At konvertere udtryk med rødder og kræfter kræver ofte frem og tilbage mellem rødder og kræfter. I denne artikel vil vi se på, hvordan sådanne overgange laves, hvad der ligger til grund for dem, og på hvilke punkter der oftest opstår fejl. Vi vil give alt dette med typiske eksempler med en detaljeret analyse af løsninger.
Sidenavigation.
Overgang fra potenser med brøkeksponenter til rødder
Muligheden for at gå fra en grad med en brøkeksponent til roden er dikteret af selve gradens definition. Lad os huske, hvordan det bestemmes: potensen af et positivt tal a med en brøkeksponent m/n, hvor m er et heltal, og n er et naturligt tal, kaldes den n'te rod af en m, dvs. hvor a>0 , m∈Z, n∈ N. Brøkpotensen af nul er defineret på samme måde 
, med den eneste forskel, at m i dette tilfælde ikke længere betragtes som et heltal, men som et naturligt, således at division med nul ikke forekommer.
Graden kan således altid erstattes af roden. For eksempel kan du gå fra til, og graden kan erstattes af roden. Men du bør ikke flytte fra udtrykket til roden, da graden i starten ikke giver mening (graden af negative tal er ikke defineret), på trods af at roden har betydning.
Som du kan se, er der absolut intet vanskeligt i overgangen fra talmagter til rødder. Overgangen til magtrødder med brøkeksponenter, i bunden af hvilke er vilkårlige udtryk, udføres på lignende måde. Bemærk, at denne overgang udføres på ODZ af variabler for det oprindelige udtryk. For eksempel udtrykket 
på hele ODZ af variablen x for dette udtryk kan erstattes af roden 
. Og fra graden 
gå til rod 
, finder en sådan erstatning sted for ethvert sæt af variabler x, y og z fra ODZ for det oprindelige udtryk.
Udskiftning af rødder med kræfter
Den omvendte udskiftning er også mulig, det vil sige at erstatte rødderne med potenser med brøkeksponenter. Det er også baseret på ligheden, som i dette tilfælde bruges fra højre mod venstre, altså i formen.
For positiv a er den angivne overgang indlysende. For eksempel kan du erstatte graden med , og gå fra roden til graden med en brøkeksponent af formen .
Og for negativ a giver ligheden ikke mening, men roden kan stadig give mening. For eksempel giver rødder mening, men de kan ikke erstattes af magter. Så er det overhovedet muligt at konvertere dem til udtryk med kræfter? Det er muligt, hvis du udfører foreløbige transformationer, som består i at gå til rødderne med ikke-negative tal under, som så erstattes af potenser med brøkeksponenter. Lad os vise, hvad disse foreløbige transformationer er, og hvordan de udføres.
I tilfælde af en rod kan du udføre følgende transformationer: 
. Og da 4 er et positivt tal, kan den sidste rod erstattes af en potens. Og i det andet tilfælde bestemme den ulige rod af et negativt tal−a (hvor a er positivt), udtrykt ved ligestillingen 
, giver dig mulighed for at erstatte roden med et udtryk, hvor terningroden af to allerede kan erstattes af en grad, og det vil tage formen .
Det er tilbage at finde ud af, hvordan de rødder, som udtrykkene er placeret under, erstattes af potenser, der indeholder disse udtryk i basen. Der er ingen grund til at skynde sig at erstatte det med , vi brugte bogstavet A til at betegne et bestemt udtryk. Lad os give et eksempel for at forklare, hvad vi mener med dette. Jeg vil bare erstatte roden med en grad, baseret på ligestilling. Men en sådan udskiftning er kun passende under betingelsen x−3≥0, og for de resterende værdier af variablen x fra ODZ (der opfylder betingelsen x−3)<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
På grund af denne unøjagtige anvendelse af formlen opstår der ofte fejl, når man flytter fra rødder til magter. Eksempelvis er opgaven i lærebogen givet at repræsentere et udtryk i form af en potens med en rationel eksponent, og svaret er givet, hvilket rejser spørgsmål, da betingelsen ikke specificerer begrænsningen b>0. Og i lærebogen er der en overgang fra udtrykket 
, højst sandsynligt gennem følgende transformationer af det irrationelle udtryk 
til udtrykket. Den seneste overgang rejser også spørgsmål, da den indsnævrer DZ.
Et logisk spørgsmål opstår: "Hvordan kan man korrekt bevæge sig fra roden til magten for alle værdier af variabler fra ODZ?" Denne udskiftning udføres på grundlag af følgende udsagn:
Før vi begrunder de registrerede resultater, giver vi flere eksempler på deres brug til overgangen fra rødder til magter. Lad os først vende tilbage til udtrykket. Det burde ikke have været erstattet af , men af (i dette tilfælde er m=2 et lige heltal, n=3 er et naturligt heltal). Et andet eksempel: 
.
Nu den lovede begrundelse for resultaterne.
Når m er et ulige heltal, og n er et lige naturligt heltal, så er værdien af udtryk A positiv for ethvert sæt af variabler fra ODZ for udtrykket (hvis m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Derfor, .
Lad os gå videre til det andet resultat. Lad m være et positivt ulige heltal og n et ulige naturligt tal. For alle værdier af variable fra ODZ, for hvilke værdien af udtryk A er ikke-negativ, 
, og for hvilket det er negativt, 
Følgende resultat er bevist på samme måde for negative og ulige heltal m og ulige naturlige heltal n. For alle værdier af variable fra ODZ, for hvilke værdien af udtryk A er positiv, , og for hvilket det er negativt,
Endelig det sidste resultat. Lad m være et lige helt tal, n være et hvilket som helst naturligt tal. For alle værdier af variabler fra ODZ, for hvilke værdien af udtryk A er positiv (hvis m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . Og for hvilket det er negativt, . Således, hvis m er et lige heltal, n er ethvert naturligt tal, så for ethvert sæt af værdier af variable fra ODZ til udtryk kan det erstattes af .
Bibliografi.
- Algebra og begyndelsen af analysen: Proc. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. udgave - M.: Uddannelse, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Algebra og begyndelsen på matematisk analyse. 11. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; redigeret af A. B. Zhizhchenko. – M.: Uddannelse, 2009.- 336 s.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Det er tid til at ordne det metoder til udvinding af rod. De er baseret på røddernes egenskaber, især på ligheden, hvilket er sandt for ethvert ikke-negativt tal b.
Nedenfor vil vi se på de vigtigste metoder til at udvinde rødder en efter en.
Lad os starte med det enkleste tilfælde - at udtrække rødder fra naturlige tal ved hjælp af en tabel med kvadrater, en tabel med terninger osv.
Hvis tabeller med firkanter, terninger mv. Hvis du ikke har det ved hånden, er det logisk at bruge metoden til at udtrække roden, som involverer at nedbryde det radikale tal i primfaktorer.
Det er især værd at nævne, hvad der er muligt for rødder med ulige eksponenter.
Lad os endelig overveje en metode, der giver os mulighed for sekventielt at finde cifrene i rodværdien.
Lad os komme igang.
Brug af en tabel med kvadrater, en tabel med terninger osv.
I de enkleste tilfælde giver tabeller med kvadrater, terninger osv. dig mulighed for at udtrække rødder. Hvad er disse tabeller?
Tabellen med kvadrater af heltal fra 0 til 99 inklusive (vist nedenfor) består af to zoner. Den første zone i tabellen er placeret på en grå baggrund; ved at vælge en specifik række og en specifik kolonne giver den dig mulighed for at komponere et tal fra 0 til 99. Lad os for eksempel vælge en række med 8 tiere og en kolonne med 3 enheder, med dette fik vi tallet 83. Den anden zone optager resten af bordet. Hver celle er placeret i skæringspunktet mellem en bestemt række og en bestemt kolonne og indeholder kvadratet af det tilsvarende tal fra 0 til 99. I skæringspunktet mellem vores valgte række med 8 tiere og kolonne 3 af ener er der en celle med tallet 6.889, som er kvadratet af tallet 83.
Tabeller af terninger, tabeller med fjerde potenser af tal fra 0 til 99, og så videre ligner tabellen med kvadrater, kun de indeholder terninger, fjerde potenser osv. i den anden zone. tilsvarende tal.
Tabeller af kvadrater, terninger, fjerde potenser osv. giver dig mulighed for at udtrække kvadratrødder, terningrødder, fjerde rødder osv. i overensstemmelse hermed fra tallene i disse tabeller. Lad os forklare princippet om deres brug ved udvinding af rødder.
Lad os sige, at vi skal udtrække den n'te rod af tallet a, mens tallet a er indeholdt i tabellen over n'te potenser. Ved hjælp af denne tabel finder vi tallet b sådan, at a=b n. Derefter 
, derfor vil tallet b være den ønskede rod af n. grad.
Lad os som et eksempel vise, hvordan man bruger en terningstabel til at udtrække terningroden af 19.683. Vi finder tallet 19.683 i terningtabellen, ud fra det finder vi, at dette tal er terningen af tallet 27, derfor, 
.
Det er klart, at tabeller med n-te potenser er meget praktiske til at udtrække rødder. De er dog ofte ikke lige ved hånden, og det kræver noget tid at kompilere dem. Desuden er det ofte nødvendigt at udtrække rødder fra tal, der ikke er indeholdt i de tilsvarende tabeller. I disse tilfælde skal du ty til andre metoder til rodudvinding.
Indregning af et radikalt tal i primfaktorer
En ret bekvem måde at udtrække roden af et naturligt tal (hvis, selvfølgelig, roden er ekstraheret) er at dekomponere radikaltallet i primfaktorer. Hans pointen er dette: derefter er det ret nemt at repræsentere det som en potens med den ønskede eksponent, hvilket giver dig mulighed for at få værdien af roden. Lad os præcisere dette punkt.
Lad den n-te rod af et naturligt tal a tages og dets værdi lig med b. I dette tilfælde er ligheden a=b n sand. Tallet b kan ligesom ethvert naturligt tal repræsenteres som produktet af alle dets primfaktorer p 1 , p 2 , …, p m i formen p 1 ·p 2 ·…·p m , og radikaltallet a i dette tilfælde er repræsenteret som (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Da nedbrydningen af et tal til primfaktorer er unik, vil dekomponeringen af radikaltallet a til primfaktorer have formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, hvilket gør det muligt at beregne rodens værdi. som.
Bemærk, at hvis nedbrydningen til primfaktorer af et radikalt tal a ikke kan repræsenteres på formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, så er den n-te rod af et sådant tal a ikke helt ekstraheret.
Lad os finde ud af dette, når vi løser eksempler.
Eksempel.
Tag kvadratroden af 144.
Løsning.
Hvis du ser på tabellen med kvadrater i det foregående afsnit, kan du tydeligt se, at 144 = 12 2, hvoraf det tydeligt fremgår, at kvadratroden af 144 er lig med 12.
Men i lyset af dette punkt er vi interesserede i, hvordan roden udvindes ved at nedbryde radikaltallet 144 i primfaktorer. Lad os se på denne løsning.
Lad os nedbryde 144 til primfaktorer:
Det vil sige 144=2·2·2·2·3·3. Baseret på den resulterende nedbrydning kan følgende transformationer udføres: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Derfor, 
.
Ved at bruge gradens egenskaber og røddernes egenskaber kunne løsningen formuleres lidt anderledes: .
Svar:
For at konsolidere materialet skal du overveje løsningerne til yderligere to eksempler.
Eksempel.
Beregn værdien af roden.
Løsning.
Primfaktoriseringen af radikaltallet 243 har formen 243=3 5 . Dermed, 
.
Svar:
Eksempel.
Er rodværdien et heltal?
Løsning.
For at besvare dette spørgsmål, lad os faktorisere det radikale tal i primfaktorer og se, om det kan repræsenteres som en terning af et heltal.
Vi har 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Den resulterende ekspansion kan ikke repræsenteres som en terning af et heltal, da primfaktoren 7s potens ikke er et multiplum af tre. Derfor kan terningroden på 285.768 ikke udtrækkes fuldstændigt.
Svar:
Ingen.
Udtræk rødder fra brøktal
Det er tid til at finde ud af, hvordan man uddrager roden af et brøktal. Lad brøkradikaltallet skrives som p/q. Ifølge egenskaben af roden af en kvotient er følgende lighed sand. Af denne ligestilling følger det regel for at udtrække roden af en brøk: Roden af en brøk er lig med kvotienten af roden af tælleren divideret med roden af nævneren.
Lad os se på et eksempel på at udtrække en rod fra en brøk.
Eksempel.
Hvad er kvadratroden af den fælles brøk 25/169?
Løsning.
Ved at bruge kvadrattabellen finder vi, at kvadratroden af tælleren i den oprindelige brøk er lig med 5, og kvadratroden af nævneren er lig med 13. Derefter 
. Dette afslutter udtrækningen af roden af den almindelige fraktion 25/169.
Svar:
Roden af en decimalbrøk eller et blandet tal udvindes efter at have erstattet radikaltallene med almindelige brøker.
Eksempel.
Tag terningroden af decimalbrøken 474.552.
Løsning.
Lad os forestille os den oprindelige decimalbrøk som en almindelig brøk: 474.552=474552/1000. Derefter 
. Det er tilbage at udtrække terningrødderne, der er i tælleren og nævneren af den resulterende fraktion. Fordi 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 og 1 000 = 10 3, derefter 
Og 
. Tilbage er blot at færdiggøre beregningerne 
.
Svar:
.
At tage roden af et negativt tal
Det er umagen værd at dvæle ved at udtrække rødder fra negative tal. Når vi studerede rødder, sagde vi, at når rodeksponenten er et ulige tal, så kan der være et negativt tal under rodtegnet. Vi gav disse indtastninger følgende betydning: for et negativt tal −a og en ulige eksponent for roden 2 n−1, 
. Denne lighed giver regel for at udtrække ulige rødder fra negative tal: for at udtrække roden af et negativt tal, skal du tage roden af det modsatte positive tal og sætte et minustegn foran resultatet.
Lad os se på eksempelløsningen.
Eksempel.
Find værdien af roden.
Løsning.
Lad os transformere det oprindelige udtryk, så der er et positivt tal under rodtegnet: 
. Erstat nu det blandede tal med en almindelig brøk: 
. Vi anvender reglen for at udtrække roden af en almindelig brøk: 
. Det er tilbage at beregne rødderne i tælleren og nævneren af den resulterende brøk: 
.
Her er en kort oversigt over løsningen: 
.
Svar:
.
Bitvis bestemmelse af rodværdien
I det generelle tilfælde er der under roden et tal, som ved hjælp af de ovenfor beskrevne teknikker ikke kan repræsenteres som den n'te potens af noget tal. Men i dette tilfælde er der behov for at kende betydningen af en given rod, i det mindste op til et bestemt tegn. I dette tilfælde, for at udtrække roden, kan du bruge en algoritme, der giver dig mulighed for sekventielt at opnå et tilstrækkeligt antal cifferværdier af det ønskede tal.
Det første trin i denne algoritme er at finde ud af, hvad den mest signifikante bit af rodværdien er. For at gøre dette hæves tallene 0, 10, 100, ... sekventielt til potensen n, indtil det øjeblik, hvor et tal overstiger det radikale tal, opnås. Så vil tallet, som vi hævede til potensen n i det foregående trin, indikere det tilsvarende mest signifikante ciffer.
Overvej for eksempel dette trin i algoritmen, når du udtrækker kvadratroden af fem. Tag tallene 0, 10, 100, ... og kvadrat dem, indtil vi får et tal større end 5. Vi har 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, hvilket betyder, at det mest signifikante ciffer vil være et-cifferet. Værdien af denne bit, såvel som de lavere, vil blive fundet i de næste trin af rodekstraktionsalgoritmen.
Alle efterfølgende trin i algoritmen er rettet mod sekventielt at afklare værdien af roden ved at finde værdierne af de næste bits af den ønskede værdi af roden, begyndende med den højeste og flytte til de laveste. For eksempel viser værdien af roden ved det første trin at være 2, ved det andet – 2,2, ved det tredje – 2,23, og så videre 2,236067977…. Lad os beskrive, hvordan værdierne af cifrene findes.
Cifrene findes ved at søge gennem deres mulige værdier 0, 1, 2, ..., 9. I dette tilfælde beregnes de n-te potenser af de tilsvarende tal parallelt, og de sammenlignes med det radikale tal. Hvis værdien af graden på et tidspunkt overstiger det radikale tal, betragtes værdien af cifferet, der svarer til den foregående værdi, som fundet, og overgangen til næste trin i rodekstraktionsalgoritmen foretages; hvis dette ikke sker, så er værdien af dette ciffer 9.
Lad os forklare disse punkter ved at bruge det samme eksempel på at udtrække kvadratroden af fem.
Først finder vi værdien af enhedscifferet. Vi gennemgår værdierne 0, 1, 2, ..., 9, og beregner henholdsvis 0 2, 1 2, ..., 9 2, indtil vi får en værdi større end radikaltallet 5. Det er praktisk at præsentere alle disse beregninger i form af en tabel: 
Så værdien af enhedscifferet er 2 (da 2 2<5
, а 2 3 >5). Lad os gå videre til at finde værdien af tiendedelens plads. I dette tilfælde vil vi kvadrere tallene 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, og sammenligne de resulterende værdier med det radikale nummer 5: 
Siden 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, så er værdien af tiendedelspladsen 2. Du kan fortsætte med at finde værdien af hundrededelepladsen: 
Sådan blev den næste værdi af roden af fem fundet, den er lig med 2,23. Og så kan du fortsætte med at finde værdier: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
For at konsolidere materialet vil vi analysere udvindingen af roden med en nøjagtighed på hundrededele ved hjælp af den betragtede algoritme.
Først bestemmer vi det mest signifikante ciffer. For at gøre dette kuber vi tallene 0, 10, 100 osv. indtil vi får et tal større end 2.151.186. Vi har 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , så det mest signifikante ciffer er tiere-cifferet.
Lad os bestemme dens værdi. 
Siden 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, så er værdien af tierpladsen 1. Lad os gå videre til enheder. 
Værdien af et-cifferet er således 2. Lad os gå videre til tiendedele. 
Da selv 12,9 3 er mindre end det radikale tal 2 151,186, så er værdien af tiendedelene 9. Det er tilbage at udføre det sidste trin i algoritmen; det vil give os værdien af roden med den nødvendige nøjagtighed. 
På dette trin findes værdien af roden nøjagtig til hundrededele: 
.
Som afslutning på denne artikel vil jeg gerne sige, at der er mange andre måder at udvinde rødder på. Men til de fleste opgaver er dem, vi studerede ovenfor, tilstrækkelige.
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebog for 8. klasse. uddannelsesinstitutioner.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begyndelsen af analyse: Lærebog for klasse 10 - 11 af almene uddannelsesinstitutioner.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler).
Jeg kiggede igen på skiltet... Og lad os gå!
Lad os starte med noget simpelt:
Et øjeblik. dette, hvilket betyder, at vi kan skrive det sådan her:
Forstået? Her er den næste til dig:
Er rødderne af de resulterende tal ikke nøjagtigt ekstraheret? Intet problem - her er nogle eksempler:
Hvad hvis der ikke er to, men flere multiplikatorer? Det samme! Formlen til at multiplicere rødder fungerer med et vilkårligt antal faktorer:
Nu helt på egen hånd:
Svar: Godt klaret! Enig, alt er meget nemt, det vigtigste er at kende multiplikationstabellen!
Roddeling
Vi har sorteret multiplikationen af rødder, lad os nu gå videre til egenskaben division.
Lad mig minde dig om, at den generelle formel ser sådan ud:
Hvilket betyder at roden af kvotienten er lig med kvotienten af rødderne.
Nå, lad os se på nogle eksempler:
Det er alt, hvad videnskab er. Her er et eksempel:
Alt er ikke så glat som i det første eksempel, men som du kan se, er der ikke noget kompliceret.
Hvad hvis du støder på dette udtryk:
Du skal blot anvende formlen i den modsatte retning:
Og her er et eksempel:
Du kan også støde på dette udtryk:
Alt er det samme, kun her skal du huske, hvordan du oversætter brøker (hvis du ikke kan huske det, se på emnet og kom tilbage!). Kan du huske? Lad os nu bestemme!
Jeg er sikker på, at du har klaret alt, lad os nu prøve at hæve rødderne til grader.
Eksponentiering
Hvad sker der, hvis kvadratroden er kvadratisk? Det er enkelt, husk betydningen af kvadratroden af et tal – dette er et tal, hvis kvadratrod er lig med.
Så hvis vi kvadrerer et tal, hvis kvadratrod er lig, hvad får vi så?
Jamen selvfølgelig, !
Lad os se på eksempler:
Det er simpelt, ikke? Hvad hvis roden er i en anden grad? Det er ok!
Følg samme logik og husk egenskaberne og mulige handlinger med grader.
Læs teorien om emnet "", og alt vil blive ekstremt klart for dig.
For eksempel er her et udtryk:
I dette eksempel er graden lige, men hvad nu hvis den er ulige? Anvend igen eksponenternes egenskaber og faktor alt:
Alt virker klart med dette, men hvordan udtrækkes roden af et tal til en potens? Her er for eksempel dette:
Ret simpelt, ikke? Hvad hvis graden er større end to? Vi følger den samme logik ved at bruge egenskaberne for grader:
Nå, er alt klart? Løs så selv eksemplerne:
Og her er svarene:
Går ind under rodens tegn
Hvad har vi ikke lært at gøre med rødder! Tilbage er kun at øve sig i at indtaste tallet under rodtegnet!
Det er virkelig nemt!
Lad os sige, at vi har et tal skrevet ned
Hvad kan vi gøre med det? Nå, selvfølgelig, skjul de tre under roden, husk at de tre er kvadratroden af!
Hvorfor har vi brug for dette? Ja, bare for at udvide vores muligheder, når vi løser eksempler:
Hvordan kan du lide denne egenskab ved rødder? Gør det livet meget nemmere? For mig er det helt rigtigt! Kun Vi skal huske, at vi kun kan indtaste positive tal under kvadratrodstegnet.
Løs dette eksempel selv -
Klarede du dig? Lad os se, hvad du skal få:
Godt klaret! Det lykkedes dig at indtaste nummeret under rodtegnet! Lad os gå videre til noget lige så vigtigt - lad os se på, hvordan man sammenligner tal, der indeholder en kvadratrod!
Sammenligning af rødder
Hvorfor skal vi lære at sammenligne tal, der indeholder en kvadratrod?
Meget simpelt. Ofte, i store og lange udtryk, vi støder på i eksamen, modtager vi et irrationelt svar (kan du huske, hvad det er? Vi har allerede talt om dette i dag!)
Vi skal for eksempel placere de modtagne svar på koordinatlinjen for at bestemme, hvilket interval der er egnet til at løse ligningen. Og her opstår problemet: Der er ingen lommeregner i eksamen, og uden den, hvordan kan du forestille dig, hvilket tal der er større og hvilket der er mindre? Det er det!
Bestem for eksempel, hvad der er størst: eller?
Du kan ikke fortælle det med det samme. Nå, lad os bruge den adskilte egenskab ved at indtaste et tal under rodtegnet?
Så gå videre:
Nå, selvfølgelig, jo større tal under rodtegnet, jo større er selve roden!
De der. hvis så, .
Heraf konkluderer vi bestemt. Og ingen vil overbevise os om andet!
Udvinding af rødder fra store antal
Før dette indtastede vi en multiplikator under rodens tegn, men hvordan fjerner man den? Du skal bare indregne det i faktorer og udtrække det, du udvinder!
Det var muligt at gå en anden vej og udvide til andre faktorer:
Ikke dårligt, vel? Enhver af disse tilgange er korrekte, beslut som du ønsker.
Factoring er meget nyttigt, når man løser sådanne ikke-standardproblemer som dette:
Lad os ikke være bange, men handle! Lad os opdele hver faktor under roden i separate faktorer:
Prøv det nu selv (uden lommeregner! Det vil ikke være med på eksamen):
Er dette slutningen? Lad os ikke stoppe halvvejs!
Det er alt, det er ikke så skræmmende, vel?
sket? Godt gået, det er rigtigt!
Prøv nu dette eksempel:
Men eksemplet er en svær nød at knække, så du kan ikke umiddelbart finde ud af, hvordan du skal gribe det an. Men selvfølgelig kan vi klare det.
Nå, lad os begynde at factoring? Lad os straks bemærke, at du kan dividere et tal med (husk delelighedstegnene):
Prøv det nu selv (igen, uden en lommeregner!):
Nå, virkede det? Godt gået, det er rigtigt!
Lad os opsummere det
- Kvadratroden (aritmetisk kvadratrod) af et ikke-negativt tal er et ikke-negativt tal, hvis kvadrat er lig med.
. - Hvis vi blot tager kvadratroden af noget, får vi altid ét ikke-negativt resultat.
- Egenskaber for en aritmetisk rod:
- Når man sammenligner kvadratrødder, er det nødvendigt at huske, at jo større tal under rodtegnet er, jo større er selve roden.
Hvordan er kvadratroden? Fri bane?
Vi forsøgte uden besvær at forklare dig alt, hvad du skal vide i eksamen om kvadratroden.
Det er din tur. Skriv til os, om dette emne er svært for dig eller ej.
Lærte du noget nyt, eller var alt allerede klart?
Skriv i kommentarerne og held og lykke med dine eksamener!
Gradsformler bruges i processen med at reducere og forenkle komplekse udtryk, ved løsning af ligninger og uligheder.
Nummer c er n-te potens af et tal -en Hvornår:
Operationer med grader.
1. Ved at gange grader med den samme base tilføjes deres indikatorer:
en m·a n = a m + n.
2. Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra:
3. Produktets potens af 2 eller flere tal multiplikatorer er lig med produktet af styrkerne af disse faktorer:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Grad brøker er lig med forholdet mellem styrkerne af udbyttet og divisoren:
(a/b) n = a n/b n .
5. Når en potens hæves til en potens, ganges eksponenterne:
(a m) n = a m n .
Hver formel ovenfor er sand i retningerne fra venstre mod højre og omvendt.
For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operationer med rødder.
1. Roden af produktet af flere faktorer er lig med arbejde rødderne til disse faktorer:
2. Roden af et forhold er lig med forholdet mellem udbyttet og divisor af rødderne:
3. Når du hæver en rod til en magt, er det nok at hæve det radikale tal til denne magt:
4. Hvis du øger graden af roden ind nén gang og samtidig bygge ind n potens er et radikalt tal, så ændres værdien af roden ikke:
5. Hvis du reducerer graden af roden ind n udtræk roden på samme tid n-potens af et radikalt tal, så ændres værdien af roden ikke:
En grad med negativ eksponent. Potensen af et bestemt tal med en ikke-positiv (heltal) eksponent er defineret som én divideret med potensen af det samme tal med en eksponent lig med den absolutte værdi af den ikke-positive eksponent:
Formel en m:a n =a m - n kan bruges ikke kun til m> n, men også med m< n.
For eksempel. -en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Til formel en m:a n =a m - n blev fair når m=n, tilstedeværelsen af nul grader er påkrævet.
En grad med et nulindeks. Potensen af ethvert tal, der ikke er lig med nul med en nuleksponent, er lig med en.
For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grad med en brøkeksponent. At bygge reelle tal EN i den grad m/n, skal du udtrække roden n grad af m-potens af dette tal EN.