Sandsynlighedsteori er en ret omfattende uafhængig gren af matematikken. I skoleforløbet diskuteres sandsynlighedsteori meget overfladisk, men i Den Samlede Statseksamen og Statens Eksamensakademi er der problemer om dette emne. Det er dog ikke så svært at løse skoleforløbsopgaver (i hvert fald hvad regneoperationer angår) - her behøver du ikke at tælle afledede, tage integraler og løse komplekse trigonometriske transformationer - det vigtigste er at kunne håndtere primtal og fraktioner.
Sandsynlighedsteori - grundlæggende udtryk
De vigtigste vilkår for sandsynlighedsteori er test, udfald og tilfældig hændelse. En test i sandsynlighedsteori er et eksperiment - at kaste en mønt, trække et kort, trække lod - alt dette er test. Resultatet af testen, som du måske har gættet, kaldes resultatet.
Hvad er en tilfældig begivenhed? I sandsynlighedsteorien antages det, at testen udføres mere end én gang, og der er mange udfald. En tilfældig hændelse er et sæt af resultater af et forsøg. For eksempel, hvis du kaster en mønt, kan der ske to tilfældige begivenheder - hoveder eller haler.
Forveksle ikke begreberne udfald og tilfældig begivenhed. Et udfald er et resultat af et forsøg. En tilfældig hændelse er et sæt af mulige udfald. Forresten er der sådan et udtryk som en umulig begivenhed. For eksempel er begivenheden "at rulle tallet 8" på en standardterning umulig.
Hvordan finder man sandsynlighed?
Vi forstår alle nogenlunde, hvad sandsynlighed er, og bruger ganske ofte dette ord i vores ordforråd. Derudover kan vi endda drage nogle konklusioner vedrørende sandsynligheden for en bestemt begivenhed, for eksempel, hvis der er sne uden for vinduet, kan vi højst sandsynligt sige, at det ikke er sommer. Men hvordan kan vi udtrykke denne antagelse numerisk?
For at introducere en formel til at finde sandsynlighed introducerer vi endnu et begreb - gunstigt udfald, det vil sige et resultat, der er gunstigt for en bestemt begivenhed. Definitionen er naturligvis ret tvetydig, men i henhold til problemets betingelser er det altid klart, hvilket resultat der er gunstigt.
For eksempel: Der er 25 personer i klassen, tre af dem er Katya. Læreren tildeler Olya pligten, og hun har brug for en partner. Hvad er sandsynligheden for, at Katya bliver din partner?
I dette eksempel er det gunstige resultat partner Katya. Vi løser dette problem lidt senere. Men først, ved hjælp af en yderligere definition, introducerer vi en formel til at finde sandsynligheden.
- P = A/N, hvor P er sandsynligheden, A er antallet af gunstige udfald, N er det samlede antal udfald.
Alle skoleproblemer kredser om denne ene formel, og den største vanskelighed ligger normalt i at finde resultaterne. Nogle gange er de nemme at finde, nogle gange ikke så meget.
Hvordan løser man sandsynlighedsproblemer?
Opgave 1
Så lad os nu løse ovenstående problem.
Antallet af gunstige resultater (læreren vælger Katya) er tre, fordi der er tre Katyaer i klassen, og de samlede resultater er 24 (25-1, fordi Olya allerede er blevet valgt). Så er sandsynligheden: P = 3/24=1/8=0,125. Sandsynligheden for, at Olyas partner bliver Katya er således 12,5%. Ikke svært, vel? Lad os se på noget lidt mere kompliceret.
Opgave 2
Mønten blev kastet to gange, hvad er sandsynligheden for at få et hoved og en hale?
Så lad os overveje de generelle resultater. Hvordan kan mønter lande - hoveder/hoveder, haler/haler, hoveder/haler, haler/hoveder? Det betyder, at det samlede antal udfald er 4. Hvor mange gunstige udfald? To - hoveder/haler og haler/hoveder. Således er sandsynligheden for at få en hoved/haler-kombination:
- P = 2/4 = 0,5 eller 50 procent.
Lad os nu se på dette problem. Masha har 6 mønter i lommen: to med en pålydende værdi på 5 rubler og fire med en pålydende værdi på 10 rubler. Masha flyttede 3 mønter til en anden lomme. Hvad er sandsynligheden for, at 5-rubelmønter ender i forskellige lommer?
For nemheds skyld, lad os udpege mønterne ved tal - 1,2 - fem rubel mønter, 3,4,5,6 - ti rubel mønter. Så hvordan kan mønter være i din lomme? Der er i alt 20 kombinationer:
- 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.
Ved første øjekast kan det se ud til, at nogle kombinationer mangler, for eksempel 231, men i vores tilfælde er kombinationerne 123, 231 og 321 ækvivalente.
Nu tæller vi, hvor mange gunstige resultater vi har. For dem tager vi de kombinationer, der indeholder enten tallet 1 eller tallet 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Der er 12 af dem. sandsynlighed er lig med:
- P = 12/20 = 0,6 eller 60%.
Sandsynlighedsproblemerne præsenteret her er ret simple, men tro ikke, at sandsynlighed er en simpel gren af matematikken. Hvis du beslutter dig for at fortsætte din uddannelse på et universitet (med undtagelse af humaniora), vil du helt sikkert have klasser i højere matematik, hvor du vil blive introduceret til mere komplekse termer af denne teori, og opgaverne der vil være meget vanskeligere .
Uanset om vi kan lide det eller ej, er vores liv fyldt med alle slags ulykker, både behagelige og knap så behagelige. Derfor ville det ikke skade hver enkelt af os at vide, hvordan man finder sandsynligheden for en bestemt begivenhed. Dette vil hjælpe dig med at træffe de rigtige beslutninger under alle omstændigheder, der involverer usikkerhed. For eksempel vil en sådan viden være meget nyttig, når du skal vælge investeringsmuligheder, vurdere muligheden for at vinde en aktie eller lotteri, bestemme virkeligheden af at nå personlige mål osv. osv.
Formel for sandsynlighedsteori
I princippet tager det ikke for meget tid at studere dette emne. For at få svar på spørgsmålet: "Hvordan finder man sandsynligheden for et fænomen?", skal du forstå nøglebegreberne og huske de grundlæggende principper, som beregningen er baseret på. Så ifølge statistikker er de undersøgte begivenheder betegnet med A1, A2,..., An. Hver af dem har både gunstige udfald (m) og et samlet antal elementære udfald. For eksempel er vi interesserede i, hvordan man finder sandsynligheden for, at der vil være et lige antal punkter på oversiden af terningen. Så er A et kast med m - udrulning af 2, 4 eller 6 point (tre gunstige muligheder), og n er alle seks mulige muligheder.
Selve beregningsformlen er som følger:
Med ét resultat er alt ekstremt nemt. Men hvordan finder man sandsynligheden for, at begivenheder sker efter hinanden? Overvej dette eksempel: Et kort vises fra en kortbunke (36 stykker), derefter gemmes det tilbage i bunken, og efter at have blandet, trækkes det næste ud. Hvordan finder man sandsynligheden for, at spardamen i det mindste i ét tilfælde blev trukket? Der er følgende regel: Hvis en kompleks hændelse overvejes, som kan opdeles i flere inkompatible simple hændelser, så kan du først beregne resultatet for hver af dem og derefter lægge dem sammen. I vores tilfælde vil det se sådan ud: 1/36 + 1/36 = 1/18. Men hvad sker der, når flere opstår samtidigt? Så multiplicerer vi resultaterne! For eksempel vil sandsynligheden for, at når to mønter kastes samtidigt, vises to hoveder, være lig med: ½ * ½ = 0,25.
Lad os nu tage et endnu mere komplekst eksempel. Antag, at vi deltog i et boglotteri, hvor ti ud af tredive lodder vinder. Du skal bestemme:
- Sandsynligheden for, at begge bliver vindere.
- Mindst én af dem vil give en præmie.
- Begge vil være tabere.
Så lad os overveje det første tilfælde. Det kan opdeles i to begivenheder: den første billet vil være heldig, og den anden vil også være heldig. Lad os tage højde for, at begivenhederne er afhængige, da det samlede antal muligheder falder efter hvert udtræk. Vi får:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
I det andet tilfælde skal du bestemme sandsynligheden for at miste billet og tage højde for, at det kan være enten den første eller den anden: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.
Endelig det tredje tilfælde, hvor du ikke vil være i stand til at få endnu en bog fra lotteriet: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.
Jeg forstår, at alle vil vide på forhånd, hvordan sportsbegivenheden ender, hvem der vinder og hvem der taber. Med disse oplysninger kan du satse på sportsbegivenheder uden frygt. Men er det overhovedet muligt, og i så fald hvordan beregner man sandsynligheden for en hændelse?
Sandsynlighed er en relativ værdi, derfor kan den ikke tale med sikkerhed om nogen begivenhed. Denne værdi giver dig mulighed for at analysere og evaluere behovet for at placere et væddemål på en bestemt konkurrence. At bestemme sandsynligheder er en hel videnskab, der kræver omhyggelig undersøgelse og forståelse.
Sandsynlighedskoefficient i sandsynlighedsteori
I sportsvæddemål er der flere muligheder for udfaldet af konkurrencen:
- første hold sejr;
- sejr for det andet hold;
- tegne;
- Total
Hvert udfald af konkurrencen har sin egen sandsynlighed og hyppighed, med hvilken denne begivenhed vil finde sted, forudsat at de oprindelige karakteristika bibeholdes. Som vi sagde tidligere, er det umuligt nøjagtigt at beregne sandsynligheden for enhver begivenhed - det kan være sammenfaldende eller ikke. Din indsats kan således enten vinde eller tabe.
Der kan ikke være en 100 % nøjagtig forudsigelse af konkurrencens resultater, da mange faktorer påvirker kampens udfald. Bookmakere kender naturligvis ikke udfaldet af kampen på forhånd og antager kun resultatet, idet de træffer beslutninger ved hjælp af deres analysesystem og tilbyder bestemte odds for væddemål.
Hvordan beregner man sandsynligheden for en hændelse?
Lad os antage, at bookmakerens odds er 2,1/2 - vi får 50%. Det viser sig, at koefficient 2 er lig med sandsynligheden på 50 %. Ved at bruge samme princip kan du få en break-even sandsynlighedskoefficient - 1/sandsynlighed.
Mange spillere tror, at efter flere gentagne nederlag vil en sejr helt sikkert ske - dette er en fejlagtig mening. Sandsynligheden for at vinde et væddemål afhænger ikke af antallet af tab. Selvom du vender flere hoveder i træk i et møntspil, forbliver sandsynligheden for at vippe haler den samme - 50%.
At vide, hvordan man estimerer sandsynligheden for en begivenhed baseret på odds er afgørende for at vælge det rigtige væddemål. Hvis du ikke forstår, hvordan du konverterer en bookmakers odds til en sandsynlighed, vil du aldrig være i stand til at bestemme, hvordan bookmakerens odds sammenlignes med de faktiske odds for begivenheden. Du bør forstå, at hvis sandsynligheden for en begivenhed ifølge bookmakerne er lavere end sandsynligheden for den samme begivenhed ifølge din egen version, vil et væddemål på denne begivenhed være værdifuldt. Du kan sammenligne odds for forskellige begivenheder på hjemmesiden Odds.ru.
1.1. Typer af odds
Bookmakere tilbyder normalt tre typer odds - decimal, brøk og amerikanske. Lad os se på hver af sorterne.
1.2. Decimal odds
Decimalodds ganget med indsatsstørrelsen giver dig mulighed for at beregne hele det beløb, du vil modtage i dine hænder, hvis du vinder. For eksempel, hvis du satser $1 på odds 1,80, hvis du vinder, vil du modtage $1,80 ($1 er indsatsbeløbet returneret, 0,80 er gevinsten på indsatsen, hvilket også er din nettofortjeneste).
Det vil sige, at sandsynligheden for udfald ifølge bookmakere er 55%.
1.3. Fraktionelle odds
Fraktionelle odds er den mest traditionelle type odds. Tælleren viser de potentielle nettogevinster. Nævneren er mængden af indsatsen, der skal foretages for at få denne gevinst. For eksempel betyder odds på 7/2, at for at opnå en gevinst på $7, skal du satse $2.
For at beregne sandsynligheden for en hændelse baseret på en decimalkoefficient, bør du udføre simple beregninger - dividere nævneren med summen af tæller og nævner. For ovenstående odds på 7/2 vil udregningen være som følger:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
Det vil sige, at sandsynligheden for udfald ifølge bookmakere er 22%.
1.4. Amerikanske odds
Denne type odds er populær i Nordamerika. Ved første øjekast virker de ret komplekse og uforståelige, men bliv ikke forskrækket. Det kan være nyttigt at forstå amerikanske odds, for eksempel, når man spiller på amerikanske kasinoer, for at forstå de citater, der vises på nordamerikanske sportsudsendelser. Lad os se på, hvordan man estimerer sandsynligheden for et udfald baseret på amerikanske odds.
Først og fremmest skal du forstå, at amerikanske odds kan være positive og negative. En negativ amerikansk koefficient kommer altid i formatet, for eksempel "-150". Det betyder, at for at få $100 i nettofortjeneste (gevinster), skal du satse $150.
Den positive amerikanske koefficient beregnes omvendt. For eksempel har vi en koefficient på "+120". Det betyder, at for at få $120 i nettofortjeneste (gevinster), skal du satse $100.
Sandsynlighedsberegningen baseret på negative amerikanske odds udføres ved hjælp af følgende formel:
(-(negativ amerikansk koefficient)) / ((-(negativ amerikansk koefficient)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
Det vil sige, at sandsynligheden for en hændelse, for hvilken der er givet en negativ amerikansk koefficient på "-150", er 60%.
Overvej nu lignende beregninger for den positive amerikanske koefficient. Sandsynligheden i dette tilfælde beregnes ved hjælp af følgende formel:
100 / (positiv amerikansk koefficient + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
Det vil sige, at sandsynligheden for en hændelse, for hvilken der er givet en positiv amerikansk koefficient på "+120", er 45%.
1.5. Hvordan konverterer man odds fra et format til et andet?
Evnen til at konvertere odds fra et format til et andet kan tjene dig godt senere. Mærkeligt nok er der stadig kontorer, hvor oddsene ikke konverteres og kun vises i ét format, hvilket er usædvanligt for os. Lad os se på eksempler på, hvordan man gør dette. Men først skal vi lære, hvordan man beregner sandsynligheden for et udfald baseret på den koefficient, vi har fået.
1.6. Hvordan beregner man decimal odds baseret på sandsynlighed?
Alt er meget enkelt her. Det er nødvendigt at dividere 100 med sandsynligheden for hændelsen i procent. Det vil sige, hvis den estimerede sandsynlighed for en hændelse er 60 %, skal du:
Med en estimeret sandsynlighed for en hændelse på 60 %, vil decimaloddset være 1,66.
1.7. Hvordan beregner man brøkodds baseret på sandsynlighed?
I dette tilfælde skal du dividere 100 med sandsynligheden for hændelsen og trække en fra det opnåede resultat. For eksempel er sandsynligheden for en hændelse 40 %:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
Det vil sige, at vi får en brøkkoefficient på 1,5/1 eller, for at lette beregningen, 3/2.
1.8. Hvordan beregner man de amerikanske odds baseret på det sandsynlige udfald?
Her vil meget afhænge af sandsynligheden for hændelsen – om den bliver mere end 50 % eller mindre. Hvis sandsynligheden for en hændelse er mere end 50 %, vil beregningen blive foretaget ved hjælp af følgende formel:
- ((sandsynlighed) / (100 - sandsynlighed)) * 100
For eksempel, hvis sandsynligheden for en hændelse er 80 %, så:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
Med en estimeret sandsynlighed for en hændelse på 80 % modtog vi en negativ amerikansk koefficient på "-400".
Hvis sandsynligheden for en hændelse er mindre end 50 procent, vil formlen være:
((100 - sandsynlighed) / sandsynlighed) * 100
For eksempel, hvis sandsynligheden for en hændelse er 40 %, så:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
Med en estimeret sandsynlighed for en hændelse på 40 % modtog vi en positiv amerikansk koefficient på "+150".
Disse beregninger vil hjælpe dig med bedre at forstå begrebet væddemål og odds, og lære at vurdere den sande værdi af et bestemt væddemål.
Det er usandsynligt, at mange tænker over, om det er muligt at beregne hændelser, der er mere eller mindre tilfældige. Enkelt sagt, er det muligt at vide, hvilken side af terningen der kommer op næste gang? Det var dette spørgsmål, som to store videnskabsmænd stillede sig selv, som lagde grundlaget for en sådan videnskab som sandsynlighedsteorien, hvor sandsynligheden for en begivenhed studeres ret omfattende.
Oprindelse
Hvis du forsøger at definere et sådant begreb som sandsynlighedsteori, får du følgende: dette er en af de grene af matematikken, der studerer konstanten af tilfældige begivenheder. Selvfølgelig afslører dette koncept ikke rigtig hele essensen, så det er nødvendigt at overveje det mere detaljeret.
Jeg vil gerne starte med skaberne af teorien. Som nævnt ovenfor var der to af dem, og de var en af de første, der forsøgte at beregne udfaldet af denne eller hin begivenhed ved hjælp af formler og matematiske beregninger. Generelt optrådte begyndelsen af denne videnskab i middelalderen. På det tidspunkt forsøgte forskellige tænkere og videnskabsmænd at analysere gambling spil, såsom roulette, craps og så videre, og derved etablere mønsteret og procentdelen af et bestemt tal, der falder ud. Grundlaget blev lagt i det syttende århundrede af de ovennævnte videnskabsmænd.
I begyndelsen kunne deres værker ikke betragtes som store præstationer på dette område, fordi alt, hvad de gjorde, var blot empiriske fakta, og eksperimenter blev udført visuelt uden brug af formler. Over tid var det muligt at opnå gode resultater, som dukkede op som et resultat af at observere kast med terninger. Det var dette værktøj, der hjalp med at udlede de første forståelige formler.
Ligesindede mennesker
Det er umuligt ikke at nævne en sådan person som Christiaan Huygens i færd med at studere et emne kaldet "sandsynlighedsteori" (sandsynligheden for en begivenhed er dækket præcist i denne videnskab). Denne person er meget interessant. Han forsøgte ligesom de ovenfor præsenterede videnskabsmænd at udlede mønstret af tilfældige begivenheder i form af matematiske formler. Det er bemærkelsesværdigt, at han ikke gjorde dette sammen med Pascal og Fermat, det vil sige, at alle hans værker ikke krydsede disse sind. Huygens udledte
En interessant kendsgerning er, at hans arbejde udkom længe før resultaterne af opdagernes arbejde, eller rettere sagt, tyve år tidligere. Blandt de identificerede begreber er de mest berømte:
- begrebet sandsynlighed som værdien af tilfældigheder;
- matematisk forventning til diskrete tilfælde;
- sætninger om multiplikation og addition af sandsynligheder.
Det er også umuligt ikke at huske, hvem der også ydede et væsentligt bidrag til undersøgelsen af problemet. Ved at udføre sine egne prøver, uafhængigt af nogen, var han i stand til at fremlægge et bevis på loven om store tal. Til gengæld var videnskabsmændene Poisson og Laplace, som arbejdede i begyndelsen af det nittende århundrede, i stand til at bevise de oprindelige teoremer. Det var fra dette øjeblik, at sandsynlighedsteori begyndte at blive brugt til at analysere fejl i observationer. Russiske videnskabsmænd, eller rettere Markov, Chebyshev og Dyapunov, kunne ikke ignorere denne videnskab. Baseret på arbejdet udført af store genier etablerede de dette fag som en gren af matematikken. Disse tal virkede allerede i slutningen af det nittende århundrede, og takket være deres bidrag blev følgende fænomener bevist:
- lov om store tal;
- Markov kæde teori;
- central grænsesætning.
Så med historien om videnskabens fødsel og med de vigtigste mennesker, der påvirkede den, er alt mere eller mindre klart. Nu er tiden kommet til at afklare alle fakta.
Basale koncepter
Før man rører ved love og teoremer, er det værd at studere de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. Arrangementet spiller en hovedrolle i den. Dette emne er ret omfangsrigt, men uden det vil det ikke være muligt at forstå alt andet.
En begivenhed i sandsynlighedsteori er ethvert sæt af resultater af et eksperiment. Der er en del begreber om dette fænomen. Således sagde videnskabsmanden Lotman, der arbejder i dette område, at i dette tilfælde taler vi om, hvad der "er sket, selvom det måske ikke er sket."
Tilfældige hændelser (sandsynlighedsteorien lægger særlig vægt på dem) er et begreb, der implicerer absolut ethvert fænomen, der har mulighed for at forekomme. Eller omvendt sker dette scenario muligvis ikke, hvis mange betingelser er opfyldt. Det er også værd at vide, at det er tilfældige begivenheder, der fanger hele mængden af fænomener, der er opstået. Sandsynlighedsteorien indikerer, at alle forhold kan gentages konstant. Det er deres adfærd, der kaldes "erfaring" eller "test".
En pålidelig hændelse er et fænomen, der med hundrede procent sandsynlighed vil ske i en given test. Derfor er en umulig begivenhed en begivenhed, der ikke vil ske.
Kombinationen af et par handlinger (betinget tilfælde A og tilfælde B) er et fænomen, der opstår samtidigt. De er udpeget som AB.
Summen af par af hændelser A og B er C, med andre ord, hvis mindst én af dem sker (A eller B), så opnås C. Formlen for det beskrevne fænomen er skrevet som følger: C = A + B.
Inkongruente hændelser i sandsynlighedsteori indebærer, at to tilfælde udelukker hinanden. De kan under ingen omstændigheder ske på samme tid. Fælles hændelser i sandsynlighedsteori er deres modpode. Det, der menes her, er, at hvis A skete, så forhindrer det ikke B på nogen måde.
Modsatte begivenheder (sandsynlighedsteorien overvejer dem meget detaljeret) er lette at forstå. Den bedste måde at forstå dem på er ved sammenligning. De er næsten det samme som uforenelige hændelser i sandsynlighedsteori. Men deres forskel ligger i, at et af mange fænomener skal ske under alle omstændigheder.
Lige så sandsynlige hændelser er de handlinger, hvis gentagelse er lige stor. For at gøre det klarere kan du forestille dig at kaste en mønt: tabet af den ene side er lige så sandsynligt, at det falder ud af den anden.
Det er lettere at overveje en gunstig begivenhed med et eksempel. Lad os sige, at der er en episode B og en episode A. Den første er terningkast med et ulige tal, og den anden er udseendet af tallet fem på terningen. Så viser det sig, at A favoriserer B.
Uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteori projiceres kun på to eller flere tilfælde og indebærer uafhængigheden af enhver handling fra en anden. For eksempel er A tabet af hoveder, når man kaster en mønt, og B er tegningen af en knægt fra bunken. De er uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteori. På dette tidspunkt blev det mere klart.
Afhængige hændelser i sandsynlighedsteori er også kun tilladt for et sæt af dem. De indebærer afhængigheden af den ene af den anden, det vil sige, at fænomen B kun kan forekomme, hvis A allerede er sket eller omvendt ikke er sket, når dette er hovedbetingelsen for B.
Resultatet af et tilfældigt eksperiment bestående af én komponent er elementære hændelser. Sandsynlighedsteorien forklarer, at dette er et fænomen, der kun er sket én gang.
Grundlæggende formler
Så begreberne "begivenhed" og "sandsynlighedsteori" blev diskuteret ovenfor; en definition af de grundlæggende udtryk for denne videnskab blev også givet. Nu er det tid til at sætte sig direkte ind i de vigtige formler. Disse udtryk bekræfter matematisk alle hovedbegreberne i et så komplekst emne som sandsynlighedsteori. Sandsynligheden for en begivenhed spiller også her en stor rolle.
Det er bedre at starte med de grundlæggende. Og før du begynder med dem, er det værd at overveje, hvad de er.
Kombinatorik er primært en gren af matematikken; det beskæftiger sig med studiet af et stort antal heltal, såvel som forskellige permutationer af både tallene selv og deres elementer, forskellige data osv., hvilket fører til fremkomsten af en række kombinationer. Ud over sandsynlighedsteori er denne gren vigtig for statistik, datalogi og kryptografi.
Så nu kan vi gå videre til at præsentere selve formlerne og deres definition.
Den første af dem vil være udtrykket for antallet af permutationer, det ser sådan ud:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)...3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
Ligningen anvendes kun, hvis elementerne kun adskiller sig i rækkefølgen af deres arrangement.
Nu vil placeringsformlen blive overvejet, den ser sådan ud:
A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!
Dette udtryk gælder ikke kun for elementets placering, men også for dets sammensætning.
Den tredje ligning fra kombinatorik, og det er også den sidste, kaldes formlen for antallet af kombinationer:
C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!
En kombination refererer til valg, der ikke er bestilt, og derfor gælder denne regel for dem.
Det var let at forstå de kombinatoriske formler; nu kan du gå videre til den klassiske definition af sandsynligheder. Dette udtryk ser således ud:
I denne formel er m antallet af betingelser, der er gunstige for begivenhed A, og n er antallet af absolut alle lige mulige og elementære udfald.
Der er et stort antal udtryk; artiklen vil ikke dække dem alle, men de vigtigste vil blive berørt, som for eksempel sandsynligheden for summen af begivenheder:
P(A + B) = P(A) + P(B) - denne sætning er kun til at tilføje uforenelige hændelser;
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - og denne er kun til at tilføje kompatible.
Sandsynlighed for at hændelser indtræffer:
P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - denne sætning er for uafhængige hændelser;
(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - og denne er for den afhængige.
Listen over begivenheder vil blive udfyldt med formlen for begivenheder. Sandsynlighedsteori fortæller os om Bayes' sætning, som ser sådan ud:
P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n
I denne formel er H 1, H 2, ..., H n en komplet gruppe af hypoteser.
Eksempler
Hvis du omhyggeligt studerer en sektion af matematik, er den ikke komplet uden øvelser og prøveløsninger. Det samme er sandsynlighedsteorien: Begivenheder og eksempler her er en integreret komponent, der bekræfter videnskabelige beregninger.
Formel for antallet af permutationer
Lad os sige, at der er tredive kort i et sæt kort, startende med værdien et. Næste spørgsmål. Hvor mange måder er der til at stable bunken, så kort med værdi et og to ikke er ved siden af hinanden?
Opgaven er sat, lad os nu gå videre til at løse den. Først skal du bestemme antallet af permutationer af tredive elementer, for dette tager vi formlen præsenteret ovenfor, det viser sig P_30 = 30!.
Baseret på denne regel finder vi ud af, hvor mange muligheder der er for at folde bunken på forskellige måder, men vi skal trække dem fra dem, hvor det første og andet kort er ved siden af hinanden. For at gøre dette, lad os starte med muligheden, når den første er over den anden. Det viser sig, at det første kort kan fylde niogtyve pladser - fra det første til det niogtyvende, og det andet kort fra det andet til det tredivte, hvilket giver i alt niogtyve pladser for et par kort. Til gengæld kan resten acceptere otteogtyve pladser og i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, for at omarrangere otteogtyve kort, er der otteogtyve muligheder P_28 = 28!
Som et resultat viser det sig, at hvis vi overvejer løsningen, når det første kort er over det andet, vil der være 29 ⋅ 28 ekstra muligheder! = 29!
Ved at bruge samme metode skal du beregne antallet af overflødige muligheder for sagen, når det første kort er under det andet. Det viser sig også at være 29 ⋅ 28! = 29!
Det følger af dette, at der er 2 ⋅ 29 ekstra muligheder!, mens de nødvendige måder at samle et dæk på er 30! - 2 ⋅ 29!. Der er kun tilbage at tælle.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Nu skal du gange alle tallene fra en til niogtyve, og så til sidst gange alt med 28. Svaret er 2,4757335 ⋅〖10〗^32
Eksempel løsning. Formel for placeringsnummer
I denne opgave skal du finde ud af, hvor mange måder der er at lægge femten bind på en hylde, men forudsat at der er tredive bind i alt.
Løsningen på dette problem er lidt enklere end den forrige. Ved hjælp af den allerede kendte formel er det nødvendigt at beregne det samlede antal arrangementer på tredive bind på femten.
A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 003
Svaret vil derfor være lig med 202.843.204.931.727.360.000.
Lad os nu tage en lidt sværere opgave. Du er nødt til at finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere tredive bøger på to bogreoler, da en hylde kun kan rumme femten bind.
Inden jeg starter løsningen, vil jeg gerne præcisere, at nogle problemer kan løses på flere måder, og denne har to metoder, men begge bruger den samme formel.
I denne opgave kan du tage svaret fra den forrige, for der har vi regnet ud, hvor mange gange du kan fylde en hylde med femten bøger på forskellige måder. Det viste sig at A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.
Vi vil beregne den anden hylde ved hjælp af permutationsformlen, fordi der kan placeres femten bøger i den, mens der kun er femten tilbage. Vi bruger formlen P_15 = 15!.
Det viser sig, at totalen vil være A_30^15 ⋅ P_15 måder, men ud over dette skal produktet af alle tal fra tredive til seksten ganges med produktet af tal fra et til femten, i sidste ende får produktet af alle tal fra et til tredive, det vil sige, at svaret er lig med 30!
Men dette problem kan løses på en anden måde - nemmere. For at gøre dette kan du forestille dig, at der er en hylde til tredive bøger. Alle er placeret på dette fly, men da tilstanden kræver, at der er to hylder, så vi en lang i halvdelen, så vi får to af femten. Heraf viser det sig, at der kan være P_30 = 30 muligheder for arrangement!.
Eksempel løsning. Formel for kombinationsnummer
Nu vil vi overveje en version af det tredje problem fra kombinatorik. Det er nødvendigt at finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere femten bøger på, forudsat at du skal vælge mellem tredive helt identiske.
For at løse vil formlen for antallet af kombinationer naturligvis blive anvendt. Af betingelsen bliver det klart, at rækkefølgen af de identiske femten bøger ikke er vigtig. Derfor skal du først finde ud af det samlede antal kombinationer af tredive bøger på femten.
C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520
Det er alt. Ved at bruge denne formel var vi i stand til at løse dette problem på kortest mulig tid; svaret er derfor 155.117.520.
Eksempel løsning. Klassisk definition af sandsynlighed
Ved at bruge formlen ovenfor kan du finde svaret på et simpelt problem. Men dette vil hjælpe med tydeligt at se og spore handlingernes fremskridt.
Problemstillingen siger, at der er ti helt ens kugler i urnen. Af disse er fire gule og seks er blå. Den ene kugle tages fra urnen. Du skal finde ud af sandsynligheden for at blive blå.
For at løse problemet er det nødvendigt at udpege at få den blå bold som begivenhed A. Dette eksperiment kan have ti udfald, som igen er elementære og lige så mulige. Samtidig er seks ud af ti gunstige for begivenhed A. Vi løser ved hjælp af formlen:
P(A) = 6: 10 = 0,6
Ved at anvende denne formel lærte vi, at sandsynligheden for at få den blå kugle er 0,6.
Eksempel løsning. Sandsynlighed for summen af begivenheder
En mulighed vil nu blive præsenteret, der løses ved hjælp af sum-of-begivenheder-sandsynlighedsformlen. Så betingelsen er givet, at der er to kasser, den første indeholder en grå og fem hvide kugler, og den anden indeholder otte grå og fire hvide kugler. Som et resultat tog de en af dem fra den første og anden kasse. Du skal finde ud af, hvad chancen er for, at de bolde, du får, bliver grå og hvide.
For at løse dette problem er det nødvendigt at identificere begivenheder.
- Så A - tog en grå kugle fra den første boks: P(A) = 1/6.
- A’ - tog en hvid bold også fra den første boks: P(A") = 5/6.
- B - en grå kugle blev fjernet fra den anden boks: P(B) = 2/3.
- B’ - tog en grå kugle fra den anden boks: P(B") = 1/3.
I henhold til problemets betingelser er det nødvendigt, at et af fænomenerne sker: AB’ eller A’B. Ved hjælp af formlen får vi: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.
Nu er formlen til at gange sandsynligheden blevet brugt. Dernæst, for at finde ud af svaret, skal du anvende ligningen for deres addition:
P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.
Sådan kan du løse lignende problemer ved hjælp af formlen.
Bundlinie
Artiklen præsenterede oplysninger om emnet "Sandsynlighedsteori", hvor sandsynligheden for en begivenhed spiller en afgørende rolle. Selvfølgelig blev ikke alt taget i betragtning, men baseret på den præsenterede tekst kan du teoretisk sætte dig ind i dette afsnit af matematik. Den pågældende videnskab kan være nyttig ikke kun i faglige spørgsmål, men også i hverdagen. Med dens hjælp kan du beregne enhver mulighed for enhver begivenhed.
Teksten berørte også vigtige datoer i historien om dannelsen af sandsynlighedsteorien som en videnskab, og navnene på de personer, hvis arbejde blev investeret i den. Sådan førte menneskelig nysgerrighed til, at folk lærte at beregne selv tilfældige hændelser. Engang var de simpelthen interesserede i dette, men i dag ved alle allerede om det. Og ingen vil sige, hvad der venter os i fremtiden, hvilke andre strålende opdagelser relateret til den undersøgte teori vil blive gjort. Men én ting er sikkert – forskningen står ikke stille!