Uformelt kan en graf opfattes som et sæt punkter og linjer, der forbinder disse punkter, med eller uden pile.
Det første arbejde med grafteori som en matematisk disciplin anses for at være Eulers papir (1736), som behandlede problemet med Köningsberg-broerne. Euler viste, at det er umuligt at omgå de syv bybroer og vende tilbage til udgangspunktet ved at krydse hver bro præcis én gang. Grafteori fik sit næste skub næsten 100 år senere med udviklingen af forskning i elektriske netværk, krystallografi, organisk kemi og andre videnskaber.
Uden selv at bemærke det, støder vi på grafer hele tiden. For eksempel er en graf et diagram over metrolinjer. Prikkerne på den repræsenterer stationer, og linjerne repræsenterer togruter. Ved at undersøge vores herkomst og spore den tilbage til en fjern forfader bygger vi et såkaldt stamtræ. Og dette træ er en graf.
Grafer tjener som et praktisk middel til at beskrive forhold mellem objekter. Vi har tidligere brugt grafer som en måde at visuelt repræsentere endelige binære relationer.
Men grafen bruges ikke kun som illustration. For eksempel ved at betragte en graf, der afbilder et netværk af veje mellem befolkede områder, kan du bestemme ruten fra punkt A til punkt B. Hvis der er flere sådanne ruter, vil du gerne vælge den optimale i en vis forstand, f.eks. den korteste eller den sikreste. For at løse udvælgelsesproblemet er det nødvendigt at udføre visse beregninger på grafer. Når man løser sådanne problemer, er det praktisk at bruge algebraiske teknikker, og selve konceptet med en graf skal formaliseres.
Grafteoretiske metoder er meget udbredt i diskret matematik. Det er umuligt at undvære dem, når man analyserer og syntetiserer forskellige diskrete konvertere: funktionelle blokke af computere, softwarepakker osv.
I øjeblikket dækker grafteori meget materiale og er aktivt under udvikling. Når vi præsenterer det, vil vi begrænse os til kun en del af resultaterne og lægge hovedvægten på beskrivelsen og begrundelsen af nogle udbredte grafanalysealgoritmer, der bruges i teorien om formelle sprog.
Grundlæggende definitioner
Grafer, som allerede nævnt i eksemplerne, er en måde at "visualisere" forbindelser mellem bestemte objekter. Disse forbindelser kan være "dirigeret", som for eksempel i et stamtræ, eller "udirigeret" (et netværk af to-vejs veje). I overensstemmelse hermed er der i grafteori to hovedtyper af grafer: rettet (eller rettet) og urettet.
Præsentationsmetoder
Indtil videre har vi defineret rettede og urettede grafer, der afbilder dem ved hjælp af tegninger. Du kan definere en graf som et par sæt, efter definitionen, men denne metode er ret besværlig og snarere af teoretisk interesse. Udviklingen af algoritmiske tilgange til at analysere grafers egenskaber kræver andre måder at beskrive grafer på, som er mere velegnede til praktiske beregninger, herunder ved brug af en computer. Lad os se på de tre mest almindelige måder at repræsentere grafer på.
Træer
Definition 5.5. Et urettet træ er en sammenhængende og acyklisk urettet graf. Definition 5.6. Et rettet træ er en ikke-kontur rettet graf, hvor den halve grad af ethvert toppunkt ikke er større end 1, og der er nøjagtig et toppunkt, kaldet roden af det rettede træ, hvis halve grad er 0.
Træ med mindst vægt
Følgende problem er kendt i grafteorien som Steiner-problemet: n point gives på en plan; du skal forbinde dem med lige segmenter på en sådan måde, at den samlede længde af segmenterne er minimal.
Metoder til systematisk at krydse grafens hjørner
Vigtige problemer i grafteori er problemerne med global analyse af både urettede og rettede grafer. Disse opgaver omfatter for eksempel opgaven med at finde cyklusser eller konturer, beregne længden af stier mellem par af hjørner, liste stier med bestemte egenskaber mv. Global grafanalyse bør adskilles fra lokal analyse, hvor et eksempel er problemet med at bestemme sæt af forgængere og efterfølgere af et fast toppunkt af en rettet graf.
Stiproblem i vægtede rettede grafer
Graf isomorfi
For en rettet graf (V, E) kan sættet E af buer betragtes som en graf over en binær direkte tilgængelighedsrelation defineret på sættet af toppunkter. I en urettet graf (V, E) er sættet E af kanter mængden af uordnede par. For hvert uordnet par (u, v) ∈ E kan vi antage, at toppunkterne u og v er forbundet med en symmetrisk binær relation p, dvs. (u, v) ∈ р og (v, u) ∈ р.
Topologisk sortering
Definition 5.17. Et rettet netværk (eller blot et netværk) er en konturløs rettet graf*. Da netværket er en konturløs graf, kan det påvises, at der er toppunkter (knudepunkter) af netværket med nul ud-grad, samt toppunkter (knuder) med nul in-grader. Førstnævnte kaldes dræn eller udgange af netværket, og sidstnævnte kaldes netværkets kilder eller input.
Elementer af cyklomatik
Når man diskuterede dybde-først søgealgoritmen i en urettet graf, blev spørgsmålet om at søge efter grafens såkaldte fundamentale cyklusser overvejet. I dette tilfælde blev en fundamental cyklus forstået som en cyklus indeholdende nøjagtig en omvendt flanke, og en en-til-en overensstemmelse blev etableret mellem fundamentale cyklusser og omvendte kanter; fundamentale cyklusser opstår, når en vilkårlig opdeling af alle kanter af en ikke-rettet graf i træer (der danner en vis maksimal kantskov af den originale graf) og inverse, og i det generelle tilfælde kan denne partition specificeres fuldstændig uafhængigt af dybde-først søgealgoritmen. Dybde-først-søgning er blot én måde at implementere sådan en partition på.
Grafteori er en gren af matematik, der bruges inden for datalogi og programmering, økonomi, logistik og kemi.
Hvad er en graf
Grafiske diagrammer bruges ofte til at beskrive strukturen af systemer. Elementer i dem er repræsenteret af cirkler, prikker, firkanter osv., og forbindelser mellem elementer er repræsenteret af linjer eller pile. I dette tilfælde er hverken hvordan elementerne er afbildet eller længden eller formen af linjerne vigtigt - kun hvilke elementer der er forbundne betyder noget. Så en graf er et par af formen (A, M), hvor A er et endeligt sæt af hjørner, og M er et sæt kanter - linjer, der forbinder nogle hjørner.
Grundlæggende begreber i grafteori
En orienteret graf eller digraf (se figuren nedenfor) har orienterede kanter, kaldet buer, og afbildet med pile. En bue kan betegnes med et ordnet par hjørner, som den forbinder, en start og en ende.
En urettet graf (se figuren nedenfor) har kanter, der er tegnet som linjer uden orientering. Følgelig er parret af hjørner forbundet med en kant uordnet. Begge disse hjørner er enderne af kanten.
Hvis spidserne a og b er enderne af en kant (eller begyndelsen og slutningen af en bue) af grafen, så siges spidserne a og b at falde sammen med denne kant (buen), og kanten (buen) er også hændelse af hjørnerne a og b. Hvis hjørnerne a og b er enderne af en kant, så kaldes de (a og b) tilstødende.
Oftest betragter vi grafer, hvis kanter er af én type – uanset om de er rettet eller ej.
Hvis kanter har samme begyndelse og slutning, kaldes de flere kanter, og grafen, hvori de er til stede, kaldes en multigraf.
Grafteori bruger også begrebet "loop" - en kant, der går ud og går ind i samme toppunkt. En graf, der har sløjfer, kaldes en pseudograf.
De mest almindelige er urettede grafer, som ikke har flere kanter og ingen sløjfer. Sådanne grafer kaldes almindelige. De har ikke flere kanter, så vi kan identificere en kant og det tilsvarende par af hjørner.
Hvert toppunkt i digrafen er karakteriseret ved:
- Halv grad af udfald. Dette er antallet af buer, der kommer ud af det.
- Halv grad af tilgang. Dette er antallet af buer, der kommer ind i et givet toppunkt.
Summen af de halve grader af indtastningen af en digraf, såvel som summen af de halve grader af resultatet, er lig med det samlede antal buer i grafen.
I en urettet graf er hvert toppunkt karakteriseret ved graden af toppunktet. Dette er antallet af kanter, der falder ind i et toppunkt. Den samlede sum af graderne af grafens hjørner er antallet af kanter ganget med to: hver kant vil bidrage med et bidrag, der er lig med to.
Et toppunkt med grad 0 kaldes isoleret.
Et hængende toppunkt er et toppunkt med grad 1.
Grafteori kalder en tom graf en, hvor der ikke er kanter. En komplet graf er en almindelig graf, hvor 2 vilkårlige spidser støder op til hinanden.
Vægtede grafer er grafer, hvis toppunkter eller kanter (buer), eller både toppunkter og kanter (buer) på én gang, er tildelt bestemte tal. De kaldes skalaer. Den anden figur viser en urettet graf, hvis kanter er vægtet.
Grafer: isomorfi
Begrebet isomorfisme bruges i matematik. Specielt definerer grafteori det som følger: to grafer U og V er isomorfe, hvis der i disse grafer er en bijektion mellem mængderne af deres hjørner: hver 2. knudepunkter i grafen U er forbundet med en kant, hvis og kun hvis i graf V de samme er forbundet med en kantspidser (som kan have forskellige navne). Figuren nedenfor viser to isomorfe grafer, hvor den ovenfor beskrevne bijektion eksisterer mellem hjørnerne farvet i de samme farver i både den første og anden graf.
Stier og kredsløb
En sti i en urettet eller rettet graf er en sekvens af kanter, hvor hver næste begynder ved det toppunkt, hvor den forrige slutter. En simpel sti er en, hvor alle hjørnerne, undtagen måske starten og slutningen, og kanterne er forskellige. En cyklus i en digraf er en sti, hvis start- og endespidser falder sammen, og som omfatter mindst én kant. En cyklus i en urettet graf er en sti, der indeholder mindst tre adskilte kanter. I den anden figur er cyklussen for eksempel stien (3, 1), (6, 3), (1, 6).
Grafteori i programmering bruges til at konstruere grafiske diagrammer af algoritmer.
Bogen af K. Berge er den første om grafteori på russisk. I mellemtiden er interessen for teorien i de senere år steget markant både hos matematikere og repræsentanter for en bred vifte af discipliner. Dette forklares af det faktum, at grafteorimetoder med succes løser adskillige problemer i teorien om elektriske kredsløb, teorien om transportkæder, informationsteori, kybernetik osv.
I Berges bog præsenteres grafteorien sekventielt, med udgangspunkt i det helt basale. Det antages, at læseren har meget beskeden matematisk viden, selvom han har en vis matematisk kultur. Teksten indeholder talrige, ofte sjove, eksempler. Bogen kan bruges til et indledende studie af grafteori. Professionelle matematikere vil også finde en masse interessante ting i det.
En algoritme til direkte at identificere en Eulersk cyklus.
[Fleury]. Lad os overveje en forbundet multigraf G, hvis toppunkter har en jævn grad, og vi vil forsøge at tegne den med et slag uden at ty til korrektioner i den allerede tegnede del af banen under byggeprocessen. Det er nok at overholde følgende regel:
1 Vi forlader et vilkårligt toppunkt a; Vi krydser hver passeret kant ud.
2 Vi går aldrig langs en sådan kant, og som i øjeblikket er en landtange (dvs., når den fjernes, opdeles grafen dannet af ikke-krydsede kanter i to forbundne komponenter med mindst en kant hver),
Ved at følge denne regel vil vi altid være i en gunstig position, for når vi er ved x = a, har grafen (af ikke-krydsede kanter) to hjørner af ulige grad: x og a; hvis isolerede hjørner kasseres, så forbliver der en sammenhængende graf, som i kraft af sætning 1 har en Euler-kæde, der starter ved x.
Indhold
Introduktion
Kapitel 1. Grundlæggende definitioner
Sæt og kortlægninger med flere værdier
Kurve. Stier og konturer
Kredsløb og cykler
Kapitel 2. Forundersøgelse af kvasi-orden
Kvasi-orden defineret ved graf
Induktiv graf og baser
Kapitel 3. Ordinal funktion og funktion
Grundy for en uendelig graf
Generelle overvejelser vedrørende uendelige grafer
Ordinal funktion
Grundy funktioner
Operationer på grafer
Kapitel 4. Grundlæggende tal for grafteori
Cyklomatisk nummer
Kromatisk tal
Internt stabilitetsnummer
Eksternt stabilitetsnummer
Kapitel 5. Grafkerner
Eksistens- og unikkesætninger
Anvendelse til Grundy-funktioner
Kapitel 6. Grafspil
Spil Nim
Generel definition af spillet (med fuld information)
Strategier
Kapitel 7. Problem med korteste vej
Processer efter stadier Nogle generaliseringer
Kapitel 8. Transportnet
Maksimalt flowproblem Mindst flowproblem
Problemet med sæt-værdi-kompatibelt flow
Uendelige transportnetværk
Kapitel 9. Sætning om halve potenser
Semi grad af udgående og indgående
Kapitel 10. At matche en simpel graf
Maksimalt matchningsproblem
Simpel grafmangel
Ungarsk algoritme
Generalisering til det uendelige tilfælde
Anvendelse til matrixteori
Kapitel 11. Faktorer
Hamiltonske stier og Hamiltonske konturer
At finde en faktor
At finde en delvis graf med givne halve grader
Kapitel 12. Grafcentre
centre
Radius
Kapitel 13. Diameter af en stærkt forbundet graf
Generelle egenskaber for stærkt forbundne grafer uden sløjfer
Diameter
Kapitel 14. Graph Adjacency Matrix
Anvendelse af konventionelle matrixoperationer
Tælle problemer
Leder problem
Brug af booleske operationer
Kapitel 15. Hændelsesmatricer
Fuldstændig unimodulære matricer
Fuldstændig unimodulære systemer
Cyklomatiske matricer
Kapitel 16. Træer og forfædres træer
Træer
Analytisk forskning
Grandtrees
Kapitel 17. Eulers problem
Euler cykler Euler konturer
Kapitel 18. Matching af en vilkårlig graf
Alternerende kredsløbsteori
At finde en delvis graf med givne toppunktsgrader
Perfekt match
Anvendelse til det interne stabilitetsnummer
Kapitel 19. Faktoroider
Hamiltonske cyklusser og faktoroider
Nødvendig og tilstrækkelig betingelse for eksistensen af en factoroid
Kapitel 20. Grafforbindelse
Artikulationspunkter
Grafer uden artikulationer
h-forbundne grafer
Kapitel 21. Plane grafer
Grundlæggende egenskaber
Generalisering
Tilføjelser
I. Off generel teori, spil
II. Om transportopgaver
III. Om brugen af potentielle begreber i transportnetværk
IV. Uløste problemer og ubeviste antagelser
V. Om nogle grundlæggende principper for optælling (J. Riguet)
VI. Tilføjelser til den russiske oversættelse (A.A. Zykov og G.I. Kozhukhin)
Litteratur
Grafteori og C. Berges bog (efterord til den russiske oversættelse)
Karakterindeks
Navneindeks
Emneindeks.
Download e-bogen gratis i et praktisk format, se og læs:
Download bogen Graph Theory and Its Applications, Berge K. - fileskachat.com, hurtig og gratis download.
Grafteori er en gren af diskret matematik, der studerer objekter repræsenteret som individuelle elementer (hjørnepunkter) og forbindelser mellem dem (buer, kanter).
Grafteori stammer fra løsningen af problemet med Königsberg-broerne i 1736 af den berømte matematiker Leonard Euler(1707-1783: født i Schweiz, boede og arbejdede i Rusland).
Problem om Königsberg-broerne.
Der er syv broer i den preussiske by Königsberg ved Pregal-floden. Er det muligt at finde en vandrerute, der krydser hver bro præcis én gang og starter og slutter samme sted?
En graf, hvor der er en rute, der starter og slutter ved samme toppunkt og passerer langs alle grafens kanter nøjagtigt én gang, kaldesEuler graf.
Rækkefølgen af hjørner (måske gentages), som den ønskede rute passerer igennem, såvel som selve ruten, kaldesEuler cyklus .
Problemet med tre huse og tre brønde.
Der er tre huse og tre brønde, på en eller anden måde placeret på et fly. Tegn en sti fra hvert hus til hver brønd, så stierne ikke krydser hinanden. Dette problem blev løst (det blev vist, at der ikke er nogen løsning) af Kuratovsky (1896 - 1979) i 1930.
De fire farver problem. Opdeling af et fly i ikke-skærende områder kaldes med kort. Kortområder kaldes tilstødende, hvis de har en fælles grænse. Opgaven er at farvelægge kortet på en sådan måde, at ikke to tilstødende områder er malet med samme farve. Siden slutningen af 1800-tallet har man kendt en hypotese om, at fire farver er nok til dette. Hypotesen er endnu ikke bevist.
Essensen af den offentliggjorte løsning er at prøve et stort, men begrænset antal (ca. 2000) typer potentielle modeksempler til firefarvesætningen og vise, at ikke et enkelt tilfælde er et modeksempel. Denne søgning blev afsluttet af programmet på omkring tusind timers supercomputerdrift.
Det er umuligt at kontrollere den resulterende løsning "manuelt" - omfanget af opregning er uden for rammerne af menneskelige evner. Mange matematikere rejser spørgsmålet: kan et sådant "programbevis" betragtes som et gyldigt bevis? Der kan jo være fejl i programmet...
Vi kan således kun stole på forfatternes programmeringsevner og tro, at de gjorde alt rigtigt.
Definition 7.1. Tælle G= G(V, E) er en samling af to endelige mængder: V – kaldet mange hjørner og sættet E af par af elementer fra V, dvs. EÍV´V, kaldet mange kanter, hvis parrene er uordnede, eller mange buer, hvis parrene er bestilt.
I det første tilfælde grafen G(V, E) hedder uorienteret, i den anden – orienteret.
EKSEMPEL. En graf med et sæt hjørnepunkter V = (a,b,c) og et sæt kanter E =((a, b), (b, c))
EKSEMPEL. En graf med V = (a,b,c,d,e) og E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (c, d)),
Hvis e=(v 1 ,v 2), еОЕ, så siger de, at kanten er e forbinder hjørner v 1 og v 2.
To hjørner v 1,v 2 kaldes tilstødende, hvis der er en kant, der forbinder dem. I denne situation kaldes hvert af hjørnerne tilfældigt tilsvarende kant .
To forskellige ribben tilstødende, hvis de har et fælles toppunkt. I denne situation kaldes hver af kanterne tilfældigt tilsvarende toppunkt .
Antal grafens toppunkter G lad os betegne v, og antallet af kanter er e:
.
Den geometriske repræsentation af graferne er som følger:
1) toppunktet på grafen er et punkt i rummet (på planet);
2) en kant af en urettet graf – et segment;
3) en bue af en rettet graf – et rettet segment.
Definition 7.2. Hvis der i kanten e=(v 1 ,v 2) forekommer v 1 =v 2, så kaldes kanten e sløjfe. Hvis en graf tillader sløjfer, kaldes den graf med løkker eller pseudograf .
Hvis en graf tillader mere end én kant mellem to hjørner, kaldes den multigraf .
Hvis hvert hjørne af en graf og/eller kant er mærket, kaldes en sådan graf markeret (eller indlæst ). Bogstaver eller heltal bruges normalt som mærker.
Definition 7.3. Kurve G (V , E ) hedder underafsnit (eller en del ) kurve G(V,E), hvis V V, E E. Hvis V = V, At G hedder spændende undergraf G.
Eksempel 7 . 1 . Givet en urettet graf.
Definition 7.4. Grafen kaldes komplet , hvis nogen dens to hjørner er forbundet med en kant. Komplet graf med n hjørner er betegnet med K n .
tæller K 2 , TIL 3, TIL 4 og K 5 .
Definition 7.5. Kurve G=G(V, E) Hedder tokimbladede , hvis V kan repræsenteres som en forening af usammenhængende sæt, f.eks V=ENB, så hver kant har formen ( v jeg , v j), Hvor v jeg EN Og v j B.
Hver kant forbinder et toppunkt fra A til et toppunkt fra B, men ingen to toppunkter fra A eller to toppunkter fra B er forbundet.
En todelt graf kaldes komplet tokimblad tælle K m , n, hvis EN indeholder m toppe, B indeholder n hjørner og for hver v jeg EN, v j B vi har ( v jeg , v j)E.
Altså for alle v jeg EN, Og v j B der er en kant, der forbinder dem.
K 12 K 23 K 22 K 33
Eksempel 7 . 2 . Konstruer en komplet todelt graf K 2.4 og hele grafen K 4 .
Enhedsgrafn-dimensionel terningI n .
Hjørnerne på grafen er n-dimensionelle binære mængder. Kanter forbinder hjørner, der adskiller sig i én koordinat.
Eksempel: 
Grafer er et sjovt, givende og skræmmende emne. Grafteori - "Students rædsel". Grafalgoritmer er de fantastiske hoveder hos de mennesker, der opdagede dem.
Hvad er en graf? For at besvare dette spørgsmål til mine læsere, vil jeg beskrive emnet lidt anderledes.
En graf er et sæt af objekter.
I de fleste problemer er der tale om genstande af samme type. (Mange byer, eller mange huse, eller mange mennesker, eller mange andre ting af samme type)
For at løse problemer med et sådant sæt, skal du udpege hvert objekt fra dette sæt som noget. Det er generelt accepteret at kalde netop denne ting for hjørnerne af en graf.
Det er praktisk at beskrive grafer og grundlæggende definitioner med billeder, så billeder skal medfølge for at læse denne side.
Som jeg skrev tidligere, er en graf et sæt af objekter. Disse genstande er normalt af samme type. Den nemmeste måde at give et eksempel på er i byer. Hver af os ved, hvad en by er, og hvad en vej er. Hver af os ved, at der måske er veje til byen. Generelt kan ethvert sæt af objekter karakteriseres som en graf.
Hvis vi taler om grafen som om byer, så kan veje bygges mellem byer, eller den kan ødelægges et sted, ikke bygges, eller byen ligger generelt på en ø, der er ingen bro, og kun asfalterede veje er af interesse . På trods af at der ikke er nogen vej til en sådan by, kan denne by indgå i mange analyserede objekter, og alle objekter tilsammen udgør en samling af objekter eller, mere enkelt sagt, en graf.
Du har helt sikkert læst lærebøger og set denne notation G(V,E) eller noget lignende. Så V er et objekt fra hele sættet af objekter. I vores tilfælde er sættet af objekter byer, derfor er V en specifik by. Da objekter ikke nødvendigvis er byer, og ordet objekt kan være forvirrende, kan et sådant objekt fra mængden kaldes et punkt, punkt eller noget andet, men oftest kaldes det grafens toppunkt og betegnes med bogstavet V.
I programmering er dette normalt enten en kolonne eller række i et todimensionelt array, hvor arrayet kaldes enten en adjacency matrix eller en incidens matrix.
I litteraturen, på internettet og generelt overalt, hvor der skrives noget om grafer, vil du støde på begreber som buer og kanter. Denne figur viser kanterne af grafen. De der. disse er tre kanter E1, E2 og E3.
En bue og en kant adskiller sig ved, at en kant er en tovejsforbindelse. Han ville have det, han gik til sin nabo, han ville have det, han vendte tilbage fra sin nabo. Hvis det ikke er meget tydeligt, så kan du forestille dig et hus, en flyveplads, et flyvende fly og en faldskærmsudspringer. En faldskærmsudspringer kan gå fra sit hjem til flyvepladsen, men da han ankommer til flyvepladsen, husker han, at han glemte sin heldige faldskærm derhjemme, og så vender han hjem og tager faldskærmen. — En vej, man kan gå frem og tilbage ad, kaldes en kant.
Hvis en faldskærmsudspringer er på et fly og hopper fra flyet, men faldskærmsudspringeren glemte at tage sin heldige faldskærm på på flyet, vil faldskærmsudspringeren så være i stand til at samle op, hvad han glemte? En sti, der kun går i én retning, kaldes en bue. Normalt siger vi, at en kant forbinder to toppunkter, og en bue går fra et toppunkt til et andet.
I denne figur har grafen kun buer. Buerne på grafen er angivet med pile, fordi den tilgængelige retning er så tydelig. Hvis en graf kun består af sådanne buer, så kaldes en sådan graf rettet.
 |
Du vil ofte støde på begreberne sammenhæng og forekomst. På figuren er to kanter, der går til ét punkt, markeret med rødt. Sådanne kanter, som de ovenfor beskrevne hjørner, kaldes også tilstødende. |
Meget er ikke beskrevet, men denne information kan måske hjælpe nogen.