De største og mindste værdier af en funktion af to variable i et lukket område. Største og mindste værdi af en funktion

Fra et praktisk synspunkt er den største interesse i at bruge den afledte til at finde de største og mindste værdier af en funktion. Hvad er dette forbundet med? Maksimering af overskud, minimering af omkostninger, bestemmelse af den optimale belastning af udstyr... Med andre ord, på mange områder af livet er vi nødt til at løse problemer med at optimere nogle parametre. Og det er opgaverne med at finde de største og mindste værdier af en funktion.

Det skal bemærkes, at de største og mindste værdier af en funktion normalt søges på et bestemt interval X, som enten er hele funktionens domæne eller en del af definitionsdomænet. Selve intervallet X kan være et segment, et åbent interval , et uendeligt interval.

I denne artikel vil vi tale om at finde de største og mindste værdier af en eksplicit defineret funktion af en variabel y=f(x) .

Sidenavigation.

Den største og mindste værdi af en funktion - definitioner, illustrationer.

Lad os kort se på hoveddefinitionerne.

Funktionens største værdi det for enhver ulighed er sandt.

Funktionens mindste værdi y=f(x) på intervallet X kaldes en sådan værdi det for enhver ulighed er sandt.

Disse definitioner er intuitive: den største (mindste) værdi af en funktion er den største (mindste) accepterede værdi på det interval, der overvejes ved abscissen.

Stationære punkter– disse er værdierne af argumentet, hvor den afledede af funktionen bliver nul.

Hvorfor har vi brug for stationære punkter, når vi finder de største og mindste værdier? Svaret på dette spørgsmål er givet af Fermats sætning. Af denne sætning følger det, at hvis en differentierbar funktion har et ekstremum (lokalt minimum eller lokalt maksimum) på et tidspunkt, så er dette punkt stationært. Funktionen tager således ofte sin største (mindste) værdi på intervallet X i et af de stationære punkter fra dette interval.

Desuden kan en funktion ofte antage sine største og mindste værdier på punkter, hvor den første afledede af denne funktion ikke eksisterer, og selve funktionen er defineret.

Lad os straks besvare et af de mest almindelige spørgsmål om dette emne: "Er det altid muligt at bestemme den største (mindste) værdi af en funktion"? Nej ikke altid. Nogle gange falder grænserne for intervallet X sammen med grænserne for funktionens definitionsdomæne, eller intervallet X er uendeligt. Og nogle funktioner i det uendelige og ved grænserne af definitionsdomænet kan antage både uendeligt store og uendeligt små værdier. I disse tilfælde kan der ikke siges noget om den største og mindste værdi af funktionen.

For klarhedens skyld vil vi give en grafisk illustration. Se på billederne, og meget bliver tydeligere.

På segmentet

I den første figur tager funktionen de største (max y) og mindste (min y) værdier ved stationære punkter placeret inde i segmentet [-6;6].

Overvej sagen afbildet i den anden figur. Lad os ændre segmentet til . I dette eksempel opnås den mindste værdi af funktionen ved et stationært punkt, og den største i det punkt, hvor abscissen svarer til intervallets højre grænse.

I figur 3 er grænsepunkterne for segmentet [-3;2] abscissen af de punkter, der svarer til den største og mindste værdi af funktionen.

I et åbent interval

I den fjerde figur tager funktionen de største (max y) og mindste (min y) værdier ved stationære punkter placeret inden for det åbne interval (-6;6).

På intervallet kan der ikke drages konklusioner om den største værdi.

I det uendelige

I eksemplet præsenteret i den syvende figur tager funktionen den største værdi (max y) i et stationært punkt med abscisse x=1, og den mindste værdi (min y) opnås på den højre grænse af intervallet. Ved minus uendelig nærmer funktionsværdierne sig asymptotisk y=3.

I løbet af intervallet når funktionen hverken den mindste eller den største værdi. Når x=2 nærmer sig fra højre, har funktionsværdierne en tendens til minus uendelig (linjen x=2 er en lodret asymptote), og da abscissen har en tendens til plus uendeligt, nærmer funktionsværdierne sig asymptotisk y=3. En grafisk illustration af dette eksempel er vist i figur 8.

Algoritme til at finde de største og mindste værdier af en kontinuerlig funktion på et segment.

Lad os skrive en algoritme, der giver os mulighed for at finde de største og mindste værdier af en funktion på et segment.

Vi finder funktionens definitionsdomæne og tjekker, om den indeholder hele segmentet.
Vi finder alle de punkter, hvor den første afledede ikke findes, og som er indeholdt i segmentet (normalt findes sådanne punkter i funktioner med et argument under modultegnet og i potensfunktioner med en brøk-rationel eksponent). Hvis der ikke er sådanne punkter, så gå videre til næste punkt.
Vi bestemmer alle stationære punkter, der falder inden for segmentet. For at gøre dette ligestiller vi det til nul, løser den resulterende ligning og vælger passende rødder. Hvis der ikke er nogen stationære punkter, eller ingen af dem falder ind i segmentet, så gå videre til næste punkt.
Vi beregner værdierne af funktionen ved udvalgte stationære punkter (hvis nogen), på punkter, hvor den første afledte ikke eksisterer (hvis nogen), såvel som ved x=a og x=b.
Fra de opnåede værdier af funktionen vælger vi den største og mindste - de vil være henholdsvis den krævede største og mindste værdi af funktionen.

Lad os analysere algoritmen til at løse et eksempel for at finde de største og mindste værdier af en funktion på et segment.

Eksempel.

Find den største og mindste værdi af en funktion

på segmentet ;
på segmentet [-4;-1] .

Løsning.

Definitionsdomænet for en funktion er hele sættet af reelle tal, med undtagelse af nul, dvs. Begge segmenter falder inden for definitionsdomænet.

Find den afledede af funktionen med hensyn til:

Det er klart, at den afledede af funktionen eksisterer på alle punkter af segmenterne og [-4;-1].

Vi bestemmer stationære punkter ud fra ligningen. Den eneste rigtige rod er x=2. Dette stationære punkt falder ind i det første segment.

For det første tilfælde beregner vi værdierne af funktionen i enderne af segmentet og i det stationære punkt, det vil sige for x=1, x=2 og x=4:

Derfor er den største værdi af funktionen opnås ved x=1, og den mindste værdi – ved x=2.

For det andet tilfælde beregner vi funktionsværdierne kun i enderne af segmentet [-4;-1] (da det ikke indeholder et enkelt stationært punkt):

Problemformulering 2:

Givet en funktion, der er defineret og kontinuerlig på et bestemt interval. Du skal finde den største (mindste) værdi af funktionen på dette interval.

Teoretisk grundlag.
Sætning (Anden Weierstrass-sætning):

Hvis en funktion er defineret og kontinuerlig i et lukket interval, når den sine maksimum- og minimumværdier i dette interval.

Funktionen kan nå sine største og mindste værdier enten ved de interne punkter i intervallet eller ved dens grænser. Lad os illustrere alle de mulige muligheder.

Forklaring:
1) Funktionen når sin største værdi på den venstre grænse af intervallet ved punkt , og dens minimumværdi på den højre grænse af intervallet ved punkt .
2) Funktionen når sin største værdi ved punktet (dette er maksimumpunktet), og dens minimumværdi ved intervallets højre grænse ved punktet.
3) Funktionen når sin maksimumværdi på venstre grænse af intervallet ved punkt , og dens minimumværdi ved punkt (dette er minimumspunktet).
4) Funktionen er konstant på intervallet, dvs. den når sine minimums- og maksimumværdier på et hvilket som helst tidspunkt i intervallet, og minimums- og maksimumværdierne er lig med hinanden.
5) Funktionen når sin største værdi ved punkt , og sin minimumværdi ved punkt (på trods af at funktionen har både et maksimum og et minimum på dette interval).
6) Funktionen når sin største værdi ved et punkt (dette er maksimumpunktet), og dens minimumværdi ved et punkt (dette er minimumspunktet).
Kommentar:

"Maksimal" og "maksimal værdi" er forskellige ting. Dette følger af definitionen af maksimum og den intuitive forståelse af udtrykket "maksimal værdi".

Algoritme til at løse opgave 2.

4) Vælg den største (mindste) blandt de opnåede værdier og skriv svaret ned.

Eksempel 4:

Bestem den største og mindste værdi af en funktion på segmentet.
Løsning:
1) Find den afledede af funktionen.

2) Find stationære punkter (og punkter mistænkt for ekstremum) ved at løse ligningen. Vær opmærksom på de punkter, hvor der ikke er nogen tosidet endelig afledt.

3) Beregn værdierne af funktionen ved stationære punkter og ved intervallets grænser.

4) Vælg den største (mindste) blandt de opnåede værdier og skriv svaret ned.

Funktionen på dette segment når sin største værdi på punktet med koordinaterne.

Funktionen på dette segment når sin minimumsværdi på punktet med koordinaterne.

Du kan verificere rigtigheden af beregningerne ved at se på grafen for den funktion, der undersøges.

Kommentar: Funktionen når sin største værdi ved maksimumpunktet og sit minimum ved segmentets grænse.

Et særligt tilfælde.

Antag, at du skal finde maksimum- og minimumværdierne for en funktion på et segment. Efter at have gennemført det første punkt i algoritmen, dvs. ved at beregne den afledte, bliver det klart, at det for eksempel kun tager negative værdier gennem hele det betragtede interval. Husk, at hvis den afledede er negativ, så falder funktionen. Vi fandt ud af, at funktionen falder over hele segmentet. Denne situation er vist i graf nr. 1 i begyndelsen af artiklen.

Funktionen falder på segmentet, dvs. den har ingen ekstreme punkter. Fra billedet kan du se, at funktionen vil tage den mindste værdi på højre grænse af segmentet, og den største værdi til venstre. hvis den afledede på segmentet er positiv overalt, så øges funktionen. Den mindste værdi er på venstre kant af segmentet, den største er til højre.

Studiet af et sådant objekt for matematisk analyse som en funktion er af stor betydning betyder og inden for andre videnskabsområder. For eksempel er der i økonomisk analyse et konstant behov for at evaluere adfærd funktioner fortjeneste, nemlig at bestemme dens største betyder og udvikle en strategi for at nå det.

Instruktioner

Studiet af enhver adfærd bør altid begynde med en søgning efter definitionsdomænet. Normalt, i henhold til betingelserne for et specifikt problem, er det nødvendigt at bestemme den største betyder funktioner enten over hele dette område eller over et bestemt interval af det med åbne eller lukkede grænser.

Baseret på er den største betyder funktioner y(x0), hvor uligheden y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) gælder for ethvert punkt i definitionsdomænet. Grafisk vil dette punkt være det højeste, hvis argumentværdierne placeres langs abscisseaksen, og selve funktionen langs ordinataksen.

For at bestemme den største betyder funktioner, følg tre-trins-algoritmen. Vær opmærksom på, at du skal kunne arbejde med ensidig og , samt beregne den afledte. Så lad en funktion y(x) blive givet, og du skal finde den største betyder på et bestemt interval med grænseværdier A og B.

Find ud af, om dette interval er inden for definitionens rammer funktioner. For at gøre dette skal du finde det ved at overveje alle mulige begrænsninger: tilstedeværelsen af en brøk, kvadratrod osv. i udtrykket. Definitionsdomænet er det sæt af argumentværdier, som funktionen giver mening for. Bestem, om det givne interval er en delmængde af det. Hvis ja, så gå videre til næste trin.

Find den afledede funktioner og løse den resulterende ligning ved at ligne den afledte med nul. På denne måde får du værdierne for de såkaldte stationære punkter. Vurder, om mindst én af dem tilhører intervallet A, B.

På det tredje trin skal du overveje disse punkter og erstatte deres værdier i funktionen. Afhængigt af intervaltypen skal du udføre følgende yderligere trin. Hvis der er et segment på formen [A, B], er grænsepunkterne inkluderet i intervallet; dette er angivet med parentes. Beregn værdier funktioner for x = A og x = B. Hvis intervallet er åbent (A, B), punkteres grænseværdierne, dvs. er ikke inkluderet i den. Løs ensidige grænser for x→A og x→B. Et kombineret interval af formen [A, B) eller (A, B), hvis grænser tilhører den, den anden ikke. Find den ensidige grænse, da x har en tendens til den punkterede værdi, og indsæt den anden i funktionen. Uendeligt tosidet interval (-∞, +∞) eller ensidede uendelige intervaller af formen: , (-∞, B).For reelle grænser A og B, fortsæt efter de allerede beskrevne principper, og for uendelige dem, se efter grænser for henholdsvis x→-∞ og x→+∞.

Opgaven på dette stadium

Med denne service kan du find den største og mindste værdi af en funktionén variabel f(x) med løsningen formateret i Word. Hvis funktionen f(x,y) er givet, er det derfor nødvendigt at finde yderpunktet for funktionen af to variable. Du kan også finde intervallerne for stigende og faldende funktioner.

Find den største og mindste værdi af en funktion

y =

på segmentet [ ;]

Inkluder teori

Regler for indtastning af funktioner:

Nødvendig betingelse for ekstremum af en funktion af en variabel

Ligningen f" 0 (x *) = 0 er en nødvendig betingelse for ekstremummet af en funktion af en variabel, dvs. i punkt x * skal den første afledede af funktionen forsvinde. Den identificerer stationære punkter x c, hvor funktionen ikke forsvinder øge eller mindske.

Tilstrækkelig betingelse for ekstremum af en funktion af én variabel

Lad f 0 (x) være to gange differentierbar med hensyn til x, der tilhører mængden D. Hvis betingelsen i punkt x * er opfyldt:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Så er punkt x * det lokale (globale) minimumspunkt for funktionen.

Hvis betingelsen i punkt x * er opfyldt:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Så er punkt x * et lokalt (globalt) maksimum.

Eksempel nr. 1. Find de største og mindste værdier af funktionen: på segmentet.
Løsning.

Det kritiske punkt er et x 1 = 2 (f'(x)=0). Dette punkt hører til segmentet. (Punkt x=0 er ikke kritisk, da 0∉).
Vi beregner værdierne af funktionen i enderne af segmentet og på det kritiske punkt.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Svar: f min = 5 / 2 ved x=2; fmax =9 ved x=1

Eksempel nr. 2. Brug højere ordens afledte, find ekstremum af funktionen y=x-2sin(x) .
Løsning.
Find den afledede af funktionen: y'=1-2cos(x) . Lad os finde de kritiske punkter: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Vi finder y’’=2sin(x), beregne , hvilket betyder x= π / 3 +2πk, k∈Z er minimumspunkterne for funktionen; , hvilket betyder x=- π / 3 +2πk, k∈Z er funktionens maksimumpunkter.

Eksempel nr. 3. Undersøg ekstremumfunktionen i nærheden af punktet x=0.
Løsning. Her er det nødvendigt at finde yderpunkterne for funktionen. Hvis ekstremum x=0, så find ud af dens type (minimum eller maksimum). Hvis der blandt de fundne punkter ikke er x = 0, så beregn værdien af funktionen f(x=0).
Det skal bemærkes, at når den afledede på hver side af et givet punkt ikke ændrer sit fortegn, er de mulige situationer ikke udtømte, selv for differentiable funktioner: det kan ske, at for et vilkårligt lille kvarter på den ene side af punktet x 0 eller på begge sider skifter den afledte fortegn. På disse punkter er det nødvendigt at bruge andre metoder til at studere funktioner på et ekstremum.

Lad funktionen y =f(X) er kontinuerlig i intervallet [ a, b]. Som det er kendt, når en sådan funktion sine maksimum- og minimumværdier på dette segment. Funktionen kan tage disse værdier enten ved segmentets indre punkt [ a, b], eller på segmentets grænse.

For at finde de største og mindste værdier af en funktion på segmentet [ a, b] nødvendigt:

1) find de kritiske punkter for funktionen i intervallet ( a, b);

2) beregn værdierne af funktionen ved de fundne kritiske punkter;

3) beregn værdierne af funktionen i enderne af segmentet, det vil sige hvornår x=EN og x = b;

4) fra alle beregnede værdier af funktionen, vælg den største og mindste.

Eksempel. Find de største og mindste værdier af en funktion

på segmentet.

Find kritiske punkter:

Disse punkter ligger inde i segmentet; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

på punktet x= 3 og på punktet x= 0.

Undersøgelse af en funktion for konveksitet og bøjningspunkt.

Fungere y = f (x) hedder konveks ind i mellem (-en, b) , hvis dens graf ligger under tangenten tegnet på et hvilket som helst punkt i dette interval, og kaldes konveks ned (konkav), hvis dens graf ligger over tangenten.

Punktet, hvorigennem konveksiteten erstattes af konkavitet eller omvendt, kaldes bøjningspunkt.

Algoritme til undersøgelse af konveksitet og bøjningspunkt:

1. Find kritiske punkter af den anden slags, det vil sige punkter, hvor den anden afledede er lig med nul eller ikke eksisterer.

2. Plot kritiske punkter på tallinjen, opdel den i intervaller. Find tegnet for den anden afledede på hvert interval; hvis , så er funktionen konveks opad, hvis, så er funktionen konveks nedad.

3. Hvis fortegnet ændres, når man passerer gennem et kritisk punkt af den anden art, og på dette tidspunkt er den anden afledede lig med nul, så er dette punkt abscissen af bøjningspunktet. Find dens ordinat.

Asymptoter af grafen for en funktion. Undersøgelse af en funktion for asymptoter.

Definition. Asymptoten af grafen for en funktion kaldes lige, som har den egenskab, at afstanden fra ethvert punkt på grafen til denne linje har en tendens til nul, da punktet på grafen bevæger sig uendeligt fra origo.

Der er tre typer af asymptoter: lodret, vandret og skråtstillet.

Definition. Den rette linje kaldes lodret asymptote funktionsgrafik y = f(x), hvis mindst en af de ensidige grænser for funktionen på dette tidspunkt er lig med uendelig, dvs.

hvor er diskontinuitetspunktet for funktionen, det vil sige, den hører ikke til definitionsdomænet.

Eksempel.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – knækpunkt.

Definition. Lige y =EN hedder vandret asymptote funktionsgrafik y = f(x) kl, hvis

Eksempel.

x
y

Definition. Lige y =kx +b (k≠ 0) kaldes skrå asymptote funktionsgrafik y = f(x) Hvor

Generelt skema til undersøgelse af funktioner og konstruktion af grafer.

Funktionsforskningsalgoritmey = f(x) :

1. Find funktionens domæne D (y).

2. Find (hvis muligt) skæringspunkterne for grafen med koordinatakserne (hvis x= 0 og at y = 0).

3. Undersøg funktionens jævnhed og mærkværdighed ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ulige).

4. Find asymptoterne for funktionens graf.

5. Find intervallerne for monotoni af funktionen.

6. Find yderpunkterne for funktionen.

7. Find funktionsgrafens intervaller for konveksitet (konkavitet) og bøjningspunkter.

8. Konstruer en graf over funktionen på baggrund af den udførte forskning.

Eksempel. Udforsk funktionen og byg dens graf.

1) D (y) =

x= 4 – knækpunkt.

2) Hvornår x = 0,

(0; ‒ 5) – skæringspunkt med åh.

På y = 0,

3) y(‒ x)= en funktion af generel form (hverken lige eller ulige).

4) Vi undersøger for asymptoter.

a) lodret

b) vandret

c) find de skrå asymptoter hvor

‒skrå asymptote-ligning

5) I denne ligning er det ikke nødvendigt at finde intervaller for monotoni af funktionen.

Disse kritiske punkter opdeler hele definitionsdomænet af funktionen i intervallet (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) og (10; +∞). Det er praktisk at præsentere de opnåede resultater i form af følgende tabel.