Eller strengt taget er en endelig formel sum af formen
∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), HvorIsær er et polynomium i én variabel en endelig formel sum af formen
c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), HvorVed hjælp af et polynomium udledes begreberne "algebraisk ligning" og "algebraisk funktion".
Undersøgelse og anvendelse[ | ]
Studiet af polynomieligninger og deres løsninger var måske hovedobjektet for "klassisk algebra."
En hel række transformationer i matematik er forbundet med studiet af polynomier: introduktionen til overvejelse af nul, negative og derefter komplekse tal, såvel som fremkomsten af gruppeteori som en gren af matematik og identifikation af klasser af specielle funktioner i analyse.
Den tekniske enkelhed af beregningerne forbundet med polynomier sammenlignet med mere komplekse klasser af funktioner, samt det faktum, at mængden af polynomier er tæt i rummet af kontinuerte funktioner på kompakte delmængder af det euklidiske rum (se Weierstrass' tilnærmelsessætning), bidrog til bl.a. udvikling af serieekspansion og polynomieudvidelsesmetoder interpolation i matematisk analyse.
Polynomier spiller også en nøglerolle i algebraisk geometri, hvis objekt er sæt defineret som løsninger til systemer af polynomier.
De særlige egenskaber ved at transformere koefficienter, når polynomier multipliceres, bruges i algebraisk geometri, algebra, knudeteori og andre grene af matematikken til at indkode eller udtrykke egenskaber for forskellige objekter i polynomier.
Relaterede definitioner[ | ]
- Formens polynomium c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) hedder monomial eller monomial multiindeks I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
- Monomial svarende til multiindeks I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)) hedder gratis medlem.
- Fuld grad(ikke-nul) monomial c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) kaldet et heltal | jeg | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
- Mange multiindekser jeg, for hvilke koefficienterne c I (\displaystyle c_(I)) ikke-nul, kaldet bærer af polynomiet, og dets konvekse skrog er Newtons polyeder.
- Polynomisk grad kaldes maksimum af magterne af dets monomialer. Graden af identisk nul bestemmes yderligere af værdien − ∞ (\displaystyle -\infty ).
- Et polynomium, der er summen af to monomer kaldes binomial eller binomial,
- Et polynomium, der er summen af tre monomer kaldes trinomial.
- Polynomiets koefficienter er normalt taget fra en specifik kommutativ ring R (\displaystyle R)(oftest felter, f.eks. felter med reelle eller komplekse tal). I dette tilfælde, med hensyn til operationerne med addition og multiplikation, danner polynomierne en ring (desuden en associativ-kommutativ algebra over ringen R (\displaystyle R) uden nuldelere), som er angivet R [x 1, x 2, …, xn]. (\displaystyle R.)
- For et polynomium p (x) (\displaystyle p(x)) en variabel, der løser ligningen p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) kaldes dens rod.
Polynomiske funktioner[ | ]
Lade A (\displaystyle A) der er en algebra over en ring R (\displaystyle R). Vilkårligt polynomium p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) definerer en polynomiel funktion
p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A).Det oftest overvejede tilfælde er A = R (\displaystyle A=R).
Hvis R (\displaystyle R) er et felt af reelle eller komplekse tal (såvel som ethvert andet felt med et uendeligt antal elementer), funktionen f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) definerer polynomiet p fuldstændigt. Men generelt er dette ikke sandt, for eksempel: polynomier p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) Og p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) fra Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2)[x]) definere identisk lige funktioner Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).
En polynomisk funktion af en reel variabel kaldes en hel rationel funktion.
Typer af polynomier[ | ]
Ejendomme [ | ]
Delbarhed [ | ]
Rollen af irreducerbare polynomier i polynomialringen svarer til primtallenes rolle i ringen af heltal. For eksempel er sætningen sand: hvis produktet af polynomier p q (\displaystyle pq) er deleligt med et irreducerbart polynomium, altså s eller q divideret med λ (\displaystyle \lambda). Hvert polynomium af grad større end nul kan dekomponeres i et givet felt til et produkt af irreducerbare faktorer på en unik måde (op til faktorer af grad nul).
For eksempel et polynomium x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), irreducerbar inden for rationelle tal, nedbrydes i tre faktorer inden for reelle tal og i fire faktorer inden for komplekse tal.
Generelt er hvert polynomium i en variabel x (\displaystyle x) dekomponerer i feltet af reelle tal til faktorer af første og anden grad, inden for komplekse tal i faktorer af første grad (algebras grundlæggende sætning).
For to eller flere variable kan dette ikke længere siges. Over ethvert felt for enhver n > 2 (\displaystyle n>2) der er polynomier fra n (\displaystyle n) variabler, der er irreducerbare i enhver udvidelse af dette felt. Sådanne polynomier kaldes absolut irreducible.
Begrebet et polynomium
Definition af polynomium: Et polynomium er summen af monomer. Polynomisk eksempel:
her ser vi summen af to monomer, og dette er et polynomium, dvs. summen af monomer.
De udtryk, der udgør et polynomium, kaldes termer for polynomiet.
Er forskellen mellem monomer et polynomium? Ja, det er det, fordi forskellen let reduceres til en sum, f.eks.: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Monomier betragtes også som polynomier. Men et monomial har ingen sum, hvorfor betragtes det så som et polynomium? Og du kan tilføje nul til det og få dets sum med et nul monomial. Så et monomial er et specialtilfælde af et polynomium; det består af et led.
Tallet nul er nulpolynomiet.
Standardform af polynomium
Hvad er et polynomium af standardform? Et polynomium er summen af monomialer, og hvis alle disse monomer, der udgør polynomiet, er skrevet på standardform, og der ikke burde være nogen lignende blandt dem, så skrives polynomiet på standardform.
Et eksempel på et polynomium i standardform:
her består polynomiet af 2 monomialer, som hver har en standardform, blandt monomierne er der ingen lignende.
Nu et eksempel på et polynomium, der ikke har en standardform:
her er to monomialer: 2a og 4a ens. Du skal lægge dem sammen, så vil polynomiet have standardformen:
Et andet eksempel:
Er dette polynomium reduceret til standardform? Nej, hans anden periode er ikke skrevet i standardform. Ved at skrive det i standardform får vi et polynomium af standardform:
Polynomisk grad
Hvad er graden af et polynomium?
Polynomisk gradsdefinition:
Graden af et polynomium er den højeste grad, som de monomer, der udgør et givet polynomium af standardform, har.
Eksempel. Hvad er graden af polynomiet 5h? Graden af polynomiet 5h er lig med én, fordi dette polynomium kun indeholder ét monomer og dets grad er lig med én.
Et andet eksempel. Hvad er graden af polynomiet 5a 2 h 3 s 4 +1? Graden af polynomiet 5a 2 h 3 s 4 + 1 er lig med ni, fordi dette polynomium omfatter to monomer, det første monomial 5a 2 h 3 s 4 har den højeste grad, og dets grad er 9.
Et andet eksempel. Hvad er graden af polynomiet 5? Graden af et polynomium 5 er nul. Så graden af et polynomium, der kun består af et tal, dvs. uden bogstaver er lig med nul.
Det sidste eksempel. Hvad er graden af nulpolynomiet, dvs. nul? Graden af nulpolynomiet er ikke defineret.
polynomium, udtryk for formen
Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,
hvor x, y, ..., w ≈ variable, og A, B, ..., D (M-koefficienter) og k, l, ..., t (eksponenter ≈ ikke-negative heltal) ≈ konstanter. Individuelle led af formen Ахkyl┘..wm kaldes termer af M. Ordenen af termerne, såvel som rækkefølgen af faktorerne i hvert led, kan ændres vilkårligt; på samme måde kan man indføre eller udelade led med nulkoefficienter, og i hvert enkelt led ≈ potenser med nulkoefficienter. Når en struktur har en, to eller tre medlemmer, kaldes den en monomial, binomial eller trinomial. To led i en ligning kaldes ens, hvis deres eksponenter for identiske variable er parvis ens. Lignende medlemmer
A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm
kan erstattes af en (med lignende udtryk). To modeller kaldes lige, hvis alle led med koefficienter, der ikke er nul, viser sig at være parvis identiske (men måske skrevet i en anden rækkefølge), og også hvis alle koefficienterne for disse modeller viser sig at være lig med nul. I sidstnævnte tilfælde kaldes størrelsen identisk nul og betegnes med tegnet 0. Mængden af én variabel x kan altid skrives på formen
P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,
hvor a0, a1,..., an ≈ koefficienter.
Summen af eksponenterne for ethvert medlem af en model kaldes graden af det pågældende medlem. Hvis M ikke er identisk nul, så er der blandt led med koefficienter uden for nul (det antages, at alle sådanne led er givet) en eller flere af den højeste grad; denne største grad kaldes graden af M. Det identiske nul har ingen grad. M. på nul grader reduceres til et led A (konstant, ikke lig med nul). Eksempler: xyz + x + y + z er et polynomium af tredje grad, 2x + y ≈ z + 1 er et polynomium af første grad (lineær M), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 har ingen grad, da det er identisk nul . En model, hvis medlemmer alle er af samme grad, kaldes en homogen model eller form; former af første, anden og tredje grad kaldes lineær, kvadratisk, kubisk og i henhold til antallet af variable (to, tre) binære (binære), trigeminale (ternære) (f.eks. x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz er en kvadratisk trigeminusform ).
Med hensyn til matematikkens koefficienter antages det, at de hører til et bestemt felt (se Algebraisk felt), for eksempel feltet for rationelle, reelle eller komplekse tal. Ved at udføre operationerne addition, subtraktion og multiplikation på en model baseret på de kommutative, kombinations- og distributive love, får man igen en model.Sådan danner mængden af alle modeller med koefficienter fra et givet felt en ring (se Algebraisk ring) ≈ en ring af polynomier over et givet felt; denne ring har ingen nuldelere, det vil sige, at produktet af tal, der ikke er lig med 0, kan ikke give 0.
Hvis det for to polynomier P(x) og Q(x) er muligt at finde et polynomium R(x), således at P = QR, så siges P at være deleligt med Q; Q kaldes en divisor, og R ≈ kvotient. Hvis P ikke er delelig med Q, så kan man finde polynomier P(x) og S(x), sådan at P = QR + S, og graden af S(x) er mindre end graden af Q(x).
Ved gentagne gange at anvende denne operation kan man finde den største fælles divisor af P og Q, det vil sige en divisor af P og Q, der er delelig med enhver fælles divisor af disse polynomier (se Euklidisk algoritme). En matrix, der kan repræsenteres som et produkt af en matrix af lavere grader med koefficienter fra et givet felt, kaldes reducerbar (i et givent felt), ellers kaldes den irreducerbar. Irreducible tal spiller en rolle i ringen af tal svarende til primtal i teorien om heltal. Så f.eks. er sætningen sand: hvis produktet PQ er deleligt med et irreducerbart polynomium R, men P ikke er deleligt med R, så skal Q være deleligt med R. Hver M af grad større end nul kan dekomponeres i en givet felt til et produkt af irreducerbare faktorer på en unik måde (op til nul graders faktorer). For eksempel er polynomiet x4 + 1, irreducerbart i feltet af rationelle tal, faktoriseret
i feltet af reelle tal og med fire faktorer ═i feltet for komplekse tal. Generelt er hver model af en variabel x dekomponeret i feltet af reelle tal i faktorer af første og anden grad, og i feltet af komplekse tal til faktorer af første grad (algebras grundlæggende sætning). For to eller flere variable kan dette ikke længere siges; for eksempel er polynomiet x3 + yz2 + z3 irreducerbart i et hvilket som helst talfelt.
Hvis variablerne x, y, ..., w får visse numeriske værdier (for eksempel reelle eller komplekse), så vil M også modtage en vis numerisk værdi. Det følger heraf, at hver model kan betragtes som en funktion af de tilsvarende variable. Denne funktion er kontinuerlig og differentierbar for alle værdier af variablerne; den kan karakteriseres som en hel rationel funktion, det vil sige en funktion opnået fra variabler og nogle konstanter (koefficienter) gennem addition, subtraktion og multiplikation udført i en bestemt rækkefølge. Hele rationelle funktioner er inkluderet i en bredere klasse af rationelle funktioner, hvor division tilføjes til de anførte handlinger: enhver rationel funktion kan repræsenteres som en kvotient af to M. Endelig er rationelle funktioner indeholdt i klassen af algebraiske funktioner.
En af matematikkens vigtigste egenskaber er, at enhver kontinuert funktion kan erstattes med en vilkårlig lille fejl af matematik (Weierstrass' sætning; dens nøjagtige formulering kræver, at den givne funktion er kontinuert på et begrænset, lukket sæt af punkter, f.eks. et segment af den reelle akse). Denne kendsgerning, bevist ved hjælp af matematisk analyse, gør det muligt tilnærmelsesvis at udtrykke et hvilket som helst forhold mellem mængder, der studeres i ethvert emne inden for naturvidenskab og teknologi. Metoder til et sådant udtryk studeres i særlige afsnit af matematikken (se Approximation og interpolation af funktioner, Mindste kvadraters metode).
I elementær algebra kaldes et polynomium nogle gange for et algebraisk udtryk, hvor den sidste handling er addition eller subtraktion, f.eks.
Lit. : Kurosh A.G., Course of Higher Algebra, 9. udgave, M., 1968; Mishina A.P., Proskuryakov I.V., Højere algebra, 2. udgave, M., 1965.
Efter at have studeret monomer går vi videre til polynomier. Denne artikel vil fortælle dig om alle de nødvendige oplysninger, der kræves for at udføre handlinger på dem. Vi vil definere et polynomium med tilhørende definitioner af et polynomium, det vil sige frit og lignende, overveje et standardform polynomium, introducere en grad og lære at finde det, og arbejde med dets koefficienter.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Polynomium og dets udtryk - definitioner og eksempler
Definitionen af et polynomium var nødvendig tilbage i 7 klasse efter at have studeret monomialer. Lad os se på dens fulde definition.
Definition 1
Polynomium Summen af monomialer beregnes, og selve monomialet er et specialtilfælde af et polynomium.
Af definitionen følger det, at eksempler på polynomier kan være forskellige: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z og så videre. Ud fra definitionen har vi det 1+x, a 2 + b 2 og udtrykket x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x er polynomier.
Lad os se på nogle flere definitioner.
Definition 2
Medlemmer af polynomiet dets konstituerende monomer kaldes.
Betragt et eksempel, hvor vi har et polynomium 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, bestående af 4 led: 3 x 4, − 2 x y, 3 og -y 3. Et sådant monomial kan betragtes som et polynomium, som består af et led.
Definition 3
Polynomier, der indeholder 2, 3 trinomier, har det tilsvarende navn - binomial Og trinomial.
Heraf følger, at et udtryk for formen x+y– er et binomium, og udtrykket 2 x 3 q − q x x x + 7 b er et trinomium.
Ifølge skolens læreplan arbejdede vi med et lineært binomial på formen a · x + b, hvor a og b er nogle tal, og x er en variabel. Lad os overveje eksempler på lineære binomialer af formen: x + 1, x · 7, 2 − 4 med eksempler på kvadratiske trinomialer x 2 + 3 · x − 5 og 2 5 · x 2 - 3 x + 11.
For at transformere og løse er det nødvendigt at finde og bringe lignende udtryk. For eksempel har et polynomium af formen 1 + 5 x − 3 + y + 2 x lignende led 1 og - 3, 5 x og 2 x. De er opdelt i en særlig gruppe kaldet lignende medlemmer af polynomiet.
Definition 4
Lignende udtryk for et polynomium er lignende udtryk, der findes i et polynomium.
I eksemplet ovenfor har vi, at 1 og - 3, 5 x og 2 x er lignende led i polynomiet eller lignende led. For at forenkle udtrykket skal du finde og reducere lignende udtryk.
Polynomium af standardform
Alle monomer og polynomier har deres egne specifikke navne.
Definition 5
Polynomium af standardform er et polynomium, hvor hvert led, der er inkluderet i det, har et monomer af standardform og ikke indeholder lignende udtryk.
Ud fra definitionen er det klart, at det er muligt at reducere polynomier af standardformen, for eksempel 3 x 2 − x y + 1 og __formel__, og indtastningen er i standardform. Udtrykkene 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z og 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z er ikke polynomier af standardform, da det første af dem har lignende udtryk i form 3 · x 2 og - x 2, og den anden indeholder et monomial af formen x · y 3 · x · z 2, som adskiller sig fra standardpolynomiet.
Hvis omstændighederne kræver det, reduceres nogle gange polynomiet til en standardform. Konceptet med et frit udtryk for et polynomium betragtes også som et polynomium af standardform.
Definition 6
Frit udtryk for et polynomium er et polynomium af standardform, der ikke har en bogstavelig del.
Med andre ord, når et polynomium i standardform har et tal, kaldes det et frit medlem. Så er tallet 5 det frie led af polynomiet x 2 z + 5, og polynomiet 7 a + 4 a b + b 3 har ikke et frit led.
Grad af et polynomium - hvordan finder man det?
Definitionen af graden af et polynomium i sig selv er baseret på definitionen af et standardform polynomium og på graderne af de monomer, der er dets komponenter.
Definition 7
Graden af et polynomium af standardform kaldes den største af de grader, der indgår i dens notation.
Lad os se på et eksempel. Graden af polynomiet 5 x 3 − 4 er lig med 3, fordi de monomialer, der indgår i dets sammensætning, har graderne 3 og 0, og den største af dem er henholdsvis 3. Definitionen af graden fra polynomiet 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x er lig med det største af tallene, det vil sige 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 og 1, hvilket betyder 5 .
Det er nødvendigt at finde ud af, hvordan selve graden findes.
Definition 8
Graden af et polynomium af et vilkårligt tal er graden af det tilsvarende polynomium i standardform.
Når et polynomium ikke er skrevet på standardform, men du skal finde dets grad, skal du reducere det til standardformen og derefter finde den nødvendige grad.
Eksempel 1
Find graden af et polynomium 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.
Løsning
Lad os først præsentere polynomiet i standardform. Vi får et udtryk for formen:
3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Når vi opnår et polynomium af standardform, finder vi, at to af dem skiller sig tydeligt ud - 2 · a 2 · b 2 · c 2 og y 2 · z 2 . For at finde graderne tæller vi og finder, at 2 + 2 + 2 = 6 og 2 + 2 = 4. Det kan ses, at den største af dem er 6. Af definitionen følger, at 6 er graden af polynomiet − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, og derfor den oprindelige værdi.
Svar: 6 .
Koefficienter af polynomiske termer
Definition 9Når alle led i et polynomium er monomer af standardformen, så har de i dette tilfælde navnet koefficienter af polynomiske termer. Med andre ord kan de kaldes koefficienter for polynomiet.
Når vi betragter eksemplet, er det klart, at et polynomium af formen 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 indeholder 4 polynomier: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x og 7 med deres tilsvarende koefficienter 2, − 0, 5, 3 og 7. Det betyder, at 2, − 0, 5, 3 og 7 betragtes som ledkoefficienter for et givet polynomium af formen 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Ved omregning er det vigtigt at være opmærksom på koefficienterne foran variablerne.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Per definition er et polynomium et algebraisk udtryk, der repræsenterer summen af monomialer.
For eksempel: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 er polynomier, og udtrykket z/(x - x*y^2 + 4) er ikke et polynomium, fordi det ikke er en sum af monomer. Et polynomium kaldes også nogle gange et polynomium, og monomer, der er en del af et polynomium, er medlemmer af et polynomium eller monomer.
Komplekst begreb polynomium
Hvis et polynomium består af to led, kaldes det et binomium; hvis det består af tre, kaldes det et trinomium. Navnene fournomial, fivenomial og andre bruges ikke, og i sådanne tilfælde siger de blot polynomium. Sådanne navne, afhængigt af antallet af udtryk, sætter alt på sin plads.
Og udtrykket monomial bliver intuitivt. Fra et matematisk synspunkt er et monomial et specialtilfælde af et polynomium. Et monomial er et polynomium, der består af et led.
Ligesom et monomial har et polynomium sin egen standardform. Standardformen for et polynomium er en sådan notation af et polynomium, hvor alle de monomer, der er inkluderet i det som udtryk, er skrevet i en standardform og lignende udtryk er givet.
Standardform af polynomium
Fremgangsmåden for at reducere et polynomium til standardform er at reducere hver af monomierne til standardform og derefter tilføje alle lignende monomialer sammen. Tilføjelsen af lignende led i et polynomium kaldes reduktion af lignende.
Lad os f.eks. præsentere lignende udtryk i polynomiet 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Begreberne 4*a*b^2*c^3 og 6*a*b^2*c^3 ligner hinanden her. Summen af disse termer vil være det monomiale 10*a*b^2*c^3. Derfor kan det oprindelige polynomium 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b omskrives til 10*a*b^2*c^3 - a* b . Denne post vil være standardformen for et polynomium.
Af det faktum, at et hvilket som helst monomer kan reduceres til en standardform, følger det også, at ethvert polynomium kan reduceres til en standardform.
Når et polynomium reduceres til standardform, kan vi tale om et sådant begreb som graden af et polynomium. Graden af et polynomium er den højeste grad af et monomer, der er inkluderet i et givet polynomium.
Så for eksempel er 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 et polynomium af den femte grad, da den maksimale grad af monomiet inkluderet i polynomiet (5*x^3*y^ 2) er femte.