حل المتباينات الأسية مع الجذور. ما هي الدالة الأسية؟ أبسط المتباينات الأسية، طريقة الحل، مثال

درس وعرض حول موضوع: "المعادلات الأسية والمتباينات الأسية"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف الحادي عشر
الدليل التفاعلي للصفوف 9-11 "علم المثلثات"
الدليل التفاعلي للصفوف 10-11 "اللوغاريتمات"

تعريف المعادلات الأسية

يا رفاق، لقد درسنا الدوال الأسية، وتعلمنا خصائصها وقمنا ببناء الرسوم البيانية، وقمنا بتحليل أمثلة للمعادلات التي تم العثور فيها على الدوال الأسية. اليوم سوف ندرس المعادلات الأسية والمتباينات.

تعريف. معادلات النموذج: $a^(f(x))=a^(g(x))$، حيث تسمى $a>0$، $a≠1$ بالمعادلات الأسية.

وبالرجوع إلى النظريات التي درسناها في موضوع "الدالة الأسية" يمكننا تقديم نظرية جديدة:
نظرية. المعادلة الأسية $a^(f(x))=a^(g(x))$، حيث $a>0$، $a≠1$ يعادل المعادلة $f(x)=g(x) $.

أمثلة على المعادلات الأسية

مثال.
حل المعادلات:
أ) $3^(3x-3)=27$.
ب) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
ج) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
حل.
أ) نحن نعلم جيدًا أن $27=3^3$.
دعونا نعيد كتابة المعادلة: $3^(3x-3)=3^3$.
باستخدام النظرية أعلاه، نجد أن معادلتنا تختصر إلى المعادلة $3x-3=3$؛ وبحل هذه المعادلة، نحصل على $x=2$.
الجواب: $x=2$.

ب) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
ومن ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5)) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2x+0.2=0.2$.
$س=0$.
الجواب: $x=0$.

ج) المعادلة الأصلية تعادل المعادلة: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(س-6)(س+3)=0$.
$x_1=6$ و$x_2=-3$.
الإجابة: $x_1=6$ و$x_2=-3$.

مثال.
حل المعادلة: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
حل:
دعونا ننفذ سلسلة من الإجراءات بالتتابع ونجعل طرفي المعادلة لدينا على نفس الأساس.
لنقم بعدد من العمليات على الجانب الأيسر:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
دعنا ننتقل إلى الجانب الأيمن:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
المعادلة الأصلية تعادل المعادلة:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$س=0$.
الجواب: $x=0$.

مثال.
حل المعادلة: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
حل:
لنعيد كتابة المعادلة: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
لنقم بتغيير المتغيرات، دع $a=3^x$.
في الجديدة معادلة متغيرةسوف يأخذ النموذج: $a^2+9a-36=0$.
$(أ+12)(أ-3)=0$.
$a_1=-12$ و$a_2=3$.
لنقم بإجراء التغيير العكسي للمتغيرات: $3^x=-12$ و$3^x=3$.
في الدرس الأخير تعلمنا ذلك التعبيرات التوضيحيةيمكن أن تقبل فقط القيم الإيجابية، تذكر الجدول الزمني. هذا يعني أن المعادلة الأولى ليس لها حلول، والمعادلة الثانية لها حل واحد: $x=1$.
الجواب: $x=1$.

لنتذكر كيفية حل المعادلات الأسية:
1. الطريقة الرسومية.نحن نمثل طرفي المعادلة في شكل وظائف ونبني الرسوم البيانية الخاصة بهم، ونجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية. (استخدمنا هذه الطريقة في الدرس الأخير).
2. مبدأ المساواة في المؤشرات.ويستند هذا المبدأ على حقيقة أن هناك تعبيرين مع لنفس الأسبابتكون متساوية إذا وفقط إذا كانت درجات (مؤشرات) هذه القواعد متساوية. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. طريقة الاستبدال المتغيرة. هذه الطريقةيجدر استخدامه إذا كانت المعادلة، عند استبدال المتغيرات، تبسط شكلها ويكون حلها أسهل بكثير.

مثال.
حل نظام المعادلات: $\begin (الحالات) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \النهاية (الحالات)$.
حل.
دعونا نفكر في معادلتي النظام بشكل منفصل:
$27^ص*3^س=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3ص+س)=3^0$.
$x+3y=0$.
خذ المعادلة الثانية:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
دعونا نستخدم طريقة تغيير المتغيرات، دع $y=2^(x+y)$.
عندها ستأخذ المعادلة الشكل:
$y^2-y-12=0$.
$(ص-4)(ص+3)=0$.
$y_1=4$ و $y_2=-3$.
دعنا ننتقل إلى المتغيرات الأولية، من المعادلة الأولى نحصل على $x+y=2$. المعادلة الثانية ليس لها حلول ثم لدينا النظام الأوليالمعادلات تعادل النظام: $\begin (الحالات) x+3y=0, \\ x+y=2. \النهاية (الحالات)$.
بطرح الثانية من المعادلة الأولى نحصل على: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \النهاية (الحالات)$.
$\begin (الحالات) y=-1, \\ x=3. \النهاية (الحالات)$.
الجواب: $(3;-1)$.

عدم المساواة الأسية

دعنا ننتقل إلى عدم المساواة. عند حل عدم المساواة، فمن الضروري الانتباه إلى أساس الدرجة. هناك سيناريوهان محتملان لتطور الأحداث عند حل المتباينات.

نظرية. إذا كان $a>1$، فإن المتباينة الأسية $a^(f(x))>a^(g(x))$ تعادل المتباينة $f(x)>g(x)$.
إذا 0 دولار a^(g(x))$ يعادل عدم المساواة $f(x)

مثال.
حل عدم المساواة:
أ) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≥(0.3)^(4x+15)$ .
حل.
أ) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
عدم المساواة لدينا يعادل عدم المساواة:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) في معادلتنا، الأساس هو عندما تكون الدرجة أقل من 1، فعند استبدال المتباينة بمتباينة مكافئة، من الضروري تغيير الإشارة.
$2x-4>2$.
$x>3$.

ج) عدم المساواة لدينا يعادل عدم المساواة:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
دعونا نستفيد طريقة الفاصلحلول:
الإجابة: $(-∞;-5]U)