I de givne eksempler passerer akserne gennem kroppens inerticentrum. Inertimomentet i forhold til andre rotationsakser bestemmes ved hjælp af Steiners sætning: kroppens inertimoment i forhold til en vilkårlig rotationsakse er lig med summen af inertimomentetJci forhold til en parallel akse, der går gennem kroppens inerticenter, og værdien af produktet af kroppens masse med kvadratet af afstanden mellem dem. Hvormkropsvægt, og - afstand fra kroppens inerticentrum til den valgte rotationsakse, de der.
,Hvorm- kropsvægt, og - afstand fra centrum
kroppens inerti til den valgte rotationsakse.
Lad os bruge et eksempel til at demonstrere anvendelsen af Steiners sætning. Lad os beregne inertimomentet for en tynd stang i forhold til en akse, der går gennem dens kant vinkelret på stangen. Direkte beregning reduceres til det samme integral (*), men taget inden for forskellige grænser: 
Afstanden til aksen, der går gennem massecentret, er lig med EN = ℓ/2. Ved at bruge Steiners sætning får vi det samme resultat.
.
§22.Grundlæggende lov om rotationsbevægelsens dynamik.
Loverklæring: Ændringshastigheden af vinkelmomentet i forhold til polen er lig med hovedkraftmomentet i forhold til den samme pol, de der.
.
I projektioner på koordinatakserne: 
.
Hvis kroppen roterer i forhold til en fast akse, vil grundloven for rotationsbevægelsens dynamik have formen: . I dette tilfælde kan vinkelmomentet let udtrykkes gennem vinkelhastigheden og kroppens inertimoment i forhold til den pågældende akse: 
. Så vil den grundlæggende lov om dynamikken i rotationsbevægelse antage formen: 
. Hvis kroppen ikke smuldrer eller deformeres, så
, som følge heraf 
. Hvis til alt 
, At 
og det er lig med: 
.
Det elementære arbejde, der udføres af et kraftmoment under rotationsbevægelse i forhold til en fast akse, beregnes med formlen: 
(*). Fuldt arbejde 
. Hvis 
, At 
.
Ud fra formel (*) får vi et udtryk for den kinetiske energi af et stift legemes rotationsbevægelse i forhold til en fast akse. Fordi 
, At. Efter integration opnår vi det endelige resultat for den kinetiske energi af rotationsbevægelse i forhold til en fast akse 
.
§ 23. Lov om bevarelse af vinkelmomentum.
Som allerede nævnt er lovene om bevarelse af energi og momentum forbundet med homogeniteten af henholdsvis tid og rum. Men tredimensionelt rum har, i modsætning til endimensionel tid, en anden symmetri. Selve rummet isotropisk, der er ingen dedikerede anvisninger. Forbundet med denne symmetri fredningslovenimpulsmoment. Denne forbindelse manifesteres i det faktum, at vinkelmomentum er en af de vigtigste størrelser, der beskriver rotationsbevægelse.
Per definition er vinkelmomentet for en individuel partikel lig med 
.
Vektor retning L er bestemt af gimlet (proptrækker) reglen, og dens værdi er lig med L = r s synd , Hvor
vinklen mellem retningerne af partiklens radiusvektor og dens momentum. Størrelse ℓ = r synd lig med afstanden fra oprindelsen OM til den rette linje, langs hvilken partiklens momentum er rettet. Denne mængde kaldes impuls skulder. Vektor L afhænger af valget af oprindelsen af koordinater, derfor angiver de normalt, når de taler om det: "vinkelmomentum i forhold til punktet OM".
Lad os overveje den tidsafledede af vinkelmomentet:
.
Det første led er lig med nul, fordi . I det andet led, ifølge Newtons anden lov, kan den afledede med hensyn til momentum erstattes af kraften, der virker på kroppen. Vektorproduktet af radiusvektoren og kraften kaldes kraftmoment i forhold til punktet OM:
.
Retningen af kraftmomentet bestemmes af den samme gimlet-regel. Dens størrelse M = r F synd , Hvor
vinkel mellem radiusvektor og kraft. På samme måde som det blev gjort ovenfor, definerer vi også skulderstyrke
ℓ =
r
synd
- afstand fra punkt OM til styrkens virkelinje. Som et resultat opnår vi bevægelsesligningen for partiklens vinkelmoment: 
.
Formen af ligningen svarer til Newtons anden lov: i stedet for en partikels bevægelsesmængde er der vinkelmomentum, og i stedet for kraft er der kraftmoment. Hvis 
,At 
,
de der. vinkelmomentet er konstant i fravær af eksterne drejningsmomenter.
Loverklæring: Vinkelmomentet af et lukket system i forhold til polen ændrer sig ikke over tid.
I det særlige tilfælde af rotation om en fast akse har vi: 
, Hvor
indledende inertimoment og vinkelhastighed af kroppen i forhold til den betragtede akse, og
det sidste inertimoment og kroppens vinkelhastighed i forhold til den betragtede akse.
Loven om bevarelse af total mekanisk energi under hensyntagen til rotationsbevægelse: den samlede mekaniske energi i et konservativt system er konstant: .
Eksempel: Find systemets hastighed, når du kører en afstand h.
Givet: m, M, h. Find: V - ?
Steiners sætning - formulering
Ifølge Steiners sætning er det fastslået, at inertimoment af et legeme, når man beregner en relativt vilkårlig akse, svarer til summen af kroppens inertimoment i forhold til en akse, der passerer gennem massecentret og er parallel med denne akse, samt plus produktet af kvadratet af afstand mellem akserne og kroppens masse ifølge følgende formel (1):
Lektion: Sammenstødende kroppe. Absolut elastiske og absolut uelastiske stød
Introduktion
For at studere stoffets struktur, på den ene eller anden måde, bruges forskellige kollisioner. For at undersøge et objekt bestråles det for eksempel med lys eller en strøm af elektroner, og ved at sprede dette lys eller en strøm af elektroner, et fotografi eller en røntgenstråle eller et billede af dette objekt i nogle fysisk enhed opnås. Kollisionen af partikler er således noget, der omgiver os i hverdagen, i videnskaben, i teknologien og i naturen.
For eksempel producerer en enkelt kollision af blykerner i ALICE-detektoren af Large Hadron Collider titusindvis af partikler, fra bevægelsen og fordelingen af hvilke man kan lære om stoffets dybeste egenskaber. At overveje kollisionsprocesser ved hjælp af de bevarelseslove, vi taler om, giver os mulighed for at opnå resultater, uanset hvad der sker i kollisionsøjeblikket. Vi ved ikke, hvad der sker, når to blykerner kolliderer, men vi ved, hvad energien og momentum af de partikler, der flyver fra hinanden efter disse kollisioner, vil være.
I dag vil vi se på kroppens vekselvirkning under en kollision, med andre ord bevægelsen af ikke-interagerende kroppe, der kun ændrer deres tilstand ved kontakt, hvilket vi kalder en kollision eller påvirkning.
Når legemer kolliderer, behøver den kinetiske energi af de kolliderende legemer i det generelle tilfælde ikke at være lig med de flyvende legemers kinetiske energi. Faktisk interagerer kroppe med hinanden under en kollision, påvirker hinanden og udfører arbejde. Dette arbejde kan føre til en ændring i den kinetiske energi i hver krop. Derudover er det arbejde, som den første krop udfører på den anden, muligvis ikke lig med det arbejde, som den anden krop udfører på den første. Dette kan få mekanisk energi til at blive til varme, elektromagnetisk stråling eller endda skabe nye partikler.
Kollisioner, hvor den kinetiske energi af de kolliderende legemer ikke er bevaret, kaldes uelastiske.
Blandt alle mulige uelastiske kollisioner er der et ekstraordinært tilfælde, hvor de kolliderende kroppe klæber sammen som følge af sammenstødet og derefter bevæger sig som én. Denne uelastiske påvirkning kaldes absolut uelastisk (fig. 1).
EN) 
b)
Ris. 1. Absolut uelastisk kollision
Lad os overveje et eksempel på en fuldstændig uelastisk påvirkning. Lad en massekugle flyve i vandret retning med fart og kollidere med en stationær kasse med massesand, ophængt i en tråd. Kuglen satte sig fast i sandet, og så begyndte kassen med kuglen at bevæge sig. Under anslaget af kuglen og boksen er de ydre kræfter, der virker på dette system, tyngdekraften, rettet lodret nedad, og trådens spændingskraft, rettet lodret opad, hvis kuglens anslagstid var så kort. at tråden ikke havde tid til at afbøje. Således kan vi antage, at momentum af de kræfter, der virkede på kroppen under sammenstødet, var lig med nul, hvilket betyder, at loven om bevarelse af momentum er gyldig:
.
Betingelsen, at kuglen sidder fast i kassen, er tegn på et fuldstændig uelastisk stød. Lad os tjekke, hvad der skete med den kinetiske energi som følge af denne påvirkning. Kuglens indledende kinetiske energi:
endelig kinetisk energi af kugle og kasse:
simpel algebra viser os, at den kinetiske energi ændrede sig under sammenstødet:
Så kuglens indledende kinetiske energi er mindre end den sidste med en positiv værdi. Hvordan skete dette? Under sammenstødet virkede modstandskræfter mellem sandet og kuglen. Forskellen i kuglens kinetiske energier før og efter kollisionen er nøjagtigt lig med modstandskræfternes arbejde. Med andre ord gik kuglens kinetiske energi til at opvarme kuglen og sandet.
Hvis der som følge af sammenstødet mellem to legemer bevares kinetisk energi, kaldes en sådan kollision absolut elastisk.
Et eksempel på perfekt elastiske stød er kollisionen af billardkugler. Vi vil overveje det enkleste tilfælde af en sådan kollision - en central kollision.
En kollision, hvor hastigheden af den ene kugle passerer gennem den anden kugles massecenter, kaldes en central kollision. (Fig. 2.)
Ris. 2. Midterboldangreb
Lad den ene bold være i ro, og den anden flyve mod den med en vis hastighed, som ifølge vores definition passerer gennem midten af den anden bold. Hvis kollisionen er central og elastisk, frembringer kollisionen elastiske kræfter, der virker langs kollisionslinjen. Dette fører til en ændring i den vandrette komponent af den første bolds momentum og til fremkomsten af en vandret komponent af den anden bolds momentum. Efter stødet vil den anden bold modtage en impuls rettet mod højre, og den første bold kan bevæge sig både til højre og venstre - dette vil afhænge af forholdet mellem boldmasserne. I det generelle tilfælde skal du overveje en situation, hvor kuglernes masse er forskellige.
Loven om bevarelse af momentum er opfyldt for enhver kollision af bolde:
I tilfælde af en absolut elastisk påvirkning er loven om energibevarelse også opfyldt:
Vi får et system af to ligninger med to ukendte størrelser. Når vi har løst det, får vi svaret.
Hastigheden af den første bold efter stød er
,
Bemærk at denne hastighed kan være enten positiv eller negativ, afhængig af hvilken af kuglerne der har mere masse. Derudover kan vi skelne tilfældet, når boldene er identiske. I dette tilfælde stopper den første bold efter at have ramt. Hastigheden af den anden kugle, som vi bemærkede tidligere, viste sig at være positiv for ethvert forhold mellem kuglernes masse:
Lad os endelig se på tilfældet med en off-center-påvirkning i en forenklet form - når masserne af boldene er lige store. Så kan vi fra loven om bevarelse af momentum skrive:
Og fra det faktum, at kinetisk energi er bevaret:
Et off-centralt slag vil være, hvor hastigheden af den modkørende bold ikke vil passere gennem midten af den stationære bold (fig. 3). Fra loven om bevarelse af momentum er det klart, at kuglernes hastigheder vil danne et parallelogram. Og fra det faktum, at kinetisk energi er bevaret, er det klart, at det ikke vil være et parallelogram, men et kvadrat.
Ris. 3. Off-center påvirkning med lige store masser
Med et absolut elastisk off-center anslag, når kuglernes masser er lige store, flyver de således altid fra hinanden vinkelret på hinanden.
Modellen er en demonstration, der illustrerer loven om bevarelse af momentum. Elastiske og uelastiske kollisioner af bolde tages i betragtning.
Når kroppe interagerer, kan en krops impuls delvist eller fuldstændigt overføres til en anden krop. Hvis et system af kroppe ikke er påvirket af eksterne kræfter fra andre kroppe, så kaldes et sådant system lukket.
I et lukket system forbliver vektorsummen af impulserne fra alle legemer, der er inkluderet i systemet, konstant for enhver interaktion mellem organerne i dette system med hinanden.
Denne grundlæggende naturlov kaldes loven om bevarelse af momentum. Det er en konsekvens af Newtons anden og tredje lov .
Lad os overveje hvilke som helst to interagerende organer, der er en del af et lukket system. Vi betegner kræfterne til interaktion mellem disse legemer ved og ifølge Newtons tredje lov, hvis disse legemer interagerer over tid t, så er impulserne af interaktionskræfterne lige store og rettet i modsatte retninger:
Lad os anvende Newtons anden lov på disse kroppe:
Denne lighed betyder, at som et resultat af samspillet mellem to kroppe, har deres samlede momentum ikke ændret sig. Når vi nu overvejer alle mulige par-interaktioner af legemer, der er inkluderet i et lukket system, kan vi konkludere, at de indre kræfter i et lukket system ikke kan ændre dets samlede momentum, det vil sige vektorsummen af momentum af alle legemer, der er inkluderet i dette system.
b) Lov om energibevarelse
Konservative kræfter – kræfter, hvis arbejde ikke afhænger af banen, men kun bestemmes af punktets indledende og endelige koordinater.
I et system, hvor kun konservative kræfter virker, forbliver systemets samlede energi uændret. Kun omdannelsen af potentiel energi til kinetisk energi og omvendt er mulig.
Den potentielle energi af et materialepunkt er kun en funktion af dets (punktets) koordinater, hvilket betyder, at kræfterne kan defineres som følger: . – potentiel energi af et materielt punkt. 
Gang begge sider med og få 
. Lad os transformere og få et udtryk, der beviser loven om energibesparelse
.
c) Tab af mekanisk energi
Bernoullis sætning kan sammen med Eulers sætning, fremsat i 110, bruges til at udlede Borda (1733-1792)-Carnot-sætningen om tabet af mekanisk energi af en væskestrøm under dens pludselige ekspansion (fig. 328). Denne sætning tjener som en analog til Kar-teoremet
Tabet af mekanisk energi i et fremadgående stød kan karakteriseres ved forholdet mellem det samlede tryk bag stødet og det samlede tryk Poi foran det. Formlerne, der definerer denne relation, har formen
Denne ligning indikerer, at når et flydende medium bevæger sig, ændres dets indre energi både på grund af den eksterne tilstrømning af varme og på grund af spredningen af mekanisk energi. Dissipationsprocessen, som udtryk (5-84) viser, er forbundet med viskositet p og finder ikke sted for en ideel væske (p = 0). Da denne proces er irreversibel, kan den dissiperede energi Ed betragtes som mængden af tab af mekanisk energi.
Da mekaniske energitab er uundgåelige i enhver maskine, er den effekt, som motoren bruger til at drive pumpen (strømforbrug L) altid større end den nyttige effekt N - Disse tab estimeres ud fra pumpens samlede effektivitet
Ved udledning af ligning (136) blev væskens viskositet og det tilhørende tab af mekanisk energi under bevægelsen af en væskepartikel ikke taget i betragtning.
Når væske bevæger sig i et rør, er der et tab af mekanisk energi, derfor skal der være områder, hvor påvirkningen af viskositet er betydelig. På grund af væskens vedhæftning til rørets vægge er væskens øjeblikkelige og gennemsnitlige hastigheder på væggene nul. Derfor kan der ikke ske intensiv blanding af væsken i umiddelbar nærhed af rørvæggene. Dette tjener som grundlag for den konklusion, at umiddelbart i nærheden af væggene bør en skarp hastighedsændring bestemmes af væskens viskositetsegenskab, og at der skal eksistere et lag med laminær bevægelse nær væggene. Eksperimentelle data bekræfter godt denne konklusion.
Arbejdet med tyktflydende kræfter udført mellem to sektioner af flowet og pr. enheds masse, vægt eller volumen af en bevægelig væske kaldes mekaniske energitab eller hydrauliske tab. Hvis dette arbejde er relateret til en vægtenhed, kaldes de hydrauliske tab tryktab L.
Modellen af en inviscid væske kan ikke forklare oprindelsen af mekaniske energitab, når væske bevæger sig gennem rørledninger, og modstandseffekten generelt. For at beskrive disse fænomener anvendes en mere kompleks model af viskøs væske. Den enkleste og mest brugte model af en viskøs væske er den newtonske væske.
Arbejdet med trykkræfter p bruges på at overvinde modstandskræfter, som forårsager tab af mekanisk energi. Disse tab er direkte proportionale med længden af bevægelsesvejen, derfor kaldes de specifikke energitab langs længden. Hvis tabene udtrykkes i trykenheder, kaldes de tryktab på langs og betegnes pi. Hvis energitab udtrykkes i lineære enheder EJg), kaldes de hovedtab på langs og betegnes /g.
At opnå regelmæssige flow med lave tab under bremsning i diffusorer er en meget vanskeligere opgave end at opnå accelererede flow med lave tab i dyser. I diffusorer krænkes ideelle reversible bevægelser på grund af de samme årsager og egenskaber af mediet som i dyser, men når strømningen bremses, manifesterer indflydelsen af ovennævnte faktorer sig i stærkere grad. I diffusorer, på grund af bevægelsen mod stigende tryk, er betingelserne for strømningsadskillelse fra væggene mere gunstige end i dyser, hvor
EN) Friktion−− en af typerne af interaktion mellem kroppe. Det opstår, når to kroppe kommer i kontakt. Friktion, ligesom alle andre former for interaktion, adlyder Newtons tredje lov: Hvis en friktionskraft virker på et af legemerne, så virker en kraft af samme størrelse, men rettet i den modsatte retning, også på det andet legeme. Friktionskræfter er ligesom elastiske kræfter af elektromagnetisk karakter. De opstår på grund af interaktionen mellem atomer og molekyler i kontaktlegemer eller tilstedeværelsen af uregelmæssigheder og ruhed.
Tørre friktionskræfter er de kræfter, der opstår, når to faste legemer kommer i kontakt i fravær af et væske- eller gasformigt lag mellem dem. De er altid rettet tangentielt til kontaktfladerne.
Tør friktion, der opstår, når kroppen er i relativ hvile kaldes statisk friktion. Den statiske friktionskraft er altid lig med den ydre kraft og er rettet i den modsatte retning.
Den statiske friktionskraft kan ikke overstige en vis maksimumværdi (Ftr)max(Ftr)max. Hvis den ydre kraft er større end (Ftr)max(Ftr)max, opstår relativ slip. Friktionskraften kaldes i dette tilfælde glidende friktionskraft. Den er altid rettet i den modsatte retning af bevægelsesretningen og afhænger generelt af kroppens relative hastighed. I mange tilfælde kan den glidende friktionskraft dog tilnærmelsesvis betragtes som uafhængig af legemernes relative hastighed og lig med den maksimale statiske friktionskraft. Denne model af tør friktionskraft bruges til at løse mange simple fysiske problemer.
b) Glidende friktionskraft- den kraft, der opstår mellem kontaktende legemer under deres relative bevægelse.
Det er eksperimentelt blevet fastslået, at friktionskraften afhænger af legemers trykkraft på hinanden (støttereaktionskraft), af gnidningsfladernes materialer og af den relative bevægelseshastighed. Da ingen krop er absolut glat, friktionskraften Ikke afhænger af kontaktområdet, og det sande kontaktareal er meget mindre end det observerede; Ved at øge arealet reducerer vi desuden det specifikke pres fra kroppe på hinanden.
Den mængde, der kendetegner gnidningsfladerne, kaldes friktionskoefficient, og er oftest betegnet med et latinsk bogstav (\displaystyle k) eller et græsk bogstav (\displaystyle \mu ). Det afhænger af arten og kvaliteten af behandlingen af gnidningsoverfladerne. Derudover afhænger friktionskoefficienten af hastigheden. Imidlertid er denne afhængighed oftest svagt udtrykt, og hvis større målenøjagtighed ikke er påkrævet, kan (\displaystyle k) betragtes som konstant. Til en første tilnærmelse kan størrelsen af den glidende friktionskraft beregnes ved hjælp af formlen:
(\displaystyle F=kN)
(\displaystyle k) - glidende friktionskoefficient,
(\displaystyle N) - normal jordreaktionskraft.
V) Friktionskoefficient etablerer proportionalitet mellem friktionskraften og den normale trykkraft, der presser kroppen til støtten. Friktionskoefficienten er en kumulativ karakteristik af et par materialer, der er i kontakt og afhænger ikke af kontaktområdet mellem kroppe.
Typer af friktion
Statisk friktion viser sig, når en krop, der var i hvile, sættes i bevægelse. Den statiske friktionskoefficient er angivet μ 0 .
Glidende friktion manifesterer sig i nærvær af kropsbevægelser, og det er væsentligt mindre end statisk friktion.
Den rullende friktionskraft afhænger af den rullende genstands radius. I typiske tilfælde (ved beregning af rullefriktionen af hjul på et tog eller en bil), når hjulets radius er kendt og konstant, tages den i betragtning direkte i rullefriktionskoefficienten μ kvalitet.
Statisk friktionskoefficient
kroppen begynder at bevæge sig
(statisk friktionskoefficient μ 0
)
A) 5,6. Momentum af et materialepunkt og en stiv krop
Vektorproduktet af radiusvektoren for et materialepunkt og dets momentum: kaldet dette punkts vinkelmomentum i forhold til punkt O (fig. 5.4)
En vektor kaldes nogle gange også vinkelmomentet af et materialepunkt. Den er rettet langs rotationsaksen vinkelret på planet trukket gennem vektorerne og danner en højre trippel af vektorer med dem (når det observeres fra vektorens toppunkt, er det klart, at rotationen langs den korteste afstand fra k sker mod uret).
Vektorsummen af vinkelmomentet af alle materielle punkter i systemet kaldes systemets vinkelmomentum (bevægelsesmoment) i forhold til punkt O:
Vektorer og er indbyrdes vinkelrette og ligger i et plan vinkelret på kroppens rotationsakse. Derfor . Under hensyntagen til forholdet mellem lineære og vinkelstørrelser
og er rettet langs kroppens rotationsakse i samme retning som vektoren.
Dermed.
Momentum af et legeme i forhold til rotationsaksen
| (5.9) |
Følgelig er et legemes vinkelmoment i forhold til omdrejningsaksen lig med produktet af kroppens inertimoment i forhold til samme akse og vinkelhastigheden af kroppens rotation omkring denne akse.
« 5.5. Newtons anden lov for rotationsbevægelse og dens analyse
5.7. Grundlæggende ligning for dynamikken i rotationsbevægelse »
Afsnit: Dynamik af rotationsbevægelse af et stivt legeme, Fysisk grundlag for mekanik
B) Ligning for dynamik af rotationsbevægelse af et stivt legeme
Kraftmoment i forhold til et fast punkt O kaldes en pseudovektor-mængde lig med vektorproduktet af radiusvektoren , trukket fra punktet O på tidspunktet for anvendelse af magt, på magt
Modulus af kraftmoment:
- pseudovektor, dens retning falder sammen med retningen af bevægelsesplanet for den højre propel, når den roterer fra til. Retning af kraftmomentet kan også bestemmes af venstre hånds regel: placer fire fingre på venstre hånd i retning af den første faktor, den anden faktor kommer ind i håndfladen, tommelfingeren bøjet i en ret vinkel vil angive retningen af kraftmomentet . Vektoren for kraftmomentet er altid vinkelret på det plan, hvori vektorerne og ligger.
Hvor er den korteste afstand mellem kraftens virkelinje og punktet OM kaldet kraftens skulder.
Kraftmoment om en fast akse Z kaldet en skalar størrelse lig med projektionen på denne akse af vektoren for kraftmomentet, defineret i forhold til et vilkårligt punkt O på en given akse Z. Hvis aksen Z er vinkelret på det plan, som vektorerne og ligger i, dvs. falder sammen med vektorens retning, derefter kraftmomentet 
er repræsenteret som en vektor, der falder sammen med aksen.
En akse, hvis position i rummet forbliver uændret, når den roterer rundt om et legeme i fravær af ydre kræfter, kaldes kroppens frie akse.
For et legeme af enhver form og med en vilkårlig massefordeling er der 3 indbyrdes vinkelrette akser, der passerer gennem kroppens inerticenter, som kan tjene som frie akser: de kaldes kroppens hovedinertiakser.
Lad os finde et udtryk for rotationsarbejde kroppe. Lad det gå til messen m et stift legeme påvirkes af en ydre kraft. Så arbejdet udført af denne kraft i tiden d t svarende til
Lad os udføre en cyklisk omarrangering af faktorer i et blandet produkt af vektorer ved hjælp af reglen
Det arbejde, der udføres, når et legeme roterer, er lig med produktet af kraftens virkningsmoment og rotationsvinklen. Når en krop roterer, går arbejdet mod at øge dens kinetiske energi:
Derfor,
- ligning af dynamik i rotationsbevægelse
Hvis rotationsaksen falder sammen med inertihovedaksen, der passerer gennem massecentret, er vektorens lighed opfyldt
І - hovedinertimoment (inertimoment om hovedaksen)
Torsionsvibrationer
TORSIONSVIBRATIONER- mekanisk vibrationer, hvorunder elastiske elementer oplever forskydningsdeformation. De foregår i forskellige maskiner med roterende aksler: i stempelmotorer, turbiner, generatorer, gearkasser, transmissioner af transportkøretøjer.
K. at opstå som følge af ujævn periodicitet. moment af både drivkræfter og modstandskræfter. Ujævnheden af drejningsmomentet forårsager ujævne ændringer i akslens vinkelhastighed, dvs. enten acceleration eller deceleration af rotationen. Normalt består skaftet af en vekslen mellem sektioner med lav masse og elastisk overensstemmelse med mere stive sektioner, hvilket betyder, at de er fastgjort til dem. masser. Hver sektion af akslen vil have sin egen grad af ujævn rotation, da masserne i samme tidsrum passerer forskellige vinkler og derfor bevæger sig med forskellige hastigheder, hvilket skaber variabel vridning af akslen og dynamisk. vekselspændinger, kap. arr. tangenter.
Når de naturlige frekvenser falder sammen. oscillationer af systemet med en periodisk frekvens. drejningsmoment af drivkræfter og modstandskræfter, opstår der resonanssvingninger. I dette tilfælde øges det dynamiske niveau. vekselspændinger; akustiske stigninger støj fra en kørende maskine. Dynamisk vekslende spændinger med forkert valgte (undervurderede) akseldimensioner, utilstrækkelig styrke af dets materiale og forekomsten af resonans kan overskride holdbarhedsgrænsen, hvilket vil føre til træthed af akselmaterialet og dets ødelæggelse.
Ved beregning af drejningsmomentet for maskinaksler bruges ofte et beregningsskema med to skiver forbundet med en elastisk stang, der virker i torsion. I dette tilfælde egen. frekvens
Hvor jeg 1 - inertimoment af den 1. disk, jeg 2 - inertimoment af den 2. disk, MED- vridningsstivhed af stangen, for en rund stang med en diameter d og længde l C hvor G er forskydningsmodulet. Mere komplekse beregningsskemaer indeholder et større antal diske forbundet med stænger og danner en serie. kæder, og nogle gange forgrenede og ringkæder. Beregning af egen frekvenser af former og tvungne kohærente bølger i henhold til disse beregningsskemaer udføres på en computer.
Dr. Et eksempel på et torsionspendul er et torsionspendul, som er en skive monteret på den ene ende af en torsionsstang og stift forseglet i den anden ende. Egen frekvensen af et sådant pendul 
Hvor jeg- diskens inertimoment. Instrumenter, der bruger et torsionspendul, bruges til at bestemme forskydningsmodulet for elasticitet, koefficient. indre friktion af faste materialer under forskydning, koefficient. væskeviskositet.
K. at opstå i en række elastiske systemer; i nogle tilfælde er ledsvingninger med nedbrydning mulige. typer af deformation af systemelementer, f.eks. bøjnings-torsionsvibrationer. Altså på en vis flyveforhold under påvirkning af aerodynamisk. Kræfter forårsager nogle gange selveksciterede bøjnings-torsionsvibrationer af en flyvinge (den såkaldte flagre), som kan forårsage ødelæggelse af vingen.
Lit.: Den-Hartog D. P., Mekaniske vibrationer, trans. fra engelsk, M., 1960; Maslov G.S., Beregninger af akselvibrationer. Directory, 2. udgave, M., 1980; Vibrationer i teknologi. Håndbog, udg. V.V. Bolotina, bind 1, M., 1978; Kraftoverførsel af transportkøretøjer, L., 1982. A.V. Sinev
Amplitude af svingninger(lat. amplitude- størrelse) er den største afvigelse af det oscillerende legeme fra ligevægtspositionen.
For et pendul er dette den maksimale afstand, som bolden bevæger sig væk fra sin ligevægtsposition (figur nedenfor). For svingninger med små amplituder kan en sådan afstand tages som længden af buen 01 eller 02 og længderne af disse segmenter.
Amplituden af svingninger måles i længdeenheder - meter, centimeter osv. På oscillationsgrafen er amplituden defineret som den maksimale (modulo) ordinat af den sinusformede kurve (se figuren nedenfor).
Oscillationsperiode.
Oscillationsperiode- dette er den korteste tidsperiode, hvorigennem et system, der oscillerer, vender tilbage til den samme tilstand, som det var i det indledende tidspunkt, valgt vilkårligt.
Med andre ord, oscillationsperioden ( T) er den tid, det tager at gennemføre en komplet svingning. For eksempel, i figuren nedenfor, er dette den tid, det tager for pendulbobben at bevæge sig fra punktet længst til højre gennem ligevægtspunktet OM til det yderste venstre punkt og tilbage gennem punktet OM igen yderst til højre.
Over en hel svingningsperiode bevæger kroppen sig således en vej svarende til fire amplituder. Svingningsperioden måles i tidsenheder - sekunder, minutter osv. Svingningsperioden kan bestemmes ud fra en velkendt graf over svingninger (se figuren nedenfor).
Konceptet "oscillationsperiode" er strengt taget kun gyldigt, når værdierne af den oscillerende mængde gentages nøjagtigt efter en vis tidsperiode, det vil sige for harmoniske svingninger. Dette begreb gælder dog også i tilfælde af tilnærmelsesvis gentagne mængder, f.eks dæmpede svingninger.
Oscillationsfrekvens.
Oscillationsfrekvens- dette er antallet af svingninger udført pr. tidsenhed, for eksempel på 1 s.
SI-enheden for frekvens er navngivet hertz(Hz) til ære for den tyske fysiker G. Hertz (1857-1894). Hvis oscillationsfrekvensen ( v) er lig med 1 Hz, betyder det, at der hvert sekund er én svingning. Hyppigheden og perioden for oscillationer er relateret af relationerne:
I oscillationsteorien bruger de også begrebet cyklisk, eller cirkulær frekvens ω . Det er relateret til den normale frekvens v og svingningsperiode T forhold:
.
Cyklisk frekvens er antallet af svingninger udført pr 2π sekunder
a) Oscillationer. Dæmpet og udæmpet
Gentagne processer definerer vores liv. Vinter følger sommer, dag følger nat, indånding følger udånding. Tiden flyver, og vi måler det også ved at gentage processer. Gentagne processer er udsving.
Oscillationer ændringer i en fysisk størrelse, der gentages over tid, kaldes.
Hvis disse ændringer gentages efter et vist tidsinterval, kaldes oscillationer "periodisk". Korteste tidsinterval T, hvorigennem værdierne af en fysisk størrelse gentages På), hedder periode hendes tøven A(t + T) =På). Antal svingninger pr. tidsenhed v hedder vibrationsfrekvens. Oscillationsfrekvensen og perioden er relateret af relationen v = 1/T. Oscillationer af et system, der opstår i fravær af ydre påvirkning kaldes gratis. Ydre påvirkning er nødvendig for at excitere svingninger. Systemet tilføres energi udefra, hvorved der opstår svingninger. Denne ydre påvirkning tager systemet ud af ligevægtspositionen, og efterfølgende bevæger det sig rundt i ligevægtspositionen, forlader og vender tilbage til det og overskrider det ved inerti. Og dette gentages igen og igen. Bevægelse betyder i denne sammenhæng et statsskifte. I mekaniske systemer dette kan være en bevægelse i rummet eller en ændring i tryk, i elektriske- ændring i ladningsværdi eller feltstyrke. Der er et uendeligt antal forskellige bevægelser og tilsvarende oscillerende processer.
Ethvert system, der gennemgår oscillerende bevægelse, kaldes"oscillator" (oversat fra lat.oscillo- "oscillere"), derfor erstattes ordet "oscillationer" ofte med udtrykket "oscillationer".
Hvis amplituden af oscillationerne ikke ændrer sig over tid, kaldes harmoniske svingningerudæmpet .
Differentialligning, der beskriver harmoniske udæmpede svingninger, har formen:
d 2 A(t) /dt 2+ ω 0 2 A(t) = 0.
Ȧ +ω 0 2 A = 0.
Hvis amplituden falder over tid, kaldes oscillationenfalmning .
almindelige eksempel på dæmpede svingninger- svingninger, hvor amplituden falder ifølge loven
A 0 (t) =a 0 e-βt.
Dæmpningskoefficient β > 0.
I SI-systemet måles tiden i henholdsvis s og frekvens i gensidige sekunder (s -1). Denne måleenhed har et særligt navn"hertz" 1 Hz = 1 s-1. Den tyske fysiker Heinrich Rudolf Gehr
Inertimomentet er defineret som, hvis massefordelingen er ensartet, så erstattes den af – elementært volumen, – stoffets massefylde. .
Steiners sætning: inertimomentet om en vilkårlig akse er lig med summen af inertimomentet om en akse parallel med den givne og går gennem kroppens inerticenter, og produktet af kroppens masse vha. kvadratet på afstanden a mellem akserne:.
Inertimoment:
1) en homogen tynd massestang, længde i forhold til aksen, der går gennem massecentret og vinkelret på stangen:
2) en homogen tynd stang af masse, længde i forhold til aksen, der går gennem en af stangens ender:
3) en tynd ring med masse, radius R i forhold til symmetriaksen vinkelret på ringens plan:
4) en homogen skive (cylinder) med masse, radius R, højde h i forhold til symmetriaksen vinkelret på basen: .
21. Kinetisk energi af et roterende stivt legeme.
Når et legeme roterer med vinkelhastighed, bevæger alle dets elementære masser sig med en hastighed, de har kinetisk energi, - for et legeme, der roterer omkring en fast akse. Under rotation virker både ydre og indre kræfter på de materielle massepunkter, der danner et stift legeme. Over en periode oplever den forskydning, mens kræfter virker. Det arbejde, der udføres af alle kræfter, vil være ligeværdigt. Når man adderer under hensyntagen til Newtons 3. lov, er summen af de indre kræfters arbejde = 0. Derfor. I overensstemmelse med kinetisk energisætningen er stigningen i kinetisk energi = arbejdet af alle kræfter, der virker på kroppen.
Lad os beregne den kinetiske energi af et stivt legeme, der udfører vilkårlig planbevægelse. alle punkter bevæger sig i parallelle planer. Rotation sker omkring en akse, vinkelret på planerne, og bevæger sig sammen med et bestemt punkt O. Lad os repræsentere hastigheden af et materielt massepunkt i formen . Kroppen bevæger sig translationelt, er derfor et udtryk for den kinetiske energi af en krop, der udfører vilkårlig planbevægelse. Hvis vi vælger massecentrum som punkt O, så .
Gyroskoper.
Gyroskop(eller top) er et massivt fast legeme, symmetrisk til en bestemt akse, der roterer omkring det med en høj vinkelhastighed. På grund af gyroskopets symmetri, . Når du forsøger at rotere et roterende gyroskop omkring en bestemt akse, gyroskopisk effekt– under påvirkning af kræfter, der tilsyneladende skulle forårsage en rotation af gyroskopets akse OO omkring den rette linie O'O', roterer gyroskopets akse omkring den rette linie O''O'' (den akse OO og den rette linie O'O' antages at ligge i tegningens plan, og den rette linie O''O'' og kræfterne f1 og f2 er vinkelrette på denne plan). Forklaringen af effekten er baseret på brugen af momentligningen. Vinkelmomentet roterer omkring OX-aksen på grund af forholdet. Sammen med OX roterer gyroskopet også. På grund af den gyroskopiske effekt begynder lejet, som gyroskopet roterer på, at virke gyroskopiske kræfter. Under påvirkning af gyroskopiske kræfter har gyroskopaksen en tendens til at indtage en position parallelt med vinkelhastigheden af jordens rotation.
Gyroskopets beskrevne adfærd er grundlaget gyroskopisk kompas. Fordele ved gyroskopet: angiver den nøjagtige retning til den geografiske nordpol, dets drift påvirkes ikke af metalgenstande.
Gyroskoppræcession– en speciel type gyroskopbevægelse opstår, hvis momentet af eksterne kræfter, der virker på gyroskopet, mens det forbliver konstant i størrelse, roterer samtidigt med gyroskopaksen og danner en ret vinkel med den hele tiden. Lad os overveje bevægelsen af et gyroskop med et fast punkt på aksen under påvirkning af tyngdekraften, er afstanden fra det fikserede punkt til gyroskopets inerticentrum og er vinklen mellem gyroskopet og lodret. momentet er rettet vinkelret på det lodrette plan, der går gennem gyroskopets akse. Bevægelsesligning: momentum stigning = Følgelig ændrer dens position i rummet på en sådan måde, at dens ende beskriver en cirkel i det vandrette plan. Over en periode roterer gyroskopet gennem en vinkel 
Gyroskopaksen beskriver en kegle omkring en lodret akse med en vinkelhastighed - præcessionens vinkelhastighed.
Kære besøgende på webstedet, jeg gør dig opmærksom på et arbejde om matematik om emnet , hvor der præsenteres materialer af teoretisk og praktisk karakter, anbefalinger til problemløsning ved brug af den angivne sætning.
Steiners sætning, eller, som det kaldes i andre kilder, Huygens-Steiner-sætningen, fik sit navn til ære for sin forfatter, Jakob Steiner (schweizisk matematiker), og også takket være tilføjelser af Christian Huygens (hollandsk fysiker, astronom og matematiker). Lad os kort overveje deres bidrag til andre videnskaber.
Steiners sætning – om sætningens forfattere
Jacob Steiner
(1796—1863)
Jacob Steiner (1796-1863) er en af de videnskabsmænd, der anses for grundlæggeren af både den syntetiske geometri af buede linjer og overflader af anden og højere orden.
Hvad angår Christiaan Huygens, er hans bidrag til forskellige videnskaber heller ikke lille. Han forbedrede sig markant (op til 92 gange forstørrelse af billedet), opdagede Saturns ringe og dens satellit, Titan, og i 1673 præsenterede han i sit ret informative værk "Pendulum Clocks" arbejde om kinematik af accelereret .
Steiners sætning - formulering
Ifølge Steiners sætning er det fastslået, at inertimoment af et legeme, når man beregner en relativt vilkårlig akse, svarer til summen af kroppens inertimoment i forhold til en akse, der passerer gennem massecentret og er parallel med denne akse, samt plus produktet af kvadratet af afstand mellem akserne og kroppens masse ifølge følgende formel (1):
J=J0+md 2 (1)
Hvor i formlen tager vi følgende værdier: d
– afstand mellem akserne OO 1 ║О’O 1 ’;
J 0
– legemets inertimoment, beregnet i forhold til den akse, der passerer gennem massecentret og vil blive bestemt af relationen (2):
J0 =Jd =mR2/2(2)
Da d = R, vil inertimomentet om aksen, der passerer gennem punktet A angivet i figuren, blive bestemt af formel (3):
J=mR2+mR2/2 = 3/2mR2(3)
Mere detaljeret information om sætningen er præsenteret i abstraktet og præsentationen, som kan downloades fra links før artiklen.
Steiners sætning. Inertimoment - indhold af arbejdet
Introduktion
Del 1. Dynamik af rotation af en stiv krop
1.1. Inertimomenter af kuglen og disken
1.2. Huygens-Steiners sætning
1.3. Dynamik af rotationsbevægelse af en stiv krop - teoretisk grundlag
Momentum
Kraftens øjeblik
Inertimoment om rotationsaksen
Hovedloven for dynamikken i rotationsbevægelsen af et stivt legeme i forhold til en fast akse
Når man beskriver rotationsbevægelse matematisk, er det vigtigt at kende systemets inertimoment i forhold til aksen. I det generelle tilfælde involverer proceduren for at finde denne mængde implementering af integrationsprocessen. Den såkaldte Steiner-sætning giver os mulighed for at forenkle beregninger. Lad os se på det mere detaljeret i artiklen.
Hvad er inertimoment?
Før man præsenterer formuleringen af Steiners sætning, er det nødvendigt at forstå selve begrebet inertimoment. Lad os sige, at der er en krop med en vis masse og vilkårlig form. Dette legeme kan enten være et materielt punkt eller et hvilket som helst todimensionelt eller tredimensionelt objekt (stang, cylinder, kugle osv.). Hvis det pågældende objekt er i cirkulær bevægelse omkring en akse med konstant vinkelacceleration α, så kan følgende ligning skrives:
Her repræsenterer værdien M det samlede drejningsmoment, der giver acceleration α til hele systemet. Proportionalitetskoefficienten mellem dem er I, kaldet inertimomentet. Denne fysiske mængde beregnes ved hjælp af følgende generelle formel:
Her er r afstanden mellem et grundstof med masse dm og rotationsaksen. Dette udtryk betyder, at det er nødvendigt at finde summen af produkterne af kvadraterne af afstandene r 2 ved den elementære masse dm. Det vil sige, at inertimomentet ikke er en ren egenskab ved kroppen, hvilket adskiller den fra lineær inerti. Det afhænger af fordelingen af masse i hele objektet, der roterer, såvel som af afstanden til aksen og af kroppens orientering i forhold til den. For eksempel vil en stang have et andet I, hvis den drejes i forhold til massecentret og i forhold til enden.
Inertimoment og Steiners sætning
Den berømte schweiziske matematiker, Jakob Steiner, beviste teoremet om parallelle akser og inertimoment, som nu bærer hans navn. Denne sætning postulerer, at inertimomentet for absolut ethvert stivt legeme med vilkårlig geometri i forhold til en rotationsakse er lig med summen af inertimomentet omkring den akse, der skærer kroppens massecenter og er parallel med den første. , og produktet af kroppens masse med kvadratet af afstanden mellem disse akser. Matematisk er denne formulering skrevet som følger:
I Z og I O er inertimomenterne i forhold til Z-aksen og O-aksen parallelt med den, som passerer gennem kroppens massecenter, l er afstanden mellem rette linjer Z og O.
Sætningen tillader, ved at kende værdien af I O, at beregne ethvert andet moment I Z i forhold til aksen, der er parallel med O.
Bevis for sætningen
Formlen for Steiners sætning kan nemt fås på egen hånd. For at gøre dette skal du overveje en vilkårlig krop på xy-planet. Lad oprindelsen af koordinaterne passere gennem dette legemes massecenter. Lad os beregne inertimomentet I O, som går gennem origo vinkelret på xy-planet. Da afstanden til ethvert punkt på kroppen er udtrykt med formlen r = √ (x 2 + y 2), så får vi integralet:
I O = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ m ((x 2 +y 2) *dm)
Nu flytter vi aksen parallelt med x-aksen med en afstand l, for eksempel i positiv retning, så vil beregningen for den nye akse for inertimomentet se sådan ud:
I Z = ∫ m (((x+l) 2 +y 2)*dm)
Lad os åbne hele firkanten i parentes og dividere integranderne, vi får:
I Z = ∫ m ((x 2 +l 2 +2*x*l+y 2)*dm) = ∫ m ((x 2 +y 2)*dm) + 2*l*∫ m (x*dm) + l 2 *∫ m dm
Det første af disse led er værdien af I O, det tredje led, efter integration, giver udtrykket l 2 *m, men det andet led er lig med nul. Nulstillingen af dette integral skyldes, at det er taget fra produktet af x og masseelementer dm, hvilket i gennemsnit giver nul, da massecentret er placeret ved koordinaternes begyndelse. Som et resultat opnås formlen for Steiners sætning.
Det betragtede tilfælde på et plan kan generaliseres til et volumetrisk legeme.
Kontrol af Steiners formel ved hjælp af eksemplet med en stang
Lad os give et simpelt eksempel for at demonstrere, hvordan man bruger den betragtede sætning.
Det er kendt, at for en stang med længden L og massen m er inertimomentet I O (aksen passerer gennem massecentret) lig m*L 2 /12, og momentet I Z (aksen går gennem enden af stangen) er lig med m*L 2 /3. Lad os tjekke disse data ved hjælp af Steiners sætning. Da afstanden mellem de to akser er L/2, får vi øjeblikket I Z:
I Z = I O + m*(L/2) 2 = m*L2/12 + m*L2/4 = 4*m*L2/12 = m*L2/3
Det vil sige, at vi tjekkede Steiner-formlen og opnåede den samme værdi for I Z som i kilden.
Lignende beregninger kan udføres for andre legemer (cylinder, kugle, skive), mens der opnås de nødvendige inertimomenter og uden at udføre integration.
Inertimoment og vinkelrette akser
Den diskuterede sætning vedrører parallelle akser. For at fuldende oplysningerne er det også nyttigt at præsentere sætningen for vinkelrette akser. Det er formuleret som følger: for et fladt objekt med vilkårlig form vil inertimomentet om aksen vinkelret på det være lig summen af to inertimomenter omkring to indbyrdes vinkelrette akser, der ligger i objektets plan, mens alle tre akser skal passere gennem et punkt. Matematisk er det skrevet sådan:
Her er z, x, y tre indbyrdes vinkelrette rotationsakser.
Den væsentlige forskel mellem denne sætning og Steiners sætning er, at den kun gælder for flade (todimensionelle) faste objekter. Ikke desto mindre bruges det i praksis ret bredt, idet man mentalt skærer kroppen i separate lag og lægger derefter de resulterende inertimomenter sammen.