Eksempler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Sådan løses eksponentialligninger

Når vi løser en eksponentiel ligning, stræber vi efter at bringe den til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\), og derefter foretage overgangen til eksponenternes lighed, det vil sige:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

For eksempel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Vigtig! Fra samme logik følger to krav til en sådan overgang:
- nummer ind venstre og højre skal være det samme;
- graderne til venstre og højre skal være "rene", det vil sige, at der ikke skal være multiplikation, division osv.

For eksempel:

For at reducere ligningen til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\) og bruges.

Eksempel . Løs eksponentialligningen \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Løsning:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vi ved, at \(27 = 3^3\). Med dette i betragtning transformerer vi ligningen.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Ved egenskaben af ​​roden \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) opnår vi, at \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dernæst, ved at bruge egenskaben af ​​grad \((a^b)^c=a^(bc)\), opnår vi \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Vi ved også, at \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Ved at anvende dette på venstre side får vi: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Husk nu at: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Denne formel kan også bruges i den modsatte retning: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Derefter \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Ved at anvende egenskaben \((a^b)^c=a^(bc)\) til højre får vi: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Og nu er vores baser lige store, og der er ingen forstyrrende koefficienter osv. Så vi kan klare overgangen.
		Eksempel . Løs eksponentialligningen \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Løsning: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Vi bruger igen potensegenskaben \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) i den modsatte retning. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Husk nu at \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Ved hjælp af egenskaberne for grader transformerer vi: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Vi ser nøje på ligningen og ser, at erstatningen \(t=2^x\) foreslår sig selv. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Vi har dog fundet værdierne for \(t\), og vi har brug for \(x\). Vi vender tilbage til X'erne og laver en omvendt erstatning. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Lad os transformere den anden ligning ved hjælp af egenskaben for negativ potens... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...og vi bestemmer os indtil svaret. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Svar : \(-1; 1\). Spørgsmålet står tilbage - hvordan man forstår, hvornår man skal bruge hvilken metode? Dette kommer med erfaring. Indtil du har udviklet det, brug den generelle anbefaling til at løse komplekse problemer - "hvis du ikke ved, hvad du skal gøre, så gør hvad du kan." Det vil sige, se efter, hvordan du i princippet kan transformere ligningen, og prøv at gøre det - hvad nu hvis hvad der sker? Det vigtigste er kun at lave matematisk baserede transformationer. Eksponentialligninger uden løsninger Lad os se på yderligere to situationer, der ofte forvirrer eleverne: - et positivt tal i potensen er lig nul, for eksempel \(2^x=0\); - et positivt tal er lig med potensen af ​​et negativt tal, for eksempel \(2^x=-4\). Lad os prøve at løse med rå magt. Hvis x er et positivt tal, vil hele potensen \(2^x\) kun stige, når x vokser: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Også af. Negative X'er forbliver. Ved at huske egenskaben \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), tjekker vi: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) På trods af at tallet bliver mindre for hvert trin, når det aldrig nul. Så den negative grad reddede os ikke. Vi kommer til en logisk konklusion: Et positivt tal i enhver grad forbliver et positivt tal. Begge ligninger ovenfor har således ingen løsninger. Eksponentialligninger med forskellige baser I praksis støder vi nogle gange på eksponentielle ligninger med forskellige baser, der ikke kan reduceres til hinanden, og samtidig med de samme eksponenter. De ser sådan ud: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), hvor \(a\) og \(b\) er positive tal. For eksempel: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Sådanne ligninger kan nemt løses ved at dividere med en hvilken som helst af ligningens sider (normalt divideret med højre side, dvs. med \(b^(f(x))\). Du kan dividere på denne måde, fordi et positivt tal er positiv til enhver potens (det vil sige, vi dividerer ikke med nul) Vi får: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Eksempel . Løs eksponentialligningen \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Løsning: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Her vil vi ikke være i stand til at forvandle en femmer til en treer eller omvendt (i hvert fald uden at bruge ). Det betyder, at vi ikke kan komme til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Indikatorerne er dog de samme. Lad os dividere ligningen med højre side, det vil sige med \(3^(x+7)\) (vi kan gøre dette, fordi vi ved, at tre ikke vil være nul i nogen grad). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Husk nu egenskaben \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) og brug den fra venstre i den modsatte retning. Til højre reducerer vi blot fraktionen. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Det ser ud til, at tingene ikke blev bedre. Men husk endnu en egenskab ved magt: \(a^0=1\), med andre ord: "ethvert tal i nulpotensen er lig med \(1\)." Det omvendte er også sandt: "et kan repræsenteres som et hvilket som helst tal til nulpotensen." Lad os udnytte dette ved at gøre basen til højre den samme som til venstre. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Lad os slippe af med baserne. Vi skriver et svar. Svar : \(-7\). Nogle gange er "ensartetheden" af eksponenter ikke indlysende, men dygtig brug af eksponenternes egenskaber løser dette problem. Eksempel . Løs eksponentialligningen \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Løsning: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ligningen ser meget trist ud... Ikke alene kan grundlerne ikke reduceres til det samme tal (syv vil på ingen måde være lig med \(\frac(1)(3)\)), men også eksponenterne er forskellige. .. Lad os dog bruge venstre eksponent toer. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ved at huske egenskaben \((a^b)^c=a^(b·c)\), transformerer vi fra venstre: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Når vi nu husker egenskaben negativ grad \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformerer vi fra højre: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Indikatorerne er de samme! Handler i henhold til den ordning, der allerede er kendt for os, løser vi før svaret. Svar : \(2\).

Dette er navnet på ligninger af formen, hvor det ukendte er både i potensens eksponent og grundflade.

Du kan angive en helt klar algoritme til løsning af en formsligning. For at gøre dette skal du være opmærksom på, at hvornår Åh) ikke lig med nul, én og minus én, graders lighed med samme grundtal (det være sig positiv eller negativ) er kun mulig, hvis eksponenterne er ens. Det vil sige, at alle ligningens rødder vil være ligningens rødder f(x) = g(x) Det omvendte udsagn er ikke sandt, hvornår Åh)< 0 og brøkværdier f(x) Og g(x) udtryk Åh) f(x) Og

Åh) g(x) miste deres mening. Altså når man flytter fra til f(x) = g(x)(for og fremmede rødder kan forekomme, som skal udelukkes ved at kontrollere mod den oprindelige ligning. Og tilfælde a = 0, a = 1, a = -1 skal overvejes særskilt.

Så for fuldstændig at løse ligningen overvejer vi tilfældene:

a(x) = O f(x) Og g(x) vil være positive tal, så er dette løsningen. Ellers nej

a(x) = 1. Rødderne til denne ligning er også rødderne til den oprindelige ligning.

a(x) = -1. Hvis, for en værdi af x, der opfylder denne ligning, f(x) Og g(x) er heltal af samme paritet (enten begge lige eller begge ulige), så er dette løsningen. Ellers nej

Hvornår og vi løser ligningen f(x)= g(x) og ved at erstatte de opnåede resultater i den oprindelige ligning skærer vi de fremmede rødder af.

Eksempler på løsning af eksponentiel-potensligninger.

Eksempel nr. 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. fordi 3 > 0 og 3 2 > 0, så er x 1 = 3 løsningen.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Begge indikatorer er lige. Denne løsning er x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 og x? ± 1. x = x 2, x = 0 eller x = 1. For x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - denne løsning er korrekt: x 4 = 0. For x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - denne løsning er korrekt x 5 = 1.

Svar: 0, 1, 2, 3, 4.

Eksempel nr. 2.

Per definition af en aritmetisk kvadratrod: x - 1? 0, x? 1.

1) x - 1 = 0 eller x = 1, = 0, 0 0 er ikke en løsning.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 passer ikke i ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - der er ingen rødder.

Første niveau

Eksponentialligninger. The Ultimate Guide (2019)

Hej! I dag vil vi diskutere med dig, hvordan man løser ligninger, der enten kan være elementære (og jeg håber, at efter at have læst denne artikel, vil næsten alle være det for dig), og dem, der normalt gives "til påfyldning". Tilsyneladende for endelig at falde i søvn. Men jeg vil forsøge at gøre alt muligt, så du nu ikke kommer i problemer, når du står over for denne type ligninger. Jeg vil ikke slå om busken længere, men jeg vil fortælle dig en lille hemmelighed med det samme: i dag skal vi studere eksponentielle ligninger.

Før jeg går videre til at analysere måder at løse dem på, vil jeg straks skitsere dig en række spørgsmål (ganske små), som du bør gentage, før du skynder dig at angribe dette emne. Så for de bedste resultater, tak gentage:

1. Ejendomme og
2. Løsning og ligninger

Gentaget? Fantastiske! Så vil det ikke være svært for dig at bemærke, at roden af ​​ligningen er et tal. Forstår du præcis, hvordan jeg gjorde det? Er det sandt? Så lad os fortsætte. Svar nu på mit spørgsmål, hvad er lig med tredje potens? Du har helt ret: . Hvilken potens af to er otte? Det er rigtigt - den tredje! Fordi. Nå, lad os nu prøve at løse følgende problem: Lad mig gange tallet med sig selv én gang og få resultatet. Spørgsmålet er, hvor mange gange jeg gangede med mig selv? Du kan selvfølgelig tjekke dette direkte:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( justere)

Så kan du konkludere, at jeg gangede med mig selv gange. Hvordan kan du ellers tjekke dette? Sådan gør du: direkte efter definition af grad: . Men, du må indrømme, at hvis jeg spurgte, hvor mange gange to skal ganges med sig selv for at få, siger du, ville du sige til mig: Jeg vil ikke narre mig selv og formere mig selv, før jeg er blå i ansigtet. Og han ville have fuldstændig ret. For hvordan kan du skriv kort alle trinene ned(og korthed er talentets søster)

hvor - det er de samme "gange", når du formerer med sig selv.

Jeg tror, ​​at du ved (og hvis du ikke ved, omgående, meget presserende gentag graderne!), at så vil mit problem blive skrevet i formen:

Hvordan kan du med rimelighed konkludere, at:

Så ubemærket skrev jeg det enkleste ned eksponentiel ligning:

Og jeg fandt ham endda rod. Synes du ikke, at alt er fuldstændig trivielt? Jeg tænker præcis det samme. Her er endnu et eksempel til dig:

Men hvad skal man gøre? Det kan jo ikke skrives som en potens af et (rimeligt) tal. Lad os ikke fortvivle og bemærke, at begge disse tal er perfekt udtrykt gennem kraften af ​​det samme tal. Hvilken en? Højre: . Derefter transformeres den oprindelige ligning til formen:

Hvor, som du allerede har forstået, . Lad os ikke udsætte længere og skrive det ned definition:

I vores tilfælde:.

Disse ligninger løses ved at reducere dem til formen:

efterfulgt af løsning af ligningen

Faktisk gjorde vi netop det i det forrige eksempel: vi fik følgende: Og vi løste den enkleste ligning.

Det ser ikke ud til at være noget kompliceret, vel? Lad os først øve os på de enkleste eksempler:

Vi ser igen, at højre og venstre side af ligningen skal repræsenteres som potenser af ét tal. Sandt nok, til venstre er dette allerede blevet gjort, men til højre er der et nummer. Men det er okay, for min ligning vil mirakuløst forvandle sig til dette:

Hvad skulle jeg bruge her? Hvilken regel? Reglen om "grader inden for grader" som lyder:

Hvad hvis:

Inden vi besvarer dette spørgsmål, lad os udfylde følgende tabel:

Det er let for os at bemærke, at jo mindre, jo mindre er værdien, men ikke desto mindre er alle disse værdier større end nul. OG DET VIL ALTID VÆRE!!! Den samme egenskab gælder FOR ENHVER GRUNDLAG MED ENHVER INDIKATOR!! (for enhver og). Hvad kan vi så konkludere om ligningen? Her er hvad det er: det har ingen rødder! Ligesom enhver ligning ikke har nogen rødder. Lad os nu øve os og Lad os løse simple eksempler:

Lad os tjekke:

1. Her vil der ikke blive krævet noget af dig, undtagen viden om gradernes egenskaber (som jeg i øvrigt bad dig om at gentage!) Som regel fører alt til den mindste base: , . Så vil den oprindelige ligning svare til følgende: Alt jeg behøver er at bruge egenskaberne for potenser: Når man multiplicerer tal med samme grundtal, lægges potenserne sammen, og når man dividerer, trækkes de fra. Så får jeg: Nå, nu vil jeg med god samvittighed gå fra eksponentialligningen til den lineære: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. I det andet eksempel skal vi være mere forsigtige: Problemet er, at vi på venstre side umuligt kan repræsentere det samme tal som en potens. I dette tilfælde er det nogle gange nyttigt repræsentere tal som et produkt af potenser med forskellige baser, men de samme eksponenter:

Venstre side af ligningen vil se sådan ud: Hvad gav dette os? Her er hvad: Tal med forskellige grundtal men de samme eksponenter kan ganges.I dette tilfælde multipliceres baserne, men indikatoren ændres ikke:

I min situation vil dette give:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Ikke dårligt, vel?

3. Jeg kan ikke lide det, når jeg unødigt har to led på den ene side af ligningen og ingen på den anden (nogle gange er det selvfølgelig berettiget, men nu er det ikke sådan). Jeg flytter minusleddet til højre:

Nu, som før, vil jeg skrive alt i form af trepotenser:

Jeg tilføjer graderne til venstre og får en ækvivalent ligning

Du kan nemt finde dens rod:

4. Som i eksempel tre har minusleddet en plads i højre side!

På min venstre side er næsten alt fint, undtagen hvad? Ja, den "forkerte grad" af de to generer mig. Men det kan jeg sagtens ordne ved at skrive:. Eureka - til venstre er alle baserne forskellige, men alle graderne er ens! Lad os formere os med det samme!

Her er alt klart igen: (hvis du ikke forstår, hvordan jeg på magisk vis fik den sidste ligestilling, så tag en pause i et minut, træk vejret og læs gradens egenskaber igen meget omhyggeligt. Hvem sagde, at du kan springe en grad med en negativ eksponent? Nå, her er jeg omtrent det samme som ingen). Nu får jeg:

\begin(align)
& ((2)^(4\venstre((x) -9 \højre)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Her er nogle problemer for dig at øve dig på, som jeg kun vil give svarene på (men i en "blandet" form). Løs dem, tjek dem, og du og jeg fortsætter vores forskning!

Parat? Svar som disse:

1. ethvert nummer

Okay, okay, jeg lavede sjov! Her er nogle skitser af løsninger (nogle meget korte!)

Tror du ikke, at det ikke er tilfældigt, at den ene brøkdel til venstre er den anden "omvendt"? Det ville være synd ikke at udnytte dette:

Denne regel bruges meget ofte, når man løser eksponentialligninger, husk det godt!

Så bliver den oprindelige ligning sådan:

Ved at løse denne andengradsligning får du følgende rødder:

2. En anden løsning: at dividere begge sider af ligningen med udtrykket til venstre (eller højre). Divider med hvad der er til højre, så får jeg:

Hvor (hvorfor?!)

3. Jeg vil ikke engang gentage mig selv, alt er allerede blevet "tygget" så meget.

4. svarende til en andengradsligning, rødder

5. Du skal bruge formlen givet i den første opgave, så får du det:

Ligningen er blevet til en triviel identitet, der er sand for enhver. Så er svaret et hvilket som helst reelt tal.

Nå, nu har du øvet dig i at løse simple eksponentialligninger. Nu vil jeg give dig et par livseksempler, der vil hjælpe dig med at forstå, hvorfor de er nødvendige i princippet. Her vil jeg give to eksempler. En af dem er ret dagligdags, men den anden er mere tilbøjelig til at være af videnskabelig snarere end praktisk interesse.

Eksempel 1 (merkantil) Lad dig have rubler, men du vil gøre det til rubler. Banken tilbyder dig at tage disse penge fra dig til en årlig kurs med månedlig kapitalisering af renter (månedlig periodisering). Spørgsmålet er, hvor mange måneder skal du åbne et depositum i for at nå det krævede endelige beløb? En ganske banal opgave, er det ikke? Ikke desto mindre er dens løsning forbundet med konstruktionen af ​​den tilsvarende eksponentielle ligning: Lad - det oprindelige beløb, - det endelige beløb, - renten for perioden, - antallet af perioder. Derefter:

I vores tilfælde (hvis satsen er årlig, så beregnes den pr. måned). Hvorfor er det divideret med? Hvis du ikke kender svaret på dette spørgsmål, så husk emnet ""! Så får vi denne ligning:

Denne eksponentielle ligning kan allerede løses kun ved hjælp af en lommeregner (dens udseende antyder dette, og dette kræver kendskab til logaritmer, som vi vil stifte bekendtskab med lidt senere), hvilket er hvad jeg vil gøre: ... Således , for at få en million, skal vi give et bidrag i en måned (ikke særlig hurtigt, vel?).

Eksempel 2 (temmelig videnskabeligt). På trods af hans visse "isolation" anbefaler jeg, at du er opmærksom på ham: han "glider regelmæssigt ind i Unified State Examination!! (problemet er taget fra den "rigtige" version) Under henfaldet af en radioaktiv isotop falder dens masse ifølge loven, hvor (mg) er isotopens begyndelsesmasse, (min.) er den tid, der er gået fra indledende øjeblik, (min.) er halveringstiden. I det indledende tidspunkt er isotopens masse mg. Dens halveringstid er min. Efter hvor mange minutter vil massen af ​​isotopen være lig med mg? Det er okay: vi tager bare og erstatter alle data i den formel, der er foreslået os:

Lad os dividere begge dele med "i håbet om, at vi til venstre får noget fordøjeligt:

Nå, vi er meget heldige! Det er til venstre, så lad os gå videre til den tilsvarende ligning:

Hvor er min.

Som du kan se, har eksponentielle ligninger meget reelle anvendelser i praksis. Nu vil jeg vise dig en anden (simpel) måde at løse eksponentialligninger på, som er baseret på at tage den fælles faktor ud af parentes og derefter gruppere termerne. Bliv ikke bange for mine ord, du stødte allerede på denne metode i 7. klasse, da du studerede polynomier. For eksempel, hvis du havde brug for at faktorisere udtrykket:

Lad os gruppere: det første og tredje led, såvel som det andet og fjerde. Det er klart, at den første og den tredje er forskellen mellem kvadrater:

og den anden og fjerde har en fælles faktor på tre:

Så svarer det oprindelige udtryk til dette:

Hvor man kan udlede den fælles faktor er ikke længere svært:

Derfor,

Dette er nogenlunde, hvad vi vil gøre, når vi løser eksponentielle ligninger: kig efter "fællesskab" blandt begreberne og tag det ud af parentes, og så - hvad som helst, jeg tror på, at vi vil være heldige =)) For eksempel:

Til højre er langt fra at være en potens af syv (jeg tjekkede!) Og til venstre - det er lidt bedre, du kan selvfølgelig "hakke" faktoren a fra den anden fra første termin, og derefter behandle med hvad du har, men lad os være mere forsigtige med dig. Jeg vil ikke beskæftige mig med de brøker, der uundgåeligt dannes, når man "vælger", så burde jeg ikke hellere tage det ud? Så vil jeg ikke have nogen fraktioner: som man siger, ulvene bliver fodret og fårene er sikre:

Beregn udtrykket i parentes. Magisk, magisk viser det sig at (overraskende, selvom hvad skulle vi ellers forvente?).

Så reducerer vi begge sider af ligningen med denne faktor. Vi får: , fra.

Her er et mere kompliceret eksempel (egentlig en smule):

Hvilket problem! Vi har ikke ét fælles fodslag her! Det er ikke helt klart, hvad man skal gøre nu. Lad os gøre, hvad vi kan: Flyt først "firerne" til den ene side og "femrene" til den anden:

Lad os nu tage "generelle" ud til venstre og højre:

Så hvad nu? Hvad er fordelen ved sådan en dum gruppe? Ved første øjekast er det slet ikke synligt, men lad os se dybere:

Nå, nu sørger vi for, at vi til venstre kun har udtrykket c, og til højre - alt andet. Hvordan gør vi dette? Sådan gør du: Divider begge sider af ligningen først med (så vi slipper af med eksponenten til højre), og divider derefter begge sider med (så vi slipper af med den numeriske faktor til venstre). Til sidst får vi:

Utrolig! Til venstre har vi et udtryk, og til højre har vi et simpelt udtryk. Så konkluderer vi med det samme

Her er endnu et eksempel, som du kan forstærke:

Jeg vil give hans korte løsning (uden at genere mig selv meget med forklaringer), prøv selv at forstå alle "finesser" af løsningen.

Nu til den endelige konsolidering af det dækkede materiale. Prøv selv at løse følgende problemer. Jeg vil blot give korte anbefalinger og tips til at løse dem:

1. Lad os tage den fælles faktor ud af parentes: Hvor:
2. Lad os præsentere det første udtryk i formen: , divider begge sider med og få det
3. , så transformeres den oprindelige ligning til formen: Nå, nu et tip - se efter, hvor du og jeg allerede har løst denne ligning!
4. Forestil dig hvordan, hvordan, ah, ja, så divider begge sider med, så du får den enkleste eksponentielle ligning.
5. Tag det ud af beslagene.
6. Tag det ud af beslagene.

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. GENNEMSNIVEAU

Jeg antager, at efter at have læst den første artikel, som talte om hvad er eksponentialligninger og hvordan man løser dem, har du mestret den nødvendige minimumsviden, der er nødvendig for at løse de enkleste eksempler.

Nu vil jeg se på en anden metode til at løse eksponentialligninger, det er

"metode til at introducere en ny variabel" (eller erstatning). Han løser de fleste af de "svære" problemer om emnet eksponentielle ligninger (og ikke kun ligninger). Denne metode er en af ​​de mest anvendte i praksis. Først anbefaler jeg, at du sætter dig ind i emnet.

Som du allerede har forstået fra navnet, er essensen af ​​denne metode at introducere en sådan ændring af variabel, at din eksponentielle ligning mirakuløst vil forvandle sig til en, som du nemt kan løse. Alt, der er tilbage for dig efter at have løst denne meget "forenklede ligning" er at lave en "omvendt erstatning": det vil sige, vende tilbage fra den erstattede til den erstattede. Lad os illustrere, hvad vi lige sagde med et meget simpelt eksempel:

Eksempel 1:

Denne ligning løses ved hjælp af en "simpel substitution", som matematikere nedsættende kalder det. Faktisk er erstatningen her den mest oplagte. Det skal man bare se

Så bliver den oprindelige ligning til dette:

Hvis vi derudover forestiller os hvordan, så er det helt klart, hvad der skal udskiftes: selvfølgelig. Hvad bliver så den oprindelige ligning? Her er hvad:

Du kan nemt finde dens rødder på egen hånd: . Hvad skal vi gøre nu? Det er tid til at vende tilbage til den oprindelige variabel. Hvad har jeg glemt at nævne? Nemlig: ved udskiftning af en vis grad med en ny variabel (det vil sige ved udskiftning af en type), vil jeg være interesseret i kun positive rødder! Du kan nemt svare på hvorfor. Derfor er du og jeg ikke interesseret, men den anden rod er ret egnet til os:

Så hvor fra.

Svar:

Som du kan se, i det foregående eksempel, bad en erstatning bare om vores hænder. Det er desværre ikke altid tilfældet. Lad os dog ikke gå direkte til de triste ting, men lad os øve os med endnu et eksempel med en ret simpel erstatning

Eksempel 2.

Det er klart, at vi højst sandsynligt bliver nødt til at lave en udskiftning (dette er den mindste af de potenser, der er inkluderet i vores ligning), men før vi indfører en erstatning, skal vores ligning "forberedes" til det, nemlig: , . Så kan du erstatte, som et resultat får jeg følgende udtryk:

Åh horror: en kubisk ligning med helt forfærdelige formler til at løse det (nå, i generelle vendinger). Men lad os ikke fortvivle med det samme, men lad os tænke over, hvad vi skal gøre. Jeg vil foreslå snyd: vi ved, at for at få et "smukt" svar, skal vi få det i form af en eller anden potens af tre (hvorfor skulle det være, ikke?). Lad os prøve at gætte mindst én rod af vores ligning (jeg begynder at gætte med tre potenser).

Første gæt. Ikke en rod. Ak og åh...

.
Venstre side er lige.
Højre del: !
Spise! Gættede den første rod. Nu bliver tingene nemmere!

Kender du til "hjørne"-delingsordningen? Selvfølgelig gør du det, du bruger det når du dividerer et tal med et andet. Men de færreste ved, at det samme kan gøres med polynomier. Der er en vidunderlig sætning:

Når det gælder min situation, fortæller dette mig, at det er deleligt uden rest med. Hvordan foregår opdelingen? Sådan:

Jeg ser på hvilket monom jeg skal gange med for at få Clearly, så:

Jeg trækker det resulterende udtryk fra, får jeg:

Hvad skal jeg gange med for at få? Det er klart, at på, så får jeg:

og træk igen det resulterende udtryk fra det resterende:

Nå, det sidste trin er at gange med og trække fra det resterende udtryk:

Hurra, division er forbi! Hvad har vi akkumuleret privat? I sig selv:.

Så fik vi følgende udvidelse af det oprindelige polynomium:

Lad os løse den anden ligning:

Det har rødder:

Så den oprindelige ligning:

har tre rødder:

Vi vil selvfølgelig kassere den sidste rod, da den er mindre end nul. Og de første to efter omvendt udskiftning vil give os to rødder:

Svar: ..

Med dette eksempel ville jeg slet ikke skræmme dig, men mit mål var at vise, at selvom vi havde en ret simpel erstatning, førte det alligevel til en ret kompleks ligning, hvis løsning krævede nogle specielle færdigheder fra os. Nå, ingen er immune over for dette. Men erstatningen i dette tilfælde var ret åbenlys.

Her er et eksempel med en lidt mindre indlysende erstatning:

Det er slet ikke klart, hvad vi skal gøre: Problemet er, at i vores ligning er der to forskellige baser, og den ene base kan ikke opnås fra den anden ved at hæve den til nogen (rimelig, naturligt) magt. Men hvad ser vi? Begge baser adskiller sig kun i fortegn, og deres produkt er forskellen mellem kvadrater lig med en:

Definition:

Således er de tal, der er baserne i vores eksempel, konjugerede.

I dette tilfælde ville det smarte skridt være gange begge sider af ligningen med det konjugerede tal.

For eksempel, på, så vil venstre side af ligningen blive lig med, og højre. Hvis vi laver en substitution, vil vores oprindelige ligning blive sådan her:

dens rødder, og husker vi det, så får vi det.

Svar: , .

Som regel er erstatningsmetoden tilstrækkelig til at løse de fleste "skole" eksponentialligninger. Følgende opgaver er taget fra Unified State Examination C1 (øget sværhedsgrad). Du er allerede dygtig nok til at løse disse eksempler på egen hånd. Jeg vil kun give den nødvendige erstatning.

1. Løs ligningen:
2. Find rødderne til ligningen:
3. Løs ligningen:. Find alle rødderne til denne ligning, der hører til segmentet:

Og nu nogle korte forklaringer og svar:

1. Her er det nok for os at bemærke, at... Så vil den oprindelige ligning svare til dette: Denne ligning kan løses ved at erstatte Lav selv de videre beregninger. I sidste ende vil din opgave blive reduceret til at løse simple trigonometriske problemer (afhængigt af sinus eller cosinus). Vi vil se på løsninger på lignende eksempler i andre afsnit.
2. Her kan du endda undvære substitution: Flyt blot subtrahenden til højre og repræsentere begge baser gennem to potenser: , og gå derefter direkte til andengradsligningen.
3. Den tredje ligning er også løst ganske standard: lad os forestille os hvordan. Så, i stedet for, får vi en andengradsligning: derefter,

   Du ved allerede, hvad en logaritme er, ikke? Ingen? Så læs emnet hurtigt!

   Den første rod hører åbenbart ikke til segmentet, men den anden er uklar! Men det finder vi ud af meget snart! Siden da (dette er en egenskab ved logaritmen!) Lad os sammenligne:

   Træk fra begge sider, så får vi:

   Venstre side kan repræsenteres som:

   gange begge sider med:

   kan så ganges med

   Sammenlign derefter:

   siden da:

   Så hører den anden rod til det nødvendige interval

   Svar:

Som du kan se, udvælgelse af rødder til eksponentialligninger kræver et ret dybt kendskab til logaritmers egenskaber, så jeg råder dig til at være så forsigtig som muligt, når du løser eksponentialligninger. Som du forstår, hænger alt sammen i matematik! Som min matematiklærer sagde: "matematik kan ligesom historie ikke læses fra den ene dag til den anden."

Som regel alle Vanskeligheden ved at løse opgaver C1 er netop udvælgelsen af ​​ligningens rødder. Lad os øve os med endnu et eksempel:

Det er klart, at selve ligningen er løst ganske enkelt. Ved at lave en substitution reducerer vi vores oprindelige ligning til følgende:

Lad os først se på den første rod. Lad os sammenligne og: siden da. (egenskab for en logaritmisk funktion, at). Så er det klart, at den første rod ikke hører til vores interval. Nu den anden rod:. Det er tydeligt (da funktionen på er stigende). Det er tilbage at sammenligne og...

siden da på samme tid. På denne måde kan jeg "drive en pind" mellem og. Denne pind er et nummer. Det første udtryk er mindre, og det andet er større. Så er det andet udtryk større end det første, og roden hører til intervallet.

Svar: .

Lad os endelig se på et andet eksempel på en ligning, hvor substitutionen er ret ikke-standard:

Lad os starte med det samme med, hvad der kan gøres, og hvad - i princippet kan gøres, men det er bedre ikke at gøre det. Du kan forestille dig alt gennem magten tre, to og seks. Hvor fører det hen? Det vil ikke føre til noget: et virvar af grader, hvoraf nogle vil være ret svære at slippe af med. Hvad skal der så til? Lad os bemærke, at a Og hvad vil det give os? Og det faktum, at vi kan reducere løsningen af ​​dette eksempel til løsningen af ​​en ret simpel eksponentialligning! Lad os først omskrive vores ligning som:

Lad os nu dividere begge sider af den resulterende ligning med:

Eureka! Nu kan vi erstatte, vi får:

Nå, nu er det din tur til at løse demonstrationsproblemer, og jeg vil kun give korte kommentarer til dem, så du ikke kommer på afveje! Held og lykke!

1. Det sværeste! Det er så svært at se en erstatning her! Men ikke desto mindre kan dette eksempel løses fuldstændigt vha fremhæve en komplet firkant. For at løse det er det nok at bemærke, at:

Så her er din erstatning:

(Bemærk venligst, at her under vores udskiftning kan vi ikke kassere den negative rod!!! Hvorfor tror du?)

For at løse eksemplet skal du kun løse to ligninger:

Begge kan løses ved en "standardudskiftning" (men den anden i ét eksempel!)

2. Læg mærke til det, og lav en erstatning.

3. Dekomponér tallet i coprime-faktorer og forenkle det resulterende udtryk.

4. Divider brøkens tæller og nævner med (eller, hvis du foretrækker det) og foretag substitutionen eller.

5. Bemærk, at tallene og er konjugeret.

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. AVANCERET NIVEAU

Derudover, lad os se på en anden måde - løse eksponentialligninger ved hjælp af logaritmemetoden. Jeg kan ikke sige, at løsning af eksponentielle ligninger ved hjælp af denne metode er meget populær, men i nogle tilfælde kan det kun føre os til den korrekte løsning af vores ligning. Det bruges især ofte til at løse de såkaldte " blandede ligninger": det vil sige dem, hvor funktioner af forskellige typer forekommer.

For eksempel en ligning af formen:

i det generelle tilfælde kan det kun løses ved at tage logaritmer på begge sider (for eksempel til basen), hvor den oprindelige ligning bliver til følgende:

Lad os se på følgende eksempel:

Det er klart, at ifølge ODZ af den logaritmiske funktion er vi kun interesserede. Dette følger dog ikke kun af ODZ af logaritmen, men af ​​endnu en grund. Jeg tror ikke, det vil være svært for dig at gætte, hvilken det er.

Lad os tage logaritmen af ​​begge sider af vores ligning til basen:

Som du kan se, førte logaritmen af ​​vores oprindelige ligning os hurtigt til det rigtige (og smukke!) svar. Lad os øve os med endnu et eksempel:

Der er heller ikke noget galt her: lad os tage logaritmen af ​​begge sider af ligningen til basen, så får vi:

Lad os lave en erstatning:

Vi gik dog glip af noget! Lagde du mærke til, hvor jeg lavede en fejl? Når alt kommer til alt, så:

som ikke opfylder kravet (tænk hvor det kom fra!)

Svar:

Prøv at nedskrive løsningen til eksponentialligningerne nedenfor:

Sammenlign nu din beslutning med dette:

1. Lad os logaritme begge sider til basen under hensyntagen til, at:

(den anden rod er ikke egnet til os på grund af udskiftning)

2. Logaritme til basen:

Lad os transformere det resulterende udtryk til følgende form:

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. KORT BESKRIVELSE OG GRUNDLÆGGENDE FORMLER

Eksponentiel ligning

Formens ligning:

hedder den enkleste eksponentialligning.

Egenskaber for grader

Tilgange til løsning

• Reduktion til samme grundlag
• Reduktion til samme eksponent
• Variabel udskiftning
• Forenkling af udtrykket og anvendelse af et af ovenstående.

Gå til youtube-kanalen på vores hjemmeside for at holde dig opdateret med alle de nye videolektioner.

Lad os først huske de grundlæggende formler for magter og deres egenskaber.

Produkt af et nummer -en forekommer på sig selv n gange, kan vi skrive dette udtryk som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potens- eller eksponentialligninger– det er ligninger, hvor variablerne er i potenser (eller eksponenter), og grundfladen er et tal.

Eksempler på eksponentialligninger:

I dette eksempel er tallet 6 basen; det er altid nederst og variablen x grad eller indikator.

Lad os give flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Lad os nu se på, hvordan eksponentielle ligninger løses?

Lad os tage en simpel ligning:

2 x = 2 3

Dette eksempel kan løses selv i dit hoved. Det kan ses, at x=3. Når alt kommer til alt, for at venstre og højre side skal være ens, skal du sætte tallet 3 i stedet for x.
Lad os nu se, hvordan man formaliserer denne beslutning:

2 x = 2 3
x = 3

For at løse sådan en ligning fjernede vi identiske grunde(altså toere) og skrev ned hvad der var tilbage, det er grader. Vi fik det svar, vi ledte efter.

Lad os nu opsummere vores beslutning.

Algoritme til løsning af eksponentialligningen:
1. Skal tjekkes det samme om ligningen har baser til højre og venstre. Hvis årsagerne ikke er de samme, leder vi efter muligheder for at løse dette eksempel.
2. Efter at baserne er blevet de samme, sidestille grader og løs den resulterende nye ligning.

Lad os nu se på et par eksempler:

Lad os starte med noget simpelt.

Baserne på venstre og højre side er lig med tallet 2, hvilket betyder, at vi kan kassere basen og sidestille deres potenser.

x+2=4 Den enkleste ligning opnås.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2

I det følgende eksempel kan du se, at baserne er forskellige: 3 og 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Flyt først de ni til højre, så får vi:

Nu skal du lave de samme bunde. Vi ved, at 9=3 2. Lad os bruge potensformlen (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nu er det klart, at på venstre og højre side er baserne ens og lig med tre, hvilket betyder, at vi kan kassere dem og sidestille graderne.

3x=2x+16 får vi den enkleste ligning
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.

Lad os se på følgende eksempel:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Først og fremmest ser vi på baserne, base to og fire. Og vi har brug for, at de er de samme. Vi transformerer de fire ved at bruge formlen (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Og vi bruger også en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tilføj til ligningen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi gav et eksempel af samme årsager. Men andre tal 10 og 24 generer os. Hvad skal vi gøre med dem? Hvis du ser godt efter kan du se, at vi i venstre side har 2 2x gentaget, her er svaret - vi kan sætte 2 2x ud af parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lad os beregne udtrykket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi dividerer hele ligningen med 6:

Lad os forestille os 4=2 2:

2 2x = 2 2 baser er ens, vi kasserer dem og sætter lighedstegn mellem graderne.
2x = 2 er den enkleste ligning. Divider det med 2 og vi får
x = 1
Svar: x = 1.

Lad os løse ligningen:

9 x – 12*3 x +27= 0

Lad os transformere:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Vores baser er de samme, lig med 3. I dette eksempel kan du se, at de tre første har en grad to gange (2x) end den anden (kun x). I dette tilfælde kan du løse udskiftningsmetode. Vi erstatter tallet med den mindste grad:

Så 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vi erstatter alle x potenser i ligningen med t:

t2 - 12t+27 = 0
Vi får en andengradsligning. Løser vi gennem diskriminanten, får vi:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Vender tilbage til variablen x.

Tag t 1:
t1 = 9 = 3 x

Det er,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.

På hjemmesiden kan du stille alle de spørgsmål, du måtte have i sektionen HJÆLP BESLUT, vi vil helt sikkert svare dig.

Deltag i gruppen

Denne lektion er beregnet til dem, der lige er begyndt at lære eksponentielle ligninger. Lad os som altid starte med definitionen og enkle eksempler.

Hvis du læser denne lektion, så formoder jeg, at du allerede har mindst en minimal forståelse af de simpleste ligninger - lineære og kvadratiske: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ osv. At kunne løse sådanne konstruktioner er absolut nødvendigt for ikke at "hænge sig fast" i det emne, der nu skal diskuteres.

Altså eksponentielle ligninger. Lad mig give dig et par eksempler:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Nogle af dem kan virke mere komplekse for dig, mens andre tværtimod er for simple. Men de har alle en vigtig egenskab til fælles: deres notation indeholder eksponentialfunktionen $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Lad os derfor introducere definitionen:

En eksponentiel ligning er enhver ligning, der indeholder en eksponentiel funktion, dvs. udtryk for formen $((a)^(x))$. Ud over den angivne funktion kan sådanne ligninger indeholde alle andre algebraiske konstruktioner - polynomier, rødder, trigonometri, logaritmer osv.

Ok så. Vi har ordnet definitionen. Nu er spørgsmålet: hvordan løser man alt det lort? Svaret er både enkelt og komplekst.

Lad os starte med de gode nyheder: Ud fra min erfaring med at undervise mange elever kan jeg sige, at de fleste af dem finder eksponentielle ligninger meget lettere end de samme logaritmer, og endnu mere trigonometri.

Men der er dårlige nyheder: nogle gange bliver forfattere af problemer til alle slags lærebøger og eksamener ramt af "inspiration", og deres stofbetændte hjerne begynder at producere så brutale ligninger, at løsningen af ​​dem bliver problematisk ikke kun for eleverne - selv mange lærere blive hængende i sådanne problemer.

Men lad os ikke tale om triste ting. Og lad os vende tilbage til de tre ligninger, der blev givet helt i begyndelsen af ​​historien. Lad os prøve at løse hver af dem.

Første ligning: $((2)^(x))=4$. Nå, til hvilken styrke skal du hæve tallet 2 for at få tallet 4? Sandsynligvis den anden? For jo $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - og vi fik den korrekte numeriske lighed, dvs. faktisk $x=2$. Nå, tak, Cap, men denne ligning var så enkel, at selv min kat kunne løse den. :)

Lad os se på følgende ligning:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Men her er det lidt mere kompliceret. Mange elever ved, at $((5)^(2))=25$ er multiplikationstabellen. Nogle har også mistanke om, at $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ i det væsentlige er definitionen af ​​negative potenser (svarende til formlen $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Endelig er det kun nogle få udvalgte, der indser, at disse fakta kan kombineres og give følgende resultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2)))\]

Således vil vores oprindelige ligning blive omskrevet som følger:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Højrepil ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Men dette er allerede fuldstændigt løseligt! Til venstre i ligningen er der en eksponentiel funktion, til højre i ligningen er der en eksponentiel funktion, der er intet andet andre steder end dem. Derfor kan vi "kassere" baserne og dumt sidestille indikatorerne:

Vi har fået den enkleste lineære ligning, som enhver elev kan løse på blot et par linjer. Okay, i fire linjer:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Hvis du ikke forstår, hvad der skete i de sidste fire linjer, skal du sørge for at vende tilbage til emnet "lineære ligninger" og gentage det. For uden en klar forståelse af dette emne, er det for tidligt for dig at tage på eksponentielle ligninger.

\[((9)^(x))=-3\]

Så hvordan kan vi løse dette? Første tanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, så den oprindelige ligning kan omskrives som følger:

\[((\venstre(((3)^(2)) \højre))^(x))=-3\]

Så husker vi, at når man hæver en potens til en potens, ganges eksponenterne:

\[((\venstre(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Højrepil ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Og for sådan en beslutning vil vi modtage en ærligt fortjent to. For med en Pokémons ligevægt sendte vi minustegnet foran de tre til kraften af ​​netop denne tre. Men det kan du ikke. Og det er derfor. Tag et kig på de forskellige magter af tre:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Da jeg kompilerede denne tablet, perverterede jeg ikke noget: Jeg så på positive potenser, og negative, og endda brøkdele... ja, hvor er mindst ét ​​negativt tal her? Han er væk! Og det kan det ikke være, fordi eksponentialfunktionen $y=((a)^(x))$ for det første altid kun tager positive værdier (uanset hvor meget man ganges eller divideres med to, vil det stadig være en positivt tal), og for det andet er bunden af ​​en sådan funktion - tallet $a$ - per definition et positivt tal!

Nå, hvordan løser man så ligningen $((9)^(x))=-3$? Men ingen måde: der er ingen rødder. Og i den forstand minder eksponentielle ligninger meget om andengradsligninger – der er muligvis heller ingen rødder. Men hvis antallet af rødder i andengradsligninger bestemmes af diskriminanten (positiv diskriminant - 2 rødder, negativ - ingen rødder), så afhænger alt i eksponentialligninger af, hvad der er til højre for lighedstegnet.

Lad os derfor formulere nøglekonklusionen: Den enkleste eksponentielligning af formen $((a)^(x))=b$ har en rod, hvis og kun hvis $b>0$. Når du kender denne simple kendsgerning, kan du nemt afgøre, om den ligning, du foreslår, har rødder eller ej. De der. Er det overhovedet værd at løse det eller straks skrive ned, at der ikke er nogen rødder.

Denne viden vil hjælpe os mange gange, når vi skal løse mere komplekse problemer. For nu, nok af teksterne - det er tid til at studere den grundlæggende algoritme til løsning af eksponentielle ligninger.

Sådan løses eksponentialligninger

Så lad os formulere problemet. Det er nødvendigt at løse eksponentialligningen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Ifølge den "naive" algoritme, som vi brugte tidligere, er det nødvendigt at repræsentere tallet $b$ som en potens af tallet $a$:

Derudover, hvis der i stedet for variablen $x$ er et udtryk, får vi en ny ligning, som allerede kan løses. For eksempel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Højrepil ((2)^(x))=((2)^(3))\Højrepil x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Højrepil ((3)^(-x))=((3)^(4))\Højrepil -x=4\Højrepil x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Højrepil ((5)^(2x))=((5)^(3))\Højrepil 2x=3\Højrepil x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Og mærkeligt nok virker denne ordning i omkring 90% af tilfældene. Hvad så med de resterende 10%? De resterende 10% er let "skizofrene" eksponentielle ligninger af formen:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Nå, til hvilken styrke skal du hæve 2 for at få 3? Først? Men nej: $((2)^(1))=2$ er ikke nok. Anden? Nej enten: $((2)^(2))=4$ er for meget. Hvilken en så?

Kyndige studerende har sikkert allerede gættet: i sådanne tilfælde, når det ikke er muligt at løse det "smukt", kommer det "tunge artilleri" - logaritmer - i spil. Lad mig minde dig om, at ved hjælp af logaritmer kan ethvert positivt tal repræsenteres som en potens af ethvert andet positivt tal (undtagen ét):

Kan du huske denne formel? Når jeg fortæller mine elever om logaritmer, advarer jeg altid: denne formel (som også er den grundlæggende logaritmiske identitet eller, hvis du vil, definitionen af ​​en logaritme) vil forfølge dig i meget lang tid og "dukke op" i de fleste tilfælde uventede steder. Nå, hun dukkede op. Lad os se på vores ligning og denne formel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Hvis vi antager, at $a=3$ er vores oprindelige tal til højre, og $b=2$ er selve bunden af ​​den eksponentielle funktion, som vi så gerne vil reducere den højre side til, får vi følgende:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Højrepil 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Højrepil ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Højrepil x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Vi fik et lidt mærkeligt svar: $x=((\log )_(2))3$. I en anden opgave ville mange komme i tvivl med et sådant svar og ville begynde at dobbelttjekke deres løsning: hvad nu hvis en fejl havde sneget sig ind et sted? Jeg skynder mig at behage dig: der er ingen fejl her, og logaritmer i rødderne af eksponentialligninger er en helt typisk situation. Så væn dig til det. :)

Lad os nu løse de resterende to ligninger analogt:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Højrepil ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Højrepil x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Højrepil ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Højrepil 2x=( (\log )_(4))11\Højrepil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Det er alt! Det sidste svar kan i øvrigt skrives anderledes:

Vi introducerede en multiplikator til logaritmens argument. Men ingen forhindrer os i at tilføje denne faktor til basen:

Desuden er alle tre muligheder korrekte - de er bare forskellige former for at skrive det samme tal. Hvilken du skal vælge og skrive ned i denne løsning er op til dig at beslutte.

Vi har således lært at løse enhver eksponentiel ligning af formen $((a)^(x))=b$, hvor tallene $a$ og $b$ er strengt taget positive. Men den barske virkelighed i vores verden er, at sådanne simple opgaver vil blive stødt på meget, meget sjældent. Oftere end ikke vil du støde på noget som dette:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Så hvordan kan vi løse dette? Kan dette overhovedet løses? Og hvis ja, hvordan?

Gå ikke i panik. Alle disse ligninger reduceres hurtigt og nemt til de simple formler, som vi allerede har overvejet. Du skal bare huske et par tricks fra algebrakurset. Og selvfølgelig er der ingen regler for at arbejde med grader. Jeg vil fortælle dig om alt dette nu. :)

Konvertering af eksponentialligninger

Den første ting at huske: enhver eksponentiel ligning, uanset hvor kompleks den måtte være, skal på den ene eller anden måde reduceres til de simpleste ligninger - dem, som vi allerede har overvejet, og som vi ved, hvordan de skal løse. Med andre ord ser skemaet til løsning af enhver eksponentiel ligning sådan ud:

1. Skriv den oprindelige ligning ned. For eksempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Gør noget mærkeligt lort. Eller endda noget lort kaldet "konverter en ligning";
3. Ved output, få de enkleste udtryk af formen $((4)^(x))=4$ eller noget andet i den stil. Desuden kan en begyndelsesligning give flere sådanne udtryk på én gang.

Alt er klart med det første punkt – selv min kat kan skrive ligningen på et stykke papir. Det tredje punkt ser også ud til at være mere eller mindre klart - vi har allerede løst en hel masse af sådanne ligninger ovenfor.

Men hvad med det andet punkt? Hvilken slags transformationer? Konverter hvad til hvad? Og hvor?

Nå, lad os finde ud af det. Først og fremmest vil jeg gerne bemærke følgende. Alle eksponentialligninger er opdelt i to typer:

1. Ligningen er sammensat af eksponentielle funktioner med samme grundtal. Eksempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formlen indeholder eksponentielle funktioner med forskellige baser. Eksempler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ og $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Lad os starte med ligninger af den første type – de er de nemmeste at løse. Og i løsningen af ​​dem vil vi blive hjulpet af en sådan teknik som at fremhæve stabile udtryk.

Isolering af et stabilt udtryk

Lad os se på denne ligning igen:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Hvad ser vi? De fire er hævet i forskellig grad. Men alle disse potenser er simple summer af variablen $x$ med andre tal. Derfor er det nødvendigt at huske reglerne for at arbejde med grader:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Kort sagt kan addition konverteres til et produkt af potenser, og subtraktion kan nemt konverteres til division. Lad os prøve at anvende disse formler til graderne fra vores ligning:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Lad os omskrive den oprindelige ligning under hensyntagen til denne kendsgerning, og derefter samle alle termerne til venstre:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+(4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elleve; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

De første fire led indeholder elementet $((4)^(x))$ - lad os tage det ud af parentesen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Tilbage er at dividere begge sider af ligningen med brøken $-\frac(11)(4)$, dvs. i det væsentlige gange med den inverterede brøk - $-\frac(4)(11)$. Vi får:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \venstre(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

Det er alt! Vi har reduceret den oprindelige ligning til dens enkleste form og opnået det endelige svar.

Samtidig opdagede vi i processen med at løse (og tog den endda ud af parentesen) den fælles faktor $((4)^(x))$ - dette er et stabilt udtryk. Den kan udpeges som en ny variabel, eller du kan blot udtrykke den omhyggeligt og få svaret. Under alle omstændigheder er nøgleprincippet for løsningen som følger:

Find i den oprindelige ligning et stabilt udtryk, der indeholder en variabel, der let kan skelnes fra alle eksponentielle funktioner.

Den gode nyhed er, at næsten hver eksponentiel ligning giver dig mulighed for at isolere et så stabilt udtryk.

Men den dårlige nyhed er, at disse udtryk kan være ret vanskelige og kan være ret svære at identificere. Så lad os se på endnu et problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Måske vil nogen nu have et spørgsmål: "Pasha, er du stenet? Der er forskellige baser her – 5 og 0,2.” Men lad os prøve at konvertere effekten til base 0,2. Lad os for eksempel slippe af med decimalbrøken ved at reducere den til en almindelig:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\venstre(x+1 \højre)))=((\venstre(\frac(2)(10) ) \højre))^(-\venstre(x+1 \højre)))=((\venstre(\frac(1)(5) \højre))^(-\venstre(x+1 \højre)) )\]

Som du kan se, dukkede 5-tallet stadig op, dog i nævneren. Samtidig blev indikatoren omskrevet til negativ. Lad os nu huske en af ​​de vigtigste regler for at arbejde med grader:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\venstre(x+1 \højre)))=((\venstre(\frac(5)(1) \højre))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Her lå jeg selvfølgelig lidt. Fordi for en fuldstændig forståelse skulle formlen for at slippe af med negative indikatorer skrives sådan:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\venstre(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Højrepil ((\venstre(\frac(1)(5) \right))^(-\venstre(x+1 \right)))=((\venstre(\frac(5)(1) \ højre))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

På den anden side forhindrede intet os i at arbejde med kun brøker:

\[((\venstre(\frac(1)(5) \højre))^(-\venstre(x+1 \højre)))=((\venstre(((5)^(-1)) \ højre))^(-\venstre(x+1 \højre)))=((5)^(\venstre(-1 \højre)\cdot \venstre(-\venstre(x+1 \højre) \højre) ))=((5)^(x+1))\]

Men i dette tilfælde skal du være i stand til at hæve en magt til en anden magt (lad mig minde dig om: i dette tilfælde lægges indikatorerne sammen). Men jeg behøvede ikke at "vende" brøkerne - måske vil det være nemmere for nogle. :)

Under alle omstændigheder vil den oprindelige eksponentielle ligning blive omskrevet som:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Så det viser sig, at den oprindelige ligning kan løses endnu mere simpelt end den tidligere betragtede: her behøver du ikke engang at vælge et stabilt udtryk - alt er blevet reduceret af sig selv. Det er kun tilbage at huske, at $1=((5)^(0))$, hvorfra vi får:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

Det er løsningen! Vi fik det endelige svar: $x=-2$. Samtidig vil jeg gerne bemærke en teknik, der i høj grad forenklede alle beregninger for os:

I eksponentialligninger skal du sørge for at slippe af med decimalbrøker og omregne dem til almindelige. Dette vil give dig mulighed for at se de samme grader og i høj grad forenkle løsningen.

Lad os nu gå videre til mere komplekse ligninger, hvor der er forskellige baser, som slet ikke kan reduceres til hinanden ved hjælp af potenser.

Brug af egenskaben Degrees

Lad mig minde dig om, at vi har to mere særligt barske ligninger:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Den største vanskelighed her er, at det ikke er klart, hvad man skal give og til hvilket grundlag. Hvor er de stabile udtryk? Hvor er de samme grunde? Der er intet af dette.

Men lad os prøve at gå en anden vej. Hvis der ikke er færdige identiske baser, kan du forsøge at finde dem ved at faktorisere de eksisterende baser.

Lad os starte med den første ligning:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Højrepil ((21)^(3x))=((\venstre(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Men du kan gøre det modsatte - lav tallet 21 fra tallene 7 og 3. Dette er især nemt at gøre til venstre, da indikatorerne for begge grader er de samme:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Det er alt! Du tog eksponenten uden for produktet og fik straks en smuk ligning, der kan løses på et par linjer.

Lad os nu se på den anden ligning. Alt er meget mere kompliceret her:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\venstre(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

I dette tilfælde viste fraktionerne sig at være irreducerbare, men hvis noget kunne reduceres, så sørg for at reducere det. Ofte vil der dukke interessante grunde op, som du allerede kan arbejde med.

Desværre dukkede der ikke noget særligt op for os. Men vi ser, at eksponenterne til venstre i produktet er modsatte:

Lad mig minde dig om: For at slippe af med minustegnet i indikatoren skal du bare "vende" brøken. Nå, lad os omskrive den oprindelige ligning:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\venstre(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

I anden linje tog vi simpelthen den samlede eksponent ud af produktet fra parentesen i henhold til reglen $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$, og i den sidste gange de simpelthen tallet 100 med en brøk.

Bemærk nu, at tallene til venstre (ved bunden) og til højre er lidt ens. Hvordan? Ja, det er indlysende: de er magter af samme antal! Vi har:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\venstre(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\venstre(\frac(3)(10) \højre))^(2)). \\\end(align)\]

Derfor vil vores ligning blive omskrevet som følger:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(3) )(10)\højre))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(10) )(3) \højre))^(3\venstre(x-1 \højre)))=((\venstre(\frac(10)(3) \højre))^(3x-3))\]

I dette tilfælde kan du til højre også få en grad med samme base, for hvilken det er nok blot at "vende" brøken:

\[((\venstre(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Vores ligning vil endelig antage formen:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Det er løsningen. Hans hovedidé bunder i det faktum, at selv med forskellige baser forsøger vi, med krog eller skurk, at reducere disse baser til det samme. Elementære transformationer af ligninger og regler for at arbejde med potenser hjælper os med dette.

Men hvilke regler og hvornår skal man bruge? Hvordan forstår du, at du i en ligning skal dividere begge sider med noget, og i en anden skal du faktorisere bunden af ​​eksponentialfunktionen?

Svaret på dette spørgsmål vil komme med erfaring. Prøv din hånd med simple ligninger først, og komplicer derefter gradvist problemerne - og meget snart vil dine færdigheder være nok til at løse enhver eksponentiel ligning fra den samme Unified State-eksamen eller ethvert uafhængigt/testarbejde.

Og for at hjælpe dig med denne vanskelige opgave, foreslår jeg, at du downloader et sæt ligninger fra min hjemmeside for at løse det selv. Alle ligninger har svar, så du altid kan teste dig selv.