Часови и минутни стрелки в някакъв момент. Проблеми със стрелките на работещ часовник

Б. Лабораторна работа

ограничение във времето за тест

ограничение на паметта за тест

Аня и Кирил правят лабораторна работа по физика. В една от задачите те трябва да измерят някаква стойност нпъти, и на n изчислете средната стойност, за да намалите грешката.

Кирил вече е направил своите измервания и имаследните цели числа: х 1 , х 2 , ..., х н. Важно е стойностите да са близки една до друга, а именно разликата между максималната стойност и минималната стойност е най-много 2 .

Аня не иска да прави измерванията, но не може просто да копира стойностите от работата на Кирил, защото грешката на всяко измерване е случайна стойност, и тозисъвпадението ще бъде отбелязано от учителя. Аня иска да напише такива цели числа г 1 , г 2 , ..., г нв нейната работа, че са изпълнени следните условия:

средната стойност на х 1 , х 2 , ..., х н е равна на средната стойност на г 1 , г 2 , ..., г н ;
всички измервания на Аня са в същите граници като всички измервания на Кирил, тоест максималната стойност сред стойностите на Аня не е по-голяма от максималната стойност сред стойностите на Кирил и минималната стойност сред стойностите на Аня стойностите на s не са по-малки от минималната стойност сред стойностите на Кирил;
броят на равните измервания в Аня работа иРаботата на Кирил е възможно най-малка сред вариантите с изпълнени предишни условия. Формално учителят преглежда всички стойности на Аня една по една, ако има еднаква стойност в работата на Кирил и тя все още не е зачеркната, той зачерква това. Стойността на Аня и една от равните стойности в работата на Кирил тогава е общият брой зачеркнати стойности в работата на Аня.

Помогнете на Аня да напише такъв набор от измервания, че условията по-горе да са изпълнени.

Първият ред съдържа едно цяло число н (1 ≤ н ≤ 100 000 ) - броят на измерванията, направени от Кирил.

Вторият ред съдържа поредица от цели числа х 1 , х 2 , ..., х н ( - 100 000 ≤ х аз ≤ 100 000 ) - измерванията, направени от Кирил. Гарантирано е, че разликата между максималните и минималните стойности между стойностите х 1 , х 2 , ..., х н не надвишава 2.

В първия ред отпечатайте минималния възможен брой равни измервания.

Във втория ред печат нцели числа г 1 , г 2 , ..., г н - стойностите, които Аня трябва да напише. Можешотпечатайте целите числа в произволен ред. Имайте предвид, че минималната стойност сред стойностите на Аня не трябва да бъде по-малка от минималната сред стойностите на Кирил, а максималната сред стойностите на Аня не трябва да бъде по-голяма от максималната сред стойностите на Кирил.

Опитайте се да решите сами!
Ако нещо не се получи, не се отчайвайте, отговорът и решението се намират по-долу.

1. Колко пъти на ден показанията на часовника имат свойството, че чрез размяна на минутната и часовата стрелка ще стигнем до значимо показание на часовника?

2. Колко пъти на ден е часовият и минутна стрелкаобразуват прав ъгъл?

3. Колко минути по-късно (нормалните) стрелки на часовника ще се припокрият отново след подравняване?

4. Колко пъти е числото, показващо колко пъти скоростта на секундната стрелка е по-голяма от скоростта на минутната стрелка, по-голямо от числото, показващо колко пъти скоростта на минутната стрелка е по-голяма от скоростта на часовата?

5. Колко пъти часовите стрелки ще бъдат една върху друга за 12 часа?

6. Някаква работа е започната на петия час и е завършена на осмия час, а показанията на часовника в началото и края на работата се преобразуват едно в друго, ако часовата и минутната стрелка са разменени. Определете продължителността на работата и покажете, че в началото и в края на работата стрелките са били еднакво отклонени от вертикалната посока.

7. Колко пъти на ден минутната стрелка изпреварва часовата? Какво ще кажете за секунда?

8. Часовникът удари полунощ. Колко пъти и в кои моменти от времето преди следващия полунощ часовата и минутната стрелка ще бъдат подравнени?

9. Между кои числа се намира секундната стрелка, когато часовата стрелка се изравни с минутната стрелка следобед?

10. Защо стрелките на часовника се движат отляво надясно (по часовниковата стрелка), а не обратното?

11. На часовник с три стрелки - час, минута и секунда - на 12 часа и трите стрелки съвпадат. Има ли други моменти, когато и трите стрелки съвпадат?

12. Предложен проблем Луис Карол : Кои часовници показват времето по-точно: тези, които изостават с минута на ден, или тези, които изобщо не вървят?

13. На колко градуса се върти минутната стрелка за минута? Часова стрелка?

14. Определете ъгъла между часовата и минутната стрелка на часовник, показващ 1 час и 10 минути, при условие че и двете стрелки се движат с постоянна скорост.

15.

16. Но вероятно сте забелязали, че това не е единственият момент, когато стрелките на часовниците се срещат: те се изпреварват няколко пъти през деня. Можете ли да посочите кога се случва това?

17. Кога ще се проведе следващата среща?

18. На 6 часа, напротив, двете ръце сочат към противоположни страни. Но дали това се случва само на 6 часа или има и други моменти, когато стрелките са разположени така?

19. Погледнах часовника и забелязах, че двете стрелки са на еднакво разстояние от числото 6, от двете му страни. Кое време беше това?

20. В колко часа минутната стрелка е пред часовата с точно толкова, колкото часовата стрелка е пред числото 12 на циферблата? Или може би има няколко такива момента на ден или изобщо няма?

21. Какъв ъгъл прави стрелката на часовника в 12:20 часа?

22. Намерете ъгъла между часовата и минутната стрелка а) в 9 часа и 15 минути; б) в 14:12?

23. Когато ъгълът между часовата и минутната стрелка на часовника е по-голям от а) в 13:45 или 22:15; б) в 13:43 или 22:17; в) t минути след обяд или t минути преди полунощ?

24. Стрелките на часовника току-що се изравниха. След колко минути ще „погледнат“ в противоположни посоки?

25. Как да си обясним, че при работещ часовник минутната стрелка е изминала 6 минути за една секунда?

26. С помощта на прецизен хронометър е установено, че часовата и минутната стрелка на часовник, работещ равномерно (но с грешна скорост!) съвпадат на всеки 66 минути. Колко минути на час е бърз или бавен този часовник?

27. В Италия произвеждат часовници, в които часовата стрелкаправи един оборот на ден, а минутната стрелка - 24 оборота и, както обикновено, минутната стрелка е по-дълга от часовата стрелка (при обикновен часовник часовата стрелка прави два оборота на ден, а минутната - 24) . Нека разгледаме всички позиции на двете стрелки и нулевото деление, които се срещат както на италианските часовници, така и на обикновените. Колко такива разпоредби има? (Нулата означава 24 часа в италианските часовници и 12 часа в обикновените часовници).

28. Вася измери с транспортир и записа в тетрадка ъглите между часовата и минутната стрелка първо на 8:20, а след това на 9:25. След това Петя му взе транспортира. Помогнете на Вася да намери ъглите между стрелките на 10:30 и 11:35.

29. Колко пъти съвпадат минутната и часовата стрелка на часовника от 12:00 до 23:59?

30. Обяд е. Кога часовата и минутната стрелка ще съвпаднат следващия път?

31. Посочете поне една точка от времето, различна от 6:00 и 18:00, когато часовата и минутната стрелка на правилно работещ часовник сочат в противоположни посоки.

32. Когато Петя започна да решава тази задача, той забеляза, че часовата и минутната стрелка на часовника му образуваха прав ъгъл. Докато го решаваше, ъгълът винаги беше тъп и в момента, в който Петя го решаваше, ъгълът отново ставаше прав. Колко време отне на Петя решаването на този проблем?

33. Петя се събуди в осем часа сутринта и забеляза, че часовата стрелка на неговия будилник разполовява ъгъла между минутната стрелка и стрелката на звънеца, сочеща числото 8. След колко часа трябва да звъни будилникът?

34. Коля отиде за гъби между осем и девет часа сутринта в момента, когато часовата и минутната стрелка на часовника му бяха изравнени. Прибираше се вкъщи между два и три часа следобед, докато стрелките на часовника му бяха насочени в противоположни посоки. Колко време продължи разходката на Коля?

35. Ученикът започна да решава задачата между 9 и 10 часа и завърши между 12 и 13 часа. Колко време му отне да реши задачата, ако през това време часовата и минутната стрелка на часовника си разменят местата?

36. Колко пъти през деня часовата и минутната стрелка на правилно работещ часовник образуват ъгъл от 30 градуса?

37. Пред вас има часовник. Колко позиции на стрелките има, които не могат да определят часа, освен ако не знаете коя стрелка е часовата и коя е минутната? (Смята се, че позицията на всяка от стрелките може да се определи точно, но е невъзможно да се следи как се движат стрелките.)

38. В света на антиподите, минутната стрелка часовете тиктакатс нормална скорост, но в обратна посока. Колко пъти на ден стрелките на антиподните часовници а) съвпадат; б) противоположно?

39. Колко пъти на ден антиподните часовници могат да бъдат неразличими от нормалните (ако не знаете колко е часът в действителност)?

40. По обяд една муха седна на секундната стрелка на часовника и се движеше, държейки се следвайки правилата: ако изпревари някоя ръка или бъде изпреварена от някаква ръка (в допълнение към секундарника, часовникът има стрелки за час и минута), тогава мухата пълзи върху тази ръка. Колко кръга ще измине една муха за час?

Модел на времето

Разберете модела в промяната на времето на часовника и определете какво трябва да показва часовникът под номер пет.

OGE задачи

1. Какъв ъгъл (в градуси) образуват минутната и часовата стрелка на часовника на 4 часа?
2. Какъв ъгъл (в градуси) описва минутната стрелка за 6 минути?

Задачи за единен държавен изпит

1. Часовникът със стрелки показва 8 часа 00 минути. След колко минути минутната стрелка ще се изравни с часовата за четвърти път?

Тази задача не е по-трудна от задачата за движение в кръг. Нашите часови и минутни стрелки се движат в кръг. Стрелката за минути се премества след час пълен кръг, тоест 360°. означава, скоростта му е 360° на час. Часовата стрелка се движи под ъгъл от 30° на час (това е ъгълът между две съседни числа на циферблата). означава, скоростта му е 30° на час.

В 8:00 сутринта разстоянието между ръцете е 240°:

Нека минутната стрелка срещне часовата за първи път след t часа. През това време минутната стрелка ще измине 360°t, а часовата стрелка 30°t, а минутната стрелка ще измине 240° повече от часовата стрелка. Получаваме уравнението:

360°t-30°t=240°

t=240°/330°=8/11

Тоест след 8/11 часа стрелките ще се срещнат за първи път.

Сега, преди следващата среща, минутната стрелка ще измине 360° повече от часовата. Нека това се случи след x часа.

Получаваме уравнението:

360°x-30°x=360°. Следователно x=12/11. И така още два пъти.

Получаваме, че минутната стрелка ще се изравни с часовата за четвърти път в 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 часа= 240 минути.

Отговор: 240 мин.

2. Часовникът със стрелки показва 1 час и 35 минути. След колко минути минутната стрелка ще се изравни с часовата за десети път?

В тази задача ще изразим скоростта на движение на стрелките в градуси/минута.

Скоростта на минутната стрелка е 360˚/60=6˚ в минута.

Скоростта на часовата стрелка е 30˚/60=0,5˚ в минута.

В 0 часа положението на часовата и минутната стрелка съвпадна. 1 час и 35 минути е 95 минути. През това време минутната стрелка се премести 95x6=570˚=360˚+210˚, а часовата стрелка се премести 95x0,5˚=47,5˚. И имаме тази снимка:

Стрелките ще се срещнат за първи път след време, когато часовата стрелка се завърти с , а минутната стрелка се завърти със 150˚+47,5˚ повече. Получаваме уравнението за:

Следващият път, когато стрелките се срещнат, е когато минутната стрелка премине един кръг по-дълъг от часовата:

И така 9 пъти.

Стрелката за минутите ще се изравни с часовата за десети път минути

Отговори:

1. за 12 часа 132, за 24 часа 264 момента плюс 22 наслагвания, общо 286

2. Часовата стрелка прави 2 оборота на ден, а минутната - 24 оборота. От тук минутната стрелка изпреварва часовата 22 пъти и всеки път се образуват два прави ъгъла с часовата стрелка, т.е. отговор - 44 .

3. Не е трудно да се разбере, че това ще стане след 1 час 5 5/11 минути, тоест в 2 часа 10 10/11 минути. Следващата е след още 1 час 5 5/11 минути, тоест в 3 часа 16 4/11 минути и т.н. Всички срещи, както лесно можете да видите, ще бъдат 11; 11-ти ще настъпи 1 1/11 -12 часа след първия, тоест в 12 часа; с други думи, съвпада с първата среща и следващите срещи ще се повтарят отново в същите моменти.

Ето и всички моменти от срещите:

1-ва среща - в 1 час 5 5/11 минути

2-ри " - "2 часа 10 10/11 "

3-ти " - "3 часа 16 4/11 "

4th " - "4 часа 21 9/11 "

5-ти " - "5 часа 27 3/11 "

6-ти " - "6 часа 32 8/11 "

2 часа 46, 153 мин.

7. Часовата стрелка прави 2 оборота на ден, а минутната - 24 оборота. От тук минутната стрелка изпреварва часовата 22 пъти.

9 . 4 и 5

10. Точно така се движи сянката още в първите часове – слънцето. И тогава механичните часовници копираха посоката на движение на ръцете. Между другото, в Южно полукълбообратното е вярно - сянката в слънчевия часовник се движи обратно на часовниковата стрелка.За един час минутната стрелка прави пълен оборот. Това означава, че за минута той се завърта на 1/60 от ъгъл от 360°, тоест 6°. Часовата стрелка изминава 1/12 от кръга за един час, тоест тя се движи 12 пъти по-бавно от минутната стрелка. За минута се завърта на 0,5°.

14 . В 1:00 минутната стрелка беше с 30° зад часовата. За изминалите от този момент 10 минути часовата стрелка ще „измине“ 5°, а минутната ще „измине“ 60°, така че ъгълът между тях е 60° – 30° – 5° = 25°.

15 . Нека x е периодът от време в минути, който трябва да измине, преди стрелките да бъдат поставени на една и съща права линия и насочени в различни страни. През това време минутната стрелка ще има време да измине х минутни деления от циферблата, а часовата стрелка ще има време да измине х/12 минутни деления. Когато стрелките са поставени на една и съща права линия и са насочени в различни посоки, те ще бъдат разделени от 30-минутни деления на циферблата. Това означава, че в този момент x – x/12 = 30, следователно x = 32 (8/11). След 32 (8/11) минути стрелките ще „гледат“ в противоположни посоки.

16 . Да започнем да наблюдаваме движението на стрелките на 12 часа. В този момент двете стрели се покриват една друга. Тъй като часовата стрелка се движи 12 пъти по-бавно от минутната (тя описва пълен кръг на 12 часа, а минутната стрелка на 1 час), тогава, разбира се, стрелките не могат да се срещнат през следващия час. Но мина един час; часовата стрелка е на номер 1, като е направила 1/12 от пълен оборот; Минутният часовник е направил пълен оборот и отново стои на 12 - 1/12 от кръга зад часовия часовник. Сега условията на състезанието са различни от преди: часовата стрелка се движи по-бавно от минутната, но изпреварва и минутната трябва да я настигне. Ако състезанието продължи цял час, тогава през това време стрелката за минутите ще направи пълен кръг, а стрелката за часа ще измине 1/12 от кръга, тоест стрелката за минути ще направи още 11/12 кръга. Но за да настигне часовата стрелка, минутната стрелка трябва да измине повече от часовата, само с тази 1/12 от кръга, който ги разделя. Това ще отнеме време не цял час, а по-малко със същото време, тъй като 1/12 е по-малко от 11/12, тоест 11 пъти. Това означава, че стрелките ще се срещнат след 1/11 от час, тоест след 60/11 = 5 5/11 минути. И така, срещата на ръцете ще се случи 5 5/11 минути след изтичането на 1 час, тоест на 5 5/11 минути от секундата.

21. Отговор: Не е трудно да се разбере, че това ще стане след 1 час 5 5/11 минути, тоест в 2 часа 10 10/11 минути. Следващата е след още 1 час 5 5/11 минути, тоест в 3 часа 16 4/11 минути и т.н. Всички срещи, както лесно можете да видите, ще бъдат 11; 11-ти ще настъпи 1 1/11 -12 часа след първия, тоест в 12 часа; с други думи, съвпада с първата среща и следващите срещи ще се повтарят отново в същите моменти. Ето всички моменти от срещите:

24. Нека и двете стрелки стоят на 12 и тогава часовата стрелка се отдалечава от 12 с определена част от пълен оборот, което ще обозначим с буквата x. През същото време минутната стрелка успя да се завърти 12 пъти. Ако не е изминал повече от един час, тогава, за да удовлетворим изискването на нашата задача, е необходимо минутната стрелка да е на разстояние от края на целия кръг на същото разстояние, колкото часовата стрелка има време да се отдалечи от начало; с други думи: 1 - 12 x = x Следователно 1 = 13 x. Следователно x = 1/13 от цял оборот. Часовата стрелка завършва тази част от оборота в 12/13 часа, тоест показва 55 5/13 минути след полунощ. Минутната стрелка в същото време е изминала 12 пъти повече, тоест 12/13 от пълен оборот; двете стрелки, както можете да видите, са на еднакво разстояние от 12 и следователно на еднакво разстояние от 6 от противоположните страни. Намерихме едно положение на стрелките - точно това, което се случва през първия час. През втория час подобна ситуация ще се случи отново; ще го намерим, разсъждавайки според предишното, от равенството 1 - (12x - 1) = x, или 2 - 12x = x, откъдето 2 = 13x, и следователно x = 2/13 от пълен оборот . В това положение стрелките ще бъдат на 1 11/13 часа, тоест на 50 10/13 минути. Третият път стрелките ще заемат желаната позиция, когато часовата стрелка се отдалечи от 12 до 3/13 от пълен кръг, тоест 2 10/13 часа и т.н. Има 11 позиции и след 6 часа стрелките сменят местата си: часовата стрелка заема местата, където преди е била минутната стрелка, а минутната стрелка заема мястото на часовата стрелка. Ако внимателно наблюдавате часовника, тогава може би сте виждали точно обратното разположение на стрелките описано сега: часовата стрелка изпреварва минутната стрелка със същото количество, с колко се е придвижила минутата напред от числото 12. Кога се случва това? Отговор: За първи път необходимото разположение на стрелките ще бъде в този момент, което се определя от равенството: 12x - 1 = x/2, откъдето 1 = 11 ½ x, или x = 2/23 от цяло оборот, тоест 1 1/23 часа след 12. Това означава, че на 1 час 21 4/23 минути стрелките ще бъдат позиционирани според изискванията. Наистина, минутната стрелка трябва да е по средата между 12 и 1 1/23 часа, тоест на 12/23 часа, което е точно 1/23 от пълен оборот (часовата стрелка ще измине 2/ 23 от цяла революция). Вторият път стрелките ще бъдат разположени по необходимия начин в момента, който се определя от равенството: 12x - 2 = x/2, откъдето 2 = 11 1/2 x и x = 4/23; необходимият момент е 2 часа 5 5/23 минути, третият желан момент е 3 часа 7 19/23 минути и т.н.

Да се обърнем отново към училищни задачии разузнавателни задачи. Една от тези задачи е да разберете какъв ъгъл образуват минутната и часовата стрелка помежду си на механичен часовник в 16 часа 38 минути или една от вариациите е да разберете колко време ще има след началото на първия ден когато часовата и минутната стрелка образуват ъгъл от 70 градуса.

Най-простият въпрос, на който много хора успяват да дадат грешен отговор. Какъв е ъгълът между часовата и минутната стрелка на часовник в 15:15?

Отговорът нула градуса не е правилният отговор :)

Нека да го разберем.

За 60 минути минутната стрелка прави пълен оборот около циферблата, тоест завърта се на 360 градуса. През същото време (60 минути) часовата стрелка ще върви по пътясамо една дванадесета от кръга, тоест ще се движи 360/12 = 30 градуса

Що се отнася до минутата, всичко е много просто. Съставяне на пропорция минутите са свързани с изминатия ъгъл, тъй като пълното завъртане (60 минути) е на 360 градуса.

По този начин ъгълът, изминат от минутната стрелка, ще бъде минути/60*360 = минути*6

В резултат на това заключението Всяка изминала минута премества стрелката за минути с 6 градуса

Страхотен! Сега какво да кажем за часовия. Но принципът е същият, само че трябва да намалите времето (часове и минути) до части от час.

Например 2 часа и 30 минути са 2,5 часа (2 часа и половина), 8 часа и 15 минути са 8,25 (8 часа и една четвърт час), 11 часа 45 минути са 11 часа и три четвърти час, т.е. е 8,75)

По този начин ъгълът, изминат от стрелката на часовника, ще бъде часове (в части от час) * 360,12 = часове * 30

И като следствие заключението Всеки изминал час премества часовата стрелка с 30 градуса

ъгъл между стрелките = (час+(минути /60))*30 минути*6

Където час+(минути /60)- това е позицията по часовниковата стрелка

Така отговорът на проблема: какъв ъгъл ще направят стрелките, когато часовникът показва 15 часа и 15 минути, ще бъде както следва:

15 часа и 15 минути е еквивалентно на позицията на стрелките на 3 часа и 15 минути и по този начин ъгълът ще бъде (3+15/60)*30-15*6=7,5 градуса

Определете времето по ъгъла между стрелките

Тази задача е по-трудна, тъй като ще я решим в общ изглед, тоест определя всички двойки (час и минута) кога ще се образуват определен ъгъл.

И така, нека си припомним. Ако времето е изразено като ЧЧ:ММ (час:минута), тогава ъгълът между стрелките се изразява по формулата

Сега, ако означим ъгъла с буквата Uи преобразувайте всичко в алтернативен изглед, тогава получаваме следната формула

Или, като се отървем от знаменателя, получаваме основната формула, свързваща ъгъла между две стрелки и позициите на тези стрелки върху циферблата.

имайте предвид, че ъгълът може да бъде и отрицателен, т.е. о, в рамките на един час можем да срещнем същия ъгъл два пъти, например ъгъл от 7,5 градуса може да бъде в 15 часа 15 минути и 15 часа и 17,72727272 минути

Ако, както в първата задача, ни е даден ъгъл, тогава получаваме уравнение с две променливи. По принцип не може да бъде решен, освен ако не се приеме условието, че часът и минутата могат да бъдат само цели числа.

При това условие получаваме класическото диофантиново уравнение. Решението на което е много просто. Засега няма да ги разглеждаме, а веднага ще представим окончателните формули

където k е произволно цяло число.

Естествено вземаме резултата от часовете по модул 24 и резултата от минутите по модул 60

Нека преброим всички опции, когато часовата и минутната стрелка съвпадат? Тоест, когато ъгълът между тях е 0 градуса.

Знаем най-малко две такива точки: 0 часа и 0 минути и 12 часа на обяд 0 минути. Ами останалите??

Нека създадем таблица, показваща позициите на стрелките, когато ъгълът между тях е нула градуса

Опа! на третия ред имаме грешка на 10 часа, стрелките не съвпадат Това се вижда като се погледне циферблата. Какъв е проблема?? Изглежда, че всичко е изчислено правилно.

Но целият въпрос е, че в интервала между 10 и 11 часа, за да съвпаднат минутната и часовата стрелка, минутната стрелка трябва да е някъде в дробната част на минутата.

Това може лесно да се провери с помощта на формулата, като замените числото нула вместо ъгъла и числото 10 вместо часа

получаваме, че минутната стрелка ще се намира между (!!) деления 54 и 55 (точно на позиция 54.545454 минути).

Ето защо последните ни формули не проработиха, тъй като предположихме, че часовете и минутите са цели числа(!).

Проблеми, които се появяват на Единния държавен изпит

Ще разгледаме проблеми, чиито решения са налични в Интернет, но ще поемем по различен път. Може би това ще улесни тази част от учениците, които търсят прост и лесен начин за решаване на проблеми.

В края на краищата, колкото повече различни вариантирешаване на проблеми, толкова по-добре.

Значи знаем само една формула и ще използваме само нея.

Часовникът със стрелки показва 1 час и 35 минути. След колко минути минутната стрелка ще се изравни с часовата за десети път?

Разсъжденията на „решавателите“ на други интернет ресурси ме направиха малко уморен и объркан. За тези „уморени“ като мен, ние решаваме този проблем по различен начин.

Нека да определим кога през първия (1) час минутната и часовата стрелка съвпадат (ъгъл 0 градуса)? Заместваме известните числа в уравнението и получаваме

тоест 1 час и почти 5,5 минути. по-рано ли е от 1 час и 35 минути? да Чудесно, тогава не вземаме предвид този час при по-нататъшни изчисления.

Трябва да намерим 10-то съвпадение на минутната и часовата стрелка, започваме да анализираме:

за първи път часовата стрелка ще бъде на 2 часа и колко минути,

втория път в 3 часа и колко минути

за осми път в 9 часа и няколко минути

за девети път в 10 часа и няколко минути

за девети път в 11 часа и няколко минути

Сега остава само да намерим къде ще бъде минутната стрелка на 11 часа, така че стрелките да съвпадат

И сега умножаваме 10 пъти оборота (което е всеки час) по 60 (преобразувайки в минути) и получаваме 600 минути. и изчислете разликата между 60 минути и 35 минути (които са посочени)

Крайният отговор беше 625 минути.

Q.E.D. Няма нужда от уравнения, пропорции или коя от стрелките с каква скорост се е движила. Всичко е сърма. Достатъчно е да знаете една формула.

По-интересно и трудна задачазвучи така. В 20 часа ъгълът между часовата и минутната стрелка е 31 градуса. Колко време стрелката ще показва времето, след като минутната и часовата стрелка образуват прав ъгъл 5 пъти?

Така че в нашата формула два от трите параметъра отново са известни: 8 и 31 градуса. Определяме минутната стрелка с помощта на формулата и получаваме 38 минути.

Кога е най-близкият момент, когато стрелките ще образуват прав (90 градуса) ъгъл?

Тоест в 8 часа 27,27272727 минути това е първият прав ъгъл в този час, а в 8 часа и 60 минути това е вторият прав ъгъл в този час.

Първият прав ъгъл вече е изминал спрямо даденото време, така че не го броим.

Първите 90 градуса в 8 часа 60 минути (можем да кажем точно в 9-00) - веднъж

в 9 часа и колко минути - това са две

в 10 часа и колко минути са три

отново в 10 и колко минути са 4, така че има две съвпадения в 10 часа

и в 11 часа и колко минути са пет.

Още по-лесно е, ако използваме бот. Въведете 90 градуса и получете следната таблица

Време на циферблата, когато ще бъде посоченият ъгъл

час	минута
0	16.363636363636363
0	16.363636363636363
1	10.909090909090908
1	21.818181818181816
2	5.454545454545454
2	27.272727272727273
3	0
3	32.72727272727273
4	5.454545454545454
4	38.18181818181818
5	10.909090909090908
5	43.63636363636363
6	16.363636363636363
6	49.09090909090909
7	21.818181818181816
7	54.54545454545455
8	27.272727272727273
9	0
9	32.72727272727273
10	5.454545454545453
10	38.18181818181818
11	10.909090909090906
11	43.63636363636363
12	16.36363636363636

т.е. в 11 часа 10.90 минути ще има едва пети път, когато отново се образува прав ъгъл между часовата и минутната стрелка.

Надяваме се, че този анализ ще ви помогне както да формулирате задачи за ученици, така и лесно да решавате подобни тестове за интелигентност на Единния държавен изпит.

Успех с изчисленията!

Проблем със стрелките на часовника. Задача 11

1. Задача 11 (№ 99600)

Часовникът със стрелки показва 8 часа 00 минути. След колко минути минутната стрелка ще се изравни с часовата за четвърти път?

Тази задача не е по-трудна от задачата за движение в кръг. Нашите часови и минутни стрелки се движат в кръг. Стрелката за минути изминава пълен кръг за един час, тоест 360°. означава, скоростта му е 360° на час. Часовата стрелка се движи под ъгъл от 30° на час (това е ъгълът между две съседни числа на циферблата). означава, скоростта му е 30° на час.

В 8:00 сутринта разстоянието между ръцете е 240°:

360°t-30°t=240°

t=240°/330°=8/11

Тоест след 8/11 часа стрелките ще се срещнат за първи път.

Получаваме уравнението:

360°x-30°x=360°. Следователно x=12/11. И така още два пъти.

Получаваме, че минутната стрелка ще се изравни с часовата за четвърти път в 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 часа= 240 минути.

Отговор: 240 мин.

2. Задача 11 (№ 114773). Часовникът със стрелки показва 1 час и 35 минути. След колко минути минутната стрелка ще се изравни с часовата за десети път?

В тази задача ще изразим скоростта на движение на стрелките в градуси/минута.

Скоростта на минутната стрелка е 360˚/60=6˚ в минута.

Скоростта на часовата стрелка е 30˚/60=0,5˚ в минута.

И така 9 пъти.

Стрелката за минутите ще се изравни с часовата за десети път минути

Задача 1. (7 точки)

Числител и знаменател на дробта - положителни числа. Числителят се увеличава с 1, а знаменателят се увеличава със 100. Може ли получената дроб да бъде по-голяма от първоначалната?

Отговор:да

Решение.Например, . Има много други примери.

Критерии.Всякакви правилен пример: 7 точки.

Отговор без пример или грешен отговор: 0 точки.

Задача 2. (7 точки)

Момчетата получиха задачата да преобразуват скоростта на костенурката от сантиметри в секунда в метри в минута. Маша получи отговор 25 м/мин, но в същото време вярваше, че има 60 см в метър и 100 секунди в минута. Помогнете на Маша да намери правилния отговор.

Отговор: 9 м/мин.

Решение.За една машинна „минута“ костенурката изминава разстояние от 25 машинни „метра“, т.е. за 100 секунди тя изпълзи 25 · 60 сантиметра. Тогава скоростта на костенурката е (25 · 60)/100 = 15 см/сек. Това означава, че за 60 секунди костенурката ще изпълзи 15 · 60 сантиметра, тоест (15 · 60)/100 = 9 метра.

Критерии.

Скоростта в сантиметри в секунда е намерена правилно, но следващата част не е направена или е направена с грешка: 3 точки.

Задача 3. (7 точки)

По някое време Аня измери ъгъла между часовата и минутната стрелка на часовника си. Точно след един час тя отново измери ъгъла между стрелките. Ъгълът се оказа същият. Какъв може да бъде този ъгъл?

(Разгледайте всички случаи.)

Отговор: 15° или 165°.

Решение.След 1 час минутната стрелка остава на мястото си. В същото време часовата стрелка се завъртя на 30°. Тъй като ъгълът не се е променил, минутната стрелка разполовява един от ъглите между позициите на часовата стрелка (или този, който е 30°, или допълнителен ъгъл от 330°).

Това означава, че или часовата стрелка е била на 15° по-рано или 165° По късно.

Критерии.Всякакви правилно решение: 7 точки.

Дадени са и двата верни отговора без обосновка или с неправилна обосновка: 3 точки.

Дава се един от верните отговори: 1 точка.

Задача 4. (7 точки)

Двама пешеходци тръгнали призори. Всички вървяха с постоянна скорост. Един дойде от А V б, другото е от б V А. Те се срещнаха по обяд (т.е. точно в 12 часа) и, без да спират движението, пристигнаха: единият - на бв 16 часа, а другият в Ав 9 часа вечерта. В колко часа беше зората този ден?

Отговор:в 6 часа сутринта.

Решение.Обозначаваме мястото на срещата като ° С. Нека мине от зори до пладне хчаса.

Скорост на първия пешеходец на площадката A.C.равна на AC/x, Местоположение на пр.н.е.равна на пр.н.е./ 4. Скоростта му е постоянна, което означава AC/x= пр.н.е./ 4, което може да се пренапише като AC/BC= х/ 4 .

Аналогично за втория пешеходец: равенство на скоростите в участъците пр.н.е., A.C.ще доведе до съотношение BC/x = AC/9, които ще пренапишем във формата AC/пр.н.е.= 9х.

Разбираме това х/ 4 = 9/x и чрез свойството пропорция х 2 = 36, х= 6 . Разсъмването беше в 6 часа преди обяд, тоест в 6 сутринта.

Критерии.Всяко правилно решение: 7 точки.

Времевият период от зората до срещата е намерен правилно, но часът на зората не е намерен или е намерен с грешка: 5 точки.

Само отговор без решение: 1 точка.

Задача 5. (7 точки)

Определете в какъв брой точки се пресичат 10 прави, ако между тях има само две успоредни прави и точно три от тези прави се пресичат в една точка.

Отговор: 42.

Решение.Нека номерираме правите така, че точно правите 1, 2 и 3 да се пресичат в една точка (означаваме тази точка като х). Нека запишем всички възможни двойки прави (1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, ..., 8 и 9, 8 и 10, 9 и 10) и техните пресечни точки. Има 45 прави чифта (двойки от тип 1 и ` точно 9, двойки от тип 2 и ` точно 8 и така нататък; 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45). По условие точно две прави са успоредни. Това означава, че ще бъдат изписани общо 44 пресечни точки. Освен това, всички точки на пресичане на линии с изключение на хще бъде изписано точно веднъж и точката хще се появи три пъти: за двойки линии 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3. Изтрийте две допълнителни букви от списъка с пресечни точки х. Ще останат точно 42 точки, като този път всички пресечни точки ще се броят точно веднъж.

Критерии.Всяко правилно решение: 7 точки.

Броят на двойките линии е правилно изчислен и е даден правилният отговор: 2 точки.

Разглеждат се само специални случаи или се дава правилният отговор без обяснение: 1 точка.