Produkt af positiv kvotient udbytte og divisor. Termer og begreber for kvotient af heltal

Kun fordi du for heltal skal beregne fortegnet for kvotienten. Hvordan beregner man tegnet for kvotienten af ​​heltal? Lad os se på det i detaljer i emnet.

Termer og begreber for kvotient af heltal.

For at udføre division af heltal skal du huske termer og begreber. I division er der: dividenden, divisoren og kvotienten af ​​heltal.

Udbytte er det heltal, der bliver divideret. Afdeler er det heltal, der divideres med. Privat er resultatet af at dividere heltal.

Du kan sige "Division af heltal" eller "Kvotient af heltal" betydningen af ​​disse sætninger er den samme, det vil sige, at du skal dividere et heltal med et andet og få svaret.

Division stammer fra multiplikation. Lad os se på et eksempel:

Vi har to faktorer 3 og 4. Men lad os sige, at vi ved, at der er én faktor 3, og resultatet af at gange faktorerne er deres produkt 12. Hvordan finder man den anden faktor? Division kommer til undsætning.

Regel for at dividere heltal.

Definition:

Kvotient af to heltal er lig med kvotienten af ​​deres moduler, med et plustegn til følge, hvis tallene har samme fortegn, og med et minustegn, hvis de har forskellige fortegn.

Det er vigtigt at overveje tegnet for kvotienten af ​​heltal. Korte regler for at dividere heltal:

Plus på plus giver plus.
“+ : + = +”

To negativer gør en bekræftende.
“– : – =+”

Minus plus plus giver minus.
“– : + = –”

Plus gange minus giver minus.
“+ : – = –”

Lad os nu se nærmere på hvert punkt i reglen for at dividere heltal.

Opdeling af positive heltal.

Husk at positive heltal er det samme som naturlige tal. Vi bruger de samme regler som for division naturlige tal. Kvotienttegnet for at dividere heltal positive tal altid et plus. Med andre ord, når man dividerer to heltal " plus på plus giver plus”.

Eksempel:
Divider 306 med 3.

Løsning:
Begge tal har et "+"-tegn, så svaret vil være et "+"-tegn.
306:3=102
Svar: 102.

Eksempel:
Dividere udbyttet 220286 med divideren 589.

Løsning:
Udbyttet på 220286 og divisoren på 589 har et plustegn, så kvotienten vil også have et plustegn.
220286:589=374
Svar: 374

Opdeling af negative heltal.

Reglen for at dividere to negative tal.

Lad os have to negative heltal a og b. Vi skal finde deres moduler og udføre opdeling.

Resultatet af division eller kvotienten af ​​to negative heltal vil have et "+"-tegn. eller "to negativer gør en bekræftende".

Lad os se på et eksempel:
Find kvotienten -900:(-12).

Løsning:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Svar: -900:(-12)=75

Eksempel:
Divider et negativt heltal -504 med det andet et negativt tal -14.

Løsning:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Udtrykket kan skrives mere kort:
-504:(-14)=34

Opdeling af heltal med forskellige fortegn. Regler og eksempler.

Ved at gøre dividere heltal med forskellige tegn , vil kvotienten være lig med et negativt tal.

Uanset om et positivt heltal divideres med et negativt heltal eller et negativt heltal divideres med et positivt heltal, vil resultatet af division altid være lig med et negativt tal.

Minus plus plus giver minus.
Plus gange minus giver minus.

Eksempel:
Find kvotienten af ​​to heltal med forskellige fortegn -2436:42.

Løsning:
-2436:42=-58

Eksempel:
Beregn division 4716:(-524).

Løsning:
4716:(-524)=-9

Nul divideret med et heltal. Herske.

Når nul er divideret med et heltal, er svaret nul.

Eksempel:
Udfør division 0:558.

Løsning:
0:558=0

Eksempel:
Divider nul med det negative heltal -4009.

Løsning:
0:(-4009)=0

Du kan ikke dividere med nul.

Du kan ikke dividere 0 med 0.

Kontrol af delvis division af heltal.

Som tidligere nævnt er division og multiplikation tæt forbundet. Derfor, for at kontrollere resultatet af at dividere to heltal, skal du gange divisoren og kvotienten, hvilket resulterer i udbyttet.

Kontrol af divisionsresultatet er en kort formel:
Divisor ∙ Quotient = Dividende

Lad os se på et eksempel:
Udfør division og check 1888:(-32).

Løsning:
Vær opmærksom på tegnene på heltal. Tallet 1888 er positivt og har et "+"-tegn. Tallet (-32) er negativt og har et "–"-tegn. Derfor, når man dividerer to heltal med forskellige fortegn, vil svaret være et negativt tal.
1888:(-32)=-59

Lad os nu tjekke det fundne svar:
1888 – delelig,
-32 – divisor,
-59 – privat,

Vi ganger divisoren med kvotienten.
-32∙(-59)=1888

Funktionen a n =f (n) i det naturlige argument n (n=1; 2; 3; 4;...) kaldes en talrække.

Tal a 1; a 2; a 3; a 4 ;…, der danner en sekvens, kaldes medlemmer af en numerisk sekvens. Så a1 =f (1); a2=f (2); a3=f (3); a4 =f (4);…

Så medlemmerne af sekvensen er udpeget med bogstaver, der angiver indekser - serienumre deres medlemmer: a 1 ; a 2; a 3; a 4 ;... derfor er et 1 det første medlem af sekvensen;

a 2 er det andet led i sekvensen;

a 3 er det tredje medlem af sekvensen;

a 4 er det fjerde led i sekvensen osv.

Kort fortalt skrives den numeriske rækkefølge som følger: a n =f (n) eller (a n).

Der er følgende måder at angive en talrække på:

1) Verbal metode. Repræsenterer et mønster eller en regel for arrangementet af medlemmer af en sekvens, beskrevet med ord.

Eksempel 1. Skriv en sekvens af alle ikke-negative tal, multipla af 5.

Løsning. Da alle tal, der ender på 0 eller 5, er delelige med 5, vil rækkefølgen blive skrevet således:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Eksempel 2. Givet rækkefølgen: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Spørg det mundtligt.

Løsning. Vi bemærker, at 1=1 2 ; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; ... Vi konkluderer: givet en sekvens bestående af kvadrater af naturlige tal.

2) Analytisk metode. Rækkefølgen er givet ved formlen for det n. led: a n =f (n). Ved hjælp af denne formel kan du finde ethvert medlem af sekvensen.

Eksempel 3. Udtrykket for det k. led i en talfølge er kendt: a k = 3+2·(k+1). Beregn de første fire led i denne rækkefølge.

a1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a2=3+2∙(2+1)=3+6=9;

a3=3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Eksempel 4. Bestem reglen for at sammensætte en numerisk sekvens ved hjælp af dens første par medlemmer og udtryk den generelle term for sekvensen ved hjælp af en enklere formel: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Løsning. Vi bemærker, at vi får en række ulige tal. Nogen ulige tal kan skrives på formen: 2k-1, hvor k er et naturligt tal, dvs. k=1; 2; 3; 4; ... . Svar: a k =2k-1.

3) Tilbagevendende metode. Rækkefølgen er også givet af en formel, men ikke af en generel termformel, som kun afhænger af ordets nummer. Der er angivet en formel, hvorved hvert næste led findes gennem de foregående led. I tilfælde af den tilbagevendende metode til at specificere en funktion, er et eller flere første medlemmer af sekvensen altid yderligere specificeret.

Eksempel 5. Skriv de første fire led i rækkefølgen (a n ),

hvis a1 = 7; a n+1 = 5+a n .

a2=5+a1=5+7=12;

a3=5+a2=5+12=17;

a4 =5+a3 =5+17=22. Svar: 7; 12; 17; 22; ... .

Eksempel 6. Skriv de første fem led i rækkefølgen (b n),

hvis bi = -2, b2 = 3; bn+2 = 2bn+bn+1.

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Svar: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Grafisk metode. Den numeriske rækkefølge er givet af en graf, som repræsenterer isolerede punkter. Abscissen af ​​disse punkter er naturlige tal: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinater er værdierne af sekvensmedlemmerne: a 1 ; a 2; a 3; en 4;….

Eksempel 7. Skriv alle fem led i den numeriske rækkefølge grafisk ned.

Hvert punkt i dette koordinatplan har koordinater (n; a n). Lad os nedskrive koordinaterne for de markerede punkter i stigende rækkefølge af abscissen n.

Vi får: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).

Derfor er a 1 = -3; a2=1; a3=4; a4 = 6; a 5 = 7.

Svar: -3; 1; 4; 6; 7.

Gennemgået nummerrækkefølge som en funktion (i eksempel 7) er givet på mængden af ​​de første fem naturlige tal (n=1; 2; 3; 4; 5), er derfor endelig talrække(består af fem medlemmer).

Hvis en talfølge som funktion er givet på hele mængden af ​​naturlige tal, så vil en sådan sekvens være en uendelig talrække.

Nummerrækken kaldes stigende, hvis dens medlemmer er stigende (a n+1 >a n) og faldende, hvis dens medlemmer er faldende(a n+1

En stigende eller faldende talrække kaldes monotont.

Meget store og meget små tal skrives normalt i standardform: -en∙10 n, Hvor 1≤a<10 Og n(naturligt eller heltal) – er rækkefølgen af ​​et tal skrevet i standardform.

For eksempel, 345,7=3,457∙10 2; 123456=1,23456∙10 5 ; 0,000345=3,45∙10 -4.

Eksempler.

Skriv nummeret i standardform: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

Løsning.

1) 40503=4,0503·104;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

Flere eksempler på standardformen for tal.

5) Antallet af gasmolekyler i 1 cm 3 ved 0°C og et tryk på 760 mm ps.st er lig med

27 000 000 000 000 000 000.

Løsning.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) 1 parsec(længdeenhed i astronomi) er lig med 30.800.000.000.000 km. Skriv dette nummer i standardform.

Løsning.

1 parsek=30 800 000 000 000=3,08∙10 13 km.

Til sagen:

Kilowatt time er en off-system enhed af energi eller arbejde, brugt i elektroteknik, betegnet kWh.

1 kWh=3,6∙10 6 J(Joule).

Ofte skal du finde summen af ​​kvadrater (x 1 2 + x 2 2) eller summen af ​​terninger (x 1 3 + x 2 3) af rødderne af en andengradsligning, sjældnere - summen af ​​de gensidige værdier ​af kvadraterne af rødderne eller summen af ​​aritmetiske kvadratrødder af rødderne af en andengradsligning:

Vietas sætning kan hjælpe med dette:

Summen af ​​rødderne af den reducerede andengradsligning x 2 +px+q=0 er lig med den anden koefficient taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led:

xl + x2 = -p; x 1 ∙ x 2 =q.

Lad os udtrykke igennem s Og q:

1) summen af ​​kvadraterne af ligningens rødder x2 +px+q=0;

2) summen af ​​terninger af ligningens rødder x 2 +px+q=0.

Løsning.

1) Udtryk x 1 2 + x 2 2 opnås ved at kvadrere begge sider af ligningen xl + x2 = -p;

(x1+x2)2=(-p)2; åbne parenteserne: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; vi udtrykker den nødvendige mængde: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Vi fik en nyttig ligestilling: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

2) Udtryk x 1 3 + x 2 3 Lad os repræsentere summen af ​​terninger ved hjælp af formlen:

(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

En anden nyttig ligning: x13 +x23 = -p·(p2-3q).

Eksempler.

3) x 2 -3x-4=0. Uden at løse ligningen, beregne værdien af ​​udtrykket x 1 2 + x 2 2.

Løsning.

x 1 + x 2 =-p=3, og arbejdet x 1 ∙x 2 =q=i eksempel 1) ligestilling:

x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. Vi har -s=x 1 + x 2 = 3 → p2=32=9; q= x 1 x 2 = -4. Derefter x 1 2 + x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Svar: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2 -2x-4=0. Beregn: x 1 3 + x 2 3 .

Løsning.

Ved Vietas sætning er summen af ​​rødderne til denne reducerede andengradsligning x 1 + x 2 =-p=2, og arbejdet x 1 ∙x 2 =q=-4. Lad os anvende det, vi har modtaget ( i eksempel 2) ligestilling: x13 +x23 =-p·(p2-3q)= 2·(22-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Svar: x 1 3 + x 2 3 = 32.

Spørgsmål: hvad hvis vi får en ureduceret andengradsligning? Svar: det kan altid "reduceres" ved at dividere led for led med den første koefficient.

5) 2x 2 -5x-7=0. Uden at beslutte, beregn: x 1 2 + x 2 2.

Løsning. Vi får en komplet andengradsligning. Divider begge sider af ligheden med 2 (den første koefficient) og få følgende andengradsligning: x 2 -2,5x-3,5=0.

Ifølge Vietas sætning er summen af ​​rødderne lig med 2,5 ; produktet af rødderne er lig med -3,5 .

Vi løser det på samme måde som eksemplet 3) ved hjælp af ligestilling: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

x12 +x22 =p2-2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Svar: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Find:

Lad os transformere denne lighed og ved hjælp af Vietas sætning erstatte summen af ​​rødder igennem -s, og produktet af rødderne igennem q, får vi en anden nyttig formel. Når vi udledte formlen, brugte vi lighed 1): x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

I vores eksempel x1+x2=-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Vi erstatter disse værdier i den resulterende formel:

7) x 2 -13x+36=0. Find:

Lad os transformere denne sum og få en formel, der kan bruges til at finde summen af ​​aritmetiske kvadratrødder ud fra rødderne af en andengradsligning.

Vi har xl +x2 =-p=13; x 1 ∙ x 2 =q=36. Vi erstatter disse værdier i den resulterende formel:

Råd : Kontroller altid muligheden for at finde rødderne til en andengradsligning ved hjælp af en passende metode, fordi 4 gennemgået nyttige formler giver dig mulighed for hurtigt at udføre en opgave, især i tilfælde, hvor diskriminanten er et "ubekvemt" nummer. I alle simple tilfælde skal du finde rødderne og operere på dem. For eksempel vælger vi i det sidste eksempel rødderne ved hjælp af Vietas sætning: summen af ​​rødderne skal være lig med 13 , og produktet af rødderne 36 . Hvad er disse tal? Sikkert, 4 og 9. Beregn nu summen af ​​kvadratrødderne af disse tal: 2+3=5. Det er det!

Division er defineret som det omvendte af multiplikation.

At dividere et tal med et andet betyder at finde et tredje tal, som, når det ganges med divisor, vil give udbyttet i produktet:

Ud fra denne definition udleder vi divisionsreglen for rationelle tal.

Lad os først og fremmest pointere en gang for alle, at divisoren ikke kan være nul. Division med nul er udelukket af samme grund, som den blev udelukket i aritmetikken.

Den absolutte værdi a er lig med produktet af de absolutte værdier og c. Det betyder, at den absolutte værdi af b er lig med den absolutte værdi af a divideret med den absolutte værdi

Lad os definere tegnet for kvotienten s.

Hvis udbytte og divisor har samme fortegn, så er kvotienten et positivt tal. Faktisk, hvis a og er positive, så vil kvotienten o også være et positivt tal.

Eksempel. fordi

Hvis a og er negative, så skal kvotienten af ​​c også være positiv i dette tilfælde, da vi ved at gange med dets negative tal skal få et negativt tal a.

Eksempel. fordi

Hvis udbytte og divisor har forskellige fortegn, så er kvotienten et negativt tal. Faktisk, hvis a er positiv og a er negativ, så skal c være negativ, da vi ved at gange et negativt tal med det skal få et positivt tal a.

Eksempel. fordi

Hvis a er negativ og a er positiv, så må c i dette tilfælde være et negativt tal, da vi ved at gange et positivt tal med det skal få et negativt tal a.

Eksempel. fordi

Så vi kom til følgende delingsregel:

For at dividere en ting med en anden, skal du dividere den absolutte værdi af udbyttet med den absolutte værdi af divisoren og sætte et plustegn foran kvotienten, hvis dividenden og divisoren har samme fortegn, og et minustegn ,

hvis udbytte og divisor har modsatte fortegn.

Som vi allerede har sagt, er division med nul umuligt, lad os forklare dette mere detaljeret. Antag, at du skal dividere et tal, der ikke er nul, for eksempel -3, med 0.

Hvis tallet a er den ønskede kvotient, så skal vi ved at gange det med divisoren, det vil sige med 0, få udbyttet, det vil sige - 3. Men produktet er lig med 0, og udbyttet - 3 kan ikke være opnået. Heraf konkluderer vi, at antallet

Du kan ikke dividere 3 med nul.

Lad tallet 0 divideres med 0. Lad a være den nødvendige kvotient; gange a med divisor 0, får vi 0 i produktet for enhver værdi af a:

Vi fik således ikke noget specifikt tal: gange et hvilket som helst tal med 0, får vi 0. Derfor anses det også for umuligt at dividere nul med nul.

For rationelle tal forbliver følgende grundlæggende egenskab for kvotienten i kraft:

Kvotienten af ​​to tal ændres ikke, hvis udbytte og divisor ganges med det samme tal (ikke lig med nul).

Lad os forklare dette med følgende eksempler.

1. Overvej kvotienten, gang dividenden og divisoren med - 4; så får vi en ny kvotient

Så i den nye kvotient fik vi det samme nummer 2.

2. Betragt kvotienten, gang dividenden og divisoren med - så får vi følgende kvotient:

Kvotienten har ikke ændret sig, da resultatet er det samme tal