የሃርሞኒክ ተከታታይ ከፊል ድምሮች ለምን እኩል ናቸው? ለዱሚዎች ረድፎች



እቅድ፡

    መግቢያ
  • 1 የተከታታዩ የመጀመሪያ n ውሎች ድምር
    • 1.1 አንዳንድ ከፊል ድምር እሴቶች
    • 1.2 የዩለር ቀመር
    • 1.3 የከፊል ድምሮች ቁጥር-ቲዎሬቲክ ባህሪያት
  • 2 የተከታታይ ውህደት
    • 2.1 የኦረስሜ ማረጋገጫ
    • 2.2 የመለያየት አማራጭ ማረጋገጫ
  • 3 ከፊል ድምር
  • 4 የተገናኙ ረድፎች
    • 4.1 Dirichlet ተከታታይ
    • 4.2 ተለዋጭ ተከታታይ
    • 4.3 የዘፈቀደ harmonic ተከታታይ
    • 4.4 “ቀጭን” ሃርሞኒክ ተከታታይ
    • ማስታወሻዎች

መግቢያ

በሂሳብ ውስጥ፣ ሃርሞኒክ ተከታታይ ማለቂያ በሌለው የቃላት ብዛት፣ የተፈጥሮ ተከታታይ ተከታታይ ቁጥሮች ተገላቢጦሽ ድምር ነው።

.

ተከታታዩ ተሰይሟል ሃርሞኒክከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ ቃላቶቹ የሁለት ጎረቤቶች አማካኝ ናቸው።


1. የተከታታዩ የመጀመሪያ n ውሎች ድምር

የተከታታዩ ግለሰብ አባላት ወደ ዜሮ ይቀየራሉ፣ ነገር ግን ድምራቸው ይለያያል። የሃርሞኒክ ተከታታይ nth ከፊል ድምር n ኛ harmonic ቁጥር ነው፡-

1.1. አንዳንድ ከፊል ድምር እሴቶች

1.2. የኡለር ቀመር

እ.ኤ.አ. በ 1740 ኤል.ዩለር ለተከታታዩ የመጀመሪያ n ቃላት ድምር ምንም ምልክት አላገኘም።

,

የዩለር-ማሽሮኒ ቋሚ የት አለ, እና ln የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ነው.

ዋጋው ለትልቅ n ሲሆን፡

- የኡለር ቀመር የሃርሞኒክ ተከታታይ የመጀመሪያ n ውሎች ድምር።

1.3. ከፊል ድምሮች ቁጥር-ቲዎሬቲክ ባህሪያት

2. የተከታታይ ውህደት

በ

የሃርሞኒክ ተከታታዮች በጣም በዝግታ ይለያያሉ (ከከፊል ድምር ከ 100 በላይ እንዲሆን ፣ የተከታታዩ 10 43 ክፍሎች ያስፈልጋሉ)።

የሃርሞኒክ ተከታታዮች ልዩነት ከቴሌስኮፒክ ተከታታይ ጋር በማነፃፀር ማሳየት ይቻላል፡-

,

ግልጽ የሆነ ከፊል ድምር ከ፡-

.

2.1. የኦረስሜ ማረጋገጫ

የመለያየት ማረጋገጫው ቃላቱን በሚከተለው በመመደብ መገንባት ይቻላል፡


የመጨረሻው ረድፍ በግልጽ ይለያያል. ይህ ማረጋገጫ የመጣው ከመካከለኛው ዘመን ሳይንቲስት ኒኮላስ ኦሬም (1350 ገደማ) ነው።


2.2. የመለያየት አማራጭ ማረጋገጫ

የሃርሞኒክ ተከታታዮች ወደ ድምር ተሰባስበው እንበል፡-

ከዚያ ክፍልፋዮችን እንደገና በማስተካከል የሚከተሉትን እናገኛለን

ከሁለተኛው ቅንፍ እናውጣው፡-

ሁለተኛውን ቅንፍ በ:

ወደ ግራ በኩል እናንቀሳቅሰው፡-

የተከታታዩን ድምር ወደ ኋላ እንለውጠው፡-

ይህ እኩልነት በግልጽ ውሸት ነው፣ አንዱ ከግማሽ በላይ ስለሆነ፣ አንድ ሶስተኛው ከአንድ አራተኛ ይበልጣል፣ ወዘተ. ስለዚህ፣ ስለ ተከታታዩ ውህደት ያለን ግምት የተሳሳተ ነው፣ እና ተከታታዩ ይለያያሉ።

ከ 0 ጋር እኩል አይደለም, ምክንያቱም እያንዳንዳቸው ቅንፎች አዎንታዊ ናቸው.

ይህ ማለት S ማለቂያ የሌለው ነው እና ከሁለቱም የእኩልነት ጎኖች የመደመር ወይም የመቀነስ ስራችን ተቀባይነት የለውም።


3. ከፊል መጠኖች

nየሃርሞኒክ ተከታታይ ከፊል ድምር፣

ተብሎ ይጠራል n-ኛ harmonic ቁጥር.

መካከል ያለው ልዩነት n th harmonic ቁጥር እና የተፈጥሮ ሎጋሪዝም nወደ ዩለር-ማሽሮኒ ቋሚነት ይደርሳል.

በተለያዩ የሐርሞኒክ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ከጠቅላላው ቁጥር ጋር ፈጽሞ እኩል አይደለም እና ምንም ዓይነት ስምምነት ከሌለ በስተቀር ኤች 1 = 1 ኢንቲጀር አይደለም።


4. የተገናኙ ረድፎች

4.1. Dirichlet ተከታታይ

አጠቃላይ የሃርሞኒክ ተከታታይ (ወይም ዲሪችሌት ተከታታይ) ተከታታይ ነው።

.

አጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይ ለ α≤1 ይለያያል እና ለ α>1 ይሰበሰባል።

የአጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይ α ድምር ከ Riemann zeta ተግባር ዋጋ ጋር እኩል ነው።

ለቁጥሮች እንኳን፣ ይህ ዋጋ በpi ቁጥር በግልፅ ይገለጻል፣ ለምሳሌ፣፣ እና አስቀድሞ ለ α=3 እሴቱ በትንታኔ አይታወቅም።


4.2. ተለዋጭ ተከታታይ

የመጀመሪያዎቹ 14 ተለዋጭ ሃርሞኒክ ተከታታይ (ጥቁር ክፍሎች) ከፊል ድምሮች፣ ከተፈጥሮ ሎጋሪዝም 2 (ቀይ መስመር) ጋር መጣጣምን ያሳያል።

ከሃርሞኒክ ተከታታይ በተቃራኒ ሁሉም ቃላቶች በ"+" ምልክት ከተወሰዱበት ተከታታይ

በሊብኒዝ መስፈርት መሰረት ይሰበሰባል. ስለዚህ እንዲህ ዓይነቱ ተከታታይ አለው ይላሉ ሁኔታዊ ውህደት. ድምሩ ከ 2 የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ጋር እኩል ነው።

ይህ ፎርሙላ የመርካቶር ተከታታይ ልዩ ጉዳይ ነው ( እንግሊዝኛ), ቴይለር ተከታታይ ለተፈጥሮ ሎጋሪዝም.

ተመሳሳይ ተከታታይ ከቴይለር ተከታታይ ለአርክታንጀንት ሊገኝ ይችላል፡-

ይህ ሌብኒዝ ተከታታይ በመባል ይታወቃል።


4.3. የዘፈቀደ harmonic ተከታታይ

ከአልበርታ ዩኒቨርሲቲ ቢሮን ሽሙላንድ የዘፈቀደ ተከታታይ ባህሪያትን መርምሯል

የት ኤስ nገለልተኛ፣ በተመሳሳይ መልኩ የተከፋፈሉ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች እሴቶችን +1 እና -1 የሚወስዱ ተመሳሳይ የመሆን እድሉ ½። ይህ ድምር ፕሮባቢሊቲ 1 እንዳለው ያሳያል፣ እና የተከታታዩ ድምር አስደሳች ባህሪያት ያለው የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው። ለምሳሌ፣ በነጥብ +2 ወይም -2 ላይ የሚሰላው የፕሮባቢሊቲ ጥግግት ተግባር 0.124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642...፣ ከ-4 ባነሰ ይለያል። የ Shmuland ወረቀት ይህ ዋጋ ለምን ቅርብ እንደሆነ፣ ግን ከ1/8 ጋር እኩል እንዳልሆነ ያብራራል።


4.4. “ቀጭን” ሃርሞኒክ ተከታታይ

የኬምፕነር ተከታታይ እንግሊዝኛ)

ቃላቶቹ ብቻ የሚቀሩበትን ተከታታይ ቃላቶች ከተመለከትን ፣ተከታዮቹ ቁጥር 9 ያልያዙት ፣ ከዚያ የቀረው ድምር ከቁጥሩ ጋር ይጣመራል።<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

1.1. ተከታታይ ቁጥር እና ድምር

ፍቺ 1.የቁጥር ቅደም ተከተል ይስጥ። መግለጫ እንፍጠር

(1)

ተብሎ የሚጠራው ተከታታይ ቁጥር. ቁጥሮች ተብለው ይጠራሉ የቁጥር አባላት፣ እና አገላለጹ
የጋራ አባልረድፍ .

ምሳሌ 1.የተከታታዩን የጋራ ቃል ይፈልጉ
.

በ
,

በ

የተከታታዩ የጋራ ቃል መሆኑን ማየት ቀላል ነው። .

ስለዚህ, አስፈላጊው ተከታታይ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል

.

በዚህ መንገድ ከተከታታይ (1) ውሎች ቅደም ተከተል እንገንባ :

;

;

;

እያንዳንዱ የዚህ ተከታታይ አባል የቁጥር ተከታታዮቹ የመጀመሪያ አባላት ተጓዳኝ ቁጥር ድምርን ይወክላል።

ፍቺ 2.የመጀመሪያ ድምር ፒተከታታይ (1) አባላት ተጠርተዋል n - ከፊል መጠንተከታታይ ቁጥር .

ፍቺ 3.ተከታታይ ቁጥር ተብሎ ይጠራል convergent፣ ከሆነ
, የት ቁጥር ተብሎ ይጠራል ተከታታይ ድምር, እና ጻፍ
. ከሆነ

የከፊል ድምር ወሰን ገደብ የለሽ ነው ወይም የለም፣ ከዚያ ተከታታዩ ተጠርተዋል። የተለያዩ.

ምሳሌ 2. ለተከታታይ ውህደት ይፈትሹ
.

ለማስላት n- ከፊል መጠን አንድ የተለመደ ቃል እናስብ
ተከታታይ በቀላል ክፍልፋዮች ድምር መልክ

ተመሳሳይ ዲግሪዎችን ማነፃፀር nለማይታወቁ ቅንጅቶች የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን ሀእና ውስጥ

ከዚህ እናገኛለን
, ኤ
.

ስለዚህ, የተከታታዩ አጠቃላይ ቃል ቅጹ አለው

ከዚያም ከፊል መጠን በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል

ቅንፎችን ከከፈተ እና ተመሳሳይ ቃላትን ካመጣ በኋላ ቅጹን ይወስዳል

.

ተከታታይ ድምርን እናሰላል።

ገደቡ ከተገደበ ቁጥር ጋር እኩል ስለሆነ ይህ ተከታታይ ይሰበሰባል .

ምሳሌ 2. ለተከታታይ ውህደት ይፈትሹ

- ማለቂያ የሌለው የጂኦሜትሪክ እድገት.

እንደሚታወቀው, የመጀመሪያው ድምር ፒየጂኦሜትሪክ እድገት አባላት በ ቅ 1 እኩል ነው።
.

ከዚያም የሚከተሉት ጉዳዮች አሉን :

1. ከሆነ
፣ ያ

2. ከሆነ
፣ ያ
፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ረድፉ ይለያያል.

3. ከሆነ
, ከዚያም ተከታታዩ መታየት አለበት
፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ረድፉ ይለያያል.

4. ከሆነ
, ከዚያም ተከታታዩ መታየት አለበት
, ከፊል ድምር እኩል ቁጥር ያለው ከሆነ እና
, ቁጥሩ ያልተለመደ ከሆነ, ማለትም.
የለም, ስለዚህ ተከታታዮቹ ይለያያሉ.

ፍቺ 4.በተከታታዩ ድምር መካከል ያለው ልዩነት ኤስእና ከፊል መጠን ተብሎ ይጠራል የተቀሩት ተከታታይእና የተሰየመ ነው
፣ ማለትም እ.ኤ.አ.
.

ለ convergent ተከታታይ ጀምሮ
፣ ያ
,

እነዚያ። b.m.v ይሆናል. በ
. ስለዚህ ዋጋ የተከታታዩ ድምር ግምታዊ እሴት ነው።

ከተከታታይ ድምር ፍቺ፣ የተከታታይ ተከታታይ ባህሪያት ይከተላሉ፡-

1. ረድፎች ከሆነ እና መሰብሰብ፣ ማለትም ተመጣጣኝ መጠን አላቸው ኤስእና ጥ, ከዚያም ተከታታዩ ይሰበሰባሉ, የት
, እና ድምሩ እኩል ነው ሀ ኤስ + ለ ጥ.

2. ተከታታይ ከተጣመረ , ከዚያም ከዚህ የተገኘው ተከታታይ ይሰበሰባል

ተከታታይ ውሎችን በመጣል ወይም በማከል። ተቃራኒውም እውነት ነው።

1.2. አስፈላጊ የመገጣጠም ምልክት። ሃርሞኒክ ተከታታይ

ቲዎረም. ረድፉ ከሆነ ይሰበሰባል፣ ከዚያም የተከታታዩ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ይቀየራል።
፣ ማለትም እ.ኤ.አ.
.

በእርግጥም አለን።

ከዚያም , መረጋገጥ ያለበት ነገር ነበር።

መዘዝ።ከሆነ
, ከዚያም ተከታታዮቹ ይለያያሉ . ከዚህ በታች እንደሚታየው ተቃራኒው በአጠቃላይ ሲታይ እውነት አይደለም ።

ፍቺ 5.ተከታታይ ይመልከቱ ተብሎ ይጠራል ሃርሞኒክ.

ለዚህ ተከታታይ, አስፈላጊው ባህሪ ረክቷል, ጀምሮ
.

በተመሳሳይ ጊዜ, የተለያየ ነው. እናሳየው

ስለዚህ, ሃርሞኒክ ተከታታይ ይለያያል.

ርዕስ 2 የተከታታይ ውህደት በቂ ምልክቶች

ከአዎንታዊ ቃላት ጋር

2.1. የንጽጽር ምልክቶች

ሁለት ተከታታይ አወንታዊ ቃላት ይሰጡ።

የንጽጽር ምልክት.ለሁሉም የተከታታይ (1) እና (2) አባላት ከተወሰነ ቁጥር ጀምሮ፣ አለመመጣጠን
እና ተከታታይ (2) ይገናኛሉ፣ ከዚያ ተከታታይ (1) እንዲሁ ይገናኛሉ። እንደዚሁም, ከሆነ
እና ተከታታይ (2) ይለያያሉ፣ ከዚያ ተከታታይ (1) እንዲሁ ይለያያሉ።

ፍቀድ እና በቅደም ተከተል፣ የረድፎች ከፊል ድምር (1-2)፣ እና ጥተከታታይ (2) ድምር። ከዚያም ለትልቅ ፒእና አለነ

ምክንያቱም
እና የተገደበ, ከዚያም
፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ተከታታይ (1) ይገናኛል.

የምልክቱ ሁለተኛ ክፍል በተመሳሳይ መንገድ ተረጋግጧል.

ምሳሌ 3.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ

.

ከተከታታዩ አባላት ጋር እናወዳድር
.

ጀምሮ
, እና አለነ
.

ከተከታታዩ ጀምሮ ይሰበሰባል
, ከዚያም ይህ ተከታታይ እንዲሁ ይሰበሰባል.

በተግባራዊ ሁኔታ, ከቀዳሚው ቀጥሎ ያለውን ንጽጽር ተብሎ የሚጠራውን ገደብ መመዘኛ መጠቀም ብዙውን ጊዜ የበለጠ አመቺ ነው.

የንጽጽር ገደብ. ለሁለት ተከታታይ (1-2) በአዎንታዊ ሁኔታዎች ሁኔታው ​​​​ይሟላል

፣ ያ

ከተከታታይ ውህደት (1) የተከታታይ (2) ውህደት ይከተላል እና ከተከታታይ (1) ልዩነት (1) ተከታታይ (2) ልዩነት ይከተላል. , እነዚያ። ረድፎቹ ተመሳሳይ ባህሪ አላቸው.

ምሳሌ 4.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ
.

ለማነፃፀር እንደ ተከታታይ ፣ ሃርሞኒክ ተከታታይን እንውሰድ ፣

የተለያየ ነው.

እና, ስለዚህ, የእኛ ተከታታዮች ይለያያሉ.

አስተያየት።ብዙውን ጊዜ የሚባሉትን ለመጠቀም ምቹ ነው አጠቃላይ ሃርሞኒክረድፍ ከዚህ በታች እንደሚታየው በ ላይ ይሰበሰባል
እና በ ላይ ይለያያሉ
.

ሃርሞኒክ ተከታታይ- ማለቂያ በሌለው የቃላት ብዛት ፣ በተፈጥሮ ተከታታይ ተከታታይ ቁጥሮች ተቃራኒ የሆነ ድምር።

textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ \ sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots .

የተከታታዩ የመጀመሪያ n ውሎች ድምር

የተከታታዩ ግለሰብ አባላት ወደ ዜሮ ይቀየራሉ፣ ነገር ግን ድምራቸው ይለያያል። የሃርሞኒክ ተከታታይ nth ከፊል ድምር n ኛ harmonic ቁጥር ነው፡-

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሂሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)

አንዳንድ ከፊል ድምር እሴቶች

የኡለር ቀመር

በ አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvc ትርጉም አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።)፡ \varepsilon _n \የቀኝ ቀስት 0, ስለዚህ, ለትልቅ አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvc :

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/ README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ s_n\approx \ln(n) + \gamma- የኡለር ቀመር ለመጀመሪያው ድምር አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።) nየሃርሞኒክ ተከታታይ አባላት።

የሃርሞኒክ ተከታታዮች ከፊል ድምር የበለጠ ትክክለኛ አሲምፕቲክ ቀመር፡-

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሂሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)(120n) ^4) - \frac(1)(252n^6) \ነጥቦች = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k))፣ የት አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሂሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ B_(2k)- Bernoulli ቁጥሮች.

ይህ ተከታታይ ይለያያል፣ ነገር ግን በስሌቶቹ ውስጥ ያለው ስህተት ከመጀመሪያው ከተጣለው ቃል ግማሽ አይበልጥም።

የከፊል ድምሮች ቁጥር-ቲዎሬቲክ ባህሪያት

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ \ forall n>1 \;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)

የተከታታይ ልዩነት

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።): s_n\right ቀስት \ inftyበ አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።፡ n\right ቀስት \infty

ሃርሞኒክ ተከታታይ ይለያያልበጣም በዝግታ (ከፊል ድምር ከ 100 በላይ እንዲጨምር ፣ የተከታታዩ 10 43 ክፍሎች ያስፈልጋሉ)።

የሃርሞኒክ ተከታታዮች ልዩነት ከቴሌስኮፒክ ተከታታይ ጋር በማነፃፀር ማሳየት ይቻላል፡-

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ፡- v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \ግራ(1+\frac(1)(n)\ቀኝ)\underset(+\infty) (\sim)\frac (1)(n) ,

ግልጽ የሆነ ከፊል ድምር ከ፡-

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/ README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ \ sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n .

የኦረስሜ ማረጋገጫ

የመለያየት ማረጋገጫው ቃላቱን በሚከተለው በመመደብ መገንባት ይቻላል፡

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።፡\ጀማሪ(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \ግራ[\frac(1)( 2) \ቀኝ] + \ግራ[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\ቀኝ] + \ግራ[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + frac(1)(7) + \frac(1)(8)\ቀኝ] + \ግራ[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \ግራ [\frac(1)(2)\ቀኝ] + \ግራ[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\ቀኝ] + \ግራ[\frac(1)(8) + frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\ቀኝ] + \ግራ[\frac(1)(16)+\cdots\ቀኝ] +\ cdots \\ \ & () = 1+ \ ኳድ \ + \ ኳድ \ \ \ frac (1) (2) \ \ ኳድ + \ \ cdots። \ መጨረሻ (አሰላለፍ)

የመጨረሻው ረድፍ በግልጽ ይለያያል. ይህ ማረጋገጫ የመጣው ከመካከለኛው ዘመን ሳይንቲስት ኒኮላስ ኦሬም (1350 ገደማ) ነው።

የመለያየት አማራጭ ማረጋገጫ

መካከል ያለው ልዩነት አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።) n th harmonic ቁጥር እና የተፈጥሮ ሎጋሪዝም አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።) nወደ ዩለር-ማሽሮኒ ቋሚነት ይደርሳል.

በተለያዩ የሐርሞኒክ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ከጠቅላላው ቁጥር ጋር ፈጽሞ እኩል አይደለም እና ምንም ዓይነት ስምምነት ከሌለ በስተቀር አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሂሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።)፡ H_1=1፣ ኢንቲጀር አይደለም።

ተዛማጅ ተከታታይ

Dirichlet ተከታታይ

አጠቃላይ የሃርሞኒክ ተከታታይ (ወይም ዲሪችሌት ተከታታይ) ተከታታይ ነው።

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሂሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ \ sum_(k=1)^\ infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots .

አጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይ በ አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።)፡ \alpha \leqslant 1እና በ ላይ ይሰበሰባል አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።)፡ \alpha > 1 .

የአጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይ ቅደም ተከተል ድምር አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።)፡ \alphaከ Riemann zeta ተግባር ዋጋ ጋር እኩል ነው፡-

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ፡- \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)

ለቁጥሮች እንኳን፣ ይህ ዋጋ በpi አንፃር በግልፅ ተገልጿል፣ ለምሳሌ፡- አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።፡ \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), እና አስቀድሞ ለ α=3 ዋጋው በትንታኔ አይታወቅም።

የሃርሞኒክ ተከታታይ መለያየት ሌላው ምሳሌ ግንኙነቱ ሊሆን ይችላል። አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።፡ \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n .

ተለዋጭ ተከታታይ

ከሃርሞኒክ ተከታታይ በተቃራኒ ሁሉም ቃላቶች በ"+" ምልክት ከተወሰዱበት ተከታታይ

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ፡- \ sum_(n = 1)^\ infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1) (2) \+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።፡ 1 \,-\, \frac(1)(2) \+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \l 2.

ይህ ፎርሙላ የመርካቶር ተከታታይ ልዩ ጉዳይ ነው ( እንግሊዝኛ), ቴይለር ተከታታይ ለተፈጥሮ ሎጋሪዝም.

ተመሳሳይ ተከታታይ ከቴይለር ተከታታይ ለአርክታንጀንት ሊወጣ ይችላል፡-

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ፡- \ sum_(n = 0)^\ infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1) (3) \+\, \frac(1) (5) \,-\, \frac(1) (7) \+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4)።

ይህ ግንኙነት የሌብኒዝ ተከታታይ በመባል ይታወቃል።

የዘፈቀደ harmonic ተከታታይ

በ 2003, የዘፈቀደ ተከታታይ ባህሪያት ተጠንተዋል

አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሒሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።፡ \ sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n)

የት አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ሂሳብ/README ይመልከቱ - በማዋቀር ላይ እገዛ።): s_n- ገለልተኛ ፣ በተመሳሳይ መልኩ የተከፋፈሉ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች እሴቶችን +1 እና −1 በተመሳሳይ ½ ዕድል የሚወስዱ። ይህ ተከታታይ ከፕሮባቢሊቲ 1 ጋር እንደሚጣመር ታይቷል ፣ እና የተከታታዩ ድምር አስደሳች ባህሪዎች ያሉት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ነው። ለምሳሌ፣ በነጥብ +2 ወይም -2 ላይ የሚሰላው የፕሮባቢሊቲ ጥግግት ተግባር ዋጋ አለው፡-

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

ከ ⅛ ከ 10 -42 ባነሰ ይለያል።

“ቀጭን” ሃርሞኒክ ተከታታይ

የኬምፕነር ተከታታይ እንግሊዝኛ)

ቃላቶቹ ብቻ የሚቀሩበትን ተከታታይ ቃላቶች ከተመለከትን ፣ተከታዮቹ ቁጥር 9 ያልያዙት ፣ ከዚያ የቀረው ድምር ከቁጥሩ ጋር ይጣመራል።<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе አገላለጽ መተንተን አልተቻለም (ተፈፃሚ ፋይል textvcአልተገኘም; ለማዋቀር እገዛ ሂሳብ/README ይመልከቱ።) n, ያነሱ እና ያነሱ ቃላት ለ "ቀጭኑ" ተከታታይ ድምር ይወሰዳሉ. ይህም ማለት፣ በመጨረሻ፣ የሐርሞኒክ ተከታታዮች ድምርን የሚመሰርቱት እጅግ በጣም ብዙ ቃላት የሚጣሉት ከላይ ካለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ገደብ በላይ እንዳይሆን ነው።

ስለ "ሃርሞኒክ ተከታታይ" መጣጥፉ ግምገማ ይጻፉ

ማስታወሻዎች

የሃርሞኒክ ተከታታዮችን የሚያሳይ ቅንጭብጭብ

አስፈሪው ቀን ወደ ፍጻሜው እየመጣ ነበር። ምንም እየተሰማኝና እየሰማሁ በተከፈተው መስኮት አጠገብ ተቀመጥኩ። አለም በረዷማ እና ደስታ አልባ ሆነብኝ። የሰለቸኝ አንጎሌ ውስጥ ገብቶ በምንም አይነት መንገድ ሳይነካኝ ለብቻው ያለ ይመስላል...በመስኮት መስኮቱ ላይ እየተጫወተ፣ እረፍት የሌላቸው “ሮማውያን” ድንቢጦች አሁንም ይንጫጫሉ። ከዚህ በታች የሰው ድምጽ እና የተለመደ የቀን ጫጫታ የከተማዋ ጫጫታ ነበር። ነገር ግን ይህ ሁሉ በጣም ጥቅጥቅ ባለው "ግድግዳ" በኩል ወደ እኔ መጣ, ይህም ድምጾች እንዲተላለፉ የማይፈቅድ ነው ... የተለመደው ውስጤ ባዶ እና መስማት የተሳነው ነበር. እሱ ሙሉ በሙሉ እንግዳ እና ጨለማ ሆነ ... ጣፋጭ ፣ አፍቃሪ አባት ከእንግዲህ የለም። ጂሮላሞን ተከተለ...
ግን አሁንም አና ነበረችኝ። እናም ቢያንስ እሷን እራሱን “የእግዚአብሔር ሹመት” ብሎ ከሚጠራው በረቀቀ ገዳይ ለማዳን መኖር እንዳለብኝ አውቃለሁ። ” እንግዲያውስ ይህ የተወደደ አምላክ ምን ዓይነት አውሬ መሆን አለበት?! ከ “ቀዝቃዛ” ሁኔታዬ ለመውጣት ሞከርኩ ፣ ግን እንደ ተለወጠ ፣ በጣም ቀላል አልነበረም - ሰውነት በጭራሽ አልታዘዘም ፣ ወደ ሕይወት መምጣት አልፈለገም ፣ እና የደከመችው ነፍስ ሰላምን ብቻ እየፈለገች ነበር… ከዚያ ምንም ጥሩ ነገር እየሰራ እንዳልሆነ በማየቴ ብቻዬን ብቻዬን ለመተው ወሰንኩኝ, ሁሉም ነገር በራሱ መንገድ እንዲሄድ ፈቀድኩ.
ሌላ ምንም ሳላስብ እና ምንም ሳልወስን በቀላሉ መዳን ስል የቆሰለው ነፍሴ ወደምታገለግልበት “በረረሁ” ... ለማረፍ እና በትንሹም ቢሆን ለመርሳት ከክፉው “ምድራዊ” አለም ርቄ ሄድኩ። ብርሃን ብቻ ወደሚገዛበት...
ካራፋ ብዙም ሳይቆይ ብቻዬን እንደማይተወኝ አውቅ ነበር ፣ በተቃራኒው - ህመሙ እንደዳከመኝ እና እንዳስፈታኝ ይቆጥረዋል ፣ እና ምናልባት በዚህ ጊዜ እጄን እንድሰጥ ሊያስገድደኝ ይሞክራል። የሆነን አይነት - ሌላ አስፈሪ ድብደባ...
ቀናት አለፉ። ግን፣ በጣም የገረመኝ፣ ካራፋ አልታየም... ይህ ትልቅ እፎይታ ነበር፣ ግን በሚያሳዝን ሁኔታ፣ ዘና ለማለት አልፈቀደልኝም። ምክንያቱም የጨለማው፣ የክፉው ነፍሱ ምን አዲስ ነገር ትፈልጋለች ብዬ በጠበኩት ቁጥር...
ህመሙ ቀስ በቀስ በየቀኑ እየቀዘቀዘ ይሄዳል ፣ በተለይም ከጥቂት ሳምንታት በፊት በተፈጠረ ያልተጠበቀ እና አስደሳች ክስተት ምስጋና ይግባውና ሙሉ በሙሉ ያስደነቀኝ - የሟቹን አባቴን ለመስማት እድል አገኘሁ!
እሱን ማየት አልቻልኩም ፣ ግን አባቴ አጠገቤ እንዳለ ሁሉ እያንዳንዱን ቃል በግልፅ ሰማሁ እና ተረድቻለሁ። በመጀመሪያ እኔ አላመንኩም ነበር, ሙሉ በሙሉ ከድካም የተነሳ ብቻ እንደሆንኩ በማሰብ. ግን ጥሪው ተደጋገመ... በእርግጥም አባት ነበሩ።
በደስታ፣ ወደ አእምሮዬ መምጣት አልቻልኩም እና አሁንም በድንገት፣ አሁን፣ ዝም ብሎ ተነስቶ ይጠፋል ብዬ ፈራሁ!... አባቴ ግን አልጠፋም። እና ትንሽ ተረጋግቼ በመጨረሻ ልመልስለት ቻልኩ...
- እውነት አንተ ነህ!? አሁን የት ነህ?... ለምን ላላይህ አልችልም?
- ልጄ ... ሙሉ በሙሉ ስለደከመዎት አይታዩም, ውድ. አና ከእሷ ጋር እንደሆንኩ አይታለች። እና ታያለህ ውድ. ለመረጋጋት ጊዜ ብቻ ያስፈልግዎታል.
ንፁህ ፣ የለመደው ሙቀት በመላ ሰውነቴ ተሰራጭቶ በደስታ እና በብርሃን ሸፈነኝ...
- እንዴት ነህ አባዬ!? ምን እንደሚመስል ንገረኝ ይሄ ሌላ ህይወት?.. ምን ይመስላል?
- ድንቅ ነች, ውድ! ... እሷ ብቻ ያልተለመደች ነች. እናም ከቀድሞው ምድራዊያችን የተለየ!.. እዚህ ሰዎች በራሳቸው ዓለም ይኖራሉ። እና እነሱ በጣም ቆንጆዎች ናቸው, እነዚህ "ዓለማት"! .. ግን አሁንም ማድረግ አልችልም. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, አሁንም ለእኔ በጣም ገና ነው ... - ተጨማሪ ለመናገር የሚወስን ያህል ድምፁ ለሰከንድ ጸጥ አለ.
- ያንቺ ጊሮላሞ አገኘችኝ ልጄ... በምድር ላይ እንደነበረው ሁሉ ህያው እና አፍቃሪ ነው... በጣም ናፍቆት ይናፍቃል። እና ልክ እዚያ እንደሚወድህ እንድነግርህ ጠየቀኝ ... እና በምትመጣበት ጊዜ ሁሉ እየጠበቀህ ነው ... እናትህም ከእኛ ጋር ነች። ሁላችንም እንወድሃለን እንጠብቅሃለን ውድ። የምር ናፍቆትሻል...ልጄ እራስህን ጠብቅ። ካራፋ በአንተ ላይ የማሾፍ ደስታን አትፍቀድ.
- አባት ሆይ ፣ እንደገና ወደ እኔ ትመጣለህ? እንደገና እሰማሃለሁ? - በድንገት ይጠፋል ብዬ ፈርቼ ጸለይሁ።
- ተረጋጋ ፣ ሴት ልጅ። አሁን ይሄ የኔ አለም ነው። እና የካራፋ ኃይል ወደ እሱ አይዘረጋም. አንቺን ወይም አናን ፈጽሞ አልተውሽም። በደወልክ ቁጥር ወደ አንተ እመጣለሁ። ተረጋጋ ውዴ።
- ምን ይሰማሃል አባት? የሚሰማህ ነገር አለ?... - በእኔ የዋህነት ጥያቄ ትንሽ አፍሬያለው፣ አሁንም ጠየኩት።
- በምድር ላይ የተሰማኝን ሁሉ ይሰማኛል ፣ የበለጠ ብሩህ። በድንገት በቀለማት የተሞላ የእርሳስ ስዕል አስቡት - ሁሉም ስሜቶቼ ፣ ሁሉም ሀሳቦቼ በጣም ጠንካራ እና የበለጠ በቀለማት ያሸበረቁ ናቸው። እና አንድ ተጨማሪ ነገር ... የነፃነት ስሜት በጣም አስደናቂ ነው! .. እኔ እንደ ሁልጊዜው ተመሳሳይ ነኝ, ግን በተመሳሳይ ጊዜ ፍጹም የተለየ ነው ... እንዴት እንደማብራራዎት አላውቅም. የበለጠ በትክክል ፣ ውድ ... ወዲያውኑ የአለምን ሁሉ እቅፍ አድርጌ ወይም ሩቅ ፣ ሩቅ ፣ ወደ ኮከቦች ለመብረር እንደምችል ... ሁሉም ነገር የሚቻል ይመስላል ፣ የፈለግኩትን ማንኛውንም ነገር ማድረግ እንደምችል! በቃላት ለመናገር በጣም ከባድ ነው ... ግን እመኑኝ, ሴት ልጅ, ድንቅ ነው! እና አንድ ተጨማሪ ነገር ... አሁን ህይወቴን በሙሉ አስታውሳለሁ! በአንድ ወቅት በእኔ ላይ የደረሰውን ሁሉ አስታውሳለሁ ... ሁሉም ነገር አስደናቂ ነው. ይህ "ሌላ" ህይወት, እንደ ተለወጠ, በጣም መጥፎ አይደለም ... ስለዚህ, አትፍሩ, ሴት ልጅ, እዚህ መምጣት ካለብዎት, ሁላችንም እንጠብቅዎታለን.
- ንገረኝ ፣ አባቴ ... እዚያም እንደ ካራፋ ያሉ ሰዎች በእውነት አስደናቂ ሕይወት ይጠብቃሉ? ... ግን ፣ እንደዚያ ከሆነ ፣ ይህ እንደገና አስፈሪ ኢፍትሃዊነት ነው!… ሁሉም ነገር በእውነቱ በምድር ላይ እንደገና ይሆናል?! .በእርግጥ በፍፁም ቅጣት አይቀበልም?!!
- አይ, ደስታዬ, እዚህ ለካራፋ ቦታ የለም. እንደ እሱ ያሉ ሰዎች ወደ አስከፊ ዓለም ሲሄዱ ሰምቻለሁ፣ ነገር ግን እስካሁን አልደረስኩም። እነሱ የሚገባቸው ይህ ነው ይላሉ!... ላየው ፈልጌ ነበር፣ ግን እስካሁን ጊዜ አላገኘሁም። አይዞሽ ሴት ልጅ፣ እዚህ ሲደርስ የሚገባውን ያገኛል።
“ከዚያ ልትረዳኝ ትችላለህ አባት?” በድብቅ ተስፋ ጠየቅሁ።
- አላውቅም, ውድ ... ይህን ዓለም እስካሁን አልገባኝም. እኔ የመጀመሪያውን እርምጃውን እንደወሰደ ልጅ ነኝ ... መልስ ከመስጠትዎ በፊት መጀመሪያ "መራመድን መማር" አለብኝ ... እና አሁን መሄድ አለብኝ. ይቅርታ ማር። በመጀመሪያ በሁለቱ ዓለማችን መካከል መኖርን መማር አለብኝ። እና ከዚያ ብዙ ጊዜ ወደ አንተ እመጣለሁ. አይዞራ ፣ አይዞራ ፣ እና ለካራፋ በጭራሽ አትስጡ። እሱ በእርግጠኝነት የሚገባውን ያገኛል ፣ እመኑኝ ።
ሙሉ በሙሉ ቀጭን እስኪሆን እና እስኪጠፋ ድረስ የአባቴ ድምጽ ጸጥ አለ ... ነፍሴ ተረጋጋች። እሱ በእርግጥ እሱ ነበር!... እና እንደገና ኖረ፣ አሁን በራሱ፣ አሁንም ለእኔ የማላውቀው፣ ከሞት በኋላ ያለው አለም... ግን አሁንም አሰበ እና ተሰማው፣ እሱ ራሱ እንደተናገረው - ከኖረበት ጊዜ የበለጠ ብሩህ ነው። ምድር። ከእንግዲህ ስለ እርሱ እንደማላውቅ መፍራት አልቻልኩም... ለዘላለም ጥሎኝ እንደሄደ።
የሴትነቷ ነፍሴ ግን ሁሉም ነገር ቢሆንም አሁንም ስለ እርሱ አዘነች... ብቸኝነት ሲሰማኝ እንደ ሰው ማቀፍ ስለማልችል... ጭንቀቴን መደበቅና መፍራት እንደማልችል ነው። ሰፊው ደረቱ፣ ሰላም የሚፈልግ... ጠንካራና ረጋ ያለ መዳፉ የዛሉትን ጭንቅላቴን መምታት እንደማይችል፣ ሁሉም ነገር ይከናወናል እና ሁሉም ነገር በእርግጠኝነት መልካም ይሆናል እያለኝ... እነዚህን ጥቃቅን እና ኢምንት የሚመስሉ በተስፋ ናፍቆት ነበር፣ ግን እንደዚህ አይነት ውድ፣ ሙሉ በሙሉ “የሰው” ደስታዎች፣ እና ነፍስ ለእነሱ ተራበች፣ ሰላም አላገኘችም። አዎ ተዋጊ ነበርኩ... ግን ሴትም ነበርኩ። ከሁሉ የከፋው ነገር ቢከሰትም አባቴ ሁል ጊዜ እዚያ እንደሚገኝ ሁልጊዜም የምታውቀው አንድያ ልጁ ሁል ጊዜ ከእኔ ጋር እንደሚሆን ነው ... እና ይህ ሁሉ በጣም ናፈቀኝ ...
እንደምንም የበዛ ሀዘኔን እያወዛወዝኩ ስለ ካራፋ እንዳስብ አስገደደኝ። ይህ “ሰላም” ጊዜያዊ እፎይታ እንደሆነ በትክክል ስለተረዳሁ እንደዚህ አይነት ሀሳቦች ወዲያው ውስጤን ያዝኑኝ እና ውስጤን እንድሰበስብ አስገደዱኝ...
በጣም የሚገርመኝ ግን ካራፋ አሁንም አልታየም...
ቀናት አለፉ እና ጭንቀት ጨመረ። ስለሌላው መቅረት አንዳንድ ማብራሪያዎችን ለማቅረብ ሞከርኩ፣ ግን በሚያሳዝን ሁኔታ፣ ምንም ከባድ ነገር ወደ አእምሮዬ አልመጣም... የሆነ ነገር እያዘጋጀ እንደሆነ ተሰማኝ፣ ግን ምን እንደሆነ መገመት አልቻልኩም። የተዳከሙ ነርቮች መንገድ ሰጡ። እና በመጠባበቅ ሙሉ ​​በሙሉ እንዳላበድ, በየቀኑ በቤተ መንግሥቱ መዞር ጀመርኩ. መውጣት አልተከለከልኩም፣ ነገር ግን አልተፈቀደም ነበር፣ ስለሆነም፣ መቆለፉን ለመቀጠል ሳልፈልግ፣ ለእግር ጉዞ እንድሄድ ለራሴ ወሰንኩኝ... ምናልባት አንድ ሰው የማይወደው ቢሆንም። ቤተ መንግሥቱ ግዙፍ እና ያልተለመደ ሀብታም ሆነ። የክፍሎቹ ውበት ምናቡን አስገርሞ ነበር፣ ግን በግሌ እንደዚህ አይነት አይን በሚስብ የቅንጦት ኑሮ መኖር አልችልም...የግድግዳው እና ጣሪያው ግርዶሽ ጨቋኝ፣ አስደናቂውን የፍሬስኮዎች ጥበብ የሚጥስ፣ በሚያብረቀርቅ ወርቃማ አካባቢ ውስጥ የሚታፈን ነበር። ድምፆች. ይህን ድንቅ ቤት ለሳሉት፣ ለሰዓታት ፈጠራቸውን እያደነቁ እና ምርጡን የዕደ ጥበብ ጥበብን ከልብ በማድነቅ፣ ይህን ድንቅ ቤት ለሳሉት አርቲስቶች ችሎታ በደስታ አቀረብኩ። እስካሁን ማንም አላስቸገረኝም፣ ማንም አልከለከለኝም። ምንም እንኳን ሁል ጊዜ አንዳንድ ሰዎች ተገናኝተው በአክብሮት ተንበርክከው ወደየራሳቸው ጉዳይ የሚሯሯጡ ነበሩ። ምንም እንኳን እንደዚህ አይነት የውሸት "ነፃነት" ቢሆንም ይህ ሁሉ አስደንጋጭ ነበር, እና እያንዳንዱ አዲስ ቀን የበለጠ እና የበለጠ ጭንቀት ያመጣል. ይህ "መረጋጋት" ለዘላለም ሊቆይ አይችልም. እናም በእርግጠኝነት ለእኔ አንዳንድ አሰቃቂ እና የሚያሰቃይ መጥፎ አጋጣሚዎችን "እንደሚወልድ" እርግጠኛ ነበርኩ…

ለተከታታይ ውህደት አስፈላጊ መስፈርት (አረጋግጥ)።

ቲዎሪ 1.(ለተከታታይ ተከታታይ ቁጥር አስፈላጊ ሁኔታ)። ተከታታይ ቁጥር ከሆነ ይሰበሰባል, ያ .

ማረጋገጫ።ተከታታይ ይሰበሰባል, ማለትም. ገደብ አለው። አስተውል፣ ያንን።

እስቲ እናስብ። ከዚያም. ከዚህ,.

ማብራሪያ 1.ሁኔታው ካልተሟላ, ከዚያም ተከታታይ ይለያያል።

ማስታወሻ 1.ሁኔታው ለተከታታይ ቁጥር መገጣጠም በቂ አይደለም። ለምሳሌ, harmonic ተከታታይቢፈጠርም ይለያያል።

ፍቺ 1.ተከታታይ ቁጥር አንድ n +1 +አንድ n+2 +…=፣ የመጀመሪያውን በመጣል ከተሰጠው ረድፍ የተገኘ ፒአባላት ተጠርተዋል n -ኤም ቀሪውንየዚህ ረድፍ እና የተሰየመ ነው አር.ኤን.

ቲዎሪ 2.ተከታታይ ቁጥር ከሆነ ይሰበሰባል ፣ ከዚያ የቀረው ሁሉ ይሰበሰባል. ተመለስ:ከተከታታዩ ውስጥ ቢያንስ አንድ ቀሪው ከተጣመረ፣ ተከታታዩ ራሱ ይሰበሰባል። ከዚህም በላይ ለማንኛውም nበርቷል እኩልነት ኤስ=ኤስ n+አር.ኤን .

ማብራሪያ 2.የመጀመሪያዎቹን ጥቂት ቃላቶች ካስወገዱ ወይም ካከሉ የቁጥር ተከታታይ ውህደት ወይም ልዩነት አይቀየርም።

ማብራሪያ 3..

32. የንጽጽር መመዘኛዎች እና ለአዎንታዊ ተከታታይ ምልክት

ቲዎሪ 1(ተከታታይን ከአዎንታዊ ቃላት ጋር በእኩልነት የማነፃፀር ምልክት) . ፍቀድእና - ተከታታይ አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት, እና ለእያንዳንዱ nበርቷል ሁኔታ a n ረክቷል£ bn. ከዚያም:

1) ከተከታታዩ ውህደትከትላልቅ ቃላት ጋር ተከታታዩ ይሰበሰባሉከትንሽ አባላት ጋር;

2) ከተከታታዩ ልዩነትበትንሽ ቃላት ፣ ተከታታዩ ይለያያሉ።ከትላልቅ ዲኮች ጋር።

ማስታወሻ 1.ሁኔታው ከሆነ ጽንሰ-ሐሳቡ እውነት ነው እና n£ ለ nከተወሰነ ቁጥር ተገድሏል ኤንÎ ኤን .

ቲዎሪ 2(የተከታታይ ንጽጽር ምልክት ከአዎንታዊ ቃላት ጋር በገደብ መልክ) .

ፍቀድእና - ተከታታይ አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት እና አለ . ከዚያ እነዚህ ተከታታዮች በአንድ ጊዜ ይሰባሰባሉ ወይም ይለያያሉ። .

33. የD'Alembert ተከታታይ የአዎንታዊ ምልክቶች ውህደት

ቲዎሪ 1(የአሌምበርት ምልክት) ፍቀድ - አዎንታዊ ቃላት ያለው ተከታታይ አለ። .

ከዚያም ተከታታዩ በq ላይ ይሰበሰባሉ<1 እና q ላይ ይለያያል>1 .

ማረጋገጫ።ፍቀድ ቅ<1. Зафиксируем число አርለምሳሌ ቅ<ገጽ< 1. По определению የቁጥር ቅደም ተከተል ገደብ, ከአንዳንድ ቁጥሮች ኤንÎ ኤንእኩልነት ይይዛል አንድ n +1 /አንድ n<ገጽ፣እነዚያ። አንድ n +1 <p×a n.ከዚያም አንድ N +1 < p×a N፣ a N +2 <p 2 ×a N .ለማንኛውም ያንን በማስተዋወቅ ማሳየት ቀላል ነው። ክÎ ኤንእኩልነት እውነት , a N + ኪ<p k ×a N .ግን ተከታታዩ እንደ ጂኦሜትሪክ ተከታታይ (ጂኦሜትሪክ ተከታታይ) ይሰበሰባሉ ( ገጽ<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд እንዲሁም ይሰበሰባል. ስለዚህ፣ ተከታታዩ እንዲሁ ይሰበሰባል (በቲዎረም 2.2)።

ፍቀድ ቅ>1. ከዚያም ከተወሰነ ቁጥር ኤንÎ ኤንእኩልነት እውነት አንድ n +1 /አንድ n>1፣ ማለትም አንድ n +1 >አንድ n.ስለዚህ, ከቁጥር ኤንተከታይ ( አንድ n) እየጨመረ እና ሁኔታው ​​አልረካም. ከዚህ በመነሳት፣ በCorollary 2.1፣ ተከታታዩ የሚለያዩት በ ቅ>1.



ማስታወሻ 1.የተዋሃደውን ፈተና በመጠቀም የቁጥር ተከታታይ መሆኑን ማረጋገጥ ቀላል ነው። ከሆነ ይሰበሰባል ሀ>1፣ እና ከሆነ ይለያያል ሀ£1. ረድፍ ተብሎ ይጠራል harmonic ተከታታይ, እና ተከታታይ በዘፈቀደ ሀÎ አርተብሎ ይጠራል አጠቃላይ harmonic ተከታታይ.

34. ተለዋጭ ረድፎች. ሊብኒዝ ለተለዋዋጭ ተከታታዮች ምልክት ውህደት ሙከራ

የዘፈቀደ ምልክቶችን በተመለከተ ተከታታይ ጥናት በጣም ከባድ ስራ ነው, ነገር ግን በሁለት ሁኔታዎች ምቹ ምልክቶች አሉ: ለተከታታይ ተለዋጭ ምልክቶች - የሊብኒዝ ቲዎሪ; ፍፁም ለተሰባሰቡ ተከታታይ ተከታታይ የጥናት ምልክቶች አሉታዊ ካልሆኑ ቃላት ጋር እንተገብራለን።

ፍቺ 1.ተከታታይ ቁጥር ተጠርቷል ምልክት ሰጪ, ማንኛውም ሁለት ተያያዥ ቃላት ተቃራኒ ምልክቶች ካላቸው, ማለትም. ተከታታዩ ቅጹ ወይም , የት አንድ n> 0 ለእያንዳንዱ nÎ ኤን .

ቲዎሪ 1(ላይብኒዝ) ተለዋጭ ተከታታይ ከሚከተሉት ይሰበሰባል፡-

1) (አንድ n) - የማይጨምር ቅደም ተከተል;

2) በ.

በዚህ ሁኔታ, የተለዋዋጭ ተከታታይ ድምር ሞጁል ከመጀመሪያው ጊዜ ሞጁል አይበልጥም, ማለትም.|ኤስ|£ ሀ 1 .

ለዳሚዎች ረድፎች. የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

የተረፉትን ሁሉ በሁለተኛው ዓመት እንኳን ደህና መጣችሁ! በዚህ ትምህርት, ወይም ይልቁንስ, በተከታታይ ትምህርቶች, ረድፎችን እንዴት ማስተዳደር እንደሚቻል እንማራለን. ርዕሱ በጣም የተወሳሰበ አይደለም, ነገር ግን እሱን መቆጣጠር ከመጀመሪያው አመት እውቀትን ይጠይቃል, በተለይም መረዳት ያስፈልግዎታል ገደብ ምንድን ነው, እና በጣም ቀላል የሆኑትን ገደቦች ማግኘት መቻል. ነገር ግን፣ ምንም አይደለም፣ እንደገለጽኩት፣ አስፈላጊ ለሆኑ ትምህርቶች ተዛማጅ አገናኞችን አቀርባለሁ። ለአንዳንድ አንባቢዎች፣ የሂሳብ ተከታታይ ርዕስ፣ የመፍትሄ ዘዴዎች፣ ምልክቶች፣ ቲዎሬሞች ልዩ፣ እና እንዲያውም አስመሳይ፣ የማይረባ ሊመስሉ ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ, በጣም "መጫን" አያስፈልግዎትም, እውነታዎችን እንደነበሩ እንቀበላለን እና የተለመዱ የተለመዱ ተግባሮችን ለመፍታት በቀላሉ እንማራለን.

1) ለዱሚዎች ረድፎችእና ለ samovars ወዲያውኑ ይዘት :)

በርዕሱ ላይ ለፈጣን ዝግጅትበፒዲኤፍ ቅርጸት ግልጽ የሆነ ኮርስ አለ፣ በእሱ እርዳታ ልምምድዎን በትክክል በአንድ ቀን ውስጥ “ማሳደግ” ይችላሉ።

የቁጥር ተከታታይ ጽንሰ-ሐሳብ

በአጠቃላይ ተከታታይ ቁጥርእንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል።
እዚህ፡
- የሂሳብ ድምር አዶ;
– የተከታታዩ የጋራ ቃል(ይህን ቀላል ቃል አስታውስ);
- "ቆጣሪ" ተለዋዋጭ. ማስታወሻው ማጠቃለያው ከ 1 ወደ “ፕላስ ኢንፊኒቲቲ” ይከናወናል ማለት ነው ፣ ማለትም ፣ መጀመሪያ እኛ አለን ፣ ከዚያ ፣ ከዚያ ፣ እና የመሳሰሉት - ወደ ማለቂያ። በተለዋዋጭ ምትክ, ተለዋዋጭ ወይም አንዳንድ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል. ማጠቃለያ የግድ ከአንድ አይጀምርም፤ በአንዳንድ ሁኔታዎች ከዜሮ፣ ከሁለት ወይም ከማንኛውም ሊጀምር ይችላል። የተፈጥሮ ቁጥር.

በ “ቆጣሪ” ተለዋዋጭ መሠረት ማንኛውም ተከታታይ ሊሰፋ ይችላል-
- እና ወዘተ፣ ማስታወቂያ ኢንፊኒተም

አካላት - ይህ NUMBERSየሚባሉት አባላትረድፍ. ሁሉም አሉታዊ ካልሆኑ (ከዜሮ በላይ ወይም እኩል), ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ ተከታታይ ይባላል አዎንታዊ ተከታታይ ቁጥር.

ምሳሌ 1



በነገራችን ላይ ይህ ቀድሞውኑ “ውጊያ” ተግባር ነው - በተግባር ብዙ ጊዜ ብዙ ተከታታይ ቃላትን መጻፍ አስፈላጊ ነው።

በመጀመሪያ ከዚያም፡-
ከዚያ በኋላ፡-
ከዚያ በኋላ፡-

ሂደቱ ላልተወሰነ ጊዜ ሊቀጥል ይችላል, ነገር ግን እንደ ቅድመ ሁኔታው ​​የተከታታዩን የመጀመሪያዎቹን ሶስት ቃላት ለመጻፍ ያስፈልግ ነበር, ስለዚህ መልሱን እንጽፋለን.

እባኮትን መሰረታዊ ልዩነት ከ የቁጥር ቅደም ተከተል,
ቃላቶቹ ያልተጠቃለሉበት ፣ ግን እንደዚሁ ይቆጠራሉ።

ምሳሌ 2

የተከታታዩን የመጀመሪያዎቹን ሶስት ቃላት ጻፍ

ይህ በራስዎ ለመፍታት ምሳሌ ነው, መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው

በአንደኛው እይታ ውስብስብ ለሆነ ተከታታይ እንኳን ቢሆን ፣ በተስፋፋ መልኩ ለመግለጽ አስቸጋሪ አይደለም ።

ምሳሌ 3

የተከታታዩን የመጀመሪያዎቹን ሶስት ቃላት ጻፍ

በእውነቱ ፣ ተግባሩ የሚከናወነው በቃል ነው- በተከታታዩ የጋራ ቃል ውስጥ በአእምሮ መተካትበመጀመሪያ, ከዚያም እና. በመጨረሻ፡-

መልሱን እንደሚከተለው እንተወዋለን። የተፈጠሩትን ተከታታይ ቃላትን አለማቃለል የተሻለ ነው, ያውና አታድርጉድርጊቶች:,,. ለምን? መልሱ በቅጹ ነው። ለመምህሩ ለመፈተሽ በጣም ቀላል እና የበለጠ ምቹ ነው.

አንዳንድ ጊዜ ተቃራኒው ተግባር ይከሰታል

ምሳሌ 4



እዚህ ምንም ግልጽ መፍትሔ አልጎሪዝም የለም, ንድፉን ብቻ ማየት ያስፈልግዎታል.
በዚህ ሁኔታ፡-

ለመፈተሽ፣ የተገኘው ተከታታዮች በተስፋፋ መልኩ "በኋላ ሊጻፍ" ይችላል።

በራስዎ ለመፍታት ትንሽ የተወሳሰበ ምሳሌ ይኸውና፡

ምሳሌ 5

ድምርን በተሰበሰበ ቅጽ ከተከታታዩ የጋራ ቃል ጋር ይፃፉ

ተከታታዩን በድጋሚ በመጻፍ ቼክ ያከናውኑ

የተከታታይ ቁጥሮች መመጣጠን

የርዕሱ ዋና ዓላማዎች አንዱ ነው። ተከታታይ ጥናት ለማገናኘት. በዚህ ሁኔታ ሁለት ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ-

1) ረድፍይለያያል. ይህ ማለት ወሰን የሌለው ድምር ከኢንፍኔቲዝም ጋር እኩል ነው፡ ወይም በአጠቃላይ ድምር አልተገኘም, እንደ, ለምሳሌ, በተከታታይ
(እዚህ, በነገራችን ላይ, አሉታዊ ቃላት ያሉት ተከታታይ ምሳሌ ነው). በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ የተለያየ ቁጥር ያለው ጥሩ ምሳሌ ተገኝቷል፡- . እዚህ ላይ እያንዳንዱ ቀጣይ አባል ከቀዳሚው እንደሚበልጥ ግልጽ ነው። እና, ስለዚህ, ተከታታዮቹ ይለያያሉ. የበለጠ ቀላል ምሳሌ፡- .

2) ረድፍይሰበሰባል. ይህ ማለት ማለቂያ የሌለው ድምር ከአንዳንዶች ጋር እኩል ነው ማለት ነው። የመጨረሻ ቁጥር: . አባክሽን: - ይህ ተከታታይ ይሰበሰባል እና ድምር ዜሮ ነው። የበለጠ ትርጉም ያለው ምሳሌ ልንጠቅስ እንችላለን ያለማቋረጥ እየቀነሰከትምህርት ቤት ጀምሮ የምናውቀው የጂኦሜትሪክ እድገት፡- . ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃላቶች ድምር ቀመርን በመጠቀም ይሰላል፡- የሂደቱ የመጀመሪያ ቃል የት ነው ያለው፣ እና መሰረቱ ነው፣ እሱም ብዙውን ጊዜ በቅጹ የተጻፈ። ትክክልክፍልፋዮች በዚህ ሁኔታ፡. ስለዚህም፡- አንድ የተወሰነ ቁጥር ተገኝቷል, ይህም ማለት ተከታታዩ ይሰበሰባሉ, ይህም መረጋገጥ ያስፈልገዋል.

ሆኖም ፣ በአብዛኛዎቹ ጉዳዮች የተከታታዩን ድምር ያግኙበጣም ቀላል አይደለም, እና ስለዚህ በተግባር, ተከታታይ ውህደትን ለማጥናት, በንድፈ ሀሳብ የተረጋገጡ ልዩ ምልክቶች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

የተከታታይ ውህደት በርካታ ምልክቶች አሉ- ለተከታታይ ውህደት አስፈላጊ ፈተና፣ የንፅፅር ፈተናዎች፣ የD'Alembert ፈተና፣ የካውቺ ፈተናዎች, የሊብኒዝ ምልክትእና አንዳንድ ሌሎች ምልክቶች. የትኛውን ምልክት መጠቀም መቼ ነው?በምሳሌያዊ አነጋገር, በተከታታይ "መሙላት" ላይ በተከታታዩ የጋራ አባል ላይ የተመሰረተ ነው. እና በቅርቡ ሁሉንም ነገር እናስተካክላለን።

! ትምህርቱን የበለጠ ለመማር, ያስፈልግዎታል በደንብ መረዳትገደብ ምንድን ነው እና የአንድን አይነት እርግጠኛ አለመሆንን ማሳየት መቻል ጥሩ ነው። ትምህርቱን ለመገምገም ወይም ለማጥናት እባክዎን ጽሑፉን ይመልከቱ ገደቦች የመፍትሄዎች ምሳሌዎች.

የተከታታይ ውህደት አስፈላጊ ምልክት

ተከታታይ ከተጣመረ፣ የጋራ ቃሉ ወደ ዜሮ ይቀየራል።

ንግግሩ በአጠቃላይ ሁኔታ እውነት አይደለም፣ ማለትም፣ ከሆነ፣ ከዚያም ተከታታዮቹ ሊጣመሩ ወይም ሊለያዩ ይችላሉ። እና ስለዚህ ይህ ምልክት ለማጽደቅ ጥቅም ላይ ይውላል ልዩነቶችረድፍ:

የተከታታዩ የጋራ ቃል ከሆነ ወደ ዜሮ አይቀናም, ከዚያም ተከታታዮቹ ይለያያሉ

ወይም በአጭሩ: ከሆነ, ከዚያም ተከታታዮቹ ይለያያሉ. በተለይም ገደቡ በጭራሽ የማይኖርበት ሁኔታ ሊኖር ይችላል ፣ ለምሳሌ ፣ ገደብ. ስለዚህ ወዲያውኑ የአንድ ተከታታይ መለያየትን አጸደቁ :)

ግን ብዙ ጊዜ ፣የተለያዩ ተከታታይ ገድብ ከማይታወቅ ጋር እኩል ነው ፣ እና በ “x” ፈንታ እንደ “ተለዋዋጭ” ተለዋዋጭ ነው። እውቀታችንን እናድስ፡ በ “x” ገደቦች የተግባር ገደብ ይባላሉ፣ እና ከተለዋዋጭ “en” ጋር ገደቦች የቁጥር ቅደም ተከተሎች ገደብ ይባላሉ። ግልጽ የሆነው ልዩነት ተለዋዋጭ "en" የተለየ (የተቋረጠ) የተፈጥሮ እሴቶችን ይወስዳል፡ 1፣ 2፣ 3፣ ወዘተ. ነገር ግን ይህ እውነታ ገደቦችን ለመፍታት እና እርግጠኛ ያልሆኑትን ለመግለጽ ዘዴዎች ላይ ትንሽ ተፅእኖ የለውም።

ከመጀመሪያው ምሳሌ ውስጥ ያሉት ተከታታዮች እንደሚለያዩ እናረጋግጥ።
የተከታታዩ የጋራ አባል፡-

ማጠቃለያ: ረድፍ ይለያያል

አስፈላጊው ባህሪ ብዙውን ጊዜ በእውነተኛ ተግባራዊ ተግባራት ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል-

ምሳሌ 6

በቁጥር እና በተከፋፈለው ውስጥ ብዙ ቁጥር አለን። በአንቀጹ ውስጥ እርግጠኛ አለመሆንን የመግለፅ ዘዴን በጥንቃቄ ያነበበ እና የተረዳ ገደቦች የመፍትሄዎች ምሳሌዎች፣ ምናልባት ያንን ያዝኩት የቁጥር እና የቁጥር ከፍተኛ ኃይሎች ሲሆኑ እኩል ነው።, ከዚያ ገደቡ ነው የመጨረሻ ቁጥር .


አሃዛዊውን እና መለያውን በ

ተከታታይ በጥናት ላይ ይለያያል, ለተከታታዩ ውህደት አስፈላጊው መስፈርት ስላልተሟላ.

ምሳሌ 7

ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ

ስለዚህ፣ ተከታታይ ቁጥር ሲሰጠን፣ በመጀመሪያእኛ እንፈትሻለን (በአእምሯዊ ወይም በረቂቅ ላይ)፡ የጋራ ቃሉ ወደ ዜሮ ያቀናል? ካልሆነ, በምሳሌ ቁጥር 6, 7 ላይ በመመስረት መፍትሄ እናቀርባለን እና ተከታታዩ የሚለያይ መልስ እንሰጣለን.

ምን አይነት የተለያዪ የሚመስሉ ተከታታዮችን ተመልክተናል? ተከታታዮች እንደሚወዱ ወይም እንደሚለያዩ ወዲያውኑ ግልጽ ነው። ተከታታይ ምሳሌዎች ቁጥር 6፣7 እንዲሁ ይለያያሉ፡- አሃዛዊው እና መለያው ፖሊኖሚሎችን ሲይዝ እና የቁጥር ቆጣሪው የመሪነት ኃይል ከዋናው መሪ ኃይል የበለጠ ወይም እኩል ከሆነ. በእነዚህ ሁሉ ሁኔታዎች ምሳሌዎችን ሲፈቱ እና ሲያዘጋጁ, አስፈላጊውን የተከታታይ ውህደት ምልክት እንጠቀማለን.

ምልክቱ ለምን ተጠራ? አስፈላጊ? በጣም ተፈጥሯዊ በሆነው መንገድ ይረዱ: ተከታታዮች እንዲሰበሰቡ, አስፈላጊ, ስለዚህ የእሱ የተለመደ ቃል ወደ ዜሮ ይቀየራል. እና ሁሉም ነገር በጣም ጥሩ ይሆናል, ግን ተጨማሪ አለ በቂ አይደለም. በሌላ ቃል, የተከታታይ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ የሚመራ ከሆነ፣ ይህ ማለት ተከታታዩ ይገናኛሉ ማለት አይደለም- ሁለቱም ሊጣመሩ እና ሊለያዩ ይችላሉ!

መገናኘት:

ይህ ተከታታይ ይባላል harmonic ተከታታይ. እባክዎን ያስታውሱ! ከቁጥር ተከታታይ መካከል እሱ ፕሪማ ባላሪና ነው። ይበልጥ በትክክል፣ ባለሪና =)

ያንን ማየት ቀላል ነው። ፣ ግን። በሂሳብ ትንተና ንድፈ ሃሳብ ውስጥ ተረጋግጧል harmonic ተከታታይ ይለያያሉ.

እንዲሁም አጠቃላይ የሃርሞኒክ ተከታታይ ጽንሰ-ሀሳብን ማስታወስ አለብዎት-

1) ይህ ረድፍ ይለያያልበ. ለምሳሌ, ተከታታይ,, የተለያዩ.
2) ይህ ረድፍ ይሰበሰባልበ. ለምሳሌ, ተከታታይ ,,, ተሰብስበው. እኔ አንድ ጊዜ እንደገና አፅንዖት ለመስጠት በሁሉም ተግባራዊ ተግባራት ውስጥ ለእኛ ምንም ያህል አስፈላጊ አይደለም ፣ ለምሳሌ ፣ ተከታታይ ድምር ምን ያህል እኩል ነው ፣ የመገጣጠም እውነታ አስፈላጊ ነው.

እነዚህ ቀደም ሲል የተረጋገጡ ተከታታይ ፅንሰ-ሀሳቦች የመጀመሪያ ደረጃ እውነታዎች ናቸው ፣ እና ማንኛውንም ተግባራዊ ምሳሌ ሲፈቱ ፣ ለምሳሌ ፣ የተከታታይ መለያየትን ወይም የተከታታይ ውህደትን በደህና መጥቀስ ይችላሉ።

በአጠቃላይ, በጥያቄ ውስጥ ያለው ቁሳቁስ በጣም ተመሳሳይ ነው ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች ጥናት, እና ይህን ርዕስ ያጠኑ ሰዎች ቀላል ይሆናል. ደህና ፣ ላላጠኑት ፣ በእጥፍ ቀላል ነው :)

ስለዚህ፣ የተከታታይ TENDS የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ከሆነ ምን ማድረግ አለበት?በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ምሳሌዎችን ለመፍታት ሌሎችን መጠቀም ያስፈልግዎታል በቂ የመገጣጠም/የመለያየት ምልክቶች፡-

የንፅፅር መስፈርቶች ለአዎንታዊ ተከታታይ ቁጥሮች

ትኩረታችሁን እሳበዋለሁእዚህ የምንናገረው ስለ አዎንታዊ ተከታታይ ቁጥር ብቻ ነው (ከአሉታዊ ቃላት ጋር).

ሁለት የንጽጽር ምልክቶች አሉ, ከመካከላቸው አንዱ በቀላሉ እደውላለሁ የንጽጽር ምልክትሌላ - የንጽጽር ገደብ.

አስቀድመን እናስብ የንጽጽር ምልክት, ወይም ይልቁንስ, የእሱ የመጀመሪያ ክፍል:

ሁለት ተከታታይ አወንታዊ ቁጥሮችን እና . የሚታወቅ ከሆነተከታታይ ፣ ይሰበሰባል, እና ከአንዳንድ ቁጥሮች ጀምሮ, አለመመጣጠን ይረካል, ከዚያም ተከታታይ እንዲሁም ይሰበሰባል.

በሌላ ቃል: ከተከታታዩ ትላልቅ ቃላቶች ጋር ከተጣመረ የተከታታዩን መገጣጠም ከትንንሽ ቃላት ጋር ይከተላል. በተግባር፣ አለመመጣጠን ብዙውን ጊዜ ለሁሉም እሴቶች ይይዛል፡-

ምሳሌ 8

ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ

መጀመሪያ፣ እንፈትሽ(በአእምሯዊ ወይም በረቂቅ) አፈፃፀም;
“በደም መውረድ” አልተቻለም ማለት ነው።

የአጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይን "ጥቅል" እንመለከታለን እና በከፍተኛ ዲግሪ ላይ በማተኮር, ተመሳሳይ ተከታታይ እናገኛለን: እንደሚሰበሰብ በንድፈ ሀሳብ ይታወቃል.

ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ግልጽ የሆነ አለመመጣጠን ይይዛል፡-

እና ትላልቅ መለያዎች ከትናንሽ ክፍልፋዮች ጋር ይዛመዳሉ፡
, ይህም ማለት በንፅፅር መስፈርት ላይ በመመስረት, በጥናት ላይ ያሉ ተከታታይ ይሰበሰባልከአጠገቡ ጋር አንድ ላይ .

ማንኛቸውም ጥርጣሬዎች ካሉዎት ሁል ጊዜ እኩልነትን በዝርዝር መግለጽ ይችላሉ!ለብዙ ቁጥሮች "en" የተሰራውን አለመመጣጠን እንፃፍ፡-
ከሆነ ታዲያ
ከሆነ ታዲያ
ከሆነ ታዲያ
ከሆነ ታዲያ
….
እና አሁን በትክክል አለመመጣጠን ግልጽ ነው ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ተሟልቷል "en".

የንፅፅር መስፈርት እና የተፈታውን ምሳሌ ከመደበኛ ያልሆነ እይታ እንመርምር። አሁንም ፣ ተከታታዩ ለምን ይገናኛሉ? ለምን እንደሆነ እነሆ። ተከታታይ ከተጣመረ, ከዚያም የተወሰነ አለው የመጨረሻመጠን: . እና ከሁሉም ተከታታይ አባላት ጀምሮ ያነሰየተከታታዩ ተጓዳኝ ውሎች ፣ ከዚያ የተከታታዩ ድምር ከቁጥሩ የበለጠ ሊሆን እንደማይችል ግልፅ ነው ፣ እና የበለጠ ፣ ከማይታወቅ ጋር እኩል ሊሆን አይችልም!

በተመሳሳይ፣ የ“ተመሳሳይ” ተከታታዮችን ትስስር ማረጋገጥ እንችላለን፡- , , ወዘተ.

! ማስታወሻ, በሁሉም ሁኔታዎች ውስጥ "ፕላስ" በዲኖሚነሮች ውስጥ አለን. ቢያንስ አንድ ሲቀነስ መኖሩ በጥያቄ ውስጥ ያለውን ምርት መጠቀምን በእጅጉ ሊያወሳስበው ይችላል። የንጽጽር ምልክት. ለምሳሌ ፣ ተከታታይ ከተለዋዋጭ ተከታታይ ጋር በተመሳሳይ መንገድ ከተነፃፀረ (ለመጀመሪያዎቹ ውሎች ብዙ አለመመጣጠኖችን ይፃፉ) ከዚያ ሁኔታው ​​በጭራሽ አይረካም! እዚህ ለማነፃፀር ሌላ convergent ተከታታይ መምረጥ ይችላሉ ፣ ግን ይህ አላስፈላጊ ቦታዎችን እና ሌሎች አላስፈላጊ ችግሮችን ያስከትላል ። ስለዚህ, የተከታታዩን ተያያዥነት ለማረጋገጥ ለመጠቀም በጣም ቀላል ነው የንጽጽር ገደብ(የሚቀጥለውን አንቀጽ ተመልከት)።

ምሳሌ 9

ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ

እና በዚህ ምሳሌ ውስጥ, ለራስዎ ግምት ውስጥ እንዲገቡ ሀሳብ አቀርባለሁ የንፅፅር ባህሪ ሁለተኛ ክፍል:

የሚታወቅ ከሆነተከታታይ ፣ ይለያያል, እና ከአንዳንድ ቁጥሮች ጀምሮ (ብዙውን ጊዜ ከመጀመሪያው)አለመመጣጠን ረክቷል, ከዚያም ተከታታይ እንዲሁም ይለያያል.

በሌላ ቃል: ከተከታታይ አነስ ያሉ ቃላት ልዩነት ከተከታታይ ትላልቅ ቃላት ጋር ያለውን ልዩነት ይከተላል.

ምን መደረግ አለበት?
በጥናት ላይ ያሉትን ተከታታይ ክፍሎች ከተለያዩ የሃርሞኒክ ተከታታይ ጋር ማወዳደር ያስፈልጋል። ለተሻለ ግንዛቤ፣ በርካታ ልዩ እኩልነቶችን ይገንቡ እና እኩልነት ፍትሃዊ መሆኑን ያረጋግጡ።

የመፍትሄው እና የናሙና ንድፍ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ናቸው.

ቀደም ሲል እንደተገለፀው, በተግባር, አሁን የተነጋገርነው የንጽጽር መስፈርት እምብዛም ጥቅም ላይ አይውልም. የቁጥር ተከታታይ እውነተኛ የስራ ፈረስ ነው። የንጽጽር ገደብ, እና ከአጠቃቀም ድግግሞሽ አንጻር ሊወዳደር የሚችለው ብቻ ነው d'Alembert ምልክት.

የቁጥር አወንታዊ ተከታታዮችን ለማነፃፀር ፈተናን ይገድቡ

ሁለት ተከታታይ አወንታዊ ቁጥሮችን እና . የእነዚህ ተከታታይ የጋራ ውሎች ጥምርታ ገደብ እኩል ከሆነ ዜሮ ያልሆነ ቁጥር: , ከዚያ ሁለቱም ተከታታዮች በአንድ ጊዜ ይሰባሰባሉ ወይም ይለያያሉ።.

የመገደብ መስፈርት መቼ ጥቅም ላይ ይውላል?የንፅፅር መገደብ መስፈርት ጥቅም ላይ የሚውለው ተከታታይ "መሙላት" ፖሊኖሚሎች ሲሆኑ ነው. በዲኖሚነተሩ ውስጥ አንድ ፖሊኖሚል፣ ወይም ፖሊኖሚሎች በሁለቱም በቁጥር እና በቁጥር። እንደ አማራጭ, ፖሊኖሚሎች ከሥሮቹ ስር ሊቀመጡ ይችላሉ.

የቀደመው የንፅፅር ምልክት የቆመበትን ረድፍ እንይ።

ምሳሌ 10

ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ

ይህን ተከታታይ ክፍል ከተከታታይ ተከታታይ ጋር እናወዳድር። ለማነፃፀር ገዳቢውን መስፈርት እንጠቀማለን. ተከታታይ መሰባሰቡ ይታወቃል። እኩል መሆኑን ማሳየት ከቻልን ውሱን ፣ ዜሮ ያልሆነቁጥር ፣ ተከታታዩም እንደሚሰበሰቡ ይረጋገጣል።


ውሱን ዜሮ ያልሆነ ቁጥር ተገኝቷል, ይህም ማለት በጥናት ላይ ያለው ተከታታይ ነው ይሰበሰባልከአጠገቡ ጋር አንድ ላይ .

ተከታታይ ንጽጽር ለምን ተመረጠ? ከአጠቃላይ ሃርሞኒክ ተከታታይ “ቤት” ውስጥ ማንኛውንም ሌላ ተከታታይ መርጠን ቢሆን ኖሮ በገደቡ ላይ ስኬታማ አንሆንም ነበር። ውሱን ፣ ዜሮ ያልሆነቁጥሮች (መሞከር ይችላሉ).

ማስታወሻገዳቢውን የንጽጽር መስፈርት ስንጠቀም ምንም ማለት አይደለም, የጋራ አባላትን ግንኙነት ለማቀናጀት በምን ቅደም ተከተል, በተጠቀሰው ምሳሌ, ግንኙነቱ በሌላ መንገድ ሊጠቃለል ይችላል: - ይህ የጉዳዩን ይዘት አይለውጥም.