\[(\ትልቅ(\ጽሑፍ(መሃል እና የተቀረጹ ማዕዘኖች))))\]
ፍቺዎች
ማዕከላዊ አንግል ወርድው በክበቡ መሃል ላይ የሚገኝ አንግል ነው።
የተቀረጸው አንግል ጫፉ በክበብ ላይ የሚተኛ አንግል ነው።
የክበብ ቅስት የዲግሪ ልኬት የመካከለኛው አንግል የዲግሪ መለኪያ ነው ፣ እሱ ዝቅ ያደርገዋል።
ቲዎረም
የተቀረጸው አንግል የዲግሪ ልኬት ካረፈበት ቅስት ግማሽ ዲግሪ ጋር እኩል ነው።
ማረጋገጫ
ማስረጃውን በሁለት ደረጃዎች እናከናውናለን-በመጀመሪያ, ከተቀረጸው አንግል ጎን አንዱ ዲያሜትር ሲይዝ ለጉዳዩ መግለጫ ትክክለኛነት እናረጋግጣለን. ነጥብ \(B\) የተቀረጸው አንግል ጫፍ (ABC\) እና \(BC\) የክበቡ ዲያሜትር ይሁን።
ትሪያንግል \(AOB\) isosceles ነው ፣ \(AO = OB\) ፣ \(\ አንግል AOC \) ውጫዊ ነው ፣ ከዚያ \(\ አንግል AOC = \ አንግል OAB + \ አንግል ABO = 2 \ አንግል ABC \)፣ የት \(\ አንግል ABC = 0.5 \cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
አሁን የዘፈቀደ የተቀረጸ አንግል ያስቡ \(ABC\)። የክበቡን ዲያሜትር \ (BD \) ከተቀረጸው አንግል ጫፍ ላይ እንስጠው. ሁለት ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮች አሉ፡-
1) ዲያሜትሩ ማዕዘኑን ወደ ሁለት ማዕዘኖች ይቆርጠዋል \ (\ አንግል ABD ፣ \ angle CBD \) (ለእያንዳንዱ ንድፈ ሀሳቡ ከላይ እንደተረጋገጠው እውነት ነው ፣ ስለሆነም ለዋናው አንግልም እውነት ነው ፣ ይህም የእነዚህ ድምር ነው። ሁለት እና ስለዚህ የሚያርፉበት የአርከስ ድምር ግማሽ እኩል ነው, ማለትም, ያረፈበት ግማሽ ግማሽ). ሩዝ. 1.
2) ዲያሜትሩ ማዕዘኑን ወደ ሁለት ማዕዘኖች አልቆረጠም ፣ ከዚያ ሁለት ተጨማሪ አዲስ የተቀረጹ ማዕዘኖች አሉን \(\ አንግል ABD ፣ \ አንግል CBD \) ፣ በጎኑ ዲያሜትሩን ይይዛል ፣ ስለሆነም ንድፈ-ሀሳቡ ለእነሱ እውነት ነው ፣ ከዚያ እሱ ለዋናው ማእዘንም እውነት ነው (ይህም ከእነዚህ ሁለት ማዕዘኖች ልዩነት ጋር እኩል ነው, ይህም ማለት እነሱ ያረፉበት የግማሽ ግማሽ ልዩነት, ማለትም, ከቆመበት ግማሽ ቅስት ጋር እኩል ነው) . ሩዝ. 2.
ውጤቶቹ
1. ተመሳሳዩን ቅስት የሚመለከቱ የተቀረጹ ማዕዘኖች እኩል ናቸው።
2. በግማሽ ክበብ የታጠፈ የተቀረጸ አንግል ትክክለኛ ማዕዘን ነው።
3. የተቀረጸ አንግል በተመሳሳይ ቅስት ከተሸፈነው ማዕከላዊ ማእዘን ግማሽ ጋር እኩል ነው።
\[(\ትልቅ(\ጽሁፍ(Tangent to the Circle))))\]
ፍቺዎች
የአንድ መስመር እና የክበብ አንጻራዊ አቀማመጥ ሶስት ዓይነቶች አሉ፡-
1) ቀጥታ መስመር \(a\) ክብውን በሁለት ነጥብ ያቋርጣል። እንዲህ ዓይነቱ መስመር ሴካንት መስመር ይባላል. በዚህ ሁኔታ \ (d \) ከክበቡ መሃል እስከ ቀጥታ መስመር ያለው ርቀት ከክብ ራዲየስ \ (R \) ያነሰ ነው (ምስል 3).
2) ቀጥታ መስመር \(b\) ክብውን በአንድ ነጥብ ያቋርጣል። እንዲህ ዓይነቱ መስመር ታንጀንት ተብሎ የሚጠራ ሲሆን የጋራ ነጥባቸው \(B \) ደግሞ የታንጀንት ነጥብ ይባላል. በዚህ ጉዳይ ላይ \(d=R \) (ምስል 4).
ቲዎረም
1. ታንጀንት በክበብ ላይ ወደ ተዘዋዋሪ ነጥብ ከተሳለው ራዲየስ ጋር ቀጥ ያለ ነው.
2. አንድ መስመር በክበብ ራዲየስ መጨረሻ በኩል ካለፈ እና ወደዚህ ራዲየስ ቀጥ ያለ ከሆነ, ከዚያም ወደ ክበብ ታንጀንት ነው.
መዘዝ
ከአንድ ነጥብ ወደ ክበብ የተወሰዱ የታንጀንት ክፍሎች እኩል ናቸው.
ማረጋገጫ
ሁለት ታንጀሮችን \(KA \) እና \ (KB \) ከነጥብ \(K \) ወደ ክበብ እንሳል ።
ይህ ማለት \(OA\perp KA, OB\perp KB \) እንደ ራዲየስ ናቸው. የቀኝ ትሪያንግል \(\ triangle KAO \) እና \ (\ triangle KBO \) በእግር እና hypotenuse ውስጥ እኩል ናቸው ፣ ስለሆነም \(KA=KB \)።
መዘዝ
የክበቡ መሃል \(O \) ከአንድ ነጥብ \ (K \) በተሳሉ ሁለት ታንጀሮች በተሰራው የማዕዘን \ (AKB \) bisector ላይ ይተኛል ።
\[(\ ትልቅ (\ ጽሑፍ (ከአንግሎች ጋር የተዛመዱ ጽንሰ-ሀሳቦች)))\]
በሴክተሮች መካከል ባለው አንግል ላይ ቲዮረም
ከተመሳሳይ ነጥብ የተቀረጸው በሁለት ሴክተሮች መካከል ያለው አንግል ከተቆረጡ ትላልቅ እና ትናንሽ አርክሶች የዲግሪ መለኪያዎች ግማሽ ልዩነት ጋር እኩል ነው።
ማረጋገጫ
\(M \) በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው ሁለት ሴክተሮች የተሳሉበት ነጥብ ይሁን።
ያንን እናሳይ \(\ አንግል ዲኤምቢ = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\ (\ አንግል DAB \) የሶስት ማዕዘኑ ውጫዊ አንግል \ (MAD \) ነው ፣ ከዚያ \(\ አንግል DAB = \ አንግል DMB + \ አንግል MDA \)፣ የት \(\ አንግል ዲኤምቢ = \ አንግል DAB - \ አንግል MDA \)፣ ግን ማዕዘኖቹ \(\ አንግል DAB \) እና \(\ አንግል MDA \) ተፅፈዋል ፣ ከዚያ \ (\ አንግል ዲኤምቢ = \ አንግል DAB - \ አንግል ኤምዲኤ = \ frac (1) (2) \buildrel \ ፈገግታ \ በላይ (BD) - \ frac (1) (2) \ builder \ ፈገግታ \ በላይ (CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), ይህም መረጋገጥ ያለበት ነበር.
በተቆራረጡ ኮርዶች መካከል ባለው አንግል ላይ ቲዎረም
በሁለት የተጠላለፉ ኮርዶች መካከል ያለው አንግል ከቆረጡት የዲግሪ ልኬቶች ድምር ግማሽ ጋር እኩል ነው። \[\ አንግል CMD=\dfrac12\ግራ(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\ቀኝ)\]
ማረጋገጫ
\ (\ አንግል BMA = \ አንግል CMD \) እንደ አቀባዊ።
ከሶስት ማዕዘን \(AMD): \ (\ አንግል AMD = 180 ^\circ - \ አንግል BDA - \ አንግል CAD = 180 ^\circ - \ frac12 \ buildrel \\ ፈገግታ \ በላይ (AB) - \ frac12 \ buildrel \ ፈገግታ \ በላይ (CD) \).
ግን \ (\ አንግል AMD = 180 ^ \ cir - \ አንግል CMD \)ብለን መደምደም እንችላለን \[\ አንግል CMD = \ frac12 \ cdot \buildrel \ ፈገግታ \ በላይ (AB) + \ frac12 \ cdot \buildrel \\ በላይ (ሲዲ) = \ frac12 (\buildrel \ ፈገግታ \ በላይ (AB) + \buildrel \\ ፈገግ ይበሉ\over(ሲዲ))።
በኮርድ እና በታንጀንት መካከል ባለው አንግል ላይ ቲዎረም
በታንጀንት እና በኮርድ መካከል ያለው አንግል በተንሰራፋው ነጥብ በኩል በሚያልፈው የክርክር ቋት ውስጥ ካለው የግማሽ ዲግሪ መጠን ጋር እኩል ነው።
ማረጋገጫ
ቀጥተኛው መስመር \(a \) ክብውን በነጥቡ ይንኩ \(A \) ፣ \(AB \) የዚህ ክበብ ቋት ነው ፣ \(O \) መሃሉ ነው። \(OB\) የያዘው መስመር \(a\) ነጥቡን \(M\) ላይ ያቋርጥ። ይህን እናረጋግጥ \(\ አንግል BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
\(\ አንግል OAB = \ alpha \) እንጥቀስ። \(OA\) እና \(OB\) ራዲየስ ስለሆኑ \(OA = OB\) እና \(\ አንግል OBA = \ አንግል OAB = \ alpha \). ስለዚህም \(\buildrel\smile\over(AB) = \ማዕዘን AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
\(OA \) ራዲየስ ወደ ታንጀንት ነጥብ የሚሳለው ስለሆነ \(OA\perp a \) ማለትም \(\ አንግል OAM = 90^\circ\) ነው ፣ ስለሆነም \(\ አንግል BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \ frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
በአርኮች ላይ ያለው ቲዎሪ በእኩል ኮርዶች የታሸገ
እኩል ኮርዶች ከሴሚካሎች ያነሱ እኩል ቅስቶችን ዝቅ ያደርጋሉ።
እና በተገላቢጦሽ: እኩል ቅስቶች በእኩል ኮርዶች ይገለበጣሉ.
ማረጋገጫ
1) ፍቀድ \(AB=CD\) . እስቲ እናረጋግጥ የአርከሱ ትናንሽ ሴሚክሎች .
በሶስት ጎን, ስለዚህ, \ (\ አንግል AOB = \ አንግል COD \) . ግን ምክንያቱም \ (\ አንግል AOB, \ አንግል COD \) - በ arcs የሚደገፉ ማዕከላዊ ማዕዘኖች \(\buildrel\smile\over(AB)፣ \buildrel\smile\over(CD)\)በዚህ መሠረት እንግዲህ \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) ከሆነ \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\)፣ ያ \(\ triangle AOB=\triangle COD\)በሁለት በኩል \(AO = BO = CO = DO \) እና በመካከላቸው ያለው አንግል \ (\ አንግል AOB = \ አንግል COD \) . ስለዚህ, እና \(AB=CD\) .
ቲዎረም
ራዲየስ ኮርድውን ቢያከፋፍል, ከዚያም ወደ እሱ ቀጥ ያለ ነው.
ንግግሩም እውነት ነው፡ ራዲየስ ወደ ኮርድ ቀጥ ያለ ከሆነ፣ በመስቀለኛ መንገድ ላይ ደግሞ ለሁለት ይከፍላል።
ማረጋገጫ
1) ፍቀድ \(AN=NB\) . ያንን እናረጋግጥ \(OQ \ perp AB \) .
አስቡ \(\ triangle AOB \) : isosceles ነው, ምክንያቱም \ (OA = OB \) - የክበቡ ራዲየስ. ምክንያቱም \(ON \) ወደ መሰረቱ የተሳለ ሚዲያን ነው ፣ ከዚያ ቁመቱም እንዲሁ ነው ፣ ስለሆነም \ (ኦን \ perp AB \)።
2) ፍቀድ \(OQ \ perp AB \) . ያንን እናረጋግጥ \(AN=NB\) .
በተመሳሳይ, \ (\ triangle AOB \) isosceles ነው, \ (ON \) ቁመቱ ነው, ስለዚህም, \ (ON \) መካከለኛ ነው. ስለዚህም \(AN=NB\) .
\[(\ ትልቅ (\ ጽሑፍ (ከክፍሎች ርዝማኔ ጋር የተያያዙ ጽንሰ-ሐሳቦች)))\]
በኮርድ ክፍሎች ምርት ላይ ቲዎሪ
ሁለት የክበብ ኮርዶች እርስ በርስ ከተገናኙ የአንድ ኮርድ ክፍልፋዮች ምርት ከሌላኛው ኮርድ ክፍልፋዮች ምርት ጋር እኩል ነው።
ማረጋገጫ
ኮርዶች \(AB \) እና \ (ሲዲ \) በ \ (E \) ነጥቡ ላይ ይገናኙ።
ትሪያንግሎችን \(ADE\) እና \(CBE\) አስቡባቸው። በእነዚህ ትሪያንግሎች ውስጥ \(1\) እና \(2\) ማዕዘኖች \(1\) እና \(2\) እኩል ናቸው ፣ ምክንያቱም የተፃፉ እና በተመሳሳይ ቅስት \(BD\) ላይ ያረፉ ናቸው ፣ እና \(3\) እና \(4\) ማዕዘኖች እኩል ናቸው ። እንደ አቀባዊ. ትሪያንግሎች \(ADE \) እና \(CBE\) ተመሳሳይ ናቸው (በመጀመሪያው የሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይነት መስፈርት ላይ የተመሰረተ)።
ከዚያም \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\)፣ ከየትኛው \(AE\cdot BE = CE\cdot DE \)።
ታንጀንት እና ሴካንት ቲዎሪ
የታንጀንት ክፍል ካሬ ከሴክታንት ምርት እና ከውጪው ክፍል ጋር እኩል ነው።
ማረጋገጫ
ታንጀንት በነጥብ \(M \) በኩል እንዲያልፍ እና በነጥቡ \ (A \) ላይ ያለውን ክበብ ይንኩ ። ሴኬቱ በነጥብ \(M \) በኩል እንዲያልፍ ያድርጉ እና ክበቡን በ \(B\) እና \ (C \) ነጥቦቹ ላይ ያቋርጡ \ (MB)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
ትሪያንግሎችን ተመልከት \(MBA\) እና \(MCA \)፡ \(\ አንግል M \) የተለመደ ነው፣ \(\ አንግል BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). በታንጀንት እና በሴካንት መካከል ስላለው አንግል በንድፈ ሀሳቡ መሠረት ፣ \(\ አንግል BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ማዕዘን BCA\). ስለዚህም ትሪያንግሎች \(MBA \) እና \(MCA \) በሁለት ማዕዘኖች ተመሳሳይ ናቸው።
ከሦስት ማዕዘናት ተመሳሳይነት \(MBA\) እና \(ኤምሲኤ \) አለን። \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), እሱም ከ \(MB\cdot MC = MA^2 \) ጋር እኩል ነው.
መዘዝ
በውጫዊው ክፍል ከ \(O \) ነጥብ የተቀዳ የሴካንት ምርት ከ \(O \) ነጥብ በተሰየመው ሴካንት ምርጫ ላይ የተመካ አይደለም.
ዛሬ ሌላ ዓይነት ችግሮችን እንመለከታለን 6 - በዚህ ጊዜ በክበብ. ብዙ ተማሪዎች አይወዷቸውም እና ይከብዳቸዋል. እና ሙሉ በሙሉ በከንቱ ፣ እንደዚህ ያሉ ችግሮች ተፈትተዋል የመጀመሪያ ደረጃ, አንዳንድ ንድፈ ሃሳቦችን ካወቁ. ወይም ካላወቋቸው በጭራሽ አይደፍሩም.
ስለ ዋናዎቹ ንብረቶች ከመናገራችን በፊት ትርጉሙን ላስታውስህ፡-
የተቀረጸው አንግል አከርካሪው በክበቡ ላይ የሚተኛ እና ጎኖቹ በዚህ ክበብ ላይ አንድ ኮርድ የሚቆርጡበት ነው።
ማዕከላዊ አንግል በክበቡ መሃል ላይ ያለው ወርድ ያለው ማንኛውም አንግል ነው። ጎኖቹም ይህንን ክበብ ያቋርጡ እና በላዩ ላይ አንድ ኮርድ ይሳሉ።
ስለዚህ, የተቀረጹ እና ማዕከላዊ ማዕዘኖች ፅንሰ-ሀሳቦች ከክበብ እና ከውስጡ ኮሮጆዎች ጋር የማይነጣጠሉ ናቸው. እና አሁን ዋናው መግለጫ:
ቲዎረም. ማዕከላዊው አንግል ሁልጊዜ በተመሳሳዩ ቅስት ላይ የተመሰረተው የተቀረጸው ማዕዘን ሁለት እጥፍ ነው.
የመግለጫው ቀላልነት ቢኖርም ፣ እሱን በመጠቀም ሊፈታ የሚችል አጠቃላይ የችግሮች 6 ክፍል አለ - እና ሌላ ምንም።
ተግባር ከክበቡ ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ በኮርድ የተቀጠፈ አጣዳፊ የተቀረጸ አንግል ያግኙ።
ኣብ ግምት ዘእተወ እንተኾይኑ፡ ማእከላይ ምብራ ⁇ ክህብ ይግባእ። ተጨማሪ ግንባታ፡ OA እና OB የክበቡ ራዲየስ ናቸው። እናገኛለን፡-
ትሪያንግል ABOን ተመልከት። በእሱ ውስጥ AB = OA = OB - ሁሉም ጎኖች ከክብ ራዲየስ ጋር እኩል ናቸው. ስለዚህ, ትሪያንግል ABO እኩል ነው, እና በውስጡ ያሉት ሁሉም ማዕዘኖች 60 ° ናቸው.
M የተቀረጸው አንግል ጫፍ ይሁን። ማዕዘኖች O እና M በተመሳሳይ ቅስት AB ላይ ስላረፉ፣ የተቀረፀው አንግል M ከማዕከላዊው አንግል O 2 እጥፍ ያነሰ ነው። እና አለነ:
መ = ኦ፡ 2 = 60፡ 2 = 30
ተግባር ማዕከላዊው አንግል በተመሳሳዩ የክበብ ቅስት ከተቀረጸው አንግል 36° ይበልጣል። የተቀረጸውን አንግል ያግኙ።
የሚከተለውን ማስታወሻ እናስተዋውቅ።
- AB የክበብ ገመድ ነው;
- ነጥብ O የክበቡ መሃል ነው, ስለዚህ አንግል AOB ማዕከላዊ ማዕዘን ነው;
- ነጥብ C የተቀረጸው አንግል ኤሲቢ ጫፍ ነው።
የተቀረጸውን አንግል ACB እየፈለግን ስለሆነ፣ እስቲ ACB = x እንጥቀሰው። ከዚያም ማዕከላዊው አንግል AOB x + 36 ነው. እና አለነ:
AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 x;
x = 36
ስለዚህ የተቀረጸውን አንግል AOB አገኘን - ከ 36 ° ጋር እኩል ነው.
ክብ የ360° አንግል ነው።
የግርጌ ጽሑፉን ካነበቡ በኋላ፣ እውቀት ያላቸው አንባቢዎች ምናልባት አሁን “ኧረ!” ይላሉ። በእርግጥም, ክበብን ከአንድ ማዕዘን ጋር ማወዳደር ሙሉ በሙሉ ትክክል አይደለም. እየተነጋገርን ያለነውን ለመረዳት፣ የሚታወቀውን ትሪግኖሜትሪክ ክበብ ይመልከቱ፡-
ይህ ምስል ለምንድነው? እና በተጨማሪ, ሙሉ ማዞር የ 360 ዲግሪ ማዕዘን ነው. እና ከተከፋፈሉት, በ 20 እኩል ክፍሎች, ከዚያም የእያንዳንዳቸው መጠን 360: 20 = 18 ዲግሪ ይሆናል. ችግሩን B8 ለመፍታት የሚያስፈልገው በትክክል ይህ ነው።
ነጥቦች A, B እና C በክበብ ላይ ተኝተው በሦስት ቅስቶች ይከፋፈላሉ, የዲግሪ መለኪያዎች በ 1: 3: 5 ውስጥ ናቸው. ትልቁን የሶስት ማዕዘን ABC ያግኙ.
በመጀመሪያ የእያንዳንዱን ቅስት የዲግሪ መለኪያ እንፈልግ። ትንሹ x ይሁን። በሥዕሉ ላይ ይህ ቅስት AB ተሰይሟል። ከዚያም ቀሪዎቹ ቅስቶች - BC እና AC - በ AB ውስጥ ሊገለጹ ይችላሉ: arc BC = 3x; AC = 5x በጠቅላላው ፣ እነዚህ ቅስቶች 360 ዲግሪዎች ይሰጣሉ-
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40
አሁን ነጥብ B የሌለውን አንድ ትልቅ ቅስት AC አስቡበት። ይህ ቅስት፣ ልክ እንደ ተጓዳኝ ማዕከላዊ አንግል AOC፣ 5x = 5 40 = 200 ዲግሪዎች ነው።
አንግል ኤቢሲ በሶስት ማዕዘን ውስጥ ካሉ ማዕዘኖች ሁሉ ትልቁ ነው። ከማዕከላዊው አንግል AOC ጋር በተመሳሳዩ ቅስት የተቀጠፈ የተቀረጸ አንግል ነው። ይህ ማለት አንግል ABC ከ AOC 2 እጥፍ ያነሰ ነው. እና አለነ:
ABC = AOC፡ 2 = 200፡ 2 = 100
ይህ በትሪያንግል ABC ውስጥ ያለው ትልቁ አንግል የዲግሪ መለኪያ ይሆናል።
ክብ በቀኝ ትሪያንግል ዙሪያ ተከቧል
ብዙ ሰዎች ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ይረሳሉ. ግን በከንቱ ፣ ምክንያቱም አንዳንድ B8 ችግሮች ያለ እሱ ሊፈቱ አይችሉም። ይበልጥ በትክክል ፣ እነሱ ተፈትተዋል ፣ ግን በእንደዚህ ዓይነት ስሌት ብዛት ፣ መልሱን ከመድረስ ይልቅ መተኛት ይመርጣሉ።
ቲዎረም. በቀኝ ትሪያንግል ዙሪያ የተከበበው የክበብ መሃል በሃይፖቴኑዝ መሃል ላይ ይገኛል።
ከዚህ ጽንሰ ሐሳብ ምን ይከተላል?
- የ hypotenuse መካከለኛ ነጥብ ከሁሉም የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች ጋር እኩል ነው። ይህ የንድፈ ሐሳብ ቀጥተኛ ውጤት ነው;
- ወደ hypotenuse የተሳለው መካከለኛ የመጀመሪያውን ሶስት ማዕዘን ወደ ሁለት isosceles triangles ይከፍላል. ችግሩን B8 ለመፍታት የሚያስፈልገው በትክክል ይህ ነው።
በሶስት ማዕዘን ABC ውስጥ መካከለኛውን ሲዲ እናስባለን. አንግል C 90° እና አንግል B 60° ነው። አንግል ACD ያግኙ።
አንግል C 90° ስለሆነ፣ ትሪያንግል ኤቢሲ ትክክለኛ ትሪያንግል ነው። ሲዲ ወደ ሃይፖቴኑዝ የተሳለው ሚዲያን መሆኑ ታወቀ። ይህ ማለት ትሪያንግሎች ADC እና BDC isosceles ናቸው ማለት ነው።
በተለይም ትሪያንግል ADCን አስቡበት. በውስጡ AD = ሲዲ. ነገር ግን በ isosceles ትሪያንግል ውስጥ ፣ በመሠረቱ ላይ ያሉት ማዕዘኖች እኩል ናቸው - “ችግር B8: የመስመር ክፍሎች እና ማዕዘኖች በሦስት ማዕዘኖች ውስጥ” የሚለውን ይመልከቱ። ስለዚህ, የሚፈለገው አንግል ACD = A.
ስለዚህ, አንግል A ከምን ጋር እኩል እንደሆነ ለማወቅ ይቀራል. ይህንን ለማድረግ እንደገና ወደ መጀመሪያው ትሪያንግል ኤቢሲ እንመለስ። አንግል A = x እንጥቀስ። በማናቸውም ትሪያንግል ውስጥ ያሉት የማእዘኖች ድምር 180° ስለሆነ፣ አለን።
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30
እርግጥ ነው, የመጨረሻው ችግር በተለየ መንገድ ሊፈታ ይችላል. ለምሳሌ, ትሪያንግል BCD isosceles ብቻ ሳይሆን ተመጣጣኝ መሆኑን ማረጋገጥ ቀላል ነው. ስለዚህ አንግል BCD 60 ዲግሪ ነው. ስለዚህ ACD አንግል 90 - 60 = 30 ዲግሪ ነው. እንደሚመለከቱት, የተለያዩ የ isosceles triangles መጠቀም ይችላሉ, ግን መልሱ ሁልጊዜ ተመሳሳይ ይሆናል.
ፕላኒሜትሪ የአውሮፕላን ምስሎችን ባህሪያት የሚያጠና የጂኦሜትሪ ቅርንጫፍ ነው። እነዚህም የታወቁትን ትሪያንግሎች, ካሬዎች እና አራት ማዕዘኖች ብቻ ሳይሆን ቀጥታ መስመሮችን እና ማዕዘኖችን ይጨምራሉ. በፕላኒሜትሪ ውስጥ ፣ በክበብ ውስጥ እንደ ማዕዘኖች ያሉ እንደዚህ ያሉ ጽንሰ-ሀሳቦችም አሉ-ማዕከላዊ እና የተቀረጸ። ግን ምን ማለታቸው ነው?
ማዕከላዊ አንግል ምንድን ነው?
ማዕከላዊ አንግል ምን እንደሆነ ለመረዳት, ክብ መግለጽ ያስፈልግዎታል. ክበብ ከተወሰነ ነጥብ (የክበቡ መሃል) እኩል ርቀት ያለው የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ነው።
ከክበብ መለየት በጣም አስፈላጊ ነው. አንድ ክበብ የተዘጋ መስመር መሆኑን ማስታወስ ያስፈልግዎታል, እና ክበብ በእሱ የታሰረ የአውሮፕላን አካል ነው. ፖሊጎን ወይም አንግል በክበብ ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል።
ማዕከላዊ አንግል አከርካሪው ከክበቡ መሃል ጋር የሚገጣጠም እና ጎኖቹ ክብውን በሁለት ነጥብ የሚያቋርጡበት አንግል ነው። አንግል በመገናኛ ነጥቦቹ የሚገድበው ቅስት የተሰጠው አንግል የሚያርፍበት ቅስት ይባላል።
ምሳሌ ቁጥር 1ን እንመልከት።
በሥዕሉ ላይ, አንግል AOB ማዕከላዊ ነው, ምክንያቱም የማዕዘኑ ጫፍ እና የክበቡ መሃከል አንድ ነጥብ ናቸው O. በ arc AB ላይ ያርፋል, ይህም ነጥብ C የለውም.
የተቀረጸ አንግል ከማዕከላዊ ማእዘን የሚለየው እንዴት ነው?
ነገር ግን, ከማዕከላዊ ማዕዘኖች በተጨማሪ, የተቀረጹ ማዕዘኖችም አሉ. ልዩነታቸው ምንድን ነው? ልክ እንደ ማዕከላዊው ማዕዘን, በክበቡ ውስጥ የተቀረጸው አንግል በተወሰነ ቅስት ላይ ነው. ነገር ግን ቁመቱ ከክበቡ መሃል ጋር አይጣጣምም, ነገር ግን በእሱ ላይ ይተኛል.
የሚከተለውን ምሳሌ እንውሰድ።
አንግል ኤሲቢ በክበብ ውስጥ የተቀረጸ አንግል ይባላል O ነጥብ ላይ ያለው ማዕከል የክበቡ ነው ማለትም በላዩ ላይ ይተኛል። አንግል በ arc AB ላይ ያርፋል።
የጂኦሜትሪ ችግሮችን በተሳካ ሁኔታ ለመቋቋም, በተቀረጹ እና በማዕከላዊ ማዕዘኖች መካከል ያለውን ልዩነት ለመለየት በቂ አይደለም. እንደ አንድ ደንብ እነሱን ለመፍታት ማዕከላዊውን ማዕዘን በክበብ ውስጥ በትክክል እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ እና እሴቱን በዲግሪዎች ማስላት መቻል ያስፈልግዎታል።
ስለዚህ, ማዕከላዊው አንግል የሚያርፍበት የአርከስ ደረጃ መለኪያ ጋር እኩል ነው.
በሥዕሉ ላይ, አንግል AOB በ arc AB ላይ ከ 66 ° ጋር እኩል ነው. ይህ ማለት አንግል AOB ደግሞ 66 ° ነው.
ስለዚህ, በእኩል ቅስቶች የታጠቁ ማዕከላዊ ማዕዘኖች እኩል ናቸው.
በሥዕሉ ላይ, arc DC ከ arc AB ጋር እኩል ነው. ይህ ማለት አንግል AOB ከ DOC አንግል ጋር እኩል ነው።
በክበቡ ውስጥ የተቀረጸው አንግል በተመሳሳይ ቅስት ላይ ከተቀመጠው ማዕከላዊ ማዕዘን ጋር እኩል ሊሆን ይችላል. ይሁን እንጂ ይህ ከባድ ስህተት ነው. እንደ እውነቱ ከሆነ, ስዕሉን ብቻ በመመልከት እና እነዚህን ማዕዘኖች እርስ በርስ በማነፃፀር, የዲግሪ መለኪያዎቻቸው የተለያዩ እሴቶች እንደሚኖራቸው ማየት ይችላሉ. ስለዚህ በክበብ ውስጥ የተቀረጸው አንግል ምንድን ነው?
የተቀረጸው አንግል የዲግሪ ልኬት ካረፈበት ቅስት አንድ ግማሽ ጋር እኩል ነው ወይም በተመሳሳይ ቅስት ላይ ካረፉ ግማሽ ማዕከላዊ ማዕዘን።
አንድ ምሳሌ እንመልከት። አንግል ASV ከ66° ጋር እኩል በሆነ ቅስት ላይ ያርፋል።
ይህ ማለት አንግል ACB = 66 °: 2 = 33 ° ማለት ነው
ከዚህ ቲዎሪ የተወሰኑ ውጤቶችን እንመልከት።
- የተቀረጹ ማዕዘኖች፣ በተመሳሳዩ ቅስት፣ ኮርድ ወይም እኩል ቅስቶች ላይ ከተመሠረቱ እኩል ናቸው።
- የተቀረጹ ማዕዘኖች በአንድ ኮርድ ላይ ካረፉ ፣ ግን ጫፎቻቸው በተቃራኒው ጎኖቹ ላይ ቢተኛ ፣ የእንደዚህ ዓይነቶቹ ማዕዘኖች የዲግሪ ልኬቶች ድምር 180 ° ነው ፣ ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ ሁለቱም ማዕዘኖች የዲግሪ ልኬቶች እስከ 360 ° ሲጨመሩ (እ.ኤ.አ.) ሙሉ ክብ)፣ 360°፡ 2 = 180°
- የተቀረጸ አንግል በተሰጠው ክብ ዲያሜትር ላይ የተመሰረተ ከሆነ የዲግሪ ልኬቱ 90° ነው፣ ምክንያቱም ዲያሜትሩ አንድ ቅስት ከ180°፣ 180°: 2 = 90° ጋር እኩል ያደርገዋል።
- በክበብ ውስጥ ያሉት ማዕከላዊ እና የተቀረጹ ማዕዘኖች በተመሳሳይ ቅስት ወይም ኮርድ ላይ ካረፉ ፣ ከዚያ የተቀረጸው አንግል ከግማሽ ማዕከላዊ ጋር እኩል ነው።
በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮች የት ሊገኙ ይችላሉ? የእነሱ ዓይነቶች እና መፍትሄዎች
ክበቡ እና ንብረቶቹ ከጂኦሜትሪ ፣ ከፕላኒሜትሪ ፣ ከዋና ዋናዎቹ ክፍሎች ውስጥ አንዱ ስለሆነ ፣ በክበብ ውስጥ የተቀረጹ እና ማዕከላዊ ማዕዘኖች በትምህርት ቤት ውስጥ በሰፊው እና በዝርዝር የተጠኑ ርዕሰ ጉዳዮች ናቸው። በንብረታቸው ላይ ያተኮሩ ችግሮች በዋናው የስቴት ፈተና (OGE) እና በተዋሃዱ የስቴት ፈተና (USE) ውስጥ ይገኛሉ። እንደ አንድ ደንብ እነዚህን ችግሮች ለመፍታት በዲግሪዎች ውስጥ በክበብ ላይ ያሉትን ማዕዘኖች ማግኘት ያስፈልግዎታል.
በአንድ ቅስት ላይ የተመሰረቱ ማዕዘኖች
የዚህ ዓይነቱ ችግር ምናልባት በጣም ቀላል ከሆኑት ውስጥ አንዱ ነው ፣ እሱን ለመፍታት ሁለት ቀላል ንብረቶችን ብቻ ማወቅ ያስፈልግዎታል-ሁለቱም ማዕዘኖች ከተፃፉ እና በተመሳሳይ ኮርድ ላይ ከተመሰረቱ ፣ እኩል ናቸው ፣ ከመካከላቸው አንዱ ማዕከላዊ ከሆነ ፣ ከዚያ ተጓዳኝ የተቀረጸው አንግል ግማሹ እኩል ነው። ሆኖም እነሱን በሚፈታበት ጊዜ ከፍተኛ ጥንቃቄ ማድረግ አለብዎት: አንዳንድ ጊዜ ይህንን ንብረት ለማስተዋል አስቸጋሪ ነው, እና ተማሪዎች እንደዚህ አይነት ቀላል ችግሮችን ሲፈቱ ወደ መጨረሻው ይደርሳሉ. አንድ ምሳሌ እንመልከት።
ተግባር ቁጥር 1
ነጥብ O. አንግል AOB 54° ላይ መሃል ያለው ክበብ ተሰጥቶታል። የ ASV አንግል የዲግሪ መለኪያን ያግኙ።
ይህ ተግባር በአንድ ድርጊት ተፈትቷል. ለእሱ በፍጥነት መልስ ለማግኘት የሚያስፈልግዎ ብቸኛው ነገር በሁለቱም ማዕዘኖች ላይ የሚያርፍበት ቅስት የተለመደ መሆኑን ማስተዋል ነው. ይህንን ካዩ, ቀደም ሲል የታወቀ ንብረትን ማመልከት ይችላሉ. አንግል ACB ከግማሽ AOB አንግል ጋር እኩል ነው። ማለት፣
1) AOB = 54 °: 2 = 27 °.
መልስ፡ 54°
ማዕዘኖች በተመሳሳዩ ክብ በተለያዩ ቅስቶች የተገለበጡ
አንዳንድ ጊዜ የችግር ሁኔታዎች የሚፈለገውን ማዕዘን የሚያርፍበትን የአርከስ መጠን በቀጥታ አይገልጹም. እሱን ለማስላት, የእነዚህን ማዕዘኖች መጠን መተንተን እና ከክበቡ ከሚታወቁ ባህሪያት ጋር ማወዳደር ያስፈልግዎታል.
ችግር 2
ነጥብ O ላይ መሃል ባለው ክበብ ውስጥ ፣ አንግል AOC 120 ° ፣ እና አንግል AOB 30 ° ነው። የአንተን አንግል አግኝ።
ለመጀመር ፣ የ isosceles triangles ባህሪዎችን በመጠቀም ይህንን ችግር መፍታት እንደሚቻል መናገሩ ጠቃሚ ነው ፣ ግን ይህ ብዙ የሂሳብ ስራዎችን ይጠይቃል። ስለዚህ, እዚህ በክበብ ውስጥ ማዕከላዊ እና የተቀረጹ ማዕዘኖች ባህሪያትን በመጠቀም የመፍትሄውን ትንታኔ እናቀርባለን.
ስለዚህ አንግል AOS በ arc AC ላይ ያርፋል እና ማዕከላዊ ነው፣ ይህ ማለት አርክ AC ከ AOS አንግል ጋር እኩል ነው።
በተመሳሳይ ሁኔታ, አንግል AOB በ arc AB ላይ ያርፋል.
ይህንን ማወቅ እና የጠቅላላውን ክብ (360 °) የዲግሪ መጠን, የአርክ BCን መጠን በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ.
BC = 360 ° - AC - AB
BC = 360 ° - 120 ° - 30 ° = 210 °
የማዕዘን CAB ጫፍ፣ ነጥብ A፣ በክበቡ ላይ ተኝቷል። ይህ ማለት አንግል CAB የተቀረጸ አንግል ነው እና ከ arc NE ግማሽ ጋር እኩል ነው።
አንግል CAB = 210°፡ 2 = 110°
መልስ፡ 110°
በ arcs ግንኙነት ላይ የተመሰረቱ ችግሮች
አንዳንድ ችግሮች የማዕዘን እሴቶችን በጭራሽ አይያዙም ፣ ስለሆነም በሚታወቁ የክብ ንድፈ ሀሳቦች እና ባህሪዎች ላይ በመመርኮዝ መፈለግ አለባቸው።
ችግር 1
በክበቡ ውስጥ የተቀረጸውን አንግል ከተሰጠው የክበብ ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ ኮርድን የሚሰርዝ አንግል አግኝ።
የክፍሉን ጫፎች ወደ ክበቡ መሃል የሚያገናኙ መስመሮችን በአእምሯዊ መንገድ ከሳሉ ፣ ትሪያንግል ያገኛሉ። ከመረመርክ በኋላ, እነዚህ መስመሮች የክበብ ራዲየስ መሆናቸውን ማየት ትችላለህ, ይህም ማለት የሶስት ማዕዘን ጎኖች ሁሉ እኩል ናቸው. ሁሉም እኩልዮሽ ትሪያንግል ማዕዘኖች ከ 60 ° ጋር እኩል እንደሆኑ ይታወቃል. ይህ ማለት የሶስት ማዕዘኑ ጫፍ የያዘው አርክ AB ከ 60 ° ጋር እኩል ነው. ከዚህ ውስጥ የሚፈለገው ማዕዘን የሚያርፍበትን አርክ AB እናገኛለን.
AB = 360 ° - 60 ° = 300 °
አንግል ABC = 300 °: 2 = 150 °
መልስ: 150 °
ችግር 2
በ O ነጥብ ላይ አንድ ማእከል ባለው ክበብ ውስጥ, ቅስቶች በ 3: 7 ጥምርታ ውስጥ ናቸው. ትንሹን የተቀረጸውን አንግል ያግኙ።
ለመፍታት አንድ ክፍል X ብለን እንሰይመው፣ ከዚያም አንድ ቅስት ከ 3X ጋር እኩል ነው፣ ሁለተኛው ደግሞ በቅደም ተከተል 7X ነው። የክበብ የዲግሪ መለኪያ 360° መሆኑን አውቀን፣ እኩልታ እንፍጠር።
3X + 7X = 360°
እንደ ሁኔታው, ትንሽ ማዕዘን ማግኘት ያስፈልግዎታል. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የማዕዘኑ መጠን ከቆመበት ቅስት ጋር በቀጥታ የሚመጣጠን ከሆነ, የሚፈለገው (ትንሽ) ማዕዘን ከ 3X ጋር እኩል የሆነ ቅስት ጋር ይዛመዳል.
ይህ ማለት ትንሹ አንግል (36° * 3)፡ 2 = 108°፡ 2 = 54° ነው ማለት ነው።
መልስ፡ 54°
በ O ነጥብ መሃል ባለው ክበብ ውስጥ ፣ AOB አንግል 60 ° ነው ፣ እና የትናንሽ ቅስት ርዝመቱ 50 ነው። የትልቁን ቅስት ርዝመት ያሰሉ ።
የአንድ ትልቅ ቅስት ርዝማኔን ለማስላት አንድ መጠን መፍጠር ያስፈልግዎታል - ትንሹ ቅስት ከትልቁ ጋር እንዴት እንደሚዛመድ። ይህንን ለማድረግ የሁለቱም ቅስቶች መጠን በዲግሪዎች እናሰላለን. ትንሹ ቅስት በላዩ ላይ ከተቀመጠው አንግል ጋር እኩል ነው. የዲግሪ ልኬቱ 60 ° ይሆናል. ዋናው ቅስት በክበቡ የዲግሪ መለኪያ መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው (ሌላ መረጃ ምንም ይሁን ምን ከ 360 ° ጋር እኩል ነው) እና በትንሹ አርክ.
ዋናው ቅስት 360 ° - 60 ° = 300 ° ነው.
ከ 300 °: 60 ° = 5 ጀምሮ, ትልቁ ቅስት ከትንሽ 5 እጥፍ ይበልጣል.
ትልቅ ቅስት = 50 * 5 = 250
ስለዚህ, በእርግጥ, ተመሳሳይ ችግሮችን ለመፍታት ሌሎች ዘዴዎች አሉ, ነገር ግን ሁሉም በተወሰነ መልኩ በማዕከላዊ እና በተቀረጹ ማዕዘኖች, ትሪያንግሎች እና ክበቦች ባህሪያት ላይ የተመሰረቱ ናቸው. እነሱን በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት, ስዕሉን በጥንቃቄ ማጥናት እና ከችግሩ መረጃ ጋር ማወዳደር, እንዲሁም የንድፈ ሃሳባዊ እውቀትን በተግባር ላይ ማዋል ያስፈልግዎታል.
ማዕከላዊ ማዕዘንወርድው በክበቡ መሃል ላይ የሚገኝ አንግል ነው።
የተቀረጸ አንግል- አከርካሪው በክበብ ላይ የሚገኝ እና ጎኖቹ እርስ በርስ የሚገናኙበት አንግል።
ስዕሉ ማዕከላዊ እና የተቀረጹ ማዕዘኖችን እንዲሁም በጣም አስፈላጊ ባህሪያቸውን ያሳያል.
ስለዚህ፣ የማዕከላዊው አንግል መጠን ካረፈበት ቅስት የማዕዘን መጠን ጋር እኩል ነው።. ይህ ማለት የ 90 ዲግሪ ማዕከላዊ አንግል ከ 90 ° ጋር እኩል በሆነ ቅስት ላይ ያርፋል ፣ ማለትም ፣ ክብ። ማዕከላዊው ማዕዘን, ከ 60 ዲግሪ ጋር እኩል ነው, በ 60 ዲግሪ ቅስት ላይ, ማለትም በክበቡ ስድስተኛ ክፍል ላይ.
የተቀረጸው አንግል መጠን በተመሳሳይ ቅስት ላይ ከማዕከላዊው አንግል ሁለት እጥፍ ያነሰ ነው.
እንዲሁም ችግሮችን ለመፍታት የ "ኮርድ" ጽንሰ-ሐሳብ ያስፈልገናል.
እኩል ማዕከላዊ ማዕዘኖች እኩል ኮርዶችን ዝቅ ያደርጋሉ።
1. በክበቡ ዲያሜትር የተቀነሰው የተቀረጸው አንግል ምንድን ነው? መልስዎን በዲግሪዎች ይስጡ።
በዲያሜትር የተቀነጨበ የተቀረጸ አንግል ትክክለኛ ማዕዘን ነው።
2. ማዕከላዊው አንግል በተመሳሳዩ ክብ ቅስት ከተሸፈነ አጣዳፊ ከተቀረጸው አንግል 36° ይበልጣል። የተቀረጸውን አንግል ያግኙ። መልስዎን በዲግሪዎች ይስጡ።
ማዕከላዊው አንግል ከ x ጋር እኩል ይሁን፣ እና በተመሳሳዩ ቅስት የተቀነሰው የተቀረጸው አንግል ከy ጋር እኩል ይሁን።
x = 2y መሆኑን እናውቃለን።
ስለዚህ 2y = 36 + y,
y = 36
3. የክበቡ ራዲየስ ከ 1 ጋር እኩል ነው. የ obtuse የተቀረጸውን አንግል በኮርድ የተቀነሰውን እሴት ያግኙ, እኩል ነው. መልስዎን በዲግሪዎች ይስጡ።
ክሩ AB እኩል ይሁን። በዚህ ኮርድ ላይ የተመሰረተው የተቀረጸው አንግል በ α ይገለጻል።
በሶስት ማዕዘን AOB, ጎኖች AO እና OB እኩል ናቸው 1, ጎን AB ደግሞ እኩል ነው. እንደዚህ አይነት ሶስት መአዘኖች አስቀድመው አጋጥመውናል. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ትሪያንግል AOB አራት ማዕዘን እና isosceles ነው, ማለትም, AOB አንግል 90 ° ነው.
ከዚያም አርክ ኤሲቢ ከ 90 ° ጋር እኩል ነው, እና አርክ AKB ከ 360 ° - 90 ° = 270 ° ጋር እኩል ነው.
የተቀረጸው አንግል α በ arc AKB ላይ ያርፋል እና የዚህ ቅስት የማዕዘን እሴት ግማሽ ማለትም 135° ጋር እኩል ነው።
መልስ፡- 135.
4. ኮርድ AB ክብውን በሁለት ክፍሎች ይከፍላል, የዲግሪ እሴቶቹ በ 5: 7 ውስጥ ናቸው. የክበቡ ትንሽ ቅስት ንብረት ከሆነው ነጥብ C ላይ ይህ ኮርድ በየትኛው አንግል ይታያል? መልስዎን በዲግሪዎች ይስጡ።
በዚህ ተግባር ውስጥ ዋናው ነገር ሁኔታዎችን በትክክል መሳል እና መረዳት ነው. ጥያቄውን እንዴት ተረዱት፡- “ኮርዱ ከነጥብ C በየትኛው አንግል ይታያል?”
በ C ነጥብ ላይ ተቀምጠህ አስብ እና በ chord AB ላይ ያለውን ነገር ሁሉ ማየት አለብህ። ቾርድ AB በፊልም ቲያትር ውስጥ ያለ ስክሪን ነው የሚመስለው :-)
በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው ACB የሚለውን አንግል ማግኘት አለብዎት.
የሁለቱ ቅስቶች ድምር AB ክበቡን የሚከፋፍልበት ከ 360 ° ጋር እኩል ነው, ይህ ማለት ነው.
5x + 7x = 360°
ስለዚህም x = 30°፣ እና የተቀረጸው አንግል ኤሲቢ ከ210° ጋር እኩል በሆነ ቅስት ላይ ያርፋል።
የተቀረጸው አንግል መጠን የሚያርፍበት የአርከስ አንግል ግማሹ እኩል ነው, ይህም ማለት አንግል ACB ከ 105 ° ጋር እኩል ነው.
ማዕከላዊ ማዕዘን- በሁለት ራዲየስ የተሰራ አንግል ነው ክብ. የማዕከላዊ አንግል ምሳሌ አንግል AOB, BOC, COE, ወዘተ ነው.
ስለ ማዕከላዊ ጥግእና ቅስትበፓርቲዎቹ መካከል የተጠናቀቀ ነው ተብሏል። መጻጻፍአንዱ ለሌላው.
1. ከሆነ ማዕከላዊ ማዕዘኖች ቅስቶችእኩል ናቸው.
2. ከሆነ ማዕከላዊ ማዕዘኖችእኩል አይደሉም, ከዚያም ትልቁ ከትልቅ ጋር ይዛመዳል ቅስት.
AOB እና COD ሁለት ይሁኑ ማዕከላዊ ማዕዘኖች,እኩል ወይም እኩል ያልሆነ. ራዲየስ OA ከ OC ጋር እንዲገጣጠም ሴክተሩን AOB በመሃል ዙሪያ እናዞረው ቀስቱ በተጠቀሰው አቅጣጫ።ከዚያም ማዕከላዊ ማዕዘኖቹ እኩል ከሆኑ ራዲየስ OA ከ OD እና አርክ AB ከ ቅስት ሲዲ ጋር ይገጣጠማል። .
ይህ ማለት እነዚህ ቅስቶች እኩል ይሆናሉ ማለት ነው.
ከሆነ ማዕከላዊ ማዕዘኖችእኩል አይደሉም፣ ከዚያም ራዲየስ OB ከኦዲ ጋር አብሮ አይሄድም፣ ነገር ግን በሌላ አቅጣጫ፣ ለምሳሌ፣ በOE ወይም OF። በሁለቱም ሁኔታዎች አንድ ትልቅ አንግል ከትልቅ ቅስት ጋር ይዛመዳል.
ለአንድ ክበብ ያረጋገጥነው ቲዎሪ እውነት ሆኖ ይቆያል እኩል ክበቦች, ምክንያቱም እንደዚህ ያሉ ክበቦች ከአቋማቸው በስተቀር በምንም ነገር አይለያዩም.
የተገላቢጦሽ ቅናሾችእንዲሁም እውነት ይሆናል . በአንድ ክበብ ወይም በእኩል ክበቦች ውስጥ;
1. ከሆነ ቅስቶችእኩል ናቸው, ከዚያም ተጓዳኝ ናቸው ማዕከላዊ ማዕዘኖችእኩል ናቸው.
2. ከሆነ ቅስቶችእኩል አይደሉም, ከዚያም ትልቁ ከትልቅ ጋር ይዛመዳል ማዕከላዊ ማዕዘን.
በአንድ ክበብ ወይም በእኩል ክበቦች ውስጥ, ማዕከላዊ ማዕዘኖች እንደ ተጓዳኝ ቅስቶች ይዛመዳሉ. ወይም በመግለጽ ማዕከላዊውን አንግል እናገኛለን ተመጣጣኝየእሱ ተዛማጅ ቅስት.