የፀረ-ተውጣጣ ተግባር ጂኦሜትሪክ ትርጉም. የችግር አፈታት ምሳሌዎች

ፀረ-ተውጣጣ

ፍቺ ፀረ-ተውጣጣ ተግባር

ተግባር y=F(x)የተግባሩ ፀረ-ተውሳሽ ተብሎ ይጠራል y=f(x)በተሰጠው ክፍተት ኤክስ፣ለሁሉም ከሆነ X ∈Xእኩልነት ይይዛል፡- ረ(x) = f(x)

በሁለት መንገድ ማንበብ ይቻላል፡-

ረ የአንድ ተግባር ተወላጅ ኤፍ
ኤፍ የአንድ ተግባር ፀረ-ተውጣጣ ረ

የፀረ-ተውሳኮች ንብረት

ከሆነ ረ(x)- የአንድ ተግባር ፀረ-ተውጣጣ ረ(x)በተወሰነ የጊዜ ልዩነት ውስጥ፣ f(x) ተግባር እጅግ በጣም ብዙ ፀረ-ተውሳኮች አሉት፣ እና እነዚህ ሁሉ ፀረ ተዋጽኦዎች በቅጹ ሊጻፉ ይችላሉ። ረ(x) + ሲ, C የዘፈቀደ ቋሚ የሆነበት.

የጂኦሜትሪክ ትርጉም

የአንድ የተወሰነ ተግባር የሁሉም ፀረ-ተውሳኮች ግራፎች ረ(x)ከማንኛውም ፀረ-ተውጣጣ ግራፍ የተገኙ ናቸው ትይዩ ማስተላለፎችበ O ዘንግ በኩል በ.

ፀረ-ተውሳኮችን ለማስላት ደንቦች

የድምሩ ፀረ-ተውጣጣይ ከፀረ-ተውሳኮች ድምር ጋር እኩል ነው።. ከሆነ ረ(x)- ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x)፣ እና G(x) ፀረ ተዋጽኦ ነው። ሰ (x)፣ ያ ረ(x) +ጂ(x)- ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x) + g(x).
የማያቋርጥ ማባዛት።ከመነሻው ምልክት ሊወጣ ይችላል. ከሆነ ረ(x)- ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x), እና ክ- ቋሚ, ከዚያ k·F(x)- ፀረ-ተውጣጣ ለ k f(x).
ከሆነ ረ(x)- ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x), እና k, b- ቋሚ, እና k ≠ 0፣ ያ 1/ኪ ኤፍ (kx + ለ)- ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(kx + ለ).

አስታውስ!

ማንኛውም ተግባር ረ(x) = x 2 + ሲ , ሲ የዘፈቀደ ቋሚ ነው, እና እንዲህ ዓይነቱ ተግባር ብቻ ለሥራው ፀረ-ተውጣጣ ነው ረ (x) = 2x.

ለምሳሌ:
ረ"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

ረ(x) = 2x፣ምክንያቱም ረ"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x);

ረ(x) = 2x፣ምክንያቱም ረ"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

በአንድ ተግባር ግራፎች እና በፀረ-ተውጣጣው መካከል ያለው ግንኙነት፡-

የአንድ ተግባር ግራፍ ከሆነ ረ(x)>0 ረ(x)በዚህ ክፍተት ይጨምራል.
የአንድ ተግባር ግራፍ ከሆነ ረ(x)<0 በጊዜ ክፍተት, ከዚያም የፀረ-ተውጣጣው ግራፍ ረ(x)በዚህ የጊዜ ክፍተት ይቀንሳል.
ከሆነ ረ(x)=0, ከዚያም የፀረ-ተውጣጣው ግራፍ ረ(x)በዚህ ጊዜ ከመጨመር ወደ መቀነስ (ወይም በተቃራኒው) ይለወጣል.

ፀረ-ተውሳክን ለማመልከት, ያልተወሰነ ውህደት ምልክት ጥቅም ላይ ይውላል, ማለትም, የተዋሃደውን ገደብ ሳያሳይ.

ያልተወሰነ ውህደት

ፍቺ:

የተግባሩ f(x) ያልተወሰነ አካል F(x) + C አገላለጽ ነው፣ ያም ማለት የአንድ የተወሰነ ተግባር f(x) የሁሉም ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ነው። ያልተወሰነው ውህደት እንደሚከተለው ይገለጻል፡ \int f(x) dx = F(x) + C

ረ(x)- የተቀናጀ ተግባር ይባላል;
f (x) dx- ውህደት ይባላል;
x- የመዋሃድ ተለዋዋጭ ይባላል;
ረ(x)- የተግባር f (x) ፀረ-ተውሳኮች አንዱ;
ጋር- የዘፈቀደ ቋሚ.

ያልተወሰነ ውህደት ባህሪያት

ያልተወሰነ ውህድ ውህደቱ ከተዋሃደው ጋር እኩል ነው፡ (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
የውህደቱ ቋሚ ምክንያት ከዋናው ምልክት ሊወጣ ይችላል፡- \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
የተግባሮች ድምር (ልዩነት) ዋና ከእነዚህ ተግባራት ውህዶች ድምር (ልዩነት) ጋር እኩል ነው። \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
ከሆነ k, bቋሚዎች ናቸው፣ እና k ≠ 0፣ ከዚያ \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

ፀረ-ተውሳኮች እና ያልተወሰነ ውህዶች ሰንጠረዥ

ተግባር ረ(x)	ፀረ-ተውጣጣ ረ(x) + ሲ	ያልተወሰነ ውህዶች \int f(x) dx = F(x) + ሲ
0	ሲ	\int 0 dx = ሲ
f(x) = ኪ	F(x) = kx + ሲ	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m፣ m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) +C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + ሲ	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + ሲ
f(x) = e^x	F(x) = e^x + ሲ	\int e(^x)dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + ሲ	\int a(^x)dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \ sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \ sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\ sin (^2) x)	ረ(x) = -\ctg x + ሲ	\int \frac (dx) (\ sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + ሲ	\int \frac(dx)(\ sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + ሲ
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)(1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)(1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + ሲ	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \ sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\ sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

ኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር

ፍቀድ ረ(x)ይህ ተግባር ኤፍየዘፈቀደ ፀረ-ተውሳሽ።

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= ረ(ለ) - ኤፍ(ሀ)

የት ረ(x)- ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x)

ማለትም የተግባሩ ዋና አካል ነው። ረ(x)በአንድ ክፍተት ላይ ከፀረ-ተውሳኮች ልዩነት ጋር እኩል ነው ለእና ሀ.

የታጠፈ ትራፔዞይድ አካባቢ

Curvilinear trapezoid በአንድ ተግባር ግራፍ የተገደበ አኃዝ ነው አሉታዊ ያልሆነ እና በየተወሰነ ጊዜ የሚቀጥል ረ, የኦክስ ዘንግ እና ቀጥታ መስመሮች x = ሀእና x = ለ.

የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ አካባቢ የሚገኘው የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር በመጠቀም ነው፡-

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

የቦታ ስሌት ለአካባቢ ንድፈ ሐሳብ መሠረታዊ ነው. ስዕሉ መደበኛ ያልሆነ ቅርፅ ሲኖረው ወይም በተዋሃደ በኩል ለማስላት አስፈላጊ ከሆነ እሱን ለማግኘት ጥያቄው ይነሳል።

ይህ ጽሑፍ የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ አካባቢን በጂኦሜትሪክ ቃላት ስለ ማስላት ይናገራል። ይህ በጥምጥም እና በከርቪላይን ትራፔዞይድ አካባቢ መካከል ያለውን ግንኙነት ለመለየት ያስችላል። አንድ ተግባር f (x) ከተሰጠ እና በክፍለ ጊዜው ላይ ቀጣይ ነው [a; ለ] ፣ በገለፃው ፊት ያለው ምልክት አይለወጥም።

Yandex.RTB R-A-339285-1 ትርጉም 1

በቅጹ y = f(x) ፣ y = 0 ፣ x = a እና x = b መስመሮች የታሰረ ፣ እንደ G የተሰየመ አሃዝ ይባላል። ጥምዝ ትራፔዞይድ. S(G) የሚል ስያሜ ይወስዳል።

ከታች ያለውን ምስል እንመልከት።

የተጠማዘዘ ትራፔዞይድን ለማስላት ክፍሉን [a; ለ] ለክፍሎች ቁጥር n x i - 1; x i, i = 1, 2,. . . , n በ a = x 0 ከተገለጹት ነጥቦች ጋር< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ከዚህ እኛ P ⊂ G ⊂ Q አለን ፣ እና በክፋይ ነጥቦች ብዛት n በመጨመር ፣ የ S - s ቅጹን እኩልነት እናገኛለን< ε , где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка [ a ; b ] . Иначе это запишется как lim λ → 0 S - s = 0 . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x .

ከመጨረሻው እኩልነት የተገኘው ቅጽ ∫ a b f (x) d x ለቅጹ y = f (x) ቀጣይነት ያለው ተግባር የcurvilinear trapezoid አካባቢ ነው ። ይህ የአንድ የተወሰነ ውህደት ጂኦሜትሪክ ትርጉም ነው።

∫ a b f (x) d x ን ሲያሰሉ የሚፈለገውን ምስል ስፋት እናገኛለን y = f (x) ፣ y = 0 ፣ x = a እና x = b።

አስተያየት፡- ተግባሩ y = f (x) ከክፍለ ጊዜው ውስጥ አዎንታዊ ካልሆነ [a; ለ]፣ ከዚያም የከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት በቀመር S (G) = - ∫ a b f (x) d x ላይ ተመስርቶ ይሰላል እናገኛለን።

ምሳሌ 1

በቅጹ y = 2 · e x 3 ፣ y = 0 ፣ x = - 2 ፣ x = 3 በተሰጡት መስመሮች የተገደበውን የስዕሉን ቦታ አስሉ ።

መፍትሄ

ለመፍታት በመጀመሪያ በአውሮፕላን ላይ ምስል መገንባት አስፈላጊ ነው y = 0 ከ O x ጋር በመገጣጠም, ከቅጹ x = - 2 እና x = 3 መስመሮች ጋር, ከ o y ዘንግ ጋር ትይዩ. , ጥምዝ y = 2 e x 3 የተግባርን ግራፍ ጂኦሜትሪክ ለውጦችን በመጠቀም የተገነባበት ቦታ y = e x. ግራፍ እንገንባ።

ይህ የሚያሳየው የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ አካባቢ መፈለግ አስፈላጊ መሆኑን ነው። የተዋሃደውን የጂኦሜትሪክ ትርጉም በማስታወስ, የሚፈለገው ቦታ በአንድ የተወሰነ ውህደት ይገለጻል, እሱም መፍታት አለበት. ይህ ማለት ቀመሩን S (G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x መተግበር አስፈላጊ ነው. ይህ ያልተወሰነ ውህደት በኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር ላይ ተመስርቶ ይሰላል

ሰ (ጂ) = ∫ - 2 3 2 ሠ x 3 ዲ x = 6 ሠ x 3 - 2 3 = 6 ሠ 3 3 - 6 ሠ - 2 3 = 6 ሠ - ሠ - 2 3

መልስ፡ S (G) = 6 e - e - 2 3

አስተያየት፡- የተጠማዘዘ ትራፔዞይድ አካባቢን ለማግኘት ሁልጊዜ ምስል መገንባት አይቻልም። ከዚያም መፍትሄው እንደሚከተለው ይከናወናል. የሚታወቅ ተግባር f (x) ከተሰጠው በኋላ አሉታዊ ያልሆነ ወይም አዎንታዊ ያልሆነ [a; b ]፣ የቅጹ ቀመር S G = ∫ a b f (x) d x ወይም S G = - ∫ a b f (x) d x ጥቅም ላይ ይውላል።

ምሳሌ 2

በቅጹ y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) ፣ y = 0 ፣ x = - 2 ፣ x = 4 መስመሮች የታሰረውን ቦታ አስላ።

መፍትሄ

ይህንን አሃዝ ለመገንባት y = 0 ከ O x ጋር ሲገጣጠም x = - 2 እና x = 4 ከ O y ጋር ትይዩ ሆኖ እናገኘዋለን። የተግባሩ ግራፍ y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 የነጥቡ መጋጠሚያዎች ያሉት ፓራቦላ ነው (- 1 ፤ 3) ቅርንጫፎቹ የሚጠቁሙ ወርድ ናቸው። ወደላይ ። የፓራቦላውን መገናኛ ነጥቦች ከ O x ጋር ለማግኘት ፣ ማስላት ያስፈልግዎታል

1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 ፣ x 2 = - 2 - 36 2 = - 4

ይህ ማለት ፓራቦላ ኦህ በነጥቦች (4; 0) እና (2; 0) ይገናኛል ማለት ነው. ከዚህ በመነሳት እንደ G የተሰየመው አሃዝ ከታች በስዕሉ ላይ የሚታየውን ፎርም ይወስዳል.

ይህ አኃዝ የከርቪላይን ትራፔዞይድ አይደለም, ምክንያቱም የቅጹ ተግባር y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) በጊዜ መካከል ያለውን ምልክት ይለውጣል [- 2; 4] ። በሥዕሉ ጂ የሁለት ከርቪላይን ትራፔዞይድ ጂ = G 1 ∪ G 2 እንደ አንድነት ሊወከል ይችላል ፣ በአከባቢው ተጨማሪነት ንብረት ላይ በመመስረት ፣ S (G) = S (G 1) + S (G 2) አለን። ከታች ያለውን ግራፍ አስቡበት.

ክፍል [- 2; 4] የፓራቦላ አሉታዊ ያልሆነ ቦታ ነው ተብሎ ይታሰባል ፣ ከዚያ በኋላ አካባቢው S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x ቅጽ ይኖረዋል። ክፍል [- 2; 2] ለቅጽ ተግባር y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) አወንታዊ ያልሆነ ነው፣ ይህም ማለት በትክክለኛ ውህደት ጂኦሜትሪክ ፍቺ ላይ በመመስረት ኤስ (ጂ 1) = - ∫ እናገኛለን። - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር በመጠቀም ስሌት ማድረግ አስፈላጊ ነው. ከዚያ ትክክለኛው ውህደት ቅጹን ይወስዳል-

S (G) = S (G 1) + S (G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 3 + 2 2 - 8 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9

በ S (G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 3 + x 2 - 8 x - 2 መሰረት አካባቢውን ማግኘት ትክክል እንዳልሆነ ልብ ሊባል የሚገባው ጉዳይ ነው። 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4

የተገኘው ቁጥር አሉታዊ ስለሆነ እና ልዩነቱን S (G 2) - S (G 1) ይወክላል.

መልስ፡ S (G) = S (G 1) + S (G 2) = 124 9

አኃዞቹ በቅጹ መስመሮች የተገደቡ ከሆነ y = c, y = d, x = 0 እና x = g (y), እና ተግባሩ ከ x = g (y) ጋር እኩል ነው, እና ቀጣይ እና ቋሚ ምልክት አለው. በጊዜ ክፍተት [c; d ], ከዚያም ኩሪቪላይን ታርፔዚየም ይባላሉ.ከዚህ በታች ባለው ስእል ውስጥ አስቡበት.

ፍቺ 2

∫ c d g (y) d y እሴቱ የከርቪላይን ትራፔዞይድ ስፋት ነው ለቀጣይ እና አሉታዊ ያልሆነ ቅጽ x = g (y) በክፍተቱ ላይ ይገኛል [ c ; መ] ።

ምሳሌ 3

በ ordinate ዘንግ እና በመስመሮች x = 4 ln y + 3 ፣ y = 1 ፣ y = 4 የተገደበውን ስእል አስሉት።

መፍትሄ

የ x = 4 ln y + 3 ግራፍ ማሴር ቀላል አይደለም። ስለዚህ, ያለ ስዕል መፍታት አስፈላጊ ነው. ተግባሩ ለሁሉም የ y አወንታዊ እሴቶች መገለጹን ያስታውሱ። በጊዜ ክፍተት ላይ የሚገኙትን የተግባር ዋጋዎችን እናስብ [1; 4] ። ከአንደኛ ደረጃ ተግባራት ባህሪያት የሎጋሪዝም ተግባር በጠቅላላው የፍቺ ጎራ ላይ እንደሚጨምር እናውቃለን። ከዚያም ክፍል አይደለም [1; 4] አሉታዊ አይደለም. ይህ ማለት ln y ≥ 0 ማለት ነው። ነባሩ አገላለጽ ln y , በተመሳሳይ ክፍል ላይ የተገለጸው, አሉታዊ አይደለም. ተግባር x = 4 ln y + 3 ከ [1] ጋር እኩል በሆነ የጊዜ ክፍተት ላይ አዎንታዊ ነው ብለን መደምደም እንችላለን። 4] ። በዚህ ክፍተት ላይ ያለው አኃዝ አዎንታዊ ሆኖ እናገኘዋለን. ከዚያም ቦታው በቀመር S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y በመጠቀም ማስላት አለበት።

ያልተወሰነውን ውህደት ማስላት አስፈላጊ ነው. ይህንን ለማድረግ የተግባር x = 4 ln y + 3 ፀረ-ተውሳክን ማግኘት እና የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመርን ተግባራዊ ማድረግ ያስፈልግዎታል። ያንን እናገኛለን

∫ 4 ln y + 3 መ = 4 ∫ ln y y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + ⇒ S (ጂ) = ∫ 1 4 4 ln y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = 2 ln 2 4 + 3 4 - (2 ln 2 1 + 3 1) = 8 ln 2 2 + 9

ከዚህ በታች ያለውን ስዕል አስቡበት.

መልስ፡ S (G) = 8 ln 2 2 + 9

ውጤቶች

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የአንድ የተወሰነ ውህደት ጂኦሜትሪክ ትርጉም ለይተናል እና ከከርቪላይን ትራፔዞይድ አካባቢ ጋር ያለውን ግንኙነት አጥንተናል። ለተጠማዘዘ ትራፔዞይድ ውህድ በማስላት የተወሳሰቡ ምስሎችን ስፋት ለማስላት እድሉን እናገኛለን። በመስመሮች y = f (x) ፣ x = g (y) የታሰሩ ቦታዎችን እና አሃዞችን ለማግኘት በሚለው ክፍል ውስጥ እነዚህ ምሳሌዎች በዝርዝር ተብራርተዋል ።

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

Antiderivative ተግባር እና ያልተወሰነ ውህደት

እውነታ 1. ውህደት የልዩነት ተገላቢጦሽ ድርጊት ነው, ማለትም, ከዚህ ተግባር ከሚታወቀው የመነጨ ተግባር ወደነበረበት መመለስ. ተግባሩ በዚህ መንገድ ወደነበረበት ተመልሷል ኤፍ(x) ተብሎ ይጠራል ፀረ-ተውጣጣለተግባር ረ(x).

ፍቺ 1. ተግባር ኤፍ(x ረ(x) በተወሰነ ጊዜ ውስጥ X, ለሁሉም ዋጋዎች ከሆነ xከዚህ የጊዜ ክፍተት እኩልነት ይይዛል ኤፍ "(x)=ረ(x), ማለትም ይህ ተግባር ረ(x) የፀረ-ተውጣጣ ተግባር መነሻ ነው ኤፍ(x). .

ለምሳሌ, ተግባሩ ኤፍ(x) = ኃጢአት x የተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ነው ረ(x) = ኮ x ለማንኛውም የ x እሴት ስለሆነ በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ (ኃጢአት x)" = (ኮስ x) .

ፍቺ 2. ያልተገደበ የአንድ ተግባር ረ(x) የሁሉም ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ነው።. በዚህ ሁኔታ, ማስታወሻው ጥቅም ላይ ይውላል

∫

ረ(x)dx

ምልክቱ የት ነው ∫ ዋናው ምልክት, ተግባሩ ይባላል ረ(x) - የተቀናጀ ተግባር, እና ረ(x)dx - የተዋሃደ አገላለጽ.

ስለዚህ, ከሆነ ኤፍ(x) - አንዳንድ ፀረ-ተውሳኮች ለ ረ(x) ፣ ያ

∫

ረ(x)dx = ኤፍ(x) +ሲ

የት ሲ - የዘፈቀደ ቋሚ (ቋሚ).

የአንድ ተግባር ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ትርጉም እንደ ላልተወሰነ ውህደት ለመረዳት የሚከተለው ተመሳሳይነት ተገቢ ነው። በር (ባህላዊ የእንጨት በር) ይኑር. ተግባሩ “በር መሆን” ነው። በሩ ከምን የተሠራ ነው? ከእንጨት የተሰራ. ይህ ማለት የተግባሩ ውህደት የፀረ-ተህዋሲያን ስብስብ “በር መሆን” ፣ ማለትም ፣ ያልተወሰነ አካል ፣ “ዛፍ + C መሆን” ተግባር ነው ፣ ሐ ቋሚ ነው ፣ በዚህ አውድ ውስጥ ለምሳሌ የዛፉን ዓይነት ያመልክቱ። አንዳንድ መሣሪያዎችን በመጠቀም በር ከእንጨት እንደሚሠራ ሁሉ የአንድ ተግባር ተዋፅኦ “የተሠራው” ከፀረ-ተውሂድ ተግባር ነው ። ተዋጽኦውን ስናጠና የተማርናቸው ቀመሮች.

ከዚያ የጋራ ዕቃዎች እና ተጓዳኝ ፀረ ተዋጽኦዎች (“በር መሆን” - “ዛፍ መሆን” ፣ “ማንኪያ መሆን” - “ብረት መሆን” ወዘተ) የሥራ ሠንጠረዥ ከመሠረታዊ ሠንጠረዥ ጋር ተመሳሳይ ነው ። ያልተወሰነ ውህዶች, ከዚህ በታች ይሰጣሉ. ያልተገደበ ውህደቶች ሠንጠረዥ እነዚህ ተግባራት "የተሠሩበት" ፀረ-ተውሳኮችን በማመልከት የተለመዱ ተግባራትን ይዘረዝራል. ያልተወሰነ ውህደትን በማግኘት ላይ ካሉት ችግሮች በከፊል ብዙ ጥረት ሳያደርጉ በቀጥታ ሊዋሃዱ የሚችሉ ውህደቶች ተሰጥተዋል ፣ ማለትም ፣ ያልተወሰነ ውህደቶችን ሰንጠረዥ በመጠቀም። በጣም ውስብስብ በሆኑ ችግሮች ውስጥ, የጠረጴዛ ውህዶች ጥቅም ላይ እንዲውሉ, ውህደቱ መጀመሪያ መለወጥ አለበት.

እውነታ 2. አንድን ተግባር እንደ ፀረ-ተውጣጣ ወደነበረበት ስንመለስ የዘፈቀደ ቋሚ (ቋሚ) ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን. ሲ, እና ከተለያዩ ቋሚዎች ከ 1 እስከ መጨረሻ የሌለው የፀረ-ተውሳኮችን ዝርዝር ላለመጻፍ, የዘፈቀደ ቋሚ የሆነ ፀረ-ተውሳኮችን ስብስብ መፃፍ ያስፈልግዎታል. ሲለምሳሌ እንደዚህ፡- 5 x³+ ሲ ስለዚህ, የዘፈቀደ ቋሚ (ቋሚ) በፀረ-ተውጣጣው አገላለጽ ውስጥ ተካትቷል, ምክንያቱም ፀረ-ተውጣጣው ተግባር ሊሆን ስለሚችል, ለምሳሌ, 5. x³+4 ወይም 5 x³+3 እና ሲለዩ 4 ወይም 3፣ ወይም ሌላ ማንኛውም ቋሚ ወደ ዜሮ ይሄዳል።

የውህደት ችግርን እናስቀምጠው: ለዚህ ተግባር ረ(x) እንደዚህ አይነት ተግባር ያግኙ ኤፍ(x), የማን ተዋጽኦዎችእኩል ይሆናል ረ(x).

ምሳሌ 1.የአንድ ተግባር ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ያግኙ

መፍትሄ። ለዚህ ተግባር, ፀረ-ተውጣጣው ተግባር ነው

ተግባር ኤፍ(x) ለሥራው ፀረ-ተውሳሽ ተብሎ ይጠራል ረ(x), ተዋጽኦው ከሆነ ኤፍ(x) እኩል ነው። ረ(x), ወይም, ተመሳሳይ ነገር ነው, ልዩነት ኤፍ(x) እኩል ነው። ረ(x) dx፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

(2)

ስለዚህ, ተግባሩ የተግባር ፀረ-ተውጣጣ ነው. ይሁን እንጂ ብቸኛው ፀረ-ተውጣጣ አይደለም. እንደ ተግባራትም ያገለግላሉ

የት ጋር- የዘፈቀደ ቋሚ. ይህ በልዩነት ሊረጋገጥ ይችላል.

ስለዚህ ፣ ለአንድ ተግባር አንድ ፀረ-ተህዋስያን ካለ ፣ ለእሱ በቋሚ ቃል የሚለያዩ ማለቂያ የለሽ ቁጥር ያላቸው ፀረ-ተውሳኮች አሉ። ለአንድ ተግባር ሁሉም ፀረ ተዋጽኦዎች ከላይ ባለው ቅጽ ተጽፈዋል። ይህ ከሚከተለው ቲዎሪ ይከተላል.

ቲዎረም (የእውነታው መደበኛ መግለጫ 2).ከሆነ ኤፍ(x) - ለተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ረ(x) በተወሰነ ጊዜ ውስጥ X, ከዚያ ሌላ ማንኛውም ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x) በተመሳሳይ ክፍተት በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል ኤፍ(x) + ሲ፣ የት ጋር- የዘፈቀደ ቋሚ.

በሚቀጥለው ምሳሌ, ከማይታወቅ የመዋሃድ ባህሪያት በኋላ, በአንቀጽ 3 ላይ ወደሚቀርበው የመገጣጠሚያዎች ሰንጠረዥ እንሸጋገራለን. ከላይ ያለው ይዘት ግልጽ እንዲሆን ሙሉውን ጠረጴዛ ከማንበብ በፊት ይህን እናደርጋለን. እና ከጠረጴዛው እና ከንብረቶቹ በኋላ, በመዋሃድ ጊዜ ሙሉ ለሙሉ እንጠቀማቸዋለን.

ምሳሌ 2.የፀረ-ተውጣጣ ተግባራት ስብስቦችን ያግኙ

መፍትሄ። እነዚህ ተግባራት "የተሰሩ" ከመሆናቸውም በላይ የፀረ-ተግባር ስብስቦችን እናገኛለን. ከተዋሃዱ ጠረጴዛዎች ውስጥ ቀመሮችን ሲጠቅሱ, አሁን እንደዚህ አይነት ቀመሮች መኖራቸውን ይቀበሉ, እና ላልተወሰነ የመዋሃድ ሰንጠረዥ እራሱን ትንሽ ወደፊት እናጠናለን.

1) ፎርሙላውን (7) ከመዋሃድ ሠንጠረዥ ለ n= 3, እናገኛለን

2) ቀመር (10) ከመዋሃድ ሰንጠረዥ ለ n= 1/3, አለን

3) ጀምሮ

ከዚያም በቀመር (7) ከ ጋር n= -1/4 እናገኛለን

በዋና ምልክት ስር የተጻፈው ተግባሩ ራሱ አይደለም. ረ, እና ምርቱ በልዩ ልዩነት dx. ይህ በዋነኝነት የሚደረገው በየትኛው ተለዋዋጭ ፀረ-ተውጣጣው እንደሚፈለግ ለማመልከት ነው. ለምሳሌ,

, ;

እዚህ በሁለቱም ሁኔታዎች ውህደቱ ከ ጋር እኩል ነው፣ ነገር ግን ያልተገደበ ውህደቶቹ የተለየ ሆነው በሚታዩ ጉዳዮች ላይ። በመጀመሪያው ሁኔታ, ይህ ተግባር እንደ ተለዋዋጭ ተግባር ይቆጠራል x, እና በሁለተኛው ውስጥ - እንደ ተግባር ዝ .

ያልተገደበ የተግባር ዋና አካል የማግኘት ሂደት ያንን ተግባር ማዋሃድ ይባላል።

ያልተወሰነ ውህደት ጂኦሜትሪክ ትርጉም

ኩርባ መፈለግ አለብን እንበል y=F(x)እና በእያንዳንዱ ነጥብ ላይ ያለው የታንጀንት አንግል ታንጀንት የተሰጠው ተግባር መሆኑን አስቀድመን አውቀናል ረ(x)የዚህ ነጥብ abcissa.

በመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉም መሰረት፣ የታንጀንት የማዕዘን ዝንባሌ በተወሰነ የጥምዝ ነጥብ ላይ ያለው ታንጀንት y=F(x)ከመነጩ ዋጋ ጋር እኩል ነው። ረ"(x). ስለዚህ እንዲህ አይነት ተግባር ማግኘት አለብን ረ(x), ለየተኛው ረ"(x)=f(x). ተግባር ውስጥ አስፈላጊ ተግባር ረ(x)ፀረ ተዋጽኦ ነው። ረ(x). የችግሩ ሁኔታዎች የሚረኩት በአንድ ኩርባ አይደለም, ነገር ግን በኩርባ ቤተሰብ. y=F(x)- ከእነዚህ ኩርባዎች ውስጥ አንዱ እና ሌላ ማንኛውም ኩርባ በዘንጉ በኩል በትይዩ መተርጎም ከእሱ ሊገኝ ይችላል። ወይ.

የፀረ-ተውጣጣ ተግባርን ግራፍ እንጠራዋለን ረ(x)የተዋሃደ ኩርባ. ከሆነ ረ"(x)=f(x), ከዚያም የተግባሩ ግራፍ y=F(x)አንድ ጥምዝ አለ.

እውነታ 3. ያልተወሰነው ውህደት በጂኦሜትሪ መልኩ በሁሉም የመገጣጠሚያ ኩርባዎች ቤተሰብ ይወከላል , ከታች በስዕሉ ላይ እንደሚታየው. የእያንዳንዱ ኩርባ ርቀት ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ የሚወሰነው በዘፈቀደ ውህደት ቋሚ ነው። ሲ.

ያልተወሰነ ውህደት ባህሪያት

እውነታ 4. ቲዎሬም 1. ያልተወሰነ ውህድ ውህደት ከተዋሃዱ ጋር እኩል ነው, እና ልዩነቱ ከተዋሃደ ጋር እኩል ነው.

እውነታ 5. ቲዎረም 2. የአንድ ተግባር ልዩነት ያልተወሰነ ውህደት ረ(x) ከተግባሩ ጋር እኩል ነው ረ(x) እስከ ቋሚ ቃል ድረስ ፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

(3)

ንድፈ ሐሳቦች 1 እና 2 እንደሚያሳዩት ልዩነት እና ውህደት እርስ በርስ የተገላቢጦሽ ስራዎች ናቸው.

እውነታ 6. ቲዎሪም 3. በተዋሃዱ ውስጥ ያለው ቋሚ ምክንያት ከማይታወቅ ውህደት ምልክት ሊወጣ ይችላል. ፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

ይህ ትምህርት ስለ ውህደት ከተከታታይ ቪዲዮዎች ውስጥ የመጀመሪያው ነው። በእሱ ውስጥ የአንድ ተግባር ፀረ-ተውሳሽ ምን እንደሆነ እንመረምራለን እና እንዲሁም እነዚህን በጣም ፀረ-ተህዋስያን ለማስላት የመጀመሪያ ደረጃ ዘዴዎችን እናጠናለን።

በእውነቱ፣ እዚህ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም፡ በመሰረቱ ሁሉም ነገር የሚመጣው በመነሻ ፅንሰ-ሀሳብ ላይ ነው፣ እሱም እርስዎ አስቀድመው ሊያውቁት ይገባል። :)

በአዲሱ ርእሳችን ውስጥ ይህ የመጀመሪያው ትምህርት ስለሆነ ዛሬ ምንም ውስብስብ ስሌቶች እና ቀመሮች አይኖሩም, ነገር ግን ዛሬ የምንማረው ነገር ውስብስብ ውህዶችን እና ቦታዎችን ሲሰላ በጣም ውስብስብ ስሌቶችን እና ግንባታዎችን መሰረት እንደሚያደርግ ወዲያውኑ አስተውያለሁ. .

በተጨማሪም፣ በተለይም ውህደትን እና ውህደቶችን ማጥናት ስንጀምር፣ ተማሪው ቢያንስ ስለ ተዋጽኦዎች ፅንሰ-ሀሳቦችን የሚያውቅ እና ቢያንስ ቢያንስ የመቁጠር ችሎታ እንዳለው እንገምታለን። ይህንን በግልጽ ካልተረዳ, በተዋሃዱ ውስጥ ምንም ማድረግ በፍጹም የለም.

ሆኖም ፣ እዚህ በጣም የተለመዱ እና ተንኮለኛ ችግሮች አንዱ ነው። እውነታው ግን የመጀመሪያዎቹን ፀረ-ተውሳኮችን ማስላት ሲጀምሩ, ብዙ ተማሪዎች ከመነሻዎች ጋር ግራ ያጋባሉ. በውጤቱም, በፈተና እና በገለልተኛ ስራ ጊዜ ሞኝ እና አፀያፊ ስህተቶች ይፈጸማሉ.

ስለዚህ፣ አሁን የፀረ-ተውሳክን ግልጽ ፍቺ አልሰጥም። በምላሹ, ቀለል ያለ ልዩ ምሳሌን በመጠቀም እንዴት እንደሚሰላ እንዲመለከቱ ሀሳብ አቀርባለሁ.

ፀረ-ተውጣጣ ምንድን ነው እና እንዴት ይሰላል?

ይህን ቀመር እናውቃለን፡-

\[((\ግራ((((x)^(n))) \ቀኝ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

ይህ ተዋጽኦ በቀላሉ ይሰላል፡-

\[(f)"\ግራ(x \ቀኝ)=((\ግራ(((x)^(3)) \ቀኝ))^(\ፕሪም )=3((x)^(2))\ ]

የተገኘውን አገላለጽ በጥንቃቄ እንመልከተው እና $((x)^(2))$ን እንግለጽ፡

\[(((x)^(2))=\frac(((\ግራ(((x)^(3)) \ቀኝ))^(\ፕሪም))))(3)\]

ነገር ግን እንደ ተዋጽኦው ፍቺ መሠረት በዚህ መንገድ ልንጽፈው እንችላለን፡-

\[(((x)^(2))=((\ግራ(\frac(((x)^(3)))(3) \ቀኝ))^(\ፕሪም))\]

እና አሁን ትኩረት: አሁን የጻፍነው የፀረ-ተውጣጣ ፍቺ ነው. ነገር ግን በትክክል ለመጻፍ የሚከተለውን መፃፍ ያስፈልግዎታል።

የሚከተለውን አገላለጽ በተመሳሳይ መንገድ እንፃፍ።

ይህንን ደንብ ካጠቃለልን የሚከተለውን ቀመር ማግኘት እንችላለን፡-

\[(((x)^(n))\ወደ \frac((((x)^(n+1))))(n+1)\]

አሁን ግልጽ የሆነ ፍቺ ማዘጋጀት እንችላለን.

የአንድ ተግባር ፀረ-ተውጣይ ተወላጁ ከመጀመሪያው ተግባር ጋር እኩል የሆነ ተግባር ነው።

ስለ ፀረ-ተውጣጣ ተግባር ጥያቄዎች

በትክክል ቀላል እና ለመረዳት የሚቻል ፍቺ ይመስላል። ነገር ግን፣ ሲሰማ፣ በትኩረት የሚከታተለው ተማሪ ወዲያውኑ ብዙ ጥያቄዎች ይኖረዋል፡-

እንበል እሺ ይህ ቀመር ትክክል ነው። ነገር ግን፣ በዚህ ሁኔታ፣ በ$n=1$፣ ችግሮች አሉብን፡ “ዜሮ” በዲኖሚነሩ ውስጥ ይታያል፣ እና በ “ዜሮ” መከፋፈል አንችልም።
ቀመሩ በዲግሪዎች ብቻ የተገደበ ነው። ፀረ-ተውሳሽ እንዴት እንደሚሰላ, ለምሳሌ, ሳይን, ኮሳይን እና ማንኛውም ሌላ ትሪግኖሜትሪ, እንዲሁም ቋሚዎች.
ነባራዊ ጥያቄ፡ ሁልጊዜ ፀረ-ተውሳሽ ማግኘት ይቻላል? አዎ ከሆነ፣ ስለ ድምር፣ ልዩነት፣ ምርት፣ ወዘተ ፀረ ተዋጽኦስ ምን ማለት ይቻላል?

የመጨረሻውን ጥያቄ ወዲያውኑ እመልሳለሁ. እንደ አለመታደል ሆኖ, ፀረ-ተውጣጣው, ከመነጩ በተለየ, ሁልጊዜ አይታሰብም. ከማንኛውም የመጀመሪያ ግንባታ ከዚህ ተመሳሳይ ግንባታ ጋር እኩል የሆነ ተግባር የምናገኝበት ምንም ዓይነት ሁለንተናዊ ቀመር የለም. እንደ ኃይል እና ቋሚዎች, አሁን ስለዚያ እንነጋገራለን.

ከኃይል ተግባራት ጋር ችግሮችን መፍታት

\[(((x)^(-1))\ወደ \frac((((x)^(-1+1))))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

እንደምታየው፣ ይህ የ$((x)^(-1))$ ቀመር አይሰራም። ጥያቄው የሚነሳው-ከዚያ ምን ይሠራል? $((x)^(-1))$ መቁጠር አንችልም? በእርግጥ እንችላለን። በመጀመሪያ ይህንን እናስታውስ፡-

\[(((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

አሁን እናስብ፡ የየትኛው ተግባር መነሻው ከ$\frac(1)(x)$ ጋር እኩል ነው። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው፣ ይህንን ርዕስ በትንሹ ያጠና ተማሪ ይህ አገላለጽ ከተፈጥሮ ሎጋሪዝም አመጣጥ ጋር እኩል መሆኑን ያስታውሳል።

\[((\ግራ(\ln x \ቀኝ)))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

ስለዚህ የሚከተለውን በልበ ሙሉነት መፃፍ እንችላለን።

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ ወደ \ln x\]

ይህን ቀመር ማወቅ አለብህ፣ ልክ እንደ አንድ የኃይል ተግባር አመጣጥ።

ስለዚህ እስካሁን የምናውቀው ነገር፡-

ለኃይል ተግባር - $(((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
ለቋሚ - $=const\to \cdot x$
የኃይል ተግባር ልዩ ሁኔታ ከ$\frac(1)(x)\ እስከ \ln x$ ነው።

እና በጣም ቀላል የሆኑትን ተግባራት ማባዛትና ማካፈል ከጀመርን የአንድን ምርት ወይም የዋጋ ንፅፅርን እንዴት ማስላት እንችላለን። እንደ አለመታደል ሆኖ፣ ከምርት ወይም ከዋጋ አመጣጥ ጋር ተመሳሳይነት እዚህ አይሰራም። ምንም መደበኛ ቀመር የለም. ለአንዳንድ ሁኔታዎች, አስቸጋሪ የሆኑ ልዩ ቀመሮች አሉ - ወደፊት በሚመጡት የቪዲዮ ትምህርቶች ውስጥ ከእነሱ ጋር እንተዋወቃለን.

ነገር ግን፣ ያስታውሱ፡ የአንድን ምርት እና የምርት አመጣጥ ለማስላት ካለው ቀመር ጋር የሚመሳሰል አጠቃላይ ቀመር የለም።

እውነተኛ ችግሮችን መፍታት

ተግባር ቁጥር 1

እያንዳንዱን የኃይል ተግባራቱን ለየብቻ እናሰላ።

\[(((x)^(2))\ወደ \frac(((x)^(3)))(3)\]

ወደ አባባላችን ስንመለስ አጠቃላይ ግንባታውን እንጽፋለን፡-

ችግር ቁጥር 2

አስቀድሜ እንዳልኩት፣ “እስከ ነጥቡ” ድረስ ያሉ ሥራዎች እና ዝርዝር መግለጫዎች አይታሰቡም። ሆኖም, እዚህ የሚከተሉትን ማድረግ ይችላሉ:

ክፍልፋዩን ወደ ሁለት ክፍልፋዮች ድምር ከፋፍለነዋል።

ሒሳቡን እናድርገው፡-

መልካም ዜናው ፀረ-ተውሳኮችን ለማስላት ቀመሮችን ማወቅ, የበለጠ ውስብስብ መዋቅሮችን አስቀድመው ማስላት ይችላሉ. ሆኖም፣ ወደ ፊት እንሂድና እውቀታችንን በጥቂቱ እናስፋፋ። እውነታው ግን ብዙ ግንባታዎች እና አገላለጾች በመጀመሪያ እይታ ከ$(((x)^(n))$) ጋር ምንም ግንኙነት የሌላቸው፣ምክንያታዊ ገላጭ ያለው ኃይል ሆኖ ሊወከል ይችላል፡-

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n))))\]

\[\frac (1) (((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

እነዚህ ሁሉ ዘዴዎች ሊጣመሩ እና ሊጣመሩ ይችላሉ. የኃይል መግለጫዎች ሊሆኑ ይችላሉ

ማባዛት (ዲግሪዎች ይጨምራሉ);
መከፋፈል (ዲግሪዎች ተቀንሰዋል);
በቋሚ ማባዛት;
ወዘተ.

የኃይል መግለጫዎችን በምክንያታዊ ገላጭ መፍታት

ምሳሌ #1

እያንዳንዱን ሥር ለየብቻ እንቆጥረው፡-

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\ወደ \frac((((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac((((x)^(\frac(3)(2)))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (((( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\ወደ \frac((((x)^(\frac(1)(4))))(\frac(1)(4))) 1)(4)+1)=\frac((((x)^(\frac(5)(4)))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^ (\frac (5) (4))) (5)\]

በአጠቃላይ ፣ አጠቃላይ ግንባታችን እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

ምሳሌ ቁጥር 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(-1))=((\ግራ(((x)^(\frac 1)(2))) \ቀኝ))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

ስለዚህ እኛ እናገኛለን:

\[\frac(1)((((x)^(3)))=((x)^(-3))\እስከ \frac((((x)^(-3+1)))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2(((x)^(2))))\]

በጠቅላላው ፣ ሁሉንም ነገር ወደ አንድ አገላለጽ በመሰብሰብ ፣ መጻፍ እንችላለን-

ምሳሌ ቁጥር 3

ለመጀመር፣ አስቀድመን $\sqrt(x)$ ያሰላልን መሆናችንን እናስተውላለን፡

\[\sqrt(x)\እስከ \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[(((x)^(\frac(3)(2)))\ወደ \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

እንደገና እንፃፍ፡-

አሁን ያጠናነው በጣም ቀላሉ የፀረ-ተውሳኮች ፣ በጣም የመጀመሪያ ደረጃ ግንባታዎች ብቻ ነው ካልኩ ማንንም እንደማልደንቅ ተስፋ አደርጋለሁ። አሁን ትንሽ የተወሳሰቡ ምሳሌዎችን እንይ፣ በውስጥም ከሠንጠረዡ ፀረ ተዋጽኦዎች በተጨማሪ፣ የትምህርት ቤቱን ሥርዓተ-ትምህርት ማለትም የአጭር ጊዜ የማባዛት ቀመሮችን ማስታወስ ያስፈልግዎታል።

ተጨማሪ ውስብስብ ምሳሌዎችን መፍታት

ተግባር ቁጥር 1

የካሬው ልዩነት ቀመርን እናስታውስ፡-

\[((\ግራ(a-b \ቀኝ)))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

ተግባራችንን እንደገና እንፃፍ፡-

አሁን የእንደዚህ አይነት ተግባር ምሳሌ መፈለግ አለብን-

\[(((x)^(\frac(2)(3)))\ወደ \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[(((x)^(\frac(1)(3)))\ወደ \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

ሁሉንም ነገር ወደ አንድ የጋራ መዋቅር እናስቀምጠው-

ችግር ቁጥር 2

በዚህ ሁኔታ, ልዩነቱን ኩብ ማስፋፋት አለብን. እናስታውስ፡-

\[((\ግራ(a-b \ቀኝ)))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ለ)^(3))\]

ይህንን እውነታ ከግምት ውስጥ በማስገባት እንደሚከተለው ልንጽፈው እንችላለን-

ተግባራችንን ትንሽ እንቀይር፡-

እንደ ሁሌም እንቆጥራለን - ለእያንዳንዱ ቃል ለየብቻ፡-

\[(((x)^(-3))\ወደ \frac((((x)^(-2))))(-2)\]

\[(((x)^(-2))\ወደ \frac(((x)^(-1))) (-1)\]

\[(((x)^(-1))\ ወደ \ln x\]

የተፈጠረውን ግንባታ እንጽፋለን-

ችግር ቁጥር 3

ከላይ የድምሩ ካሬ አለን፣ እናሰፋው፡-

\[\frac(((\ግራ(x+\sqrt(x)\ቀኝ)))^(2)))(x)=\frac((((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[(((x)^(\frac(1)(2)))\ወደ \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

የመጨረሻውን መፍትሄ እንፃፍ፡-

አሁን ትኩረት ይስጡ! በጣም አስፈላጊ ነገር, እሱም ከአንበሳው ስህተት እና አለመግባባት ጋር የተያያዘ ነው. እውነታው ግን እስካሁን ድረስ ፀረ-ተውሳኮችን በመቁጠሪያዎቹ እርዳታ በመቁጠር እና ለውጦችን በማምጣት, የቋሚው አመጣጥ ምን እኩል እንደሆነ አላሰብንም. ነገር ግን የቋሚው ተወላጅ ከ "ዜሮ" ጋር እኩል ነው. ይህ ማለት የሚከተሉትን አማራጮች መጻፍ ይችላሉ.

$((x)^(2))\ወደ \frac((((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\ወደ \frac((((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\ወደ \frac((((x)^(3)))(3)+C$

ይህንን ለመረዳት በጣም አስፈላጊ ነው፡ የአንድ ተግባር ተዋፅኦ ሁሌም ተመሳሳይ ከሆነ፣ ተመሳሳይ ተግባር ገደብ የለሽ ፀረ-ተውሳኮች አሉት። በቀላሉ ማንኛውንም ቋሚ ቁጥሮች ወደ ፀረ ተዋጽኦቻችን ማከል እና አዳዲሶችን ማግኘት እንችላለን።

አሁን በፈታናቸው ችግሮች ማብራሪያ ላይ “የፀረ-ተውሳኮችን አጠቃላይ ቅጽ ጻፍ” ተብሎ መጻፉ በአጋጣሚ አይደለም። እነዚያ። ከመካከላቸው አንዱ አለመኖሩ አስቀድሞ ይታሰባል, ነገር ግን አንድ ሙሉ ሕዝብ. ግን በእውነቱ ፣ በመጨረሻው ላይ በቋሚው $C$ ብቻ ይለያያሉ። ስለዚህ, በተግባሮቻችን ውስጥ ያልጨረስነውን እናስተካክላለን.

ግንባታዎቻችንን እንደገና እንጽፋለን-

እንደዚህ ባሉ አጋጣሚዎች፣ $C$ ቋሚ - $C=const$ መሆኑን ማከል አለቦት።

በሁለተኛው ተግባራችን ውስጥ የሚከተለውን ግንባታ እናገኛለን:

እና የመጨረሻው:

እና አሁን በችግሩ የመጀመሪያ ሁኔታ ውስጥ ከእኛ የሚፈለገውን በትክክል አግኝተናል.

ከተወሰነ ነጥብ ጋር ፀረ-ተውሳኮችን የማግኘት ችግሮችን መፍታት

አሁን ስለ ቋሚዎች እና ፀረ-ተህዋስያንን የመፃፍ ልዩ ባህሪዎች ካወቅን ፣ ከሁሉም ፀረ-ተህዋስያን ስብስብ ፣ በአንድ የተወሰነ ነጥብ ውስጥ የሚያልፈውን አንድ እና አንድ ብቻ መፈለግ ሲፈለግ የሚቀጥለው ዓይነት ችግር መፈጠሩ ምክንያታዊ ነው። . ይህ ተግባር ምንድን ነው?

እውነታው ግን ሁሉም የአንድ ተግባር ፀረ-ተውሳኮች የሚለያዩት በአንድ የተወሰነ ቁጥር በአቀባዊ በመቀየር ብቻ ነው። እና ይህ ማለት በተቀናጀ አውሮፕላን ላይ ምንም አይነት ነጥብ ብንወስድ ፣ አንድ ፀረ-ተውሳሽ በእርግጠኝነት ያልፋል ፣ እና በተጨማሪ ፣ አንድ ብቻ።

ስለዚህ አሁን የምንፈታቸው ችግሮች እንደሚከተለው ተቀርፀዋል፡- ፀረ-ተውሂድን ማግኘት ብቻ ሳይሆን የዋናውን ተግባር ፎርሙላ ማወቅ ብቻ ሳይሆን በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍበትን በትክክል ይምረጡ። መግለጫ.

ምሳሌ #1

በመጀመሪያ፣ እያንዳንዱን ቃል በቀላሉ እንቆጥራቸው፡-

\[(((x)^(4))\ወደ \frac((((x)^(5)))(5)\]

\[(((x)^(3))\ወደ \frac((((x)^(4)))(4)\]

አሁን እነዚህን መግለጫዎች በግንባታችን ውስጥ እንተካቸዋለን-

ይህ ተግባር በ$M\ግራ(-1፤4 \ቀኝ)$ ነጥብ በኩል ማለፍ አለበት። በአንድ ነጥብ ውስጥ ያልፋል ማለት ምን ማለት ነው? ይህ ማለት በ$x$ ምትክ $-1$ን በየቦታው እናስቀምጠዋለን፣ እና በ$F\ግራ(x \ቀኝ)$ - $-4$ ፈንታ፣ ትክክለኛውን የቁጥር እኩልነት ማግኘት አለብን ማለት ነው። ይህንን እናድርግ:

ለ$C$ እኩልነት እንዳለን አይተናል፣ ስለዚህ ለመፍታት እንሞክር፡-

እየፈለግን የነበረውን መፍትሄ እንፃፍ፡-

ምሳሌ ቁጥር 2

በመጀመሪያ ደረጃ የአህጽሮተ ማባዛት ቀመርን በመጠቀም የልዩነቱን ካሬ መግለጥ አስፈላጊ ነው-

\[(((x)^(2))\ወደ \frac(((x)^(3)))(3)\]

የመጀመሪያው ግንባታ እንደሚከተለው ይጻፋል.

አሁን $C$ን እንፈልግ፡ የነጥብ $M$ መጋጠሚያዎችን ይተኩ፡

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

$C$ን እንገልፃለን፡-

የመጨረሻውን አገላለጽ ለማሳየት ይቀራል፡-

ትሪግኖሜትሪክ ችግሮችን መፍታት

አሁን የተነጋገርነውን እንደ የመጨረሻ ንክኪ፣ ትሪጎኖሜትሪ የሚያካትቱ ሁለት ተጨማሪ ውስብስብ ችግሮችን እንድንመለከት ሀሳብ አቀርባለሁ። በእነሱ ውስጥ, በተመሳሳይ መልኩ, ለሁሉም ተግባራት ፀረ-ተውሳኮችን ማግኘት ያስፈልግዎታል, ከዚያም ከዚህ ስብስብ ውስጥ በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ በ $ M$ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ ብቸኛውን ይምረጡ.

ወደ ፊት ስመለከት፣ አሁን የምንጠቀመው የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ፀረ ተዋጽኦዎችን ለማግኘት የምንጠቀመው ቴክኒክ፣ በእውነቱ፣ እራስን ለመፈተሽ ሁለንተናዊ ቴክኒክ መሆኑን ልብ ማለት እፈልጋለሁ።

ተግባር ቁጥር 1

የሚከተለውን ቀመር እናስታውስ፡-

\[((\ግራ(\ጽሑፍ(tg)x \ቀኝ)))^(\prime)=\frac(1)(((\cos)^(2))x)\]

በዚህ መሰረት፡-

የነጥብ $M$ መጋጠሚያዎች በእኛ አገላለጽ እንተካላቸው፡-

\[-1=\text(tg)\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text())(\text(4))+C\]

ይህንን እውነታ ከግምት ውስጥ በማስገባት አገላለጹን እንደገና እንጽፈው፡-

ችግር ቁጥር 2

ይህ ትንሽ የበለጠ አስቸጋሪ ይሆናል. አሁን ምክንያቱን ታያለህ።

ይህን ቀመር እናስታውስ፡-

\[((\ ግራ(\ጽሑፍ(ctg) x \ቀኝ))^(\prime)=-\frac(1)(((\ sin )^(2))x)\]

"መቀነስ" ን ለማስወገድ የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

\[((\ ግራ(-\ጽሑፍ(ctg) x \ቀኝ))^(\ፕሪም))=\frac(1)(((\ sin )^(2))x)\]

የእኛ ንድፍ ይኸውና

የነጥብ $M$ መጋጠሚያዎችን እንተካ፡-

በጠቅላላው, የመጨረሻውን ግንባታ እንጽፋለን-

ስለ ዛሬ ልነግርህ የፈለኩት ይህን ብቻ ነው። ፀረ ተውሳኮች የሚለውን ቃል አጥንተናል፣ ከአንደኛ ደረጃ ተግባራት እንዴት እንደሚሰላ እና እንዲሁም በማስተባበሪያ አውሮፕላን ላይ በአንድ የተወሰነ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ ፀረ ተውሳኮችን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል አጥንተናል።

ይህ ትምህርት ይህን ውስብስብ ርዕስ ቢያንስ በትንሹ እንዲረዱት ይረዳዎታል ብዬ ተስፋ አደርጋለሁ። ያም ሆነ ይህ, ያልተወሰነ እና ያልተገደቡ ውህዶች የተገነቡት በፀረ-ተውሳኮች ላይ ነው, ስለዚህ እነሱን ማስላት በጣም አስፈላጊ ነው. ለኔ ያ ብቻ ነው። እንደገና እንገናኝ!