Typer af matematiske modeller.

Udvikling af grundlæggende mentale processer - hukommelse, opmærksomhed, fantasi, fantasifuld tænkning, tale; omkodning af information, dvs. transformation fra abstrakte symboler til billeder; udvikling af færdigheder i uafhængig modellering; udvikling af finmotorik med delvis eller fuldstændig grafisk gengivelse. Udvikling af børns kognitive interesse for matematik Betydningen af ​​modellering i førskolebørns udvikling.

Brugen af ​​modellering i udviklingen af ​​matematiske begreber hos førskolebørn giver håndgribelige positive resultater, nemlig: - gør det muligt at identificere skjulte forbindelser mellem fænomener og gøre dem tilgængelige for barnets forståelse; - forbedrer barnets forståelse af strukturen og sammenkoblingen af ​​komponenterne i et objekt eller et fænomen; - øger barnets observationsevne, giver ham mulighed for at bemærke funktionerne i verden omkring ham;

Stadier af arbejde med modeller Fire-trins sekvens af anvendelse af modelleringsmetoden. Den første fase involverer fortrolighed med betydningen af ​​aritmetiske operationer. Den anden er at lære at beskrive disse handlinger i sproget med matematiske tegn og symboler. Den tredje er at lære de simpleste teknikker til aritmetiske beregninger.. Den fjerde fase er at lære at løse problemer Stadier af arbejde med modeller

Visuel plan model "Hus hvor tegn og tal bor" Formålet med anvendelsen: - at styrke børns færdigheder i at sammensætte tal fra to mindre; tilføje og trække tal fra; -give børn en idé om uforanderligheden af ​​tal og mængder, med forbehold for forskelle i summering; - lære eller styrke evnen til at sammenligne tal (mere, mindre, lige).

Visuel planmodel "Solar System" Kun for børn i senior- og forberedende grupper. Formål med anvendelsen: - at give (eller konsolidere) børns ideer om geometriske kroppe og figurer (sammenligning af en cirkel, en kugle med andre geometriske kroppe og figurer); - at lære børn at identificere og reflektere i talen grundlaget for gruppering, klassificering, forbindelse og afhængighed af den resulterende gruppe (solsystemet); - lære (eller konsolidere) børns evne til at bestemme rækkefølgen af ​​et antal objekter efter størrelse; -udvikle en forståelse af rumlige sammenhænge, ​​bestemme placeringen af ​​nogle objekter i forhold til andre; -forbedre ordinær og kvantitativ optælling; - konsolidere evnen til at bruge et konventionelt mål til at måle afstande; - styrke evnen til at løse regneopgaver.

Visuel planmodel "Counting Cake" Formålet med anvendelsen: - at lære børn at løse regneproblemer og udvikle barnets kognitive evner; - lære at identificere matematiske sammenhænge mellem størrelser og navigere i dem.

Matematiskmodellering– processen med at etablere overensstemmelse med real system S måtte af model M og undersøgelse af denne model, som gør det muligt at opnå karakteristika for et rigtigt system. Ansøgning måtte model giver dig mulighed for at studere genstande, virkelige eksperimenter, som er svære eller umulige.

Analytisk modellering- elementfunktionsprocesser skrives i form af matematiske relationer (algebraer, integral, differential, logisk osv.). Måtte. modellen indeholder måske slet ikke de nødvendige mængder eksplicit. Det skal omdannes til et system af relationer vedrørende de ønskede mængder, hvilket gør det muligt at opnå det ønskede resultat ved hjælp af rene anale metoder. Det betyder at opnå eksplicitte formler

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, eller opnåelse af ligninger af en kendt form, hvis løsning også er kendt. I nogle tilfælde er det muligt kvalitet undersøgelse af en model, hvor kun nogle egenskaber ved løsningen kan findes eksplicit.

Numerisk tilstand bruger beregningsmatematiske metoder og giver mulighed for kun at opnå omtrentlige løsninger. Løsningen på problemet kan være mindre komplet end i anal mod. Den grundlæggende ulempe ved den numeriske tilstand ligger i den automatiske implementering af den valgte numeriske metode. Modelleringsalgoritmen afspejler den numeriske metode i højere grad end modellens funktioner. Derfor, når du ændrer den numeriske metode, skal modelleringsalgoritmen omarbejdes.

Imiteret mod- reproduktion på en computer (efterligning) af processen med funktionerne i det undersøgte system i overensstemmelse med den logiske og tidsmæssige sekvens af virkelige begivenheder. Det er typisk for imitationstilstand begivenhedsafspilning, der forekommer i systemet (beskrevet af modellen) med deres bevarelse logisk struktur Og tidsrækkefølge. Det giver dig mulighed for at finde ud af data om systemets tilstand eller dets individuelle elementer på bestemte tidspunkter. Simuleringsmodellering ligner eksperimentel forskning af processer på et virkeligt objekt, dvs. på stedet.

12.Opnåelse af tilfældige tal med en vilkårlig fordelingslov ved hjælp af den inverse funktionsmetode. Md arr f er den mest generelle og universelle måde at opnå tal på, der overholder en given lov. Standardmodelleringsmetoden er baseret på, at den kumulative fordeling fungerer
enhver kontinuert stokastisk variabel er ensartet fordelt i intervallet (0;1), dvs. for enhver tilfældig variabel x med fordelingstæthed f(x) den stokastiske variabel er ensartet fordelt over intervallet (0;1).

Derefter en stokastisk variabel X med en vilkårlig fordelingstæthed f(x) kan beregnes ved hjælp af følgende algoritme: 1. Det er nødvendigt at generere en stokastisk variabel r (værdien af ​​den stokastiske variabel R), ensartet fordelt i intervallet (0;1). 2. Sæt lighedstegn mellem det genererede tilfældige tal med den kendte fordelingsfunktion F( x ) og få ligningen
. 3. Løser vi ligningen X=F -1 (r), finder vi den ønskede værdi af X

Grafisk løsning

.

Derudover til spørgsmål 11.

Lad os overveje et eksempel, der karakteriserer forskellen mellem de overvejede modelleringstyper.

Der er et system bestående af tre blokke.

Systemet fungerer normalt, hvis mindst én af blok 1 og 2 er operationel, og blok 3 også er operationel. Fordelingsfunktionerne for den fejlfrie driftstid for blokkene f1(t), f2(t), f3(t) er kendt. Det er nødvendigt at finde sandsynligheden for fejlfri drift af systemet på tidspunktet t.

Tilsvarende logisk kredsløb

betyder, at systemfejl opstår, når kredsløbet er brudt. Dette sker i følgende tilfælde:

Enhed 1 og 2 fejlede, enhed 3 er operationel;

blok 3 har fejlet, mindst én af blok 1 og 2 er operationel.

Sandsynlighed for fejlfri drift af systemet P(t)=P1.2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Denne formel er grundlaget for den matematiske model af systemet.

Analytisk modellering. Det er kun muligt under den betingelse, at alle integraler udtrykkes gennem elementære funktioner. Lad os antage det

Derefter
=
=
.

Med dette i betragtning tager model (1) formen

Dette er et eksplicit analytisk udtryk vedrørende den ønskede sandsynlighed; det er kun gyldigt under de antagelser, der er gjort.

Numerisk modellering. Behovet for det kan for eksempel opstå, når det fastslås, at integraler ikke er defineret (dvs. elementære funktioner er ikke udtrykt). Behovet for det kan for eksempel opstå, når det fastslås, at fordelingerne f1(t), f2(t), f3(t) overholder Gauss (normal) lov:
.For beregninger ved hjælp af formlen P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = for hver værdi af t skal de bestemmes numerisk, for eksempel ved trapezformede, Simpson-, Gaussiske eller andre metoder. For hver værdi af t udføres beregningerne på ny.

rektangelmetode, trapezmetode, parabelmetode. Med rektangelmetoden opstår der en fejl - unøjagtighed af beregninger. Men det kan opdeles i 2 eller flere intervaller. Der opstår mange integraler, men her opstår allerede en afrundingsfejl.

Gaussisk metode

Monte Carlo metode

Simuleringsmodellering. Imitation er gengivelse af begivenheder, der forekommer i systemet, dvs. korrekt drift eller svigt af hvert element. Hvis systemets driftstid er t, og ti er tidspunktet for fejlfri drift af elementet med nummer i, så betyder: hændelsen ti>t den korrekte drift af elementet i løbet af tiden (0; t);

ti begivenhed<=t означает отказ элемента к моменту t.

Bemærk, at ti er en stokastisk variabel fordelt efter loven fi(t), som kendes under betingelse.

Modellering af en tilfældig hændelse "korrekt drift af det k'te element i tiden (0; t]" er som følger:

1) ved at opnå et tilfældigt tal ti, fordelt efter loven fi(t);

2) ved at kontrollere sandheden af ​​det logiske udtryk ti>t. Hvis det er sandt, er det i-te element operationelt; hvis det er falsk, har det fejlet.

Modelleringsalgoritmen er som følger:

1.Sæt n=0, k=0. Her er n tælleren for antallet af implementeringer (gentagelser) af en tilfældig proces; k – tæller for antallet af "succeser".

2.Få tre tilfældige tal t1,t2,t3, fordelt efter henholdsvis lovene f1(t),f2(t),f3(t).

3. Tjek sandheden af ​​det logiske udtryk L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2)<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Hvis L=sandt, så sæt k=k+1 og gå til trin 4, ellers gå til trin 4.

4.Sæt n=n+1.

5.Hvis n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Lad os endnu en gang understrege: Værdien af ​​N er fastsat på forhånd af hensyn til at sikre den specificerede nøjagtighed af pålideligheden af ​​det statistiske estimat af den ønskede værdi P(t).

Yalta uddannelseskompleks "Skole-lyceum nr. 9"

Vicedirektør for HRRomanova A.N.

"Modellering i matematiktimer i folkeskolen"

Praktisk seminar

Matematik skal undervises i skolen

Sæt også dit mål, så viden

der kommer hertil ville være

tilstrækkeligt til alm

behov i livet.

M. Lobachevsky

Rapport plan

Nye retningslinjer i matematikundervisningen.

Metodisk grundlag for modellering. Matematisk model.

Brug af modelleringsmetoden i matematiktimerne i folkeskolen.

Introduktion af eleverne til teknikker til matematisk modellering.

Anvendelse af modellering til løsning af ligninger.

Modellering, mens ordproblemer løses.

Brug af modellering til at studere nummerering, tilføje og subtrahere tal og arbejde på længdeenheder.

Nye retningslinjer i matematikundervisningen. (5 minutter)

Det er velkendt, at modeller er matematikkens sprog, og modellering er deres tale. Succesen med at mestre matematik bestemmes først og fremmest af, hvor godt barnet har lært at "tale" deres sprog. Dette bestemmes ikke kun af den studerendes faglige succes med at løse videnskabelige og pædagogiske opgaver, men i højere grad af den enkeltes livssucces - takket væreevne til at ansøge matematiske metoder til at løse praktiske, virkelige problemer, der kræver det. Enig, det er også et godt resultat af at lære matematik i skolen.

Lærer vi vores elever matematisk sprog? Eller betragter vi det måske som en svær opgave for folkeskolen? Eller håber vi simpelthen, at børn selv i løbet af den daglige løsning af eksempler og problemer gradvist vil lære at bruge det?

Ifølge overvågningsdata på skoler i Kiev, såvel som alle-ukrainske overvågningsdata, indikerer, at størstedelen af ​​eleverne (henholdsvis 60 % og 53 %) ikke ved, hvordan man arbejder med færdiglavede grafiske modeller, udfører kreative opgaver, eller anvende erhvervet viden i nye situationer til at løse problemer.

Denne tilstand af matematikundervisning er blevet årsagen til behovet for en betydelig revision af statens krav til undervisning i matematik til skolebørn. Den nye udgave af "Sovereign Standard...", som trådte i kraft i år. Fra positionen af ​​en personlighedsorienteret og kompetencebaseret tilgang reorienterer den faktisk lærerens aktiviteter.Kompetence - tilstedeværelsen af ​​viden og erfaring, der er nødvendig for effektiv aktivitet inden for et givet fagområde . Lad os sammenligne . Ind endnunuværende I den statslige standard står der: ”Matematikstudier i folkeskolen sikrer, at eleverne tilegner sig den viden, de færdigheder og de evner, der er nødvendige for videre studier af matematik og andre fag... At studere matematik bidrager til udviklingen af ​​kognitive evner hos yngre skolebørn – hukommelse, logisk og kreativ tænkning, fantasi, matematisk tale."I den nye udgave af statsstandarden Målet på uddannelsesområdet "Matematik" er allerede blevet defineret som "dannelsen af ​​fagspecifikke matematiske og nøglekompetencer, der er nødvendige for elevernes selvrealisering i en verden i hastig forandring." Fagmatematisk kompetence betragtes som "personlig uddannelse, der kendetegner elevens evne til at skabe matematiske modeller af processer i omverdenen, til at anvende oplevelsen af ​​matematisk aktivitet og samtidig løse pædagogiske, kognitive og praktisk orienterede problemer."

Derfor bliver beherskelse af matematisk tale - evnen til at bygge matematiske modeller - hovedmålet med undervisning i matematik, hvilket realiseres gennem dannelsen hos eleverne af "evnen til at bruge matematisk terminologi, symbolsk og grafisk information."

Den positive erfaring med at undervise elever i modellering (og ikke kun i matematiktimerne), som er akkumuleret af systemet med udviklingsundervisning af D.B. Elkonina - V.V. Davydov, rettet mod at udvikle elevernes fuldgyldige uddannelsesaktiviteter, hvoraf den ene er modellering.

At danne evnen til at modellere hos elever er et af målene for udviklingsundervisning, og de modeller, som børn skaber og bruger, er først og fremmest en af ​​måderne til at udvikle læringskompetencer (og ikke kun en metode til klarhed).

Målet med vores seminar i dag er at forstå problemstillingerne omkring modellering, at vise hvordan modeller kan bruges til at lære folkeskolebørn at løse ligninger og problemer, matematiske egenskaber og teknikker til at addere og subtrahere tal.

2. Metodologisk grundlag for modellering. (8 min)

Modellering er et af midlerne til at forstå virkeligheden. Modellen bruges til at studere eventuelle objekter (fænomener, processer), til at løse forskellige problemer og indhente ny information. Følgelig er en model et bestemt objekt (system), hvis brug tjener til at opnå viden om et andet objekt (original).

Brugen af ​​modellering overvejes i to aspekter:

for det første tjener modellering som det indhold, der skal læres af børn som et resultat af den pædagogiske proces;

for det andet er modellering den pædagogiske handling og midler, uden hvilke fuldgyldig læring er umulig.

Synligheden af ​​modeller er baseret på følgende vigtige mønster: skabelsen af ​​en model udføres på grundlag af den foreløbige skabelse af en mental model - visuelle billeder af de objekter, der modelleres, det vil sige, at emnet skaber et mentalt billede af dette objekt, og derefter (sammen med børn) bygger en materiel eller figurativ model (visuel). Mentale modeller er skabt af voksne og kan omdannes til visuelle ved hjælp af visse praktiske handlinger (hvor børn også kan deltage); børn kan også arbejde med allerede skabte visuelle modeller.

Når du arbejder med børn, kan du bruge substitution af objekter: symboler og tegn, plane modeller (planer, kort, tegninger, diagrammer, grafer), tredimensionelle modeller, layouts.

Brug af modelleringsmetoden hjælper med at løse en række meget vigtige problemer:

udvikling af børns produktive kreativitet;

udvikling af højere former for fantasifuld tænkning;

anvendelse af tidligere erhvervet viden til løsning af praktiske problemer;

konsolidering af matematisk viden erhvervet af børn tidligere;

skabe betingelser for erhvervssamarbejde;

aktivering af børns matematiske ordforråd;

udvikling af finmotorik i hånden;

tilegne sig nye ideer og færdigheder i arbejdsprocessen;

børns dybeste forståelse af principperne for drift og struktur af originaler ved hjælp af modeller.

En model giver os ikke blot mulighed for at skabe et visuelt billede af det modellerede objekt, det giver os mulighed for at skabe et billede af dets væsentligste egenskaber, der afspejles i modellen. Alle andre uvæsentlige egenskaber kasseres ved udvikling af modellen. Således skaber vi et generaliseret visuelt billede af det modellerede objekt.

Det videnskabelige grundlag for modellering er teorien om analogi, hvor hovedbegrebet er begrebet analogi - ligheden mellem objekter i henhold til deres kvalitative og kvantitative egenskaber. Alle disse typer er forenet af begrebet en generaliseret analogi - abstraktion. Analogi udtrykker en særlig form for korrespondance mellem sammenlignede objekter, mellem modellen og originalen.

Modellering er multifunktionel, det vil sige, den bruges på en række forskellige måder til forskellige formål på forskellige niveauer (stadier) af forskning eller transformation. I denne henseende har den århundreder gamle praksis med at bruge modeller givet anledning til en overflod af former og typer af modeller.

Lad os overveje klassificeringen foreslået af L.M. Friedman. Med hensyn til graden af ​​klarhed opdeler han alle modeller i to klasser:

trin 1. 1-2

· materiale (rigtig, ægte);

· Perfekt.

Til materialet Modeller omfatter dem, der er bygget af materielle genstande.

Trin 2

Materialemodeller kan til gengæld opdeles istatisk (stationær) ogdynamisk (nuværende).

Trin 3

Den næste type dynamiske modeller eranalog og simulering , som gengiver dette eller hint fænomen ved hjælp af et andet, i en vis forstand mere bekvemt. For eksempel fungerer en sådan model - en kunstig nyre - på samme måde som en naturlig (levende) nyre, og fjerner giftstoffer og andre stofskifteprodukter fra kroppen, men den er selvfølgelig designet helt anderledes end en levende nyre.

Ideel Modeller er normalt opdelt i tre typer:

Trin 4

· figurativ (ikonisk);

· ikonisk (tegn-symbolsk);

· mental (mental).

Modeller kan klassificeres efter forskellige kriterier:

1) af arten af ​​modellerne (det vil sige ved hjælp af modelleringsværktøjerne);

2) af arten af ​​de objekter, der modelleres;

3) efter anvendelsesområde for modellering (modellering inden for teknologi, fysiske videnskaber, kemi, modellering af levende processer, modellering af psyken osv.)

4) efter niveauer ("dybde") af modellering.

Den mest kendte erklassificering efter modellernes art .

Trin 5.

Ifølge den skelnes følgende:typer af modellering :

Trin 6.

1. Fagmodellering , hvor modellen gengiver et objekts geometriske, fysiske, dynamiske eller funktionelle karakteristika. For eksempel en model af en bro, en dæmning, en model af en flyvinge osv.

Trin 7

2. Analog modellering , hvor modellen og originalen er beskrevet af et enkelt matematisk forhold. Et eksempel er elektriske modeller, der bruges til at studere mekaniske, hydrodynamiske og akustiske fænomener.

Trin 8

3. Ikonisk modellering , hvor modellerne er symbolske formationer af en eller anden art: diagrammer, grafer, tegninger, formler, grafer, ord og sætninger.

Trin 9

4. Nært beslægtet med det ikoniskemental simulering , hvor modellerne får en mentalt visuel karakter.

Trin 10

5. Simuleret eksperiment – en særlig form for modellering, hvor ikke selve objektet bruges, men dets model.

Hovedformålet med modellering er at fremhæve og registrere de mest almindelige relationer i et emne til dets undersøgelse.

Modelleringsmetoden er en kompleks, integrerende uddannelse. Ifølge klassifikationen af ​​didaktiske metoder af N.G. Kazansky og T.S. Nazarova, modelleringsmetoden har en tre-komponent struktur

Trin 11(se diagram). Altså i strukturen af ​​modelleringsmetodenydre side - Det er en bestemt form for interaktion mellem lærer og elever.Indvendig side – dette er et sæt generelle pædagogiske teknikker (analyse, syntese, generalisering osv.) og metoder til pædagogisk arbejde.Teknologisk side – dette er et sæt specifikke teknikker for denne metode (foreløbig analyse, opbygning af en model, arbejde med den, overførsel af information fra modellen til det ønskede objekt - originalen).

Simuleringsmetode

Yderside

Indvendig side

Teknologisk side

Former:

præsentation

samtale

selvstændigt arbejde

Psykologisk essens:

dogmatisk måde at pædagogisk arbejde på;

heuristisk måde at pædagogisk arbejde på

forskningsmetode for pædagogisk arbejde

Logisk enhed:

analytisk;

syntetisk;

induktiv;

deduktiv;

analytisk-syntetisk

Teknikker til konstruktion af en model;

modeltransformationsteknikker;

metoder til at specificere modellen

Matematisk model. Matematisk modellering.

En matematisk model er en omtrentlig beskrivelse af en klasse af fænomener i den ydre verden ved hjælp af matematiske symboler. For eksempel er forholdet mellem elementerne A, B, C udtrykt ved formlen A+B=C - en matematisk model.

Processen med matematisk modellering, dvs. at studere fænomener ved hjælp af matematiske modeller kan opdeles i fire stadier.

Trin 12

Første etape – identifikation af væsentlige træk ved en genstand.

13.

Anden fase – bygge en model.

14 .

Tredje etape – undersøgelse af modellen.

15 .

Fjerde etape – overførsel af information opnået fra modeller til det objekt, der undersøges.

Det særlige ved modellering er, at synlighed ikke er en simpel demonstration af naturlige objekter, men stimulerer børns selvstændige praktiske aktiviteter. Elevernes evne til at arbejde med en model, dens transformation til at studere de generelle egenskaber ved de begreber, der studeres, er en af ​​undervisningens hovedopgaver inden for alle fagområder.

Forskellige modeller bruges til modelleringmatematiske objekter: numeriske formler, numeriske tabeller, bogstavelige formler, funktioner, algebraiske ligninger, serier, geometriske figurer, forskellige grafdiagrammer, Euler-Venn diagrammer, grafer.

3. Brug af modelleringsmetoden i matematiktimerne i folkeskolen. (1,5 min)

Behovet for, at ungdomsskolebørn mestrer modelleringsmetoden som erkendelsesmetode i læringsprocessen, kan begrundes fra forskellige positioner.

Trin 16

for det første , dette bidrager til dannelsen af ​​et dialektisk-materialistisk verdensbillede.

17.

For det andet Som eksperimenter viser, ændrer indførelsen af ​​begreberne model og simulering i indholdet af læring betydeligt elevernes holdning til det pædagogiske emne, gør deres pædagogiske aktiviteter mere meningsfulde og mere produktive.

18.

Tredje , målrettet og systematisk undervisning i modelleringsmetoden bringer yngre skolebørn tættere på metoderne til videnskabelig viden og sikrer deres intellektuelle udvikling. For at "udstyre" eleverne med modellering som erkendelsesmåde, er det ikke nok, at en lærer blot viser dem forskellige videnskabelige modeller og viser dem processen med at modellere individuelle fænomener. Det er nødvendigt, at skolebørn selv bygger modeller, studerer genstande eller fænomener selv ved hjælp af modellering. Når elever, der løser et praktisk matematisk (plot) problem, forstår, at det er en symbolsk model af en virkelig situation, opretter en sekvens af dens forskellige modeller, studerer (løser) derefter disse modeller og oversætter til sidst den resulterende løsning til sproget af det oprindelige problem, så mestrer de fleste skolebørn modelleringsmetoden.

Introduktion af eleverne til teknikker til matematisk modellering. (10 min)

Den berømte psykolog P. Galperin og hans kolleger udviklede en teori om trin-for-trin dannelsen af ​​mentale handlinger. Ifølge denne teori betragtes læringsprocessen som et barns beherskelse af et system af mentale handlinger, som sker i processen med internalisering (overgang indad) som reaktion på ekstern praktisk aktivitet.

Barnet udfører praktiske handlinger med objekter (først med rigtige, og derefter med imaginære) - objektive handlinger. Ud fra dem, idet han først stoler på en kopitegning og derefter på objektmodeller, går han videre til grafiske modeller. Efter at have introduceret matematiske symboler og bogstaver til at betegne mængder, bruger eleven formler til at beskrive handlinger, dvs. symbol-bogstav-modeller og derefter verbale modeller (definitioner, regler).

For eksempel får børn en specifik praktisk opgave, der kræver, at de finder to kar med samme volumen (forskellige i form).Foto trin 19

Herefter udfører børnene (og ikke læreren) praktiske handlinger: hæld vand i en krukke, hæld det i en anden. Hvis alt vandet fra den første kommer ind i en anden krukke, er volumen af ​​disse krukker ens. Det er tilrådeligt at invitere børn til at tage disse to strimler op, ved hjælp af hvilke de kan kommunikere forholdet mellem volumener og former - uanset om de er ens eller forskellige. Hvis mængderne af dåserne er de samme, skal børn løfte to strimler af samme længde, og hvis forskellige, så forskellige i længden.Foto

trin 20

For at få børn til at bruge en grafisk model, er det igen nødvendigt at sætte en specifik praktisk opgave: ved hjælp af en tegning, vis, at volumen af ​​den ene dåse er større end den anden. Erfaringen viser, at børn begynder at tegne formen på dåser, dvs. lav en kopitegning, eller tegn striber, ved hjælp af hvilke de viser forholdet mellem dåsernes rumfang.

Efter at have diskuteret tegningerne konkluderer vi: at tegne dåser er en mislykket måde (unøjagtige tegninger, forholdet mellem mængderne af dåser er ikke afbildet, arbejdet tager meget tid). Men børns striber er også forskellige i bredde og længde, og det tager også meget tid.

Som et resultat kommer vi til den konklusion, at det er mere bekvemt slet ikke at tegne strimlens bredde, men kun at tegne strimlens længde (dvs. segmenter). Hvis mængderne (længde, areal, masse, volumen osv.) er identiske, så har de segmenter af samme længde, og hvis de er uens, skal deres længder være forskellige.Foto i notesbog. trin 21.

På denne måde introduceres billedet af mængder ved hjælp af segmenter. Børn lærer at skematisk angive mængder og derefter bygge grafiske (lineære) modeller.

Det er også tilrådeligt at introducere begreberne "hel" og "del" i 1. klasse og at udvikle elevernes færdigheder til at etablere relationer mellem disse begreber. Hvordan kan vi skrive i matematisk sprog, at for eksempel et æble består af separate dele? Hvis æblet er helt, betegner vi det med en cirkel, og æbledyngerne betegnes med trekanter, og vi får følgende grafiske model.

Trin 22Slide 7

+ + + =

Lad os forenkle og have en grundlæggende model:

trin 23. + =

Helhed og dele er relative begreber. Hovedegenskaberne ved denne relation (på mængden af ​​naturlige tal): helheden kan ikke være mindre end delen, og delen kan ikke være større end helheden; helheden er lig med summen af ​​delene, og delen er lig med forskellen mellem helheden og den anden del

Trin 24 = -

Alle er godt klar over de stråler, der traditionelt bruges til at skildre sammensætningen af ​​tal.Trin 25Slide 8

Så forholdet mellem delene og helheden kan vises ved hjælp af en tegngrafisk notation:

MEDtrin 26

A |____________|____________|

B A B

Diagrammet, der beskriver handlingen af ​​addition, beskriver også den omvendte handling - subtraktion:

Trin 27slide 9

Begreberne del og helhed gør det muligt at introducere de kommutative og associative egenskaber ved at tilføje mængder.Slide 10, 11 (2 trin), 12

Trin 28, 29, 30

Ligesom at lære addition og subtraktion, kan simuleringer også bruges til at lære multiplikation og division.

Traditionelt opfattes multiplikation som at tilføje identiske udtryk. Lad værdien A lægges til B gange:slide 13.

trin 31.A+A+A+A+A = AxB

Formlen A x B lyder således: "tag B gange fra A" eller "tag B gange fra A",

Trin 32hvor A er den del (måling), der blev betegnet med en trekant.

B – antallet af lige dele (antal mål), kan vi betegne med en firkant.

For at udpege helheden bruger vi det samme ikon - en cirkel.

Helheden er karakteriseret som resultatet af den aritmetiske operation med at gange tallene A og B.

X = A x B = C Skema, der beskriver denne handling:

|____|_A___|____________|

Det er klart, at når vi betragter division som en objektiv handling, der sigter mod at opdele efter indhold eller i lige dele, vil det være muligt at etablere en sammenhæng mellem multiplikation og division. Nu, ud over multiplikationsformlenTrin 33Axe B = C, vi får to invers af divisiontrin 34.C: A = B ogtrin 35. C: B = A (med geometriske former). Det betyder, at multiplikationskredsløbet er et divisionskredsløb.

Anvendelse af modellering til løsning af ligninger. (10 min)

For korrekt at vælge en metode til at løse ligninger, skal man kunne finde sammenhængen mellem helheden og delen.Når dette begreb dannes, tilegner børn sig evnen til at udtrykke helheden gennem dele og dele gennem helheden. Etablering af sammenhænge mellem addition og subtraktion af størrelser baseret på begrebet del og helhed gør det muligt at sammenligne helheden med summen og minuenden, delene med adderingerne eller subtrahenden og forskellen og se, at forskellige handlinger: A + B = C, C-A = B, eller C-B=A – karakteriserer de samme forhold mellem mængder.

At finde det ukendte, når man løser ligninger, hjælper ikke kun reglerne, men også forholdet mellem delene og helheden, præsenteret i form af en grafisk model.Slide 14 trin 36.

Algoritmen til at lære at løse ligninger er som følger:

Lad os tegne et diagram over ligningen. X +5 = 12trin 37.

Vi finder helheden og delene først i diagrammet, derefter i ligningen (vi understreger)

Vi navngiver den ukendte komponent. Lad os finde ud af, hvad det er: en helhed eller en del.

Vi analyserer, hvordan vi finder den ukendte mængde.

Vi finderX. trin 38, 39

Det konstruerede kredsløb kan bruges til at løse subtraktionsligninger. 12 – x = 5, da kredsløbet, der beskriver handlingen af ​​addition, også er et kredsløb til subtraktion. Eksempler på billeder fra notesbogen

Slides 15,16 (+1 trin ), 17, 18.

Trin, 40, 41, 41-a, 42,43

Opgaven er at opdele disse ligninger i diagrammer og skabe et udtryk

slide 19 trin 44, 45. 44-a, 45-b

Modellering bruges på samme måde ved løsning af ligninger for at finde en ukendt faktor, divisor og dividende.

Slide 20( 8 trin ) trin 46.

Når man etablerer forbindelsen mellem multiplikation og division, er det tilrådeligt at introducere begrebet areal, formlen til at finde arealet af et rektangel og finde den ukendte side.Slide 21 (1 trin)

Eksempel på ligning. Slide 22 ( 4 trin)

Algoritme til løsning af ligningenSlide 23 .

Da multiplikationsskemaet er et divisionsskema, kan der laves to divisionsligninger ud fra en ligning. Området er en helhed, og sidernes længde og bredde er dele.

Derudover giver modellering mulighed for at diversificere kreativt arbejde med ligninger. Så læreren kan tilbyde følgende typer opgaver:

Slide 24

Brug diagrammet til at sammensætte og løse en ligning.Trin 48

Slide 25 ( bestemme med gæsterne )

(der er givet flere ligninger og et diagram) Hvilken ligning passer dette diagram til? Find og afgør.Trin 49

Slide 26, 27. 28, 29.

Løs ligninger, mens du tæller mentalt. Trin 50, 51, 52,53

Slide 30 (10 trin), 31

Tegning af betingelserne for problemet i henhold til ligningsdiagrammet.

Ny præsentation. (Seminar 2)

Modellering, mens ordproblemer løses (18 min)

Slide 1

Man kan ikke andet end at være enig i den opfattelse, at moderne uddannelse er en studerendes evne til at se på en virkelig livssituation fra en fysikers, kemikers, historikers, geografs perspektiv, slet ikke for at blive forsker på dette felt, men for efterfølgende at finde en løsning i konkrete livssituationer.

En yngre studerende kan blive en rigtig forsker ved at løse ordproblemer, når de underviser i matematik til yngre skolebørn.

En En af disse tilgange er dannelsen hos eleverne af evnen til at løse problemer af en bestemt type (f.eks. at løse problemer ved forskelssammenligning osv., når en bestemt type problem praktiseres).En anden er baseret på brug af semantisk og matematisk analyse af tekstproblemer, når problemet analyseres fra data til mål (syntetisk metode) og fra mål til data (analytisk).Tredje tilgang baseret på metoden til løsning af pædagogiske problemer. Dannelsen af ​​modelleringshandling forudsætter en kvalitativt anderledes dannelse af evnen til at løse ordproblemer.

Aritmetiske og algebraiske problemer i litteraturen kaldes også plotproblemer, fordi de indeholder altid en verbal beskrivelse af en eller anden begivenhed, fænomen, handling, proces. Teksten til ethvert plotproblem kan genskabes på en anden måde (fagmæssigt, grafisk, ved hjælp af tabeller, formler osv.), og dette er overgangen fra verbal modellering til andre former for modellering. Derfor, når vi arbejder med problemer, er vi meget opmærksomme på konstruktionen af ​​skematiske og symbolske modeller, såvel som evnen til at arbejde med segmenter, grafisk modellere et tekstproblem med deres hjælp, stille et spørgsmål, bestemme en algoritme til at løse og finde et svar. Yngre skolebørn har som bekendt ikke et tilstrækkeligt niveau af abstrakt tænkning. Og vores opgave er netop gradvist at lære ham at repræsentere specifikke objekter i form af en symbolsk model, for at hjælpe ham med at lære at oversætte et tekstproblem til matematisk sprog. Vi mener, at det er den grafiske modellering af et tekstproblem, der vigtigst af alt giver en reel mulighed for tydeligt at se og bestemme algoritmen til at løse det, og at foretage selvstændig refleksion over den udførte opgave.

Men ikke hver plade vil være en opgavemodel. For at bygge en model, for dens videre transformation, er det nødvendigt at vælge i problemetmål, givne mængder, alle relationer, så det med udgangspunkt i denne model er muligt at fortsætte analysen, så vi kan komme videre i løsningen og søge efter optimale løsninger. At løse ethvert problem ved hjælp af en aritmetisk metode er forbundet med valget af en aritmetisk operation, som et resultat af hvilken man kan besvare det stillede spørgsmål. For at lette søgningen efter en matematisk model er det nødvendigt at bruge en hjælpemodel.Slide 2 (kendskab til komponenterne i 1. klasse).

For at genskabe situationen i opgaveforholdene kan du bruge en skematisk tegning, som ville give en overgang fra opgaveteksten til korrelationen af ​​en bestemt aritmetisk operation på tal, hvilket bidrager til dannelsen af ​​en bevidst og stærk assimilering af den generelle måde at arbejde på opgaven på. Denne model giver eleven mulighed for at udvikle evnen til at forklare, hvordan han modtog svaret på spørgsmålet om problemet. Men en skematisk model er kun effektiv, hvis den er forståelig for enhver elev, og evnen til at oversætte en verbal model til et diagrams sprog er blevet udviklet. Når man lærer at løse simple additions- og subtraktionsproblemer, introduceres følgende begreber: helhed, del og deres sammenhæng.Slide 3. (2 trin)

For at finde en del skal du trække en anden del fra helheden.

For at finde helheden skal du tilføje delene.

Når du lærer at løse simple multiplikations- og divisionsproblemer, foreslås et diagram og tilsvarende regler:

For at finde helheden skal du gange målet med antallet af mål.

For at finde et mål skal du dividere hele tallet med antallet af mål.

For at finde antallet af mål skal du dividere helheden med målet.

Slide 4. (3 trin)

Denne tilgang til undervisning giver os mulighed for at bevæge os væk fra den gamle klassificering af simple opgaver. Det er vigtigt at afbilde dataene og det, der søges på en sådan måde, at sammenhængene mellem mængderne er klare nok. Tages i betragtning i problemet, og deres forhold.

Som eksempel vil jeg give flere tekstproblemer, og hvordan man løser dem ved hjælp af grafiske modeller.

Opgave 1Slide 5. (5 trin)

Der er 4 store og 5 små fisk i akvariet. Hvor mange fisk er der i alt i akvariet?

Øvelser til at komponere problemer og udtryk ud fra billeder (omvendte problemer)Slide 6. ( 8 trin)Slide 7.

Opgave 2Slide 8

Lena har 5 pærer. Og Misha har 4 mere end Lena. Hvor mange pærer har Misha?

Et eksempel på en opgave til at sammensætte opgaver ud fra et billede og skrive løsningen ned.Slide 9.

Opgave 3Slide 10. (5 trin)

Lena har 10 pærer. Dette er 3 mere end ferskner. Hvor mange ferskner har Lena?

Opgave 4.Slide 11 (4 trin).

Sasha købte 5 notesbøger til 8 UAH og en skitsebog til 33 UAH. Hvor mange penge betalte Sasha for købet?

Prisen på en notesbog er 8 UAH - dette er et enkelt segment (måling). Antallet af enhedssegmenter (5) angiver antallet af notebooks. Den anden del af segmentet afspejler prisen (33 UAH) og mængden (1) af albums.

Opgave 5.Slide 12 (7 trin).To måder at lave et diagram på. To løsninger

Anlægget har brug for 90 arbejdere: 50 drejere, 10 mekanikere, resten er læssere. Hvor mange flyttemænd er der brug for?

Slide 13 (3 trin)kompilering af et omvendt problem. HOLD OP

Teknikker til at arbejde med opgaver.

På familiariseringsstadiet bruger jeg følgende teknikker:

Forklaring af hver enkelt del af modellen.

Instruktioner til at bygge en model.

Modellering ved hjælp af vejledende spørgsmål og trin-for-trin implementering af ordningen.

På stadiet med at forstå den skematiske tegning bruger jeg følgende teknikker:

Formulering af opgaveteksten i henhold til det foreslåede plot og segmentdiagram.

Korrelation mellem et diagram og et numerisk udtryk.

Udfyldelse af skabelonen med opgavedata.

Finde fejl ved udfyldning af diagrammet.

Valg af en ordning for problemet.

Valg af en opgave til diagrammet.

Tilføjelse af opgavebetingelser.

Ændring af ordningen.

Ændring af betingelserne for problemet.

Ændring af opgaveteksten.

Resultatet af at lære at konstruere og forstå en skematisk tegning er elevernes uafhængige modellering af problemer.

Når vi løser ordproblemer, arbejder vi på at udvikle handlingen ved modellering, og omvendt, jo bedre barnet mestrer handlingen med modellering, jo lettere er det for ham at løse problemer.

Eleverne skal introduceres til forskellige metoder til løsning af ordproblemer: aritmetisk, algebraisk, geometrisk, logisk og praktisk; med forskellige typer matematiske modeller, der ligger til grund for hver metode; samt med forskellige løsninger indenfor den valgte metode. Løsning af ordproblemer giver rigt materiale til udvikling og uddannelse af elever. Korte bemærkninger om betingelserne for ordproblemer - eksempler på modeller brugt i det indledende matematikkursus. Metoden til matematisk modellering giver dig mulighed for at lære skolebørn:

a) analyse (på tidspunktet for at opfatte problemet og vælge vejen til at implementere løsningen);

b) etablering af relationer mellem genstandene for problemet, konstruering af det mest passende løsningsskema;

c) fortolkning af den opnåede løsning for det oprindelige problem;

d) udarbejdelse af opgaver vha. færdige modeller mv.

Præsentation, der arbejder med opgaverDias15-22 .

Kombinatorik på modeller fra 1. klasse

2. klasse

Arranger tallene 4, 6, 8 på forskellige måder:

I klasse 3-4

"Træ" (36 frokoster)

Foto fra notesbog

Brug af simuleringer til at lære nummerering, tilføje og trække tal og arbejde på længdeenheder (5 min)

Evnen til at omregne tal til regningsenheder og måleenheder volder oftest nogle vanskeligheder. Og her er det tilrådeligt at bruge modelleringsmetoden til at hjælpe. Ved at studere "Tiere"-koncentrationen lærer børn at gengive enheder skematisk ved hjælp af prikker.Slide 25. Lær at addere og trække fra ved hjælp af modeller.Slide 26. (7 trin)Slide 27.

Mens de lærer "The Hundred", skildrer børn tiere ved hjælp af små trekanter. De lærer at omregne tal til tælleenheder (dec. og enheder), og samtidig bliver børn fortrolige med centimeter og decimeter. Dette giver os mulighed for at tegne en analogi i konverteringen af ​​længdeenheder. De lærer også teknikker til at tilføje tocifrede tal ved hjælp af taldiagrammer.Slide 28

Mens de studerer "Tusind", vil børn lære, at vi konventionelt repræsenterer 10 trekanter (tiere) gange en stor trekant (100). Samtidig lærer børn en ny længdeenhed - meteren. Når vi omregner tal til tælleenheder, udfører vi lignende arbejde med længdeenheder.Slide 29 eksempel for nummer 342Slide 30 (5 trin)

Eksempel på tallet 320Slide 31 (6 trin)

Eksempel på nummer 302Slide 32 (8 trin)

Algoritmer.Slide 33 og 34(7 trin)

Anbefalinger til brug af modelleringsmetoden i matematiktimer (3 min)

Det er nødvendigt at forstå, at modellering i undervisningen ikke er ønskeligt, men nødvendigt, da det skaber betingelser for, at eleverne fuldt ud og fast kan mestre erkendelsesmetoder og metoder til pædagogisk aktivitet.

Hovedformålene med modellering i lektionen er:

opbygning af en model som en måde at konstruere en ny måde at handle på.

træning i at bygge en model baseret på en analyse af principperne og metoderne for dens konstruktion.

Husk, at de første lektioner er relateret til modellering, faktisk er de lektioner i at sætte en pædagogisk og praktisk opgave op. Problemet, som børn har, er, at de ikke har nok måder at vise generelle holdninger på. Hver gang en ny praktisk situation dukker op, definerer børn nye relationer – og igen opstår spørgsmålet om, hvordan man formidler det grafisk.

Sådanne "abstrakte opgaver" som at tegne et diagram ved hjælp af en formel, etablere et forhold mellem mængder, der er en del af flere formler osv. tilbyde, når relationer udforskes, informeres og vises i tegn og diagrammer gentagne gange. Bag modellen skal hvert barn have handlinger med rigtige objekter, som det nu er i stand til at udføre i sin fantasi (mentale handlinger).

Modellens plads til barnet bestemmes afhængigt af opgaven

Handlingen kan ledsages af en model. For eksempel hvis det er lettere at konstruere en metode på en model, som et trin i arbejdet med et tekstproblem (forholdet mellem mængder under læsning vises skematisk).

Modellen bygges efter handlingerne er gennemført. For at forstå den udførte handling er det nødvendigt at konstruere et diagram over et separat forhold. Konstruktionen af ​​et diagram er motiveret af spørgsmål som: "Hvordan gjorde du det?", "Hvordan ville du lære andre at udføre sådanne opgaver?

Og et par flere tips.

Du skal starte med at studere specialiseret litteratur. For eksempel er dette en metode til undervisning i matematik i grundskolen og lærebøger af E. Alexandrova, L. Peterson.

På forældremøder skal du sørge for at introducere forældre til metoden til at undervise deres børn. Dine råd og instruktioner kan være nyttige for dem.

Benyt enhver lejlighed til at deltage i mesterklasser om matematisk modellering.

Hvor jeg inviterer dig.

INTRODUKTION

Objekter i den materielle verden er komplekse og mangfoldige. At afspejle alle deres egenskaber i de billeder, der er skabt, studeret og brugt, er meget vanskeligt og ikke nødvendigt. Det er vigtigt, at billedet af objektet indeholder de funktioner, der er vigtigst for dets anvendelse.Modelleringsmetoden er udskiftning af en original genstand med en erstatningsgenstand, der har en vis lighed med originalen, for at opnå ny information vedr. den oprindelige. En model er et erstatningsobjekt for det originale objekt, designet til at indhente information om originalen.

Matematiske modeller refererer til symbolske modeller og repræsenterer en beskrivelse af objekter i form af matematiske symboler, formler og udtryk. Hvis du har en tilstrækkelig nøjagtig matematisk model, kan du bruge matematiske beregninger til at forudsige resultaterne af et objekts funktion under forskellige forhold og vælge fra en række mulige muligheder den, der giver de bedste resultater.

Dette papir giver typer af klassificering af matematiske modelleringsmetoder og beskriver nogle metoder:

Lineær programmering er en metode til matematisk modellering, der bruges til at finde den optimale fordeling af begrænsede ressourcer mellem konkurrerende job.

Simuleringsmodellering. Formålet med simuleringsmodellering er at reproducere opførselen af ​​det undersøgte system baseret på resultaterne af analysen af ​​de mest signifikante sammenhænge mellem dets elementer eller, med andre ord, at udvikle en simulator af det undersøgte emneområde til udførelse af forskellige eksperimenter .

Klassificering af matematiske modelleringsmetoder

På grund af de mange anvendte matematiske modeller er deres generelle klassificering vanskelig. I litteraturen gives som regel klassifikationer, som er baseret på forskellige tilgange og principper.

Efter hierarkisk niveau matematiske modeller er opdelt i modeller på mikroniveau, makroniveau og metaniveau. Matematiske modeller på mikroniveau af processen afspejler fysiske processer, der opstår, for eksempel ved skæring af metaller. De beskriver processer på overgangsniveau (passage).

Matematiske modeller på processens makroniveau beskriver teknologiske processer.

Matematiske modeller på meta-niveau af processen beskriver teknologiske systemer (sektioner, workshops, virksomheden som helhed).

Af arten af ​​objektets viste egenskaber modeller kan klassificeres i strukturelle og funktionelle

En strukturel model er, hvis den kan repræsenteres af en datastruktur eller datastrukturer og relationer mellem dem. Til gengæld kan en strukturel model være hierarkisk eller netværk.

Modellen er hierarkisk (trælignende), – hvis den kan repræsenteres af en eller anden hierarkisk struktur (træ); for eksempel, for at løse problemet med at finde en rute i et søgetræ, kan du bygge en træmodel vist i figur 1.

Figur 1 - Model af hierarkisk struktur.

Modellen er netværk - hvis den er repræsenteret af en eller anden netværksstruktur. For eksempel omfatter opførelsen af ​​et nyt hus forskellige operationer, der kan repræsenteres i form af en netværksmodel vist i figur 2.

Figur 2 - Netværksstrukturmodel.

En model er funktionel, hvis den kan repræsenteres som et system af funktionelle relationer. For eksempel er Newtons lov og modellen for produktion af varer funktionelle.

Ved at repræsentere objektegenskaber modeller er opdelt i analytisk, numerisk, algoritmisk og simulering.

Analytiske matematiske modeller er eksplicitte matematiske udtryk for outputparametre som funktioner af input og interne parametre og har unikke løsninger til enhver starttilstand. For eksempel er skære- (dreje)processen set fra de handlende kræfters synspunkt en analytisk model. Også en andengradsligning, der har en eller flere løsninger, vil være en analytisk model. Modellen vil være numerisk, hvis den har løsninger under specifikke begyndelsesbetingelser (differential-, integralligninger).

En model er algoritmisk, hvis den er beskrevet af en eller anden algoritme eller et sæt af algoritmer, der bestemmer dens funktion og udvikling. Introduktionen af ​​denne type model (det ser faktisk ud til, at enhver model kan repræsenteres af en algoritme til dens undersøgelse) er ret berettiget, da ikke alle modeller kan studeres eller implementeres algoritmisk. For eksempel kan en model til beregning af summen af ​​en uendeligt faldende række af tal være en algoritme til at beregne den endelige sum af en serie med en vis specificeret grad af nøjagtighed. En algoritmisk model af kvadratroden af ​​et tal X kan være en algoritme til at beregne dens omtrentlige, vilkårligt nøjagtige værdi ved hjælp af en kendt tilbagevendende formel.

En simuleringsmodel er, hvis den er beregnet til at teste eller studere mulige udviklings- og adfærdsveje for et objekt ved at variere nogle eller alle modellens parametre, for eksempel en model af et økonomisk system til produktion af to typer varer. En sådan model kan bruges som en simuleringsmodel til at bestemme og variere de samlede omkostninger afhængigt af visse værdier af mængden af ​​producerede varer.

Efter modtagelsesmetode modeller er opdelt i teoretiske og empiriske.Teoretiske matematiske modeller skabes som et resultat af at studere objekter (processer) på et teoretisk niveau. For eksempel er der udtryk for skærende kræfter opnået ud fra en generalisering af fysiske love. Men de er uacceptable til praktisk brug, fordi de er meget besværlige og ikke helt tilpasset rigtige processer. Empiriske matematiske modeller skabes som et resultat af at udføre eksperimenter (studere de ydre manifestationer af et objekts egenskaber ved at måle dets parametre ved input og output) og behandle deres resultater ved hjælp af metoder til matematisk statistik.

Ifølge formen for repræsentation af objektegenskaber modeller er opdelt i logisk, mængdeteoretisk og graf. En model er logisk, hvis den kan repræsenteres af prædikater og logiske funktioner; for eksempel kan et sæt af to logiske funktioner tjene som en matematisk model af en en-bit adder. En model er mængdeteoretisk, hvis den kan repræsenteres ved hjælp af bestemte sæt og relationer af medlemskab til dem og mellem dem. En grafmodel er, hvis den kan repræsenteres af en eller flere grafer og relationerne mellem dem.

Alt efter graden af ​​stabilitet. modeller kan opdeles i stabile og ustabile. Et stabilt system er et, der, efter at være blevet fjernet fra sin oprindelige tilstand, plejer det. Det kan svinge et stykke tid omkring udgangspunktet, som et almindeligt pendul, der er sat i gang, men forstyrrelserne i det forsvinder med tiden og forsvinder.I et ustabilt system, som i starten er i hvile, forstærkes den resulterende forstyrrelse, hvilket medfører en stigning i værdierne af de tilsvarende variable eller deres svingninger med stigende amplitude

I forhold til eksterne faktorer modeller kan opdeles i åbne og lukkede. En lukket model er en model, der fungerer uden sammenhæng med eksterne (eksogene) variable. I en lukket model er ændringer i variables værdier over tid bestemt af den interne interaktion mellem variablerne selv. En model med lukket sløjfe kan afsløre et systems opførsel uden at introducere en ekstern variabel. Eksempel: feedbackinformationssystemer er lukkede systemer. De er selvjusterende systemer, og deres karakteristika stammer fra den interne struktur og interaktioner, der afspejler ekstern informationsinput. En model forbundet med eksterne (eksogene) variable kaldes åben.

I forhold til tidsfaktoren modeller er opdelt i dynamisk og statisk.En model kaldes statisk, hvis der ikke er en tidsparameter blandt de parametre, der er involveret i dens beskrivelse. En model kaldes en dynamisk model, hvis der blandt dens parametre er en tidsparameter, dvs. den viser systemet (processer i systemet) i tid. samtidigt.

Lineær programmering

Blandt matematiske programmeringsproblemer er de enkleste (og bedst undersøgte) de såkaldte lineære programmeringsproblemer. Det karakteristiske for dem er:

a) effektivitetsindikator (objektiv funktion) W afhænger lineært af løsningselementerne x 1, x 2, ....., x n og

b) restriktioner pålagt elementerne i løsningen har form af lineære ligheder eller uligheder med hensyn til x 1, x 2, ..., x n

Sådanne problemer støder man ret ofte på i praksis, for eksempel ved løsning af problemer i forbindelse med ressourcefordeling, produktionsplanlægning, organisering af transport osv. Dette er naturligt, da "udgifter" og "indtægter" i mange praktiske problemer lineært afhænger af antallet af købte eller bortskaffede varer (f.eks. afhænger de samlede omkostninger ved et vareparti lineært af antallet af indkøbte enheder; betaling for transport sker i forhold til vægten af ​​de transporterede varer osv.).

Ethvert lineært programmeringsproblem kan reduceres til en standardform, det såkaldte "basic linear programming problem" (OBLP), som er formuleret som følger: find ikke-negative værdier af variablerne x 1, x 2, .. ., x n, der ville opfylde lighedsbetingelserne (1).

Det tilfælde, hvor f skal drejes ikke til et maksimum, men til c. minimumet kan nemt reduceres til det foregående, hvis vi blot ændrer tegnet for f til det modsatte (maksimer ikke f, men f" = - f). Derudover kan man fra alle ulighedsforhold gå over til lighedsbetingelser for prisen at indføre nye yderligere variabler.

Afhængig af typen af ​​objektiv funktion og restriktioner kan der skelnes mellem flere typer lineære programmeringsproblemer eller lineære modeller: generelt lineært problem, transportproblem, tildelingsproblem.

Transportproblemet (Monge-Kantorovich-problemet) er et matematisk lineært programmeringsproblem af en speciel type, der handler om at finde den optimale fordeling af homogene objekter fra akkumulatoren til modtagerne og samtidig minimere omkostningerne ved bevægelse. For at lette forståelsen betragtes det som et problem med den optimale plan for transport af varer fra afgangssteder til forbrugssteder med minimale transportomkostninger.

Opgaveproblemet er formuleret som følger:

Der er et vist antal værker og et vist antal udøvende. Enhver kunstner kan tildeles et hvilket som helst (men kun ét) job, men til ulige omkostninger. Det er nødvendigt at fordele arbejdet for at fuldføre arbejdet med minimale omkostninger. Hvis antallet af job og udførende er sammenfaldende, kaldes problemet et lineært tildelingsproblem.

Der er flere måder at løse et lineært programmeringsproblem på, især den grafiske metode og simpleksmetoden. Den grafiske metode er baseret på den geometriske fortolkning af et lineært programmeringsproblem og bruges til at løse problemer i todimensionelt rum. Problemer med tredimensionelt rum løses meget sjældent, fordi at konstruere deres løsning er ubelejligt og mangler klarhed. Lad os overveje metoden ved at bruge eksemplet på et todimensionelt problem.

Find en løsning X = (x 1,x 2), der opfylder ulighedssystemet (3)

(3)

6x 1 +7x 2 ≤42

hvor værdien af ​​målfunktionen F = 2x 1 x 2 når sit maksimum.

Lad os konstruere på planet i det kartesiske rektangulære koordinatsystem x 1 Ox 2 området med mulige løsninger på problemet.

Hver af de konstruerede lige linjer deler planet i to halvplaner. Koordinaterne for punkterne i det ene halvplan opfylder den oprindelige ulighed, men det gør det andet ikke. For at bestemme det ønskede halvplan skal du tage et punkt, der hører til et af halvplanerne, og kontrollere, om dets koordinater opfylder denne ulighed. Hvis koordinaterne for et taget punkt opfylder denne ulighed, så er det ønskede halvplan det halvplan, som dette punkt tilhører. Ellers endnu et halvt fly.

Lad os finde halvplanet defineret af uligheden x 1 -x 2 ≥-3. For at gøre dette, efter at have konstrueret en ret linje (I) x 1 -x 2 =-3, tager vi et punkt, der tilhører en af ​​de to resulterende halvplaner, for eksempel punkt O(0,0). Koordinaterne for dette punkt opfylder uligheden x 1 -x 2 ≥-3. Det betyder, at det halvplan, som punktet O(0,0) hører til, er bestemt af uligheden x 1 -x 2 ≥-3.

Lad os nu finde halvplanet defineret af uligheden 6x1+7x 2 ≤42.

Vi bygger linje II 6x 1 +7x 2 =42. Koordinaterne til punktet O(0,0) opfylder uligheden 6x 1 + 7x 2 ≤42, hvilket betyder, at den påkrævede halvplan vil være den anden.

Nu leder vi efter et halvplan for uligheden 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Koordinaterne til punktet O(0,0) opfylder ulighederne 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Følgelig bestemmes halvplanet, som punktet O(0,0) tilhører, af uligheden 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (Linje III).

Og halvplanet for uligheden x 1 + x 2 ≥4. Koordinaterne til punktet O(0,0) opfylder uligheden x 1 + x 2 ≥4 (lige IV). Derfor er den rette linje x 1 + x 2 =4 bestemt af det første halvplan.

Ulighederne x 1 ≥0 og x 2 ≥0 betyder, at løsningsområdet vil være placeret til højre for ordinataksen og over abscisseaksen. Således vil det skraverede område ABCD i figur 3 være området for mulige løsninger bestemt af problemets begrænsninger. Objektivfunktionen tager sin maksimale værdi ved et af hjørnerne af ABCD-figuren. For at bestemme dette toppunkt konstruerer vi en vektor C (2; -1) og en ret linje 2x 1 -x 2 =p, hvor p er en konstant sådan, at den rette linje 2x 1 -x 2 =p har fælles punkter med løsningspolygon. Lad os f.eks. sætte p=1/2 og konstruere en ret linje 2 x 1 -x 2 =1/2. Dernæst vil vi flytte den konstruerede linje i vektorens retning, indtil den passerer gennem sit sidste fælles punkt med løsningspolygonen. Koordinaterne for det angivne punkt bestemmer den optimale plan for denne opgave.

Figur 3 viser, at det sidste fælles punkt på den rette linje 2x 1 -x 2 =p med løsningspolygonen er punktet A. Dette punkt er skæringspunktet mellem rette linjer II og III, så dets koordinater findes som en løsning til systemet af ligninger, der definerer disse rette linjer:

(4)

6x1 +7x2 =42

I dette tilfælde er værdien af ​​objektivfunktionen F = 2 x 1 -x 2 = 2* 5,25 – 1 *1,5 = 9.

Punkt B vil være den optimale løsning på problemet X opt = (x 1 opt, x 2 opt), og dets koordinater vil være lig med x 1 opt = 5,25, x 2 opt = 1,5.

Figur 3 - Region for mulige løsninger på problemet

Simplex - metode

Denne metode er en metode til målrettet opregning af referenceløsninger til et lineært programmeringsproblem. Det giver mulighed for, i et begrænset antal trin, enten at finde en optimal løsning eller at fastslå, at der ikke er nogen optimal løsning.

1) Angiv en metode til at finde den optimale referenceløsning.

2) Angiv metoden til overgang fra en referenceløsning til en anden, ved hvilken værdien af ​​den objektive funktion vil være tættere på den optimale, dvs. angive en måde at forbedre referenceløsningen på.

3) Sæt kriterier, der giver dig mulighed for omgående at stoppe med at søge efter supportløsninger ved den optimale løsning eller lave en konklusion om fraværet af en optimal løsning.

For at løse et problem ved hjælp af simplex-metoden skal du gøre følgende:

1) Bring problemet til kanonisk form.

2) Find den indledende supportløsning med et "enhedsgrundlag" (hvis der ikke er nogen supportløsning, så har problemet ingen løsning på grund af inkompatibiliteten af ​​systemet af begrænsninger).

3) Beregn estimater af vektornedbrydninger baseret på referenceopløsningen og udfyld simplexmetodens tabel.

4) Hvis kriteriet for den optimale løsnings unikke karakter er opfyldt, slutter løsningen af ​​problemet. Hvis betingelsen for eksistensen af ​​et sæt af optimale løsninger er opfyldt, så findes alle optimale løsninger ved simpel opregning.

Den beregningsmæssige effektivitet af matematiske metoder vurderes normalt ved hjælp af to parametre:

1) Antallet af iterationer, der kræves for at opnå en løsning;

2) Computer tidsforbrug.

Som et resultat af numeriske eksperimenter blev følgende resultater opnået for simplex-metoden:

1) Antallet af iterationer ved løsning af lineære programmeringsproblemer i standardform med begrænsninger og variable er mellem og . Gennemsnitligt antal iterationer. Den øvre grænse for antallet af iterationer er .

2) Den nødvendige maskintid er proportional med .

Antallet af begrænsninger har større indflydelse på beregningseffektiviteten end antallet af variable, og derfor bør man, når man formulerer lineære programmeringsproblemer, stræbe efter at reducere antallet af begrænsninger, selv ved at øge antallet af variable.

Grundlæggende begreber i simuleringsmetoden.

Udtrykket "simuleringsmodellering" ("simuleringsmodel") betyder normalt at beregne værdierne af visse karakteristika ved en proces, der udvikler sig over tid ved at gengive strømmen af ​​denne proces på en computer ved hjælp af dens matematiske model, og det er enten umuligt eller ekstremt svært at opnå de ønskede resultater på andre måder. At gengive strømmen af ​​en proces på en computer ved hjælp af en matematisk model kaldes normalt et simuleringseksperiment.

Simuleringsmodeller tilhører klassen af ​​modeller, der er et system af relationer mellem karakteristikaene ved den proces, der beskrives. Disse karakteristika er opdelt i interne ("endogene", "fasevariabler") og eksterne ("eksogene", "parametre"). Omtrent interne karakteristika er dem, hvis værdier er beregnet til at blive kendt ved hjælp af matematiske modelleringsværktøjer; ekstern - dem, som de interne egenskaber væsentligt afhænger af, men den omvendte afhængighed (med praktisk acceptabel nøjagtighed) forekommer ikke.

En model, der er i stand til at forudsige værdierne af interne karakteristika, skal være lukket ("lukket model") i den forstand, at dens relationer tillader en at beregne interne karakteristika givet kendte eksterne. Proceduren til at bestemme en models ydre karakteristika kaldes dens identifikation eller kalibrering. Matematiske modeller af den beskrevne klasse (disse inkluderer simuleringsmodeller) definerer en kortlægning, der gør det muligt at opnå værdierne af interne fra kendte værdier af eksterne karakteristika. I det følgende vil denne kortlægning blive kaldt den kortlægning, der er knyttet til modellen.

Modellerne for den undersøgte klasse er baseret på postulatet om uafhængigheden af ​​eksterne karakteristika fra interne, og modellens relationer er en form for registrering af den kortlægning, der er forbundet med den. Som vist i figur 4 beskæftiger forskeren sig under simuleringsprocessen med fire hovedelementer:

Rigtigt system;

Logisk-matematisk model af det simulerede objekt;

Simulering (maskine) model;

Computeren, som simuleringen udføres på, er et rettet beregningseksperiment.

Forskeren studerer et rigtigt system, udvikler en logisk-matematisk model af et rigtigt system. Studiets simuleringskarakter forudsætter tilstedeværelsen af ​​logiske eller logisk-matematiske modeller, der beskriver den proces, der studeres. Ovenfor blev et rigtigt system defineret som et sæt af interagerende elementer, der fungerer over tid. Den sammensatte natur af et komplekst system beskriver repræsentationen af ​​dets model i form af tre sæt: A, S, T, hvor
A – et sæt elementer (inklusive det ydre miljø);
S – sæt af tilladte forbindelser mellem elementer (modelstruktur);
T er det sæt af tidspunkter, der tages i betragtning.

Figur 4 Simuleringsproces

Et træk ved simuleringsmodellering er, at simuleringsmodellen giver dig mulighed for at reproducere de simulerede objekter:

Mens de bevarer deres logiske struktur;

Med bevarelse af adfærdsmæssige egenskaber (sekvens af vekslen i tidspunkt for hændelser, der opstår i systemet), dvs. dynamik i interaktioner.

Ved simuleringsmodellering vises strukturen af ​​det simulerede system tilstrækkeligt i modellen, og processerne for dets funktion udspilles (simuleres) på den konstruerede model. Derfor består konstruktionen af ​​en simuleringsmodel i at beskrive strukturen og funktionsprocesserne for det modellerede objekt eller system.

Der er simuleringsmodeller:

Sammenhængende;

Diskret;

Kontinuerligt-diskret.

I kontinuerlige simuleringsmodeller ændres variabler kontinuerligt, det simulerede systems tilstand ændres som en kontinuerlig funktion af tiden, og som regel beskrives denne ændring af differentialligningssystemer. Følgelig afhænger udviklingen af ​​modeltid af numeriske metoder til løsning af differentialligninger. I diskrete simuleringsmodeller ændres variabler diskret på bestemte tidspunkter af simuleringstiden (forekomsten af ​​hændelser).

Dynamikken i diskrete modeller er overgangsprocessen fra tidspunktet for begyndelsen af ​​den næste begivenhed til tidspunktet for begyndelsen af ​​den næste begivenhed. Da kontinuerlige og diskrete processer ofte ikke kan adskilles i virkelige systemer, er der udviklet kontinuert-diskrete modeller, der kombinerer de tidsfremskridtsmekanismer, der er karakteristiske for disse to processer.

Simuleringsmetoden giver dig mulighed for at løse problemer med høj kompleksitet, giver simulering af komplekse og forskelligartede processer med et stort antal elementer. Individuelle funktionelle afhængigheder i sådanne modeller kan beskrives ved besværlige matematiske sammenhænge. Derfor er simuleringsmodellering effektivt brugt i problemer med at studere systemer med en kompleks struktur for at løse specifikke problemer. Simuleringsmodellen indeholder elementer af kontinuerlig og diskret handling, derfor bruges den til at studere dynamiske systemer, når en analyse af flaskehalse er påkrævet, en undersøgelse af dynamikken i funktion, når det er ønskeligt at observere fremskridt i en proces på en simulering model over en vis tid.

Simuleringsmodellering er et effektivt værktøj til at studere stokastiske systemer, når det undersøgte system kan påvirkes af talrige tilfældige faktorer af kompleks karakter. Det er muligt at udføre forskning under usikkerhed, med ufuldstændige og unøjagtige data. Simuleringsmodellering er en vigtig faktor i beslutningsstøttesystemer, fordi... giver dig mulighed for at udforske et stort antal alternativer (løsningsmuligheder), afspille forskellige scenarier for alle inputdata.

Den største fordel ved simuleringsmodellering er, at forskeren altid kan få svar på spørgsmålet "Hvad vil der ske, hvis?" for at teste nye strategier og træffe beslutninger, når de studerer mulige situationer. En simuleringsmodel gør det muligt at lave forudsigelser, når det kommer til systemet, der designes, eller når udviklingsprocesser studeres (det vil sige i tilfælde, hvor det rigtige system endnu ikke eksisterer). Simuleringsmodellen kan give forskellige, herunder høje, detaljeringsniveauer for de simulerede processer. I dette tilfælde skabes modellen trin for trin, evolutionært.

BIBLIOGRAFI

1. Blinov, Yu.F. Metoder til matematisk modellering [Tekst]: Elektronisk lærebog / Yu.F. Blinov, V.V. Ivantsov, P.V. serbisk – Taganrog: TTI SFU, 2012. – 42 s.

2. Ventzel, E.S. Operationsforskning. Mål, principper, metode. [Tekst]: Lærebog / E.S. Ventzel - M.: KNORUS, 2010. - 192 s.

3. Getmanchuk, A. V. Økonomiske og matematiske metoder og modeller [Tekst]: Lærebog for bachelorer. / A.V. Getmanchuk - M.: Forlags- og handelsselskab "Dashkov and Co", 2013. -188 s.

4. Zamyatina, O.M. Systemmodellering. [Tekst]: Træningsvejledning. / O.M. Zamyatin - Tomsk: TPU Publishing House, 2009. - 204 s.

5. Pavlovsky, Yu.N. Simuleringsmodellering. [Tekst]: lærebog for universitetsstuderende / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I. Brodsky - M.: Publishing Center "Academy", 2008. - 236 s.

Matematisk model- en omtrentlig beskrivelse af modelleringsobjektet, udtrykt ved hjælp af matematiske symboler.

Matematiske modeller dukkede op sammen med matematik for mange århundreder siden. Fremkomsten af ​​computere gav en enorm impuls til udviklingen af ​​matematisk modellering. Brugen af ​​computere har gjort det muligt at analysere og anvende i praksis mange matematiske modeller, som tidligere ikke var tilgængelige for analytisk forskning. Computer-implementeret matematisk model hedder computer matematisk model, A udføre målrettede beregninger ved hjælp af en computermodel hedder beregningseksperiment.

Stadierne af computermatematisk modellering er vist i figuren. Første etape- fastlæggelse af modelleringsmål. Disse mål kan være forskellige:

1) en model er nødvendig for at forstå, hvordan et specifikt objekt er opbygget, hvad dets struktur er, dets grundlæggende egenskaber, udviklingslovene og interaktion med omverdenen (forståelse);

2) en model er nødvendig for at lære at styre et objekt (eller proces) og bestemme de bedste ledelsesmetoder for givne mål og kriterier (ledelse);

3) modellen er nødvendig for at forudsige de direkte og indirekte konsekvenser af implementeringen af ​​givne metoder og former for indflydelse på objektet (forecasting).

Lad os forklare med eksempler. Lad genstanden for undersøgelsen være samspillet mellem en strøm af væske eller gas med et legeme, der er en hindring for denne strøm. Erfaringen viser, at kraften af ​​modstand mod strømning fra kroppens side stiger med stigende strømningshastighed, men ved en tilstrækkelig høj hastighed aftager denne kraft brat for igen at øges med en yderligere stigning i hastigheden. Hvad forårsagede faldet i modstandskraften? Matematisk modellering giver os mulighed for at få et klart svar: i øjeblikket med et brat fald i modstand begynder hvirvlerne, der dannes i strømmen af ​​væske eller gas bag det strømlinede legeme, at bryde væk fra det og føres væk af strømmen.

Et eksempel fra et helt andet område: populationer af to arter af individer, der fredeligt havde sameksisteret med stabile tal og havde en fælles fødeforsyning, begynder "pludselig" at ændre deres antal kraftigt. Og her tillader matematisk modellering (med en vis grad af pålidelighed) at fastslå årsagen (eller i det mindste afkræfte en bestemt hypotese).

Udvikling af et koncept til styring af et objekt er et andet muligt mål med modellering. Hvilken flytype skal jeg vælge for at sikre, at flyvningen er sikker og mest økonomisk rentabel? Hvordan planlægges hundredvis af typer arbejde på opførelsen af ​​et stort anlæg, så det afsluttes på kortest mulig tid? Mange sådanne problemer opstår systematisk foran økonomer, designere og videnskabsmænd.

Endelig kan forudsigelse af konsekvenserne af visse påvirkninger på et objekt være både en relativt enkel sag i simple fysiske systemer og ekstremt kompleks - på grænsen til gennemførlighed - i biologiske, økonomiske og sociale systemer. Selvom det er relativt nemt at besvare spørgsmålet om ændringer i varmefordelingsmåden i en tynd stang på grund af ændringer i dens bestanddele, er det usammenlignelig sværere at spore (forudsige) de miljømæssige og klimatiske konsekvenser af konstruktionen af ​​en stor vandkraftværk eller de sociale konsekvenser af ændringer i skattelovgivningen. Måske også her vil matematiske modelleringsmetoder yde mere væsentlig hjælp i fremtiden.

Anden fase: bestemmelse af input- og outputparametre for modellen; opdeling af inputparametre efter graden af ​​betydning af deres ændringers indflydelse på outputtet. Denne proces kaldes rangordning eller adskillelse efter rang (se . “Formalisering og modellering”).

Tredje etape: konstruktion af en matematisk model. På dette stadie er der en overgang fra en abstrakt formulering af modellen til en formulering, der har en specifik matematisk repræsentation.

Matematisk model- disse er ligninger, ligningssystemer, ulighedssystemer, differentialligninger eller systemer af sådanne ligninger osv.

Fjerde etape: valg af metode til at studere en matematisk model. Oftest anvendes her numeriske metoder, som egner sig godt til programmering. Som regel er flere metoder egnede til at løse det samme problem, forskellige i nøjagtighed, stabilitet osv. Succesen af ​​hele modelleringsprocessen afhænger ofte af det rigtige valg af metode.

Femte etape: udvikling af en algoritme, kompilering og fejlretning af et computerprogram er en vanskelig proces at formalisere. Blandt programmeringssprogene foretrækker mange fagfolk FORTRAN til matematisk modellering: både på grund af traditioner og på grund af den uovertrufne effektivitet af compilere (til beregningsarbejde) og tilgængeligheden af ​​enorme, omhyggeligt debuggede og optimerede biblioteker af standardprogrammer til matematiske metoder skrevet i det . Sprog som PASCAL, BASIC, C er også i brug, afhængigt af opgavens art og programmørens tilbøjeligheder.

Sjette etape: programtest. Funktionen af ​​programmet testes på et testproblem med et tidligere kendt svar. Dette er kun begyndelsen på en testprocedure, der er svær at beskrive på en formelt dækkende måde. Typisk slutter testning, når brugeren ud fra sine faglige karakteristika anser programmet for korrekt.

Syvende etape: det egentlige beregningseksperiment, hvorunder det afgøres, om modellen svarer til et virkeligt objekt (proces). Modellen er tilstrækkeligt tilstrækkelig til den virkelige proces, hvis nogle karakteristika ved processen opnået på en computer falder sammen med de eksperimentelt opnåede karakteristika med en given grad af nøjagtighed. Hvis modellen ikke svarer til den virkelige proces, vender vi tilbage til et af de foregående stadier.

Klassificering af matematiske modeller

Klassificeringen af ​​matematiske modeller kan baseres på forskellige principper. Du kan klassificere modeller efter videnskabsgrene (matematiske modeller i fysik, biologi, sociologi osv.). Kan klassificeres efter det anvendte matematiske apparat (modeller baseret på brug af almindelige differentialligninger, partielle differentialligninger, stokastiske metoder, diskrete algebraiske transformationer osv.). Endelig, hvis vi går ud fra de generelle problemer med modellering i forskellige videnskaber, uanset det matematiske apparat, er følgende klassificering mest naturlig:

· beskrivende (beskrivende) modeller;

· optimeringsmodeller;

· multikriteriemodeller;

· spilmodeller.

Lad os forklare dette med eksempler.

Beskrivende (beskrivende) modeller. For eksempel udføres modellering af bevægelsen af ​​en komet, der har invaderet solsystemet, for at forudsige dens flyvevej, den afstand, hvormed den vil passere fra Jorden osv. I dette tilfælde er modelleringsmålene af beskrivende natur, da der ikke er nogen måde at påvirke kometens bevægelse eller ændre noget i den.

Optimeringsmodeller bruges til at beskrive processer, der kan påvirkes i et forsøg på at nå et givent mål. I dette tilfælde indeholder modellen en eller flere parametre, der kan påvirkes. For eksempel, når du ændrer det termiske regime i et kornmagasin, kan du sætte dig som mål at vælge et regime, der vil opnå maksimal kornsikkerhed, dvs. optimere lagringsprocessen.

Multikriterie modeller. Det er ofte nødvendigt at optimere en proces langs flere parametre samtidigt, og målene kan være ret modstridende. For eksempel ved at kende priserne på mad og en persons behov for mad, er det nødvendigt at organisere ernæring for store grupper af mennesker (i hæren, børns sommerlejr osv.) fysiologisk korrekt og samtidig lige så billigt som muligt. Det er klart, at disse mål slet ikke er sammenfaldende, dvs. Ved modellering vil der blive brugt flere kriterier, mellem hvilke der skal søges balance.

Spil modeller kan relatere sig ikke kun til computerspil, men også til meget alvorlige ting. For eksempel, før et slag, skal en kommandør, hvis der er ufuldstændig information om den modsatte hær, udvikle en plan: i hvilken rækkefølge at indføre visse enheder i kamp osv., under hensyntagen til fjendens mulige reaktion. Der er en særlig gren af ​​moderne matematik - spilteori - der studerer metoder til beslutningstagning under forhold med ufuldstændig information.

På skolens datamatikerforløb får eleverne en indledende forståelse af computermatematisk modellering som en del af grundforløbet. I gymnasiet kan matematisk modellering studeres i dybden i et almen uddannelsesforløb for fysik- og matematikklasser, samt som en del af et specialiseret valgfag.

De vigtigste former for undervisning i computermatematisk modellering i gymnasiet er forelæsninger, laboratorie- og testklasser. Typisk tager arbejdet med at skabe og forberede sig på at studere hver ny model 3-4 lektioner. Under præsentationen af ​​materialet opstilles problemer, som skal løses af eleverne selvstændigt i fremtiden, og måder at løse dem på skitseres i generelle vendinger. Der formuleres spørgsmål, som skal indhentes svar på ved udfyldelse af opgaver. Yderligere litteratur er angivet, der giver dig mulighed for at få hjælpeoplysninger til mere vellykket gennemførelse af opgaver.

Formen for tilrettelæggelse af klasser, når man studerer nyt materiale, er normalt en forelæsning. Efter at have afsluttet diskussionen af ​​den næste model, har eleverne den nødvendige teoretiske information og et sæt opgaver til deres videre arbejde. Som forberedelse til at løse en opgave vælger eleverne en passende løsningsmetode og tester det udviklede program ved hjælp af en velkendt privat løsning. I tilfælde af ganske mulige vanskeligheder ved udførelse af opgaver afgives høring, og der foreslås at studere disse afsnit nærmere i litterære kilder.

Den mest passende til den praktiske del af undervisningen i computermodellering er projektmetoden. Opgaven er formuleret for den studerende i form af et pædagogisk projekt og udføres over flere lektioner, hvor den primære organisationsform er computerlaboratoriearbejde. Undervisning i modellering ved hjælp af pædagogisk projektmetode kan implementeres på forskellige niveauer.
Først- en problematisk præsentation af processen med at gennemføre projektet, ledet af læreren.
Anden- implementering af projektet af studerende under vejledning af læreren.
Tredje- selvstændig implementering af studerende af et pædagogisk forskningsprojekt.

Resultaterne af arbejdet skal præsenteres i numerisk form, i form af grafer og diagrammer. Hvis det er muligt, præsenteres processen på computerskærmen i dynamik. Efter afslutning af beregningerne og modtagelse af resultaterne analyseres de, sammenlignes med kendte fakta fra teorien, pålideligheden bekræftes og der foretages en meningsfuld fortolkning, som efterfølgende afspejles i en skriftlig rapport.

Hvis resultaterne tilfredsstiller eleven og læreren, betragtes arbejdet som afsluttet, og dets sidste fase er udarbejdelsen af ​​en rapport. Rapporten indeholder kort teoretisk information om det emne, der undersøges, en matematisk formulering af problemet, en løsningsalgoritme og dens begrundelse, et computerprogram, programmets resultater, analyse af resultaterne og konklusionerne samt en referenceliste.

Når alle rapporterne er blevet samlet, giver eleverne i løbet af prøvetimen korte rapporter om det udførte arbejde og forsvarer deres projekt. Dette er en effektiv form for rapport fra gruppen, der udfører projektet til klassen, herunder opstilling af problemet, opbygning af en formel model, valg af metoder til at arbejde med modellen, implementering af modellen på en computer, arbejde med den færdige model, fortolkning resultaterne og lave forudsigelser. Som et resultat kan eleverne modtage to karakterer: den første - for udarbejdelsen af ​​projektet og succesen med dets forsvar, den anden - for programmet, optimaliteten af ​​dets algoritme, grænseflade osv. Eleverne får også karakterer under teoriquizzer.

Et væsentligt spørgsmål er, hvilke værktøjer man skal bruge i et skoledatalogi-kursus til matematisk modellering? Computerimplementering af modeller kan udføres:

· ved hjælp af en regnearksprocessor (normalt MS Excel);

· ved at skabe programmer på traditionelle programmeringssprog (Pascal, BASIC osv.), såvel som i deres moderne versioner (Delphi, Visual Basic for Application osv.);

· brug af specielle applikationspakker til løsning af matematiske problemer (MathCAD osv.).

På grundskoleniveau synes den første metode at være mere at foretrække. Men i gymnasiet, når programmering sammen med modellering er et nøgleemne i datalogi, er det tilrådeligt at bruge det som et modelleringsværktøj. Under programmeringsprocessen bliver detaljer om matematiske procedurer tilgængelige for eleverne; Desuden er de simpelthen tvunget til at mestre dem, og det bidrager også til matematisk uddannelse. Hvad angår brugen af ​​specielle softwarepakker, er dette passende i et specialiseret datalogisk kursus som supplement til andre værktøjer.