Мишена:Разгледайте концепцията за линия в равнина, дайте примери. Въз основа на определението за права, въведете понятието уравнение на права върху равнина. Разгледайте видовете прави линии, дайте примери и методи за определяне на права линия. Укрепете способността да превеждате уравнението на права линия от обща форма в уравнение на права линия „в сегменти“ с ъглов коефициент.
- Уравнение на права на равнина.
- Уравнение на права на равнина. Видове уравнения.
- Методи за уточняване на права линия.
1. Нека x и y са две произволни променливи.
Определение: Извиква се връзка от вида F(x,y)=0 уравнение , ако не е вярно за никакви двойки числа x и y.
Пример: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.
Ако равенството F(x,y)=0 е в сила за всеки x, y, тогава, следователно, F(x,y) = 0 е идентичност.
Пример: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0
Казват, че числата x са 0 и y са 0 удовлетворяват уравнението , ако при заместването им в това уравнение то се превръща в истинско равенство.
Най-важната концепция на аналитичната геометрия е концепцията за уравнението на правата.
Определение: Уравнението на дадена права е уравнението F(x,y)=0, което е изпълнено от координатите на всички точки, лежащи на тази права, и не е изпълнено от координатите на никоя от точките, които не лежат на тази права.
Правата, определена от уравнението y = f(x), се нарича графика на f(x). Променливите x и y се наричат текущи координати, защото те са координатите на променлива точка.
някои примеридефиниции на линии.
1) x – y = 0 => x = y. Това уравнение определя права линия:
2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => точките трябва да удовлетворяват или уравнението x - y = 0, или уравнението x + y = 0, което съответства на равнината на двойка пресичащи се прави линии, които са ъглополовящи на координатни ъгли:
3) x 2 + y 2 = 0. Това уравнение се изпълнява само от една точка O(0,0).
2. определение: Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред
Ax + Wu + C = 0,
Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2 ¹ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на права линия.
В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – правата минава през началото
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy
B = C = 0, A ¹ 0 – правата съвпада с оста Oy
A = C = 0, B ¹ 0 – правата съвпада с оста Ox
Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.
Уравнение на права с ъглов коефициент.
Ако общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 се редуцира до формата:
и означаваме , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклон k.
Уравнение на права линия в отсечки.
Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, тогава, разделяйки на –С, получаваме: или , където
Геометричният смисъл на коефициентите е, че коеф Ае координатата на пресечната точка на правата с оста Ox, и b– координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.
Нормално уравнение на права.
Ако двете страни на уравнението Ax + By + C = 0 се разделят на число, наречено нормализиращ фактор, тогава получаваме
xcosj + ysinj - p = 0 – нормално уравнение на права линия.
Знакът ± на нормиращия фактор трябва да бъде избран така, че m×С< 0.
p е дължината на перпендикуляра, спуснат от началото до правата линия, а j е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.
3. Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.
Нека ъгловият коефициент на правата е равен на k, правата минава през точката M(x 0, y 0). Тогава уравнението на правата се намира по формулата: y – y 0 = k(x – x 0)
Уравнение на права, минаваща през две точки.
Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата, минаваща през тези точки, е:
Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.
На равнината уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:
ако x 1 ¹ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.
Дробта = k се нарича наклонправ.
Права в равнина може да се дефинира с помощта на две уравнения
Където хИ y -координати на произволна точка М(х; при), лежащ на тази линия, и T- наречена променлива параметър.
Параметър Tопределя позицията на точката ( х; при) на повърхността.
Така че, ако
след това стойността на параметъра T= 2 съответства на точка (4; 1) на равнината, т.к х = 2 + 2 = 4, г= 2 2 – 3 = 1.
Ако параметърът Tсе променя, тогава точката на равнината се премества, описвайки тази права. Този метод за дефиниране на крива се нарича параметричени уравнения (1) - уравнения на параметрични линии.
Нека разгледаме примери за добре познати криви, посочени в параметрична форма.
1) Астроид:
Където А> 0 – постоянна стойност.
При А= 2 има формата:
Фиг.4. Астроид
2) Циклоид: 
Където А> 0 – константа.
При А= 2 има формата:
Фиг.5. Циклоид
Уравнение на векторна линия
Може да се посочи права на равнина векторно уравнение
Където T– параметър скаларна променлива.
Всяка стойност на параметъра T 0 съответства на определен вектор в равнина. При промяна на параметър Tкраят на вектора ще описва определена линия (фиг. 6).
Векторно уравнение на права в координатна система охоо
съответстват на две скаларни уравнения (4), т.е. проекционни уравнения
върху координатната ос на векторното уравнение на линия има нейните параметрични уравнения.
 |
Фиг.6. Уравнение на векторна линия
Векторното уравнение и уравненията на параметричните линии имат механичен смисъл. Ако точка се движи в равнина, тогава се извикват посочените уравнения уравнения на движението, ред – траекторияточки, параметър T- време.
Равенство от вида F(x, y) = 0 се нарича уравнение с две променливи x, y, ако то не е вярно за всички двойки числа x, y. Казват, че две числа x = x 0, y = y 0 удовлетворяват някакво уравнение от вида F(x, y) = 0, ако при заместване на тези числа вместо променливите x и y в уравнението лявата му страна стане нула .
Уравнението на дадена права (в определена координатна система) е уравнение с две променливи, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е изпълнено от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея.
В това, което следва, вместо израза „при дадено уравнение на правата F(x, y) = 0“, често ще казваме по-кратко: при дадено уравнение на правата F(x, y) = 0.
Ако са дадени уравненията на две прави: F(x, y) = 0 и Ф(x, y) = 0, тогава съвместното решение на системата
F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0
дава всички техни пресечни точки. По-точно, всяка двойка числа, която е съвместно решение на тази система, определя една от пресечните точки,
157. Дадени точки *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Определете кои от дадените точки лежат на правата, определена от уравнението x + y = 0 и кои не лежат на нея. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)
158. На правата, определена от уравнението x 2 + y 2 = 25, намерете точки, чиито абциси са равни на следните числа: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на същия ред намерете точки, чиито ординати са равни на следните числа: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)
159. Определете кои прави се определят от следните уравнения (построете ги върху чертежа): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) х - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) у - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) х = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + чрез + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Дадени са прави: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Определете кои от тях минават през началото.
161. Дадени са прави: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Намерете техните пресечни точки: а) с оста Ox; б) с оста Oy.
162. Намерете пресечните точки на две прави:
1) x 2 + y 2 - 8; х - у =0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. В полярната координатна система точките M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) и M 5 (1; 2/3π). Определете кои от тези точки лежат на правата, определена в полярни координати от уравнението p = 2cosΘ, и кои не лежат на нея. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)
164. На правата, определена от уравнението p = 3/cosΘ, намерете точки, чиито полярни ъгли са равни на следните числа: а) π/3, б) - π/3, в) 0, г) π/6. Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)
165. На правата, определена от уравнението p = 1/sinΘ, намерете точки, чиито полярни радиуси са равни на следните числа: а) 1 6) 2, в) √2. Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)
166. Установете кои прави се определят в полярни координати от следните уравнения (построете ги върху чертежа): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Построете следните Архимедови спирали по чертежа: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.
168. Построете върху чертежа следните хиперболични спирали: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. Построете върху чертежа следните логаритмични спирали: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.
170. Определете дължините на сегментите, на които спиралата на Архимед p = 3Θ се нарязва от лъч, излизащ от полюса и наклонен към полярната ос под ъгъл Θ = π/6. Направете рисунка.
171. На спиралата на Архимед p = 5/πΘ е взета точка C, чийто полярен радиус е 47. Определете на колко части тази спирала пресича полярния радиус на точка C. Направете чертеж.
172. Върху хиперболична спирала P = 6/Θ намерете точка P, чийто полярен радиус е 12. Начертайте.
173. Върху логаритмична спирала p = 3 Θ намерете точка P, чийто полярен радиус е 81. Начертайте.
Права на равнина и в пространството.
Изучаването на свойствата на геометричните фигури с помощта на алгебра се нарича аналитична геометрия , като ще използваме т.нар координатен метод .
Линия в равнина обикновено се определя като набор от точки, които имат уникални за тях свойства. Фактът, че координатите x и y (числа) на точка, разположена на тази линия, са записани аналитично под формата на някакво уравнение.
Деф.1 Уравнение на линия (уравнение на крива) в равнината Oxy се нарича уравнение (*), което е удовлетворено от координатите x и y на всяка точка от дадена права и не е удовлетворено от координатите на друга точка, която не лежи на тази права.
От дефиниция 1 следва, че всяка права на равнината съответства на някакво уравнение между текущите координати ( x,y ) точки от тази права и обратно, всяко уравнение отговаря, най-общо казано, на определена права.
Това поражда два основни проблема на аналитичната геометрия в равнината.
1. Една права е дадена под формата на набор от точки. Трябва да създадем уравнение за тази линия.
2. Дадено е уравнението на правата. Необходимо е да се изследват неговите геометрични свойства (форма и местоположение).
Пример. Лъжат ли точките А(-2;1) И IN (1;1) на ред 2 х +при +3=0?
Проблемът за намиране на пресечните точки на две прави, дадени от уравненията и се свежда до намиране на координати, които удовлетворяват уравнението на двете прави, т.е. за решаване на система от две уравнения с две неизвестни.
Ако тази система няма реални решения, тогава линиите не се пресичат.
Концепцията за линия е въведена в UCS по подобен начин.
Права в равнина може да се определи с две уравнения
Където х И при – произволни координати на точки M(x;y), лежащ на тази линия, и T - наречена променлива параметър , параметърът определя позицията на точката в равнината.
Например, ако , тогава стойността на параметъра t=2 съответства на точката (3;4) на равнината.
Ако параметърът се промени, точката на равнината се премества, описвайки тази линия. Този метод за дефиниране на линия се нарича параметричен, а уравнение (5.1) е параметрично уравнение на правата.
За да преминете от параметрични уравнения към общо уравнение (*), трябва по някакъв начин да елиминирате параметъра от двете уравнения. Отбелязваме обаче, че такъв преход не винаги е препоръчителен и не винаги възможен.
Може да се посочи права на равнина векторно уравнение , където t е параметър на скаларна променлива. Всяка стойност на параметъра съответства на определен вектор в равнина. При промяна на параметъра краят на вектора ще описва определена линия.
Векторно уравнение в DSC съответства на две скаларни уравнения
(5.1), т.е. уравненията на проекциите върху координатните оси на векторното уравнение на линия са негови
параметрично уравнение.
Векторното уравнение и уравненията на параметричните линии имат механичен смисъл. Ако точка се движи в равнина, тогава се извикват посочените уравнения уравнения на движението , а правата е траекторията на точката, параметърът t е времето.
Заключение: всяка права на равнината съответства на уравнение от формата.
В общия случай ВСЯКО УРАВНЕНИЕ НА ИЗГЛЕД съответства на определена линия, чиито свойства се определят от даденото уравнение (с изключение на това, че никой геометричен образ не съответства на уравнение на равнина).
Нека е избрана координатна система на равнината.
Деф. 5.1. Уравнение на линията Този тип уравнение се наричаF(x;y) =0, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е изпълнено от координатите на никоя точка, която не лежи на нея.
Уравнение на форматаF(x;y )=0 – нарича се общо уравнение на линия или уравнение в неявна форма.
Така права Г е геометричното място на точките, удовлетворяващи това уравнение Г=((x, y): F(x;y)=0).
Линията също се нарича крив.
Равенството на формата F (x, y) = 0наречено уравнение с две променливи х, y,ако не е вярно за всички двойки числа x, y.Казват две числа х = х 0 , y=y 0, удовлетворяват някакво уравнение от вида F(x, y)=0,ако при заместване на тези числа вместо променливи хИ прив уравнението лявата му страна изчезва.
Уравнението на дадена права (в определена координатна система) е уравнение с две променливи, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е изпълнено от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея.
По-нататък вместо израза „е дадено уравнението на правата F(x, y) = 0" често ще казваме накратко: дадена линия F (x, y) = 0.
Ако са дадени уравненията на две прави F(x, y) = 0И Ф(x, y) = Q,след това съвместното решение на системата
дава всички техни пресечни точки. По-точно, всяка двойка числа, която е съвместно решение на тази система, определя една от пресечните точки.
*) В случаите, когато координатната система не е назована, се приема, че е декартова правоъгълна.
157. Дават се точки *) М 1 (2; - 2), М 2 (2; 2), М 3 (2; - 1), М 4 (3; -3), М 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Определете кои публикувани точки лежат на линията, определена от уравнението х+ y = 0,и кои не лежат върху него. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)
158. На правата, определена от уравнението х 2 +y 2 =25, намерете точките, чиито абциси са равни на следните числа: а) 0, б) - 3, в) 5, г) 7; на същата права намерете точки, чиито ординати са равни на следните числа: д) 3, е) - 5, ж) - 8. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)
159. Определете кои прави се определят от следните уравнения (конструирайте ги на чертежа):
1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) х- 2 = 0; 4) х+ 3 = 0;
5) у - 5 = 0; 6) г+ 2 = 0; 7) х = 0; 8) г = 0;
9) х 2 - ху = 0; 10) xy+ y 2 = 0; единадесет) х 2 - г 2 = 0; 12) xy= 0;
13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;
16) х 2 y - 7xy + 10г = 0; 17) y =|х|; 18) x =|при|; 19)г + |х|=0;
20) x +|при|= 0; 21)y =|Х- 1|; 22) г = |х+ 2|; 23) х 2 + при 2 = 16;
24) (х-2) 2 +(г-1) 2 =16; 25) (х+ 5) 2 +(г- 1) 2 = 9;
26) (Х - 1) 2 + г 2 = 4; 27) х 2 +(г + 3) 2 = 1; 28) (х -3) 2 + г 2 = 0;
29) х 2 + 2г 2 = 0; 30) 2х 2 + 3г 2 + 5 = 0
31) (х- 2) 2 + (г + 3) 2 + 1=0.
160.Дадени редове:
1)х+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) х 2 + г 2 - 36 = 0;
4) х 2 +г 2 -2х==0; 5) х 2 +г 2 + 4х-6г-1 =0.
Определете кои от тях преминават през началото.
161. Дадени редове:
1) х 2 + г 2 = 49; 2) (х- 3) 2 + (г+ 4) 2 = 25;
3) (х+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( х + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;
5) х 2 +г 2 - 12x + 16y = 0; 6) х 2 +г 2 - 2x + 8при+ 7 = 0;
7) х 2 +г 2 - 6x + 4y + 12 = 0.
Намерете пресечните им точки: а) с оста о;б) с ос OU.
162. Намерете пресечните точки на две прави;
1)х 2 +y 2 = 8, x-y = 0;
2) х 2 +y 2 -16х+4при+18 = 0, x + y= 0;
3) х 2 +y 2 -2х+4при -3 = 0, х 2 + y 2 = 25;
4) х 2 +y 2 -8х+10у+40 = 0, х 2 + y 2 = 4.
163. Точките са дадени в полярната координатна система
М 1
(1;
),
М 2
(2;
0), М 3
(2;
)
М 4
(
;
) И М 5
(1;
)
Определете кои от тези точки лежат на правата, определена от уравнението в полярни координати = 2 cos , и кои не лежат на нея. Коя линия се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа :)
164. На правата, определена от уравнението = 
,
намерете точки, чиито полярни ъгли са равни на следните числа: а) 
,б) - 
, в) 0, г)
. Коя права се определя от това уравнение?
(Изградете го върху чертежа.)
165.На правата, определена от уравнението = 
, намерете точки, чиито полярни радиуси са равни на следните числа: а) 1, б) 2, в) 
.
Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)
166. Установете кои линии се определят в полярни координати от следните уравнения (построете ги на чертежа):
1) = 5; 2) = 
; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 sin ; 8) sin = 9) sin =
167. Построете следните спирали на Архимед по чертежа:
1) = 5, 2) = 5; 3) = 
; 4)р = -1.
168. Построете върху чертежа следните хиперболични спирали:
1) = ; 2) = ; 3) = 
; 4) = - 
.
169. Построете следните логаритмични спирали по чертежа:
,
.
170. Определете дължините на отсечките, на които се разрязва спиралата на Архимед 
лъч, излизащ от полюса и наклонен към полярната ос под ъгъл 
. Направете рисунка.
171. На спиралата на Архимед 
взета точка С,чийто полярен радиус е 47. Определете на колко части тази спирала пресича полярния радиус на точката С,Направете рисунка.
172. На хиперболична спирала 
намери точка R,чийто полярен радиус е 12. Начертайте.
173. На логаритмична спирала 
намерете точка Q, чийто полярен радиус е 81. Начертайте.