Mål: Overvej konceptet med en linje på et fly, giv eksempler. Baseret på definitionen af en linje, introducere begrebet en ligning af en linje på et plan. Overvej typerne af lige linjer, giv eksempler og metoder til at definere en ret linje. Styrk evnen til at oversætte ligningen for en ret linje fra en generel form til en ligning af en ret linje "i segmenter", med en vinkelkoefficient.
- Ligning af en linje på et plan.
- Ligning af en ret linje på et plan. Typer af ligninger.
- Metoder til at specificere en ret linje.
1. Lad x og y være to vilkårlige variable.
Definition: En relation på formen F(x,y)=0 kaldes ligning , hvis det ikke er sandt for nogen par af tal x og y.
Eksempel: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.
Hvis ligheden F(x,y)=0 gælder for enhver x, y, så er F(x,y) = 0 derfor en identitet.
Eksempel: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0
De siger, at tallene x er 0 og y er 0 opfylde ligningen , hvis det, når de indsættes i denne ligning, bliver til en sand lighed.
Det vigtigste begreb for analytisk geometri er begrebet ligningen af en linje.
Definition: Ligningen for en given linje er ligningen F(x,y)=0, som er opfyldt af koordinaterne for alle punkter, der ligger på denne linje, og ikke opfyldt af koordinaterne for nogen af de punkter, der ikke ligger på denne linje.
Linjen defineret af ligningen y = f(x) kaldes grafen for f(x). Variablerne x og y kaldes aktuelle koordinater, fordi de er koordinaterne til et variabelt punkt.
Nogle eksempler linje definitioner.
1) x – y = 0 => x = y. Denne ligning definerer en ret linje:
2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => punkter skal opfylde enten ligningen x - y = 0, eller ligningen x + y = 0, som svarer på planen til et par krydsende rette linjer, der er halveringslinjer for koordinatvinkler:
3) x 2 + y 2 = 0. Denne ligning er kun opfyldt med et punkt O(0,0).
2. Definition: Enhver ret linje på planet kan specificeres ved en førsteordens ligning
Axe + Wu + C = 0,
Desuden er konstanterne A og B ikke lig med nul på samme tid, dvs. A 2 + B 2 ¹ 0. Denne første ordens ligning kaldes generel ligning af en ret linje.
Afhængigt af værdierne af konstanterne A, B og C er følgende specielle tilfælde mulige:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – den rette linje går gennem origo
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - ret linje parallel med Ox-aksen
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – ret linje parallel med Oy-aksen
B = C = 0, A ¹ 0 – den rette linje falder sammen med Oy-aksen
A = C = 0, B ¹ 0 – den rette linje falder sammen med Ox-aksen
Ligningen for en ret linje kan præsenteres i forskellige former afhængigt af givne begyndelsesbetingelser.
Ligning for en ret linje med en vinkelkoefficient.
Hvis den generelle ligning for den rette linje Ax + By + C = 0 reduceres til formen:
og betegne , så kaldes den resulterende ligning ligning af en ret linje med hældning k.
Ligning af en ret linje i segmenter.
Hvis i den generelle ligning for den rette linje Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, så får vi, divideret med –С: eller , hvor
Den geometriske betydning af koefficienterne er, at koefficienten EN er koordinaten for skæringspunktet for linjen med Ox-aksen, og b– koordinaten for skæringspunktet mellem den rette linje og Oy-aksen.
Normal ligning af en linje.
Hvis begge sider af ligningen Ax + By + C = 0 divideres med et tal kaldet normaliserende faktor, så får vi
xcosj + ysinj - p = 0 - normalligning af en ret linje.
Tegnet ± for den normaliserende faktor skal vælges således, at m×С< 0.
p er længden af vinkelret faldet fra origo til den rette linje, og j er vinklen dannet af denne vinkelret med den positive retning af Ox-aksen.
3. Ligning af en ret linje ved hjælp af et punkt og hældning.
Lad linjens vinkelkoefficient være lig med k, linjen går gennem punktet M(x 0, y 0). Så er ligningen for den rette linje fundet ved formlen: y – y 0 = k(x – x 0)
Ligning for en linje, der går gennem to punkter.
Lad to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) være givet i rummet, så er ligningen for linjen, der går gennem disse punkter:
Hvis nogen af nævnerne er nul, skal den tilsvarende tæller sættes lig med nul.
På planet er ligningen for den lige linje skrevet ovenfor forenklet:
hvis x 1 ¹ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.
Brøken = k kaldes hældning lige.
En linje på en plan kan defineres ved hjælp af to ligninger
Hvor x Og y - koordinater for et vilkårligt punkt M(x; på), liggende på denne linje, og t- en variabel kaldet parameter.
Parameter t bestemmer punktets position ( x; på) på overfladen.
Så hvis
derefter parameterværdien t= 2 svarer til punkt (4; 1) på planet, fordi x = 2 + 2 = 4, y= 2 2 – 3 = 1.
Hvis parameteren tændres, så bevæger punktet på flyet sig og beskriver denne linje. Denne metode til at definere en kurve kaldes parametrisk, og ligninger (1) - parametriske linjeligninger.
Lad os overveje eksempler på velkendte kurver specificeret i parametrisk form.
1) Astroid:
Hvor EN> 0 – konstant værdi.
På EN= 2 har formen:
Fig.4. Astroid
2) Cycloid: 
Hvor EN> 0 – konstant.
På EN= 2 har formen:
Fig.5. Cycloid
Vektor linje ligning
En linje på et plan kan angives vektorligning
Hvor t– skalar variabel parameter.
Hver parameterværdi t 0 svarer til en bestemt planvektor. Ved ændring af en parameter t enden af vektoren vil beskrive en bestemt linje (fig. 6).
Vektorligning for en linje i et koordinatsystem Åh
svarer til to skalarligninger (4), dvs. projektionsligninger
på koordinataksen for vektorligningen for en linje er der dens parametriske ligninger.
 |
Fig.6. Vektor linje ligning
Vektorligningen og de parametriske linjeligninger har en mekanisk betydning. Hvis et punkt bevæger sig på et plan, kaldes de angivne ligninger bevægelsesligninger, linje – bane point, parameter t- tid.
En lighed på formen F(x, y) = 0 kaldes en ligning med to variable x, y, hvis den ikke er sand for alle par af tal x, y. De siger, at to tal x = x 0, y = y 0 opfylder en ligning af formen F(x, y) = 0, hvis dens venstre side bliver nul, når disse tal erstattes med variablerne x og y i ligningen. .
Ligningen for en given linje (i et udpeget koordinatsystem) er en ligning med to variable, der er opfyldt af koordinaterne for hvert punkt, der ligger på denne linje, og ikke opfyldt af koordinaterne for hvert punkt, der ikke ligger på den.
I det følgende vil vi i stedet for udtrykket "givet ligningen for linjen F(x, y) = 0", ofte sige mere kort: givet linjen F(x, y) = 0.
Hvis ligningerne for to linjer er givet: F(x, y) = 0 og Ф(x, y) = 0, så er systemets fælles løsning
F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0
giver alle deres skæringspunkter. Mere præcist bestemmer hvert par tal, der er en fælles løsning af dette system, et af skæringspunkterne,
157. Givet point *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Bestem hvilke af de givne punkter, der ligger på linjen defineret af ligningen x + y = 0, og hvilke der ikke ligger på den. Hvilken linje er defineret af denne ligning? (Tegn det på tegningen.)
158. På linjen defineret af ligningen x 2 + y 2 = 25, find punkter, hvis abscisser er lig med følgende tal: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; på samme linje find punkter, hvis ordinater er lig med følgende tal: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Hvilken linje er defineret af denne ligning? (Tegn det på tegningen.)
159. Bestem hvilke linjer der er bestemt af følgende ligninger (konstruer dem på tegningen): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x-2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y2 = 0; 11) x 2 - y2 = 0; 12) xy = 0; 13) y2-9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y2+ by + 4 = 0; 16) x 2y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y2 = 16; 24) (x - 2) 2+ (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y2 = 0; 29) x 2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Angivne linjer: l)x + y = 0; 2) x - y = 0; 3) x 2 + y2 - 36 = 0; 4) x 2 + y2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Bestem, hvilke af dem der går gennem origo.
161. Angivne linjer: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2+ (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2+ (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2+ (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Find deres skæringspunkter: a) med Ox-aksen; b) med Oy-aksen.
162. Find skæringspunkterne for to linjer:
1) x 2 + y2-8; x-y=0;
2) x 2 + y2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y2 - 2x + 4y - 3 = 0; x2 + y2 = 25;
4) x 2 + y2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. I det polære koordinatsystem er punkterne M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) og M 5 (1; 2/3π). Bestem hvilke af disse punkter der ligger på linjen defineret i polære koordinater af ligningen p = 2cosΘ, og hvilke der ikke ligger på den. Hvilken linje bestemmes af denne ligning? (Tegn det på tegningen.)
164. På linjen defineret af ligningen p = 3/cosΘ, find punkter, hvis polære vinkler er lig med følgende tal: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Hvilken linje er defineret af denne ligning? (Byg det på tegningen.)
165. På linjen defineret af ligningen p = 1/sinΘ, find punkter, hvis polære radier er lig med følgende tal: a) 1 6) 2, c) √2. Hvilken linje er defineret af denne ligning? (Byg det på tegningen.)
166. Bestem hvilke linjer der er bestemt i polære koordinater ved følgende ligninger (konstruer dem på tegningen): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Konstruer følgende Arkimedes-spiraler på tegningen: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.
168. Konstruer følgende hyperbolske spiraler på tegningen: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. Konstruer følgende logaritmiske spiraler på tegningen: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.
170. Bestem længderne af segmenterne, hvori Archimedes-spiralen p = 3Θ skæres af en stråle, der kommer ud fra polen og hælder til polaksen i en vinkel Θ = π/6. Lav en tegning.
171. På Archimedes-spiralen p = 5/πΘ tages punkt C, hvis polarradius er 47. Bestem hvor mange dele denne spiral skærer den polære radius af punkt C. Lav en tegning.
172. På en hyperbolsk spiral P = 6/Θ, find et punkt P, hvis polære radius er 12. Lav en tegning.
173. På en logaritmisk spiral p = 3 Θ, find et punkt P, hvis polære radius er 81. Lav en tegning.
Lige linje på et fly og i rummet.
Studiet af geometriske figurers egenskaber ved hjælp af algebra kaldes analytisk geometri , og vi vil bruge den såkaldte koordinere metode .
En linje på et plan er normalt defineret som et sæt punkter, der har egenskaber, der er unikke for dem. Det faktum, at x- og y-koordinaterne (tallene) for et punkt, der ligger på denne linje, er skrevet analytisk i form af en ligning.
Def.1 Ligning af en linje (ligning af en kurve) på Oxy-planet kaldes en ligning (*), som er opfyldt af x- og y-koordinaterne for hvert punkt på en given linje og ikke er opfyldt af koordinaterne for noget andet punkt, der ikke ligger på denne linje.
Af definition 1 følger det, at hver linje på planet svarer til en ligning mellem de aktuelle koordinater ( x,y ) punkter på denne linje og omvendt, svarer hver ligning generelt til en bestemt linje.
Dette giver anledning til to hovedproblemer med analytisk geometri på planet.
1. En linje er givet i form af et sæt punkter. Vi skal lave en ligning for denne linje.
2. Linjens ligning er givet. Det er nødvendigt at studere dets geometriske egenskaber (form og placering).
Eksempel. Lyver pointerne EN(-2;1) Og I (1;1) på linje 2 x +på +3=0?
Problemet med at finde skæringspunkterne for to linjer givet af ligningerne og kommer ned til at finde koordinater, der opfylder ligningen for begge linjer, dvs. at løse et system af to ligninger med to ubekendte.
Hvis dette system ikke har nogen reelle løsninger, så skærer linjerne ikke hinanden.
Begrebet en linje introduceres i UCS på lignende måde.
En linje på en plan kan defineres ved to ligninger
Hvor x Og på – vilkårlige punktkoordinater M(x;y), liggende på denne linje, og t - en variabel kaldet parameter , bestemmer parameteren punktets position på planet.
For eksempel, hvis , så svarer værdien af parameteren t=2 til punktet (3;4) på planet.
Hvis parameteren ændres, flytter punktet på planet sig og beskriver denne linje. Denne metode til at definere en linje kaldes parametrisk, og ligning (5.1) er en parametrisk ligning for linjen.
For at gå fra parametriske ligninger til en generel ligning (*), skal man på en eller anden måde eliminere parameteren fra de to ligninger. Vi bemærker dog, at en sådan overgang ikke altid er tilrådelig og ikke altid mulig.
En linje på et plan kan angives vektorligning , hvor t er en skalar variabel parameter. Hver parameterværdi svarer til en bestemt planvektor. Når parameteren ændres, vil slutningen af vektoren beskrive en bestemt linje.
Vektorligning i DSC svarer to skalarligninger
(5.1), dvs. ligningen for projektioner på koordinatakserne for vektorligningen for en linje er dens
parametrisk ligning.
Vektorligningen og de parametriske linjeligninger har en mekanisk betydning. Hvis et punkt bevæger sig på et plan, kaldes de angivne ligninger bevægelsesligninger , og linjen er punktets bane, parameteren t er tid.
Konklusion: hver linje på planet svarer til en ligning af formen.
I det generelle tilfælde svarer ENHVER LIGNING AF EN VISNING til en bestemt linje, hvis egenskaber er bestemt af den givne ligning (med den undtagelse, at intet geometrisk billede svarer til en ligning på et plan).
Lad et koordinatsystem på flyet vælges.
Def. 5.1. Linjeligning kaldes denne form for ligningF(x;y) =0, som er opfyldt af koordinaterne for hvert punkt, der ligger på denne linje, og ikke opfyldt af koordinaterne for ethvert punkt, der ikke ligger på den.
Formens ligningF(x;y )=0 – kaldet den generelle ligning for en linje eller en ligning i implicit form.
Linjen Г er således stedet for punkter, der opfylder denne ligning Г=((x, y): F(x;y)=0).
Linjen kaldes også skæv.
Ligestilling af formen F (x, y) = 0 kaldes en ligning i to variable x, y, hvis det ikke er sandt for alle talpar x, y. De siger to tal x = x 0 , y=y 0, opfylde en eller anden formsligning F(x, y)=0, hvis, når du erstatter disse tal i stedet for variabler x Og på i ligningen forsvinder dens venstre side.
Ligningen for en given linje (i et udpeget koordinatsystem) er en ligning med to variable, der er opfyldt af koordinaterne for hvert punkt, der ligger på denne linje, og ikke opfyldt af koordinaterne for hvert punkt, der ikke ligger på den.
I det følgende er i stedet for udtrykket "liniens ligning givet F(x, y) = 0" vil vi ofte sige kort: givet en linje F (x, y) = 0.
Hvis ligningerne for to linjer er givet F(x, y) = 0 Og Ф(x, y) = Q, derefter den fælles løsning af systemet
giver alle deres skæringspunkter. Mere præcist bestemmer hvert par tal, der er en fælles løsning af dette system, et af skæringspunkterne.
*) I tilfælde hvor koordinatsystemet ikke er navngivet, antages det at det er kartesisk rektangulært.
157. Der gives point *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Bestem, hvilke offentliggjorte punkter der ligger på linjen defineret af ligningen x+ y = 0, og hvilke der ikke ligger på den. Hvilken linje er defineret af denne ligning? (Tegn det på tegningen.)
158. På linjen defineret af ligningen x 2 +y 2 =25, find de punkter, hvis abscisser er lig med følgende tal: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; på samme linje find punkter, hvis ordinater er lig med følgende tal: e) 3, f) - 5, g) - 8. Hvilken linje bestemmes af denne ligning? (Tegn det på tegningen.)
159. Bestem hvilke linjer der er bestemt af følgende ligninger (konstruer dem på tegningen):
1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;
5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;
9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; elleve) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;
13) y2-9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2+5y+4 = 0;
16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|på|; 19)y + |x|=0;
20) x +|på|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) x 2 + på 2 = 16;
24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;
26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;
29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0
31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.
160.Givne linjer:
1)x+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;
4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.
Bestem, hvilke af dem der passerer gennem oprindelsen.
161. Angivne linjer:
1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;
3) (x+ 6) 2+ (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2+ (y - 4) 2 = 9;
5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8på+ 7 = 0;
7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.
Find deres skæringspunkter: a) med aksen Åh; b) med en akse OU.
162.Find skæringspunkterne for to linjer;
1)x 2 +y 2 = 8, x-y = 0;
2) x 2 +y 2 -16x+4på+18 = 0, x + y= 0;
3) x 2 +y 2 -2x+4på -3 = 0, x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, x 2 + y 2 = 4.
163. Punkter er givet i det polære koordinatsystem
M 1
(1;
),
M 2
(2;
0), M 3
(2;
)
M 4
(
;
) Og M 5
(1;
)
Bestem hvilke af disse punkter der ligger på linjen defineret af ligningen i polære koordinater = 2 cos , og hvilke der ikke ligger på den. Hvilken linje bestemmes af denne ligning? (Tegn det på tegningen:)
164. På linjen defineret af ligningen = 
,
find punkter, hvis polære vinkler er lig med følgende tal: a) 
,b) - 
, c) 0, d)
. Hvilken linje er defineret af denne ligning?
(Byg det på tegningen.)
165.På linjen defineret af ligningen = 
, find punkter, hvis polære radier er lig med følgende tal: a) 1, b) 2, c) 
.
Hvilken linje er defineret af denne ligning? (Byg det på tegningen.)
166. Bestem hvilke linjer der er bestemt i polære koordinater ved følgende ligninger (konstruer dem på tegningen):
1) = 5; 2) = 
; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 sin ; 8) synd = 9) synd =
167. Konstruer følgende Archimedes-spiraler på tegningen:
1) = 5, 2) = 5; 3) = 
; 4)р = -1.
168. Konstruer følgende hyperbolske spiraler på tegningen:
1) = ; 2) = ; 3) = 
; 4) = - 
.
169. Konstruer følgende logaritmiske spiraler på tegningen:
,
.
170. Bestem længderne af de segmenter, som Archimedes-spiralen skærer sig ind i 
stråle, der kommer ud fra polen og hælder til polaraksen i en vinkel 
. Lav en tegning.
171. Om Arkimedes-spiralen 
punkt taget MED, hvis polære radius er 47. Bestem, hvor mange dele denne spiral skærer punktets polære radius MED, Lav en tegning.
172. På en hyperbolsk spiral 
finde et punkt R, hvis polarradius er 12. Lav en tegning.
173. På en logaritmisk spiral 
find punkt Q, hvis polarradius er 81. Lav en tegning.