Den første bemærkelsesværdige grænse er følgende lighed:
\begin(ligning)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning)
Da vi for $\alpha\to(0)$ har $\sin\alpha\to(0)$, siger de, at den første bemærkelsesværdige grænse afslører en usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Generelt kan man i formel (1) i stedet for variablen $\alpha$ placere ethvert udtryk under sinustegnet og i nævneren, så længe to betingelser er opfyldt:
- Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren tenderer samtidigt til nul, dvs. der er usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$.
- Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren er de samme.
Følger fra den første bemærkelsesværdige grænse bruges også ofte:
\begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning) \begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning) \begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning)
Elleve eksempler er løst på denne side. Eksempel nr. 1 er afsat til beviset for formlerne (2)-(4). Eksempel nr. 2, nr. 3, nr. 4 og nr. 5 indeholder løsninger med uddybende kommentarer. Eksempler nr. 6-10 indeholder løsninger med stort set ingen kommentarer, fordi der er givet detaljerede forklaringer i tidligere eksempler. Løsningen bruger nogle trigonometriske formler, der kan findes.
Lad mig bemærke, at tilstedeværelsen af trigonometriske funktioner kombineret med usikkerheden $\frac (0) (0)$ ikke nødvendigvis betyder anvendelsen af den første bemærkelsesværdige grænse. Nogle gange er simple trigonometriske transformationer tilstrækkelige - se f.eks.
Eksempel nr. 1
Bevis at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Siden $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, så:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ og $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, At:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Lad os foretage ændringen $\alpha=\sin(y)$. Siden $\sin(0)=0$, så har vi fra betingelsen $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. Derudover er der et kvarter på nul, hvor $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, så:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Ligheden $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ er blevet bevist.
c) Lad os erstatte $\alpha=\tg(y)$. Da $\tg(0)=0$, så er betingelserne $\alpha\to(0)$ og $y\to(0)$ ækvivalente. Derudover er der et kvarter på nul, hvor $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, derfor vil vi, baseret på resultaterne af punkt a), have:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Ligheden $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ er blevet bevist.
Ligheder a), b), c) bruges ofte sammen med den første bemærkelsesværdige grænse.
Eksempel nr. 2
Beregn grænsen $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Siden $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ og $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, dvs. og både brøkens tæller og nævner har en tendens til nul samtidigt, så har vi her at gøre med en usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$, dvs. Færdig. Derudover er det klart, at udtrykkene under sinustegnet og i nævneren falder sammen (dvs. og er opfyldt):
Så begge betingelser anført i begyndelsen af siden er opfyldt. Det følger heraf, at formlen er anvendelig, dvs. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\højre))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.
Svar: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Eksempel nr. 3
Find $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ og $\lim_(x\to(0))x=0$, så har vi at gøre med en usikkerhed af formen $\frac (0 )(0)$, dvs. Færdig. Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren er dog ikke sammenfaldende. Her skal du justere udtrykket i nævneren til den ønskede form. Vi skal bruge udtrykket $9x$ til at være i nævneren, så bliver det sandt. I bund og grund mangler vi en faktor på $9$ i nævneren, hvilket ikke er så svært at indtaste – multiplicer blot udtrykket i nævneren med $9$. For at kompensere for multiplikation med $9$, skal du naturligvis straks dividere med $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Nu falder udtrykkene i nævneren og under sinustegnet sammen. Begge betingelser for grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ er opfyldt. Derfor er $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Og det betyder at:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Eksempel nr. 4
Find $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ og $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, har vi her at gøre med formusikkerheden $\frac(0)(0)$. Formen for den første bemærkelsesværdige grænse er dog overtrådt. En tæller, der indeholder $\sin(5x)$, kræver en nævner på $5x$. I denne situation er den nemmeste måde at dividere tælleren med $5x$ og straks gange med $5x$. Derudover vil vi udføre en lignende operation med nævneren, gange og dividere $\tg(8x)$ med $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Reducerer vi med $x$ og tager konstanten $\frac(5)(8)$ uden for grænsetegnet, får vi:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Bemærk, at $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ fuldt ud opfylder kravene til den første bemærkelsesværdige grænse. For at finde $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ er følgende formel anvendelig:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Eksempel nr. 5
Find $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Siden $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (husk at $\cos(0)=1$) og $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, så har vi at gøre med usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Men for at anvende den første bemærkelsesværdige grænse, bør du slippe af med cosinus i tælleren, gå videre til sinus (for derefter at anvende formlen) eller tangenter (for derefter at anvende formlen). Dette kan gøres med følgende transformation:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Lad os gå tilbage til grænsen:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\venstre(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
Brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ er allerede tæt på den form, der kræves for den første bemærkelsesværdige grænse. Lad os arbejde lidt med brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, justere den til den første bemærkelsesværdige grænse (bemærk, at udtrykkene i tælleren og under sinus skal matche):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\venstre(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Lad os vende tilbage til den pågældende grænse:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Eksempel nr. 6
Find grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Siden $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ og $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, så vi har at gøre med usikkerhed $\frac(0)(0)$. Lad os afsløre det ved hjælp af den første bemærkelsesværdige grænse. For at gøre dette, lad os gå fra cosinus til sinus. Siden $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, så:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Går vi til sinus i den givne grænse, vil vi have:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\venstre(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\højre)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Eksempel nr. 7
Beregn grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ underlagt $\alpha\neq \ beta$.
Detaljerede forklaringer blev givet tidligere, men her bemærker vi blot, at der igen er usikkerhed $\frac(0)(0)$. Lad os gå fra cosinus til sinus ved hjælp af formlen
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Ved hjælp af denne formel får vi:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\venstre|\frac(0)( 0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\venstre(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\venstre(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Eksempel nr. 8
Find grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Siden $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (husk at $\sin(0)=\tg(0)=0$) og $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, så har vi her at gøre med usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Lad os opdele det som følger:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\venstre(\frac(1)(\cos(x))-1\højre))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\cdot\venstre(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Eksempel nr. 9
Find grænsen $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Siden $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ og $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, så er der usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Før du fortsætter til dens udvidelse, er det praktisk at foretage en ændring af variabel på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (bemærk, at i formlerne er variablen $\alpha \to 0$). Den nemmeste måde er at introducere variablen $t=x-3$. Men af hensyn til bekvemmeligheden ved yderligere transformationer (denne fordel kan ses i løbet af løsningen nedenfor), er det værd at foretage følgende udskiftning: $t=\frac(x-3)(2)$. Jeg bemærker, at begge udskiftninger er gældende i dette tilfælde, det er bare, at den anden udskiftning giver dig mulighed for at arbejde mindre med fraktioner. Siden $x\to(3)$, derefter $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\venstre|\frac (0)(0)\højre| =\venstre|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ til(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\venstre(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Svar: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Eksempel nr. 10
Find grænsen $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Endnu en gang har vi at gøre med usikkerhed $\frac(0)(0)$. Før du fortsætter til dens udvidelse, er det praktisk at foretage en ændring af variabel på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (bemærk, at i formlerne er variablen $\alpha\to(0)$). Den nemmeste måde er at introducere variablen $t=\frac(\pi)(2)-x$. Siden $x\to\frac(\pi)(2)$, derefter $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\venstre|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\venstre(\frac(\pi)(2)-t\højre))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\venstre(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$
Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Eksempel nr. 11
Find grænserne $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
I dette tilfælde behøver vi ikke bruge den første vidunderlige grænse. Bemærk, at både den første og anden grænse kun indeholder trigonometriske funktioner og tal. Ofte er det i eksempler af denne art muligt at forenkle udtrykket placeret under grænsetegnet. Desuden forsvinder usikkerheden efter den førnævnte forenkling og reduktion af nogle faktorer. Jeg gav dette eksempel kun med ét formål: at vise, at tilstedeværelsen af trigonometriske funktioner under grænsetegnet ikke nødvendigvis betyder brugen af den første bemærkelsesværdige grænse.
Siden $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (husk at $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) og $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (lad mig minde dig om, at $\cos\frac(\pi)(2)=0$), så har vi beskæftiger sig med usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Det betyder dog ikke, at vi skal bruge den første vidunderlige grænse. For at afsløre usikkerheden er det nok at tage højde for, at $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Der er en lignende løsning i Demidovichs løsningsbog (nr. 475). Med hensyn til den anden grænse, som i de foregående eksempler i dette afsnit, har vi en usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Hvorfor opstår det? Det opstår fordi $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ og $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Vi bruger disse værdier til at transformere udtrykkene i tælleren og nævneren. Målet med vores handlinger er at skrive summen ned i tæller og nævner som et produkt. I øvrigt er det ofte inden for en lignende type praktisk at ændre en variabel, lavet på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (se f.eks. eksempler nr. 9 eller nr. 10 på denne side). Men i dette eksempel er der ingen mening i at erstatte, selvom det ikke er svært at implementere, hvis det ønskes, at erstatte variablen $t=x-\frac(2\pi)(3)$.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ til\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\venstre(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \venstre(x-\frac(2\pi)(3)\højre))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\højre))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Som du kan se, behøvede vi ikke at anvende den første vidunderlige grænse. Det kan du selvfølgelig gøre, hvis du vil (se note nedenfor), men det er ikke nødvendigt.
Hvad er løsningen med den første bemærkelsesværdige grænse? vis\skjul
Ved at bruge den første bemærkelsesværdige grænse får vi:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\venstre(\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\ højre))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
For dem, der ønsker at lære at finde grænser, vil vi i denne artikel fortælle dig om det. Vi vil ikke dykke ned i teorien; lærere holder den normalt ved forelæsninger. Så den "kedelige teori" bør noteres ned i dine notesbøger. Hvis dette ikke er tilfældet, kan du læse lærebøger hentet fra uddannelsesinstitutionens bibliotek eller fra andre internetressourcer.
Så begrebet grænse er ret vigtigt i studiet af højere matematik, især når du støder på integralregning og forstår sammenhængen mellem grænse og integral. Det aktuelle materiale vil se på simple eksempler samt måder at løse dem på.
Eksempler på løsninger
| Eksempel 1 |
| Beregn a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \til \infty) \frac(1)(x) $ |
| Løsning |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Folk sender os ofte disse grænser med en anmodning om at hjælpe med at løse dem. Vi besluttede at fremhæve dem som et separat eksempel og forklare, at disse grænser som regel bare skal huskes. Hvis du ikke kan løse dit problem, så send det til os. Vi vil levere en detaljeret løsning. Du vil være i stand til at se forløbet af beregningen og få information. Dette vil hjælpe dig med at få din karakter fra din lærer rettidigt! |
| Svar |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
Hvad skal man gøre med usikkerheden i formen: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Eksempel 3 |
| Løs $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Løsning |
|
Som altid starter vi med at erstatte værdien $ x $ i udtrykket under grænsetegnet. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Hvad er det næste nu? Hvad skal der ske i sidste ende? Da dette er usikkerhed, er dette ikke et svar endnu, og vi fortsætter beregningen. Da vi har et polynomium i tællerne, vil vi faktorisere det ved hjælp af den formel, som alle fra skolen kender $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Kan du huske? Store! Gå nu videre og brug den sammen med sangen :) Vi finder, at tælleren $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Vi fortsætter med at løse under hensyntagen til ovenstående transformation: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Svar |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Lad os skubbe grænsen i de sidste to eksempler til det uendelige og overveje usikkerheden: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Eksempel 5 |
| Beregn $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Løsning |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Hvad skal man gøre? Hvad skal jeg gøre? Gå ikke i panik, for det umulige er muligt. Det er nødvendigt at tage x'et ud i både tælleren og nævneren og derefter reducere det. Efter dette, prøv at beregne grænsen. Lad os prøve... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \til \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Ved at bruge definitionen fra eksempel 2 og erstatte x med uendelighed får vi: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Svar |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritme til beregning af grænser
Så lad os kort opsummere eksemplerne og oprette en algoritme til at løse grænserne:
- Erstat punkt x i udtrykket efter grænsetegnet. Hvis et vist tal eller uendelighed opnås, så er grænsen fuldstændig løst. Ellers har vi usikkerhed: "nul divideret med nul" eller "uendeligt divideret med uendeligt" og går videre til de næste trin i instruktionerne.
- For at eliminere usikkerheden ved "nul divideret med nul", skal du faktorisere tælleren og nævneren. Reducer lignende. Sæt punkt x ind i udtrykket under grænsetegnet.
- Hvis usikkerheden er "uendelighed divideret med uendelighed", så tager vi i højeste grad både tælleren og nævneren x ud. Vi forkorter X'erne. Vi erstatter værdierne af x fra under grænsen til det resterende udtryk.
I denne artikel lærte du det grundlæggende i at løse grænser, som ofte bruges i Calculus-kurset. Det er naturligvis ikke alle typer problemer, som eksaminatorer tilbyder, men kun de simpleste grænser. Vi vil tale om andre typer opgaver i fremtidige artikler, men først skal du lære denne lektion for at komme videre. Lad os diskutere, hvad vi skal gøre, hvis der er rødder, grader, studere uendeligt små ækvivalente funktioner, bemærkelsesværdige grænser, L'Hopitals regel.
Hvis du ikke selv kan finde ud af grænserne, så gå ikke i panik. Vi hjælper altid gerne!
Grænser giver alle matematikstuderende en masse problemer. For at løse en grænse skal du nogle gange bruge en masse tricks og vælge fra en række forskellige løsningsmetoder, præcis den der passer til et bestemt eksempel.
I denne artikel vil vi ikke hjælpe dig med at forstå grænserne for dine evner eller forstå grænserne for kontrol, men vi vil forsøge at besvare spørgsmålet: hvordan forstår man grænser i højere matematik? Forståelse følger med erfaring, så vi vil samtidig give flere detaljerede eksempler på løsning af grænser med forklaringer.
Begrebet grænse i matematik
Det første spørgsmål er: hvad er denne grænse og grænsen for hvad? Vi kan tale om grænserne for numeriske sekvenser og funktioner. Vi er interesserede i begrebet grænsen for en funktion, da det er det, eleverne oftest møder. Men først, den mest generelle definition af en grænse:
Lad os sige, at der er en variabel værdi. Hvis denne værdi i forandringsprocessen ubegrænset nærmer sig et vist antal -en , At -en – grænsen for denne værdi.
For en funktion defineret i et bestemt interval f(x)=y sådan et tal kaldes en grænse EN , som funktionen har tendens til hvornår x , tendens til et vist punkt EN . Prik EN hører til det interval, som funktionen er defineret på.
Det lyder besværligt, men det er skrevet meget enkelt:
Lim- fra engelsk begrænse- grænse.
Der er også en geometrisk forklaring på at bestemme grænsen, men her vil vi ikke dykke ned i teorien, da vi er mere interesserede i den praktiske end den teoretiske side af problemstillingen. Når vi siger det x har tendens til en eller anden værdi, betyder det, at variablen ikke antager værdien af et tal, men nærmer sig det uendeligt tæt på.
Lad os give et specifikt eksempel. Opgaven er at finde grænsen.
For at løse dette eksempel erstatter vi værdien x=3 ind i en funktion. Vi får:
Forresten, hvis du er interesseret, så læs en separat artikel om dette emne.
I eksempler x kan have en tendens til enhver værdi. Det kan være et hvilket som helst tal eller uendeligt. Her er et eksempel på hvornår x har en tendens til det uendelige:
Intuitivt, jo større tal i nævneren, jo mindre værdi vil funktionen tage. Altså med ubegrænset vækst x betyder 1/x vil falde og nærme sig nul.
Som du kan se, for at løse grænsen, skal du blot erstatte den værdi, du skal stræbe efter, i funktionen x . Dette er dog det enkleste tilfælde. Ofte er det ikke så indlysende at finde grænsen. Inden for grænserne er der usikkerheder af typen 0/0 eller uendelig/uendelighed . Hvad skal man gøre i sådanne tilfælde? Gå til tricks!
Usikkerheder indeni
Usikkerhed af formen uendelighed/uendelighed
Lad der være en grænse:
Hvis vi forsøger at erstatte uendelighed i funktionen, får vi uendelighed i både tælleren og nævneren. Generelt er det værd at sige, at der er et vist element af kunst i at løse sådanne usikkerheder: du skal lægge mærke til, hvordan du kan transformere funktionen på en sådan måde, at usikkerheden forsvinder. I vores tilfælde dividerer vi tæller og nævner med x i senioruddannelsen. Hvad vil der ske?
Fra eksemplet, der allerede er diskuteret ovenfor, ved vi, at led, der indeholder x i nævneren, vil tendere mod nul. Så er løsningen til grænsen:
For at løse typeusikkerheder uendelig/uendelighed dividere tæller og nævner med x i højeste grad.
I øvrigt! Til vores læsere er der nu 10% rabat på
En anden form for usikkerhed: 0/0
Som altid erstatter værdier i funktionen x=-1 giver 0 i tæller og nævner. Se lidt nærmere, og du vil bemærke, at vi har en andengradsligning i tælleren. Lad os finde rødderne og skrive:
Lad os reducere og få:
Så hvis du står over for typeusikkerhed 0/0 – faktor tæller og nævner.
For at gøre det nemmere for dig at løse eksempler præsenterer vi en tabel med grænserne for nogle funktioner:
L'Hopitals styre indeni
En anden effektiv måde at eliminere begge typer usikkerhed på. Hvad er essensen af metoden?
Hvis der er usikkerhed i grænsen, skal du tage den afledede af tælleren og nævneren, indtil usikkerheden forsvinder.
L'Hopitals regel ser således ud:
Vigtigt punkt : grænsen, inden for hvilken de afledte af tæller og nævner står i stedet for tæller og nævner skal eksistere.
Og nu - et rigtigt eksempel:
Der er typisk usikkerhed 0/0 . Lad os tage de afledte af tælleren og nævneren:
Voila, usikkerhed løses hurtigt og elegant.
Vi håber, at du vil være i stand til at anvende denne information i praksis og finde svaret på spørgsmålet "hvordan man løser grænser i højere matematik." Hvis du har brug for at beregne grænsen for en sekvens eller grænsen for en funktion på et punkt, og der absolut ikke er tid til dette arbejde, så kontakt en professionel studenterservice for en hurtig og detaljeret løsning.
BEGRÆNSE, -A, m.
1. Edge, den sidste del af noget. Dette er den yderste grænse for Perm-provinsen. Mamin-Sibiryak, venner. Det så ud til, at der var og aldrig ville være en grænse for disse skove. Kære, Eva. || trans. Slutningen, slutningen, færdiggørelsen af smth. [Patienten] tænkte ikke på sin nærme afslutning - på grænsen, hvortil han skyndte sig med svimlende fart. Gladkov, Energi. For dem var hun et gammelt menneske, der nærmede sig livets afslutning, som havde den sidste kvindelige andel tilbage - moderpleje. Lavrenev, gammel kvinde. Kun en katastrofe kunne sætte en stopper for Nikitas uenighed med sig selv. Fedin, brødre.
2. pl. h. (grænser, -ov). Et naturligt eller konventionelt træk, der er grænsen for noget. territorier; grænse I øst udvidede han [Svyatoslav] grænserne for det russiske land til de grænser, som Ivan den Forfærdelige fem hundrede år senere måtte afgrænse igen. A. N. Tolstoj, Hvor kom det russiske land fra. Chaliapin befandt sig uden for sin fars land og døde af nostalgi - længsel efter sit hjemland. Gribachev, Berezka og havet. || hvad eller hvilken. Terræn, rum, lukket i smb. grænser. Ashaga-skovene accepterede jægere i deres beskyttede områder. Tikhonov, Dobbelt regnbue. På denne hvide forårsnat runger nattergale med deres tordnende lovprisninger i hele skoven. Pastinak, hvid nat. Efterhånden bevægede kammermusik sig ud over rige og ædle menneskers palæer og begyndte at blive opført i koncertsale, hvor vi stadig lytter til den i dag. Kabalevsky, Om tre hvaler og meget mere. || Trad.-digter. Region, land. Og prinsen gennemsyrede sine lydige pile med den gift, og med dem sendte han døden til sine naboer i fremmede lande. Pushkin, Anchar. Jeg kan huske, hvordan solen brændte og steg op på vinterhimlen, da et fly fløj fra fjerne lande til Moskva. Smelyakov, til minde om Dimitrov. || En tidsperiode begrænset af noget. udtryk (normalt i kombination inden for). De siger, at folk rejser til Orenburg med tog, og måske tager jeg, men alt vil være inden for 14 dage. L. Tolstoy, Brev til S. A. Tolstoy, 4. september. 1876.
3. normalt flertal h. (grænser, -ov) trans. Mål, grænse for noget; rammer. Inden for anstændighedens grænser. □ Til sidst al tålmodighed 365 der er grænser. Pisarev, Posthume digte af Heine. - Indtil videre er jeg ikke gået ud over de rettigheder, som loven giver mig som flådechef. Stepanov, Port Arthur. Fjodor Andreevichs viden om sit fædrelands fortid var meget beskeden, hovedsageligt inden for grænserne af en "kort kurs". E. Nosov, Hav ikke ti rubler. || Den højeste grad af smth. Drømmenes grænse. □ Folkets styrke, fysisk og moralsk, blev bragt til udmattelsespunktet. V. Kozhevnikov, faldskærmsjæger. Mit land, din impuls er vidunderlig til at nå den endelige grænse i alt! Vinokurov, "International".
4. Måtte. En konstant størrelse, som en variabel størrelse nærmer sig, afhængig af en anden variabel størrelse, med en vis ændring i sidstnævnte. Grænse for talrække.
På grænsen- 1) i ekstrem stress. Nerver til det yderste; 2) i en ekstrem grad af irritation. [Galya:] Jeg er selv bange for ham i dag. Han er på kanten. Pogodin, Friske blomster.
Kilde (trykt version): Ordbog over det russiske sprog: I 4 bind / RAS, Institut for Lingvistik. forskning; Ed. A. P. Evgenieva. - 4. udg., slettet. - M.: Rus. Sprog; Polygrafressourcer, 1999; (elektronisk version):
Funktionsgrænse- nummer -en vil være grænsen for en variabel mængde, hvis denne variable mængde nærmer sig uendeligt under ændringsprocessen -en.
Eller med andre ord, antallet EN er grænsen for funktionen y = f(x) på punktet x 0, hvis for enhver sekvens af punkter fra domænet for definition af funktionen , ikke ens x 0, og som konvergerer til punktet x 0 (lim x n = x0), sekvensen af tilsvarende funktionsværdier konvergerer til tallet EN.
Grafen for en funktion, hvis grænse, givet et argument, der har en tendens til uendelig, er lig med L:
Betyder EN er grænse (grænseværdi) for funktionen f(x) på punktet x 0 i tilfælde af enhver sekvens af punkter 
, som konvergerer til x 0, men som ikke indeholder x 0 som et af dets elementer (dvs. i den punkterede nærhed x 0), rækkefølge af funktionsværdier 
konvergerer til EN.
Grænse for en Cauchy-funktion.
Betyder EN vil være grænse for funktionen f(x) på punktet x 0 hvis for ethvert ikke-negativt tal taget på forhånd ε det tilsvarende ikke-negative tal vil blive fundet δ = δ(ε) sådan at for hvert argument x, der opfylder betingelsen 0 < | x - x0 | < δ , vil uligheden blive tilfredsstillet | f(x)A |< ε .
Det vil være meget enkelt, hvis du forstår essensen af grænsen og de grundlæggende regler for at finde den. Hvad er grænsen for funktionen f (x) på x stræber efter -en lige med EN, er skrevet sådan:
Desuden den værdi, som variablen tenderer til x, kan ikke kun være et tal, men også uendelig (∞), nogle gange +∞ eller -∞, eller der er måske ingen grænse overhovedet.
At forstå hvordan find grænserne for en funktion, er det bedst at se på eksempler på løsninger.
Det er nødvendigt at finde grænserne for funktionen f (x) = 1/x på:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Lad os finde en løsning på den første grænse. For at gøre dette kan du blot erstatte x det tal den plejer, dvs. 2 får vi:
Lad os finde den anden grænse for funktionen. Her erstattes rent 0 i stedet for x det er umuligt, fordi Du kan ikke dividere med 0. Men vi kan tage værdier tæt på nul, for eksempel 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 og så videre, og værdien af funktionen f (x) vil stige: 100; 1000; 10.000; 100.000 og så videre. Det kan således forstås, at når x→ 0 værdien af den funktion, der er under grænsetegnet, vil stige uden grænse, dvs. stræbe mod det uendelige. Hvilket betyder:
Med hensyn til den tredje grænse. Den samme situation som i det foregående tilfælde er umulig at erstatte ∞ i sin reneste form. Vi er nødt til at overveje tilfældet med ubegrænset stigning x. Vi erstatter 1000 én efter én; 10.000; 100000 og så videre, vi har den værdi af funktionen f (x) = 1/x vil falde: 0,001; 0,0001; 0,00001; og så videre, med en tendens til nul. Derfor:
Det er nødvendigt at beregne grænsen for funktionen 
Når vi begynder at løse det andet eksempel, ser vi usikkerhed. Herfra finder vi den højeste grad af tæller og nævner - dette er x 3, tager vi det ud af parentes i tælleren og nævneren og reducerer det derefter med:
Svar 
Det første skridt ind at finde denne grænse, erstatter værdien 1 i stedet for x, hvilket resulterer i usikkerhed. For at løse det, lad os faktorisere tælleren og gøre dette ved at bruge metoden til at finde rødderne til en andengradsligning x 2 + 2x - 3:
D = 22 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ xl = -3;x 2= 1.
Så tælleren bliver:
Svar 
Dette er definitionen af dens specifikke værdi eller et bestemt område, hvor funktionen falder, hvilket er begrænset af grænsen.
Følg reglerne for at løse grænser:
Efter at have forstået essensen og hovedet regler for løsning af grænsen, får du en grundlæggende forståelse for, hvordan du løser dem.