"Symboler er ikke kun optagelser af tanker,
et middel til at skildre og konsolidere det, -
nej, de påvirker selve tanken,
de ... guider hende, og det er nok
flytte dem på papir... for at
til fejlfrit at nå frem til nye sandheder."
L.Carnot
Matematiske tegn tjener primært til præcis (utvetydigt defineret) registrering af matematiske begreber og sætninger. Deres helhed i virkelige betingelser for deres anvendelse af matematikere udgør det, der kaldes matematisk sprog.
Matematiske symboler gør det muligt at skrive i en kompakt form sætninger, der er besværlige at udtrykke i almindeligt sprog. Dette gør dem nemmere at huske.
Før han bruger bestemte tegn i ræsonnementet, forsøger matematikeren at sige, hvad hver af dem betyder. Ellers forstår de ham måske ikke.
Men matematikere kan ikke altid umiddelbart sige, hvad dette eller hint symbol, de introducerede for enhver matematisk teori, afspejler. For eksempel opererede matematikere i hundreder af år med negative og komplekse tal, men den objektive betydning af disse tal og driften med dem blev først opdaget i slutningen af det 18. og begyndelsen af det 19. århundrede.
1. Symbolik af matematiske kvantificerere
Ligesom almindeligt sprog tillader sproget af matematiske tegn udveksling af etablerede matematiske sandheder, men er kun et hjælpeværktøj knyttet til almindeligt sprog og kan ikke eksistere uden det.
Matematisk definition:
I almindeligt sprog:
Funktionens grænse F (x) på et tidspunkt er X0 et konstant tal A, således at der for et vilkårligt tal E>0 eksisterer en positiv d(E), således at fra betingelsen |X - X 0 | Skrivning i kvantifikatorer (i matematisk sprog) 2. Symbolik af matematiske tegn og geometriske figurer. 1) Uendelighed er et begreb, der bruges i matematik, filosofi og naturvidenskab. Uendeligheden af et begreb eller en egenskab for et bestemt objekt betyder, at det er umuligt at angive grænser eller en kvantitativ målestok for det. Begrebet uendelighed svarer til flere forskellige begreber afhængig af anvendelsesområdet, det være sig matematik, fysik, filosofi, teologi eller hverdagsliv. I matematik er der ikke et enkelt begreb om uendelighed; det er udstyret med særlige egenskaber i hvert afsnit. Desuden er disse forskellige "uendeligheder" ikke udskiftelige. For eksempel indebærer mængdeteori forskellige uendeligheder, og den ene kan være større end den anden. Lad os sige, at antallet af heltal er uendeligt stort (det kaldes tælleligt). For at generalisere begrebet antallet af elementer for uendelige mængder, introduceres begrebet kardinalitet af en mængde i matematikken. Der er dog ingen "uendelig" magt. For eksempel er magten af mængden af reelle tal større end magten af heltal, fordi en-til-en korrespondance ikke kan bygges mellem disse mængder, og heltal indgår i de reelle tal. I dette tilfælde er det ene kardinaltal (lig med mængdens magt) "uendeligt" end det andet. Grundlæggeren af disse begreber var den tyske matematiker Georg Cantor. I calculus føjes to symboler til sættet af reelle tal, plus og minus uendeligt, der bruges til at bestemme grænseværdier og konvergens. Det skal bemærkes, at vi i dette tilfælde ikke taler om "håndgribelig" uendelighed, da enhver erklæring, der indeholder dette symbol, kun kan skrives ved hjælp af endelige tal og kvantifiers. Disse symboler (og mange andre) blev introduceret for at forkorte længere udtryk. Uendelighed er også uløseligt forbundet med betegnelsen for det uendeligt lille, for eksempel sagde Aristoteles: Uendeligheden fremstod i de fleste kulturer som en abstrakt kvantitativ betegnelse for noget ubegribeligt stort, anvendt på entiteter uden rumlige eller tidsmæssige grænser. 2) En cirkel er et geometrisk lokus af punkter på en plan, hvorfra afstanden til et givet punkt, kaldet cirklens centrum, ikke overstiger et givet ikke-negativt tal, kaldet radius af denne cirkel. Hvis radius er nul, så degenererer cirklen til et punkt. En cirkel er det geometriske sted for punkter på et plan, der er lige langt fra et givet punkt, kaldet centrum, i en given afstand, der ikke er nul, kaldet dets radius. 3) Firkant (rhombus) - er et symbol på kombinationen og rækkefølgen af fire forskellige elementer, for eksempel de fire hovedelementer eller de fire årstider. Symbol på tallet 4, lighed, enkelhed, integritet, sandhed, retfærdighed, visdom, ære. Symmetri er ideen, hvorigennem en person forsøger at forstå harmoni og er blevet betragtet som et symbol på skønhed siden oldtiden. De såkaldte "figurerede" vers, hvis tekst har omridset af en rombe, har symmetri. Vi - (E. Martov, 1894) 4) Rektangel. Af alle geometriske former er dette den mest rationelle, mest pålidelige og korrekte figur; empirisk forklares dette med, at rektanglet altid og overalt har været favoritformen. Med dens hjælp tilpassede en person rummet eller enhver genstand til direkte brug i hans hverdag, for eksempel: et hus, værelse, bord, seng osv. 5) Pentagon er en regulær femkant i form af en stjerne, et symbol på evighed, perfektion og universet. Pentagon - en sundhedsamulet, et skilt på dørene for at afværge hekse, emblemet for Thoth, Mercury, Celtic Gawain osv., et symbol på Jesu Kristi fem sår, velstand, held og lykke blandt jøderne, den legendariske Salomons nøgle; et tegn på høj status i det japanske samfund. 6) Regelmæssig sekskant, sekskant - et symbol på overflod, skønhed, harmoni, frihed, ægteskab, et symbol på tallet 6, et billede af en person (to arme, to ben, et hoved og en torso). 7) Korset er et symbol på de højeste hellige værdier. Korset modellerer det åndelige aspekt, åndens opstigning, aspirationen til Gud, til evigheden. Korset er et universelt symbol på livets og dødens enhed. 8) En trekant er en geometrisk figur, der består af tre punkter, der ikke ligger på samme linje, og tre segmenter, der forbinder disse tre punkter. 9) Sekstakket stjerne (Davidsstjerne) - består af to ligesidede trekanter overlejret på hinanden. En version af tegnets oprindelse forbinder dets form med formen af den hvide liljeblomst, som har seks kronblade. Blomsten blev traditionelt placeret under tempellampen, på en sådan måde, at præsten tændte et bål, som det var, i midten af Magen David. I Kabbalah symboliserer to trekanter menneskets iboende dualitet: godt mod ondt, åndeligt versus fysisk, og så videre. Den opadrettede trekant symboliserer vores gode gerninger, som stiger til himlen og får en strøm af nåde til at falde tilbage til denne verden (som er symboliseret ved den nedadgående trekant). Nogle gange kaldes Davidsstjernen Skaberens stjerne, og hver af dens seks ender er forbundet med en af ugens dage, og centrum med lørdag. 10) Femtakket stjerne - Bolsjevikkernes vigtigste karakteristiske emblem er den røde femtakkede stjerne, officielt installeret i foråret 1918. Oprindeligt kaldte bolsjevikisk propaganda den "Mars-stjernen" (hvilket angiveligt tilhørte den antikke krigsgud - Mars), og begyndte derefter at erklære, at "stjernens fem stråler betyder foreningen af det arbejdende folk på alle fem kontinenter i kampen mod kapitalismen." I virkeligheden har den femtakkede stjerne intet at gøre med hverken den militante guddom Mars eller det internationale proletariat, det er et ældgammelt okkult tegn (tilsyneladende af mellemøstlig oprindelse) kaldet "pentagram" eller "Salomons stjerne". Lad os bemærke, at pentagrammet ofte blev placeret af bolsjevikkerne på røde hærs uniformer, militærudstyr, forskellige skilte og alle slags egenskaber for visuel propaganda på en rent satanisk måde: med to "horn" oppe. 3. Frimurertegn Murere Motto:"Frihed. Lighed. Broderskab". En social bevægelse af frie mennesker, der på baggrund af frit valg gør det muligt at blive bedre, at komme tættere på Gud, og derfor anerkendes de som at forbedre verden. Tegn Det strålende øje (delta) er et gammelt, religiøst tegn. Han siger, at Gud overvåger hans skabninger. Med billedet af dette tegn bad frimurere Gud om velsignelser for enhver storslået handling eller for deres arbejde. The Radiant Eye er placeret på frontonen af Kazan-katedralen i St. Petersborg. Kombinationen af et kompas og en firkant i et frimurertegn. For den uindviede er dette et arbejdsredskab (murer), og for den indviede er det måder at forstå verden på og forholdet mellem guddommelig visdom og menneskelig fornuft. For guddommelig visdom er intet umuligt, den kan antage både en menneskelig form (-) og en guddommelig form (0), den kan indeholde alt. Således forstår det menneskelige sind guddommelig visdom og omfavner den. I filosofien er dette udsagn et postulat om absolut og relativ sandhed. Sekskantet stjerne (Bethlehem) Bogstavet G er betegnelsen på Gud (tysk - Got), universets store geometer. Konklusion Matematiske symboler tjener primært til nøjagtigt at registrere matematiske begreber og sætninger. Deres helhed udgør det, der kaldes matematisk sprog. Kurset bruger geometrisk sprog, sammensat af notationer og symboler vedtaget i et matematikkursus (især i det nye geometrikursus i gymnasiet). Hele rækken af betegnelser og symboler, såvel som forbindelserne mellem dem, kan opdeles i to grupper: gruppe I - betegnelser af geometriske figurer og forhold mellem dem; gruppe II betegnelser for logiske operationer, der danner det syntaktiske grundlag for det geometriske sprog. Nedenfor er en komplet liste over matematiske symboler brugt i dette kursus. Der lægges særlig vægt på de symboler, der bruges til at angive projektioner af geometriske figurer. Gruppe I SYMBOLER, DER ANVISER GEOMETRISKE FIGURE OG RELATIONER MELLEM DEM A. Betegnelse af geometriske figurer 1. En geometrisk figur er betegnet - F. 2. Punkter er angivet med store bogstaver i det latinske alfabet eller arabiske tal: A, B, C, D, ..., L, M, N, ... 1,2,3,4,...,12,13,14,... 3. Linjer, der er vilkårligt placeret i forhold til projektionsplanerne, er angivet med små bogstaver i det latinske alfabet: a, b, c, d, ... , l, m, n, ... Niveaulinjer er udpeget: h - vandret; f- foran. Følgende notationer bruges også til rette linjer: (AB) - en lige linje, der går gennem punkterne A og B; [AB) - stråle med begyndelse ved punkt A; [AB] - et lige linjestykke afgrænset af punkterne A og B. 4. Overflader er betegnet med små bogstaver i det græske alfabet: α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,... For at understrege den måde, en overflade er defineret på, skal de geometriske elementer, som den er defineret med, angives, for eksempel: α(a || b) - planet α er bestemt af parallelle linjer a og b; β(d 1 d 2 gα) - overfladen β bestemmes af guiderne d 1 og d 2, generatoren g og parallelismeplanet α. 5. Vinkler er angivet: ∠ABC - vinkel med toppunkt i punkt B, samt ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ... 6. Vinkel: værdien (gradmål) er angivet med tegnet, som er placeret over vinklen: Størrelsen af vinklen ABC; Størrelsen af vinklen φ. En ret vinkel er markeret med en firkant med en prik indeni 7. Afstandene mellem geometriske figurer er angivet med to lodrette segmenter - ||. For eksempel: |AB| - afstanden mellem punkt A og B (længde af segment AB); |Aa| - afstand fra punkt A til linje a; |Aα| - afstande fra punkt A til overflade α; |ab| - afstand mellem linje a og b; |αβ| afstand mellem overflader α og β. 8. For projektionsplaner accepteres følgende betegnelser: π 1 og π 2, hvor π 1 er det vandrette projektionsplan; π 2 - frontalt projektionsplan. Ved udskiftning af projektionsplaner eller indførelse af nye planer betegnes sidstnævnte π 3, π 4 osv. 9. Projektionsakserne er betegnet: x, y, z, hvor x er abscisseaksen; y - ordinatakse; z - applikationsakse. Monges konstante lige linjediagram er angivet med k. 10. Projektioner af punkter, linjer, overflader, enhver geometrisk figur er angivet med de samme bogstaver (eller tal) som originalen, med tilføjelse af en hævet skrift svarende til det projektionsplan, hvorpå de blev opnået: A", B", C", D", ... , L", M", N", vandrette projektioner af punkter; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontale projektioner af punkter; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - vandrette projektioner af linjer; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m ", n", ... frontale projektioner af linjer; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... vandrette projektioner af overflader; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontale projektioner af overflader. 11. Spor af planer (overflader) betegnes med samme bogstaver som horisontale eller frontale, med tilføjelse af underskriften 0α, der understreger, at disse linjer ligger i projektionsplanet og hører til planet (overfladen) α. Altså: h 0α - vandret spor af planet (overfladen) α; f 0α - frontal spor af planet (overfladen) α. 12. Spor af rette linjer (linjer) er angivet med store bogstaver, hvormed de ord begynder, der definerer navnet (på latinsk transskription) på det projektionsplan, som linjen skærer, med et underskrift, der angiver tilknytningen til linjen. For eksempel: H a - vandret spor af en ret linje (linje) a; F a - frontal spor af lige linje (linje) a. 13. Rækkefølgen af punkter, linjer (enhver figur) er markeret med sænket 1,2,3,..., n: A1, A2, A3,..., A n; a1, a2, a3,...,a n; a1, a2, a3,...,a n; Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n osv. Hjælpeprojektionen af et punkt, opnået som et resultat af transformation for at opnå den faktiske værdi af en geometrisk figur, er angivet med det samme bogstav med et underskrift 0: A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ... Axonometriske projektioner 14. Axonometriske projektioner af punkter, linjer, overflader er angivet med de samme bogstaver som naturen med tilføjelse af en superscript 0: A 0, B 0, C 0, D 0, ... 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ... a 0, b 0, c 0, d 0, ... α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ... 15. Sekundære projektioner er angivet ved at tilføje en hævet skrift 1: A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ... 1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ... a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ... α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ... For at gøre det lettere at læse tegningerne i lærebogen, bruges flere farver ved udformningen af det illustrative materiale, som hver har en vis semantisk betydning: sorte linjer (prikker) angiver de originale data; grøn farve bruges til linjer af hjælpegrafiske konstruktioner; røde linjer (prikker) viser resultaterne af konstruktioner eller de geometriske elementer, som man skal være særlig opmærksom på. Balagin Victor Med opdagelsen af matematiske regler og sætninger kom videnskabsmænd med nye matematiske notationer og tegn. Matematiske tegn er symboler designet til at registrere matematiske begreber, sætninger og beregninger. I matematik bruges specielle symboler til at forkorte notationen og mere præcist udtrykke udsagnet. Ud over tal og bogstaver i forskellige alfabeter (latinsk, græsk, hebraisk) bruger det matematiske sprog mange specielle symboler, der er opfundet i løbet af de sidste par århundreder. MATEMATISKE SYMBOLER. Jeg har gjort arbejdet 7. klasses elev GBOU gymnasiet nr. 574 Balagin Victor akademisk år 2012-2013 MATEMATISKE SYMBOLER. Ordet matematik kom til os fra oldgræsk, hvor μάθημα betød "at lære", "at erhverve viden". Og den, der siger: "Jeg har ikke brug for matematik, jeg skal ikke blive matematiker" tager fejl." Alle har brug for matematik. Ved at afsløre den vidunderlige verden af tal, der omgiver os, lærer den os at tænke mere klart og konsekvent, udvikler tankegang, opmærksomhed og fremmer udholdenhed og vilje. M.V. Lomonosov sagde: "Matematik bringer sindet i orden." Kort sagt lærer matematik os at lære at tilegne os viden. Matematik er den første videnskab, som mennesket kunne mestre. Den ældste aktivitet tæller. Nogle primitive stammer talte antallet af genstande ved hjælp af deres fingre og tæer. Et klippemaleri, der har overlevet den dag i dag fra stenalderen, forestiller tallet 35 i form af 35 pinde tegnet på række. Vi kan sige, at 1 pind er det første matematiske symbol. Den matematiske "skrift", som vi nu bruger - fra at betegne ukendte med bogstaverne x, y, z til integraletegnet - udviklede sig gradvist. Udviklingen af symbolismen forenklede arbejdet med matematiske operationer og bidrog til selve matematikkens udvikling. Fra oldgræsk "symbol" (græsk. symbolon - tegn, omen, kodeord, emblem) er et tegn, der er forbundet med den objektivitet, det angiver, på en sådan måde, at betydningen af tegnet og dets objekt kun repræsenteres af tegnet selv og kun afsløres gennem dets fortolkning. Med opdagelsen af matematiske regler og sætninger kom videnskabsmænd med nye matematiske notationer og tegn. Matematiske tegn er symboler designet til at registrere matematiske begreber, sætninger og beregninger. I matematik bruges specielle symboler til at forkorte notationen og mere præcist udtrykke udsagnet. Ud over tal og bogstaver i forskellige alfabeter (latinsk, græsk, hebraisk) bruger det matematiske sprog mange specielle symboler, der er opfundet i løbet af de sidste par århundreder. 2. Additions- og subtraktionstegn Historien om matematisk notation begynder med palæolitikum. Sten og knogler med indhak brugt til at tælle går tilbage til denne tid. Det mest kendte eksempel erIshango knogle. Den berømte knogle fra Ishango (Congo), der dateres tilbage til omkring 20 tusind år f.Kr., beviser, at mennesket allerede på det tidspunkt udførte ret komplekse matematiske operationer. Hakkene på knoglerne blev brugt til addition og blev påført i grupper, hvilket symboliserer tilføjelsen af tal. Det gamle Egypten havde allerede et meget mere avanceret notationssystem. For eksempel iAhmes papyrusAdderingssymbolet bruger et billede af to ben, der går fremad på tværs af teksten, og subtraktionssymbolet bruger to ben, der går baglæns.De gamle grækere indikerede addition ved at skrive side om side, men brugte lejlighedsvis skråstregsymbolet "/" og en semi-elliptisk kurve til subtraktion. Symbolerne for de aritmetiske operationer addition (plus "+'') og subtraktion (minus "-'') er så almindelige, at vi næsten aldrig tænker over, at de ikke altid har eksisteret. Oprindelsen af disse symboler er uklar. En version er, at de tidligere blev brugt i handel som tegn på overskud og tab. Det menes også, at vores tegnkommer fra en form af ordet "et", som betyder "og" på latin. Udtryk a+b det blev skrevet på latin sådan her: a et b . Gradvist, på grund af hyppig brug, fra skiltet " et "forbliver kun" t "som med tiden blev til"+
". Den første person, der kan have brugt tegnetsom en forkortelse for et, var astronomen Nicole d'Oresme (forfatter af The Book of the Sky and the World) i midten af det fjortende århundrede. I slutningen af det femtende århundrede brugte den franske matematiker Chiquet (1484) og italieneren Pacioli (1494) "'' eller " '' (betegner "plus") for tilføjelse og "'' eller " '' (betegner "minus") til subtraktion. Subtraktionsnotationen var mere forvirrende, fordi i stedet for en simpel "” i tyske, schweiziske og hollandske bøger brugte de nogle gange symbolet “÷’’, som vi nu bruger til at betegne division. Adskillige bøger fra det syttende århundrede (såsom Descartes og Mersenne) bruger to prikker "∙ ∙'' eller tre prikker "∙ ∙ ∙'' for at angive subtraktion. Første brug af det moderne algebraiske symbol "” henviser til et tysk algebramanuskript fra 1481, der blev fundet i Dresdens bibliotek. I et latinsk manuskript fra samme tid (også fra Dresden-biblioteket) er der begge tegn: ""Og" -". Systematisk brug af tegn"" og " - " for addition og subtraktion findes iJohann Widmann.
Den tyske matematiker Johann Widmann (1462-1498) var den første til at bruge begge tegn til at markere tilstedeværelse og fravær af studerende i sine forelæsninger. Sandt nok er der oplysninger om, at han "lånte" disse tegn fra en lidet kendt professor ved universitetet i Leipzig. I 1489 udgav han den første trykte bog i Leipzig (Mercantile Arithmetic - "Commercial Arithmetic"), hvor begge tegn var til stede Og , i værket "En hurtig og behagelig beretning for alle købmænd" (ca. 1490) Som en historisk kuriosum er det værd at bemærke, at selv efter vedtagelsen af tegnetikke alle brugte dette symbol. Widmann selv introducerede det som det græske kors(det tegn vi bruger i dag), hvor det vandrette streg nogle gange er lidt længere end det lodrette. Nogle matematikere, såsom Record, Harriot og Descartes, brugte det samme tegn. Andre (såsom Hume, Huygens og Fermat) brugte det latinske kors "†", nogle gange placeret vandret med en tværstang i den ene eller den anden ende. Endelig brugte nogle (såsom Halley) et mere dekorativt udseende " ».
3.Ligetegn Lighedstegnet i matematik og andre eksakte videnskaber er skrevet mellem to udtryk, der er identiske i størrelse. Diophantus var den første til at bruge lighedstegnet. Han betegnede lighed med bogstavet i (fra det græske isos - lige). Ioldtidens og middelalderens matematiklighed blev angivet verbalt, for eksempel est egale, eller de brugte forkortelsen "ae" fra det latinske aequalis - "lige". Andre sprog brugte også de første bogstaver i ordet "lige", men dette blev ikke generelt accepteret. Lighedstegnet "=" blev introduceret i 1557 af en walisisk læge og matematikerRobert Record(Optegnelse R., 1510-1558). I nogle tilfælde var det matematiske symbol for at betegne lighed symbolet II. Record introducerede symbolet "='' med to lige store vandrette parallelle linjer, meget længere end dem, der bruges i dag. Den engelske matematiker Robert Record var den første til at bruge lighedssymbolet og argumenterede med ordene: "ingen to objekter kan være mere lige hinanden end to parallelle segmenter." Men stadig indeXVII århundredeRene Descartesbrugte forkortelsen "ae".Francois VietLighedstegnet betegnede subtraktion. I nogen tid blev udbredelsen af Record-symbolet hæmmet af, at det samme symbol blev brugt til at indikere paralleliteten af lige linjer; I sidste ende blev det besluttet at gøre parallelitetssymbolet lodret. Tegnet blev først udbredt efter Leibniz' arbejde i begyndelsen af det 17.-18. århundrede, det vil sige mere end 100 år efter døden af den person, der først brugte det til dette formål.Robert Record. Der er ingen ord på hans gravsten – kun et lighedstegn hugget ind i den. De relaterede symboler til at betegne den omtrentlige lighed "≈" og identiteten "≡" er meget unge - det første blev introduceret i 1885 af Günther, det andet i 1857Riemann 4. Multiplikations- og divisionstegn Multiplikationstegnet i form af et kryds ("x") blev introduceret af en anglikansk præst-matematikerWilliam Oughtred V 1631. Før ham blev bogstavet M brugt til multiplikationstegnet, selvom andre notationer også blev foreslået: rektangelsymbolet (Erigon, ), stjerne ( Johann Rahn,
).
Senere Leibnizerstattede krydset med en prik (slut1600-tallet), for ikke at forveksle det med bogstavet x ; før ham fandt man en sådan symbolik blandtRegiomontana (15. århundrede) og engelsk videnskabsmandThomas Herriot (1560-1621).
For at angive opdelingens handlingRedigereforetrukne skråstreg. Tyktarmen begyndte at betegne delingLeibniz. Før dem brugte man også ofte bogstavet D. Startende medFibonacci, brøklinjen, som blev brugt i arabiske værker, bruges også. Opdeling i form obelus ("÷") introduceret af en schweizisk matematikerJohann Rahn(ca. 1660) 5. Procenttegn. En hundrededel af en helhed, taget som en enhed. Selve ordet "procent" kommer fra det latinske "pro centum", som betyder "per hundrede". I 1685 udkom bogen "Manual of Commercial Arithmetic" af Mathieu de la Porte (1685) i Paris. Et sted talte man om procenter, som så blev betegnet som "cto" (forkortelse for cento). Sætteren forvekslede imidlertid denne "cto" for en brøkdel og trykte "%". Så på grund af en tastefejl kom dette skilt i brug. 6.Uendelighedstegn Det nuværende uendelighedssymbol "∞" kom i brugJohn Wallis i 1655. John Wallisudgav en stor afhandling "Arithmetic of the Infinite" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi i Curvilineorum Quadraturam, alias Difficiliora Matheseos Problemata), hvor han indtastede det symbol, han opfandtuendelighed. Det vides stadig ikke, hvorfor han valgte netop dette tegn. En af de mest autoritative hypoteser forbinder oprindelsen af dette symbol med det latinske bogstav "M", som romerne brugte til at repræsentere tallet 1000.Uendelighedssymbolet blev kaldt "lemniscus" (latinsk bånd) af matematikeren Bernoulli omkring fyrre år senere. En anden version siger, at figur-otte-figuren formidler hovedegenskaben ved begrebet "uendelighed": bevægelse uendeligt . Langs linjerne med 8-tallet kan du bevæge dig uendeligt, som på en cykelsti. For ikke at forveksle det indtastede tegn med tallet 8 besluttede matematikere at placere det vandret. sket. Denne notation er blevet standard for al matematik, ikke kun algebra. Hvorfor er uendelighed ikke repræsenteret ved nul? Svaret er indlysende: uanset hvordan du drejer tallet 0, vil det ikke ændre sig. Derfor faldt valget på 8. En anden mulighed er en slange, der fortærer sin egen hale, som halvandet tusind år f.Kr. i Egypten symboliserede forskellige processer, der ikke havde nogen begyndelse eller ende. Mange tror, at Möbius-striben er symbolets stamfaderuendelighed, fordi uendelighedssymbolet blev patenteret efter opfindelsen af Mobius-strimmelenheden (opkaldt efter matematikeren Mobius fra det nittende århundrede). En Möbius-strimmel er en papirstrimmel, der er buet og forbundet i enderne og danner to rumlige overflader. Men ifølge tilgængelige historiske oplysninger begyndte uendelighedssymbolet at blive brugt til at repræsentere uendelighed to århundreder før opdagelsen af Möbius-striben 7. Tegn vinkel a og vinkelret sti Symboler " hjørne"og" vinkelret"opfundet i 1634fransk matematikerPierre Erigon. Hans vinkelret symbol var omvendt og lignede bogstavet T. Vinkelsymbolet lignede et ikon, gav den en moderne formWilliam Oughtred ().
8. Underskriv parallelitet Og Symbol " parallelitet»kendt siden oldtiden, blev den brugtHejre Og Pappus af Alexandria. Først lignede symbolet det nuværende lighedstegn, men med fremkomsten af sidstnævnte blev symbolet vendt lodret for at undgå forvirring (Redigere(1677), Kersey (John Kersey ) og andre matematikere fra det 17. århundrede) 9. Pi Den generelt accepterede betegnelse for et tal svarende til forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter (3.1415926535...) blev først dannetWilliam Jones V 1706tager det første bogstav i de græske ord περιφέρεια -cirkel og περίμετρος - omkreds, altså omkredsen. Jeg kunne godt lide denne forkortelse.Euler, hvis værker fast etablerede betegnelsen. 10. Sinus og cosinus Udseendet af sinus og cosinus er interessant. Sinus fra latin - sinus, hulrum. Men dette navn har en lang historie. Indiske matematikere gjorde store fremskridt inden for trigonometri omkring det 5. århundrede. Selve ordet "trigonometri" eksisterede ikke; det blev introduceret af Georg Klügel i 1770.) Det, vi nu kalder sinus, svarer nogenlunde til det, hinduerne kaldte ardha-jiya, oversat til halvstreng (dvs. halvakkord). For kortheds skyld kaldte de det simpelthen jiya (streng). Da araberne oversatte hinduernes værker fra sanskrit, oversatte de ikke "strengen" til arabisk, men transskriberede blot ordet med arabiske bogstaver. Resultatet var en jiba. Men da korte vokaler i stavelsesarabisk skrift ikke er angivet, er det, der i virkeligheden står tilbage, j-b, som ligner et andet arabisk ord - jaib (hul, barm). Da Gerard af Cremona i det 12. århundrede oversatte araberne til latin, oversatte han ordet sinus, som på latin også betyder sinus, depression. Cosinus dukkede op automatisk, fordi hinduerne kaldte det koti-jiya, eller ko-jiya for kort. Koti er den buede ende af en bue på sanskrit.Moderne stenografiske notationer og introduceret William Oughtredog nedfældet i værkerne Euler. Betegnelsen tangent/cotangens har en langt senere oprindelse (det engelske ord tangent kommer af det latinske tangere - at røre ved). Og selv nu er der ingen samlet betegnelse - i nogle lande bruges betegnelsen tan oftere, i andre - tg 11. Forkortelse "Hvad krævedes bevist" (osv.) « Quod erat demonstrandum "(quol erat lamonstranlum). 12. Matematisk notation. Symboler Symbolernes historie Plus- og minustegnene blev tilsyneladende opfundet i den tyske matematiske skole for "Kossister" (det vil sige algebraister). De bruges i Johann Widmanns Aritmetik udgivet i 1489. Tidligere blev addition betegnet med bogstavet p (plus) eller det latinske ord et (konjunktion "og"), og subtraktion med bogstavet m (minus). For Widmann erstatter plussymbolet ikke kun tilføjelse, men også konjunktionen "og". Oprindelsen af disse symboler er uklar, men højst sandsynligt blev de tidligere brugt i handel som indikatorer for overskud og tab. Begge symboler blev næsten øjeblikkeligt almindelige i Europa - med undtagelse af Italien. × ∙ Multiplikationstegnet blev introduceret i 1631 af William Oughtred (England) i form af et skråt kors. Før ham brugte man bogstavet M. Senere erstattede Leibniz korset med en prik (slutningen af 1600-tallet) for ikke at forveksle det med bogstavet x; før ham blev en sådan symbolik fundet i Regiomontan (XV århundrede) og den engelske videnskabsmand Thomas Harriot (1560-1621). / : ÷ Oughtred foretrak skråstreg. Leibniz begyndte at betegne deling med et kolon. Før dem brugte man også ofte bogstavet D. Startende med Fibonacci bruges også brøklinjen, som blev brugt i arabiske skrifter. I England og USA blev symbolet ÷ (obelus), som blev foreslået af Johann Rahn og John Pell i midten af 1600-tallet, udbredt. = Lighedstegnet blev foreslået af Robert Record (1510-1558) i 1557. Han forklarede, at der ikke er noget mere lige i verden end to parallelle segmenter af samme længde. I det kontinentale Europa blev lighedstegnet indført af Leibniz. Sammenlignende tegn blev introduceret af Thomas Herriot i hans arbejde, udgivet posthumt i 1631. Foran ham skrev de med ordene: mere, mindre. % Procentsymbolet optræder i midten af 1600-tallet i flere kilder, dets oprindelse er uklart. Der er en hypotese om, at det stammer fra en maskinskrivers fejl, som skrev forkortelsen cto (cento, hundrededel) som 0/0. Det er mere sandsynligt, at dette er et kursivt kommercielt ikon, der dukkede op omkring 100 år tidligere. √ Rodtegnet blev første gang brugt af den tyske matematiker Christoph Rudolf fra den kossistiske skole i 1525. Dette symbol kommer fra det stiliserede første bogstav i ordet radix (rod). Først var der ingen streg over det radikale udtryk; det blev senere introduceret af Descartes til et andet formål (i stedet for parenteser), og denne funktion smeltede hurtigt sammen med rodtegnet. en n Eksponentiering. Den moderne notation af eksponenten blev introduceret af Descartes i hans "Geometry" (1637), dog kun for naturlige potenser større end 2. Senere udvidede Newton denne form for notation til negative og fraktionerede eksponenter (1676). () Parenteser optrådte i Tartaglia (1556) for radikale udtryk, men de fleste matematikere foretrak at understrege det udtryk, der blev fremhævet i stedet for parenteser. Leibniz introducerede parentes til almindelig brug. Sumtegnet blev introduceret af Euler i 1755 Produktsymbolet blev introduceret af Gauss i 1812 jeg Bogstavet i som en imaginær enhedskode:foreslået af Euler (1777), som tog det første bogstav i ordet imaginarius (imaginært). π Den almindeligt accepterede betegnelse for tallet 3.14159... blev dannet af William Jones i 1706, idet han tog det første bogstav i de græske ord περιφέρεια - cirkel og περίμετρος - omkreds, det vil sige omkredsen. Leibniz afledte sin notation for integralet fra det første bogstav i ordet "Summa". y" Den korte notation af en afledt med et primtal går tilbage til Lagrange. Symbolet for grænsen dukkede op i 1787 af Simon Lhuillier (1750-1840). Uendelighedssymbolet blev opfundet af Wallis og udgivet i 1655. 13. Konklusion Matematisk videnskab er afgørende for et civiliseret samfund. Matematik er indeholdt i alle videnskaber. Matematisk sprog er blandet med sproget i kemi og fysik. Men vi forstår det stadig. Vi kan sige, at vi begynder at lære matematikkens sprog sammen med vores modersmål. Sådan er matematik uløseligt kommet ind i vores liv. Takket være fortidens matematiske opdagelser skaber videnskabsmænd nye teknologier. De overlevende opdagelser gør det muligt at løse komplekse matematiske problemer. Og det gamle matematiske sprog er klart for os, og opdagelser er interessante for os. Takket være matematik opdagede Archimedes, Platon og Newton fysiske love. Vi studerer dem i skolen. I fysik er der også symboler og termer iboende i fysisk videnskab. Men matematisk sprog går ikke tabt blandt fysiske formler. Tværtimod kan disse formler ikke skrives uden kendskab til matematik. Historien bevarer viden og fakta for fremtidige generationer. Yderligere studier af matematik er nødvendige for nye opdagelser. For at bruge præsentationseksempler skal du oprette en Google-konto og logge ind på den: https://accounts.google.com Matematiske symboler Arbejdet blev udført af en elev i 7. klasse fra skole nr. 574 Balagin Victor Symbol (græsk symbolon - tegn, omen, password, emblem) er et tegn, der er forbundet med den objektivitet, det angiver på en sådan måde, at betydningen af tegnet og dets objekt kun repræsenteres af tegnet selv og kun afsløres gennem dets fortolkning. Tegn er matematiske symboler designet til at registrere matematiske begreber, sætninger og beregninger. Ishango Bone Del af Ahmes Papyrus + − Plus- og minustegn. Addition blev angivet med bogstavet p (plus) eller det latinske ord et (konjunktion "og"), og subtraktion med bogstavet m (minus). Udtrykket a + b blev skrevet på latin sådan her: a et b. Subtraktionsnotation. ÷ ∙ ∙ eller ∙ ∙ ∙ René Descartes Maren Mersenne En side fra bogen af Johann Widmann. I 1489 udgav Johann Widmann den første trykte bog i Leipzig (Mercantile Arithmetic - "Commercial Arithmetic"), hvor både + og - tegn var til stede. Tilføjelsesnotation. Christiaan Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley Lighedstegn Diophantus var den første til at bruge lighedstegnet. Han betegnede lighed med bogstavet i (fra det græske isos - lige). Lighedstegn Foreslået i 1557 af den engelske matematiker Robert Record "Ingen to objekter kan være mere ens med hinanden end to parallelle segmenter." I det kontinentale Europa blev lighedstegnet introduceret af Leibniz × ∙ Multiplikationstegnet blev introduceret i 1631 af William Oughtred (England) i form af et skråt kors. Leibniz erstattede korset med en prik (slutningen af det 17. århundrede) for ikke at forveksle det med bogstavet x. William Oughtred Gottfried Wilhelm Leibniz Procent. Mathieu de la Porte (1685). En hundrededel af en helhed, taget som en enhed. "procent" - "pro centum", hvilket betyder "procent". "cto" (forkortelse for cento). Maskinskriveren forvekslede "cto" for en brøkdel og skrev "%". Uendelighed. John Wallis John Wallis introducerede symbolet, han opfandt i 1655. Slangen, der fortærede sin hale, symboliserede forskellige processer, der ikke har nogen begyndelse eller ende. Uendelighedssymbolet begyndte at blive brugt til at repræsentere uendelighed to århundreder før opdagelsen af Möbius-strimlen En Möbius-strimmel er en papirstrimmel, der er buet og forbundet i enderne og danner to rumlige overflader. August Ferdinand Mobius Vinkel og vinkelret. Symbolerne blev opfundet i 1634 af den franske matematiker Pierre Erigon. Erigons vinkelsymbol lignede et ikon. Vinkelvinkelsymbolet er blevet inverteret og ligner bogstavet T. Disse tegn fik deres moderne form af William Oughtred (1657). Parallelisme. Symbolet blev brugt af Heron af Alexandria og Pappus af Alexandria. Først lignede symbolet det nuværende lighedstegn, men med fremkomsten af sidstnævnte blev symbolet vendt lodret for at undgå forvirring. Hejre af Alexandria Pi. π ≈ 3.1415926535... William Jones i 1706 π εριφέρεια er cirklen og π ερίμετρος er omkredsen, det vil sige omkredsen. Euler kunne lide denne forkortelse, hvis værker endelig konsoliderede betegnelsen. William Jones sin Sinus og cosinus cos Sinus (fra latin) – sinus, hulrum. Kochi-jiya, eller ko-jiya for kort. Coty - den buede ende af en bue Moderne stenografinotation blev introduceret af William Oughtred og etableret i Eulers værker. "Arha-jiva" - blandt indianerne - "halvstreng" Leonard Euler William Oughtred Hvad krævedes for at blive bevist (osv.) "Quod erat demonstrandum" QED. Denne formel afslutter ethvert matematisk argument af den store matematiker i det antikke Grækenland, Euklid (3. århundrede f.Kr.). Det gamle matematiske sprog er klart for os. I fysik er der også symboler og termer iboende i fysisk videnskab. Men matematisk sprog går ikke tabt blandt fysiske formler. Tværtimod kan disse formler ikke skrives uden kendskab til matematik. Matematiske tegn Først fundet i afhandlingen af den engelske matematiker John Valis "On Conic Sections". Matematisk konstant, transcendentalt tal. Dette nummer kaldes nogle gange ikke-fjer til ære for den skotske videnskabsmand Napier, forfatter til værket "Description of the Amazing Table of Logarithms" (1614). Konstanten optræder først stiltiende i et appendiks til den engelske oversættelse af Napiers ovennævnte værk, udgivet i 1618. Selve konstanten blev først beregnet af den schweiziske matematiker Jacob Bernoulli, mens han løste problemet med grænseværdien af renteindtægter. 2,71828182845904523… Den første kendte brug af denne konstant, hvor den blev betegnet med bogstavet b, fundet i Leibniz' breve til Huygens, 1690–1691. Brev e Euler begyndte at bruge det i 1727, og den første publikation med dette brev var hans værk "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically" i 1736. Henholdsvis, e normalt kaldet Euler nummer. Hvorfor blev bogstavet valgt? e, nøjagtig ukendt. Måske skyldes det, at ordet begynder med det eksponentiel("vejledende", "eksponentiel"). En anden antagelse er, at bogstaverne -en, b, c Og d er allerede blevet brugt ret meget til andre formål, og e var det første "gratis" brev. Matematisk konstant, irrationelt tal. Tallet "pi", det gamle navn er Ludolphs nummer. Som ethvert irrationelt tal er π repræsenteret som en uendelig ikke-periodisk decimalbrøk: π=3,141592653589793… For første gang blev betegnelsen af dette nummer med det græske bogstav π brugt af den britiske matematiker William Jones i bogen "A New Introduction to Mathematics", og det blev almindeligt accepteret efter Leonhard Eulers arbejde. Denne betegnelse kommer fra begyndelsesbogstavet i de græske ord περιφερεια - cirkel, periferi og περιμετρος - omkreds. Johann Heinrich Lambert beviste irrationaliteten af π i 1761, og Adrienne Marie Legendre beviste irrationaliteten af π 2 i 1774. Legendre og Euler antog, at π kunne være transcendental, dvs. kan ikke opfylde nogen algebraisk ligning med heltalskoefficienter, hvilket til sidst blev bevist i 1882 af Ferdinand von Lindemann. Det er kendt, at ligningen x 2 = 1 har to rødder: 1
Og –1
. Den imaginære enhed er en af ligningens to rødder x 2 =–1, betegnet med et latinsk bogstav jeg, en anden rod: -jeg. Denne betegnelse blev foreslået af Leonhard Euler, som tog det første bogstav i det latinske ord til dette formål imaginarius(imaginært). Han udvidede også alle standardfunktioner til det komplekse domæne, dvs. sæt tal repræsenteret som a+ib, Hvor -en Og b– reelle tal. Udtrykket "komplekst tal" blev indført i udbredt brug af den tyske matematiker Carl Gauss i 1831, selvom udtrykket tidligere var blevet brugt i samme betydning af den franske matematiker Lazare Carnot i 1803. Enhedsvektorer er ofte forbundet med koordinatakserne i et koordinatsystem (især akserne i et kartesisk koordinatsystem). Enhedsvektor rettet langs aksen x, betegnet jeg, enhedsvektor rettet langs aksen Y, betegnet j, og enhedsvektoren rettet langs aksen Z, betegnet k. Vektorer jeg, j, k kaldes enhedsvektorer, de har enhedsmoduler. Udtrykket "ort" blev introduceret af den engelske matematiker og ingeniør Oliver Heaviside (1892), og notationen jeg, j, k- Den irske matematiker William Hamilton. Heltalsdelen af tallet [x] af tallet x er det største heltal, der ikke overstiger x. Altså =5, [–3,6]=–4. Funktionen [x] kaldes også "antier af x". Hele funktionssymbolet blev introduceret af Carl Gauss i 1808. Nogle matematikere foretrækker i stedet at bruge notationen E(x), foreslået i 1798 af Legendre. På Lobachevsky-planet - vinklen mellem den lige linje b, der passerer gennem punktet OM parallelt med linjen -en, der ikke indeholder et punkt OM, og vinkelret fra OM på -en. α
er længden af denne vinkelret. Når punktet bevæger sig væk OM fra den lige linje -en parallelitetsvinklen falder fra 90° til 0°. Lobachevsky gav en formel for parallelismens vinkel П(α)=2arctg e –α/q , Hvor q- nogle konstante forbundet med krumningen af Lobachevsky-rummet. I matematik er en variabel en størrelse karakteriseret ved det sæt af værdier, den kan tage. Dette kan betyde både en reel fysisk størrelse, midlertidigt betragtet isoleret fra dens fysiske kontekst, og en eller anden abstrakt størrelse, der ikke har nogen analoger i den virkelige verden. Begrebet en variabel opstod i det 17. århundrede. i første omgang under indflydelse af naturvidenskabens krav, som bragte studiet af bevægelse, processer og ikke kun tilstande i forgrunden. Dette koncept krævede nye former for dets udtryk. Sådanne nye former var bogstavalgebraen og den analytiske geometri af Rene Descartes. For første gang blev det rektangulære koordinatsystem og notationen x, y introduceret af Rene Descartes i hans værk "Discourse on Method" i 1637. Pierre Fermat bidrog også til udviklingen af koordinatmetoden, men hans værker blev først udgivet efter hans død. Descartes og Fermat brugte kun koordinatmetoden på flyet. Koordinatmetoden for tredimensionelt rum blev første gang brugt af Leonhard Euler allerede i det 18. århundrede. Helt fra begyndelsen forstås en vektor som et objekt, der har en størrelse, en retning og (eventuelt) et anvendelsespunkt. Begyndelsen af vektorregning dukkede op sammen med den geometriske model af komplekse tal i Gauss (1831). Hamilton offentliggjorde udviklede operationer med vektorer som en del af sin kvaternionregning (vektoren blev dannet af de imaginære komponenter i kvaternion). Hamilton foreslog udtrykket vektor(fra det latinske ord vektor, transportør) og beskrev nogle operationer af vektoranalyse. Maxwell brugte denne formalisme i sine værker om elektromagnetisme og henledte derved videnskabsmænds opmærksomhed på den nye kalkulus. Snart udkom Gibbs' Elements of Vector Analysis (1880'erne), og derefter gav Heaviside (1903) vektoranalyse sit moderne udseende. Selve vektortegnet blev introduceret i brug af den franske matematiker Augustin Louis Cauchy i 1853. Plus- og minustegnene blev tilsyneladende opfundet i den tyske matematiske skole for "Kossister" (det vil sige algebraister). De bruges i Jan (Johannes) Widmanns lærebog En hurtig og behagelig beretning for alle købmænd, udgivet i 1489. Tidligere var tilføjelse betegnet med bogstavet s(fra latin plus"mere") eller latinsk ord et(konjunktionen "og"), og subtraktion - bogstavet m(fra latin minus"mindre, mindre") For Widmann erstatter plussymbolet ikke kun tilføjelse, men også konjunktionen "og". Oprindelsen af disse symboler er uklar, men højst sandsynligt blev de tidligere brugt i handel som indikatorer for overskud og tab. Begge symboler blev hurtigt almindelige i Europa - med undtagelse af Italien, som fortsatte med at bruge de gamle betegnelser i omkring et århundrede. Multiplikationstegnet i form af et skråt kors blev indført i 1631 af englænderen William Oughtred. Før ham blev brevet oftest brugt M, selvom der også blev foreslået andre notationer: rektangelsymbolet (fransk matematiker Erigon, 1634), stjerne (schweizisk matematiker Johann Rahn, 1659). Senere erstattede Gottfried Wilhelm Leibniz korset med en prik (slutningen af det 17. århundrede) for ikke at forveksle det med bogstavet x; før ham fandt man en sådan symbolik blandt den tyske astronom og matematiker Regiomontanus (1400-tallet) og den engelske videnskabsmand Thomas Herriot (1560-1621). William Oughtred brugte en skråstreg / som et divisionstegn. Gottfried Leibniz begyndte at betegne deling med et kolon. Før dem blev brevet også ofte brugt D. Startende med Fibonacci bruges også den vandrette linje af brøken, som blev brugt af Heron, Diophantus og i arabiske værker. I England og USA blev symbolet ÷ (obelus), som blev foreslået af Johann Rahn (muligvis med deltagelse af John Pell) i 1659, udbredt. Et forsøg fra American National Committee on Mathematical Standards ( National Udvalg for Matematiske Krav) at fjerne obelus fra praksis (1923) var mislykket. En hundrededel af en helhed, taget som en enhed. Selve ordet "procent" kommer fra det latinske "pro centum", som betyder "per hundrede". I 1685 udkom bogen "Manual of Commercial Arithmetic" af Mathieu de la Porte i Paris. Et sted talte man om procenter, som så blev betegnet som "cto" (forkortelse for cento). Sætteren forvekslede imidlertid denne "cto" for en brøkdel og trykte "%". Så på grund af en tastefejl kom dette skilt i brug. Den moderne notation for eksponenten blev introduceret af Rene Descartes i hans " Geometri"(1637), dog kun for naturlige magter med eksponenter større end 2. Senere udvidede Isaac Newton denne form for notation til negative og fraktionerede eksponenter (1676), hvis fortolkning allerede var blevet foreslået på dette tidspunkt: den flamske matematiker og ingeniør Simon Stevin, den engelske matematiker John Wallis og den franske matematiker Albert Girard. Aritmetisk rod n-potens af et reelt tal EN≥0, – ikke-negativt tal n-th grad hvoraf er lig med EN. Den aritmetiske rod af 2. grad kaldes en kvadratrod og kan skrives uden at angive graden: √. En aritmetisk rod af 3. grad kaldes en terningrod. Middelaldermatematikere (for eksempel Cardano) betegnede kvadratroden med symbolet R x (fra latin Radix, rod). Den moderne notation blev først brugt af den tyske matematiker Christoph Rudolf, fra den kossistiske skole, i 1525. Dette symbol kommer fra det stiliserede første bogstav i det samme ord radix. Først var der ingen streg over det radikale udtryk; det blev senere introduceret af Descartes (1637) til et andet formål (i stedet for parenteser), og dette træk smeltede hurtigt sammen med rodtegnet. I det 16. århundrede blev terningroden betegnet som følger: R x .u.cu (fra lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) begyndte at bruge den velkendte notation for en rod af en vilkårlig grad. Dette format blev etableret takket være Isaac Newton og Gottfried Leibniz. Udtrykket "logaritme" tilhører den skotske matematiker John Napier ( "Beskrivelse af den fantastiske tabel over logaritmer", 1614); det opstod af en kombination af de græske ord λογος (ord, relation) og αριθμος (tal). J. Napiers logaritme er et hjælpetal til måling af forholdet mellem to tal. Den moderne definition af logaritme blev først givet af den engelske matematiker William Gardiner (1742). Per definition logaritmen af et tal b baseret på -en (a ≠ 1, a > 0) - eksponent m, hvortil tallet skal hæves -en(kaldet logaritmebasen) for at få b. Udpeget log a b. Så, m =log a b, Hvis a m = b. De første tabeller med decimallogaritmer blev offentliggjort i 1617 af Oxfords matematikprofessor Henry Briggs. Derfor kaldes decimallogaritmer i udlandet ofte for Briggs logaritmer. Udtrykket "naturlig logaritme" blev introduceret af Pietro Mengoli (1659) og Nicholas Mercator (1668), selv om Londons matematiklærer John Spidell kompilerede en tabel over naturlige logaritmer tilbage i 1619. Indtil slutningen af det 19. århundrede var der ingen almindeligt accepteret notation for logaritmen, grundlaget -en angivet til venstre og over symbolet log, derefter over det. I sidste ende kom matematikere til den konklusion, at det mest bekvemme sted for basen er under linjen efter symbolet log. Tegnet for logaritmen - resultatet af forkortelsen af ordet "logaritme" - optræder i forskellige former næsten samtidig med fremkomsten af de første logaritmetabeller, f.eks. Log– fra I. Kepler (1624) og G. Briggs (1631), log– fra B. Cavalieri (1632). Betegnelse ln thi den naturlige logaritme blev indført af den tyske matematiker Alfred Pringsheim (1893). Forkortelserne for sinus og cosinus blev introduceret af William Oughtred i midten af det 17. århundrede. Forkortelser for tangent og cotangens: tg, ctg indført af Johann Bernoulli i det 18. århundrede, blev de udbredt i Tyskland og Rusland. I andre lande bruges navnene på disse funktioner solbrun, tremmeseng foreslået af Albert Girard endnu tidligere, i begyndelsen af det 17. århundrede. Leonhard Euler (1748, 1753) bragte teorien om trigonometriske funktioner i sin moderne form, og vi skylder ham den for konsolideringen af den virkelige symbolik. Udtrykket "trigonometriske funktioner" blev introduceret af den tyske matematiker og fysiker Georg Simon Klügel i 1770. Indiske matematikere kaldte oprindeligt sinuslinjen "arha-jiva"("halvstreng", altså en halv akkord), derefter ordet "archa" blev kasseret og sinuslinjen begyndte at blive kaldt simpelt "jiva". Arabiske oversættere oversatte ikke ordet "jiva" arabisk ord "vatar", der betegner streng og akkord, og transskriberet med arabiske bogstaver og begyndte at kalde sinuslinjen "jiba". Da på arabisk er korte vokaler ikke markeret, men lange "i" i ordet "jiba" betegnet på samme måde som halvvokalen "th", begyndte araberne at udtale navnet på sinuslinjen "jibe", som bogstaveligt betyder "hul", "sinus". Ved oversættelse af arabiske værker til latin oversatte europæiske oversættere ordet "jibe" latinske ord bihule, med samme betydning. Udtrykket "tangens" (fra lat. tangenter– rørende) blev introduceret af den danske matematiker Thomas Fincke i sin bog "Rundens geometri" (1583). Inverse trigonometriske funktioner er matematiske funktioner, der er det omvendte af trigonometriske funktioner. Navnet på den inverse trigonometriske funktion er dannet ud fra navnet på den tilsvarende trigonometriske funktion ved at tilføje præfikset "bue" (fra lat. bue– bue). De omvendte trigonometriske funktioner omfatter normalt seks funktioner: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) og arccosecant (arccosec). Særlige symboler for inverse trigonometriske funktioner blev først brugt af Daniel Bernoulli (1729, 1736). Måde at angive inverse trigonometriske funktioner ved hjælp af et præfiks bue(fra lat. arcus, arc) dukkede op med den østrigske matematiker Karl Scherfer og blev konsolideret takket være den franske matematiker, astronom og mekaniker Joseph Louis Lagrange. Det var meningen, at for eksempel en almindelig sinus tillader en at finde en akkord, der spænder den langs en cirkelbue, og den omvendte funktion løser det modsatte problem. Indtil slutningen af det 19. århundrede foreslog de engelske og tyske matematiske skoler andre notationer: sin –1 og 1/sin, men de blev ikke brugt meget. Historikere opdagede den første optræden af hyperbolske funktioner i den engelske matematiker Abraham de Moivres (1707, 1722) værker. En moderne definition og en detaljeret undersøgelse af dem blev udført af italieneren Vincenzo Riccati i 1757 i hans værk "Opusculorum", han foreslog også deres betegnelser: sh,ch. Riccati startede med at overveje enhedshyperbelen. En uafhængig opdagelse og yderligere undersøgelse af egenskaberne ved hyperbolske funktioner blev udført af den tyske matematiker, fysiker og filosof Johann Lambert (1768), som etablerede den brede parallelitet af formlerne for almindelig og hyperbolsk trigonometri. N.I. Lobachevsky brugte efterfølgende denne parallelisme i et forsøg på at bevise konsistensen af ikke-euklidisk geometri, hvor almindelig trigonometri er erstattet af hyperbolsk. Ligesom den trigonometriske sinus og cosinus er koordinaterne for et punkt på koordinatcirklen, er den hyperbolske sinus og cosinus koordinaterne til et punkt på en hyperbel. Hyperbolske funktioner udtrykkes i form af en eksponentiel og er tæt forbundet med trigonometriske funktioner: sh(x)=0,5(ex –e –x)
, ch(x)=0,5(e x +e –x). I analogi med trigonometriske funktioner defineres hyperbolsk tangent og cotangens som forholdet mellem hyperbolsk sinus og cosinus, cosinus og sinus, henholdsvis. Den primære, lineære del af funktionen inkrementer. Hvis funktionen y=f(x) en variabel x har kl x=x 0 afledt og tilvækst Δy=f(x 0 +?x)–f(x 0) funktioner f(x) kan repræsenteres i formen Δy=f"(x 0)Δx+R(Δx)
, hvor er udtrykket R uendelig i forhold til Δx. Første medlem dy=f"(x 0)Δx i denne udvidelse og kaldes funktionens differentiale f(x) på punktet x 0. I værkerne af Gottfried Leibniz, Jacob og Johann Bernoulli, ordet "forskel" blev brugt i betydningen "tilvækst", det blev betegnet af I. Bernoulli gennem Δ. G. Leibniz (1675, udgivet 1684) brugte notationen for den "uendelige forskel" d– det første bogstav i ordet "differentiel", dannet af ham fra "forskel". Ordet "integral" blev først brugt på tryk af Jacob Bernoulli (1690). Måske er udtrykket afledt af latin heltal- hel. Efter en anden antagelse var grundlaget det latinske ord integro- bringe tilbage til sin tidligere tilstand, gendan. Tegnet ∫ bruges til at repræsentere et integral i matematik og er en stiliseret repræsentation af det første bogstav i det latinske ord opsummering - sum. Det blev første gang brugt af den tyske matematiker og grundlægger af differential- og integralregning, Gottfried Leibniz, i slutningen af det 17. århundrede. En anden af grundlæggerne af differential- og integralregning, Isaac Newton, foreslog ikke en alternativ symbolik for integralet i sine værker, selvom han prøvede forskellige muligheder: en lodret streg over funktionen eller et kvadratisk symbol, der står foran funktionen eller grænser op til det. Ubestemt integral for en funktion y=f(x) er mængden af alle antiderivater af en given funktion. Bestemt integral af en funktion f(x) med en nedre grænse -en og øvre grænse b kan defineres som forskellen F(b) – F(a) = a ∫ b f(x)dx, Hvor F(x)– en eller anden antiderivat af en funktion f(x). Bestemt integral a ∫ b f(x)dx numerisk lig med arealet af figuren afgrænset af x-aksen og rette linjer x=a Og x=b og grafen for funktionen f(x). Designet af et bestemt integral i den form, vi er bekendt med, blev foreslået af den franske matematiker og fysiker Jean Baptiste Joseph Fourier i begyndelsen af det 19. århundrede. Afledt er det grundlæggende koncept for differentialregning, der karakteriserer ændringshastigheden af en funktion f(x) når argumentet ændres x. Det er defineret som grænsen for forholdet mellem stigningen af en funktion og stigningen af dens argument, da stigningen af argumentet har en tendens til nul, hvis en sådan grænse findes. En funktion, der har en endelig afledt på et tidspunkt, kaldes differentierbar på det tidspunkt. Processen med at beregne den afledte kaldes differentiering. Den omvendte proces er integration. I klassisk differentialregning er den afledede oftest defineret gennem grænseteoriens begreber, men historisk optrådte grænseteorien senere end differentialregning. Udtrykket "derivat" blev introduceret af Joseph Louis Lagrange i 1797, betegnelsen for et derivat ved brug af et slagtilfælde er den samme (1770, 1779), og dy/dx– Gottfried Leibniz i 1675. Måden at betegne den tidsafledede med en prik over et bogstav kommer fra Newton (1691). Det russiske udtryk "afledt af en funktion" blev først brugt af den russiske matematiker Vasily Ivanovich Viskovatov (1779-1812). For funktioner af mange variable defineres partielle afledte - afledte med hensyn til et af argumenterne, beregnet under den antagelse, at de andre argumenter er konstante. Betegnelser ∂f/∂x,∂z/∂y indført af den franske matematiker Adrien Marie Legendre i 1786; fx',z x '– Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/∂x 2,∂ 2 z/∂x∂y– partielle afledninger af anden orden – den tyske matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1837). Betegnelsen for stigning med bogstavet Δ blev først brugt af den schweiziske matematiker Johann Bernoulli. Delta-symbolet kom i almindelig brug efter Leonhard Eulers arbejde i 1755. Sum er resultatet af at addere størrelser (tal, funktioner, vektorer, matricer osv.). For at betegne summen af n tal a 1, a 2, …, a n bruges det græske bogstav “sigma” Σ: a 1 + a 2 + … + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Tegnet Σ for en sum blev introduceret af Leonhard Euler i 1755. Et produkt er resultatet af multiplikation. For at betegne produktet af n tal a 1, a 2, …, a n bruges det græske bogstav “pi” Π: a 1 · a 2 · … · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i. For eksempel, 1 · 3 · 5 · … · 97 · 99 = ? 50 1 (2i–1). Π-tegnet for et produkt blev introduceret af den tyske matematiker Carl Gauss i 1812. I russisk matematisk litteratur blev udtrykket "produkt" først mødt af Leonty Filippovich Magnitsky i 1703. Faktorialet af et tal n (betegnet n!, udtales "en factorial") er produktet af alle naturlige tal op til n inklusive: n! = 1·2·3·…·n. For eksempel 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Per definition antages 0! = 1. Faktoriel er kun defineret for ikke-negative heltal. Faktorialet af n er lig med antallet af permutationer af n elementer. For eksempel 3! = 6, faktisk, – alle seks og kun seks muligheder for permutationer af tre elementer. Udtrykket "faktoriel" blev introduceret af den franske matematiker og politiker Louis François Antoine Arbogast (1800), betegnelsen n! – Den franske matematiker Christian Crump (1808). Modulet, den absolutte værdi af et reelt tal x, er et ikke-negativt tal defineret som følger: |x| = x for x ≥ 0, og |x| = –x for x ≤ 0. For eksempel |7| = 7, |– 0,23| = –(–0,23) = 0,23. Modulus for et komplekst tal z = a + ib er et reelt tal lig med √(a 2 + b 2). Det menes, at udtrykket "modul" blev foreslået af den engelske matematiker og filosof, Newtons elev, Roger Cotes. Gottfried Leibniz brugte også denne funktion, som han kaldte "modulus" og betegnede: mol x. Den almindeligt accepterede notation for absolut størrelse blev introduceret i 1841 af den tyske matematiker Karl Weierstrass. For komplekse tal blev dette koncept introduceret af de franske matematikere Augustin Cauchy og Jean Robert Argan i begyndelsen af det 19. århundrede. I 1903 brugte den østrigske videnskabsmand Konrad Lorenz den samme symbolik for længden af en vektor. En norm er en funktion, der defineres på et vektorrum og generaliserer begrebet længden af en vektor eller et tals modul. "Norm"-tegnet (fra det latinske ord "norma" - "regel", "mønster") blev introduceret af den tyske matematiker Erhard Schmidt i 1908. Limit er et af de grundlæggende begreber i matematisk analyse, hvilket betyder, at en bestemt variabel værdi i processen med dens ændring under overvejelse uendeligt nærmer sig en bestemt konstant værdi. Begrebet en grænse blev brugt intuitivt i anden halvdel af det 17. århundrede af Isaac Newton, såvel som af 1700-tallets matematikere som Leonhard Euler og Joseph Louis Lagrange. De første strenge definitioner af sekvensgrænsen blev givet af Bernard Bolzano i 1816 og Augustin Cauchy i 1821. Symbolet lim (de første 3 bogstaver fra det latinske ord limes - grænse) dukkede op i 1787 af den schweiziske matematiker Simon Antoine Jean Lhuillier, men dets brug lignede endnu ikke moderne. Udtrykket lim i en mere velkendt form blev første gang brugt af den irske matematiker William Hamilton i 1853. Weierstrass introducerede en betegnelse tæt på den moderne, men i stedet for den velkendte pil brugte han et lighedstegn. Pilen dukkede op i begyndelsen af det 20. århundrede blandt flere matematikere på én gang – for eksempel den engelske matematiker Godfried Hardy i 1908. Analytisk funktion af en kompleks variabel s = σ + it, for σ > 1, bestemt absolut og ensartet af en konvergent Dirichlet-række: ζ(s) = 1 –s + 2 –s + 3 –s + … . For σ > 1 er repræsentationen i form af Euler-produktet gyldig: ζ(s) = Π p (1–p –s) –s , hvor produktet overtages alle prime p. Zeta-funktionen spiller en stor rolle i talteorien. Som en funktion af en reel variabel blev zeta-funktionen introduceret i 1737 (udgivet i 1744) af L. Euler, som angav dens udvidelse til et produkt. Denne funktion blev dengang overvejet af den tyske matematiker L. Dirichlet og, især med succes, af den russiske matematiker og mekaniker P.L. Chebyshev, når han studerer loven om fordeling af primtal. De mest dybtgående egenskaber ved zeta-funktionen blev dog opdaget senere, efter den tyske matematiker Georg Friedrich Bernhard Riemanns (1859) arbejde, hvor zeta-funktionen blev betragtet som en funktion af en kompleks variabel; Han introducerede også navnet "zeta-funktion" og betegnelsen ζ(s) i 1857. Gamma-funktionen er en matematisk funktion, der udvider begrebet faktorial til feltet af komplekse tal. Sædvanligvis betegnet med Γ(z). G-funktionen blev først introduceret af Leonhard Euler i 1729; det bestemmes af formlen: Γ(z) = lim n→∞ n!·nz/z(z+1)...(z+n). Et stort antal integraler, uendelige produkter og summer af serier udtrykkes gennem G-funktionen. Udbredt i analytisk talteori. Navnet "Gamma-funktion" og notationen Γ(z) blev foreslået af den franske matematiker Adrien Marie Legendre i 1814. En funktion af to variable p og q, defineret for p>0, q>0 af ligheden: B(p, q) = 0 ∫ 1 x p–1 (1–x) q–1 dx. Betafunktionen kan udtrykkes gennem Γ-funktionen: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Ligesom gammafunktionen for heltal er en generalisering af faktorielle, er betafunktionen på en måde en generalisering af binomiale koefficienter. Beta-funktionen beskriver mange egenskaber ved elementarpartikler, der deltager i den stærke interaktion. Denne funktion blev bemærket af den italienske teoretiske fysiker Gabriele Veneziano i 1968. Dette markerede begyndelsen på strengteori. Navnet "beta-funktion" og betegnelsen B(p, q) blev introduceret i 1839 af den franske matematiker, mekaniker og astronom Jacques Philippe Marie Binet. Lineær differentialoperator Δ, som tildeler funktioner φ(x 1, x 2, …, x n) af n variable x 1, x 2, …, x n: Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + … + ∂ 2 φ/∂х n 2. Især for en funktion φ(x) af en variabel falder Laplace-operatoren sammen med operatoren for den 2. afledede: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Ligningen Δφ = 0 kaldes normalt Laplaces ligning; Det er her, navnene "Laplace-operatør" eller "Laplacian" kommer fra. Betegnelsen Δ blev introduceret af den engelske fysiker og matematiker Robert Murphy i 1833. Vektor differentiel operator af formularen ∇ = ∂/∂x jeg+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k, Hvor jeg, j, Og k– koordinatenhedsvektorer. De grundlæggende operationer af vektoranalyse, såvel som Laplace-operatoren, udtrykkes på en naturlig måde gennem Nabla-operatoren. I 1853 introducerede den irske matematiker William Rowan Hamilton denne operator og opfandt symbolet ∇ for det som et omvendt græsk bogstav Δ (delta). I Hamilton pegede spidsen af symbolet til venstre; senere, i den skotske matematiker og fysiker Peter Guthrie Tates værker, fik symbolet sin moderne form. Hamilton kaldte dette symbol "atled" (ordet "delta" læst baglæns). Senere begyndte engelske lærde, inklusive Oliver Heaviside, at kalde dette symbol "nabla", efter navnet på bogstavet ∇ i det fønikiske alfabet, hvor det forekommer. Bogstavets oprindelse er forbundet med et musikinstrument som harpen, ναβλα (nabla) i oldgræsk, der betyder "harpe". Operatøren blev kaldt Hamilton-operatøren eller nabla-operatøren. Et matematisk begreb, der afspejler forholdet mellem elementer i mængder. Vi kan sige, at en funktion er en "lov", en "regel", ifølge hvilken hvert element i et sæt (kaldet definitionsdomæne) er forbundet med et element i et andet sæt (kaldet værdidomæne). Det matematiske koncept for en funktion udtrykker den intuitive idé om, hvordan en størrelse fuldstændig bestemmer værdien af en anden størrelse. Ofte refererer udtrykket "funktion" til en numerisk funktion; altså en funktion, der sætter nogle tal i overensstemmelse med andre. I lang tid specificerede matematikere argumenter uden parentes, for eksempel som dette - φх. Denne notation blev første gang brugt af den schweiziske matematiker Johann Bernoulli i 1718. Parenteser blev kun brugt i tilfælde af flere argumenter, eller hvis argumentet var et komplekst udtryk. Ekkoer fra dengang er de optagelser, der stadig er i brug i dag sin x, log x osv. Men efterhånden blev brugen af parentes, f(x), en generel regel. Og hovedæren for dette tilhører Leonhard Euler. Lighedstegnet blev foreslået af den walisiske læge og matematiker Robert Record i 1557; omridset af symbolet var meget længere end det nuværende, da det efterlignede billedet af to parallelle segmenter. Forfatteren forklarede, at der ikke er noget mere lige i verden end to parallelle segmenter af samme længde. Før dette blev lighed i oldtidens og middelalderens matematik betegnet verbalt (f est egale). I det 17. århundrede begyndte Rene Descartes at bruge æ (fra lat. aequalis), og han brugte det moderne lighedstegn til at indikere, at koefficienten kan være negativ. François Viète brugte lighedstegnet til at betegne subtraktion. Record-symbolet blev ikke udbredt med det samme. Udbredelsen af Record-symbolet blev hæmmet af den kendsgerning, at det samme symbol siden oldtiden blev brugt til at angive paralleliteten af lige linjer; I sidste ende blev det besluttet at gøre parallelitetssymbolet lodret. På det europæiske kontinent blev tegnet "=" først introduceret af Gottfried Leibniz i begyndelsen af det 17.-18. århundrede, det vil sige mere end 100 år efter Robert Records død, som først brugte det til dette formål. Tegnet "≈" blev indført i brug som et symbol for det "omtrent ligeværdige" forhold af den tyske matematiker og fysiker Adam Wilhelm Sigmund Günther i 1882. Disse to tegn blev introduceret i brug af den engelske astronom, matematiker, etnograf og oversætter Thomas Harriot i 1631; før det blev ordene "mere" og "mindre" brugt. Sammenligning er et forhold mellem to heltal n og m, hvilket betyder, at forskellen n–m af disse tal er divideret med et givet heltal a, kaldet sammenligningsmodulet; der står: n≡m(mod a) og lyder "tallene n og m er sammenlignelige mod a." For eksempel 3≡11(mod 4), da 3-11 er deleligt med 4; tallene 3 og 11 er sammenlignelige modulo 4. Kongruenser har mange egenskaber, der ligner lighedernes. Således kan et led, der ligger i en del af sammenligningen overføres med modsat fortegn til en anden del, og sammenligninger med samme modul kan lægges til, trækkes fra, ganges, begge dele af sammenligningen kan ganges med det samme tal osv. . For eksempel, 3≡9+2(mod 4) og 3-2≡9(mod 4) - samtidig sande sammenligninger. Og fra et par korrekte sammenligninger 3≡11(mod 4) og 1≡5(mod 4) følger følgende: 3+1≡11+5(mod 4) 3–1≡11–5 (mod 4) 3·1≡11·5(mod 4) 3 2 ≡11 2 (mod 4) 3·23≡11·23(mod 4) Talteori omhandler metoder til løsning af forskellige sammenligninger, dvs. metoder til at finde heltal, der opfylder sammenligninger af en eller anden type. Modulo-sammenligninger blev først brugt af den tyske matematiker Carl Gauss i hans bog fra 1801 Arithmetic Studies. Han foreslog også symbolik til sammenligninger, der blev etableret i matematik. Identitet er ligheden mellem to analytiske udtryk, gyldige for alle tilladte værdier af de bogstaver, der er inkluderet i den. Ligheden a+b = b+a er gyldig for alle numeriske værdier af a og b, og er derfor en identitet. Til at skrive identiteter har man i nogle tilfælde siden 1857 brugt tegnet "≡" (læs "identisk lige"), hvis forfatter i denne brug er den tyske matematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann. Vi kan skrive a+b ≡ b+a. Vinkelrette er den relative position af to rette linjer, planer eller en ret linje og et plan, hvor de angivne figurer danner en ret vinkel. Tegnet ⊥ for at betegne vinkelret blev introduceret i 1634 af den franske matematiker og astronom Pierre Erigon. Begrebet vinkelret har en række generaliseringer, men alle er som regel ledsaget af tegnet ⊥. Parallelisme er forholdet mellem visse geometriske figurer; for eksempel lige. Defineres forskelligt afhængigt af forskellige geometrier; for eksempel i Euklids geometri og i Lobachevskys geometri. Tegnet på parallelisme har været kendt siden oldtiden, det blev brugt af Heron og Pappus af Alexandria. Først lignede symbolet det nuværende lighedstegn (kun mere udvidet), men med fremkomsten af sidstnævnte blev symbolet vendt lodret || for at undgå forvirring. Det dukkede op i denne form for første gang i den posthume udgave af den engelske matematiker William Oughtreds værker i 1677. Skæringspunktet mellem mængder er et sæt, der indeholder dem og kun de elementer, der samtidig hører til alle givne mængder. En forening af sæt er et sæt, der indeholder alle elementerne i de originale sæt. Kryds og forening kaldes også operationer på sæt, der tildeler nye sæt til bestemte i henhold til reglerne angivet ovenfor. Betegnes med henholdsvis ∩ og ∪. For eksempel hvis A=(♠ ♣ ) og B=(♣ ♦), Hvis A og B er to mængder, og der ikke er nogen elementer i A, der ikke hører til B, så siger de, at A er indeholdt i B. De skriver A⊂B eller B⊃A (B indeholder A). For eksempel, {♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦} {♠ ♣ ♦}⊃{ ♦}⊃{♦} Symbolerne "indeholder" og "indeholder" dukkede op i 1890 af den tyske matematiker og logiker Ernst Schröder. Hvis a er et element i mængden A, så skriv a∈A og læs "a hører til A." Hvis a ikke er et element i mængden A, skriv a∉A og læs "a hører ikke til A." Til at begynde med blev relationerne "indeholdt" og "hører til" ("er et element") ikke skelnet, men over tid krævede disse begreber differentiering. Symbolet ∈ blev første gang brugt af den italienske matematiker Giuseppe Peano i 1895. Symbolet ∈ kommer fra det første bogstav i det græske ord εστι - at være. Kvantifier er et generelt navn for logiske operationer, der angiver sandhedsdomænet for et prædikat (matematisk udsagn). Filosoffer har længe været opmærksomme på logiske operationer, der begrænser et prædikats sandhedsdomæne, men har ikke identificeret dem som en separat klasse af operationer. Selvom kvantifier-logiske konstruktioner er meget udbredt i både videnskabelig og daglig tale, skete deres formalisering først i 1879, i den tyske logiker, matematiker og filosof Friedrich Ludwig Gottlob Freges bog "Begrebsregningen". Freges notation lignede besværlige grafiske konstruktioner og blev ikke accepteret. Efterfølgende blev der foreslået mange flere vellykkede symboler, men de notationer, der blev almindeligt accepterede, var ∃ for den eksistentielle kvantifier (læs "eksisterer", "der er"), foreslået af den amerikanske filosof, logiker og matematiker Charles Peirce i 1885, og ∀ for den universelle kvantifier (læs "enhver", "enhver", "alle"), dannet af den tyske matematiker og logiker Gerhard Karl Erich Gentzen i 1935 i analogi med symbolet på eksistensens kvantifier (omvendte første bogstaver i de engelske ord Eksistens (eksistens) og Enhver (enhver)). For eksempel optage (∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x–x 0 |<δ) (|f(x)–A|<ε) lyder sådan: "for enhver ε>0 er der δ>0, således at for alle x ikke lig med x 0 og opfylder uligheden |x–x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε». Et sæt, der ikke indeholder et enkelt element. Tegnet på det tomme sæt blev introduceret i Nicolas Bourbakis bøger i 1939. Bourbaki er det kollektive pseudonym for en gruppe franske matematikere oprettet i 1935. Et af medlemmerne af Bourbaki-gruppen var Andre Weil, forfatteren af Ø-symbolet. I matematik forstås bevis som en sekvens af ræsonnementer bygget på bestemte regler, der viser, at et bestemt udsagn er sandt. Siden renæssancen er slutningen af et bevis blevet betegnet af matematikere med forkortelsen "Q.E.D.", fra det latinske udtryk "Quod Erat Demonstrandum" - "Hvad der krævedes for at blive bevist." Ved oprettelsen af computerlayoutsystemet ΤΕΧ i 1978 brugte den amerikanske professor i datalogi, Donald Edwin Knuth, et symbol: en udfyldt firkant, det såkaldte "Halmos-symbol", opkaldt efter den ungarskfødte amerikanske matematiker Paul Richard Halmos. I dag er fuldførelsen af et bevis normalt angivet med Halmos-symbolet. Som et alternativ bruges andre tegn: en tom firkant, en retvinklet trekant, // (to skråstreger) samt den russiske forkortelse "ch.t.d." Når mennesker interagerer i lang tid inden for et bestemt aktivitetsområde, begynder de at lede efter en måde at optimere kommunikationsprocessen på. Systemet med matematiske tegn og symboler er et kunstigt sprog, der blev udviklet for at reducere mængden af grafisk overført information, samtidig med at budskabets betydning bevares fuldt ud. Ethvert sprog kræver læring, og matematikkens sprog i denne henseende er ingen undtagelse. For at forstå betydningen af formler, ligninger og grafer skal du have visse oplysninger på forhånd, forstå begreberne, notationssystem osv. I mangel af sådan viden vil teksten blive opfattet som skrevet på et ukendt fremmedsprog. I overensstemmelse med samfundets behov blev grafiske symboler til enklere matematiske operationer (for eksempel notation for addition og subtraktion) udviklet tidligere end for komplekse begreber som integral eller differential. Jo mere komplekst konceptet er, jo mere komplekst er tegnet det normalt betegnes. I de tidlige stadier af civilisationens udvikling forbandt folk de enkleste matematiske operationer med velkendte begreber baseret på associationer. For eksempel, i det gamle Egypten, blev addition og subtraktion angivet med et mønster af gåfødder: linjer rettet i retningen af læsning de indikerede "plus", og i den modsatte retning - "minus". Tal, måske i alle kulturer, blev oprindeligt betegnet med det tilsvarende antal linjer. Senere begyndte konventionelle notationer at blive brugt til optagelse - dette sparede tid, samt plads på fysiske medier. Bogstaver blev ofte brugt som symboler: denne strategi blev udbredt på græsk, latin og mange andre sprog i verden. Historien om fremkomsten af matematiske symboler og tegn kender to af de mest produktive måder at skabe grafiske elementer på. Til at begynde med er ethvert matematisk begreb udtrykt af et bestemt ord eller en sætning og har ikke sin egen grafiske repræsentation (udover den leksikale). At udføre beregninger og skrive formler i ord er dog en langvarig procedure og fylder urimeligt meget på et fysisk medie. En almindelig måde at skabe matematiske symboler på er at transformere den leksikalske repræsentation af et begreb til et grafisk element. Med andre ord bliver ordet, der betegner et begreb, forkortet eller transformeret på anden måde over tid. For eksempel er hovedhypotesen for oprindelsen af plustegnet dets forkortelse fra latin et, hvis analog på russisk er konjunktionen "og". Efterhånden holdt det første bogstav i kursiv skrift op med at blive skrevet, og t reduceret til et kryds. Et andet eksempel er "x"-tegnet for det ukendte, som oprindeligt var en forkortelse af det arabiske ord for "noget". På lignende måde optrådte tegn til betegnelse af kvadratrod, procent, integral, logaritme osv. I tabellen over matematiske symboler og tegn kan du finde mere end et dusin grafiske elementer, der fremkom på denne måde. Den anden almindelige mulighed for dannelse af matematiske tegn og symboler er at tildele symbolet på en vilkårlig måde. I dette tilfælde er ordet og den grafiske betegnelse ikke relateret til hinanden - tegnet er normalt godkendt som følge af anbefaling fra et af medlemmerne af det videnskabelige samfund. For eksempel blev tegnene for multiplikation, division og lighed foreslået af matematikerne William Oughtred, Johann Rahn og Robert Record. I nogle tilfælde kan flere matematiske symboler være blevet introduceret i videnskaben af en videnskabsmand. Især foreslog Gottfried Wilhelm Leibniz en række symboler, herunder integral, differential og afledt. Ethvert skolebarn kender tegn som "plus" og "minus", samt symboler for multiplikation og division, på trods af at der er flere mulige grafiske tegn for de to sidst nævnte operationer. Det er sikkert at sige, at folk vidste, hvordan man lægger til og trækker fra mange årtusinder før vores æra, men standardiserede matematiske tegn og symboler, der angiver disse handlinger og kendt for os i dag, dukkede først op i det 14.-15. århundrede. Men på trods af etableringen af en vis aftale i det videnskabelige samfund, kan multiplikation i vores tid repræsenteres af tre forskellige tegn (et diagonalt kryds, en prik, en stjerne) og division med to (en vandret linje med prikker over og under eller et skråstreg). I mange århundreder brugte det videnskabelige samfund udelukkende latin til at formidle information, og mange matematiske termer og symboler finder deres oprindelse i dette sprog. I nogle tilfælde var grafiske elementer resultatet af at forkorte ord, sjældnere - deres tilsigtede eller utilsigtede transformation (for eksempel på grund af en tastefejl). Procentbetegnelsen (“%) kommer højst sandsynligt fra en stavefejl af forkortelsen WHO(cento, dvs. "hundrededel"). På lignende måde opstod plustegnet, hvis historie er beskrevet ovenfor. Meget mere blev dannet ved bevidst forkortelse af ordet, selvom dette ikke altid er indlysende. Ikke alle genkender bogstavet i kvadratrodstegnet R, altså det første tegn i ordet Radix ("rod"). Integralsymbolet repræsenterer også det første bogstav i ordet Summa, men intuitivt ligner det et stort bogstav f uden en vandret linje. I den første udgivelse begik forlagene i øvrigt netop sådan en fejl ved at trykke f i stedet for dette symbol. Ikke kun latinske bruges som grafiske notationer for forskellige begreber, men også i tabellen over matematiske symboler kan du finde en række eksempler på sådanne navne. Tallet Pi, som er forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter, kommer fra det første bogstav i det græske ord for cirkel. Der er flere andre mindre kendte irrationelle tal, angivet med bogstaver i det græske alfabet. Et ekstremt almindeligt tegn i matematik er "delta", som afspejler mængden af ændring i værdien af variable. Et andet almindeligt brugt tegn er "sigma", som fungerer som et sumtegn. Desuden bruges næsten alle græske bogstaver i matematik på en eller anden måde. Imidlertid er disse matematiske tegn og symboler og deres betydning kun kendt af folk, der er professionelt engageret i videnskab. En person har ikke brug for denne viden i hverdagen. Mærkeligt nok blev mange intuitive symboler opfundet for ganske nylig. Især den vandrette pil, der erstatter ordet "derfor", blev først foreslået i 1922. Kvantificerere af eksistens og universalitet, dvs. tegn læst som: "der er ..." og "for enhver ...", blev introduceret i 1897 og 1935 henholdsvis. Symboler fra mængdelærens felt blev opfundet i 1888-1889. Og den overstregede cirkel, som er kendt af enhver gymnasieelev i dag som tegn på et tomt sæt, dukkede op i 1939. Således blev symboler for så komplekse begreber som integral eller logaritme opfundet århundreder tidligere end nogle intuitive symboler, der let kan opfattes og læres selv uden forudgående forberedelse. På grund af det faktum, at en væsentlig del af begreberne blev beskrevet i videnskabelige værker på latin, er en række navne på matematiske tegn og symboler på engelsk og russisk de samme. For eksempel: Plus, Integral, Deltafunktion, Vinkelret, Parallel, Null. Nogle begreber på de to sprog kaldes forskelligt: for eksempel division er division, multiplikation er multiplikation. I sjældne tilfælde bliver det engelske navn for et matematisk tegn noget udbredt i det russiske sprog: for eksempel kaldes skråstregen i de senere år ofte "skråstreg". Den nemmeste og mest bekvemme måde at blive bekendt med listen over matematiske tegn er at se på en speciel tabel, der indeholder operationstegn, symboler for matematisk logik, mængdeteori, geometri, kombinatorik, matematisk analyse og lineær algebra. Denne tabel viser de grundlæggende matematiske symboler på engelsk. Når du udfører forskellige typer arbejde, er det ofte nødvendigt at bruge formler, der bruger tegn, der ikke er på computerens tastatur. Ligesom grafiske elementer fra næsten ethvert vidensfelt, kan matematiske tegn og symboler i Word findes på fanen "Indsæt". I 2003- eller 2007-versionerne af programmet er der mulighed for "Indsæt symbol": Når du klikker på knappen i højre side af panelet, vil brugeren se en tabel, der viser alle de nødvendige matematiske symboler, græske små bogstaver og store bogstaver, forskellige typer parenteser og meget mere. I programversioner udgivet efter 2010 er der udviklet en mere bekvem mulighed. Når du klikker på knappen "Formel", går du til formelkonstruktøren, som giver mulighed for brug af brøker, indtastning af data under roden, ændring af registeret (for at angive potenser eller serienumre af variabler). Alle skiltene fra ovenstående tabel kan også findes her. Det matematiske notationssystem er et kunstigt sprog, der kun forenkler skriveprocessen, men som ikke kan bringe en forståelse af emnet til en udefrakommende iagttager. At huske tegn uden at studere termer, regler og logiske forbindelser mellem begreber vil således ikke føre til beherskelse af dette vidensområde. Den menneskelige hjerne lærer let tegn, bogstaver og forkortelser - matematiske symboler huskes af sig selv, når de studerer emnet. Forståelse af betydningen af hver specifik handling skaber så stærke tegn, at de tegn, der angiver termerne, og ofte formlerne forbundet med dem, forbliver i hukommelsen i mange år og endda årtier. Da ethvert sprog, inklusive et kunstigt, er åbent for ændringer og tilføjelser, vil antallet af matematiske tegn og symboler helt sikkert vokse over tid. Det er muligt, at nogle elementer udskiftes eller justeres, mens andre vil blive standardiseret i den eneste mulige form, som er relevant for fx multiplikation eller divisionstegn. Evnen til at bruge matematiske symboler på niveau med et fuldt skoleforløb er praktisk talt nødvendigt i den moderne verden. I forbindelse med den hurtige udvikling af informationsteknologi og videnskab, udbredt algoritmisering og automatisering, bør beherskelsen af det matematiske apparat tages for givet, og beherskelsen af matematiske symboler som en integreret del af det. Da beregninger bruges i humaniora, økonomi, naturvidenskab og selvfølgelig inden for ingeniørvidenskab og højteknologi, vil forståelse af matematiske begreber og viden om symboler være nyttig for enhver specialist.
”... det er altid muligt at komme med et større antal, fordi antallet af dele, som et segment kan opdeles i, ikke har nogen grænse; derfor er uendelighed potentiel, aldrig faktisk, og uanset hvor mange divisioner der er givet, er det altid potentielt muligt at opdele dette segment i et endnu større antal." Lad os bemærke, at Aristoteles ydede et stort bidrag til bevidstheden om uendeligheden ved at opdele den i potentiale og faktiske, og fra denne side kom han tæt på grundlaget for matematisk analyse og pegede også på fem kilder til ideer om det:
Yderligere blev uendeligheden udviklet i filosofi og teologi sammen med de eksakte videnskaber. For eksempel giver Guds uendelighed i teologien ikke så meget en kvantitativ definition, som den betyder ubegrænset og uforståelig. I filosofi er dette en egenskab af rum og tid.
Moderne fysik kommer tæt på relevansen af uendelighed, der benægtes af Aristoteles - det vil sige tilgængelighed i den virkelige verden, og ikke kun i det abstrakte. For eksempel er der begrebet en singularitet, tæt forbundet med sorte huller og big bang-teorien: det er et punkt i rumtiden, hvor masse i et uendeligt lille volumen er koncentreret med uendelig tæthed. Der er allerede solide indirekte beviser for eksistensen af sorte huller, selvom big bang-teorien stadig er under udvikling.
Cirklen er et symbol på Solen, Månen. Et af de mest almindelige symboler. Det er også et symbol på uendelighed, evighed og perfektion.
Digtet er en rombe.
Blandt mørket.
Øjet hviler.
Nattens mørke er levende.
Hjertet sukker grådigt,
Stjernernes hvisken når os nogle gange.
Og de azurblå følelser er overfyldte.
Alt var glemt i den dugfriske glans.
Lad os give dig et duftende kys!
Skin hurtigt!
Hvisk igen
Som dengang:
"Ja!"
Selvfølgelig kan du ikke være enig i disse udsagn.
Ingen vil dog benægte, at ethvert billede fremkalder associationer hos en person. Men problemet er, at nogle genstande, plots eller grafiske elementer fremkalder de samme associationer hos alle mennesker (eller rettere sagt, mange), mens andre fremkalder helt forskellige.
Egenskaber for en trekant som en figur: styrke, uforanderlighed.
Stereometriens aksiom A1 siger: "Gennem 3 punkter i rummet, der ikke ligger på den samme lige linje, passerer et fly, og kun et!"
For at teste dybden af forståelsen af dette udsagn stilles der normalt en opgave: ”Der sidder tre fluer på bordet i tre ender af bordet. På et bestemt tidspunkt flyver de fra hinanden i tre indbyrdes vinkelrette retninger med samme hastighed. Hvornår skal de ombord på det samme fly igen?” Svaret er det faktum, at tre punkter altid, til enhver tid, definerer et enkelt plan. Og det er netop 3 punkter, der definerer trekanten, så denne figur i geometri betragtes som den mest stabile og holdbare.
Trekanten omtales normalt som en skarp, "stødende" figur forbundet med det maskuline princip. Den ligesidede trekant er et maskulint og solskilt tegn, der repræsenterer guddommelighed, ild, liv, hjerte, bjerg og himmelfart, velvære, harmoni og royalty. En omvendt trekant er et feminint og månesymbol, der repræsenterer vand, frugtbarhed, regn og guddommelig barmhjertighed.
Statssymboler i USA indeholder også den sekstakkede stjerne i forskellige former, især på USA's store segl og på pengesedler. Davidsstjernen er afbildet på våbenskjoldene fra de tyske byer Cher og Gerbstedt samt den ukrainske Ternopil og Konotop. Tre sekstakkede stjerner er afbildet på Burundis flag og repræsenterer det nationale motto: "Enhed. Job. Fremskridt".
I kristendommen er en sekstakket stjerne et symbol på Kristus, nemlig foreningen af den guddommelige og menneskelige natur i Kristus. Derfor er dette tegn indskrevet i det ortodokse kors.
regering”, som er under frimureriets fuldstændige kontrol.
Meget ofte tegner satanister et pentagram med begge ender op, så det er nemt at passe djævelens hoved "Pentagram of Baphomet" der. Portrættet af "Fiery Revolutionary" er placeret inde i "Pentagram of Baphomet", som er den centrale del af sammensætningen af den særlige tjekistiske orden "Felix Dzerzhinsky" designet i 1932 (projektet blev senere afvist af Stalin, som hadede dybt "Iron Felix").
De marxistiske planer om en "proletarisk verdensrevolution" var tydeligvis af frimurerisk oprindelse; en række af de mest fremtrædende marxister var medlemmer af frimureriet. L. Trotskij var en af dem, og det var ham, der foreslog at gøre det frimureriske pentagram til bolsjevismens identificerende emblem.
Internationale frimurerloger gav i al hemmelighed bolsjevikkerne fuld støtte, især økonomisk.
Frimurere er Skaberens kammerater, tilhængere af sociale fremskridt, imod inerti, inerti og uvidenhed. Fremragende repræsentanter for frimureriet er Nikolai Mikhailovich Karamzin, Alexander Vasilievich Suvorov, Mikhail Illarionovich Kutuzov, Alexander Sergeevich Pushkin, Joseph Goebbels.
Pladsen er som regel nedefra menneskelig viden om verden. Fra frimureriets synspunkt kommer en person til verden for at forstå den guddommelige plan. Og for viden har du brug for værktøjer. Den mest effektive videnskab til at forstå verden er matematik.
Pladsen er det ældste matematiske instrument, kendt siden umindelige tider. Graduering af pladsen er allerede et stort skridt fremad i erkendelsens matematiske værktøjer. En person forstår verden ved hjælp af videnskaber; matematik er den første af dem, men ikke den eneste.
Pladsen er dog af træ, og den rummer, hvad den kan rumme. Den kan ikke flyttes fra hinanden. Hvis du forsøger at udvide det til at rumme mere, vil du bryde det.
Så mennesker, der forsøger at forstå hele den guddommelige plans uendelighed, dør enten eller bliver skøre. "Kend dine grænser!" - det er, hvad dette skilt fortæller verden. Selv hvis du var Einstein, Newton, Sakharov - menneskehedens største hjerner! - forstå, at du er begrænset af den tid, du er født i; i forståelsen af verden, sproget, hjernekapaciteten, en række menneskelige begrænsninger, din krops liv. Derfor, ja, lær, men forstå, at du aldrig helt vil forstå!
Hvad med kompasset? Kompasset er guddommelig visdom. Du kan bruge et kompas til at beskrive en cirkel, men hvis du spreder dens ben, vil det være en lige linje. Og i symbolske systemer er en cirkel og en ret linje to modsætninger. Den lige linje angiver en person, hans begyndelse og slutning (som en streg mellem to datoer - fødsel og død). Cirklen er et symbol på guddom, fordi det er en perfekt figur. De modarbejder hinanden - guddommelige og menneskelige skikkelser. Mennesket er ikke perfekt. Gud er perfekt i alt.
Folk kender altid sandheden, men altid relativ sandhed. Og den absolutte sandhed er kun kendt af Gud.
Lær mere og mere, og indse, at du ikke vil være i stand til fuldt ud at forstå sandheden - hvilke dybder finder vi i et almindeligt kompas med en firkant! Hvem skulle have troet!
Dette er skønheden og charmen ved frimurerisk symbolisme, dens enorme intellektuelle dybde.
Siden middelalderen er kompasset, som et værktøj til at tegne perfekte cirkler, blevet et symbol på geometri, kosmisk orden og planlagte handlinger. På dette tidspunkt blev Hærskarernes Gud ofte afbildet i billedet af universets skaber og arkitekt med et kompas i hænderne (William Blake "The Great Architect", 1794).
Den sekskantede stjerne betød enhed og modsætningernes kamp, mandens og kvindens kamp, godt og ondt, lys og mørke. Det ene kan ikke eksistere uden det andet. Spændingen, der opstår mellem disse modsætninger, skaber verden, som vi kender den.
Den opadgående trekant betyder "Mennesket stræber efter Gud." Trekant ned - "Guddommeligheden stiger ned til mennesket." I deres forbindelse eksisterer vores verden, som er foreningen af det menneskelige og det guddommelige. Bogstavet G betyder her, at Gud bor i vores verden. Han er virkelig til stede i alt, hvad han har skabt.
Den afgørende kraft i udviklingen af matematisk symbolik er ikke matematikernes "frie vilje", men kravene til praksis og matematisk forskning. Det er ægte matematisk forskning, der hjælper med at finde ud af, hvilket tegnsystem der bedst afspejler strukturen af kvantitative og kvalitative sammenhænge, hvorfor de kan være et effektivt redskab til deres videre brug i symboler og emblemer.B. Symboler, der angiver forhold mellem geometriske figurer
nr. af por.
Betegnelse
Indhold
Eksempel på symbolsk notation
1
≡
Match (AB)≡(CD) - en ret linje, der går gennem punkterne A og B,
falder sammen med linjen, der går gennem punkterne C og D2
≅
Overensstemmende ∠ABC≅∠MNK - vinkel ABC er kongruent med vinkel MNK
3
∼
Lignende ΔАВС∼ΔMNK - trekanter АВС og MNK ligner hinanden
4
||
Parallel α||β - plan α er parallel med plan β
5
⊥
Vinkelret a⊥b - rette linjer a og b er vinkelrette
6
Krydsning c d - rette linjer c og d skærer hinanden
7
Tangenter t l - linje t er tangent til linje l.
βα - plan β tangent til overflade α8
→
Vises F 1 →F 2 - figur F 1 er afbildet til figur F 2
9
S Projektionscenter.
Hvis projektionscentret er et forkert punkt,
så er dens position angivet med en pil,
angiver projektionsretningen -
10
s Projektionsretning -
11
P Parallel projektion р s α Parallel projektion - parallel projektion
på α-planet i s-retningenB. Mængde-teoretisk notation
nr. af por.
Betegnelse
Indhold
Eksempel på symbolsk notation
Eksempel på symbolsk notation i geometri
1
M,N Sæt -
-
2
A,B,C,... Elementer i sættet -
-
3
{ ... }
Omfatter... Ф(A, B, C,...) Ф(A, B, C,...) - figur Ф består af punkterne A, B, C, ...
4
∅
Tomt sæt L - ∅ - sæt L er tom (indeholder ikke elementer) -
5
∈
Tilhører, er et element 2∈N (hvor N er mængden af naturlige tal) -
tallet 2 hører til sættet NA ∈ a - punkt A hører til linje a
(punkt A ligger på linje a)6
⊂
Indeholder, indeholder N⊂M - mængde N er en del (delmængde) af mængden
M af alle rationelle tala⊂α - lige linje a hører til planet α (forstået på den måde:
sættet af punkter på linjen a er en delmængde af punkterne i planen α)7
∪
En forening C = A U B - mængde C er en forening af mængder
A og B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)ABCD = ∪ [ВС] ∪ - stiplet linje, ABCD er
kombinere segmenter [AB], [BC],8
∩
Skæring af mange M=K∩L - mængden M er skæringspunktet mellem mængderne K og L
(indeholder elementer, der hører til både mængden K og mængden L).
M ∩ N = ∅ - skæringspunktet mellem mængderne M og N er det tomme sæt
(sæt M og N har ikke fælles elementer)a = α ∩ β - ret linje a er skæringspunktet
planerne α og β
a ∩ b = ∅ - rette linjer a og b skærer ikke hinanden
(har ikke fælles punkter)Gruppe II SYMBOLER, DER INDIKERER LOGISKE FUNKTIONER
nr. af por.
Betegnelse
Indhold
Eksempel på symbolsk notation
1
∧
Sammensætning af sætninger; svarer til ledsætningen "og".
En sætning (p∧q) er sand, hvis og kun hvis p og q begge er sandeα∩β = (К:K∈α∧K∈β) Skæringspunktet mellem overflader α og β er et sæt punkter (linje),
bestående af alle de og kun de punkter K, der hører til både overfladen α og overfladen β2
∨
Adskillelse af sætninger; matcher konjunktionen "eller". Sætning (p∨q)
sand, når mindst én af sætningerne p eller q er sand (det vil sige enten p eller q eller begge). -
3
⇒
Implikation er en logisk konsekvens. Sætningen p⇒q betyder: "hvis p, så q" (a||c∧b||c)⇒a||b. Hvis to linjer er parallelle med en tredje, så er de parallelle med hinanden
4
⇔
Sætningen (p⇔q) forstås i betydningen: "hvis p, så også q; hvis q, så også p" А∈α⇔А∈l⊂α.
Et punkt hører til et plan, hvis det hører til en linje, der hører til dette plan.
Det omvendte udsagn er også sandt: hvis et punkt hører til en bestemt linje,
hører til flyet, så tilhører det selve flyet5
∀
Den generelle kvantifier lyder: for alle, for alle, for alle.
Udtrykket ∀(x)P(x) betyder: "for hver x: egenskaben P(x) gælder"∀(ΔАВС)( = 180°) For enhver (for enhver) trekant, summen af værdierne af dens vinkler
ved toppunkter er lig med 180°6
∃
Den eksistentielle kvantifier lyder: eksisterer.
Udtrykket ∃(x)P(x) betyder: "der er et x, der har egenskaben P(x)"(∀α)(∃a). For ethvert plan α er der en ret linje a, der ikke hører til planet α
og parallelt med planet α7
∃1
Kvantificeringen af det unikke ved tilværelsen lyder: der er kun én
(-i, -th)... Udtrykket ∃1(x)(Рх) betyder: “der er kun én (kun én) x,
have ejendommen Px"(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) For to forskellige punkter A og B er der en unik ret linje a,
passerer gennem disse punkter.8
(Px) Negation af udsagnet P(x) ab(∃α)(α⊃a, b).Hvis linje a og b skærer hinanden, er der ingen plan a, der indeholder dem
9
\
Negation af tegnet ≠ -segment [AB] er ikke lig med segment .a?b - linje a er ikke parallel med linje b
Hent:
Eksempel:
Den græske sætning betyder "det, der skulle bevises", og det latinske betyder "det, der skulle vises." Denne formel afslutter enhver matematisk ræsonnement fra den store græske matematiker i det antikke Grækenland, Euklid (3. århundrede f.Kr.). Oversat fra latin - hvilket er det, der skulle bevises. I middelalderlige videnskabelige afhandlinger blev denne formel ofte skrevet i forkortet form: QED.
Slide billedtekster:
Uendelighed.J. Wallis (1655).
Grundlaget for naturlige logaritmer. L. Euler (1736).
Forholdet mellem omkreds og diameter. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Imaginær enhed. L. Euler (1777, på tryk – 1794).
Enhedsvektorer. W. Hamilton (1853).
Heltalsdel af tallet, antie. K. Gauss (1808).
Parallelhedsvinkel. N.I. Lobatsjovskij (1835).
Ukendte eller variable mængder. R. Descartes (1637).
Vektor. O. Cauchy (1853).
Addition, subtraktion. J. Widman (1489).
Multiplikation. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Division. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
Procent. M. de la Porte (1685).
grader. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Rødder. C. Rudolf (1525), R. Descartes (1637), A. Girard (1629).
Logaritme, decimallogaritme, naturlig logaritme. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Sinus, cosinus, tangent, cotangens. W. Outred (midten af 1600-tallet), I. Bernoulli (1700-tallet), L. Euler (1748, 1753).
Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).
Hyperbolsk sinus, hyperbolsk sinus. V. Riccati (1757).
Differential. G. Leibniz (1675, udgivet 1684).
Ubestemt integral. G. Leibniz (1675, udgivet 1686).
Bestemt integral. J. Fourier (1819–1822).
Afledte. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Delvis afledt. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Forskel, stigning. I. Bernoulli (slutningen af det 17. århundrede – første halvdel af det 18. århundrede), L. Euler (1755).
Sum. L. Euler (1755).
Arbejde. K. Gauss (1812).
Faktoriel. K. Crump (1808).
Modulus, absolut værdi. K. Weierstrass (1841).
Norm. E. Schmidt (1908).
Begrænse. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), mange matematikere (indtil begyndelsen af det tyvende århundrede)
Zeta funktion, Riemann zeta funktion. B. Riemann (1857).
Gamma-funktion, Euler Γ-funktion. A. Legendre (1814).
Beta-funktion, B-funktion, Euler B-funktion. J. Binet (1839).
Laplace-operatør, Laplacian. R. Murphy (1833).
Hamilton-operatør, nabla-operatør, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).
Fungere. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Lighed. R. Optegnelse (1557).
Omtrent lige, omtrent lige. A.Gunther (1882).
Mere mindre. T. Harriot (1631).
Sammenlignelighed. K. Gauss (1801).
Identitet. B. Riemann (1857).
Vinkelrette. P. Erigon (1634).
Parallelisme. W. Outred (posthum udgave 1677).
Kryds, fagforening. J. Peano (1888).
Indeholder, indeholder. E. Schroeder (1890).
Tilknytning. J. Peano (1895).
Kvantificerer universalitet, kvantificerer eksistens. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Tomt sæt. N. Bourbaki (1939).
Q.E.D. D. Knuth (1978).
Modeller til dannelse af grafiske symboler
Konvertering af en verbal repræsentation
Brugerdefineret karaktertildeling
De enkleste operationer
Breve
græske bogstaver
Tegn på logik
Matematiske symboler på engelsk
symbol tabel
Matematiske symboler i en teksteditor
Er det værd at lære matematiske symboler?
Endelig