller et fælles punkt og er parallel med en hvilken som helst linje, der ligger i planet. Lad planen på tegningen defineres af to skærende linjer. I dette plan er det nødvendigt at konstruere to rette linjer m og m i overensstemmelse med disse betingelser ( G(EN
b) (Fig. 4.5).

R Løsning 1. Tegn vilkårligt m 2, da linjen hører til planet, marker projektionerne af skæringspunkterne for den med linjerne EN Og b og bestem deres vandrette fremspring, gennem 1 1 og 2 1 tegner vi m 1.

2. Gennem punktet K i planet trækker vi n 2 ║m 2 i 1 ║m 1 .

En ret linje er parallel med et plan, hvis den er parallel med en linje, der ligger i planet.

Skæringspunktet mellem en linje og et plan. Der er tre mulige tilfælde af placering af den rette linje og planet i forhold til projektionsplanerne. Afhængigt af dette bestemmes skæringspunktet for den rette linje og planet.

P første tilfælde – lige linje og plan – projekterende position. I dette tilfælde er skæringspunktet tilgængeligt på tegningen (begge dens projektioner); det skal kun udpeges.

EKSEMPEL På tegningen er et plan givet ved spor Σ ( h 0
f 0 ) – vandret fremspringende position – og lige l– frontalt fremspringende stilling. Bestem punktet for deres skæringspunkt (fig. 4.6).

Der er allerede et skæringspunkt på tegningen - K(K 1 K 2).

Andet tilfælde – enten en lige linje eller et plan – af den projekterende position. I dette tilfælde eksisterer projektionen af skæringspunktet allerede på et af projektionsplanerne; det skal udpeges, og på det andet projektionsplan skal det findes ved at høre til.

P EKSEMPLER. I fig. 4.7, og planet er afbildet med spor af en frontalt fremspringende position og en lige linje l– generel holdning. Projektionen af skæringspunktet K 2 er allerede tilgængelig på tegningen, og projektionen K 1 skal findes ud fra punktet Ks tilhørsforhold til den rette linje l. I fig. 4.7, b er et generel plan, og lige linie m er frontalt fremspringende, så eksisterer K 2 allerede (sammenfalder med m 2), og K 1 skal findes ud fra den betingelse, at punktet hører til planet. For at gøre dette skal du tegne en lige linje gennem K ( h– vandret) liggende i et plan.

Tredje tilfælde – både en lige linje og et plan – i generel position. I dette tilfælde, for at bestemme skæringspunktet mellem linjen og planet, er det nødvendigt at bruge det såkaldte mellemled - det projekterende plan. For at gøre dette trækkes et hjælpeskæreplan gennem den lige linje. Dette plan skærer et givet plan langs en linje. Hvis denne linje skærer en given linje, så er der et skæringspunkt mellem linjen og planet.

EKSEMPLER. I fig. 4.8 planet er repræsenteret af en trekant ABC - generel position - og en ret linje l– generel holdning. For at bestemme skæringspunktet K er det nødvendigt igennem l tegne et frontalt fremspringende plan Σ, konstruer en skæringslinje mellem Δ og Σ i trekanten (på tegningen er dette segment 1,2), bestem K 1 og, ved hjælp af tilbehør, K 2. Herefter bestemmes linjesynligheden l i forhold til trekanten ved konkurrerende point. På P 1 tages punkt 3 og 4 som konkurrerende punkter. Projektionen af punkt 4 er synlig på P 1, da dets Z-koordinat er større end punkt 3, derfor er projektionen l 1 fra dette punkt til K 1 vil være usynlig.

N og P 2 konkurrerende point er punkt 1, der tilhører AB, og punkt 5, der tilhører l. Punkt 1 vil være synligt, da dets Y-koordinat er større end punkt 5, og derfor projektionen af linjen l 2 op til K 2 usynlig.

I fig. 4.9 viser et plan i generel position (givet ved spor) og en linje m også i generel position. For at bestemme skæringspunktet mellem m og planet er det nødvendigt at tegne Σ 2 gennem m 2 - et frontalt fremspringende plan, konstruere en skæringslinje mellem to planer (segment 1,2), markere K 1 og iht. at dette punkt hører til en lige linje l bestemme K 2.

I denne artikel vil vi dvæle i detaljer ved et af de primære begreber inden for geometri - begrebet en lige linje på et plan. Lad os først definere de grundlæggende udtryk og betegnelser. Dernæst vil vi diskutere den relative position af en linje og et punkt, samt to linjer på et plan, og præsentere de nødvendige aksiomer. Afslutningsvis vil vi overveje måder at definere en lige linje på et plan og give grafiske illustrationer.

Sidenavigation.

En lige linje på et fly er et koncept.

Før du giver begrebet en lige linje på et fly, bør du klart forstå, hvad et fly er. Begrebet et fly giver dig mulighed for at få fx en flad overflade på et bord eller en væg derhjemme. Man skal dog huske på, at bordets dimensioner er begrænsede, og planet strækker sig ud over disse grænser til det uendelige (som om vi havde et vilkårligt stort bord).

Hvis vi tager en godt slebet blyant og rører dens spids til overfladen af "bordet", får vi et billede af et punkt. Sådan får vi det repræsentation af et punkt på et plan.

Nu kan du gå videre til begrebet en lige linje på et plan.

Læg et ark rent papir på bordfladen (på et fly). For at tegne en lige linje, skal vi tage en lineal og tegne en linje med en blyant, så langt størrelsen på linealen og det ark papir, vi bruger, tillader os at gøre det. Det skal bemærkes, at vi på denne måde kun får en del af linjen. Vi kan kun forestille os en hel lige linje, der strækker sig ud i det uendelige.

Den relative position af en ret linje og et punkt.

Vi bør starte med aksiomet: på hver lige linje og i hvert plan er der punkter.

Punkter er normalt angivet med store latinske bogstaver, for eksempel punkterne A og F. Til gengæld er lige linjer angivet med små latinske bogstaver, for eksempel lige linjer a og d.

Muligt to muligheder for den relative position af en linje og et punkt på et plan: enten ligger punktet på linjen (i dette tilfælde siges det også, at linjen går gennem punktet), eller punktet ligger ikke på linjen (det siges også, at punktet ikke hører til linjen eller linjen går ikke gennem punktet).

For at angive, at et punkt hører til en bestemt linje, skal du bruge symbolet "". For eksempel, hvis punkt A ligger på linje a, så kan vi skrive . Hvis punkt A ikke hører til linje a, så skriv .

Følgende udsagn er sandt: Der er kun én lige linje, der går gennem to punkter.

Dette udsagn er et aksiom og bør accepteres som et faktum. Derudover er dette ret indlysende: vi markerer to punkter på papir, anvender en lineal på dem og tegner en lige linje. En ret linje, der går gennem to givne punkter (for eksempel gennem punkt A og B) kan betegnes med disse to bogstaver (i vores tilfælde lige linje AB eller BA).

Det skal forstås, at på en ret linje defineret på et plan er der uendeligt mange forskellige punkter, og alle disse punkter ligger i samme plan. Dette udsagn er etableret af aksiomet: hvis to punkter på en linje ligger i et bestemt plan, så ligger alle punkter på denne linje i dette plan.

Mættet af alle punkter placeret mellem to punkter givet på en linje, sammen med disse punkter, kaldes lige linjestykke eller simpelthen segment. Punkterne, der begrænser segmentet, kaldes enderne af segmentet. Et segment er angivet med to bogstaver, der svarer til segmentets endepunkter. Lad f.eks. punkt A og B være enderne af et segment, så kan dette segment betegnes AB eller BA. Bemærk venligst, at denne betegnelse for et segment falder sammen med betegnelsen for en ret linje. For at undgå forvirring anbefaler vi at tilføje ordet "segment" eller "lige" til betegnelsen.

For kort at registrere, om et bestemt punkt tilhører eller ikke hører til et bestemt segment, bruges de samme symboler og. For at vise, at et bestemt segment ligger eller ikke ligger på en linje, skal du bruge symbolerne og hhv. For eksempel, hvis segment AB hører til linje a, kan du kort skrive .

Vi bør også dvæle ved det tilfælde, hvor tre forskellige punkter hører til den samme linje. I dette tilfælde ligger ét, og kun ét punkt, mellem de to andre. Dette udsagn er et andet aksiom. Lad punkterne A, B og C ligge på samme linje, og punkt B ligger mellem punkterne A og C. Så kan vi sige, at punkt A og C er på hver sin side af punkt B. Vi kan også sige, at punkt B og C ligger på samme side af punkt A, og punkt A og B ligger på samme side af punkt C.

For at fuldende billedet bemærker vi, at ethvert punkt på en linje deler denne linje i to dele - to bjælke. For dette tilfælde er der givet et aksiom: et vilkårligt punkt O, der hører til en linje, deler denne linje i to stråler, og to punkter i en stråle ligger på samme side af punktet O, og to punkter med forskellige stråler ligge på modsatte sider af punktet O.

Den relative position af linjer på et plan.

Lad os nu besvare spørgsmålet: "Hvordan kan to lige linjer placeres på et plan i forhold til hinanden?"

For det første kan to lige linjer på et fly sammenfald.

Dette er muligt, når linjerne har mindst to fælles punkter. Faktisk er der i kraft af aksiomet angivet i det foregående afsnit kun én ret linje, der går gennem to punkter. Med andre ord, hvis to rette linjer passerer gennem to givne punkter, så falder de sammen.

For det andet kan to lige linjer på et fly kryds.

I dette tilfælde har linjerne ét fælles punkt, som kaldes linjernes skæringspunkt. Skæringspunktet mellem linjer er angivet med symbolet "", for eksempel betyder indtastningen, at linjerne a og b skærer hinanden i punktet M. Skærende linjer fører os til begrebet vinkel mellem skærende linjer. Separat er det værd at overveje placeringen af lige linjer på et plan, når vinklen mellem dem er halvfems grader. I dette tilfælde kaldes linjerne vinkelret(vi anbefaler artiklen vinkelrette linjer, vinkelrette linjer). Hvis linje a er vinkelret på linje b, kan kort notation bruges.

For det tredje kan to lige linjer på et plan være parallelle.

Fra et praktisk synspunkt er det praktisk at overveje en lige linje på et plan sammen med vektorer. Af særlig betydning er ikke-nul vektorer, der ligger på en given linje eller på en af de parallelle linjer; de kaldes dirigerende vektorer af en ret linje. Artiklen Retningsvektor af en ret linje på et plan giver eksempler på retningsvektorer og viser muligheder for deres anvendelse til løsning af problemer.

Du bør også være opmærksom på vektorer, der ikke er nul, der ligger på en af linjerne vinkelret på denne. Sådanne vektorer kaldes normale linjevektorer. Brugen af normallinjevektorer er beskrevet i artiklen normallinjevektor på et plan.

Når tre eller flere rette linjer er givet på et plan, opstår der mange forskellige muligheder for deres relative positioner. Alle linjer kan være parallelle, ellers skærer nogle eller alle af dem hinanden. I dette tilfælde kan alle linjer skære hinanden i et enkelt punkt (se artiklen om en masse linjer), eller de kan have forskellige skæringspunkter.

Vi vil ikke dvæle ved dette i detaljer, men vil uden beviser præsentere flere bemærkelsesværdige og meget ofte brugte fakta:

hvis to linjer er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle med hinanden;
hvis to linjer er vinkelrette på en tredje linje, så er de parallelle med hinanden;
Hvis en bestemt linje på et plan skærer en af to parallelle linjer, så skærer den også den anden linje.

Metoder til at definere en ret linje på et plan.

Nu vil vi liste de vigtigste måder, hvorpå du kan definere en specifik ret linje på et plan. Denne viden er meget nyttig fra et praktisk synspunkt, da løsningen på mange eksempler og problemer er baseret på den.

For det første kan en ret linje defineres ved at angive to punkter på et plan.

Fra aksiomet diskuteret i første afsnit af denne artikel ved vi faktisk, at en lige linje passerer gennem to punkter, og kun ét.

Hvis koordinaterne for to divergerende punkter er angivet i et rektangulært koordinatsystem på en plan, så er det muligt at nedskrive ligningen for en ret linje, der går gennem to givne punkter.

For det andet kan en linje specificeres ved at angive det punkt, den passerer igennem, og den linje, den er parallel med. Denne metode er retfærdig, da der gennem et givet punkt på planet passerer en enkelt ret linje parallelt med en given ret linje. Beviset for dette faktum blev udført i geometritimer i gymnasiet.

Hvis en ret linje på et plan er defineret på denne måde i forhold til det indførte rektangulære kartesiske koordinatsystem, så er det muligt at sammensætte dens ligning. Dette er skrevet om i artiklens ligning af en linje, der går gennem et givet punkt parallelt med en given linje.

For det tredje kan en ret linje specificeres ved at angive det punkt, den passerer igennem, og dens retningsvektor.

Hvis en ret linje er givet i et rektangulært koordinatsystem på denne måde, så er det let at konstruere dens kanoniske ligning af en ret linje på en plan og parametriske ligninger for en ret linje på en plan.

Den fjerde måde at angive en linje på er at angive det punkt, den passerer igennem, og den linje, som den er vinkelret på. Gennem et givet punkt i planet passerer der faktisk en enkelt ret linje vinkelret på den givne rette linje. Lad os lade dette faktum være uden bevis.

Endelig kan en linje i en plan specificeres ved at angive det punkt, den passerer igennem, og linjens normalvektor.

Hvis koordinaterne for et punkt, der ligger på en given linje, og koordinaterne for linjens normalvektor er kendt, så er det muligt at nedskrive linjens generelle ligning.

Bibliografi.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. 7. – 9. klassetrin: lærebog for almene uddannelsesinstitutioner.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Lærebog for 10-11 klassetrin i gymnasiet.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Højere matematik. Bind et: elementer af lineær algebra og analytisk geometri.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytisk geometri.

Alle rettigheder forbeholdes.
Beskyttet af lov om ophavsret. Ingen del af www.site, inklusive interne materialer og udseende, må gengives i nogen form eller bruges uden forudgående skriftlig tilladelse fra indehaveren af ophavsretten.

Pointen kan være enten på lige, eller uden for hende.

a) Hvis pointen er på lige linje, så, baseret på egenskaben ved at tilhøre, vil dens projektioner tilhøre projektionerne af den rette linje - punkt A (Figur 7-2);

b) Hvis punktet er placeret uden for lige linje, så vil punktet i mindst én af visningerne ikke være på den lige linje:

· punkt B i topvisningen ligger ikke på en lige linje l , men er placeret tættere , end det punkt, der frontalt konkurrerer med det, markeret med et kryds; derfor er punkt B placeret Før lige l ;

· punkt C, som følger set forfra, er placeret under lige l , fordi det er placeret under et vandret konkurrerende punkt med det, markeret med et kryds og liggende på en lige linje;

· at analysere positionen af punkt D i forhold til den rette linje l , kommer vi til den konklusion, at punkt D er placeret over lige l , som er bestemt af positionen af punktet D set forfra. Fra ovenfra bemærker vi, at punkt D er placeret bag lige l .

Det er ikke muligt at bestemme den relative position af et punkt og en linje med profilposition p fra to visninger, fordi en sådan lige linje forfra og ovenfra falder sammen med kommunikationslinjerne i retning (Figur 7-3).

Du kan få svaret ved at konstruere en profilprojektion (visning til venstre).

Så fra udsigten til venstre bestemmer vi, at t. M er placeret Før lige (Δ f) Og over hende (ΔН), fordi den ligger tættere på det frontalkonkurrerende punkt og over de horisontalt konkurrerende punkter markeret med kryds.

Punkt N er placeret under (under) lige l Og bag (videre) hende.

RELATIV POSITION AF PUNKT OG FLY

Der kan være to muligheder:

· punktet er placeret V fly;

· punktet er placeret uden for fly.

Et punkt er i et plan, hvis det hører til en ret linje i dette plan.

Derfor, for at konstruere et punkt på et plan, skal du først konstruere en vilkårlig lige linje på dette plan (eller tage et eksisterende) og tage et punkt på det.

Delvis plan

Hvis punktet er i flyet private situation (skrå, lodret, profilfremspringende), så er dens konstruktion lettere. I dette tilfælde vil punktet på en af visningerne være placeret på billedet af flyet, og på den anden visning kan dets position være vilkårlig (Figur 7-4). Her er vist punktet A, som hører til skråplan B, pga set forfra er det på en lige linje, som er et billede af et fly; og i ovenfra tages punktets position vilkårligt på kommunikationslinjen.

Punkt B er placeret under fly, fordi den ligger under punktet markeret med et kryds, som den konkurrerer vandret med,

Generelt fly

Det er noget sværere at konstruere et punkt, der hører til et plan, på en kompleks tegning generel Bestemmelser.

Lad plan B(ΔАВС) være specificeret (Figur 7-5). Til bygge på tegningen tegnes ethvert punkt, der ligger i plan B, en vilkårlig ret linje l klart hørende til planet (da det passerer gennem to punkter i plan A og 1). Så på denne rette linie tages t. M (tilhørende ejendom).

Lad os overveje baglæns opgave. Lad der gives to typer af punkt N. Vi har brug for Definere positionen af punktet N i forhold til planet.

Da plan B er faldende (vi bestemmer det ved forskellige gennemløbsretninger i visningerne), og under hensyntagen til, at punktet N er foran planet, vil det samtidig være placeret under fly .