Hvad er midtlinjen i en trekant? retvinklet trekant

Midtlinjen af ​​et trapez, og især dets egenskaber, bruges meget ofte i geometri til at løse problemer og bevise visse sætninger.

er en firkant med kun 2 sider parallelle med hinanden. De parallelle sider kaldes baser (i figur 1 - AD Og B.C.), de to andre er laterale (på figuren AB Og CD).

Midtlinje af trapez er et segment, der forbinder midtpunkterne på dets sider (i figur 1 - KL).

Egenskaber af midterlinjen af ​​en trapez

Bevis for trapezmidtlinjesætningen

Bevise at midtlinjen af ​​et trapez er lig med halvdelen af ​​summen af ​​dets baser og er parallel med disse grunde.

Givet en trapez ABCD med midterlinie KL. For at bevise de pågældende egenskaber er det nødvendigt at tegne en lige linje gennem punkterne B Og L. I figur 2 er dette en ret linje BQ. Og også fortsætte fundamentet AD til krydset med linjen BQ.

Overvej de resulterende trekanter L.B.C. Og LQD:

1. Per definition af midterlinjen KL prik L er segmentets midtpunkt CD. Heraf følger, at segmenterne C.L. Og LD er lige.
2. ∠BLC = ∠QLD, da disse vinkler er lodrette.
3. ∠BCL = ∠LDQ, da disse vinkler ligger på tværs på parallelle linjer AD Og B.C. og sekant CD.

Af disse 3 ligheder følger, at de tidligere betragtede trekanter L.B.C. Og LQD ens på 1 side og to tilstødende vinkler (se fig. 3). Derfor, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ og det vigtigste - BL=LQ => KL, som er midterlinjen af ​​trapez ABCD, er også trekantens midterlinje ABQ. Ifølge egenskaben ved midtlinjen i en trekant ABQ vi får.

Nogle gange er emner, der forklares i skolen, måske ikke altid klare første gang. Dette gælder især for et emne som matematik. Men alt bliver meget mere kompliceret, når denne videnskab begynder at blive opdelt i to dele: algebra og geometri.

Hver elev kan have en evne inden for et af to områder, men især i de elementære klasser er det vigtigt at forstå grundlaget for både algebra og geometri. I geometri anses et af hovedemnerne for at være afsnittet om trekanter.

Hvordan finder man midtlinjen i en trekant? Lad os finde ud af det.

Basale koncepter

Til at begynde med, for at finde ud af, hvordan man finder midterlinjen i en trekant, er det vigtigt at forstå, hvad det er.

Der er ingen begrænsninger for at tegne midterlinjen: trekanten kan være hvad som helst (ligebenet, ligesidet, rektangulær). Og alle egenskaber, der vedrører midterlinjen, vil være i kraft.

Midtlinjen i en trekant er et segment, der forbinder midtpunkterne på dens 2 sider. Derfor kan enhver trekant have 3 sådanne linjer.

Ejendomme

For at vide, hvordan man finder midtlinjen i en trekant, lad os udpege dens egenskaber, der skal huskes, ellers uden dem vil det være umuligt at løse problemer med behovet for at udpege længden af ​​midterlinjen, da alle de opnåede data skal underbygges og argumenterede med sætninger, aksiomer eller egenskaber.

For at besvare spørgsmålet: "Hvordan finder man midtlinjen i trekanten ABC?", er det nok at kende en af ​​trekantens sider.

Lad os give et eksempel

Tag et kig på billedet. Den viser trekant ABC med midterste linje DE. Bemærk, at den er parallel med basis AC i trekanten. Derfor, uanset værdien af ​​AC, vil den gennemsnitlige linje DE være halvt så stor. For eksempel betyder AC=20 DE=10 osv.

På disse enkle måder kan du forstå, hvordan du finder midterlinjen i en trekant. Husk dens grundlæggende egenskaber og definition, og så vil du aldrig have problemer med at finde dens betydning.

Trekantens midterlinje

Ejendomme

• Trekantens midterlinje er parallel med den tredje side og lig med halvdelen af ​​den.
• når alle tre midterste linjer er tegnet, dannes 4 lige store trekanter, der ligner (endda homotetiske) den oprindelige med en koefficient på 1/2.
• den midterste linje afskærer en trekant, der ligner denne, og dens areal er lig med en fjerdedel af arealet af den oprindelige trekant.

Midtlinjen af ​​firkanten

Midtlinjen af ​​firkanten- et segment, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider af en firkant.

Ejendomme

Den første linje forbinder 2 modsatte sider. Den anden forbinder de to andre modsatte sider. Den tredje forbinder centrene af to diagonaler (ikke alle firkanter har centre, der skærer hinanden)

• Hvis midterlinjen i en konveks firkant danner lige store vinkler med firkantens diagonaler, så er diagonalerne lige store.
• Længden af ​​midtlinjen af ​​en firkant er mindre end halvdelen af ​​summen af ​​de to andre sider eller lig med den, hvis disse sider er parallelle, og kun i dette tilfælde.
• Midtpunkterne på siderne af en vilkårlig firkant er hjørnerne af et parallelogram. Dens areal er lig med halvdelen af ​​firkantens areal, og dens centrum ligger i skæringspunktet mellem de midterste linjer. Dette parallelogram kaldes Varignon parallelogrammet;
• Skæringspunktet mellem midtlinjerne i en firkant er deres fælles midtpunkt og halverer det segment, der forbinder diagonalernes midtpunkter. Derudover er det tyngdepunktet for firkantens hjørner.
• I en vilkårlig firkant er vektoren af ​​midterlinjen lig med halvdelen af ​​summen af ​​basernes vektorer.

Midtlinje af trapez

Midtlinje af trapez- et segment, der forbinder midtpunkterne på siderne af denne trapez. Segmentet, der forbinder midtpunkterne af trapezets baser, kaldes trapezets anden midterlinje.

Ejendomme

• midterlinien er parallel med baserne og lig med deres halvsum.

se også

Noter

Wikimedia Foundation. 2010.

Se, hvad "Midline" er i andre ordbøger:

MELLEMLINJE- (1) et trapezsegment, der forbinder midtpunkterne på trapezets laterale sider. Trapezoidens midterlinje er parallel med dens baser og lig med deres halvsum; (2) af en trekant, et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af denne trekant: den tredje side i dette tilfælde... ... Big Polytechnic Encyclopedia

En trekant (trapez) er et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af en trekant (siderne af en trapez)... Stor encyklopædisk ordbog

midterste linje- 24 midterlinje: En imaginær linje, der går gennem gevindprofilen, så tykkelsen af ​​skulderen er lig med rillens bredde. Kilde … Ordbogsopslagsbog med vilkår for normativ og teknisk dokumentation

Trekant (trapez), et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten (siderne af trapez). * * * MIDTERLINJE MIDTERLINJE i en trekant (trapez), et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten (laterale sider af trapezet) ... encyklopædisk ordbog

midterste linje- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso blev paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: engl. midterlinje; midttrack line vok. Mittellinie, f rus. midterste linje...Sporto terminų žodynas

midterste linje- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos taklį į dvi lygias dalis. atitikmenys: engl. midterlinje; midttrack line vok. Mittellinie, f rus. midterste linje...Sporto terminų žodynas

midterste linje- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: engl. midterlinje; midttrack line vok. Mittellinie, f rus. midterste linje...Sporto terminų žodynas

1) S. l. trekant, et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af en trekant (den tredje side kaldes basen). S. l. af trekanten er parallel med basen og lig med halvdelen af ​​den; arealet af de dele af trekanten, som c deler den i. l.,... ... Store sovjetiske encyklopædi

Et segment af en trekant, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten. Den tredje side af trekanten kaldes bunden af ​​trekanten. S. l. af en trekant er parallel med basen og lig med halvdelen af ​​dens længde. I enhver trekant S. l. afskærer fra... ... Matematisk encyklopædi

Trekant (trapez), et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten (trapezets sider) ... Naturvidenskab. encyklopædisk ordbog

Bøger

• Kuglepen "Jotter Luxe K177 West M" (blå) (1953203) , . Kuglepen i gaveæske. Bogstavfarve: blå. Linje: midten. Fremstillet i Frankrig...

Begrebet midtlinje i en trekant

Lad os introducere begrebet midtlinje i en trekant.

Definition 1

Dette er et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af en trekant (fig. 1).

Figur 1. Trekantens midterlinje

Trekant-midtlinjesætning

Sætning 1

Midterlinjen i en trekant er parallel med en af ​​dens sider og lig med halvdelen af ​​den.

Bevis.

Lad os få en trekant $ABC$. $MN$ er den midterste linje (som i figur 2).

Figur 2. Illustration af sætning 1

Da $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, så er trekanter $ABC$ og $MBN$ ens i henhold til det andet kriterium for lighed mellem trekanter . Midler

Det følger også, at $\angle A=\angle BMN$, hvilket betyder $MN||AC$.

Sætningen er bevist.

Følger af trekantens midtlinjesætning

Konsekvens 1: Medianerne af en trekant skærer hinanden i et punkt og divideres med skæringspunktet i forholdet $2:1$ startende fra toppunktet.

Bevis.

Overvej trekant $ABC$, hvor $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ er dens medianer. Da medianer deler siderne i to. Lad os betragte den midterste linje $A_1B_1$ (fig. 3).

Figur 3. Illustration af konsekvens 1

Ved sætning 1, $AB||A_1B_1$ og $AB=2A_1B_1$, derfor $\vinkel ABB_1=\vinkel BB_1A_1,\ \vinkel BAA_1=\vinkel AA_1B_1$. Det betyder, at trekanter $ABM$ og $A_1B_1M$ ligner hinanden i henhold til det første kriterium for lighed mellem trekanter. Derefter

På samme måde er det bevist

Sætningen er bevist.

Konsekvens 2: De tre midterste linjer i trekanten deler den i 4 trekanter svarende til den oprindelige trekant med en lighedskoefficient $k=\frac(1)(2)$.

Bevis.

Betragt en trekant $ABC$ med midterlinjer $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (fig. 4)

Figur 4. Illustration af konsekvens 2

Overvej trekanten $A_1B_1C$. Da $A_1B_1$ er den midterste linje, så

Vinkel $C$ er den fælles vinkel for disse trekanter. Følgelig er trekanter $A_1B_1C$ og $ABC$ ens i henhold til det andet kriterium for lighed af trekanter med lighedskoefficient $k=\frac(1)(2)$.

På samme måde er det bevist, at trekanter $A_1C_1B$ og $ABC$, og trekanter $C_1B_1A$ og $ABC$ ligner hinanden med lighedskoefficienten $k=\frac(1)(2)$.

Overvej trekanten $A_1B_1C_1$. Da $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ er de midterste linjer i trekanten, så

Derfor er trekanter $A_1B_1C_1$ og $ABC$ ifølge det tredje kriterium for lighed af trekanter ens med en lighedskoefficient $k=\frac(1)(2)$.

Sætningen er bevist.

Eksempler på problemer om begrebet midterlinje i en trekant

Eksempel 1

Givet en trekant med siderne $16$ cm, $10$ cm og $14$ cm Find omkredsen af ​​trekanten, hvis toppunkter ligger i midtpunkterne af siderne i den givne trekant.

Løsning.

Da toppunkterne i den ønskede trekant ligger i midtpunkterne af siderne i den givne trekant, så er dens sider midtlinjerne i den oprindelige trekant. Af konsekvens 2 finder vi, at siderne af den ønskede trekant er lig med $8$ cm, $5$ cm og $7$ cm.

Svar:$20$ se

Eksempel 2

Givet en trekant $ABC$. Punkterne $N\ og\ M$ er midtpunkterne på henholdsvis siderne $BC$ og $AB$ (fig. 5).

Figur 5.

Omkredsen af ​​trekanten $BMN=14$ cm Find omkredsen af ​​trekanten $ABC$.

Løsning.

Da $N\ og\ M$ er midtpunkterne på siderne $BC$ og $AB$, så er $MN$ midtlinjen. Midler

Ved sætning 1, $AC=2MN$. Vi får:

Trekantens midterlinje

Ejendomme

• Trekantens midterlinje er parallel med den tredje side og lig med halvdelen af ​​den.
• når alle tre midterste linjer er tegnet, dannes 4 lige store trekanter, der ligner (endda homotetiske) den oprindelige med en koefficient på 1/2.
• den midterste linje afskærer en trekant, der ligner denne, og dens areal er lig med en fjerdedel af arealet af den oprindelige trekant.

Midtlinjen af ​​firkanten

Midtlinjen af ​​firkanten- et segment, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider af en firkant.

Ejendomme

Den første linje forbinder 2 modsatte sider. Den anden forbinder de to andre modsatte sider. Den tredje forbinder centrene af to diagonaler (ikke alle firkanter har centre, der skærer hinanden)

• Hvis midterlinjen i en konveks firkant danner lige store vinkler med firkantens diagonaler, så er diagonalerne lige store.
• Længden af ​​midtlinjen af ​​en firkant er mindre end halvdelen af ​​summen af ​​de to andre sider eller lig med den, hvis disse sider er parallelle, og kun i dette tilfælde.
• Midtpunkterne på siderne af en vilkårlig firkant er hjørnerne af et parallelogram. Dens areal er lig med halvdelen af ​​firkantens areal, og dens centrum ligger i skæringspunktet mellem de midterste linjer. Dette parallelogram kaldes Varignon parallelogrammet;
• Skæringspunktet mellem midtlinjerne i en firkant er deres fælles midtpunkt og halverer det segment, der forbinder diagonalernes midtpunkter. Derudover er det tyngdepunktet for firkantens hjørner.
• I en vilkårlig firkant er vektoren af ​​midterlinjen lig med halvdelen af ​​summen af ​​basernes vektorer.

Midtlinje af trapez

Midtlinje af trapez- et segment, der forbinder midtpunkterne på siderne af denne trapez. Segmentet, der forbinder midtpunkterne af trapezets baser, kaldes trapezets anden midterlinje.

Ejendomme

• midterlinien er parallel med baserne og lig med deres halvsum.

se også

Noter

Wikimedia Foundation. 2010.

• Gennemsnitlig dødelig dosis
• Midtlinje af trapez

Se, hvad "Midline" er i andre ordbøger:

MELLEMLINJE- (1) et trapezsegment, der forbinder midtpunkterne på trapezets laterale sider. Trapezoidens midterlinje er parallel med dens baser og lig med deres halvsum; (2) af en trekant, et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af denne trekant: den tredje side i dette tilfælde... ... Big Polytechnic Encyclopedia

MELLEMLINJE- af en trekant (trapez) et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten (trapezets sider) ... Stor encyklopædisk ordbog

midterste linje- 24 midterlinje: En imaginær linje, der går gennem gevindprofilen, så tykkelsen af ​​skulderen er lig med rillens bredde. Kilde … Ordbogsopslagsbog med vilkår for normativ og teknisk dokumentation

midterste linje- trekant (trapez), et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten (trapezets sider). * * * MIDTERLINJE MIDTERLINJE i en trekant (trapez), et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten (laterale sider af trapezet) ... encyklopædisk ordbog

midterste linje- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso blev paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: engl. midterlinje; midttrack line vok. Mittellinie, f rus. midterste linje...Sporto terminų žodynas

midterste linje- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos taklį į dvi lygias dalis. atitikmenys: engl. midterlinje; midttrack line vok. Mittellinie, f rus. midterste linje...Sporto terminų žodynas

midterste linje- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: engl. midterlinje; midttrack line vok. Mittellinie, f rus. midterste linje...Sporto terminų žodynas

midterste linje- 1) S. l. trekant, et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af en trekant (den tredje side kaldes basen). S. l. af trekanten er parallel med basen og lig med halvdelen af ​​den; arealet af de dele af trekanten, som c deler den i. l.,... ... Store sovjetiske encyklopædi

MELLEMLINJE- et segment af en trekant, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten. Den tredje side af trekanten kaldes bunden af ​​trekanten. S. l. af en trekant er parallel med basen og lig med halvdelen af ​​dens længde. I enhver trekant S. l. afskærer fra... ... Matematisk encyklopædi

MELLEMLINJE- trekant (trapez), et segment, der forbinder midtpunkterne på to sider af trekanten (trapezets sider) ... Naturvidenskab. encyklopædisk ordbog

Bøger

• Kuglepen "Jotter Luxe K177 West M" (blå) (1953203) , . Kuglepen i gaveæske. Bogstavfarve: blå. Linje: midten. Fremstillet i Frankrig...