Gymnasial almen uddannelse

Linje UMK G. K. Muravin. Algebra og principper for matematisk analyse (10-11) (dybdegående)

UMK Merzlyak linje. Algebra og begyndelsen af ​​analyse (10-11) (U)

Matematik

Forberedelse til Unified State-eksamen i matematik (profilniveau): opgaver, løsninger og forklaringer

Vi analyserer opgaver og løser eksempler sammen med læreren

Profilniveauundersøgelsen varer 3 timer 55 minutter (235 minutter).

Minimumsgrænse- 27 point.

Eksamensopgaven består af to dele, som adskiller sig i indhold, kompleksitet og antal opgaver.

Det definerende træk ved hver del af arbejdet er opgavernes form:

• del 1 indeholder 8 opgaver (opgave 1-8) med et kort svar i form af et helt tal eller en sidste decimalbrøk;
• del 2 indeholder 4 opgaver (opgave 9-12) med en kort besvarelse i form af et heltal eller en sidste decimalbrøk og 7 opgaver (opgave 13-19) med en detaljeret besvarelse (en komplet optegnelse af løsningen med begrundelse for truffet handlinger).

Panova Svetlana Anatolevna, matematiklærer i den højeste skolekategori, erhvervserfaring 20 år:

"For at modtage et skolebevis skal en kandidat bestå to obligatoriske eksamener i form af Unified State Examination, hvoraf den ene er matematik. I overensstemmelse med konceptet for udvikling af matematisk uddannelse i Den Russiske Føderation er Unified State Examination i matematik opdelt i to niveauer: grundlæggende og specialiseret. I dag vil vi se på muligheder på profilniveau."

Opgave nr. 1- tester Unified State Exam-deltagernes evne til at anvende de færdigheder erhvervet i 5. til 9. klasses kursus i elementær matematik i praktiske aktiviteter. Deltageren skal have regneevne, kunne arbejde med rationelle tal, kunne afrunde decimaler og kunne omregne en måleenhed til en anden.

Eksempel 1. I lejligheden, hvor Peter bor, var der installeret en koldtvandsflowmåler (måler). 1. maj viste måleren et forbrug på 172 kubikmeter. m vand, og den første juni - 177 kubikmeter. m. Hvor meget skal Peter betale for koldt vand i maj, hvis prisen er 1 kubikmeter? m koldt vand er 34 rubler 17 kopek? Giv dit svar i rubler.

Løsning:

1) Find mængden af ​​brugt vand pr. måned:

177 - 172 = 5 (kubikm)

2) Lad os finde ud af, hvor mange penge de vil betale for spildt vand:

34,17 5 = 170,85 (gnid)

Svar: 170,85.

Opgave nr. 2- er en af ​​de enkleste eksamensopgaver. De fleste kandidater klarer det med succes, hvilket indikerer viden om definitionen af ​​funktionsbegrebet. Opgavetype nr. 2 ifølge kravkodifikatoren er en opgave om brug af erhvervet viden og færdigheder i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Opgave nr. 2 består i at beskrive, bruge funktioner, forskellige reelle sammenhænge mellem størrelser og fortolke deres grafer. Opgave nr. 2 tester evnen til at udtrække information præsenteret i tabeller, diagrammer og grafer. Kandidater skal være i stand til at bestemme værdien af ​​en funktion ud fra værdien af ​​argumentet på forskellige måder for at specificere funktionen og beskrive funktionens adfærd og egenskaber baseret på dens graf. Du skal også kunne finde den største eller mindste værdi fra en funktionsgraf og bygge grafer over de undersøgte funktioner. Fejl lavet er tilfældige ved læsning af betingelserne for problemet, læsning af diagrammet.

#ADVERTISING_INSERT#

Eksempel 2. Figuren viser ændringen i bytteværdien af ​​én aktie i et mineselskab i første halvdel af april 2017. Den 7. april købte forretningsmanden 1.000 aktier i dette selskab. Den 10. april solgte han tre fjerdedele af de aktier, han købte, og den 13. april solgte han alle de resterende aktier. Hvor meget tabte forretningsmanden som følge af disse operationer?

Løsning:

2) 1000 · 3/4 = 750 (aktier) - udgør 3/4 af alle købte aktier.

6) 247500 + 77500 = 325000 (gnide) - forretningsmanden modtog 1000 aktier efter salg.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (gnidning) - forretningsmanden tabte som følge af alle operationer.

Svar: 15000.

Opgave nr. 3- er en grundlæggende opgave i første del, tester evnen til at udføre handlinger med geometriske figurer i henhold til indholdet af planimetrikurset. Opgave 3 tester evnen til at beregne arealet af en figur på ternet papir, evnen til at beregne gradmål af vinkler, beregne omkredse osv.

Eksempel 3. Find arealet af et rektangel tegnet på ternet papir med en cellestørrelse på 1 cm gange 1 cm (se figur). Giv dit svar i kvadratcentimeter.

Løsning: For at beregne arealet af en given figur kan du bruge Peak-formlen:

For at beregne arealet af et givet rektangel bruger vi Peaks formel:

S= B+	G
	2

hvor B = 10, G = 6, derfor

S = 18 +	6
	2

Svar: 20.

Læs også: Unified State Exam in Physics: løsning af problemer om svingninger

Opgave nr. 4- formålet med kurset "Sandsynlighedsteori og statistik". Evnen til at beregne sandsynligheden for en hændelse i den simpleste situation testes.

Eksempel 4. Der er 5 røde og 1 blå prikker markeret på cirklen. Bestem, hvilke polygoner der er større: dem med alle hjørnerne røde eller dem med en af ​​hjørnerne blå. Angiv i dit svar, hvor mange der er flere af nogle end andre.

Løsning: 1) Lad os bruge formlen for antallet af kombinationer af n elementer af k:

hvis hjørner alle er røde.

3) En femkant med alle hjørner røde.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygoner med alle røde hjørner.

som har røde toppe eller med én blå top.

som har røde toppe eller med én blå top.

8) En sekskant med røde hjørner og en blå top.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygoner med alle røde hjørner eller et blåt hjørne.

10) 42 – 16 = 26 polygoner ved hjælp af den blå prik.

11) 26 – 16 = 10 polygoner – hvor mange flere polygoner, hvor et af hjørnerne er en blå prik, er der end polygoner, hvor alle hjørnerne kun er røde.

Svar: 10.

Opgave nr. 5- det grundlæggende niveau i første del tester evnen til at løse simple ligninger (irrationelle, eksponentielle, trigonometriske, logaritmiske).

Eksempel 5. Løs ligning 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Løsning. Divider begge sider af denne ligning med 5 3 + x≠ 0, får vi

2 3 + x	= 0,4 eller		2		3 + x	=	2	,
5 3 + x			5				5

hvoraf det følger, at 3 + x = 1, x = –2.

Svar: –2.

Opgave nr. 6 i planimetri for at finde geometriske størrelser (længder, vinkler, arealer), modellering af virkelige situationer i geometrisproget. Studie af konstruerede modeller ved hjælp af geometriske begreber og sætninger. Kilden til vanskeligheder er som regel uvidenhed eller forkert anvendelse af de nødvendige planimetriske sætninger.

Areal af en trekant ABC svarer til 129. DE– midterlinje parallelt med siden AB. Find arealet af trapez EN SENG.

Løsning. Trekant CDE ligner en trekant CAB i to vinkler, da vinklen ved toppunktet C generelt, vinkel СDE lig med vinkel CAB som de tilsvarende vinkler ved DE || AB sekant A.C.. Fordi DE er midterlinjen i en trekant efter betingelse, derefter efter egenskaben for midterlinjen | DE = (1/2)AB. Det betyder, at lighedskoefficienten er 0,5. Arealerne af lignende figurer er derfor relateret som kvadratet af lighedskoefficienten

Derfor, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Opgave nr. 7- kontrollerer anvendelsen af ​​den afledede til studiet af en funktion. Succesfuld implementering kræver meningsfuld, ikke-formel viden om begrebet derivat.

Eksempel 7. Til grafen for funktionen y = f(x) ved abscissepunktet x 0 tegnes en tangent, der er vinkelret på linjen, der går gennem punkterne (4; 3) og (3; –1) i denne graf. Find f′( x 0).

Løsning. 1) Lad os bruge ligningen for en linje, der går gennem to givne punkter, og finde ligningen for en linje, der går gennem punkterne (4; 3) og (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, hvor k 1 = 4.

2) Find hældningen af ​​tangenten k 2, som er vinkelret på linjen y = 4x– 13, hvor k 1 = 4, ifølge formlen:

3) Tangentvinklen er den afledede af funktionen ved tangenspunktet. Midler, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Svar: –0,25.

Opgave nr. 8- tester eksamensdeltagernes viden om elementær stereometri, evnen til at anvende formler til at finde overfladearealer og rumfang af figurer, dihedrale vinkler, sammenligne volumen af ​​lignende figurer, kunne udføre handlinger med geometriske figurer, koordinater og vektorer mv.

Rumfanget af en terning omskrevet omkring en kugle er 216. Find kuglens radius.

Løsning. 1) V terning = -en 3 (hvor EN– længden af ​​terningens kant), derfor

EN 3 = 216

EN = 3 √216

2) Da kuglen er indskrevet i en terning, betyder det, at længden af ​​kuglens diameter er lig med længden af ​​terningens kant, derfor d = -en, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Opgave nr. 9- kræver, at kandidaten har færdigheder til at transformere og forenkle algebraiske udtryk. Opgave nr. 9 af øget sværhedsgrad med kort svar. Opgaverne fra afsnittet "Beregninger og transformationer" i Unified State-eksamenen er opdelt i flere typer:

transformation af numeriske rationelle udtryk;

konvertering af algebraiske udtryk og brøker;

konvertering af irrationelle numeriske/bogstavsudtryk;

handlinger med grader;

konvertering af logaritmiske udtryk;

1. konvertering af numeriske/bogstav trigonometriske udtryk.

Eksempel 9. Beregn tanα, hvis det vides, at cos2α = 0,6 og

3π	< α < π.
4

Løsning. 1) Lad os bruge dobbeltargumentformlen: cos2α = 2 cos 2 α – 1 og finde

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Dette betyder tan 2 α = ± 0,5.

3) Efter betingelse

3π	< α < π,
4

dette betyder, at α er vinklen af ​​den anden fjerdedel og tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Svar: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Opgave nr. 10- tester elevernes evne til at bruge erhvervet tidlig viden og færdigheder i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Vi kan sige, at det er problemer i fysik og ikke i matematik, men alle de nødvendige formler og størrelser er givet i betingelsen. Problemerne bunder i at løse en lineær eller andengradsligning eller en lineær eller andengrads ulighed. Derfor er det nødvendigt at kunne løse sådanne ligninger og uligheder og bestemme svaret. Besvarelsen skal gives som et helt tal eller en endelig decimalbrøk.

To masselegemer m= 2 kg hver, bevæger sig med samme hastighed v= 10 m/s i en vinkel på 2α i forhold til hinanden. Den energi (i joule), der frigives under deres absolut uelastiske kollision, bestemmes af udtrykket Q = mv 2 sin 2 α. Ved hvilken mindste vinkel 2α (i grader) skal kroppene bevæge sig, så der frigives mindst 50 joule som følge af kollisionen?
Løsning. For at løse problemet skal vi løse uligheden Q ≥ 50 i intervallet 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Da α ∈ (0°; 90°), løser vi kun

Lad os repræsentere løsningen på uligheden grafisk:

Da det ved betingelse α ∈ (0°; 90°), betyder 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Opgave nr. 11- er typisk, men viser sig at være svært for eleverne. Den største kilde til vanskeligheder er konstruktionen af ​​en matematisk model (opstilling af en ligning). Opgave nr. 11 tester evnen til at løse ordopgaver.

Eksempel 11. I løbet af forårsferien skulle Vasya i 11. klasse løse 560 øvelsesproblemer for at forberede sig til Unified State-eksamenen. Den 18. marts, på den sidste skoledag, løste Vasya 5 problemer. Så hver dag løste han det samme antal problemer mere end den foregående dag. Bestem, hvor mange problemer Vasya løste den 2. april, den sidste dag i ferien.

Løsning: Lad os betegne -en 1 = 5 – antallet af problemer, som Vasya løste den 18. marts, d– dagligt antal opgaver løst af Vasya, n= 16 – antal dage fra 18. marts til 2. april inklusive, S 16 = 560 – samlet antal opgaver, -en 16 – antallet af problemer, som Vasya løste den 2. april. Ved at vide, at Vasya hver dag løste det samme antal problemer mere sammenlignet med den foregående dag, kan vi bruge formler til at finde summen af ​​en aritmetisk progression:

560 = (5 + -en 16) 8,

5 + -en 16 = 560: 8,

5 + -en 16 = 70,

-en 16 = 70 – 5

-en 16 = 65.

Svar: 65.

Opgave nr. 12- de tester elevernes evne til at udføre operationer med funktioner og til at kunne anvende den afledede til studiet af en funktion.

Find det maksimale punkt for funktionen y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Løsning: 1) Find definitionsdomænet for funktionen: x + 9 > 0, x> –9, det vil sige x ∈ (–9; ∞).

2) Find den afledede af funktionen:

4) Det fundne punkt hører til intervallet (–9; ∞). Lad os bestemme tegnene på funktionens afledte og skildre funktionsadfærden i figuren:

Det ønskede maksimumpunkt x = –8.

Download gratis arbejdsprogrammet i matematik til linjen af ​​undervisningsmaterialer G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Download gratis læremidler i algebra

Opgave nr. 13-øget kompleksitetsniveau med et detaljeret svar, test af evnen til at løse ligninger, den mest succesfulde løst blandt opgaver med en detaljeret besvarelse af et øget kompleksitetsniveau.

a) Løs ligningen 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Find alle rødderne til denne ligning, der hører til segmentet.

Løsning: a) Lad log 3 (2cos x) = t, derefter 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ fordi |cos x| ≤ 1,
	log 3(2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

derefter cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Find rødderne, der ligger på segmentet.

Figuren viser, at rødderne af det givne segment hører til

11π	Og	13π	.
6		6

Svar: EN)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Opgave nr. 14-avanceret niveau henviser til opgaver i anden del med en detaljeret besvarelse. Opgaven tester evnen til at udføre handlinger med geometriske former. Opgaven indeholder to punkter. I det første punkt skal opgaven bevises, og i det andet punkt beregnes.

Diameteren af ​​cirklen på cylinderens bund er 20, cylinderens generatrix er 28. Planet skærer sin base langs akkorder med længde 12 og 16. Afstanden mellem akkorderne er 2√197.

a) Bevis, at centrum af cylinderens bunde ligger på den ene side af dette plan.

b) Find vinklen mellem dette plan og planet for bunden af ​​cylinderen.

Løsning: a) En korde med længden 12 er i en afstand = 8 fra centrum af basiscirklen, og en korde med længden 16 har tilsvarende en afstand på 6. Derfor er afstanden mellem deres projektioner på et plan parallelt med cylindrenes base er enten 8 + 6 = 14 eller 8 - 6 = 2.

Så er afstanden mellem akkorderne enten

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ifølge betingelsen blev det andet tilfælde realiseret, hvor fremspringene af akkorderne ligger på den ene side af cylinderaksen. Dette betyder, at aksen ikke skærer dette plan i cylinderen, det vil sige, at baserne ligger på den ene side af den. Hvad skulle bevises.

b) Lad os betegne basernes centre som O 1 og O 2. Lad os tegne fra midten af ​​basen med en akkord med længden 12 en halveringslinje vinkelret på denne akkord (den har længde 8, som allerede nævnt) og fra midten af ​​den anden base til den anden akkord. De ligger i samme plan β, vinkelret på disse akkorder. Lad os kalde midtpunktet af den mindre akkord B, den større akkord A og projektionen af ​​A på den anden base - H (H ∈ β). Så er AB,AH ∈ β og derfor AB,AH vinkelret på akkorden, det vil sige den rette skæringslinje mellem basen og den givne plan.

Det betyder, at den nødvendige vinkel er lig med

∠ABH = arktan	A.H.	= arktan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Opgave nr. 15- øget kompleksitetsniveau med en detaljeret besvarelse, tester evnen til at løse uligheder, som løses mest vellykket blandt opgaver med en detaljeret besvarelse af et øget kompleksitetsniveau.

Eksempel 15. Løs ulighed | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Løsning: Definitionsdomænet for denne ulighed er intervallet (–1; +∞). Overvej tre sager separat:

1) Lad x 2 – 3x= 0, dvs. x= 0 eller x= 3. I dette tilfælde bliver denne ulighed sand, derfor er disse værdier inkluderet i løsningen.

2) Lad nu x 2 – 3x> 0, dvs. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Desuden kan denne ulighed omskrives som ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 og dividere med et positivt udtryk x 2 – 3x. Vi får log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 eller x≤ –0,5. Under hensyntagen til definitionsdomænet har vi x ∈ (–1; –0,5].

3) Overvej endelig x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). I dette tilfælde vil den oprindelige ulighed blive omskrevet i formen (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Efter at have divideret med positive 3 x – x 2, vi får log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Under hensyntagen til regionen, har vi x ∈ (0; 1].

Ved at kombinere de opnåede løsninger opnår vi x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Svar: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Opgave nr. 16- avanceret niveau refererer til opgaver i anden del med en detaljeret besvarelse. Opgaven tester evnen til at udføre handlinger med geometriske former, koordinater og vektorer. Opgaven indeholder to punkter. I det første punkt skal opgaven bevises, og i det andet punkt beregnes.

I en ligebenet trekant ABC med en vinkel på 120° er halveringslinjen BD tegnet ved toppunkt A. Rektangel DEFH er indskrevet i trekant ABC, så siden FH ligger på segment BC, og toppunkt E ligger på segment AB. a) Bevis at FH = 2DH. b) Find arealet af rektanglet DEFH, hvis AB = 4.

Løsning: EN)

1) ΔBEF – rektangulær, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, så EF = BE ved egenskaben for benet, der ligger modsat vinklen på 30°.

2) Lad EF = DH = x, så BE = 2 x, BF = x√3 ifølge Pythagoras sætning.

3) Da ΔABC er ligebenet, betyder det ∠B = ∠C = 30˚.

BD er halveringslinjen af ​​∠B, hvilket betyder ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Overvej ΔDBH – rektangulær, fordi DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Svar: 24 – 12√3.

Opgave nr. 17- en opgave med et detaljeret svar, denne opgave tester anvendelsen af ​​viden og færdigheder i praktiske aktiviteter og hverdagsliv, evnen til at bygge og udforske matematiske modeller. Denne opgave er et tekstproblem med økonomisk indhold.

Eksempel 17. Et depositum på 20 millioner rubler er planlagt til at blive åbnet i fire år. Ved udgangen af ​​hvert år øger banken indskuddet med 10 % i forhold til størrelsen ved årets begyndelse. Derudover genopfylder investoren i begyndelsen af ​​tredje og fjerde år årligt depositumet med x millioner rubler, hvor x - hel nummer. Find den største værdi x, hvor banken vil tilfalde mindre end 17 millioner rubler til depositum over fire år.

Løsning: Ved udgangen af ​​det første år vil bidraget være 20 + 20 · 0,1 = 22 millioner rubler, og i slutningen af ​​det andet - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millioner rubler. I begyndelsen af ​​det tredje år vil bidraget (i millioner rubler) være (24,2 + x), og i slutningen - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 x). Ved begyndelsen af ​​det fjerde år vil bidraget være (26,62 + 2,1 X), og i slutningen - (26.62 + 2.1 x) + (26,62 + 2,1x) · 0,1 = (29,282 + 2,31 x). Ved betingelse skal du finde det største heltal x, som uligheden gælder for

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Den største heltalsløsning på denne ulighed er tallet 24.

Svar: 24.

Opgave nr. 18- en opgave af øget kompleksitet med en detaljeret besvarelse. Denne opgave er beregnet til konkurrencedygtig udvælgelse til universiteter med øgede krav til matematisk forberedelse af ansøgere. En opgave med et højt kompleksitetsniveau er en opgave, der ikke handler om brugen af ​​én løsningsmetode, men en kombination af forskellige metoder. For at gennemføre opgave 18 med succes, har du foruden solid matematisk viden også brug for et højt niveau af matematisk kultur.

Ved hvad -en system af ulighed

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – -en 2 + 1
	y + -en ≤ |x| – -en

har præcis to løsninger?

Løsning: Dette system kan omskrives i formularen

	x 2 + (y– -en) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – -en

Hvis vi på planet tegner mængden af ​​løsninger til den første ulighed, får vi det indre af en cirkel (med en grænse) med radius 1 med centrum i punktet (0, EN). Sættet af løsninger til den anden ulighed er den del af planet, der ligger under grafen for funktionen y = | x| – -en, og sidstnævnte er grafen for funktionen
y = | x| , flyttet ned af EN. Løsningen til dette system er skæringspunktet mellem sæt af løsninger til hver af ulighederne.

Følgelig vil dette system kun have to løsninger i tilfældet vist i fig. 1.

Cirklens kontaktpunkter med linjerne vil være systemets to løsninger. Hver af de lige linjer hælder til akserne i en vinkel på 45°. Så det er en trekant PQR– rektangulære ligebenede. Prik Q har koordinater (0, EN), og pointen R– koordinater (0, – EN). Hertil kommer segmenterne PR Og PQ lig med radius af cirklen lig med 1. Dette betyder

Qr= 2-en = √2, -en =	√2	.
	2

Svar: -en =	√2	.
	2

Opgave nr. 19- en opgave af øget kompleksitet med en detaljeret besvarelse. Denne opgave er beregnet til konkurrencedygtig udvælgelse til universiteter med øgede krav til matematisk forberedelse af ansøgere. En opgave med et højt kompleksitetsniveau er en opgave, der ikke handler om brugen af ​​én løsningsmetode, men en kombination af forskellige metoder. For at fuldføre opgave 19 skal du være i stand til at søge efter en løsning, vælge forskellige tilgange blandt de kendte og ændre de undersøgte metoder.

Lade Sn sum P udtryk for en aritmetisk progression ( en s). Det er kendt, at S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Angiv formlen P termin af denne progression.

b) Find den mindste absolutte sum S n.

c) Find den mindste P, hvorpå S n vil være kvadratet af et heltal.

Løsning: a) Det er indlysende en n = S n – S n- 1 . Ved hjælp af denne formel får vi:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Midler, en n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Siden S n = 2n 2 – 25n, så overvej funktionen S(x) = | 2x 2 – 25x|. Dens graf kan ses på figuren.

Det er klart, at den mindste værdi opnås ved de heltalspunkter, der er tættest på funktionens nuller. Det er selvfølgelig punkter x= 1, x= 12 og x= 13. Siden, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, så er den mindste værdi 12.

c) Af det foregående afsnit følger det Sn positiv, startende fra n= 13. Siden S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), så realiseres det åbenlyse tilfælde, når dette udtryk er et perfekt kvadrat, hvornår n = 2n– 25, altså kl P= 25.

Det er tilbage at kontrollere værdierne fra 13 til 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Det viser sig, at for mindre værdier P en komplet firkant opnås ikke.

Svar: EN) en n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Siden maj 2017 har den forenede forlagsgruppe "DROFA-VENTANA" været en del af det russiske lærebogsselskab. Selskabet omfatter også forlaget Astrel og den digitale uddannelsesplatform LECTA. Alexander Brychkin, kandidat fra Finansakademiet under Den Russiske Føderations regering, kandidat for økonomiske videnskaber, leder af innovative projekter fra DROFA-forlaget inden for digital uddannelse (elektroniske former for lærebøger, Russian Electronic School, digital uddannelsesplatform LECTA) blev udnævnt til generaldirektør. Før han kom til DROFA-forlaget, havde han stillingen som vicepræsident for strategisk udvikling og investeringer i forlaget EKSMO-AST. I dag har forlagsvirksomheden "Russian Textbook" den største portefølje af lærebøger inkluderet i den føderale liste - 485 titler (ca. 40%, eksklusive lærebøger til specialskoler). Selskabets forlag ejer de mest populære sæt af lærebøger i russiske skoler inden for fysik, tegning, biologi, kemi, teknologi, geografi, astronomi - videnområder, der er nødvendige for udviklingen af ​​landets produktive potentiale. Selskabets portefølje omfatter lærebøger og læremidler til grundskoler, som blev tildelt præsidentprisen på uddannelsesområdet. Det er lærebøger og manualer inden for fagområder, der er nødvendige for udviklingen af ​​Ruslands videnskabelige, tekniske og produktionsmæssige potentiale.

Lektionen diskuterer løsningen på opgave 12 i Unified State Exam i datalogi, herunder opgaver fra 2017

Emne 12 - "Netværksadresser" - karakteriseres som opgaver af et grundlæggende kompleksitetsniveau, færdiggørelsestid - ca. 2 minutter, maksimal score - 1

Internetadressering

Adressen på et dokument på internettet (fra engelsk - URL - Uniform Resource Locator) består af følgende dele:

• dataoverførselsprotokol; Måske:
• http(til websider) eller
• ftp(til filoverførsel)
• der er også en sikker protokol https;
• skilletegn :// , adskillelse af protokolnavnet fra resten af ​​adressen;
• webstedsdomænenavn (eller IP-adresse);
• kan også være til stede: biblioteket på serveren, hvor filen er placeret;
• filnavn.

Mapper på serveren er adskilt af skråstreg " / »

1. netværkstjenesteprotokolnavn – definerer servertypen HTTP(Hypertekstoverførselsprotokol);
2. skilletegn i form af et kolon og to tegn Skråstreg;
3. fuldt kvalificeret domænenavn på serveren;
4. søgesti til et webdokument på en computer;
5. webservernavn;
6. topniveau domæne "org";
7. landekodenavn "ru";
8. katalog vigtigste på computeren;
9. katalog nyheder i kataloget vigtigste;
10. det endelige mål med søgningen er en fil main_news.html.

Netværksadresser

Fysisk adresse eller Mac-adresse– en unik adresse, "hardwired" ved produktion – 48-bit kode på netværkskortet (i hexadecimal):

00-17-E1-41-AD-73

IP-adresse– computeradresse (32-bit nummer), bestående af: netværksnummer + computernummer i netværket (nodeadresse):

15.30.47.48

Undernetmaske:

• nødvendigt for at bestemme, hvilke computere der er på det samme undernet;

i 10. forestilling i 16. forestilling

255.255.255.0 -> FF.FF.FF.0

en maske i binær kode har altid strukturen: først alle enere, derefter alle nuller:

1…10…0

når overlejret på en IP-adresse (logisk konjunktion OG) giver netværksnummeret:

Den del af IP-adressen, der svarer til maskebittene lig med en, refererer til netværksadressen, og den del, der svarer til maskebittene lig nul, er computerens numeriske adresse

dermed er det muligt at afgøre, hvad det kan være sidste nummer af maske:

hvis to noder tilhører det samme netværk, så er deres netværksadresse den samme.

Beregning af netværksnummer ved IP-adresse og netværksmaske

I undernetmasken væsentligste dele, tildelt i computerens IP-adresse for netværksnummer, har en værdi på 1 (255); mindst væsentlige stykker, tildelt i computerens IP-adresse til computeradresser i undernettet, stof 0 .

* Billede taget fra præsentationen af ​​K. Polyakov

Antal computere på netværket

Antallet af computere på netværket bestemmes af masken: maskens lavordens bits - nuller - er reserveret i computerens IP-adresse til adressen på computeren i undernettet.

Hvis masken:

Antallet af computere på netværket:

2 7 = 128 adresser

Af disse er 2 specielle: netværksadresse og broadcast-adresse

128 - 2 = 126 adresser

Løsning af opgaver 12 Unified State Exam i datalogi

Unified State Examination in Informatics 2017 opgave 12 FIPI mulighed 1 (Krylov S.S., Churkina T.E.):

I terminologien for TCP/IP-netværk er en netværksmaske et binært tal, der bestemmer, hvilken del af IP-adressen på en netværksvært, der refererer til netværksadressen, og hvilken del, der refererer til adressen på selve værten på dette netværk. Typisk skrives masken efter samme regler som IP-adressen – som fire bytes, hvor hver byte er skrevet som et decimaltal. I dette tilfælde indeholder masken først enere (i de højeste cifre), og derefter fra et bestemt ciffer er der nuller. Netværksadressen opnås ved at anvende en bitvis konjunktion til den givne værts IP-adresse og maske.

For eksempel, hvis værtens IP-adresse er 211.132.255.41 og masken er 255.255.201.0, så er netværksadressen 211.132.201.0

For en node med en IP-adresse 200.15.70.23 netværksadresse er 200.15.64.0 . Hvad er lig med mindst mulig værdi af den tredje byte fra venstre side af masken? Skriv dit svar som et decimaltal.

✍ Løsning:

• Den tredje byte fra venstre svarer til tallet 70 i IP-adressen og 64 - i netværksadressen.
• Netværksadressen er resultatet af den bitvise konjunktion af masken og IP-adressen i binær:

? ? ? ? ? ? ? ? -> tredje byte af masken OG (&) 0 1 0 0 0 1 1 0 2 -> 70 10 = 0 1 0 0 0 0 0 0 2 -> 64 10

Det mindst mulige resultat af masken kunne være:

1 1 0 0 0 0 0 0 - tredje byte af masken OG (&) 0 1 0 0 0 1 1 0 2 -> 70 10 = 0 1 0 0 0 0 0 0 2 -> 64 10

Her tages den mest signifikante bit som én, selvom resultatet af konjunktionen kunne have været taget som nul (0 & 0 = 0). Men da der er en garanteret en ved siden af, betyder det, at vi også lægger den i den væsentligste bit 1 . Som du ved, indeholder masken først enere og derefter nuller (dette kan ikke ske: 0100… , men det kan kun være sådan her: 1100… ).

Lad os oversætte 11000000 2 ind i det 10. talsystem og vi får 192 .

Resultat: 192

En trin-for-trin løsning på denne 12. opgave i Unified State Exam i datalogi er tilgængelig i videovejledningen:

Opgave 12. Demoversion af Unified State Exam 2018 datalogi:

I terminologien for TCP/IP-netværk er en netværksmaske et binært tal, der bestemmer, hvilken del af IP-adressen på en netværksvært, der refererer til netværksadressen, og hvilken del, der refererer til adressen på selve værten på dette netværk. Typisk skrives masken efter samme regler som IP-adressen – i form af fire bytes, hvor hver byte er skrevet som et decimaltal. I dette tilfælde indeholder masken først enere (i de højeste cifre), og derefter fra et bestemt ciffer er der nuller.
Netværksadressen opnås ved at anvende en bitvis konjunktion til den givne værts IP-adresse og maske.

For eksempel, hvis værtens IP-adresse er 231.32.255.131, og masken er 255.255.240.0, så er netværksadressen 231.32.240.0.

For en node med en IP-adresse 57.179.208.27 netværksadresse er 57.179.192.0 . Hvad er det ligesom størst mulig mængde enheder i maskens rækker?

✍ Løsning:

• Da netværksadressen opnås som et resultat af at anvende en bitvis konjunktion til en given værts IP-adresse og maske, får vi:

255.255.?.? -> maske & 57.179.208.27 -> IP-adresse = 57.179.192.0 -> netværksadresse

Da de første to bytes til venstre i værtens IP-adresse og netværksadressen er de samme, betyder det, at for at opnå et sådant resultat i en bitvis konjunktion i det binære system, skal masken indeholde alle enere. De der.:

11111111 2 = 255 10

For at finde de resterende to bytes af masken er det nødvendigt at konvertere de tilsvarende bytes i IP-adressen og netværksadressen til det 2. talsystem. Lad os gøre det:

208 10 = 11010000 2 192 10 = 11000000 2

Lad os nu se, hvad masken for denne byte kan være. Lad os nummerere biterne af masken fra højre mod venstre:

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 -> maske & 1 1 0 1 0 0 0 0 = 1 1 0 0 0 0 0 0

For den 5. bit får vi: ? & 0 = 0 -> masken kan indeholde både en enhed og 0 . Men da opgaven spørger os størst muligt antal enheder, hvilket betyder, at det er nødvendigt at sige, at i masken er denne bit lig med 1 .

For den 4. bit får vi: ? & 1 = 0 -> masken kan kun bæres af 0 .

Da masken indeholder de første enere og derefter alle nuller, så efter dette nul i 4. bit vil resten være nuller. Og den 4. byte fra venstre for masken vil være lig med 0 10 .

Lad os få masken: 11111111.11111111.11100000.00000000 .

Lad os tælle antallet af enheder i masken:

8 + 8 + 3 = 19

Resultat: 19

For en detaljeret løsning på opgave 12 i demoversionen af ​​Unified State Exam 2018, se videoen:

Løsning på opgave 12 (Polyakov K., mulighed 25):

I TCP/IP-netværksterminologi er en netværksmaske et binært tal, der angiver, hvilken del af IP-adressen på en netværksvært, der vedrører netværksadressen, og hvilken del til værtsadressen på dette netværk. Netværksadressen opnås ved at anvende en bitvis konjunktion til en given nodeadresse og dens maske.

Baseret på den angivne værts IP-adresse og maske bestemme netværksadressen:

IP-adresse: 145.92.137.88 Maske: 255.255.240.0

Når du skriver svaret ned, skal du vælge de fire elementer i IP-adressen fra tallene i tabellen og skrive de bogstaver, der svarer til dem, uden prikker i den påkrævede rækkefølge.

EN	B	C	D	E	F	G	H
0	145	255	137	128	240	88	92

✍ Løsning:

• For at løse problemet skal du huske, at netværkets IP-adresse såvel som netværksmasken er gemt i 4 bytes skrevet med en prik. Det vil sige, at hver af de individuelle IP-adresser og netmaskenumre er gemt i 8-bit binær form. For at opnå netværksadressen er det nødvendigt at udføre en bitvis konjunktion af disse tal.
• Siden nummeret 255 i binær repræsentation er dette 8 enheder, så med en bitvis konjunktion med et hvilket som helst tal, vil resultatet være det samme tal. Det er således ikke nødvendigt at tage højde for de bytes af IP-adressen, der svarer til nummeret 255 i netværksmasken. Derfor forbliver de to første numre i IP-adressen de samme ( 145.92 ).
• Det er tilbage at overveje tallene 137 Og 88 IP-adresser og 240 masker. Nummer 0 i maskekampene otte nuller i binær repræsentation, det vil sige, at en bitvis konjunktion med et hvilket som helst tal vil gøre dette tal til 0 .
• Lad os konvertere begge numre på IP-adressen og netværksmasken til det binære system og skrive IP-adressen og masken under hinanden for at udføre den bitvise konjunktion:

137: 10001001 88: 1011000 - IP-adresse 240: 11110000 0: 00000000 - netværksmaske 10000000 00000000 - resultatet af den bitvise konjunktion

Lad os oversætte resultatet:

10000000 2 = 128 10

I alt for netværksadressen får vi bytes:

145.92.128.0

Vi matcher bogstaverne i tabellen og får BHEA.

Resultat: BHEA

Vi inviterer dig til at se en detaljeret videoanalyse:

Løsning på opgave 12 (Polyakov K., mulighed 33):

Hvis undernetmasken 255.255.255.128 og IP-adressen på computeren på netværket 122.191.12.189 , så er computernummeret på netværket _____.

✍ Løsning:

• De enkelte bits af masken (lig med én) bestemmer undernetadressen, fordi Undernetadressen er resultatet af den bitvise konjunktion (logisk multiplikation) af maskebittene med IP-adressen.
• Resten af ​​masken (startende med det første nul) angiver computernummeret.
• Siden i binær repræsentation tallet 255 - dette er otte enheder ( 11111111 ), så med en bitvis konjunktion med et hvilket som helst tal, returneres det samme tal (1 ∧ 0 = 0; 1 ∧ 1 = 1). Således de bytes i masken, der er lig med tal 255 , vil vi ikke overveje, fordi de definerer undernetadressen.
• Lad os starte med en byte lig med 128 . Det svarer til en byte 189 IP-adresser. Lad os konvertere disse tal til det binære talsystem:

128 = 10000000 2 189 = 10111101 2

De bits af IP-adressen, der svarer til maskens nulbit, bruges til at bestemme computernummeret. Lad os konvertere det resulterende binære tal til decimaltalsystemet:

0111101 2 = 61 10

Resultat: 61

For en detaljeret løsning på denne opgave, se videoen:

Løsning på opgave 12 (Polyakov K., mulighed 41):

I terminologien for TCP/IP-netværk er en undernetmaske et 32-bit binært tal, der bestemmer, hvilke bits af computerens IP-adresse, der er fælles for hele undernettet – disse bits af masken indeholder 1. Masker skrives normalt som en firedobbelt af decimaltal - efter de samme regler, det samme som IP-adresser.

En maske bruges til nogle undernet 255.255.255.192 . Hvor mange forskellige computer adresser tillader teoretisk denne maske, hvis to adresser (netværk og broadcast-adresse) ikke bruges?

✍ Løsning:

• De enkelte bits af masken (lig med én) bestemmer undernetadressen, resten af ​​masken (startende med det første nul) bestemmer computernummeret. Det vil sige, at der er lige så mange muligheder for computeradressen, som man kan få fra nulbits i masken.
• I vores tilfælde vil vi ikke overveje de første tre bytes af masken til venstre, fordi nummer 255 i binær repræsentation er det otte enheder ( 11111111 ).
• Overvej den sidste byte af masken, lig med 192 . Lad os konvertere tallet til det binære talsystem:

192 10 = 11000000 2

Samlet modtaget 6 nuller i netværksmasken. Det betyder, at der tildeles 6 bits til adressering af computere eller med andre ord 2 6 computeradresser. Men da to adresser allerede er reserveret (efter betingelse), får vi:

2 6 - 2 = 64 - 2 = 62

Resultat: 62

Se videobeskrivelsen af ​​opgaven herunder:

Løsning på opgave 12 (Regionalt arbejde, Fjernøsten, 2018):

For en node med en IP-adresse 93.138.161.94 netværksadresse er 93.138.160.0 .For hvor mange forskellige maskeværdier Er dette muligt?

✍ Løsning:

Resultat: 5

Videoanalyse af opgaven:

I opgave nr. 12 af Unified State Examen i matematik på profilniveau skal vi finde den største eller mindste værdi af funktionen. For at gøre dette er det naturligvis nødvendigt at bruge et derivat. Lad os se på et typisk eksempel.

Analyse af typiske muligheder for opgave nr. 12 i Unified State Examen i matematik på profilniveau

Første version af opgaven (demoversion 2018)

Find maksimumpunktet for funktionen y = ln(x+4) 2 +2x+7.

Løsningsalgoritme:

1. At finde den afledte.
2. Vi skriver svaret ned.

Løsning:

1. Vi leder efter værdier af x, som logaritmen giver mening for. For at gøre dette løser vi uligheden:

Fordi kvadratet af ethvert tal er ikke-negativt. Løsningen på uligheden vil kun være værdien af ​​x, hvor x+4≠ 0, dvs. ved x≠-4.

2. Find den afledede:

y'=(ln(x+4) 2 + 2x + 7)'

Ved logaritmens egenskab får vi:

y'=(ln(x+4) 2)'+(2x)'+(7)'.

Ifølge formlen for derivatet af en kompleks funktion:

(lnf)'=(1/f)∙f'. Vi har f=(x+4) 2

y, = (ln(x+4) 2)'+ 2 + 0 = (1/(x+4) 2)∙((x+4) 2)' + 2=(1/(x+4) 2 2)∙(x 2 + 8x + 16)' +2=2(x + 4) /((x + 4) 2) + 2

y'= 2/(x + 4) + 2

3. Vi sidestiller den afledte med nul:

y, = 0 → (2+2∙(x + 4))/(x + 4)=0,

2 +2x +8 =0, 2x + 10 = 0,

Anden version af opgaven (fra Yashchenko, nr. 1)

Find minimumspunktet for funktionen y = x – ln(x+6) + 3.

Løsningsalgoritme:

1. Vi bestemmer funktionens definitionsdomæne.
2. At finde den afledte.
3. Vi bestemmer, på hvilke punkter den afledede er lig med 0.
4. Vi udelukker punkter, der ikke hører til definitionsdomænet.
5. Blandt de resterende punkter ser vi efter x-værdier, hvor funktionen har et minimum.
6. Vi skriver svaret ned.

Løsning:

2. Find den afledede af funktionen:

3. Vi sidestiller det resulterende udtryk til nul:

4. Vi modtog et punkt x=-5, der hører til funktionens definitionsdomæne.

5. På dette tidspunkt har funktionen et ekstremum. Lad os tjekke, om dette er minimum. Ved x=-4

Ved x=-5,5 er den afledede af funktionen negativ, da

Det betyder, at punktet x=-5 er minimumspunktet.

Tredje version af opgaven (fra Yashchenko, nr. 12)

Find den største værdi af funktionen på segmentet [-3; 1].

Løsningsalgoritme:

1. At finde den afledte.
2. Vi bestemmer, på hvilke punkter den afledede er lig med 0.
3. Vi udelukker punkter, der ikke hører til et givent segment.
4. Blandt de resterende punkter ser vi efter x-værdierne, hvor funktionen har et maksimum.
5. Vi finder værdierne af funktionen i enderne af segmentet.
6. Vi leder efter den største blandt de opnåede værdier.
7. Vi skriver svaret ned.

Løsning:

1. Vi beregner den afledede af funktionen, vi får

Unified State Examen i matematik på grundlæggende niveau består af 20 opgaver. Opgave 12 tester evnerne til at vælge den optimale løsning blandt de foreslåede. Eleven skal kunne vurdere mulige muligheder og vælge den mest optimale. Her kan du finde ud af, hvordan du løser opgave 12 i Unified State Examen i matematik på grundlæggende niveau, samt studere eksempler og løsninger baseret på detaljerede opgaver.

Alle BRUG basisopgave alle opgaver (263) BRUG basisopgave 1 (5) BRUG basisopgave 2 (6) BRUG basisopgave 3 (45) BRUG basisopgave 4 (33) BRUG basisopgave 5 (2) BRUG basisopgave 6 (44) ) Unified State Examination base assignment 7 (1) Unified State Examination base assignment 8 (12) Unified State Examination base assignment 10 (22) Unified State Examination base assignment 12 (5) Unified State Examination base assignment 13 (20) Unified State Examination base assignment opgave 15 (13) Unified State Examination base opgave 19 (23) Unified State Exam base opgave 20 (32)

I gennemsnit bruger en borger A. strøm om måneden i dagtimerne

I gennemsnit bruger en borger i A K kWh el om måneden i løbet af dagen og L kWh el om natten. Tidligere havde A. fået installeret en enkelttarifmåler i sin lejlighed, og han betalte for al elektricitet til en takst af M rubler. kWh For et år siden installerede A. en to-tarifmåler, mens det daglige elforbrug betales med en sats på N rubler. kWh, og natforbrug betales med taksten P rub. kWh I løbet af R måneder ændrede forbrugsmåden og elbetalingspriserne sig ikke. Hvor meget mere ville A. have betalt for denne periode, hvis måleren ikke havde ændret sig? Giv dit svar i rubler.

Når du bygger et landhus, kan du bruge en af ​​to typer fundament

Når du bygger et landhus, kan du bruge en af ​​to typer fundament: sten eller beton. Til et stenfundament har du brug for A tons natursten og B poser cement. Til et betonfundament skal du bruge C tons knust sten og D poser cement. Et ton sten koster E rubler, knust sten koster F rubler per ton, og en pose cement koster G rubler. Hvor mange rubler vil fundamentmaterialet koste, hvis du vælger den billigste løsning?

Problemet er en del af Unified State Examination i matematik på grundniveau for 11. klasse under 12. klasse.

Hvor mange rubler skal du betale for den billigste rejse for tre

En familie på tre planlægger at rejse fra St. Petersborg til Vologda. Du kan tage med tog, eller du kan tage i bil. En togbillet til én person koster N rubler. En bil bruger K liter benzin per L kilometer, afstanden langs motorvejen er M km, og prisen på benzin er P rubler per liter. Hvor mange rubler skal du betale for den billigste rejse for tre?

Problemet er en del af Unified State Examination i matematik på grundniveau for 11. klasse under 12. klasse.

Når man bygger et hus, bruger virksomheden en af ​​fundamentstyperne

Når man bygger et hus, bruger virksomheden en af ​​typerne af fundamenter: beton eller skumblok. Til et fundament lavet af skumblokke skal du bruge K kubikmeter skumblokke og L poser cement. Til et betonfundament skal du bruge M tons knust sten og N poser cement. En kubikmeter skumblokke koster A rubler, knust sten koster B rubler per ton, og en pose cement koster C rubler. Hvor mange rubler vil materialet koste, hvis du vælger den billigste løsning?

I OGE's tolvte opgave i matematik i Algebra-modulet testes vores viden om transformationer - reglerne for åbning af parenteser, placering af variable uden for parentes, reduktion af brøker til en fællesnævner og kendskab til forkortede multiplikationsformler.

Essensen af ​​opgaven kommer ned til at forenkle det udtryk, der er angivet i betingelsen: du bør ikke straks erstatte værdier i det originale udtryk. Du skal først forenkle det og derefter erstatte værdien - alle opgaver er struktureret på en sådan måde, at du efter forenkling kun skal udføre en eller to simple handlinger.

Det er nødvendigt at tage højde for de tilladte værdier af variable inkluderet i algebraiske udtryk, bruge egenskaberne for potenser med en heltalseksponent, regler for udtrækning af rødder og forkortede multiplikationsformler.

Svaret i opgaven er et heltal eller en endelig decimalbrøk.

Teori til opgave nr. 12

Først og fremmest, lad os huske, hvad en grad er og

Derudover får vi brug for forkortede multiplikationsformler:

Kvadrat af summen

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Kvadratforskel

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Forskel på firkanter

a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)

Terning af sum

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Forskel terning

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Summen af ​​terninger

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Forskel på terninger

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2)

Regler operationer med fraktioner :

Analyse af typiske muligheder for opgave nr. 12 OGE i matematik

Første version af opgaven

Find værdien af ​​udtrykket: (x + 5) 2 - x (x- 10) ved x = - 1/20

Løsning:

I dette tilfælde, som i næsten alle opgaver nr. 7, skal du først forenkle udtrykket; for at gøre dette skal du åbne parenteserne:

(x + 5) 2 - x (x - 10) = x 2 + 2 5 x + 25 - x 2 + 10x

Så præsenterer vi lignende udtryk:

x 2 + 2 5 x + 25 - x 2 + 10x = 20 x + 25

20 x + 25 = 20 (-1/20) + 25 = - 1 + 25 = 24

Anden version af opgaven

Find betydningen af ​​udtrykket:

ved a = 13, b = 6,8

Løsning:

I dette tilfælde vil vi i modsætning til det første forenkle udtrykket ved at tage det ud af parenteser i stedet for at åbne dem.

Du kan straks bemærke, at b er til stede i den første brøk i tælleren, og i den anden - i nævneren, så vi kan reducere dem. Syv og fjorten er også reduceret med syv:

Lad os forkorte (a-b):

Og vi får:

Erstat værdien a = 13:

Tredje version af opgaven

Find betydningen af ​​udtrykket:

ved x = √45, y = 0,5

Løsning:

Så i denne opgave, når vi trækker brøker, skal vi bringe dem til en fællesnævner.

Fællesnævneren er 15 x y, For at gøre dette skal du gange den første brøk med 5 y- både tæller og nævner, naturligvis:

Lad os beregne tælleren:

5 y - (3 x + 5 y) = 5 år- 3 x - 5 år= - 3 x

Så får brøken formen:

Ved at udføre simple reduktioner af tæller og nævner med 3 og med x, får vi:

Lad os erstatte værdien y = 0,5:

1 / (5 0,5) = - 1 / 2,5 = - 0,4

Svar: - 0,4

Demoversion af OGE 2019

Find meningen med udtrykket

hvor a = 9, b = 36

Løsning:

Først og fremmest skal du i opgaver af denne type forenkle udtrykket og derefter erstatte tallene.

Lad os reducere udtrykket til en fællesnævner - dette er b, for at gøre dette gange vi det første led med b, hvorefter vi får i tælleren:

9b² + 5a - 9b²

Lad os præsentere lignende udtryk - disse er 9b² og - 9b², efterlader 5a i tælleren.

Lad os skrive den sidste brøk:

Lad os beregne dens værdi ved at erstatte tallene fra betingelsen:

Svar: 1,25

Fjerde version af opgaven

Find betydningen af ​​udtrykket:

ved x = 12.

Løsning:

Lad os udføre identiske transformationer af udtrykket for at forenkle det.

Trin 1 – overgang fra at dividere brøker til at gange dem:

Nu reducerer vi udtrykket (i tælleren for den første brøk og i nævneren af ​​den anden) og kommer til en endelig forenklet form:

Vi erstatter den numeriske værdi for x i det resulterende udtryk og finder resultatet: