En vektor vinkelret på to vektorer. At finde en vektor vinkelret på en given vektor, eksempler og løsninger

ohm For at gøre dette introducerer vi først begrebet et segment.

Definition 1

Vi vil kalde et segment for en del af en linje, der er afgrænset af punkter på begge sider.

Definition 2

Enderne af et segment er de punkter, der begrænser det.

For at introducere definitionen af en vektor kalder vi en af enderne af segmentet for begyndelsen.

Definition 3

Vi vil kalde en vektor (dirigeret segment) et segment, hvori det er angivet, hvilket grænsepunkt der er dens begyndelse, og hvilket er dets ende.

Notation: \overline(AB) er en vektor AB, der starter ved punkt A og slutter ved punkt B.

Ellers med et lille bogstav: \overline(a) (fig. 1).

Definition 4

Vi vil kalde nulvektoren ethvert punkt, der hører til planet.

Symbol: \overline(0) .

Lad os nu introducere direkte definitionen af kollineære vektorer.

Vi vil også introducere definitionen af et skalært produkt, som vi får brug for senere.

Definition 6

Skalarproduktet af to givne vektorer er et skalartal (eller tal), der er lig med produktet af længderne af disse to vektorer med cosinus af vinklen mellem disse vektorer.

Matematisk kan det se sådan ud:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Prikproduktet kan også findes ved at bruge vektorernes koordinater som følger

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Tegn på vinkelrethed gennem proportionalitet

Sætning 1

For at vektorer, der ikke er nul, kan være vinkelrette på hinanden, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at deres skalarprodukt af disse vektorer er lig med nul.

Bevis.

Nødvendighed: Lad os få vektorer \overline(α) og \overline(β), der har koordinater (α_1,α_2,α_3) henholdsvis (β_1,β_2,β_3), og de er vinkelrette på hinanden. Så skal vi bevise følgende lighed

Da vektorerne \overline(α) og \overline(β) er vinkelrette, er vinklen mellem dem 90^0. Lad os finde skalarproduktet af disse vektorer ved hjælp af formlen fra definition 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Tilstrækkelighed: Lad ligestillingen være sand \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Lad os bevise, at vektorerne \overline(α) og \overline(β) vil være vinkelrette på hinanden.

Per definition 6 vil ligheden være sand

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Derfor vil vektorerne \overline(α) og \overline(β) være vinkelrette på hinanden.

Sætningen er blevet bevist.

Eksempel 1

Bevis at vektorer med koordinater (1,-5,2) og (2,1,3/2) er vinkelrette.

Bevis.

Lad os finde skalarproduktet for disse vektorer ved at bruge formlen ovenfor

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Det betyder, ifølge sætning 1, at disse vektorer er vinkelrette.

At finde en vinkelret vektor på to givne vektorer ved hjælp af krydsproduktet

Lad os først introducere begrebet et vektorprodukt.

Definition 7

Vektorproduktet af to vektorer vil være en vektor, der vil være vinkelret på begge givne vektorer, og dens længde vil være lig med produktet af længderne af disse vektorer med sinus af vinklen mellem disse vektorer, og også denne vektor med to initiale har samme orientering som det kartesiske koordinatsystem.

Betegnelse: \overline(α)х\overline(β) x.

For at finde vektorproduktet vil vi bruge formlen

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Da vektoren af krydsproduktet af to vektorer er vinkelret på begge disse vektorer, vil det være vektoren. Det vil sige, at for at finde en vektor vinkelret på to vektorer, skal du blot finde deres vektorprodukt.

Eksempel 2

Find en vektor vinkelret på vektorer med koordinaterne \overline(α)=(1,2,3) og \overline(β)=(-1,0,3)

Lad os finde vektorproduktet af disse vektorer.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x

Denne artikel afslører betydningen af vinkelretheden af to vektorer på et plan i tredimensionelt rum og at finde koordinaterne for en vektor vinkelret på en eller et helt par af vektorer. Emnet er anvendeligt til problemer, der involverer ligninger af linjer og planer.

Vi vil overveje den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for vinkelretheden af to vektorer, løse metoden til at finde en vektor vinkelret på en given, og berøre situationer med at finde en vektor, der er vinkelret på to vektorer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nødvendig og tilstrækkelig betingelse for vinkelretheden af to vektorer

Lad os anvende reglen om vinkelrette vektorer på planet og i tredimensionelt rum.

Definition 1

Forudsat at vinklen mellem to vektorer, der ikke er nul, er lig med 90° (π 2 radianer) kaldes vinkelret.

Hvad betyder det, og i hvilke situationer er det nødvendigt at vide om deres vinkelrethed?

Etablering af vinkelrethed er muligt gennem tegningen. Når du plotter en vektor på et plan fra givne punkter, kan du geometrisk måle vinklen mellem dem. Selvom vektorernes vinkelrethed er etableret, vil den ikke være helt nøjagtig. Oftest tillader disse opgaver dig ikke at gøre dette ved hjælp af en vinkelmåler, så denne metode er kun anvendelig, når intet andet er kendt om vektorerne.

De fleste tilfælde af at bevise vinkelretheden af to ikke-nul vektorer på et plan eller i rummet udføres ved hjælp af nødvendig og tilstrækkelig betingelse for vinkelretheden af to vektorer.

Sætning 1

Skalarproduktet af to ikke-nul vektorer a → og b → lig med nul for at opfylde ligheden a → , b → = 0 er tilstrækkelig for deres vinkelrethed.

Bevis 1

Lad de givne vektorer a → og b → være vinkelrette, så vil vi bevise ligheden a ⇀ , b → = 0 .

Fra definitionen af prikprodukt af vektorer vi ved, at det er lig produktet af længderne af givne vektorer og cosinus af vinklen mellem dem. Ved betingelse er a → og b → vinkelrette, hvilket betyder, baseret på definitionen, at vinklen mellem dem er 90 °. Så har vi a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Anden del af beviset

Forudsat at a ⇀, b → = 0, beviser vinkelretheden af a → og b →.

Faktisk er beviset det modsatte af det forrige. Man ved, at a → og b → ikke er nul, hvilket betyder, at vi ud fra ligheden a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ finder cosinus. Så får vi cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Da cosinus er nul, kan vi konkludere, at vinklen a →, b → ^ af vektorerne a → og b → er lig med 90 °. Per definition er dette en nødvendig og tilstrækkelig egenskab.

Vinkelrette tilstand på koordinatplanet

Kapitel skalært produkt i koordinater viser uligheden (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , gyldig for vektorer med koordinater a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y), på planet og (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y for vektorer a → = (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) i rummet. Den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for vinkelretheden af to vektorer i koordinatplanet er a x · b x + a y · b y = 0, for tredimensionelt rum a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

Lad os omsætte det i praksis og se på eksempler.

Eksempel 1

Tjek egenskaben for vinkelrethed af to vektorer a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Løsning

For at løse dette problem skal du finde det skalære produkt. Hvis den ifølge betingelsen er lig med nul, så er de vinkelrette.

(a →, b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Betingelsen er opfyldt, hvilket betyder, at de givne vektorer er vinkelrette på planet.

Svar: ja, de givne vektorer a → og b → er vinkelrette.

Eksempel 2

Koordinatvektorer i → , j → , k → er givet. Tjek om vektorerne i → - j → og i → + 2 · j → + 2 · k → kan være vinkelrette.

Løsning

For at huske hvordan vektorkoordinater bestemmes, skal du læse artiklen om vektorkoordinater i et rektangulært koordinatsystem. Således finder vi, at de givne vektorer i → - j → og i → + 2 · j → + 2 · k → har tilsvarende koordinater (1, - 1, 0) og (1, 2, 2). Vi erstatter de numeriske værdier og får: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Udtrykket er ikke lig med nul, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, hvilket betyder, at vektorerne i → - j → og i → + 2 j → + 2 k → er ikke vinkelrette, da betingelsen ikke er opfyldt.

Svar: nej, vektorerne i → - j → og i → + 2 · j → + 2 · k → er ikke vinkelrette.

Eksempel 3

Givet vektorer a → = (1, 0, - 2) og b → = (λ, 5, 1). Find værdien af λ, hvor disse vektorer er vinkelrette.

Løsning

Vi bruger betingelsen om vinkelrethed af to vektorer i rummet i kvadratisk form, så får vi

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Svar: vektorerne er vinkelrette ved værdien λ = 2.

Der er tilfælde, hvor spørgsmålet om vinkelrethed er umuligt selv under en nødvendig og tilstrækkelig betingelse. Givet de kendte data på de tre sider af en trekant på to vektorer, er det muligt at finde vinkel mellem vektorer og tjek det ud.

Eksempel 4

Givet en trekant A B C med siderne A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Tjek vektorerne A B → og A C → for vinkelret.

Løsning

Hvis vektorerne A B → og A C → er vinkelrette, anses trekanten A B C for at være rektangulær. Derefter anvender vi Pythagoras sætning, hvor B C er trekantens hypotenus. Ligheden B C 2 = A B 2 + A C 2 skal være sand. Det følger, at 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Det betyder, at A B og A C er ben i trekanten A B C, derfor er A B → og A C → vinkelrette.

Det er vigtigt at lære at finde koordinaterne for en vektor vinkelret på en given. Dette er muligt både i planet og i rummet, forudsat at vektorerne er vinkelrette.

Find en vektor vinkelret på en given vektor i et plan.

En ikke-nul vektor a → kan have et uendeligt antal vinkelrette vektorer på planet. Lad os afbilde dette på koordinatlinjen.

Givet en ikke-nul vektor a → liggende på den rette linje a. Så bliver en given b →, placeret på enhver linje vinkelret på linje a, vinkelret på a →. Hvis vektoren i → er vinkelret på vektoren j → eller en af vektorerne λ · j → med λ lig med et hvilket som helst reelt tal bortset fra nul, så find koordinaterne for vektoren b → vinkelret på a → = (a x , a y ) reduceres til et uendeligt sæt af løsninger. Men det er nødvendigt at finde vektorens koordinater vinkelret på a → = (a x , a y) . For at gøre dette er det nødvendigt at nedskrive betingelsen for vinkelrethed af vektorer i følgende form: a x · b x + a y · b y = 0. Vi har b x og b y, som er de ønskede koordinater for den vinkelrette vektor. Når a x ≠ 0, er værdien af b y ikke-nul, og b x kan beregnes ud fra uligheden a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. For a x = 0 og a y ≠ 0, tildeler vi b x enhver anden værdi end nul, og finder b y fra udtrykket b y = - a x · b x a y .

Eksempel 5

Givet en vektor med koordinater a → = (- 2 , 2) . Find en vektor vinkelret på denne.

Løsning

Lad os betegne den ønskede vektor som b → (b x , b y) . Dens koordinater kan findes ud fra den betingelse, at vektorerne a → og b → er vinkelrette. Så får vi: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Lad os tildele b y = 1 og erstatte: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Derfor får vi fra formlen b x = - 2 - 2 = 1 2. Det betyder, at vektoren b → = (1 2 , 1) er en vektor vinkelret på a → .

Svar: b → = (1 2, 1) .

Hvis der rejses spørgsmål om tredimensionelt rum, løses problemet efter samme princip. For en given vektor a → = (a x , a y , a z) er der et uendeligt antal vinkelrette vektorer. Vil rette dette på et tredimensionalt koordinatplan. Givet en → liggende på linjen a. Planet vinkelret på lige a er betegnet med α. I dette tilfælde er enhver ikke-nul vektor b → fra planen α vinkelret på a →.

Det er nødvendigt at finde koordinaterne for b → vinkelret på den ikke-nul vektor a → = (a x , a y , a z) .

Lad b → være givet med koordinaterne b x , b y og b z . For at finde dem er det nødvendigt at anvende definitionen af betingelsen om vinkelrethed af to vektorer. Ligheden a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 skal være opfyldt. Ud fra betingelsen er a → ikke-nul, hvilket betyder, at en af koordinaterne har en værdi, der ikke er lig med nul. Lad os antage, at a x ≠ 0, (a y ≠ 0 eller a z ≠ 0). Derfor har vi ret til at dividere hele uligheden a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 med denne koordinat, vi får udtrykket b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Vi tildeler enhver værdi til koordinaterne b y og b x, beregner værdien af b x baseret på formlen, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Den ønskede vinkelrette vektor vil have værdien a → = (a x, a y, a z).

Lad os se på beviset ved hjælp af et eksempel.

Eksempel 6

Givet en vektor med koordinater a → = (1, 2, 3) . Find en vektor vinkelret på den givne.

Løsning

Lad os betegne den ønskede vektor med b → = (b x , b y , b z) . Ud fra betingelsen om, at vektorerne er vinkelrette, skal skalarproduktet være lig nul.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Hvis værdien af b y = 1, b z = 1, så er b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Det følger, at koordinaterne for vektoren b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → er en af vektorerne vinkelret på den givne.

Svar: b → = (-5, 1, 1).

At finde koordinaterne for en vektor vinkelret på to givne vektorer

Vi skal finde vektorens koordinater i det tredimensionelle rum. Den er vinkelret på de ikke-kollineære vektorer a → (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) . Forudsat at vektorerne a → og b → er kollineære, vil det være tilstrækkeligt at finde en vektor vinkelret på a → eller b → i opgaven.

Ved løsning bruges begrebet et vektorprodukt af vektorer.

Vektorprodukt af vektorer a → og b → er en vektor, der samtidigt er vinkelret på både a → og b →. For at løse dette problem bruges vektorproduktet a → × b →. For tredimensionelt rum har det formen a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Lad os se på vektorproduktet mere detaljeret ved hjælp af et eksempelproblem.

Eksempel 7

Vektorerne b → = (0, 2, 3) og a → = (2, 1, 0) er givet. Find koordinaterne for enhver vektor vinkelret på dataene samtidigt.

Løsning

For at løse skal du finde vektorproduktet af vektorer. (Se afsnittet at beregne determinanten af en matrix for at finde vektoren). Vi får:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Svar: (3 , - 6 , 4) - koordinater for en vektor, der samtidigt er vinkelret på det givne a → og b → .

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Find i afsnittet om spørgsmålet en vektor vinkelret på to givne vektorer givet af forfatteren Anna Afanasyeva det bedste svar er: En vektor vinkelret på to ikke-parallelle vektorer findes som deres vektorprodukt xb, for at finde den skal du sammensætte en determinant, hvis første linje vil bestå af enhedsvektorerne I, j, k, anden fra koordinaterne til vektor a, den tredje fra koordinaterne til vektor b. Determinanten anses for at være en udvidelse langs den første linje, i dit tilfælde får du akhv=20i-10k, eller ahv=(20,0,-10).

Svar fra 22 svar[guru]

Hej! Her er et udvalg af emner med svar på dit spørgsmål: find en vektor vinkelret på to givne vektorer

Svar fra strække ud[nybegynder]
En vektor vinkelret på to ikke-parallelle vektorer findes som deres vektorprodukt xb, for at finde den skal du komponere en determinant, hvis første linje vil bestå af enhedsvektorerne I, j, k, den anden - ud fra koordinaterne af vektor a, den tredje - fra koordinaterne til vektor b. Determinanten anses for at være en udvidelse langs den første linje, i dit tilfælde får du akhv=20i-10k, eller ahv=(20,0,-10).

Svar fra HAYKA[guru]
Løs det nogenlunde sådan her; Men først læs alt selv!! !
Beregn skalarproduktet af vektorerne d og r hvis d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Modulet for vektor a er 4, modulet for vektor b er 6. Vinklen mellem vektor a og b er 60 grader, vektor c er vinkelret på vektor a og b.
Punkterne E og F ligger henholdsvis på siderne AD og BC af parallelogram ABCD, med AE = ED, BF: FC = 4: 3. a) Udtryk vektoren EF i form af vektorer m = vektor AB og vektor n = vektor AD. b) Kan lighedsvektoren EF = x ganget med vektoren CD holde for en hvilken som helst værdi af x? .

Instruktioner

Hvis den oprindelige vektor er afbildet på tegningen i et rektangulært todimensionelt koordinatsystem, og en vinkelret skal konstrueres der, gå videre fra definitionen af vinkelret på vektorer på et plan. Den siger, at vinklen mellem et sådant par rettede segmenter skal være lig med 90°. Et uendeligt antal af sådanne vektorer kan konstrueres. Tegn derfor en vinkelret på den oprindelige vektor på et hvilket som helst passende sted på planet, læg et segment på det svarende til længden af et givet ordnet par punkter og tildel en af dens ender som begyndelsen af den vinkelrette vektor. Gør dette ved hjælp af en vinkelmåler og lineal.

Hvis den oprindelige vektor er givet ved todimensionelle koordinater ā = (X₁;Y₁), antag, at skalarproduktet af et par vinkelrette vektorer skal være lig med nul. Det betyder, at du skal vælge for den ønskede vektor ō = (X₂,Y₂) sådanne koordinater, at ligheden (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Dette kan gøres sådan: vælg evt. ikke-nul værdi for X₂-koordinaten, og beregn Y₂-koordinaten ved hjælp af formlen Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. For eksempel vil der for vektoren ā = (15;5) være en vektor ō, med abscissen lig med en og ordinaten lig -(15*1)/5 = -3, dvs. ō = (1;-3).

For et tredimensionelt og ethvert andet ortogonalt koordinatsystem gælder den samme nødvendige og tilstrækkelige betingelse for vinkelret på vektorer - deres skalarprodukt skal være lig nul. Derfor, hvis det indledende rettede segment er givet af koordinaterne ā = (X₁,Y₁,Z₁), skal du vælge for det ordnede par af punkter ō = (X₂,Y₂,Z₂) vinkelret på det sådanne koordinater, der opfylder betingelsen (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Den nemmeste måde er at tildele enkeltværdier til X₂ og Y₂ og beregne Z₂ ud fra den forenklede lighed Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₂ 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. For eksempel vil denne for vektoren ā = (3,5,4) have følgende form: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Tag derefter abscissen og ordinaten for vinkelret vektor som én, og i dette tilfælde vil den være lig med -(3+5)/4 = -2.

Kilder:

find vektoren, hvis den er vinkelret

De kaldes vinkelrette vektor, hvor mellem vinklen er 90º. Vinkelrette vektorer er konstrueret ved hjælp af tegneværktøjer. Hvis deres koordinater er kendt, så kan vektorernes vinkelrethed kontrolleres eller findes ved hjælp af analytiske metoder.

Du får brug for

- vinkelmåler;
- kompas;
- lineal.

Instruktioner

Konstruer en vektor vinkelret på den givne. For at gøre dette, på det punkt, der er begyndelsen af vektoren, gendan en vinkelret på den. Dette kan gøres ved hjælp af en vinkelmåler, der indstiller en vinkel på 90º. Hvis du ikke har en vinkelmåler, så brug et kompas til at gøre det.

Indstil den til vektorens startpunkt. Tegn en cirkel med en vilkårlig radius. Konstruer derefter to med centre i de punkter, hvor den første cirkel skærer linjen, som vektoren ligger på. Radierne af disse cirkler skal være lig med hinanden og større end den første konstruerede cirkel. Ved cirklernes skæringspunkter skal du konstruere en ret linje, der vil være vinkelret på den oprindelige vektor ved dens oprindelse, og plot på den en vektor vinkelret på denne.

Enhedsvektoren er: , hvor – vektormodul.

Svar:
.

Bemærk. Koordinaterne for enhedsvektoren må ikke være mere end én.

6.3. Find længden og retningens cosinus af en vektor . Sammenlign med svaret i det foregående afsnit. Drage konklusioner.

Længden af en vektor er dens modul:

Og vi kan finde retningscosinuserne ved at bruge formlen for en af måderne at specificere vektorer på:

Af dette ser vi, at retningscosinuserne er koordinaterne for enhedsvektoren.

Svar:
,
,
,
.

6.4. Find
.

Det er nødvendigt at udføre handlingerne med at gange en vektor med et tal, addere og modul.

Vi multiplicerer vektorernes koordinater med et tal led for led.

Vi tilføjer vektorernes koordinater led for led.

Finde vektorens modul.

Svar:

6.5. Bestem vektorkoordinater
, kolineært til vektoren , ved det
og den er rettet i retning modsat vektoren .

Vektor kolineært til vektoren , hvilket betyder, at dens enhedsvektor er lig med enhedsvektoren kun med et minustegn, fordi rettet i den modsatte retning.

Enhedsvektoren har en længde lig med 1, hvilket betyder, at hvis du gange den med 5, så vil dens længde være lig med fem.

Vi finder

Svar:

6.6. Beregn Dot-produkter
Og
. Er vektorerne vinkelrette? Og ,Og indbyrdes?

Lad os lave skalarproduktet af vektorer.

Hvis vektorerne er vinkelrette, er deres skalarprodukt nul.

Vi ser, at i vores tilfælde er vektorerne Og vinkelret.

Svar:
,
, er vektorerne ikke vinkelrette.

Bemærk. Den geometriske betydning af det skalariske produkt er af ringe nytte i praksis, men det eksisterer stadig. Resultatet af en sådan handling kan afbildes og beregnes geometrisk.

6.7. Find arbejdet udført af et materialepunkt, som en kraft påføres
, når den flyttes fra punkt B til punkt C.

Den fysiske betydning af det skalære produkt er arbejde. Kraftvektoren er her , er forskydningsvektoren
. Og produktet af disse vektorer vil være det nødvendige arbejde.

At finde et job

6.8. Find den indre vinkel ved et toppunkt EN og ekstern topvinkel C trekant ABC .

Fra definitionen af skalarproduktet af vektorer får vi formlen for at finde vinklen:.

I
Vi vil kigge efter den indre vinkel som vinklen mellem vektorer, der udgår fra et punkt.

For at finde den ydre vinkel skal du kombinere vektorerne, så de kommer ud fra et punkt. Billedet forklarer dette.

Det er værd at bemærke
, bare have forskellige begyndelseskoordinater.

Find de nødvendige vektorer og vinkler

Svar: indre vinkel ved toppunkt A = , udvendig vinkel ved toppunkt B = .

6.9. Find fremskrivningerne af vektorerne: og

Lad os huske vektorvektorerne:
,
,
.

Fremskrivningen findes også fra det skalære produkt

-projektion b på -en.

Tidligere opnåede vektorer

,
,

At finde fremskrivningen

At finde den anden projektion

Svar:
,

Bemærk. Minustegnet ved at finde en projektion betyder, at projektionen ikke går ned på selve vektoren, men i modsat retning, på den linje, som denne vektor ligger på.

6.10. Beregn
.

Lad os lave vektorproduktet af vektorer

Lad os finde modulet

Vi finder sinus for vinklen mellem vektorer ud fra definitionen af vektorproduktet af vektorer

Svar:
,
,
.

6.11. Find arealet af en trekant ABC og længden af højden faldt fra punkt C.

Den geometriske betydning af modulet af et vektorprodukt er, at det er arealet af parallelogrammet dannet af disse vektorer. Og arealet af en trekant er lig med halvdelen af arealet af et parallelogram.

Arealet af en trekant kan også findes som produktet af højden og basen divideret med to, hvorfra formlen for at finde højden kan udledes.

Således finder vi højden

Svar:
,
.

6.12. Find enhedsvektoren vinkelret på vektorerne Og .

Resultatet af prikproduktet er en vektor, der er vinkelret på de to oprindelige. Og en enhedsvektor er en vektor divideret med dens længde.

Tidligere fandt vi:

Svar:
.

6.13. Bestem størrelsen og retningens cosinus for kraftmomentet
, anvendt på A i forhold til punkt C.

Den fysiske betydning af et vektorprodukt er kraftmomentet. Lad os give en illustration til denne opgave.

At finde kraftens øjeblik

Svar:
.

6.14. Lyver vektorerne ,Og i samme fly? Kan disse vektorer danne grundlag for rummet? Hvorfor? Hvis de kan, udvide vektoren til dette grundlag
.

For at kontrollere om vektorerne ligger i samme plan, er det nødvendigt at udføre et blandet produkt af disse vektorer.

Det blandede produkt er ikke lig med nul, derfor ligger vektorerne ikke i samme plan (ikke koplanar) og kan danne basis. Lad os nedbryde På dette grundlag.

Lad os udvide med basis ved at løse ligningen

Svar: Vektorer ,Og ikke ligge i samme plan.
.

6.15. Find
. Hvad er volumen af pyramiden med toppunkter A, B, C, D og dens højde sænket fra punkt A til basis BCD.

G Den geometriske betydning af det blandede produkt er, at det er volumenet af parallelepipedet dannet af disse vektorer.

Pyramidens volumen er seks gange mindre end parallelepipedets volumen.

Pyramidens volumen kan også findes sådan:

Vi får formlen til at finde højden

At finde højden

Svar: volumen = 2,5, højde = .

6.16. Beregn
Og
.

– Vi inviterer dig til selv at tænke over denne opgave.

- Lad os udføre arbejdet.

Tidligere modtaget

Svar:
.

6.17. Beregn

Lad os udføre trinene i dele

Lad os opsummere de opnåede værdier

Svar:
.

6.18. Find vektor
, vel vidende at den er vinkelret på vektorerne Og og dens projektion på vektoren er lig med 5.

Lad os dele denne opgave op i to underopgaver

1) Find en vektor vinkelret på vektorerne Og vilkårlig længde.

Vi får den vinkelrette vektor som et resultat af vektorproduktet

Tidligere fandt vi:

Den nødvendige vektor adskiller sig kun i længde fra den modtagne

2) Lad os finde gennem ligningen

6.19. Find vektor
, der opfylder betingelserne
,
,
.

Lad os overveje disse forhold mere detaljeret.

Dette er et system af lineære ligninger. Lad os komponere og løse dette system.

Svar:

6,20. Bestem koordinaterne for en vektor
, koplanar med vektorerne Og , og vinkelret på vektoren
.

I denne opgave er der to betingelser: koplanaritet af vektorer og perpendikularitet, lad os først opfylde den første betingelse, og derefter den anden.

1) Hvis vektorerne er koplanære, så er deres blandede produkt lig nul.

Herfra får vi en vis afhængighed af vektorens koordinater

Lad os finde vektoren .