Bevægelsen af gasmolekyler adlyder lovene i statistisk fysik. I gennemsnit er hastighederne og energierne for alle molekyler de samme. Men på ethvert givet tidspunkt kan energien og hastigheden af individuelle molekyler afvige væsentligt fra gennemsnitsværdien.
Ved hjælp af sandsynlighedsteori Maxwell var i stand til at udlede en formel for den relative frekvens, hvormed molekyler med hastigheder i et bestemt værdiområde forekommer i en gas ved en given temperatur.
Maxwells distributionslov bestemmer det relative antal molekyler dN/N, hvis hastigheder ligger i intervallet ( u, u + du).
Det ser ud som om:
Hvor N- det samlede antal gasmolekyler; - antallet af molekyler, hvis hastigheder er inden for et vist område; u er den nedre grænse for hastighedsintervallet; d u er værdien af hastighedsintervallet; T- gastemperatur; e= 2,718… - basis af naturlige logaritmer;
k= 1,38×10 -23 J/K - Boltzmanns konstant; m 0 er massen af molekylet.
Ved at opnå denne formel var Maxwell baseret på følgende antagelser:
1. Gas består af et stort antal N identiske molekyler.
2. Gastemperaturen er konstant.
3. Gasmolekyler gennemgår termisk kaotisk bevægelse.
4. Gas påvirkes ikke af kraftfelter.
Bemærk, at under eksponentialtegnet i formel (8.29) er forholdet mellem molekylets kinetiske energi og mængden kT, som karakteriserer den gennemsnitlige (over molekyler) værdi af denne energi.
Maxwell-fordelingen viser, hvilken brøkdel dN/N af det samlede antal molekyler i en given gas, der har en hastighed i området fra u til u + du.
Graf over fordelingsfunktioner (Fig. 8.5) asymmetrisk. Den maksimale position karakteriserer den hyppigst forekommende hastighed, som kaldes den mest sandsynlige hastighed u m. Hastigheder overstiger u m, er mere almindelige end lavere hastigheder. Med stigende temperatur skifter fordelingens maksimum mod højere hastigheder.
Samtidig bliver kurven fladere (arealet under kurven kan ikke ændre sig, da antallet af molekyler N forbliver konstant).
Ris. 8.5
For at bestemme den mest sandsynlige hastighed skal du undersøge Maxwell-fordelingsfunktionen til dens maksimum (lignende den første afledede til nul og løse for u). Som et resultat får vi:
.
Vi har udeladt faktorer, der ikke afhænger af u. Efter at have udført differentiering kommer vi frem til ligningen:
.
Den første faktor (eksponent) forsvinder ved u = ¥, og den tredje faktor (u) ved u =
0. Men fra grafen (fig. 8.5) er det tydeligt, at værdierne af u =
0 og u = ¥ svarer til funktionsminima (8.29). Derfor er værdien u, svarende til maksimum, opnås fra ligheden af den anden parentes til nul: 
. Herfra
. (8.30)
Lad os introducere notation for molekylers hastighedsfordelingsfunktion (8.29):
. (8.31)
Det er kendt, at gennemsnitsværdien af en fysisk størrelse j( x) kan beregnes ved hjælp af formlen:
Lad der være n identiske molekyler i en tilstand af tilfældig termisk bevægelse ved en bestemt temperatur. Efter hver kollision mellem molekyler ændres deres hastigheder tilfældigt. Som følge af et ufatteligt stort antal kollisioner etableres en stationær ligevægtstilstand, når antallet af molekyler i et givet hastighedsområde forbliver konstant.
Som et resultat af hver kollision oplever molekylernes hastighedsprojektioner en tilfældig ændring med Δυ x, Δυ y, Δυ z, og ændringerne i hver hastighedsprojektion er uafhængige af hinanden. Vi vil antage, at kraftfelter ikke virker på partikler. Lad os under disse forhold finde ud af, hvad antallet af partikler er d n fra totalen n har en hastighed i området fra υ til υ+Δυ. Samtidig kan vi ikke sige noget bestemt om den nøjagtige værdi af hastigheden af en bestemt partikel υ i, da kollisioner og bevægelser af hvert af molekylerne hverken kan spores i eksperimentet eller i teorien. Sådanne detaljerede oplysninger ville næppe være af praktisk værdi.
Hastighedsfordelingen af molekyler af en ideel gas blev først opnået af den berømte engelske videnskabsmand J. Maxwell i 1860 ved hjælp af metoder til sandsynlighedsteori.
Afledningen af formlen for molekylers hastighedsfordelingsfunktion er i lærebogen af Yu.I. Tyurin et al. (del 1) eller I.V. Savelyeva (bind 1). Vi vil bruge resultaterne af denne udledning.
Hastighed er en vektormængde. Til hastighedsprojektion på x-aksen (x komponent af hastighed) fra (2.2.1) vi har
 |
Derefter
 |
(2.3.1) |
Hvor A 1 er en konstant lig med
En grafisk fremstilling af funktionen er vist i figur 2.2. Det kan ses, at fraktionen af molekyler med hastighed ikke er nul. Ved , (dette er den fysiske betydning af konstant A1).
Ris. 2.2
Ovenstående udtryk og graf er gældende for fordeling af gasmolekyler over x-komponenter af hastighed. Det er åbenlyst, at iflg y- Og z-hastighedskomponenter kan også fås:
Hvor 
, eller
 |
(2.3.2) |
Formel (2.3.2) kan gives en geometrisk fortolkning: d n xyz– dette er antallet af molekyler i et parallelepipedum med siderne dυ x, dυ y, dυ z, det vil sige i volumen d V=dυ x dυ y dυ z (fig. 2.3), placeret i en afstand fra origo i hastighedsrummet.
Denne værdi (d n xyz) kan ikke afhænge af retningen af hastighedsvektoren. Derfor er det nødvendigt at opnå fordelingsfunktionen af molekyler efter hastighed, uanset deres retning, det vil sige ved den absolutte værdi af hastigheden.
Hvis man samler alle molekylerne i en enhedsvolumen, hvis hastigheder er i området fra υ til υ+dυ i alle retninger, og frigiver dem, så vil de på et sekund befinde sig i et sfærisk lag med tykkelse dυ og radius υ (fig. 2.4). Det her sfærisk lag består af de ovennævnte parallelepipeder.
Det samlede antal molekyler i laget, som følger af (2.3.2)
Hvor er fraktionen af alle partikler i et sfærisk lag med volumen d V, hvis hastigheder ligger i området fra υ til υ+dυ.
For dυ = 1 får vi sandsynlighedstæthed , eller hastighedsfordelingsfunktion af molekyler:
 |
(2.3.4) |
Denne funktion betegner fraktionen af molekyler i en enhedsvolumen af gas, hvis absolutte hastigheder er indeholdt i et enhedshastighedsinterval, der inkluderer en given hastighed.
Lad os betegne: 
så får vi fra (2.3.4):
 |
(2.3.5) |
Grafen for denne funktion er vist i figur 2.5.
Ris. 2.5
Konklusioner:
Lad os overveje grænserne for anvendeligheden af den klassiske beskrivelse af partikelhastighedsfordelingen. For at gøre dette bruger vi Heisenberg-usikkerhedsrelationen. Ifølge dette forhold kan en partikels koordinater og momentum ikke samtidig have en vis værdi. En klassisk beskrivelse er mulig, hvis følgende betingelser er opfyldt:
Her 
- Plancks konstant er en fundamental konstant, der bestemmer omfanget af kvante (mikroskopiske) processer.
Således, hvis en partikel er i et volumen 
, så er det i dette tilfælde muligt at beskrive dens bevægelse ud fra den klassiske mekaniks love.
Mest sandsynlige, rod-middel-kvadrat og aritmetiske middelhastigheder af gasmolekyler
Lad os overveje, hvordan antallet af partikler pr. enhedshastighedsinterval ændres med den absolutte værdi af hastigheden ved en enhedskoncentration af partikler.
Maxwell distribution funktion graf
 ,
|
Vist i figur 2.6.
Ris. 2.6
Det fremgår tydeligt af grafen, at for "lille" υ, dvs. med , vi har ; når derefter et maksimum A og falder derefter eksponentielt.
Størrelsen af den hastighed, hvormed den maksimale afhængighed opstår, kaldet den mest sandsynlige hastighed.
Lad os finde denne hastighed ud fra betingelsen om lighed af den afledte.
RMS hastighed finder vi ved hjælp af relationen: Aritmetisk gennemsnitshastighed:| . | . |
Hvor er antallet af molekyler med en hastighed fra υ til υ+dυ. Hvis vi erstatter her f(υ) og beregn, får vi.
Molekylerne af enhver gas er i evig kaotisk bevægelse. Molekylernes hastigheder kan antage en række værdier. Molekyler støder sammen, og som følge af kollisionerne ændres molekylernes hastigheder. På ethvert givet tidspunkt er hastigheden af hvert enkelt molekyle tilfældig i både størrelse og retning.
Men hvis gassen overlades til sig selv, så er de forskellige termiske bevægelseshastigheder fordelt mellem molekylerne i en given gasmasse ved en given temperatur ifølge en meget specifik lov, dvs. der er en fordeling af molekyler efter hastighed.
Loven om molekylær hastighedsfordeling blev teoretisk udledt af Maxwell. Maxwells lov er udtrykt ved følgende formel:
hvor er antallet af molekyler, hvis hastigheder ligger i intervallet; – det samlede antal molekyler af en given gasmasse; – basis af den naturlige logaritme; – specificeret hastighedsværdi fra intervallet ; – den mest sandsynlige hastighed af gasmolekyler ved en given temperatur.
Mest sandsynligt hastighed kaldes den hastighed tæt på, som det største antal molekyler af en given gasmasse har. Værdien afhænger af gastemperaturen.
Formel (10.6) angiver antallet af molekyler, hvis hastigheder ligger i et givet hastighedsområde, uanset hastighedernes retning.
Hvis vi stiller et mere specifikt spørgsmål, nemlig hvad er antallet af molekyler i en gas, hvis hastighedskomponenter ligger i intervallet mellem og , og , og , så
eller 
, (10.8)
hvor er den kinetiske energi af et gasmolekyle; - molekylets masse; – Boltzmann konstant; – absolut gastemperatur. Formler (10.7) og (10.8) – også Maxwell distributionsformler. Hastighedsfordelingskurven for molekyler svarende til fordelingsloven (10.6) er vist i fig. 10.1. Abscisseaksen viser de hastighedsværdier, som et individuelt gasmolekyle kan tage.
Kurvens maksimum svarer til den mest sandsynlige hastighed. Kurven er asymmetrisk i forhold til , fordi en gas indeholder et relativt lille antal molekyler med meget høje hastigheder.
Lad os overveje et interval , (fig. 10.1). Hvis det er lille, er området af den skraverede strimmel tæt på området af rektanglet:
de der. arealet af den skraverede strimmel repræsenterer antallet af molekyler, hvis hastigheder ligger i intervallet, . Og arealet under hele kurven er proportionalt med det samlede antal molekyler af en given gasmasse.
Lad os finde ud af, ved hvilken værdi kurven vil have et maksimum. Vi finder maksimum ved at bruge de sædvanlige matematikregler, der sidestiller den første afledede med hensyn til nul:
,
.
Siden da 
.
Tager vi den afledte, får vi det, dvs. kurvens maksimum svarer til den mest sandsynlige hastighed.
Maxwell fandt teoretisk formler, der kan bruges til at beregne den aritmetiske gennemsnitshastighed. Lad os liste de hastigheder, der kan karakterisere den termiske bevægelse af gasmolekyler.
1. Mest sandsynlige hastighed. (10,9)
2. Gennemsnitlig kvadrathastighed:
; 
. (10.10)
3. Aritmetisk gennemsnitshastighed. (10.11)
Alle hastigheder er direkte proportionale og omvendt proportionale med , hvor er massen af et mol gas.
I fig. 10.1 er graf I afbildet for temperatur, og graf II er afbildet for temperatur. Det kan ses, at med stigende temperatur forskydes kurvens maksimum til højre, pga Når temperaturen stiger, stiger molekylære hastigheder. Der er flere hurtige molekyler, den højre gren af kurven stiger, der er færre langsomme molekyler, den venstre gren bliver stejlere. Og hele kurven falder, pga arealet under kurven skal forblive det samme, fordi det samlede antal molekyler i gassen forblev det samme og selvfølgelig ikke kunne ændre sig, når gassen blev opvarmet.
Maxwells lov er en statistisk lov, dvs. en lov, der gælder for et meget stort antal molekyler.
Derudover tager Maxwells lov ikke højde for den ydre påvirkning af gassen, dvs. der er ingen kraftfelter, der virker på gassen.
10.4. Ideel gas i et eksternt felt.
Barometrisk formel. Boltzmann distribution
Betragt en lodret søjle af luft ved jordens overflade (fig. 10.2). Hvis højden af søjlen er relativt lille (ikke overstiger flere hundrede meter), vil gassens densitet og antallet af molekyler pr. volumenenhed (koncentration) være omtrent det samme. Men hvis højden af søjlen er omkring en kilometer eller mere, krænkes den ensartede fordeling af molekyler langs højden tyngdekraft, som har en tendens til at koncentrere molekyler nær Jordens overflade. Som et resultat vil lufttætheden og atmosfærisk tryk falde med afstanden fra Jordens overflade.
Lad os bestemme loven om trykændring med højden (vi finder den barometriske formel).
Barometrisk formel viser, hvordan atmosfærisk tryk afhænger P fra højden h over jordens overflade. Lad trykket være i en højde nær jordens overflade. Trykket er kendt. Vi skal finde ændringen i tryk med højden.
I udledningen antager vi, at gastemperaturen forbliver konstant. Lad os vælge en cylindrisk søjle af gas (luft) med et tværsnit over jordens overflade. Lad os overveje et gaslag af uendelig lille tykkelse placeret i en højde fra bunden af søjlen.
Forskellen i kræfter, der virker på lagets øvre og nedre basis, er lig med vægten af gassen indeholdt i dette lag, dvs.
Den uendelige masse af gas i laget beregnes ved formlen
,
hvor er volumenet af gaslaget.
Så, hvor er gasdensiteten; - tyngdeacceleration.
Trykforskel på begge baser af laget:
.
Og du skal også sætte et minustegn
fordi minustegnet har en fysisk betydning. Det viser, at gastrykket falder med højden. Hvis du stiger til en højde, vil gastrykket falde med en mængde.
Vi finder gasdensiteten fra Mendeleev-Clapeyron-ligningen.
Ved at erstatte udtrykket i (10.12), har vi
Dette er en differentialligning med adskillelige variable:
.
Lad os integrere:
.
Lad os få den barometriske formel
I fig. 10.3 viser grafer over tryk versus højde for to temperaturværdier T 1 og T 2 (T 2 > T 1). Med en ændring i gastemperatur, tryk P 0 ved Jordens overflade forbliver uændret, pga det er lig med vægten af en lodret søjle af gas placeret over jordens overflade med en enhedsbasisareal og ubegrænset højde. Vægten af en gas afhænger ikke af temperaturen.
Ud fra den barometriske formel er det meget let at opnå Boltzmann-fordelingen for det tilfælde, hvor den ydre påvirkning af gassen er tyngdekraften.
Gastrykket i en højde er direkte proportionalt med antallet af molekyler pr. volumenenhed i denne højde, , er koncentrationen af molekyler i en højde, og , – koncentration af gasmolekyler i højden .
Enten 
. (10.14)
Formel (10.14) kaldes Boltzmann-fordelingen for molekyler i et tyngdefelt.
I fig. Figur 10.4 viser grafer over molekylære koncentrationer versus højde for to temperaturværdier T 1 og T 2 (T 2 >T 1) i tyngdefeltet. Molekylær koncentration n 0 ved jordens overflade falder med stigende temperatur ( n 0 (T 2) < n 0 (T 1)) på grund af omfordelingen af molekyler inde i gassøjlen. Molekyler med større kinetisk energi stiger højere.
Hvis , er den potentielle energi af molekylet i højden , så
Formel (10.15) er ikke kun gyldig i tilfældet, hvor molekyler bevæger sig i et gravitationsfelt. Denne formel, der udtrykker Boltzmann-fordelingen, er gyldig for ethvert kraftfelt med en potentiel funktion:
Perrin-oplevelsen (1870-1942).
Definition af Avogadros nummer
Den franske fysiker Perrin brugte Boltzmann-fordelingen til eksperimentelt at bestemme Avogadros tal.
Mikroskopet blev rettet mod det øverste lag af emulsionen (fig. 10.5), et øjeblikkeligt fotografi blev taget gennem mikroskopet, og antallet af Brownske partikler på fotografiet blev talt. Dernæst blev mikroskoprøret sænket med 0,01 mm, fotografier blev taget igen, og antallet af Brownske partikler på fotografiet blev talt. Det viste sig, at der er flere Brownske partikler i bunden af karret, færre på emulsionens overflade, og generelt svarer højdefordelingen af Brownske partikler til Boltzmann-fordelingen. Da tyggegummikuglerne er i en væske (emulsion), kan deres potentielle energi, under hensyntagen til Archimedes' flydekraft, skrives 
, Hvor m 0 - kuglens masse, m g – massen af det volumen væske, der fortrænges af bolden. Så kan Boltzmann-fordelingen skrives 
.
Hvis n 1 og n 2 – målte partikelkoncentrationer i højder h 1 og h 2, så 
; , A 
.
Så kan vi bestemme 
Og 
.
Størrelse
hvor og er tæthederne af materialet i kuglerne og emulsionen.
Efter eksperimentelt at have bestemt Boltzmanns konstant k Perrin slap ud af afhængigheden 
værdien af Avogadros nummer. Præcise værdi:
(10.17)
Emne 11
ARBEJDE, INDVENDIG ENERGI OG VARME.
DEN FØRSTE LOV OM TERMODYNAMIK
Termodynamik er en videnskab, der studerer betingelserne for omdannelse af forskellige typer energi til varme og omvendt, samt de kvantitative sammenhænge, der observeres i dette tilfælde. Termodynamik dækker over en bred vifte af fænomener observeret i naturen og teknologien. Det er af særlig betydning for varmeteknik, fordi danner grundlag for udvikling af varme- og kølemaskiner. I termodynamik bruges ordet ofte legeme. I termodynamik kan et legeme kaldes luft, vand, kviksølv, enhver gas, dvs. ethvert stof, der optager en vis volumen.
Et termodynamisk system kan omfatte flere legemer, men kan også bestå af en krop, meget ofte er denne krop en ideel gas.
Et termodynamisk system er enhver samling af legemer under overvejelse, der kan udveksle energi med hinanden og med andre legemer. For eksempel kan et termodynamisk system være en ideel gas.
Et termodynamisk systems tilstand er karakteriseret ved termodynamiske parametre. Termodynamiske parametre er størrelser, der karakteriserer systemets tilstand. Termodynamiske parametre omfatter mængder som tryk, volumen, temperatur, densitet af et stof osv. Parametrene for tilstanden af en ideel gas er for eksempel tryk P, volumen V, temperatur T. Ligningen, der relaterer parametrene for tilstanden af et termodynamisk system, kaldes tilstandsligning. For eksempel Mendeleev-Clapeyron-ligningen: .
Et termodynamisk systems tilstand kaldes ligevægt, hvis alle dens parametre har en vis værdi og ikke ændrer sig over tid under konstante eksterne forhold.
Hvis et termodynamisk system tages ud af ligevægt og overlades til sig selv, vender det tilbage til sin oprindelige tilstand. Denne proces kaldes lempelse.
I termodynamik studeres lovene for alle mulige overgange i et system fra en tilstand til en anden. Overgang af et system fra en tilstand til en anden,som er ledsaget af en ændring i mindst én tilstandsparameter,kaldet en proces. Ligningen, der bestemmer ændringen i systemparametre under overgangen fra en tilstand til en anden, kaldes procesligningen.
Termodynamik studerer kun termodynamisk ligevægtstilstande af legemer og langsomme processer, som betragtes som ligevægtstilstande, der kontinuerligt følger hinanden. Hun studerer de generelle mønstre for overgang af systemer til tilstande af termodynamisk ligevægt.
Ligevægtsprocesser– processer, hvor ændringshastigheden af termodynamiske parametre er uendelig lille, dvs. ændringer i termodynamiske parametre sker over uendelig lang tid. Det her model, fordi alle virkelige processer er uligevægtige.
En ligevægtsproces er en proces, der går gennem en sekvens af ligevægtstilstande.
Ikke-ligevægtsproces– en proces, hvor en ændring i termodynamiske parametre med en endelig værdi sker i en begrænset tid.
En ikke-ligevægtsproces kan ikke afbildes grafisk.
Termodynamik bruger en særlig metode til at studere fænomener - termodynamisk metode. Termodynamik ser på, hvordan en proces foregår.
Termodynamik er baseret på to grundlove, som er en generalisering af enormt faktuelt materiale. Disse love gav anledning til hele termodynamikkens videnskab og fik derfor navnet begyndelse.
11.1. Intern energi af en ideel gas.
Antal frihedsgrader
Antal frihedsgrader er det mindste antal uafhængige koordinater, der skal indtastes for at bestemme kroppens position i rummet. – antal frihedsgrader.
Lad os overveje monoatomisk gas. Et molekyle af en sådan gas kan betragtes som et materialepunkt, positionen af materialepunktet (fig. 11.1) i rummet er bestemt af tre koordinater.
Molekylet kan bevæge sig i tre retninger (fig. 11.2).
Følgelig har den tre translationelle frihedsgrader.
Et molekyle er et materielt punkt.
Energi af roterende bevægelse, fordi inertimomentet for et materialepunkt i forhold til en akse, der går gennem punktet, er nul
For et monoatomisk gasmolekyle er antallet af frihedsgrader .
Lad os overveje diatomisk gas. I et diatomisk molekyle tages hvert atom som et materielt punkt, og det antages, at atomerne er stift forbundet med hinanden; dette er en håndvægtmodel af et diatomisk molekyle. Diatomisk tæt bundet molekyle(et sæt af to materialepunkter forbundet med en ikke-deformerbar forbindelse), Fig. 11.3.
Positionen af molekylets massecenter er specificeret ved tre koordinater, (fig. 11.4) det er tre frihedsgrader, de bestemmer translationel bevægelse af et molekyle. Men molekylet kan også udføre rotationsbevægelser omkring akserne, og det er yderligere to frihedsgrader, der bestemmer molekyle rotation. Rotation af et molekyle omkring en akse er umulig, fordi materialepunkter kan ikke rotere omkring en akse, der går gennem disse punkter.
For et diatomisk gasmolekyle er antallet af frihedsgrader .
Lad os overveje triatomisk gas. Modellen af et molekyle er tre atomer (materialepunkter), stift forbundet med hinanden (fig. 11.5).
Et triatomisk molekyle er et tæt bundet molekyle.
For et triatomisk gasmolekyle er antallet af frihedsgrader .
Når de støder sammen, ændrer gasmolekyler deres hastighed. Molekylernes hastighed ændres tilfældigt. Det er umuligt på forhånd at forudsige, hvilken numerisk hastighed et givet molekyle vil have: denne hastighed er tilfældig.
Fordelingen af molekyler over hastighedsmoduler er beskrevet ved hjælp af fordelingsfunktionen f(v):
hvor forholdet er lig med fraktionen af molekyler, hvis hastigheder ligger i området fra v Før v+dv. dv- intervalbredde (fig. 2).
Ris. 2. Hastighedsinterval
At kende udsigten f(v), du kan finde antallet af molekyler Δ N V fra disse molekyler N, hvis hastigheder falder inden for hastighedsintervallet fra v Før v + Δv. Holdning
(14)
giver sandsynligheden for, at et molekyles hastighed vil have en værdi inden for et givet hastighedsinterval dv.
Fungere f(v) skal opfylde normaliseringsbetingelsen, dvs. betingelsen skal være opfyldt:
(15)
Venstre side af udtryk (17.3) giver sandsynligheden for, at molekylet har en hastighed i området fra 0 til ∞. Da hastigheden af et molekyle nødvendigvis har en vis betydning, er den angivne sandsynlighed sandsynligheden for en bestemt begivenhed og er derfor lig med 1.
Fordelingsfunktionen blev fundet teoretisk af Maxwell. Det ser sådan ud:
(16)
Hvor t 0 - molekylær masse.
Udtryk (16) kaldes Maxwell distributionsfunktion.
Af (16) følger det, at typen af molekylær hastighedsfordeling afhænger af gassens natur (molekylmasse) og temperatur T. Tryk og volumen påvirker ikke molekylernes hastighedsfordeling.
Fig.3. Maxwell distribution funktion graf
En skematisk graf over Maxwell-fordelingsfunktionen er givet i fig. 3. Lad os analysere grafen.
1. Ved hastigheder, der tenderer til nul (v ->0) og til det uendelige (v -> ∞) fordelingsfunktionen har også en tendens til nul. Det betyder, at meget store og meget små molekylære hastigheder er usandsynlige.
2. Hastighed vB, svarende til fordelingsfunktionens maksimum vil være den mest sandsynlige. Det betyder, at størstedelen af molekylerne har hastigheder tæt på sandsynlige.
Du kan få en formel til at beregne den mest sandsynlige hastighed:
(17)
hvor k — Boltzmanns konstant; t 0 - molekylær masse.
3. I overensstemmelse med normaliseringsbetingelsen (15), området begrænset af kurven f(v) og x-aksen er lig med én.
4. Fordelingskurven er asymmetrisk. Det betyder, at andelen af molekyler, der har større hastigheder end den mest sandsynlige, er større end andelen af molekyler, der har mindre hastigheder end den mest sandsynlige.
5. Kurvens form afhænger af gassens temperatur og natur. I fig. Figur 4 viser fordelingsfunktionen for den samme gas ved forskellige temperaturer. Ved opvarmning falder kurvens maksimum og skifter til højre, da andelen af "hurtige" molekyler stiger, og andelen af "langsomme" molekyler falder. Arealet under begge kurver forbliver konstant og lig med enhed.
Loven om molekylær hastighedsfordeling etableret af Maxwell og konsekvenserne deraf er kun gyldige for en gas i ligevægtstilstand. Maxwells lov er statistisk, den kan kun anvendes på et stort antal partikler
Ris. 4. Maxwell-fordelinger ved forskellige temperaturer
Brug af Maxwell-distributionsfunktionen f(v), kan du finde en række gennemsnitsværdier, der karakteriserer molekylernes tilstand.
Aritmetisk gennemsnitshastighed - summen af hastighederne af alle molekyler divideret med antallet af molekyler:
. (18)
Gennemsnitlig kvadrathastighed, som bestemmer den gennemsnitlige kinetiske energi af molekyler (se formel (10)), er per definition lig med
<v HF> = 
(19)
Foredrag 5
Som et resultat af talrige kollisioner af gasmolekyler med hinanden (~10 9 kollisioner pr. 1 sekund) og med karrets vægge etableres en vis statistisk fordeling af molekyler efter hastighed. I dette tilfælde viser alle retninger af de molekylære hastighedsvektorer sig at være lige sandsynlige, og hastighedsmodulerne og deres projektioner på koordinatakserne overholder visse love.
Under kollisioner ændres molekylernes hastigheder tilfældigt. Det kan vise sig, at et af molekylerne i en serie af kollisioner vil modtage energi fra andre molekyler, og dets energi vil være væsentligt større end den gennemsnitlige energiværdi ved en given temperatur. Hastigheden af et sådant molekyle vil være høj, men det vil stadig have en endelig værdi, da den maksimalt mulige hastighed er lysets hastighed - 3·10 8 m/s. Følgelig kan hastigheden af et molekyle generelt have værdier fra 0 til nogle υ max. Det kan argumenteres for, at meget høje hastigheder sammenlignet med gennemsnitsværdier er sjældne, ligesom meget små.
Som teori og eksperimenter viser, er fordelingen af molekyler efter hastighed ikke tilfældig, men ganske bestemt. Lad os bestemme, hvor mange molekyler, eller hvilken del af molekylerne, der har hastigheder, der ligger i et bestemt interval nær en given hastighed.
Lad en given masse gas indeholde N molekyler, mens dN molekyler har hastigheder, der spænder fra υ Før υ +dυ. Dette er naturligvis antallet af molekyler dN proportional med det samlede antal molekyler N og værdien af det specificerede hastighedsinterval dυ
Hvor -en- proportionalitetskoefficient.
Det er også indlysende dN afhænger af hastigheden υ , da i intervaller af samme størrelse, men ved forskellige absolutte værdier af hastighed, vil antallet af molekyler være forskelligt (eksempel: sammenlign antallet af mennesker, der lever i en alder af 20 - 21 år og 99 - 100 år). Det betyder, at koefficienten -en i formel (1) skal være en funktion af hastighed.
Med dette i betragtning, omskriver vi (1) i formularen
(2)
Fra (2) får vi
(3)
Fungere f(υ ) kaldes fordelingsfunktionen. Dens fysiske betydning følger af formel (3)
hvis (4)
Derfor, f(υ ) er lig med den relative andel af molekyler, hvis hastigheder er indeholdt i et enhedshastighedsinterval nær hastigheden υ . Mere præcist har fordelingsfunktionen betydningen af sandsynligheden for, at ethvert gasmolekyle har en hastighed indeholdt i enhedsinterval nær fart υ . Det er derfor, de ringer til hende sandsynlighedstæthed.
Integration (2) over alle hastighedsværdier fra 0 til vi opnår
(5)
Af (5) følger det
(6)
Ligning (6) kaldes normaliseringstilstand funktioner. Det bestemmer sandsynligheden for, at et molekyle har en af hastighedsværdierne fra 0 til . Molekylets hastighed har en vis betydning: denne begivenhed er pålidelig, og dens sandsynlighed er lig med én.
Fungere f(υ ) blev fundet af Maxwell i 1859. Hun blev navngivet Maxwell distribution:
(7)
Hvor EN– koefficient, der ikke afhænger af hastighed, m- molekylær masse, T– gastemperatur. Ved hjælp af normaliseringsbetingelsen (6) kan vi bestemme koefficienten EN:
Tager vi dette integral, får vi EN:
Under hensyntagen til koefficienten EN Maxwell distributionsfunktionen har formen:
(8)
Ved stigning υ faktoren i (8) ændrer sig hurtigere, end den vokser υ 2. Derfor starter fordelingsfunktionen (8) ved origo, når et maksimum ved en bestemt hastighedsværdi, falder derefter og nærmer sig asymptotisk nul (fig. 1).
Fig.1. Maxwellsk fordeling af molekyler
efter hastighed. T 2 > T 1
Ved hjælp af Maxwell-fordelingskurven kan du grafisk finde det relative antal molekyler, hvis hastigheder ligger i et givet hastighedsområde fra υ Før dυ(Fig. 1, området af den skraverede strimmel).
Det er klart, at hele området under kurven giver det samlede antal molekyler N. Ud fra ligning (2), under hensyntagen til (8), finder vi antallet af molekyler, hvis hastigheder ligger i området fra υ Før dυ
(9)
Fra (8) er det også klart, at den specifikke form for fordelingsfunktionen afhænger af typen af gas (molekylets masse m) og af temperatur og afhænger ikke af gassens tryk og volumen.
Hvis et isoleret system tages ud af ligevægt og overlades til sig selv, vil det efter et vist tidsrum vende tilbage til ligevægt. Denne periode kaldes afslapningstid. Det er forskelligt for forskellige systemer. Hvis gassen er i en ligevægtstilstand, så ændres fordelingen af molekyler efter hastighed ikke over tid. De enkelte molekylers hastigheder ændrer sig konstant, men antallet af molekyler dN, hvis hastigheder ligger i området fra υ Før dυ forbliver konstant hele tiden.
Den Maxwellske hastighedsfordeling af molekyler etableres altid, når systemet når en tilstand af ligevægt. Bevægelsen af gasmolekyler er kaotisk. Den nøjagtige definition af tilfældigheden af termisk bevægelse er som følger: molekylernes bevægelse er fuldstændig kaotisk, hvis molekylernes hastigheder er fordelt ifølge Maxwell. Det følger heraf, at temperaturen bestemmes af den gennemsnitlige kinetiske energi nemlig kaotiske bevægelser. Uanset hvor høj hastigheden af en stærk vind er, vil den ikke gøre den "varm". Selv den stærkeste vind kan være både kold og varm, fordi gassens temperatur ikke bestemmes af vindens retningshastighed, men af hastigheden af den kaotiske bevægelse af molekyler.
Fra grafen for fordelingsfunktionen (fig. 1) er det tydeligt, at antallet af molekyler, hvis hastigheder ligger i samme intervaller d υ , men tæt på forskellige hastigheder υ , mere hvis hastigheden υ nærmer sig den hastighed, der svarer til funktionens maksimum f(υ ). Denne hastighed υ n kaldes den mest sandsynlige (mest sandsynlige).
Lad os differentiere (8) og sidestille den afledte med nul:
Fordi 
,
så er den sidste lighed opfyldt når:
(10)
Ligning (10) er opfyldt når:
OG 
De to første rødder svarer til funktionens minimumværdier. Så finder vi den hastighed, der svarer til det maksimale af fordelingsfunktionen ud fra betingelsen:
Fra sidste ligning:
(11)
Hvor R– universel gaskonstant, μ - Molar masse.
Under hensyntagen til (11) fra (8) kan vi opnå den maksimale værdi af fordelingsfunktionen
(12)
Af (11) og (12) følger, at med stigende T eller ved aftagende m kurve maksimum f(υ ) skifter til højre og bliver mindre, men arealet under kurven forbliver konstant (fig. 1).
For at løse mange problemer er det praktisk at bruge Maxwell-distributionen i sin reducerede form. Lad os introducere den relative hastighed:
Hvor υ - givet hastighed, υ n- den mest sandsynlige hastighed. Når dette tages i betragtning, har ligning (9) formen:
(13)
(13) er en universel ligning. I denne form afhænger fordelingsfunktionen ikke af typen af gas eller temperatur.
Kurve f(υ ) er asymmetrisk. Fra grafen (fig. 1) er det tydeligt, at de fleste af molekylerne har hastigheder større end υ n. Asymmetrien af kurven betyder, at den aritmetiske middelhastighed af molekylerne ikke er ens υ n. Den aritmetiske gennemsnitshastighed er lig med summen af hastighederne for alle molekyler divideret med deres antal:
Lad os tage i betragtning, at ifølge (2)
(14)
Erstatning i (14) værdien f(υ ) fra (8) får vi den aritmetiske gennemsnitshastighed:
(15)
Det gennemsnitlige kvadrat af molekylernes hastighed opnås ved at beregne forholdet mellem summen af kvadraterne af hastighederne for alle molekyler og deres antal:
Efter udskiftning f(υ ) fra (8) får vi:
Fra det sidste udtryk finder vi den gennemsnitlige kvadratiske hastighed:
(16)
Ved at sammenligne (11), (15) og (16), kan vi konkludere, at og ligeså afhænger af temperaturen og kun adskiller sig i numeriske værdier: (Fig. 2).
Fig.2. Maxwell-fordeling over absolutte hastighedsværdier
Maxwell-fordelingen gælder for gasser i ligevægtstilstand; antallet af molekyler, der tages i betragtning, skal være tilstrækkeligt stort. For et lille antal molekyler kan der observeres betydelige afvigelser fra Maxwell-fordelingen (fluktuationer).
Den første eksperimentelle bestemmelse af molekylære hastigheder blev udført af hård i 1920. Sterns anordning bestod af to cylindre med forskellige radier, monteret på samme akse. Luften fra cylindrene blev pumpet ud til et dybt vakuum. En platintråd belagt med et tyndt lag sølv blev strakt langs aksen. Når en elektrisk strøm blev ført gennem glødetråden, blev den opvarmet til en høj temperatur (~1200 o C), hvilket førte til fordampning af sølvatomer.
En smal langsgående spalte blev lavet i væggen af den indre cylinder, gennem hvilken bevægelige sølvatomer passerede. Aflejret på den indvendige overflade af den ydre cylinder dannede de en tydeligt synlig tynd strimmel direkte modsat spalten.
Cylindrene begyndte at rotere med en konstant vinkelhastighed ω. Nu satte atomerne, der passerede gennem spalten, sig ikke længere lige over for spalten, men blev forskudt med en vis afstand, da den ydre cylinder under deres flyvning havde tid til at rotere gennem en bestemt vinkel. Når cylindrene roterede med en konstant hastighed, flyttede positionen af strimlen dannet af atomer på den ydre cylinder sig med en vis afstand l.
Partikler sætter sig ved punkt 1, når installationen er stationær; når installationen roterer, bundfælder partikler ved punkt 2.
De opnåede hastighedsværdier bekræftede Maxwells teori. Denne metode gav imidlertid omtrentlige oplysninger om arten af molekylernes hastighedsfordeling.
Maxwell-fordelingen er blevet mere præcist verificeret ved eksperimenter Lammert, Easterman, Eldridge og Costa. Disse eksperimenter bekræftede ganske nøjagtigt Maxwells teori.
Direkte målinger af hastigheden af kviksølvatomer i en stråle blev foretaget i 1929 Lammert. Et forenklet diagram over dette eksperiment er vist i fig. 3.
Fig.3. Diagram over Lammerts eksperiment
1 - hurtigt roterende skiver, 2 - smalle spalter, 3 - ovn, 4 - kollimator, 5 - molekylers bane, 6 - detektor
To skiver 1, monteret på en fælles akse, havde radiale slidser 2, forskudt i forhold til hinanden i en vinkel φ . Overfor spalterne var der ovn 3, hvori smelteligt metal blev opvarmet til høj temperatur. Opvarmede metalatomer, i dette tilfælde kviksølv, fløj ud af ovnen og blev ved hjælp af kollimator 4 rettet i den ønskede retning. Tilstedeværelsen af to spalter i kollimatoren sikrede bevægelsen af partikler mellem skiverne langs en lige vej 5. Dernæst blev atomerne, der passerede gennem spalterne i skiverne, registreret ved hjælp af en detektor 6. Hele den beskrevne installation blev placeret i dybt vakuum .
Når skiverne roterede med en konstant vinkelhastighed ω, var det kun atomer, der havde en vis hastighed, der passerede frit gennem deres spalter υ . For atomer, der passerer gennem begge spalter, skal ligheden være opfyldt:
hvor Δ t 1 - tidspunkt for flyvning af molekyler mellem skiver, Δ t 2 - tid til at dreje skiverne i en vinkel φ . Derefter:
Ved at ændre skivernes rotationsvinkelhastighed var det muligt at isolere molekyler med en vis hastighed fra strålen υ , og ud fra intensiteten registreret af detektoren, bedømme deres relative indhold i strålen.
På denne måde var det muligt eksperimentelt at verificere Maxwells lov om molekylær hastighedsfordeling.